Vì định lý hội tụ Martingale có thể được coi như một phép tương tự của luật mạnh số lớn, ta có thể hy vọng rằng tồn tại các phép tương tự của định lý giới hạn trung tâm và luật logarit lặp thông thường mà có thể được giải thích như là kết quả về tốc độ hội tụ trong định lý hội tụ Martingale... Mời các bạn cùng tham khảo.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG THỊ ÁNH TUYẾT MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG LÝ THUYẾT MARTINGALE LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG THỊ ÁNH TUYẾT MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG LÝ THUYẾT MARTINGALE Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 8460112.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH Đặng Hùng Thắng Hà Nội - Năm 2018 Mục lục Lời cảm ơn Danh sách ký hiệu Lời nói đầu Chương Martingale bất đẳng thức 1.1 1.2 Martingale tính chất 1.1.1 Định nghĩa Martingale ví dụ 1.1.2 Các tính chất 10 Các bất đẳng thức 11 1.2.1 Một số bất đẳng thức 11 1.2.2 Bất đẳng thức hàm bình phương 15 Chương Luật số lớn định lý hội tụ 22 2.1 Định lý hội tụ martingale 22 2.2 Luật số lớn 24 2.2.1 Luật số lớn 24 2.2.2 Luật mạnh số lớn 26 Hội tụ Lp 35 2.3 Chương Định lý giới hạn trung tâm 46 3.1 Hội tụ L1 − yếu, hội tụ ổn định 46 3.2 Tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm 53 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 Lời cảm ơn Với tình cảm chân thành, em xin bày tỏ lòng biết ơn đến trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn - Cơ - Tin học q thầy giáo tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện cho em suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Đặng Hùng Thắng, chủ nhiệm môn Xác suất thống kê toán học, Khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, người Thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn khoa học cho em Xin cảm ơn lãnh đạo huy Học viện Phịng Khơng - Khơng Quân, lãnh đạo huy Phòng Quản Lý học viên Đồn 871 Tổng cục trị - Bộ Quốc Phịng, đồng nghiệp, người thân gia đình, bạn bè thân thiết động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành nhiệm vụ học tập nâng cao trình độ chun mơn Dù tác giả cố gắng, song luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý, dẫn q thầy, giáo, bạn đồng nghiệp người quan tâm tới đề tài nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng 12 năm 2018 Học viên Dương Thị Ánh Tuyết Danh sách ký hiệu ||.||p Chuẩn không gian Banach Lp (Xn ) Dãy biến ngẫu nhiên ↓ h.c.c Giảm Hầu chắn d → Hội tụ theo phân phối p → Hội tụ theo xác suất (Ω, F , P ) Không gian xác suất Lp Tập biến ngẫu nhiên X cho E|X|p < ∞ Lp Tập hợp biến ngẫu nhiên X cho E|X|p < ∞ ↑ Tăng Lời nói đầu Cái tên martingale Ville đưa vào ngôn ngữ xác suất đại (1939) chủ đề làm bật qua công trình Doob năm 1940 đầu năm 1950 Lý thuyết Martingale, giống lý thuyết xác suất, bắt nguồn từ trò chơi cờ bạc, trở thành loại q trình ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng lý thuyết thực tiễn, đặc biệt cơng cụ khơng thể thiếu tính tốn ngẫu nhiên tốn học tài Thật ra, thuật ngữ martingale có lịch sử lâu dài trị chơi cờ bạc, ban đầu có nghĩa hệ thống để bù đắp tổn thất cách tăng gấp đôi tiền thưởng sau mát Từ điển tiếng Anh Oxford bắt đầu sử dụng thuật ngữ từ năm 1815 Khái niệm đại có tài liệu tham khảo Bachelier (1900) Các nghiên cứu lý thuyết martingale Bernstein (1927, 1939, 1940, 1941) Lévy (1935a, b, 1937) có trước sử dụng tên martingale Các tác giả giới thiệu martingale dạng tổng liên tiếp để tổng quát hoá kết giới hạn cho tổng biến ngẫu nhiên độc lập Tuy nhiên, cơng trình Doob, bao gồm việc khám phá định lý hội tụ martingale, hoàn toàn thay đổi hướng đề tài Cuốn sách ông (1953) ảnh hưởng lớn gần ba thập niên Chỉ gần có hồi sinh quan tâm thực hoạt động lĩnh vực lý thuyết giới hạn martingale mà đề cập tới việc tổng quát hóa kết cho tổng biến ngẫu nhiên độc lập Lý thuyết xác suất nói chung, lý thuyết martingale nói riêng đóng góp vai trị vơ quan trọng phát triển chung toán học đại Nó nghành tốn học lớn, vừa có tầm lý thuyết trình độ cao, đáp ứng đầy đủ tiêu chuẩn chặt chẽ xác tốn học túy đồng thời lại có phạm vi ứng dụng rộng rãi khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y sinh học Với tính ứng dụng cao vậy, martingale mảng đáng quan tâm nghiên cứu phát triển sâu rộng Tuy nhiên, với vốn kiến thức hạn hẹp chuyên nghành Lý thuyết xác suất thống kê toán học, tác giả cố gắng học hỏi, tìm tịi, với hướng dẫn, bảo vơ tận tình từ Thầy hướng dẫn, tác giả xin trình bày kết tìm hiểu thơng qua luận văn mang tên: Một số định lý giới hạn lý thuyết Martingale Nội dung luận văn chia làm chương Cụ thể: Chương 1: Martingale bất đẳng thức Nội dung chương luận văn khơng chọn trình bày lại số kiến thức số kết qua học tập, nghiên cứu mơn học chương trình đào tạo thạc sĩ Toán học chuyên nghành Xác suất thống kê tốn học mà tập trung chủ yếu trình bày số kiến thức lý thuyết Martingale Đó định nghĩa martingale, số ví dụ, tính chất bất đẳng thức liên quan như: Bất đẳng thức Doob, Bất đẳng thức cắt ngang, Bất đẳng thức Burkholder, Bất đẳng thức Rosenthal Tiếp theo, nội dung chương 2: Luật só lớn định lý hội tụ Bố cục chương trình bày chi tiết sau: 2.1 Định lý hội tụ Martingale 2.2 Luật số lớn 2.2.1 Luật số lớn 2.2.2 Luật mạnh số lớn 2.3 Hội tụ Lp Đó nội dung trọng tâm chương này.Ở đây, hầu hết chứng minh định lý hôi tụ Martingale dựa số mở rộng bất đẳng thức, bất đẳng thức thiết lập sử dụng nhiều lần phần sau Trong chương tác giả áp dụng chúng để chứng minh luật số lớn trình bày cơng cụ Sau chương 3: Định lý giới hạn trung tâm Trọng tâm chương giới thiệu định lý giới hạn trung tâm tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm Bản chất martingale dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn số điều kiện đặc biệt Lý thuyết hội tụ dãy biến ngẫu nhiên, luật số lớn, luật mạnh số lớn, định lý giới hạn trung tâm có lẽ ko xa lạ lý thuyết xác suất Và tìm hiểu chút khác biệt lý thú chúng qua ngôn ngữ mới, ngôn ngữ martingale Chương Martingale bất đẳng thức 1.1 Martingale tính chất 1.1.1 Định nghĩa Martingale ví dụ Giả sử (Ω, F , P ) không gian xác suất, G ⊂ F σ−trường F Một biến ngẫu nhiên X gọi tương thích với G X G −đo Trong trường hợp ấy, ta viết X ∈ G Một dãy Fn , n = 1, 2, gọi dãy tăng σ− trường Fn ⊂ Fn+1 ⊂ F , ∀n Cho dãy tăng σ− trường Fn Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) gọi tương thích với dãy Fn với n, Xn ∈ Fn Dãy (Xn ) gọi thuộc Lp ta viết (Xn ) ∈ Lp với n E|Xn |p < ∞ Dãy Xn ∈ L1 gọi martingale dãy Fn tương thích với dãy Fn với m < n E(Xn |Fm ) = Xm Kí hiệu: martingale {Xn , Fn } Dãy Xn ∈ L1 gọi supermartingale (martingale trên) dãy Fn tương thích với dãy Fn với m < n E(Xn |Fm ) Xm Dãy Xn ∈ L1 gọi submartingale (martingale dưới) dãy Fn tương thích với dãy Fn với m < n E(Xn |Fm ) Xm Chú ý: Điều kiện E(Xn |Fm ) = Xm Tương đương với E(Xn+1 |Fn ) = Xn Thật vậy, Fn ⊂ Fn+1 nên theo tính chất kỳ vọng có điều kiện E(Xn+2 |Fn ) = E(E(Xn+2 |Fn+1 )|Fn ) = E(Xn+1 |Fn ) = Xn Tiếp tục vậy, quy nạp ta có với k E(Xn+k |Fn ) = Xn Tương tự cho điều kiện E(Xn |Fm ) Xm E(Xn |Fm ) Xm Dãy(Xn ) martingale dãy Fn −Xn martingale dãy Fn Giả sử σ(X)n trường bé sinh {Xm , m n} Hiển nhiên dãy (σ(X)n ) dãy tăng ta gọi σ− trường tự nhiên sinh dãy (Xn ) Hiển nhiên dãy (Xn ) ln tương thích với dãy (σ(X)n ) Ta nói (Xn ) martingale martingale σ−trường tự nhiên hội tụ ổn định với điểm liên tục y Y kiện E ∈ F , giới hạn lim P ({Yn ≤ y} ∩ E) = Qy (E) n→∞ tồn tại, Qy (E) → P (E) y → ∞ (Rõ ràng tồn Qy độ đo xác suất (Ω, F ).) Ta ký hiệu hội tụ cách viết d Yn → Y (ổn định) Kết ta liên hệ hội tụ L1 - yếu với tính ổn định d Định lý 3.1.3 Giả sử Yn → Y, tất Yn thuộc khơng gian (Ω, F , P ) Khi Yn → Y (ổn định) tồn biến Y mở rộng (Ω, F , P ), với phân phối Y , cho với giá trị thực t, exp(itYn ) → Z(t) = exp(itY ) hội tụ (L1 - yếu) n → ∞, E[Z(t)I(E)] hàm liên tục theo t với E ∈ F Định lý 3.1.3 hệ thông thường định lý hội tụ cho hàm đặc trưng Nó cho phép ta kiểm tra dãy hội tụ ổn định theo hàm đặc trưng, mà thường dễ việc kiểm tra hàm phân phối Cho {Sni , Fni , ≤ i ≤ kn } martingale bình phương khả tích có kỳ vọng với n ≥ 1, ký hiệu Xni = Sni − Sn,i−1 , ≤ i ≤ kn (Sn0 = 0) hiệu martingale (Giả thiết kn ↑ ∞ n → ∞) Ta gọi dãy kép {Sni , Fni , ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} mảng martingale Ký hiệu Vni2 = i j=1 Xnj sai có điều kiện Sni ký hiệu Uni = i j=1 E(Xnj | Fn,j−1 ) phương phương sai bình phương Mảng martingale thường suy từ martingale ban đầu {Sn , Fn , ≤ n < ∞} theo cách sau: định nghĩa kn = n, Fni = Fi , Sni = s−1 n Si , ≤ i ≤ n, sn độ lệch tiêu chuẩn Sn Trong trường hợp E(Snk ) = 1, n không phổ biến đưa giả thiết với mảng martingale Bổ đề 3.1.4 Cho η biến ngẫu nhiên hữu hạn hầu chắn giả sử p max |Xni | → 0, i 47 (3.1) p Xni → η2, (3.2) i với t thực, Tn (t) → (hội tụ L1 −yếu ) n → ∞ (3.3) d Khi Snkn → Z (ổn định) biến ngẫu nhiên Z có hàm đặc trưng E exp(− 21 η t2 ) Chứng minh Xác định r(x) eix = (1 + ix) exp(− x2 + r(x)) ý |r(x)| ≤ |x|3 với |x| ≤ Đặt In = exp(itSnkn ) Wn = exp − t2 2 Xni + i r(tXni ) i Khi In = Tn exp(−η t2 /2) + Tn (Wn − exp(−η t2 /2)) Dựa vào Định lý 3.1.3, ta cần chứng minh với E ∈ F , E(In I(E)) → E(exp(−η t2 /2)I(E)) (3.4) Vì exp(−η t2 /2)I(E) bị chặn, (3.3) đảm bảo E(Tn exp(−η t2 /2)I(E)) → E(exp(−η t2 /2)I(E)) (3.5) Ngoài ra, dãy biến ngẫu nhiên hội tụ L1 - yếu khả tích đều, nên dãy Tn (Wn − exp(−η t2 /2)) = In − Tn exp(−η t2 /2) khả tích Điều kiện (3.1) (3.2) kéo theo maxi |Xni | ≤ 1, r(Xni t) ≤ |t|3 i |Xni |3 i ≤ |t|3 max |Xni | i Xni p → n → ∞ i p Từ suy Wn − exp(−η t2 /2) → 0, từ tính khả tích đều, E(Tn (Wn − exp(−η t2 /2))I(E)) → Điều kiện (3.5) (3.6) kéo theo (3.4) 48 (3.6) Bây ta nêu đặc trưng bảng {Xni } bảng martingale sai phân Định lý 3.1.5 Cho {Sni , Fni , ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} mảng martingale bình phương khả tích, kỳ vọng khơng với hiệu martingale Xni , cho η biến ngẫu nhiên hữu hạn hầu chắn Giả sử p max |Xni | → 0, (3.7) i p Xni → η2, (3.8) i E(max Xni ) bị chặn theo n, (3.9) i σ-trường lồng : Fn,i ⊂ Fn+1,i với ≤ i ≤ kn , n ≥ Khi Snkn = trưng E i Xni exp(− 21 η t2 ) (3.10) d → Z (ổn định), biến ngẫu nhiên Z có hàm đặc Chứng minh Đầu tiên giả sử η bị chặn hầu chắn, nên với C (> 1), P (η < C) = Đặt Xni = Xni I( i−1 j=1 Xnj ≤ 2C) Sni = (3.11) i j=1 Xnj Khi {Sni , Fni } bảng martingale Do P (Xni = Xni với i ≤ kn ) ≤ P (Unk > 2C) → n (3.12) ta có P (Snkn = Snkn ) → 0, nên E| exp(itSnkn ) − exp(itSnkn )| → d d Cho nên Snkn → Z (ổn định) Snkn → Z (ổn định) Dựa theo (3.12) hiệu martingale {Xnj } thỏa mãn điều kiện (3.1) (3.2) Bổ đề 3.1.4, ta phải kiểm tra (3.3) Đặt Tn = (1 + itXnj ) j 49 min{i ≤ kn |} U > 2C nkn Jn = k ngược lại n Khi đó, theo (3.9) Jn −1 2 E|Tn | = E (1 + t Xnj2 ) ≤E Xnj2 exp t j (1 + t2 XnJ ) n j=1 ≤ {exp(2Ct2 )}(1 + t2 EXnJ ), n mà bị chặn theo n Hệ {Tn } khả tích Cho m ≥ cố định đặt E ∈ Fmkm ; theo (3.10), E ∈ Fnkn với n ≥ m Với n vậy, kn ETn I(E) = E I(E) (1 + itXnj ) j=1 km km = E I(E) E(1 + itXnj | Fn,j−1 ) (1 + itXnj ) j=1 j=km +1 km = E I(E) (1 + itXnj ) = P (E) + Rn , j=1 phần dư Rn bao gồm nhiều 2km − số hạng có dạng E[I(E)(it)r Xnj1 Xnj2 · · · Xnjr ], ≤ r ≤ km ≤ j1 ≤ j2 ≤ · · · ≤ jr ≤ km Vì r−1 Jn −1 Xnj2 |Xnj1 · Xnjr ]| ≤ max Xni2 i j=1 ≤ (2C)r−1 max Xni2 , i suy |Rn | ≤ (2km − 1)(2C)km /2 E max |Xni | i Nhưng với ε > 0, E max |Xni | ≤ ε + E max |Xni |I(|Xni | > ε) i i 50 =ε+E max |Xni | I max |Xni | > ε i i ≤ ε + E max Xni P max |Xni | > ε i 1/2 i → ε n → ∞ Suy E(maxi |Xni |) → nên Rn → Do đó, E[Tn I(E)] → P (E) Đặt F∞ = ∞ Fnkn ∞ Fn σ-trường sinh (3.13) Với E ∈ F∞ ε > tồn m E ∈ Fmkm cho P (E∆E ) < ε (∆ ký hiệu hiệu đối xứng) Vì {Tn } khả tích |E[Tn I(E )] − E[Tn I(E)]| ≤ E[|Tn |I(E∆E )], supn |E[Tn I(E )] − E[Tn I(E)]| làm nhỏ tùy ý cách chọn ε đủ nhỏ Bây giờ, từ (3.13) suy với E ∈ F∞ , E[Tn I(E )] → P (E ) Suy với biến ngẫu nhiên X bị chặn F∞ − đo được, E[Tn X] → E(X) Cuối cùng, E ∈ F , E[Tn I(E)] = E[Tn E(I(E) | F∞ )] → E[E(I(E) | F∞ )] = P (E) Điều thiết lập (3.3) kết thúc chứng minh trường hợp đặc biệt (3.11) xảy Ta phải xóa điều kiện bị chặn (3.11) Nếu η khơng bị chặn hầu chắn, cho trước ε > 0, chọn điểm liên tục C η cho P (η > C) > ε Đặt ηC2 = η I(η ≤ C) + CI(η > C), i−1 i Xnj Xni = Xni I ≤C Sni = j=1 Xnj j=1 Khi {Sni , Fni } mảng martingale điều kiện (3.7), (3.9) (3.10) thỏa mãn Bây Xni I i Xni ≤C Xni >C + CI i i 51 Xni2 ≤ i Xni I ≤ Xni ≤C i + C + max Xni I i i Xni >C i Vì C điểm liên tục hàm phân phối η , Xni ≤C I p → I(η ≤ C), i p Xni2 → ηC2 i Do ηC2 bị chặn hầu chắn, phần chứng minh nói với ta d Sn → ZC (ổn định), biến ngẫu nhiên ZC có hàm đặc trưng E exp(− 21 ηC2 t2 ) Nếu E ∈ F , |E[I(E) exp(itSnkn )] − E[I(E) exp(− η t2 )]| ≤ E| exp(itSnkn ) − exp(itSnkn )| + |E[I(E) exp(itSnkn )] 1 − E[I(E) exp(− ηC2 t2 )]| + E| exp(− ηC2 t2 ) − exp(− η t2 )| 2 Vì Snkn → ZC (ổn định), số hạng thứ hai vế phải hội tụ tới n → ∞ Số hạng số hạng thứ ba nhỏ 2ε P (Snkn = Snkn ) ≤ P (Xni = Xni với i đó) > C) → P (η > C) < ε ≤ P (Unk n Cho nên với ε > 0, lim sup |E[I(E) exp(itSnkn )] − E[I(E) exp(− η t2 )]| ≤ 4ε n→∞ Suy giới hạn 0, theo Định lý 3.1.3 kết thúc chứng minh Hệ 3.1.6 Nếu (3.7) (3.9) thay điều kiện: p E[Xni I(|Xni | > ε) | Fn,i−1 ] → 0, với ε > 0, i (3.8) thay điều kiện tương tự phương sai có điều kiện: Vnk = n p E(Xni | Fn,i−1 ) → η , (3.10) đúng, kết luận Định lý 3.1.5 52 3.2 Tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm Cho X1 , X2 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập với kỳ vọng 0, phương sai đơn vị, moment bậc ba bị chặn, tức: sup1 n ) Thuật ngữ dấu hiệu modulus tích phân bao quanh |Φ((1 − )−1/2 (x + 1/2 z)) − Φ((1 − )−1/2 x)| + |Φ((1 − )−1/2 x) − Φ(x)| Thuật ngữ không lớn (2π)−l/2 (l − )−1/2 1/2 z cho cụm từ thứ hai không lớn (2π)−l/2 e−x x[(l − )−1/2 − 1] (2π)−1/2 e−1/2 [(1 − )−1/2 − 1] < π −1/2 e−1/2 , miễn < < Bằng cách đối xứng, giới hạn áp dụng x < 0, kết hợp ước tính này, ta suy < < , /2 x) − Φ(x) − P (|T − 1| > ) P (W (T ) ∞ π −1/2 −l/2 e +π ze−z −l/2 1/2 /4 dz l /2((2πe)−1/2 + 2π −1/2 ) < (2 )1/2 Đó (2 )1/2 + P (|T − l| > ) (3.18) Điều ràng buộc tầm thường Hơn nữa, cách sử dụng thủ tục tương tự, ta suy x) − Φ(x) P (W (T ) P (W (T ) x) P (W (T ) P =π x; |T − 1| sup W (t) |t−1|< ∞ −1/2 x ) − P (|T − 1| > ) − P (|T − 1| > ) Φ((1 − )−1/2 (x − 1/2 z))e−z /4 dz − P (|T − l| > ) Φ(x) − (2 )1/2 − P (|T − 1| > ) (3.19) 55 Bổ đề (3.2.2) sau kết hợp (3.18) (3.19) Quay trở lại với việc chứng minh Định lý (3.2.1), Ta biết tồn chuyển động Brown tiêu chuẩn W biến ngẫu nhiênTi , i n, cho (không tổng quát) Si = (Ti ), i n Bổ đề (3.2.2) khẳng định với n, x, ∆ > 0, |P (Sn 2∆1/2 + P (|Tn − Vn2 | > ∆) + P (|Vn2 − 1| > ∆) (3.20) x) − Φ(x)| Đặt τ1 = T1 τi = Ti − Ti−1 , n Với τi Gi -đo i E(τi |Gi−1 ) = E(Xi2 |Fi−1 ) hầu chắn Gi σ− trường sinh Sl , ˙,St W (t) với t Ti Vì n Tn − Vn2 (τi − E(τi |Gi−1 )) = tổng martingale phân biệt Đối với martingale phân biệt Zi , i n p ta có từ bất đẳng thức Holder Burkholder (xem Định lý (1.2.9) p n E Zi p/2 n (18pq 1/2 p )E n Zi2 (18pq 1/2 p p/2−1 E|Zi |p )n (3.21) (18pq 1/2 )p np/2 max E|Zi |p , i n q = (1 − p−1 )−1 với p Áp dụng bất đẳng thức cho martingale phân biệt Zi = τi − E(τi |Gi−1 ), ta suy n P (|Tn − Vn2 | > ∆) −p Zi |p ∆ E| (3.22) ∆−p (18p21/2 )p np/2 max E|Zi |p i n Bây giờ, với |Zi| max(τi , E(τi |Gi−1 )) E[E(τi |Gi−1 )p ] E(τip ), theo bất đẳng thức Jensen E|Zi |p E[τip + E(τi |Gi−1 )p ] 2E(τip ) 4Γ(p + 1)E|Xi |2p 56 (3.23) Việc mở rộng Γ(p + 1) Stirling ngụ ý p Γ(p + 1) 2, (2π)l/2 pp+l/2 e−p+l/24 , kết hợp điều với hai phương trình(3.22) (3.23), thấy P (|Tn − Vn2 | > ∆) 10.5(9.4p2 )p p1/2 np/2 δ −p max E|Xi − |2p i n (3.24) Từ điều kiện (3.14) có max E|Xi |2p i n n−p M 2p , điều với (3.20) (3.24) ngụ ý δ > 0, |P (Sn 2∆1/2 + 10.5(9.4p2 M )p pl/2 n−p/2 ∆−p + P (|Vn2 − 1| > ∆) x) − Φ(x)| Bây chọn ∆ = ∆(n) → p = p(n) → ∞ để giảm thiểu tổng hai cụm từ Đặt ∆ = 9.4M Dn−1/2 (log n)2 p = log n Nếu n > e2 thp > 2, 2δ 1/2 + 10.5(9.4p2 M )p pl/2 n−p/2 δ −p 6.2M D1/2 n1/4 log n + 10.5D− log n (log n)1/2 (7M D1/2 + 2)n−l/4 log n, thế, ta giả định D |P (Sn x) − Φ(x)| e Hậu là, (7M D1/2 + 2)n−1/4 log n + P (|Vn2 − 1| > ∆), kết hợp với(3.15) điều ngụ ý (3.16) Các ràng buộc (3.16) áp dụng tầm thường n < e2 Điều kiện hạn chế đồng (3.14) hạn chế số ứng dụng, thay giới hạn thời điểm mũ 57 Định lý 3.2.3 Vẫn sử dụng ký hiệu định lý (3.2.1), giả sử cho α > số M, C D max E[exp(|n1/2 Xi |α )] < M i n (3.25) P (|Vn2 − 1| > Dn−1/2 (log n)2+2/α ) Khi với n Cn−1/4 (log n)1+1/α (3.26) sup |P (Sn x) − Φ(x)| An1 /4 (log n)1+1/α (3.27) −∞ xp pp e−p ex Hậu là, np E|Xi |2p = E[(|n1/2 Xi |α )2p/α ] (2p/α)2p/α e−2p/α M, sử dụng (3.25) Kết hợp điều với (3.24), suy số dương a b khơng phụ thuộc vào n, p, ∆ thực tùy ý lớn, P (|Tn − Vn2 | > ∆) a(bpα+1 )2p/α pl/2 n−p/2 ∆−p Từ từ (3.20) có |P (Sn x) − Φ(x)| 2∆1/2 + a(bpα+1 )2p/α pl/2 n−p/2 ∆−p + P (|Vn2 − 1| > ∆) (3.28) Lần nữa, chọn ∆ p để giảm thiểu tổng hai điều kiện Lần lựa chọn tối ưu ∆ = b1+2/α n−1/2 (log n)2+2/α p = log n 58 Khi ∆1/2 + (bpα+1 )2p/α p1/2 n−p/2 ∆−p = b1/2+l/α n−1/4 (log n)1+1/α + b− log n (log n)1/2 cn−1/4 (log n)1+1/α với số c, chọn b e Quay trở lại (3.28), thấy |P (Sn x) − Φ(x)| dn−1/4 (log n)1+1/α + P (|Vn2 − 1| > ∆) với số d kết hợp với (3.26) điều ngụ ý (3.27) 59 Kết luận Tóm lại, Nội dung luận văn tìm hiểu tổng kết cách hệ thống kết kinh điển Luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm số định lý hội tụ cho Martingale Chương trình bày số khái niệm tính chất martingale bất đẳng thức Chương nghiên cứu Luật số lớn định lý hội tụ Chương 3: Định lý giới hạn trung tâm tốc độ hội tụ 60 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Đặng Hùng Thắng (2009), Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, NXB Giáo Dục (tái lần thứ 4) [3] Đặng Hùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] Đặng Hùng Thắng (2001), Q trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh [5] P Billingsley (1995), Probability and Measure, Willey, New York [6] C.C Heyde, P Hall (1980), Martingale limit theory and its application, ACADEMIC PRESS, INO 61 ... ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG THỊ ÁNH TUYẾT MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG LÝ THUYẾT MARTINGALE Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 8460112.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC... chương 3: Định lý giới hạn trung tâm Trọng tâm chương giới thiệu định lý giới hạn trung tâm tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm Bản chất martingale dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn số điều kiện... Một số định lý giới hạn lý thuyết Martingale Nội dung luận văn chia làm chương Cụ thể: Chương 1: Martingale bất đẳng thức Nội dung chương luận văn không chọn trình bày lại số kiến thức số kết