Luận văn thạc sĩ toán học một số vấn đề xung quanh điểm feuerbach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM VĂN TUYẾN MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH ĐIỂM FEUERBACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM VĂN TUYẾN MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH ĐIỂM FEUERBACH Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Danh mục hình ii Một số ký hiệu iii Lời cảm ơn iv Mở đầu 1 Điểm Feuerbach số tính chất 1.1 Sự xác định điểm Feuerbach 1.2 Điểm Feuerbach điểm chân phân giác 1.3 Các công thức khoảng cách 1.3.1 Khoảng cách từ điểm Feuerbach đến đỉnh tam giác 1.3.2 Khoảng cách điểm Feuerbach Các đường thẳng đường tròn đồng quy 2.1 Điểm Feuerbach đường thẳng Euler 2.1.1 Điểm Feuerbach Fe 2.1.2 Các điểm Feuerbach Fa , Fb , Fc 2.2 Bốn đường tròn qua điểm Feuerbach 2.3 Bốn đường thẳng đồng quy Tam giác Feuerbach tọa 3.1 Tọa độ điểm Feuerbach 3.2 Quan hệ khoảng cách 3.3 Các cặp tam giác phối cảnh 3.4 Đường cô nic Feuerbach 3.5 Một số ứng dụng khác độ barycentric 3 10 14 14 17 21 21 22 24 28 31 36 36 43 50 54 57 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 ii Danh mục hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp Đường trịn Euler tiếp xúc ngồi với đường tròn bàng tiếp N x tiếp tuyến Dựng điểm Feuerbach compa thước kẻ Bổ đề 1.2.1 Bổ đề 1.2.2 ∆XY Z ∆Fa Fb Fc đồng dạng Khoảng cách từ Fe đến đỉnh tam giác Khoảng cách từ Fa , Fb , Fc đến đỉnh 10 11 13 14 17 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 điểm A, E , F , I, E1 , F1 nằm đường tròn Đường thẳng Euler ∆D0 Y1 Z1 qua Fe Đường thẳng Euler T0a qua điểm Sc0 = X442 Hyperbol Jerabek qua D0 , E , F I, Ge Mệnh đề 2.6 Mệnh đề 2.7 Mệnh đề 2.8 Ni ≡ X942 ; P ≡ X113 22 23 25 27 29 30 32 34 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Các điểm Feuerbach chân đường phân giác Fe E = F e D + Fe F Điểm Feuerbach Tam giác Fa Fb Fc tam giác XY Z phối cảnh, tâm Fe Sáu điểm Xb , Xc , Yc , Ya , Za , Zb thuộc cô níc Điểm X2160 42 47 49 52 55 59 iii MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN Stt 10 11 12 13 Ký hiệu D, E, F D0, E 0, F ∆D0 E F I, O O9 Ia , Ib , Ic X, Xa Y, Yb Z, Zc Fe Fa , Fb , Fc ∆Fa Fb Fc σ, σθ 14 σA , σB , σC Nội dung ký hiệu Trang Trung điểm BC, CA, AB 17 Tiếp điểm đường tròn nội tiếp cạnh TG 24 Tam giác tiếp xúc 28 Tâm nội tiếp tâm ngoại tiếp ∆ABC Tâm đường trịn chín điểm (Euler) Tâm đường tròn A, B, C –bàng tiếp b Chân phân giác A 13 b Chân phân giác B 13 b Chân phân giác C 13 Điểm Feuerbach 10 Điểm Feuerbach 10 Tam giác Feuerbach 15 2SABC ; σ cot θ 40 2 2 2 2 b +c −a c +a −b a +b −c 17 , , 2 iv Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường đại học Hải Phịng Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho tơi Tơi xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, Khoa Tốn Tin, q thầy giảng dạy lớp Cao học K11 (2017 - 2019) Trường đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng năm 20 Người viết Luận văn Phạm Văn Tuyến Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Một định lý đẹp hình học Euclid phẳng định lý Feuerbach: Trong tam giác, đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp ba đường trịn bàng tiếp Liên quan đến định lý loạt vấn đề khám phá: Dựng điểm Feuerbach nào? Các tính chất điểm Feuerbach có liên quan đến điểm đường thẳng biết? Các đường thẳng đường tròn qua điểm Feuerbach? Các tính chất tam giác Feuerbach Trình bày cách giải vấn đề lý để chọn đề tài “Một số vấn đề xung quanh điểm Feuerbach” Mục đích đề tài là: - Trình bày tính chất điểm Feuerbach để từ đưa cách dựng điểm Feuerbach tối ưu - Bằng phương pháp sơ cấp, tìm hiểu đường thẳng đường trịn có tính chất qua điểm Feuerbach - Phát cặp tam giác vị tự liên quan đến điểm Feuerbach Kết hợp với tọa độ barycentric tìm mối quan hệ khoảng cách Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Nội dung chia làm chương: Chương Điểm Feuerbach số tính chất Chương giới thiệu định lý Feuerbach tính chất điểm Feuerbach điểm Feuerbach ngoài, xác định khoảng cách từ điểm Feuerbach đến đỉnh khoảng cách điểm Feuerbach Nội dung bao gồm mục (tổng hợp, bổ sung từ sách tham khảo [1] báo [3], [6]): 1.1 Sự xác định điểm Feuerbach 1.2 Điểm Feuerbach điểm chân phân giác 1.3 Các công thức khoảng cách Chương Các đường thẳng đường tròn đồng quy Nội dung chương chủ yếu tìm đường trịn qua điểm Feuerbach, đường thẳng chứa điểm Feuerbach đồng quy tâm Euler Ngoài mối quan hệ điểm Feuerbach với đường thẳng Euler Chương bao gồm mục sau (tổng hợp, bổ sung từ [2], [5]): 2.1 Điểm Feuerbach đường thẳng Euler 2.2 Bốn đường tròn qua điểm Feuerbach 2.3 Bốn đường thẳng qua tâm Euler Chương Tam giác Feuerbach tọa độ barycentric Chương xét tính chất tam giác Feuerbach, đặc biệt khảo sát cặp tam giác vị tự liên quan đến điểm Feuerbach Dùng tọa độ barycentric để xác định tọa độ điểm Feuerbach, lập phương trình đường thẳng, chứng minh mối quan hệ khoảng cách từ điểm Feuerbach kết thúc việc xét đường níc Feuerbach Chương tham khảo tổng hợp theo báo [3] Nội dung chương chia thành phần: 3.1 Tọa độ điểm Feuerbach 3.2 Quan hệ khoảng cách 3.3 Các cặp tam giác vị tự 3.4 Đường cô nic Feuerbach 3.5 Một số ứng dụng khác Chương Điểm Feuerbach số tính chất Trong tam giác ABC , điểm sau nằm đường tròn: trung điểm cạnh, chân đường cao, trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm đến đỉnh tam giác Đường trịn đường trịn Euler, tên nhà tốn học vĩ đại tìm (hay cịn gọi đường trịn chín điểm) Nếu (O, R) R đường trịn ngoại tiếp tam giác bán kính đường tròn Euler , tâm đường tròn Euler ký hiệu O9 , thẳng hàng với tâm O trực tâm H Ngoài điểm O, H, O9 trọng tâm G tạo thành hàng điểm điều hịa Chính đường thẳng chứa điểm gọi đường thẳng Euler Ta có kết đặc sắc sau: Với tam giác ABC cho trước, đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp (I, r) tiếp xúc ngồi với đường trịn bàng tiếp (Ia , ), (Ib , rb ), (Ic , rc ) Bốn tiếp điểm điểm đặc biệt tam giác Kết tiếng thuộc Feuerbach Nội dung chương trình bày cách xác định điểm Feuerbach tính chất đặc biệt chúng Một số kết điểm tham khảo [3] với chọn lọc xếp cần thiết 1.1 Sự xác định điểm Feuerbach Ta tách định lý Feuerbach thành mệnh đề Định lý có nhiều cách chứng minh, ta trình bày phép chứng minh hình học túy tham khảo [1] Mệnh đề 1.1 (Feuerbach,[1]) Trong tam giác ABC đường tròn Euler (O9 ) tiếp xúc với đường tròn nội tiếp (I, r) Chứng minh Hình 1.1: Đường trịn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp Gọi EOF đường kính vng góc với BC, AE tia phân giác qua I Hạ AK ⊥ EF, O9 L ⊥ BC , ta có OK = AA1 − OA0 = AH + HA1 − OA0 = 2OA0 + HA1 − OA0 = OA0 + HA1 = 2O9 L ∆AKF đồng dạng ∆IDX (các cạnh tương ứng vuông góc) Vậy FK DX = AK IX hay FK DX = Từ đó, A0 A1 IX IX.F K = A0 A1 DX Ta chứng minh A0 A1 DX = XA0 XA1 (1.1) ED EI [ = = Số EIC EC EA _ _ _ _ [ = nửa cung EN ICE [ lại (EC + AN ), AN =BN Vậy EIC nửa cung EN Như ∆EIC cân EC = EI : ED A0 X = ⇐⇒ A0 X = A0 D.A0 A1 EI A A1 Thật vậy, ∆EDC đồng dạng với ∆EAC nên Ta viết A0 X.A0 A1 − A0 X = A0 X.A0 A1 − A0 D · A0 A1 hay A0 X(A0 A1 − A0 X) = A0 A1 (A0 X − A0 D), tức XA0 XA1 = A0 A1 · DX (1.2) Dựa vào đẳng thức (1.2), chuyển (1.1) IX.F K = XA0 XA1 (1.3) Bây từ O9 hạ O9 L ⊥ IX , ta có O9 I = (O9 L − IX)2 + (A0 L − A0 X) 2  2  1 OK − IX + A A1 − A X = 2 1 = OK − OK.IX + IX + A0 X − A0 X.A0 A1 + A0 A21 4 1 = OK + A0 A21 − OK.IX − A0 X (A0 A1 − A0 X) + IX 4 = OA2 + IX − OK.IX − XA0 XA1 Dựa vào (1.3) O9 I = OA2 + IX − OK.IX − IX.KF = OA2 + IX − IX.OF  2 R = R + r2 − Rr = −r R Suy O9 I = − r R Vì đường trịn Euler có bán kính , đường trịn nội tiếp có bán kính r nên đẳng thức cuối chứng tỏ hai đường tròn tiếp xúc 6 Cho tam giác ABC , ba đường tròn bàng tiếp (Ia , ρa ), (Ib , ρb ), (Ic , ρc ) Để thuận tiện cho cách phát biểu ta quy ước gọi đường tròn A−bàng tiếp \ tam giác Tương tự đường trịn bàng tiếp nằm góc BAC có đường trịn B−bàng tiếp, đường trịn C−bàng tiếp Mệnh đề 1.2 (Định lý Feuerbach,[1]) Trong tam giác ABC đường trịn Euler (O9 ) tiếp xúc ngồi với đường trịn bàng tiếp Chứng minh Hình 1.2: Đường trịn Euler tiếp xúc ngồi với đường trịn bàng tiếp Hạ Ia Xa ⊥ BC Ta có X Xa đối xứng qua trung điểm A0 a b−c BC Đó A0 X = A0 Xa = (s − c) = 2 Tam giác ∆AKF đồng dạng với ∆Ia DXa cạnh tương ứng chúng vng góc Vậy FK Xa D FK Xa D = ⇐⇒ = AK Xa Ia A A1 Xa Ia Từ đó, F K.Xa Ia = Xa D.A0 A1 (1.4) A0 X · XA1 = A0 A1 · XD (1.5) Đẳng thức (1.2) cho ta Nhận xét thấy hai tam giác ∆Ia Xa D, ∆IXD đồng dạng, ta biến đổi (1.5) (1.4): A0 X.Xa A1 = A0 A1 Xa D; F K.Xa Ia = A0 Xa · A1 Xa (1.6) Từ O9 hạ O9 P ⊥ Ia Xa , ta có Ia Xa F K = A0 A1 DXa = A0 Xa · Xa A1 (1.7) O9 Ia2 = (O9 L + Ia Xa )2 + (A0 Xa + A0 L) 1 = OK + OK · Ia Xa + Ia Xa2 + A0 A21 + A0 Xa (A0 Xa + A0 A1 ) 4 = OA2 + Ia Xa2 + OKIa Xa + A0 Xa· A1 Xa Dựa vào đẳng thức (1.6) ta có: O9 Ia2 = OA2 + Ia Xa2 + Ia Xa (OK + F K)  2 R = R + ρa + Rρa = + ρa R = O9 Ia = + ρa Vậy đường trịn nội tiếp (I, r) tiếp xúc ngồi với đường tròn bàng tiếp (Ia , ρa ) Đối với hai đường tròn (Ib , ρb ), (Ic , ρc ) chứng minh tương tự Định nghĩa 1.1 Tiếp điểm đường tròn Euler đường tròn nội tiếp tam giác gọi điểm Feuerbach trong, ký hiệu Fe Các tiếp điểm đường tròn Euler với đường tròn A−bàng tiếp, B−bàng tiếp, C−bàng tiếp gọi điểm Feuerbach ngoài, ký hiệu Fa , Fb , Fc Để vẽ điểm Feuerbach ta phải dựng đường tròn: Đường tròn Euler, đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp Điều cồng kềnh, nhiên ta có cách dựng khác khơng cần vẽ đường trịn nói Cách dựng hồn tồn sơ cấp sau tham khảo xếp lại theo tài liệu [1] Mệnh đề 1.3 Hoàn toàn dựng điểm Feuerbach com pa thước kẻ Hình 1.3: N x tiếp tuyến Chứng minh Ta có nhận xét sau: Nếu dây cung AB , từ đầu mút A ta đặt AK = đường kính đường tròn từ trung điểm N đoạn thẳng BK ta dựng đường N x vng góc với AB đường thẳng N x tiếp tuyến đường tròn, hình 1.3 Thật vậy, AK đường kính CN = CB + BN = AC + N K nên CN = đường kính, tức CN bán kính đường trịn, hay N F tiếp tuyến Nhận xét chứng minh Xét ∆ABC , đường kính đường trịn Euler bán kính đường trịn ngoại tiếp, nên từ nhận xét để dựng tiếp tuyến đường tròn Euler ta đặt dây cung đường trịn Euler bán kính đường tròn ngoại tiếp 9 -Coi đoạn H1 H10 dây cung đường tròn Euler Áp dụng nhận xét vào dây H1 H10 ta tiếp tuyến thứ đường tròn Euler - Tương tự từ hai dây cung H2 H20 , H3 H30 dựng hai tiếp tuyến đường tròn Euler - Ba đường thẳng tạo thành tam giác A1 B1 C1 mà cạnh tiếp xúc với đường trịn Euler, hình 1.4 Hình 1.4: Dựng điểm Feuerbach compa thước kẻ Điểm Feuerbach thứ tâm vị tự ngồi đường trịn nội tiếp đường trịn Euler Đường trịn Euler coi nội tiếp tam giác A1 B1 C1 , vị tự với tam giác ABC Tâm vị tự đường tròn trùng với tâm vị tự tam giác Do đó, điểm F = Fe dựng tâm vị tự ∆ABC A1 B1 C1 - Để tìm ba điểm Fa , Fb , Fc trước hết ta qui dựng ∆A2 B2 C2 giống ∆A1 B1 C1 , khác đặt đường kính khơng đặt H10 , H20 , H30 mà đặt H1 , H2 , H3 Để dựng Fa ta xét tam giác vị tự ABC A2 P2 P1 Đối với tam giác A2 P2 P1 đường tròn Euler đường tròn bàng tiếp (B2 −bàng tiếp) Tâm vị tự tam giác trùng với tâm vị tự đường tròn bàng tiếp, tức 10 trùng với điểm Feuerbach Như để dựng Fa ta dựng tâm vị tự tam giác ABC A2 P2 P1 Để dựng điểm Fb , Fc ta dựng tâm vị tự ∆ABC ∆Q1 B2 Q2 ; tâm vị tự ∆ABC ∆R1 R2 C2 1.2 Điểm Feuerbach điểm chân phân giác Các điểm chân đường phân giác liên quan chặt chẽ đến điểm Feuerbach Trước hết ta xét điểm X, Y, Z chân phân giác b B, b C b Ta chứng minh bổ đề sau: (tham khảo [2],[3]) góc A, Bổ đề 1.2.1 Giả sử (O, R) đường trịn tiếp xúc ngồi với hai đường tròn O1 (r1 ), O2 (r2 ), tương ứng A, B Nếu XY tiếp tuyến chung (O1 , r1 ) (O2 , r2 ) R XY AB = p (R + r1 ) (R + r2 ) Hình 1.5: Bổ đề 1.2.1 (1.8) 11 2R2 − AB \ Chứng minh Trong tam giác cân AOB có cos AOB = = 2R2 AB 1− Áp dựng định lý sin vào O1 OO2 , hình 1.5, ta có: 2R2   AB 2 2 O1 O2 = (R + r1 ) + (R + r2 ) − (R + r1 ) (R + r2 ) − 2R2   AB 2 = (r1 − r2 ) + (R + r1 ) (R + r2 ) R Từ hình thang XO1 O2 Y có O1 O22 = (r1 − r2 )2 + XY Từ có (1.8) b B b Bổ đề 1.2.2 Nếu X, Y chân đường phân giác A, p abc R (R + 2ra ) XY = (1.9) (c + a)(b + c)R Hình 1.6: Bổ đề 1.2.2 Chứng minh Trong hình 1.6, gọi A2 , B2 tiếp điểm đường tròn C−bàng tiếp cạnh CA, CB Lại gọi K ∈ Ic A2 , L ∈ Ic B2 cho 12 a+b+c b OLkCB, OLkCA Vì CA2 = CB2 = = s nên OL = s − = 2 c+a a b+c ; OK = s − = 2 CA2 a ba Theo tính chất đường phân giác = , suy CY = A2 A c c+a CY b+c OK ab Ngoài ra: = = Như ∆CXY Tương tự, CX = b+c CX c+a OL đồng dạng với ∆OLK Ta suy XY CY 2ab = = (1.10) LK OK (c + a)(b + c) Vì OIc đường kính (OLK) nên theo định lý sin: \ = OIc sin C = OIc · c LK = OIc sin LOK (1.11) 2R Tổ hợp (1.10), (1.11) OIc2 = R(R+2rc ) (hệ thức Euler) cho ta (1.9) Mệnh đề 1.4 ∆XY Z đồng dạng ∆Fa Fb Fc Thêm nữa, hai tam giác cịn phối cảnh Chứng minh Xét tam giác ABC , bán kính đường trịn ngoại tiếp R, (Ic , rc ) đường tròn C−bàng tiếp (a) Đồng dạng Xét đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn A−bàng tiếp B−bàng tiếp, hình 1.7 Độ dài tiếp tuyến chung ngồi đường trịn bàng tiếp P Q = AQ + BP − AB = s + s − c = a + b Theo bổ đề 1.2.1, R (a + b) · (a + b)R Fa F b = s  =p (R + 2r ) (R + 2r ) a b R R + + rb 2 So sánh với (1.9) ta p abc R (R + 2ra ) (R + 2rb ) (R + 2rc ) XY = Fa Fb (a + b)(b + c)(c + a)R2 Do tỷ số đối xứng a, b, c, , rb , rc nên XY YZ C1 A1 = = F a Fb Fb Fc Fc Fa 13 Hình 1.7: ∆XY Z ∆Fa Fb Fc đồng dạng Như ∆XY Z đồng dạng với ∆Fa Fb Fc (b) Phối cảnh Ta chứng minh điểm Fe , Y Fb thẳng hàng Theo định lý Feuerbach, Fe tâm vị tự đường tròn nội tiếp đường tròn Euler Fb tâm vị tự đường tròn Euler đường tròn B−bàng tiếp Chú ý Y tâm vị tự đường tròn nội tiếp đường tròn B−bàng tiếp Ba tâm vị tự chia cạnh tam giác Ib O9 I theo tỷ số O9 F e R IY r Ib Fb 2rb =− ; = ; = , Từ đó, O9 I 2r Y Ib rb Fb O9 R O9 Fe IY Ib Fb R 2rb · · =− · = −1 O9 I Y Ib Fb O9 2r R Theo định lý Menelaus, ba điểm Fe , Y, Fb thẳng hàng Hoàn toàn tương tự: ba điểm Fe , Z, Fc , Fe , X, Fa thẳng hàng Điều có nghĩa tam giác XY Z Fa Fb Fc phối cảnh với tâm phối cảnh Fe Mệnh đề 1.5 Đường tròn qua chân phân giác ∆ABC chứa điểm Feuerbach Fe Nói cách khác tứ giác XY ZFe tứ giác nội tiếp 14 Chứng minh Từ mệnh đề 1.4 suy ra: ◦ \ \ \ \ ZF e X + ZY X = Fc Fe F a + Fc Fb F a = 180 Ta suy đường tròn (XY Z) qua Fe 1.3 Các công thức khoảng cách 1.3.1 Khoảng cách từ điểm Feuerbach đến đỉnh tam giác Nhắc lại s nửa chu vi tam giác ABC σA (b2 +c2 −a2 ) Tương tự cho σB , σC Các kết tham khảo [3], có giải thích cặn kẽ chứng minh Mệnh đề 1.6 Khoảng cách từ điểm Fe đến đỉnh tam giác ABC : AFe2 (s − a)2 R − rσA (s − b)2 R − rσB (s − c)2 R − rσC 2 = ; BFe = ; CFe = R − 2r R − 2r R − 2r Hình 1.8: Khoảng cách từ Fe đến đỉnh tam giác ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM VĂN TUYẾN MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH ĐIỂM FEUERBACH Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... Trình bày cách giải vấn đề lý để chọn đề tài ? ?Một số vấn đề xung quanh điểm Feuerbach? ?? Mục đích đề tài là: - Trình bày tính chất điểm Feuerbach để từ đưa cách dựng điểm Feuerbach tối ưu - Bằng... trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng năm 20 Người viết Luận văn Phạm Văn Tuyến Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Một định lý đẹp hình học Euclid phẳng định lý Feuerbach: