ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG THƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG THƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG THƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2018 Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu Chương Một số tính chất số cân 1.1 Khái niệm số cân 1.2 Khái niệm số tam giác phương 1.3 Khái niệm số đối cân 1.4 Một số dãy liên quan 1.5 Một số tính chất 1.6 Một số kết Keskin Karaatli 13 Chương Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân 24 2.1 Nghiệm nguyên dương phương trình Pell 25 2.2 Nghiệm nguyên dương số phương trình Diophant 26 2.3 Lũy thừa dãy số cân số Lucas cân 38 2.4 Lũy thừa tích số hạng số cân 45 i 2.5 Lũy thừa tích số Lucas cân 49 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Ngô Văn Định, Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Ngô Văn Định, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Phịng Đào tạo, thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Ngun giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn tốt nghiệp Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hồn thành luận văn Thái Ngun, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Thương iii Mở đầu Một số tự nhiên n gọi số cân với hệ số cân r nghiệm phương trình Diophant + + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) Khái niệm số cân tìm nghiên cứu Behera Panda Sau đó, nhiều tính chất đẹp số cân tìm thấy (xem [1]) Năm 2012, Keskin Karaatli [4] tìm số tính chất số cân bằng, số tam giác phương Bên cạnh việc nghiên cứu tính chất số cân bằng, nhiều nhà toán học nghiên cứu việc sử dụng số cân để giải số dạng phương trình Diophant Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại số tính chất số cân bằng, số tam giác phương số kết việc sử dụng số cân bằng, số Pell, số Lucas cân việc giải phương trình Diophant Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày thành chương: • Chương Một số tính chất số cân Mục đích Chương giới thiệu sơ lược số cân bằng, số tam giác phương trình bày lại kết Keskin Karaatli [4] • Chương Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân Mục đích Chương trình bày lại số kết phương trình Diophant có liên quan đến số cân Tài liệu tham khảo chương [2, 3] Chương Một số tính chất số cân Chương trình bày khái niệm số cân bằng, số đối cân bằng, số tam giác, số tam giác phương số tính chất số cân trình bày tài liệu [4] 1.1 Khái niệm số cân Định nghĩa 1.1.1 Số nguyên dương n gọi số cân + + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) (1.1) với số nguyên dương r Ở r gọi hệ số cân ứng với số cân n Ví dụ 1.1.2 Các số 6, 35 204 số cân với hệ số cân 2, 14 84 Mệnh đề 1.1.3 Nếu n số cân với hệ số cân tương ứng r n2 = (n + r)(n + r + 1) −(2n + 1) + r= √ 8n2 + (1.2) (1.3) Chứng minh Từ (1.1), ta có + + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) ⇒ r(r + 1) (n − 1)n = rn + 2 ⇒ n2 − n = 2rn + r2 + r (∗) ⇒ 2n2 = n2 + 2rn + r2 + n + r ⇒ 2n2 = (n + r)2 + n + r ⇒ 2n2 = (n + r)(n + r + 1) ⇒ n2 = (n + r)(n + r + 1) Thêm nữa, từ (*) suy r2 + (2n + 1)r − n2 + n = Ta có ∆ = 8n2 + > , suy −(2n + 1) ± r= √ 8n2 + Vì r nguyên dương nên −(2n + 1) + r= √ 8n2 + Mệnh đề chứng minh 1.2 Khái niệm số tam giác phương Định nghĩa 1.2.1 Số tam giác số có dạng 1+2+· · ·+n với n ∈ Z+ Nhận xét 1.2.2 Dễ thấy số N số tam giác N viết n(n + 1) dạng N = Định nghĩa 1.2.3 Số N số tam giác phương vừa có n(n + 1) thể viết dạng N = m2 vừa viết dạng N = , tức nghiệm nguyên phương trình m2 = Nhận xét 1.2.4 n(n + 1) Số nguyên dương n số cân n2 số tam giác Do n số cân n2 số tam giác phương Số nguyên dương n số cân 8n2 + số phương 1.3 Khái niệm số đối cân Định nghĩa 1.3.1 Số nguyên dương n gọi số đối cân + + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) (1.4) với số nguyên dương r Ở r gọi hệ số đối cân ứng với số đối cân n Ví dụ 1.3.2 Các số 2, 14 84 số cân với hệ số đối cân 1, 35 Mệnh đề 1.3.3 Nếu n số đối cân với hệ số đối cân tương ứng r n(n + 1) = (n + r)(n + r + 1) −(2n + 1) + r= √ (1.5) 8n2 + 8n + (1.6) Chứng minh Từ (1.4), ta có + + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) ⇒ r(r + 1) n(n + 1) = rn + 2 ⇒ n(n + 1) = 2rn + r2 + r (∗) ⇒ 2n(n + 1) = n(n + 1) + 2rn + r2 + r ⇒ 2n(n + 1) = (n + r)2 + n + r ⇒ n(n + 1) = (n + r)(n + r + 1) Thêm nữa, từ (*) suy r2 + (2n + 1)r − n2 − n = Ta có ∆ = 8n2 + 8n + > , suy √ −(2n + 1) ± 8n2 + 8n + r= Vì r nguyên dương nên r= −(2n + 1) + √ 8n2 + 8n + Mệnh đề chứng minh Định nghĩa 1.3.4 Một số gọi số pronic viết dạng n(n + 1) với n số nguyên dương Nhận xét 1.3.5 Số nguyên dương n số đối cân n(n + 1) số tam giác Do đó, n số đối cân n(n + 1) số tam giác pronic Số nguyên dương n số cân 8n2 + 8n + số phương 1.4 Một số dãy liên quan Trong mục này, chúng tơi trình bày lại khái niệm dãy Fibonaci (Un ) dãy Lucas (Vn ) Định nghĩa 1.4.1 Cho k t hai số tự nhiên khác không Dãy số Fibonaci định nghĩa sau: U0 = 0, U1 = 1, Un+1 = kUn + tUn−1 , ∀n > Dãy số Lucas định nghĩa sau: V0 = 2, V1 = k, Vn+1 = kVn + tVn−1 , ∀n > Các số Fibonaci số Lucas với số âm định nghĩa bởi: U− n = −Un , (−t)n V− n = Vn , (−t)n ∀n > (1.7) Trong trường hợp k = t = (Un ) (Vn ) gọi dãy Fibonaci dãy Lucas cổ điển ký hiệu (Fn ) (Ln ) Các số dãy (Fn ) 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, Các số dãy (Ln ) 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, Trong trường hợp k = 2, t = (Un ) (Vn ) gọi dãy Pell dãy Pell-Lucas ký hiệu (Pn ) (Qn ) Như vậy, ta có P0 = 0, P1 = 1, Pn+1 = 2Pn + Pn−1 , ∀n > Q0 = 2, Q1 = 2, Qn+1 = 2Qn + Qn−1 , ∀n > Một vài số dãy (Pn ) 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, Một vài số dãy (Qn ) 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, Trong trường hợp k = 6, t = −1 ta ký hiệu lại (Un ) (Vn ) (un ) (vn ) Khi u0 = 0, u1 = 1, un+1 = 6un − un−1 , ∀n > v0 = 2, v1 = 6, vn+1 = 6vn − vn−1 , ∀n > Một vài số dãy (un ) 0, 1, 6, 35, 204, Một vài số dãy (vn ) 2, 6, 34, 198, 1154, Hơn nữa, từ (1.7) ta thấy u−n = −un , v−n = , ∀n > 1.5 Một số tính chất Trước tiên, chúng tơi nhắc lại số tính chất dãy (Pn ), (Qn ), (un ) (vn ) Các tính chất hữu ích phần chứng minh − tính chất dãy (yn ) với yn = Định lý 1.5.1 Cho γ δ nghiệm phương trình đặc trưng x2 − 2x − = γ n − δn √ Qn = γ n + δ n , với n ≥ Khi ta có Pn = 2 Định lý 1.5.2 Cho α β nghiệm phương trình đặc trưng x2 − 6x + = Khi ta có αn − β n √ un = (1.8) = α n + β n , với n ≥ Các công thức gọi công thức Binet cho dãy tương ứng Đặt Bn số cân thứ n Khi đó, theo tài liệu [1] ta có số cân tuân theo công thức truy hồi sau Bn+1 = 6Bn − Bn−1 B0 = 1, B1 = Do vậy, ta dễ dàng suy √ n √ n αn − β n (3 + 8) − (3 − 8) √ √ = Bn = (1.9) Từ Định lý 1.5.1 Định lý 1.5.2 ta dễ dàng thấy Bn = un = P2n , Q2n = với n số nguyên dương Do đó, theo tài liệu [4] ta có số tính chất biết (Pn ), (Qn ), (Bn ) (vn ) sau đây: Q2n − 8Pn2 = 4(−1)n , (1.10) vn2 − 32Bn2 = 4, (1.11) Bn2 − 6Bn Bn−1 + Bn−1 = 1, (1.12) Q2n = Q2n + 2(−1)n , (1.13) B2n = Bn , (1.14) P2n = Pn Qn , (1.15) vn2 = v2n + 2, (1.16) Pn+1 + Pn−1 = Qn (1.17) Để thấy rõ mối quan hệ mật thiết số cân số tam giác phương, nhắc lại định lý sau đây, đặc trưng cho tất số tam giác phương Định lý suy trực tiếp từ nhận xét 1.2.4 Định lý 1.5.3 Một số tự nhiên x số tam giác phương x = Bn2 với n số tự nhiên Vì yn = − nên suy vn2 − (vn − 2) Bn = = 32 (vn − 2) +1 = yn (yn + 1) 10 y(y + 1) với x, y số nguyên dương x = Bn y = yn với n số tự nhiên Do đó, thấy x2 = Bây ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 1.5.4 Dãy số (yn ) thỏa mãn hệ thức truy hồi yn+1 = 6yn − yn−1 + 2, với n ≥ 1, y0 = y1 = − nên − vn−1 − 6yn − yn−1 + = − +2 4 6vn − vn−1 − = vn+1 − = Chứng minh Ta có yn = = yn+1 Một số phần tử dãy (yn ) 0, 1, 8, 49, 288 Với n = 1, 2, ta ký hiệu bn số đối cân thứ n (bn ) dãy số đối cân Ta thấy chuỗi số đối cân thỏa mãn hệ thức truy hồi đưa Bổ đề 1.5.4 Tức bn+1 = 6bn − bn−1 + 2, với n ≥ 1, b0 = b1 = Một số phần tử dãy số đối cân 0, 2, 14, 84, 492, Mối quan hệ mật thiết số đối cân bằng, số cân dãy (yn ) thể qua bổ đề sau 11 Bổ đề 1.5.5 Với số n ≥ 1, bn = yn + Bn bn = yn+1 − Bn+1 Bổ đề 1.5.6 Với số n ≥ 1, y2n = 8Bn2 y2n+1 = 8Bn Bn+1 + Chứng minh Áp dụng đẳng thức (1.11) (1.16), ta có Bn2 (vn2 − 4) (v2n − 2) y2n = = = 32 32 Suy y2n = 8Bn2 Mặt khác, từ yn+1 = 6yn − yn−1 + dễ dàng thấy yn = yn+1 + yn−1 − Sử dụng y2n = 8Bn2 ta (y2n+2 + y2n − 2) y2n+1 = (8Bn+1 + 8Bn2 − 2) = 8(Bn+1 + Bn2 ) − = Từ Bn2 + Bn−1 = 6Bn Bn−1 + theo tính chất 1.12, ta có y2n+1 8(Bn+1 + Bn2 ) − = 8(6Bn Bn−1 + 1) − = = 8Bn Bn+1 + Suy điều cần chứng minh Từ tính chất 1.13, ta dễ dàng thu định lý sau Q2n Định lý 1.5.7 Nếu n số tự nhiên lẻ yn = Nếu n số tự Q2n nhiên chẵn yn = − 12 Chứng minh Ta có yn = −2 = Q2n −2 Theo tính chất 1.13 ta có: Nếu n lẻ Q2n = Q2n +2, n chẵn Q2n = Q2n −2 Do đó, n số Q2n Q2n , n số tự nhiên chẵn yn = −1 tự nhiên lẻ yn = 4 Theo bổ đề định lý trên, ta có nhận xét sau Nhận xét 1.5.8 Vì y2n+1 = 8Bn Bn+1 + y2n+1 Q22n+1 = nên Bn Bn+1 số tam giác Theo bổ đề 1.5.6 thấy yn số lẻ n số lẻ yn số chẵn n số chẵn 1.6 Một số kết Keskin Karaatli Dựa vào tính chất nêu mục trước, mục này, chúng tơi trình bày số tính chất số cân số tam giác phương mà Keskin Karaatli tìm trình bày tài liệu [4] Vấn đề quan tâm kết liệu tích hai số cân lớn có phải số cân khơng? Tích hai số tam giác phương lớn liệu có phải số tam giác khơng? Ta thấy câu trả lời không Tương tự, liệu tích hai số pronic có phải số pronic khơng? Ví dụ đơn giản: hai số pronic Tích chúng × = 12 12 = 3(3 + 1) số pronic khác Tương tự 15 hai số tam giác Tích chúng 9(9 + 1) × 15 = 45 45 = số tam giác Dễ dàng thấy tích 13 hai số pronic liên tiếp số pronic [(x − 1)x][x(x + 1)] = (x2 − 1)x2 Trước trình bày kết Keskin Karaatli, nhắc lại số tính chất sau cần thiết cho việc chứng minh sau Định lý 1.6.1 Cho n ∈ N ∪ {0} m, r ∈ Z Khi P2mn+r ≡ (−1)(m+1)n Pr (modQm ), (1.18) Q2mn+r ≡ (−1)(m+1)n Qr (modQm ), (1.19) P2mn+r ≡ (−1)mn Pr (modPm ) (1.20) Q2mn+r ≡ (−1)mn Qr (modPm ) (1.21) Định lý 1.6.2 Cho n ∈ N ∪ {0} m, r ∈ Z Khi B2mn+r ≡ Br (modBm ), (1.22) v2mn+r ≡ vr (modum ), (1.23) B2mn+r ≡ (−1)n Br (modvm ) (1.24) v2mn+r ≡ (−1)n vr (modvm ) (1.25) Từ hai định lý trên, ta chứng minh định lý sau 14 Định lý 1.6.3 Cho m, n ∈ N m ≥ Khi Pm | Pn m | n Định lý 1.6.4 Cho m, n ∈ N m ≥ Khi Qm | Qn n số nguyên lẻ m | n m Định lý 1.6.5 Cho m, n ∈ N m ≥ Khi Qm | Pn n m | n số nguyên chẵn m P2n Vì Bn = = Q2n nên từ định lý đẳng thức 1.24 ta có định lý sau Định lý 1.6.6 Cho m, n ∈ N m ≥ Khi Bm | Bn m | n Định lý 1.6.7 Cho m, n ∈ N m ≥ Khi vm | n m | n số nguyên lẻ m Định lý 1.6.8 Cho m, n ∈ N m ≥ Khi vm | un n m | n số nguyên chẵn m Ta nhắc lại thêm hai định lý sau Định lý 1.6.9 Cho m ≥ n ≥ Khi (Bm , Bn ) = B(m,n) 2 Hệ 1.6.10 Cho m ≥ n ≥ Khi (Bm , Bn2 ) = B(m,n) Định lý 1.6.9 nói ước chung lớn hai số cân lại số cân Như kết luận định lý, Hệ 1.6.10 nói ước chung lớn hai số tam giác phương 15 ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG THƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: ... chất số cân bằng, nhiều nhà toán học nghiên cứu việc sử dụng số cân để giải số dạng phương trình Diophant Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại số tính chất số cân bằng, số tam giác phương số. .. cân bằng, số tam giác phương trình bày lại kết Keskin Karaatli [4] • Chương Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân Mục đích Chương trình bày lại số kết phương trình Diophant có liên quan