Mục tiêu của luận văn là bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời định hướng một số hướng nghiên cứu về sau, thuộc chuyên ngành Toán giải tích. Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt được mục tiêu: Tìm hiểu khái niệm và tính bị chặn của toán tử cực đại Hardy – Littlewood và một số vấn đề quan trọng trong lý thuyết các lớp hàm Muckenhoupt.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Thanh Hải MỘT SỐ CHỦ ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT CÁC LỚP HÀM MUCKENHOUPT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Thanh Hải MỘT SỐ CHỦ ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT CÁC LỚP HÀM MUCKENHOUPT Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan là luận văn tốt nghiệp chính thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Trí Dũng Các nội dung nghiên cứu và kết quả tham khảo luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo TP.HCM, tháng năm 2019 Tác giả Phan Thanh Hải LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với TS Trần Trí Dũng, người đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn tận tình từng bước để tác giả có thể hoàn thành luận văn đúng thời hạn Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn các Thầy cô Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh và Phòng Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt cho tác giả hoàn thành đề tài quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình và tất cả bạn bè, đồng nghiệp công ty đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi thời gian và công việc cho tác giả thời gian học tập và thực hiện luận văn của mình Trân trọng TP.HCM, tháng năm 2019 Tác giả Phan Thanh Hải MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm phân bố và các chuẩn 𝑳𝒑 1.2 Bất đẳng thức Jensen 1.3 Bổ đề phủ 1.4 Nội suy 1.5 Hội tụ từng điểm từ các bất đẳng thức dạng yếu 1.6 Bất đẳng thức Kolmogorov Chương TOÁN TỬ CỰC ĐẠI HARDY-LITTLEWOOD VÀ CÁC LỚP HÀM TRỌNG 𝑨𝒑 2.1 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood 2.2 Bất đẳng thức Fefferman – Stein 11 2.3 Các hàm trọng Muckenhoupt: 13 2.4 Toán tử cực đại trung tâm 𝑴𝝁𝒄 20 2.5 Các hàm trọng và bất đẳng thức dạng mạnh 21 2.6 Toán tử cực đại các sở 23 2.6.1 Cơ sở các hình lập phương nhị nguyên 23 2.6.2 Cơ sở các hình chữ nhật 25 2.6.3 Cơ sở các hình chữ nhật tất cả các hướng 26 2.6.4 Cơ sở các khoảng 𝟎, 𝒃 26 2.6.5 Cơ sở các hình lập phương Carleson 26 2.7 Những tính chất đầu tiên của các lớp hàm trọng 𝑨𝒑 27 2.8 Xây dựng các lớp hàm trọng 𝑨𝟏 32 2.8.1 Cách xây dựng của Coifman 32 2.8.2 Thuật toán Rubio de Francia: 34 2.9 Phân tích nhân tử 36 Chương LỚP HÀM HÖLDER NGƯỢC VÀ LỚP HÀM TRỌNG 𝑨∞ 42 3.1 Bất đẳng thức Hölder ngược cho các lớp hàm trọng 𝑨𝒑 42 3.2 Bổ đề Gehring 48 3.3 Đặc trưng của các lớp hàm trọng 𝑨𝟏 49 3.4 Lớp hàm trọng 𝑨∞ 51 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 𝐿𝑝 (𝜇)là không gian các hàm lũy thừa bậc 𝑝 khả tích ứng với 𝜇; ‖∙‖𝑝,𝜇 là chuẩn; 𝜇(𝐴) là độ đo của 𝐴 ứng với 𝜇 𝐿𝑝 (𝜇) = {𝑓 ∶ ∫ℝ𝑛|𝑓|𝑝 𝑑𝜇 < +∞} Khi 𝜇 là độ đo Lebesgue ta viết gọn là 𝐿𝑝 , ‖∙‖𝑝 và |𝐴| Tương tự, ta không đề cập đến 𝜇 cho tích phân tương ứng với độ đo Lebesgue Khi 𝑑𝜇(𝑥 ) = 𝑤(𝑥 ) 𝑑𝑥, ta viết 𝐿𝑝 (𝑤), ‖∙‖𝑝,𝑤 và 𝑤(𝐴) = ∫ 𝑤 (𝑥 ) 𝑑𝑥 𝐴 𝐿𝑝 (𝑤) = {𝑓 ∶ ∫ℝ𝑛|𝑓|𝑝 𝑤(𝑥 ) 𝑑𝑥 < +∞} 𝑝′ là mũ liên hợp của 𝑝: 1 + ′ = (vớ i = 0) 𝑝 𝑝 ∞ 𝑓 ∈ 𝐿1 (ℝ𝑑 ): ‖𝑓‖ = ∫ℝ𝑑|𝑓(𝑥 )| 𝑑𝑥 𝑝( |𝑝 𝑝 𝑓 ∈ 𝐿 𝜇): ‖𝑓‖ = ‖𝑓‖𝑝,𝜇 = (∫ℝ𝑛|𝑓 𝑑𝜇) 𝑝 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (𝑤): ‖𝑓‖ = ‖𝑓‖𝑝,𝑤 = (∫ℝ𝑛|𝑓|𝑝 𝑤 (𝑥 ) 𝑑𝑥 ) 𝜒𝐴 là hàm đặc trưng của tập A Cho một hình lập phương 𝑄, 𝑙(𝑄) là độ dài cạnh của nó; 𝑘𝑄 là kí hiệu cho hình lập phương có tâm với 𝑄 và 𝑙(𝑘𝑄) = 𝑘𝑙(𝑄) 𝐵(𝑥, 𝑟) là quả cầu tâm 𝑥 với bán kính Cho một hàm trọng 𝑤, xuyên suốt luận văn này ta dùng kí hiệu 𝜎 để ′ ′ 𝑤 1−𝑝 , tức là 𝜎 = 𝑤 1−𝑝 , giá trị của 𝑝 được quy định ngữ cảnh Cho một hàm trọng 𝑤 và một hình lập phương 𝑄, 𝑤𝑄 = 𝑤 𝑄 ess inf 𝑤(𝑥 ) = sup{𝑏 ∶ |{𝑥 ∈ 𝑄: 𝑤(𝑥 ) < 𝑏}| = 0} 𝑤(𝑄) |𝑄| là trung bình của LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích điều hòa hiện đại ngày là một nhánh quan trọng của Toán học và có nguồn gốc từ lý thuyết chuỗi Fourier và tích phân Fourier cổ điển Trong khoảng 60 năm gần đây, giải tích điều hòa hiện đại phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng đa dạng các lĩnh vực như: phương trình đạo hàm riêng, xác suất thống kê, xử lí tín hiệu Lý thuyết các toán tử tích phân cực đại, là một những đối tượng nghiên cứu quan trọng của giải tích điều hòa hiện đại và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, đó toán tử cực đại Hardy – Littlewood là một những ví dụ Các đặc điểm đầy đủ của các hàm trọng w cho toán tử cực đại Hardy – Littlewood bị chặn 𝐿𝑝 (𝑤) được xây dựng bởi B Muckenhoupt và xuất bản năm 1972 Kết quả của Muckenhoupt trở thành một bước ngoặc lý thuyết bất đẳng thức trọng bởi vì hầu hết các kết quả được biết trước đó cho các toán tử cổ điển đạt được cho một số các hàm trọng đặc biệt (như hàm trọng lũy thừa) Trong lý thuyết các lớp hàm Muckenhoupt thì các lớp hàm 𝐴𝑝 và các biến thể của nó là quan trọng Tầm quan trọng của lớp hàm 𝐴𝑝 được nhận rõ sau công trình của Muckenhoupt vì dùng lớp hàm này ta có thể xây dựng được các bất đẳng thức trọng cho một số toán tử quan trọng khác giải tích Fourier tương tự cách xây dựng các bất đẳng thức trọng cho toán tử cực đại Hardy – Littlewood Với tầm quan trọng của lớp hàm trọng 𝐴𝑝 , tin việc nghiên cứu lớp hàm này là một chủ đề cần thiết và thú vị Luận văn trình bày lý thuyết lớp hàm 𝐴𝑝 dùng để chứng minh các bất đẳng thức dạng yếu và dạng mạnh cho toán tử cực đại Hardy – Littlewood và các toán tử cực đại khác Các tính chất chính của các lớp 𝐴𝑝 được nghiên cứu luận văn Luận văn cũng đề cập các toán tử cực đại và các hàm trọng được định nghĩa từ các sở khác, các tính chất của các lớp 𝐴𝑝 thông thường mở rộng lập tức tới các sở này theo cách thiết lập tổng quát, cũng có những tính chất phổ biến không đúng với một vài sở 2 Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu của luận văn là bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời định hướng một số hướng nghiên cứu sau, thuộc chuyên ngành Toán giải tích Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt được mục tiêu: tìm hiểu khái niệm và tính bị chặn của toán tử cực đại Hardy – Littlewood và một số vấn đề quan trọng lý thuyết các lớp hàm Muckenhoupt Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, tác giả thu thập các tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu, tổng hợp và trình bày một số kiến thức bản toán tử cực đại HardyLittlewood, các tính chất của hàm trọng Muckenhoupt Công việc đòi hỏi tác giả phải biết vận dụng các kiến thức chuyên sâu của giải tích Fourier, giải tích hàm, độ đo - tích phân và giải tích thực Nội dung Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số khái niệm và kiến thức cần sử dụng cho các phần sau của luận văn Lý thuyết độ đo tích phân, Giải tích hàm, Giải tích thực Chương Toán tử cực đại Hardy-Littlewood các lớp hàm trọng 𝑨𝒑 Trong chương này nghiên cứu toán tử cực đại Hardy-Littlewood và tính bị chặn của nó, mô tả đặc điểm của các hàm trọng w mà toán tử cực đại Hardy – Littlewood bị chặn 𝐿𝑝 (𝑤) điều kiện 𝐴𝑝 , tính chất của các lớp hàm trọng 𝐴𝑝 , cách xây dựng các lớp hàm trọng 𝐴𝑝 từ các lớp hàm trọng 𝐴1 và phép phân tích nhân tử từ một hàm trọng thuộc lớp 𝐴𝑝 theo hai hàm trọng thuộc lớp 𝐴1 Chương Lớp hàm Hölder ngược lớp hàm trọng 𝑨∞ Chương này dành cho việc nghiên cứu bất đẳng thức Hölder ngược, lớp hàm Hölder ngược, lớp hàm trọng 𝐴∞ và các điều kiện tương đương Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm phân bố các chuẩn 𝑳𝒑 Cho (𝑋, 𝜇) là một không gian đo được và 𝑓: 𝑋 ⟶ ℂ là một hàm đo được Hàm được định nghĩa cho 𝑡 ∈ (0, +∞) bởi 𝜇({𝑥 ∈ 𝑋 ∶ |𝑓 (𝑥 )| > 𝑡}) là hàm phân bố của 𝑓 (liên kết với 𝜇) Ta có thể sử dụng hàm phân bố để đại diện cho chuẩn 𝐿𝑝 (𝜇) của một hàm Bổ đề 1.1: Cho 𝜙 ∶ [0, ∞) ⟶ [0, ∞) khả vi, tăng và 𝜙(0) = Khi đó: ∞ ∫ 𝜙(|𝑓(𝑥 )|) 𝑑𝜇 = ∫ 𝜙 ′ (𝑡)𝜇({𝑥 ∈ 𝑋 ∶ |𝑓(𝑥 )| > 𝑡}) 𝑑𝑡 𝑋 Để chứng minh kết quả này, cần lưu ý vế trái tương đương với: |𝑓(𝑥)| ∫ ∫ 𝜙 ′ (𝑡) 𝑑𝑡𝑑𝜇 𝑋 và sau đó thay đổi thứ tự lấy tích phân Trong trường hợp đặc biệt, 𝜙(𝑡) = 𝑡 𝑝 với 𝑝 > 0, ta có: ∞ ∫ |𝑓(𝑥 )|𝑝 𝑑𝜇 = 𝑝 ∫ 𝑡 𝑝−1 𝜇({𝑥 ∈ 𝑋 ∶ |𝑓(𝑥 )| > 𝑡}) 𝑑𝑡 𝑋 (1.1) Bất đẳng thức Chebyshev: 𝜇({𝑥 ∶ |𝑓(𝑥 )| > 𝑡}) ≤ ∫ {𝑥: |𝑓(𝑥)|>𝑡} |𝑓(𝑥 )|𝑝 𝑑𝜇(𝑥 ) 𝑡𝑝 1.2 Bất đẳng thức Jensen Bổ đề 1.2: (xem [𝟗]) Cho 𝜇 là một độ đo xác suất 𝑋 (nghĩa là 𝜇(𝑋) = 1) và 𝑓 là một hàm dương, khả tích 𝑋 Khi đó hàm: 1/𝑠 ℎ(𝑠) = (∫ 𝑓 𝑠 𝑑𝜇) 𝑋 51 −1 (𝐶𝐶2 )−1 (𝑤(𝑥 )) −1 ≤ 𝑀𝑓(𝑥 )−𝛿 ≤ (𝑤(𝑥 )) −1 ⟺ 𝑤 (𝑥 )(𝐶𝐶2 )−1 (𝑤(𝑥 )) −1 ≤ 𝑏(𝑥 ) ≤ 𝑤(𝑥 )(𝑤(𝑥 )) ⟺ (𝐶𝐶2 )−1 ≤ 𝑏(𝑥 ) ≤ Vậy 𝑏 và 1/𝑏 bị chặn □ Chú ý: Bất đẳng thức Hưlder ngược khơng đúng với một số sở Ví dụ: Chúng ta xét sở 𝔅0 = {(0, 𝑏) ∶ 𝑏 > 0} của (0, ∞) của phần 2.6.4 với liên kết các hàm trọng 𝐴𝑝,𝔅0 Trong [6] có chứng minh các lớp này không thỏa nhiều tính chất được chứng minh chương này với các lớp hàm trọng 𝐴𝑝 Chẳng hạn ta có các kết quả sau [6]: Tồn tại 𝑤 ∈ 𝐴𝑝,𝔅0 cho 𝑤 ∉ 𝐴𝑞,𝔅0 với bất kỳ 𝑞 < 𝑝 Một ví dụ là 𝑤 = 𝑢1−𝑝 với ∞ 𝑤(𝑥 ) = 𝜒Ωc (𝑥 ) + ∑ 𝑘=1 𝜒 (𝑥 ), (𝑥 − 2𝑘 )2 𝐼𝑘 đó 𝐼𝑘 = (2𝑘 + 2−𝑘 , 2𝑘 + 1) và Ω = ⋃∞ k=1 𝐼𝑘 Hàm 𝑢 này thuộc 𝐴𝑝,𝔅0 với mọi 𝑝 ∈ (1, ∞) , không thỏa mãn mợt bất đẳng thức Hưlder ngược các khoảng của dạng (0, 𝑏) Mặt khác, một hàm trọng có thể thỏa mãn mợt bất đẳng thức Hưlder ngược các tập thuộc 𝔅0 và triệt tiêu một tập có độ đo dương Một ví dụ là 𝜒(0,1)∪(2,∞) , hàm trọng này không thuộc bất kỳ 𝐴𝑝,𝔅0 nào 3.4 Lớp hàm trọng 𝑨∞ Ta bắt đầu phần này định lý sau: Định lý 3.7: (xem [5, trang 38]) Hợp của các lớp 𝐴𝑞 với 𝑞 < 𝑝 với 𝐴𝑝 Chứng minh Từ tính chất (ii) của Định lý 2.17 ta suy được: ⋃𝑞 nên 𝑞 ′ > 1, suy 𝑞 > Do 𝑟 > nên 𝑞 ′ > 𝑝′ nên 𝑞 < 𝑝 Từ bất đẳng thức ta suy 𝑟 ( 𝐶 ′ ∫ 𝑤 (1−𝑝 )𝑟 ) ≤ ∫ 𝑤 1−𝑝′ |𝑄 | |𝑄 | 𝑄 𝑄 Tức là ′ 𝑤 1−𝑞 (𝑄) ( ) |𝑄 | 𝑞−1 ′ ≤𝐶 𝑟(𝑞−1) 𝑤 1−𝑝 (𝑄) ( ) |𝑄 | 𝑟(𝑞−1) ′ =𝐶 𝑟(𝑞−1) 𝑤 1−𝑝 (𝑄) ( ) |𝑄 | (𝑝−1) Suy ′ 𝑤(𝑄) 𝑤 1−𝑞 (𝑄) ( ) |𝑄 | |𝑄 | 𝑞−1 ′ 𝑤(𝑄) 𝑤 1−𝑝 (𝑄) ≤ 𝐶 𝑟(𝑞−1) ( ) |𝑄 | |𝑄 | (𝑝−1) Do đó ′ 𝑞−1 𝑤(𝑄) 𝑤 1−𝑞 (𝑄) sup ( ) |𝑄 | |𝑄 | 𝑄 ′ (𝑝−1) 𝑤 (𝑄) 𝑤 1−𝑝 (𝑄) 𝑟(𝑞−1) ≤𝐶 sup ( ) |𝑄 | |𝑄 | 𝑄 < +∞ (do 𝑤 ∈ 𝐴𝑝 ) Suy 𝑤 ∈ 𝐴𝑞 Vậy ∀𝑤 ∈ 𝐴𝑝 , tồn tại 𝑞 < 𝑝 cho 𝑤 ∈ 𝐴𝑞 Suy 𝐴𝑝 ⊂ ⋃𝑞1 Lớp 𝐴∞ được giới thiệu lần đầu tiên bởi B Muckenhoupt [15] và bởi R R Coifman và C Fefferman [2] Muckenhoupt định nghĩa 𝐴∞ là lớp các hàm trọng 𝑤 thỏa mãn điều kiện sau: cho trước 𝜖 > tồn tại 𝛿 > cho nếu 𝑄 là một hình lập phương, 𝐸 ⊂ 𝑄 và |𝐸 | < 𝛿 |𝑄|, đó 𝑤 (𝐸 ) < 𝜖𝑤(𝑄) Định nghĩa được 53 chọn bởi Coifman và Fefferman sau: có các số 𝐶, 𝛿 > cho với hình lập phương 𝑄 bất kỳ và 𝐸 ⊂ 𝑄 đo được bất kỳ thỏa 𝛿 |𝐸 | 𝑤 (𝐸 ) ≤ 𝐶( ) |𝑄 | 𝑤 (𝑄) (3.4) Định lý tiếp theo cho ta nhiều đặc trưng tương đương của lớp 𝐴∞ Định lý 3.9: (xem [5, trang 39,42]) Cho 𝑤 là một hàm khả tích địa phương không âm ℝ𝑛 Khi đó các điều sau là tương đương: (1) 𝑤 ∈ ⋃ 𝐴𝑝 1 và 𝛼 < cho với mọi hình lập phương 𝑄 và 𝑡 > 𝑤𝑄−1 ta có 54 |{𝑥 ∈ 𝑄 ∶ 𝑤(𝑥 ) ≤ 𝑡 −1 }| ≤ 𝐶𝑡𝑤({𝑥 ∈ 𝑄 ∶ 𝑤(𝑥 ) ≤ (𝛼𝑡)−1 }) (8) Tồn tại 𝛿, 𝐶 > cho (3.4) đúng với mọi hình lập phương 𝑄 và mọi tập 𝐸 đo được chứa 𝑄 (9) Tồn tại 𝛼, 𝛽 ∈ (0,1) cho với mọi hình lập phương 𝑄 ta có: |{𝑥 ∈ 𝑄 ∶ 𝑤 (𝑥 ) ≤ 𝛼𝑤𝑄 }| ≤ 𝛽|𝑄| (10) Tồn tại 𝐶 > và 𝛽 < cho với mọi hình lập phương 𝑄 và 𝑡 > 𝑤𝑄 ta có: 𝑤({𝑥 ∈ 𝑄 ∶ 𝑤 (𝑥 ) > 𝑡}) ≤ 𝐶𝑡|{𝑥 ∈ 𝑄 ∶ 𝑤(𝑥 ) > 𝛽𝑡}| Chứng minh (1) ⟹ (2) suy từ Bổ đề 3.2 (2) ⟹ (3): là vì ta dùng tính chất (2) Bổ đề 3.2 để chứng minh hàm 𝑤 thỏa bất đẳng thức Hưlder ngược Mặc dù bở đề và định lý có phát biểu 𝑤 ∈ 𝐴𝑝 dò lại chứng minh Định lý 3.1 thì để chứng minh bất đẳng thức Hölder cho 𝑤 thì ta cần dùng bất đẳng thức Bổ đề 3.2, tức tính chất (2), mà không cần 𝑤 ∈ 𝐴𝑝 Chứng minh không bị ảnh hưởng gì Trong chứng minh đó mặc dù có dùng số [𝑤]𝐴exp thực chất thì ta thay đó số 𝐶 bất đẳng thức của Bổ đề 3.2 (3) ⟹ (4): Giả sử 𝑤 thỏa (3.1) (với lũy thừa 𝑟) Khi đó sử dụng bất đẳng thức Hölder, ta có 𝑟 𝑟′ 𝑟 𝑟 𝑟 ′ ∫ 𝑀(𝑤𝜒𝑄 ) ≤ (∫ 𝑀(𝑤𝜒𝑄 ) ) (∫ 1𝑟 ) = (∫ 𝑀(𝑤𝜒𝑄 ) ) |𝑄|𝑟′ 𝑄 𝑄 𝑄 𝑄 𝑟 1 ≤ 𝐶 (∫ 𝑤 𝑟 ) |𝑄|𝑟′ (do Định lý 2.1) ≤ 𝐶 |𝑄|𝑟−1 |𝑄|𝑟′ ∫ 𝑤 𝑄 𝑄 = 𝐶𝑤 (𝑄) (do Định lý 3.1) (trong chứng minh đã sử dụng bất đẳng thức Hölder, tính bị chặn của 𝑀 𝐿𝑟 và (3.1)) (4) ⟹ (5): Theo bất đẳng thức tích phân (2.16), 55 𝑡 𝑤 ≤ 2𝑛 |{𝑥 ∈ 𝑄 ∶ 𝑀(𝑤𝜒𝑄 )(𝑥 ) > 𝑡}|, ∫ {𝑥∈𝑄∶𝑤(𝑥)>𝑡} với 𝑡 > 𝑤𝑄 ta có: lấy tích phân hai vế theo 𝑡 ∞ ∫ 𝑡 𝑤𝑄 ∞ 𝑤(𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ≤ 2𝑛 ∫|{𝑥 ∈ 𝑄 ∶ 𝑀(𝑤𝜒𝑄 )(𝑥 ) > 𝑡}| 𝑑𝑡 ∫ {𝑥∈𝑄∶𝑤(𝑥)>𝑡} 𝑤𝑄 ≤ 2𝑛 ∫ 𝑀(𝑤𝜒𝑄 ) 𝑄 Số hạng đầu tiên cho vế trái của (5) và (4) cho vế phải của (5): ∞ ∫ 𝑤𝑄 max(𝑤(𝑥),𝑤𝑄 ) 𝑡 𝑤(𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 == ∫ 𝑤 (𝑥 ) ∫ {𝑥∈𝑄∶𝑤(𝑥)>𝑡} = ∫ 𝑤 (𝑥 ) 𝑙𝑜𝑔+ 𝑄 ∫ 𝑄 𝑤𝑄 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑡 𝑤(𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑤𝑄 (với 𝑙𝑜𝑔+ (𝑦) = max(ln(𝑦) , 1)) Suy ∫ 𝑤(𝑥 ) 𝑙𝑜𝑔+ 𝑄 𝑤 (𝑥 ) 𝑑𝑥 ≤ 2𝑛 ∫ 𝑀(𝑤𝜒𝑄 ) ≤ 2𝑛 𝐶𝑤(𝑄) (vì ta giả sứ có (4)) 𝑤𝑄 𝑄 (5) ⟹ (6): lấy 𝐸 ⊂ 𝑄 cho |𝐸 | < 𝛼|𝑄| Ta chứng minh bất đẳng thức: 𝑎𝑏 ≤ 𝑎 log 𝑎 − 𝑎 + 𝑒 𝑏 , 𝑎 > và 𝑏 > Thật vậy, xét 𝑓(𝑎) = 𝑎 log 𝑎 − 𝑎 + 𝑒 𝑏 − 𝑏𝑎 ⟹ 𝑓 ′ (𝑎) = log 𝑎 − 𝑏 𝑓 ′ (𝑎) = ⟺ 𝑎 = 𝑒 𝑏 Bảng biến thiên: 𝑎 𝑓 ′ (𝑎) 𝑒𝑏 − 𝑓(𝑎) Suy +∞ + 56 𝑎𝑏 ≤ 𝑎 log 𝑎 − 𝑎 + 𝑒 𝑏 ⟹ 𝑎 ≤ 𝑎 log 𝑎 + 𝑒 𝑏 vớ i a > và b > 𝑏+1 Giả sử 𝑤𝑄 = (do đó 𝑤 (𝑄) = |𝑄|) Áp dụng bất đẳng thức với 𝑎 = 𝑤 và (5) thì: 𝑤(𝐸 ) = ∫ 𝑤 = 𝐸 ∫ 𝑤+ 𝐸∩{𝑤≤1} = |𝐸 | + ∫ 𝐸∩{𝑤>1} 𝑤 log + 𝑤 + 𝑒 𝑏 𝑤 ≤ ∫1+∫ 𝑏+1 𝐸 𝐸 ∫ (𝑤 log + 𝑤 + 𝑒 𝑏 ) 𝑏+1 𝐸 = |𝐸 | + 1 ∫ 𝑒𝑏 + ∫ 𝑤 log + 𝑤 𝑏+1 𝑏+1 𝐸 𝐸 𝑏 ≤ (1 + 𝑒 ) |𝐸 | + ∫ 𝑤 log + 𝑤 𝑏+1 𝑏+1 𝑄 𝑒𝑏 𝑒𝑏 𝐶 |𝑄 | ≤ (1 + ) |𝐸 | + 𝐶𝑤 (𝑄 ) = (1 + ) |𝐸 | + 𝑏+1 𝑏+1 𝑏+1 𝑏+1 𝑒𝑏 𝐶 |𝑄 | , ≤ 𝛼 (1 + ) |𝑄 | + 𝑏+1 𝑏+1 𝑒𝑏 đó 𝐶 là số của (5) Với 𝑏 = 2𝐶 − 1, chọn 𝛼 cho 𝛼 (1 + )< ∙ 𝑏+1 Khi đó: 𝑤(𝐸 ) ≤ 1 |𝑄| + |𝑄| = |𝑄| 4 Do 𝑤 (𝑄) = |𝑄|, (6) đúng cho 𝛼 đã chọn và 𝛽 = 3/4 (6) ⟹ (6′ ): Xét 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝑄 ∶ 𝑤 (𝑥 ) ≥ 𝑤𝑄 } 𝛼 Suy 𝑤 −1 (𝑥 ) ≤ 𝛼 , ∀𝑥 ∈ 𝐸 𝑤𝑄 Ta có |𝐸 | = ∫ = ∫ 𝑤 −1 𝑤 ≤ 𝐸 𝐸 |𝑄 | 𝛼 𝛼 ∫ 𝑤= 𝑤 (𝐸 ) = 𝛼 𝑤 (𝐸 ) ≤ 𝛼|𝑄| 𝑤𝑄 𝐸 𝑤𝑄 𝑤 (𝑄) (do 𝐸 ⊂ 𝑄) Áp dụng (6) ta có 𝑤 (𝐸 ) ≤ 𝛽𝑤(𝑄) (6′ ) ⟹ (6): lấy 𝐸 ⊂ 𝑄 Khi đó: 57 𝑤 (𝐸 ) ≤ 𝑤 ({𝑥 ∈ 𝐸 ∶ 𝑤 (𝑥 ) ≥ 𝑤𝑄 𝑤𝑄 }) + 𝑤 ({𝑥 ∈ 𝐸 ∶ 𝑤(𝑥 ) < }) 𝛼 𝛼 Do (6′ ) nên: 𝑤 ({𝑥 ∈ 𝐸 ∶ 𝑤(𝑥 ) ≥ Đặt 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐸 ∶ 𝑤(𝑥 ) < 𝑤𝑄 } ⊂ 𝐸, ta có 𝛼 𝑤𝑄 𝑤𝑄 𝑤𝑄 𝑤𝑄 |𝐹 | ≤ |𝐸 | (vì 𝐹 ⊂ 𝐸 ) ≤ ∫ 1= 𝛼 𝛼 𝐹 𝛼 𝛼 𝑤(𝐹 ) = ∫ 𝑤 ≤ ∫ 𝐹 𝑤𝑄 }) ≤ 𝛽𝑤(𝑄) 𝛼 𝐹 Suy 𝑤(𝐸 ) ≤ 𝛽𝑤(𝑄) + 𝑤𝑄 |𝐸 | 𝑤 (𝑄) |𝐸 | = (𝛽 + ) 𝑤 (𝑄) (do 𝑤𝑄 = ) |𝑄 | 𝛼 𝛼 |𝑄 | Chọn 𝛼 ′ cho 𝛽′ = 𝛽 + 𝛼′ 𝛼 < Khi đó (6) đúng với 𝛼 ′ và 𝛽 ′ thay vì 𝛼 và 𝛽 (Nghĩa là ta chọn 𝛼 ′ < cho 𝛽 + 𝛼′ 𝛼 < 1, ta làm được điều đó vì 𝛼 > và 𝛼′ 𝛽 < Rồi đặt 𝛽 ′ = 𝛽 + Khi đó nếu |𝐸 | < 𝛼 ′ |𝑄| thì 𝑤 (𝐸 ) < 𝛽 ′ 𝑤(𝑄)) 𝛼 (6) ⟹ (7): Độ đo 𝑤 (𝑥 ) 𝑑𝑥 có tính chất doubling (6) (Tính chất doubling được thấy rõ nếu (6) được viết dưới dạng: |𝐸 | ≥ (1 − 𝛼 )|𝑄| kéo theo 𝑤 (𝐸 ) ≥ (1 − 𝛽 )𝑤(𝑄) Điều này được suy cách áp dụng (6) cho 𝑄\𝐸 thay vì 𝐸 Thật vậy, ta chọn 𝐸 cho |𝑄\𝐸 | ≤ 𝛼|𝑄| (tương đương với |𝑄| − |𝐸 | ≤ 𝛼|𝑄| hay |𝐸 | ≥ (1 − 𝛼 )|𝑄|), thì theo (6) ta có 𝑤(𝑄\𝐸 ) ≤ 𝛽𝑤(𝑄) (tương đương với 𝑤(𝐸 ) ≥ (1 − 𝛽 )𝑤(𝑄)) Suy 𝑤 (𝑄) ≤ 1 𝑙(𝐸 ) 𝑤(𝐸 ) = 𝑤( ∗ 0.5𝑄) (1 − 𝛽 ) (1 − 𝛽 ) 𝑙(0.5𝑄) |𝑄 | 0.5𝑛 𝑙(𝑄)𝑛 ( ) = 𝑤 0.5𝑄 = 𝑤 (0.5𝑄) (1 − 𝛽 ) |𝑙(𝐸 )|𝑛 2𝑛 (1 − 𝛽 ) |𝐸 | ≤ 𝑤(0.5𝑄 ) 2𝑛 (1 − 𝛼 )(1 − 𝛽 ) Vậy ta có 𝑤(𝑄) ≤ 𝐶𝑤 (0.5𝑄) với mọi 𝑄 Do đó 𝑤(𝑥 ) 𝑑𝑥 có tính chất doubling 58 Khi đó ta có thể áp dụng các kết quả được đề cập chú ý 2.16 cách lấy hàm 𝑤 −1 là 𝑓 Với 𝑡 > |𝑄|/𝑤(𝑄), ta có một dãy {𝑄𝑗 } của các hình lập phương nhị nguyên 𝑄 mà 𝑡< |𝑄𝑗 | 𝑤(𝑄𝑗 ) < 𝐶𝑡 (∗) (Bất đẳng thức này suy từ tính chất ở 2.6.1 Chương 2, thay 𝐶 = 2𝑛 ở cuối ghi chú 2.16 Xem thêm cách xây dựng và tính chất của {𝑄𝑗 } phần 2.6.1) Hơn nữa, tập {𝑥 ∈ 𝑄: 𝑤 (𝑥 ) ≤ 𝑡 −1 } được chứa (cho đến một tập có độ đo 0) hợp của các hình lập phương 𝑄𝑗 , bởi vì hầu khắp nơi 𝑥 bên ngoài hợp này ta có 𝑤 −1 (𝑥 ) ≤ 𝑡 (do tính chất ở 2.6.1) Ta suy |{𝑥 ∈ 𝑄 ∶ 𝑤(𝑥 ) ≤ 𝑡 −1 }| ≤ ∑|𝑄𝑗 | ≤ 𝐶𝑡 ∑ 𝑤(𝑄𝑗 ) (∗∗) 𝑗 𝑗 (Bất đẳng thức thứ là tập {𝑥 ∈ 𝑄 ∶ 𝑤(𝑥 ) ≤ 𝑡 −1 } chứa hợp của các hình lập phương 𝑄𝑗 , bất đẳng thức thứ hai là bất đẳng thức (*)) Sử dụng (6′ ) (Do (6’) đã chứng minh tương đương với (6) nên ta có thể sử dụng (6’) chứng minh (6) ⟹ (7)), ta có : 𝑤(𝑄𝑗 ) ≤ 𝑤 ({𝑥 ∈ 𝑄𝑗 ∶ 𝑤(𝑥 ) < (do 𝑤(𝑄𝑗 ) = 𝑤 ({𝑥 ∈ 𝑄𝑗 ∶ 𝑤(𝑥 ) < 𝑤 𝑄𝑗 𝛼 𝑤𝑄𝑗 𝛼 }) + 𝛽𝑤(𝑄𝑗 ) }) + 𝑤 ({𝑥 ∈ 𝑄𝑗 ∶ 𝑤(𝑥 ) ≥ 𝑤 𝑄𝑗 𝛼 }), số hạng thứ hai của bdt có được là (6’)) Do 𝑤𝑄𝑗 < 𝑡 −1 bởi cách xây dựng (cũng chính là bất đẳng thức thứ (*)), ta có: 𝑤(𝑄𝑗 ) ≤ 𝑤({𝑥 ∈ 𝑄𝑗 ∶ 𝑤 (𝑥 ) < (𝛼𝑡)−1 }) 1−𝛽 Lấy tổng theo 𝑗 ta có (7) (do (**)) (7) ⟹ (1): 59 Cho 𝜖 > Ta có: (áp dụng Bổ đề 1.1, tương tự phần chứng minh Định lý 3.1) ∞ ∫ 𝑤 −𝜖 ≤ 𝜖 ∫ 𝑡 𝜖−1 |{𝑥 ∈ 𝑄 ∶ 𝑤(𝑥 )−1 > 𝑡}| 𝑑𝑡 𝑄 ∞ 𝜖 |𝑄 | ≤( ) |𝑄| + 𝜖 ∫ 𝑡 𝜖 𝑤({𝑥 ∈ 𝑄 ∶ 𝑤(𝑥 )−1 > 𝛼𝑡})𝑑𝑡 𝑤(𝑄) −1 𝑤𝑄 𝜖 |𝑄 | 𝜖 ≤( ) |𝑄| + 1+𝜖 ∫ 𝑤 −(1+𝜖) 𝑤 ( ) ( ) 𝑤 𝑄 𝛼 1+𝜖 𝑄 Chọn 𝜖 đủ nhỏ thì số hạng cuối được hấp thu bởi số hạng đầu tiên và ta có 1/𝜖 ( ∫ 𝑤 −𝜖 ) |𝑄 | 𝑄 𝑤 (𝑄 ) ≤ 𝐶 |𝑄 | Đây là điều kiện 𝐴𝑝 cho 𝑝 = + 1/𝜖 Bây giờ lấy 𝑞 > bất kì Ta chọn được 𝜖 > để 𝑞 < 𝑝 = + 1/𝜖 Mà 𝑤 ∈ 𝐴𝑝 , suy 𝑤 ∈ 𝐴𝑞 theo tính chất (ii) của định lý 2.18 □ Chú ý bước cuối của chứng minh nói 𝑤 −1 thỏa mợt bất đẳng thức Hưlder ngược với lũy thừa + 𝜖 theo độ đo 𝑤(𝑥 ) 𝑑𝑥 Do đó, điều kiện 𝐴𝑝 tự nó là một dạng của bất đẳng thức Hölder ngược (3) ⟹ (8): Sử dụng bất đẳng thức Hölder và (3.1) ta có: 1/𝑟 𝑤(𝐸 ) = ∫ 𝑤 ≤ (∫ 𝑤 𝑟 ) 𝐸 ′ |𝐸 |1/𝑟 ≤ 𝐶 𝑄 1 𝑟′ | | 𝑤(𝑄) 𝐸 |𝑄| |𝑄|−1/𝑟 1/𝑟 ′ |𝐸 | ≤ 𝐶( ) |𝑄 | 𝑤(𝑄) Suy (8) (8) ⟹ (3): Ta có thể giả sử 𝑤𝑄 = 1, nghĩa là, 𝑤(𝑄) = |𝑄| (nhân với một số nếu cần thiết) Đặt 𝐸𝑡 = {𝑥 ∈ 𝑄 ∶ 𝑤(𝑥 ) > 𝑡} Do ta giả sử (8) nên áp dụng 60 (3.4) ta có: 𝑤(𝐸𝑡 ) ≤ 𝐶 |𝐸𝑡 |𝛿 |𝑄|−𝛿 𝑤(𝑄) = 𝑤(𝐸𝑡 ) ≤ 𝐶 |𝐸𝑡 |𝛿 |𝑄|1−𝛿 (do 𝑤 (𝑄) = |𝑄|) Mặt khác: 𝑤 (𝐸𝑡 ) = ∫ 𝑤 (𝑥 )𝑑𝑥 ≥ ∫ 𝑡𝑑𝑥 = 𝑡 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑡|𝐸𝑡 | 𝐸𝑡 𝐸𝑡 𝐸𝑡 Do đó: 𝑡|𝐸𝑡 | ≤ 𝑤(𝐸𝑡 ) ≤ 𝐶 |𝐸𝑡 |𝛿 |𝑄|1−𝛿 , nên|𝐸𝑡 | ≤ 𝐶𝑡 1/(1−𝛿) |𝑄| Khi đó : ∞ ∞ ∫ 𝑤 𝑟 = 𝑟 ∫ 𝑡 𝑟−1 |𝐸𝑡 | 𝑑𝑡 ≤ |𝑄| + 𝐶𝑟 ∫ 𝑡 𝑟−1−1/(1−𝛿) |𝑄| 𝑑𝑡 𝑄 (Chứng minh tương tự phần chứng minh Định lý 3.1) Chọn 𝑟 < 1/(1 − 𝛿 )ta có ∫ 𝑤 𝑟 ≤ |𝑄 | + 𝐶 𝑄 1 ((1−𝛿)) − 𝑟 𝑟 |𝑄 | = 𝐶 |𝑄 | Suy 𝑟 ( 𝐶 ∫ 𝑤 𝑟 ) ≤ 𝐶 = 𝐶𝑤𝑄 = ∫ 𝑤 (do 𝑤(𝑄) = |𝑄|) |𝑄 | |𝑄 | 𝑄 𝑄 Điều kiện (6) có thể được đảo lại: 𝑤 (𝐸 ) < (1 − 𝛽 )𝑤(𝑄) kéo theo |𝐸 | < (1 − 𝛼 )|𝑄| (đây chính là mệnh đề đảo của mệnh đề (6) thay tập 𝐸 thành tập 𝑄\𝐸) Khi đó chứng minh tương tự ta suy (6′ ) và (7) từ (6), đó ta thay đổi vai trò của 𝑤(𝑥 ) 𝑑𝑥 và độ đo Lebesgue để suy (9) và (10) Từ (10) chứng minh tương tự phần (7) ⟹ (1) ta suy bất đẳng thức Hölder ngược cho 𝑤, tức là có (8) Để chứng minh (9) suy (10) thì chứng minh tương tự (6′ ) suy (7) (tức là kết hợp (6′ ) suy (6) và (6) suy (7)) cách đổi vai trò của 𝑤(𝑥 ) 𝑑𝑥 và độ đo Lebesgue □ Định lý 3.10: (xem [5, trang 43]) Cho 𝜙 là một hàm không giảm xác định (1, +∞) với giá trị [0, +∞) cho lim 𝜙(𝑡) = +∞ và 𝑡→+∞ 61 𝜙(𝑡) = vớ i mọi 𝑟 > 𝑡→+∞ 𝑡 𝑟−1 lim Cho 𝑤 là một hàm khả tích và không âm Điều kiện dưới cũng là tương đương với tất cả các điều kiện định lý 3.9 (11) Tồn tại 𝐶 > cho với mọi hình lập phương 𝑄 ta có: 𝑤 (𝑥 )𝜙 ( ∫ {𝑥∈𝑄∶𝑤(𝑥)>𝑤𝑄 } 𝑤(𝑥 ) ) 𝑑𝑥 ≤ 𝐶𝑤 (𝑄) 𝑤𝑄 (3.5) Chứng minh (3) ⟹ (11): Giả sử 𝑤 thỏa (3.1) với lũy thừa 𝑟 Do lim 𝜙(𝑡) 𝑡→+∞ 𝑡 𝑟−1 = nên dễ dàng chứng minh 𝜙(𝑡) ≤ 𝐶𝑡 𝑟−1 Do đó ta có: ∫ {𝑥∈𝑄∶𝑤(𝑥)>𝑤𝑄 } 𝑤(𝑥 ) 𝑤𝑟 𝑤 (𝑥 )𝜙 ( ) 𝑑𝑥 ≤ 𝐶 ∫ 𝑟−1 = 𝐶 𝑟−1 ∫ 𝑤 𝑟 ≤ 𝐶𝑤 (𝑄) 𝑤𝑄 𝑤𝑄 𝑤𝑄 𝑄 𝑄 (do (3.1)) Tức là ta có (11) (11) ⟹ (6): Từ giả thiết (11) ta chứng minh tính chất (6) của Định lý 3.9 Với 𝑠 > 𝜙(1), định nghĩa 𝜙 −1 (𝑠) = sup{𝑡 ∶ 𝜙(𝑡) ≤ 𝑠} Cho trước 𝐸 ⊂ 𝑄, đặt 𝐸1 = {𝑥 ∈ 𝐸: 𝑤(𝑥 ) ≤ 𝜙 −1 (2𝐶 )𝑤𝑄 }, đó 𝐶 là số (5.2), và 𝐸2 = 𝐸\𝐸1 Ta có: ∫ 𝑤 ≤ 𝜙 −1 (2𝐶 )𝑤𝑄 |𝐸 |, 𝐸1 (vì ∀𝑥 ∈ 𝐸1 thì 𝑤(𝑥 ) ≤ 𝜙 −1 (2𝐶 )𝑤𝑄 ) và ∫𝑤≤ 𝐸2 2𝐶 ∫ 𝑤(𝑥 )𝜙 ( {𝑥∈𝑄∶𝑤(𝑥)>𝑤𝑄 } 𝑤(𝑥 ) ) 𝑑𝑥 ≤ 𝑤(𝑄) (do (11)) 𝑤𝑄 Cộng cả hai ước lượng lại ta có: 𝑤(𝐸 ) ≤ (𝜙 −1 (2𝐶 ) |𝐸 | + ) 𝑤(𝑄) |𝑄 | 62 Chọn 𝛼 cho 𝜙 −1 (2𝐶 ) < 1/4, ta suy (6) đúng với 𝛽 = 3/4 (do đó thì |𝐸| ≤ 𝛼|𝑄|) □ Thực tế ta có thể suy các đặc tính khác cho các hàm 𝜙 khác Ví dụ chọn 𝜙(𝑡) = log 𝑡 thì ta có điều kiện (5) trước đó của định lý 3.9 Ta cũng có thể chọn 𝜙 với độ tăng nhỏ log 𝑡 Chú ý 3.11: Đặc trưng của 𝐴∞ chương này là đúng cho các lớp hàm 𝐴𝑝 thông thường, không cần thiết cho các hàm trọng liên kết với các sở tổng quát theo nghĩa của Phần 2.6 Chúng ta đã đề cập Phần 3.3 điều kiện (1) và (3) của Định lý 3.9 cho sở 𝔅0 = {(0, 𝑏) ∶ 𝑏 > 0} của (0, ∞)là độc lập Một kết quả khác [2] có các hàm trọng thỏa (2) không thỏa (1) Một ví dụ là: ∞ 𝑤(𝑥 ) = 𝜒Ωc (𝑥 ) + ∑(𝑥 − 2𝑘 )𝑘 𝜒𝐼𝑘 (𝑥 ), 𝑘=1 đó 𝐼𝑘 = (2𝑘 , 2𝑘 + 1) và Ω = ⋃∞ k=1 𝐼𝑘 63 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn đã trình bày một cách hệ thống lý thuyết các lớp hàm Muckenhoupt và áp dụng của lý thuyết đó vào nghiên cứu tính bị chặn của toán tử cực đại Hardy – Littlewood Các kết quả được trình bày phần lớn tham khảo từ tài liệu “Forty years of Muckenhoupt weights” của tác giả Javier Duoandikoetxea (2013) Đóng góp chính của luận văn là đã cũng cấp các chứng minh đầy đủ chi tiết các nghiên cứu của các tác giả các tài liệu tham khảo Quá trình hoàn thành luận văn này đã thực sự giúp ích cho người viết biết được nhiều kiến thức mới và thú vị, cách tiếp cận các kiến thức này cũng là những điều hết sức bổ ích cho quá trình học tập và nghiên cứu sau này Qua việc hoàn thành luận văn, người viết đã tìm hiểu nhiều các tài liệu tham khảo liên quan và hiểu biết sâu sắc toán tử nói chung và toán tử cực đại Hardy – Littlewood nói riêng, lý thuyết lớp hàm 𝐴𝑝 dùng để chứng minh các bất đẳng thức dạng yếu và dạng mạnh cho toán tử cực đại Hardy – Littlewood và các toán tử cực đại khác Nhờ vậy người viết được củng cố thêm kiến thức Giải tích hàm, Giải tích thực Tác giả mong được có điều kiện tiếp tục tìm hiểu những áp dụng cũng được nghiên cứu các vấn đề liên quan đến luận văn này 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S M Buckley (1993), Estimates for operator norms on weighted spaces and reverse Jensen inequalities, Trans Amer Math Soc 340, no 1, 253-272 MR1124164 (94a:42011) [2] R R Coifman and C Fefferman (1974), Weighted norm inequalities for maximal functions and singular integrals, Studia Math 51, 241-250 MR0358205 (50 #10670) [3] R Coifman, P W Jones and J L Rubio de Francia (1983), Constructive decomposition of BMO functions and factorization of 𝐴𝑝 weights, Proc Amer Math Soc 87, no 4, 675-676 MR687639 (84c:42031) [4] D Cruz-Uribe and C J Neugebauer (1995), The structure of the reverse Hölder classes, Trans Amer Math Soc 347, no 8, 2941-2960 MR1308005 (95m:42026) [5] Javier Duoandikoetxea (2013), Forty years of Muckenhoupt weights, Conference paper: Spring School on Analysis Paseky, Volume: Function Spaces and Inequalities, Lecture Notes Paseky nad Jizerou (J Lukes, L Pick ed.), Matfyzpress, Praga, pp 23-75 [6] J Duoandikoetxea, F J Martín-Reyes, và S Ombrosi, Calderón weights as Muckenhoupt weights, Indiana Univ Math J., to appear Available at http://www.iumj.indiana.edu/IUMJ/forthcoming.php [7] J B Garnett (1981), Bounded analytic functions, Pure and Applied Mathematics, vol 96, Academic Press Inc., New York MR628971 (83g:30037) [8] F W Gehring (1973), The 𝐿𝑝 -integrability of the partial derivatives of a quasiconformal mapping, Acta Math 130, 265-277 MR0402038 (53 #5861) [9] L Grafakos (2008), Classical Fourier Analysis, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics, vol 249, Springer, NewYork MR2445437 (2011c:42001) [10] L Grafakos (2009), Modern Fourier Analysis, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics, vol 250, Springer, New York MR2463316 (2011d:42001) 65 [11] A K Lerner (2008), An elementary approach to several results on the HardyLittlewood maximal operator, Proc Amer Math Soc 136, no 8, 2829-2833 MR2399047 (2009c:42047) [12] P Mattila (1995), Geometry of sets and measures in Euclidean spaces, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol 44, Cambridge University Press, Cambridge MR1333890 (96h:28006) [13] M Milman (1997), A note on reversed Hardy inequalities and Gehring’s lemma, Comm Pure Appl Math 50, no 4, 311-315 MR1438149 (98g:42031) [14] B Muckenhoupt (1972), Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function, Trans Amer Math Soc 165, 207-226 MR0293384 (45 #2461) [15] B Muckenhoupt (1973/74), The equivalence of two conditions for weight functions, Studia Math 49, 101-106 MR0350297 (50 #2790) [16] E M Stein & Rami Shakarchi (2005), Real Analysis, Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, Princeton University Press ... Phan Thanh Hải MỘT SỐ CHỦ ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT CÁC LỚP HÀM MUCKENHOUPT Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN... thời