Mục tiêu của đề tài Một số phản thí dụ trong Giải tích và Tôpô là tìm và xây dựng một số phản thí dụ trong Giải tích và Tôpô nhằm làm sâu sắc thêm và làm sáng tỏ một số một vài kiến thức về Giải tích và Tôpô. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 2DAI HOC DA NANG
TRUONG DAI HOC SU PHAM PHOMMAVONG CHANTHAPHONE MỘT SỐ PHẢN THÍ DỤ TRONG GIẢI TÍCH VÀ TƠPƠ Chun ngành: Tốn giải tích : 8460102
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy
ĐÀ NẴNG - NĂM 2018
Trang 3Toi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Nhụy
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn
Đà Nẵng, tháng 06 năm 2018 Tác giả
Trang 4Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy
giáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Nhụy Thầy đã giao đề tài và tận tình
hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hoàn
thành được luận văn này
Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các
thầy
tác giả trong suốt thời gian học tập của khóa học
cơ giáo trong Khoa Tốn và Phòng Sau đại học đã tận tình dạy bảo Lời cảm ơn cũng xin được gửi tới tất cả các bạn lớp K32 Toán giải tích
đã cùng nhau cộng tác trong những tháng ngày học tập
Đà Nẵng, tháng 06 năm 2018 Tác giả
Trang 6
Ngành: Toán giải tích
Họ và tên học viên: Phommavong Chanthaphone
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy
Co sé dao tạo: Trường Đại học Sư phạm - Đại hoc Da Nẵng “Tóm tắt: 1 Những kết quả chín! + Trong Giải tích luận văn đã trình bày được một số phản thí dụ về dãy số và chuỗi số gồm có 5 phản thí dụ, về tính liên tục của hàm số gồm có 9 phản thí dụ, về tính kha vi của hàm số gồm có 5 phản thí dụ, về tính khả tích của hàm số gồm có 2 phản thí dụ, về độ đo Lebesgue gồm có 1 phản thí dụ + Trong Tôpô luận văn đã trình bày được các phản thí dụ trong tôpô tập hợp gồm có 7 phản thí dụ, các phản thí dụ trong các tiên đề tách gồm có 7 phản thí dụ, các phản thí dụ về ánh xạ liên tục gồm có 7 phản thí dụ, các phản thí dụ vẻ tính liên tục đều của hàm số gồm có 2 phản thí dụ
+ Nhiéu phan thí dụ trong tài liệu này là mới, đặc biệt là phản thí dụ 2.20 chưa thấy sách nào về Tôpô giới thiệu
+ Luận văn là một tài liệu tham khảo tiếng Việt cho người học Giải tích và Tôpô 2 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn:
'Thông qua việc tập hợp và xây dựng các phan thí dụ trong Giải tích và Tôpô, sẽ làm
sâu sắc thêm các kiến thức về Giải tích Toán học 3 Hướng nghiên cứu tiếp theo của để tài:
Ứng dụng Luận văn làm tài liệu tham khảo tiếng Việt cho các người học Giải tích và Tôpô
'Từ khóa: Phản thí dụ trong Giải tích, phản thí dụ trong Tôpô,
Xác nhận của người hướng dẫn Người thực hiện đề tài
Wah er
B47.QT751-02 ghememevơn4 chanithaphone
Trang 7Name of thesis: Some Counterexamples in Real Analysis and General Topology Major: Analysis Mathematics
Full name of Master student: Phommavong Chanthaphone Supervisor: ASS Prof.Dr Nguyen Nhuy
Training institution: The University of Da Nang - University of Education
Abstract:
1 The results:
+ In analysis, thesis was present some counterexamples about sequence and series has got 5 counterexamples, about Continuity of function has got 9 counterexamples, about
differentiability of function has got 5 counterexamples, about summability of function has
got 2 counterexamples, about Lebesgue measure has got 1 counterexample,
+ In topology, thesis was present some counterexamples in set topology has got 7
counterexamples, counterexamples in separation axioms has got 7 counterexamples, counterexample about continuous mapping has got 7 counterexamples, counterexample about uniform continuity of function has got 2 counterexamples
+ A lost of counterexamples in this thesis is new counterexamples, special is counterexamples 2.20 never see which thesis of topology present about it
+ Thesis is one reference material Vietnamese for student study analysis and
topology
2, The new contributions of the thesis:
To pass totality work and building counterexamples in analysis and topology, will do extra profound each knowledge about
analysis mathematics
3 The applicability in practice and subsequent research of the thesis: To apply
the thesis for reference material Vietnamese for student study analysis and topology
Trang 81 Ly do chon dé tai
“Ta biết rằng môn học giải tích và đặc biệt Tôpô đại cương có tính tritu
tượng và khái quát hóa rất cao Mỗi kết luận thu được đều được dựa trên các giả thiết nhất định và qua một quá trình suy luận lôgic nghiêm ngặt Một câu hỏi đặt ra là liệu các giả thiết được đưa ra có phi mâu thuẫn
không, và nếu ta mở rộng các giả thiết đó, thì kết quả có còn đúng không?
€ó làm sai lệch kết quả không? Các giả thiết có là điều kiện cần cho kết
luận hay không? Từ kết luận ta đặt vấn đề ngược lại, thì dẫn đến điều gì? Cách đặt vấn đề như vậy trong môn Giải tích và Tôpô làm nảy sinh các phan thí dụ Hơn thế nữa, nếu ta xây dựng được các phản thí dụ để lật
ngược lại vấn đề thì các phản thí dụ này sẽ giúp chúng ta hiểu biết sâu sắc
hơn điều đang được đặt ra và cho ta biết đâu là giới hạn của các giả thiết
của bài toán Zazkis và Chernoff (2008) còn cho rằng: "Counterexamples may help learners read just their perceptions or beliefs about the nature
of mathematical objects" (phản thí dụ có thể giúp người học điều chỉnh lại những nhận thức hoặc cảm quan của mình về bản chất của những đối
tượng toán học) [6]
Để minh họa cho lập luận trên, ta đưa ra một vài dẫn chứng
“Trong giải tích, đoạn [0,1] có lực lượng continum và có độ đo bằng 1
Sau khi ta loại bỏ đi một tập con cũng có độ đo bằng 1, thì tập còn lại
có độ đo không Nhưng tập con còn lại này còn lực lượng continum nữa
hay không? Tức tập con còn lại này của đoạn [0,1] có tương đương với
đoạn |0, 1] hay không? Ta biết Định lý Lebesgue nói rằng một hàm số ƒ
khả tích (P) trên đoạn A C R khi và chỉ khi tập các điể
của ƒ trên A chi sai khác với
này có đúng cho mối liên hệ "liên tục - khả vi" trên một tập hay không?
liên tục
Trang 9Weierstrass di xay dung mét thí dụ cho câu trả lời phủ định "triệt để": Tồn tại một hàm liên tục trên một tập, nhưng không khả vi tại bất cứ điểm nào trên tập này! Tiếp đến Định lý Banach nói rằng, một ánh zạ co
từ không gian metric đủ (X, đ) vào chính nó, tức ánh xạ ƒ : X —> X thỏa
mãn điều kiện: tồn tại Ø € |0, 1) sao cho
đỢ (+) ƒ (9)) < 8d(+,w) Yz,u € X
luôn tồn tại điểm bắt động, tức điểm z € X mà ƒ(#) = z Câu hỏi đặt ra là,
đối với một ánh xạ "gần" với ánh xạ co là ánh zạ không giãn ƒ : X —› X, tức ánh xạ
d(f (x) f(y)) <d (x,y) Va,yeX
từ không gian metric đủ X vào chính nó liệu kết luận trên có còn đúng
không? Tức liệu tồn tại điểm bất động z € X cho ánh xạ không đãn này
không? Chúng ta có phần thí dụ trả lời phủ định cho câu hỏi này Lại nữa, từ Định lý Uryshon Tietze ta suy ra rằng, mọi hàm liên tục ƒ trên tập con
đóng Af của một không gian metric X đều có fhác triển (extention) liên
tục trên tồn bộ khơng gian X, tức tồn tại hàm liên tục
f:X SR sao cho ƒ | =f
Câu hỏi đặt ra là, kết luận của Dịnh lý Uryshon Tietze có còn ding
cho ánh xạ liên tục đều hay không, tức nếu ƒ : Aƒ —> ï là hàm liên tục đều tit tap con déng M cita khong gian metric X, thì liệu có tồn tại ham
liên tục đều f : X + R sao cho f |\y = f hay khong?
“Thật ra ta còn có thể đưa ra nhiều dẫn chứng khác nữa
“Trong tôpô vẫn còn nhiều câu hỏi cần làm sáng tỏ Ta biết rằng, hợp một số bất kỳ hoặc giao một số hữu hạn các tập mở là mở, giao một số bất
kỳ hoặc hợp một số hữu hạn các tập đóng là tập đóng Câu hỏi đặt ra, liệu
o một số bất kỳ các tập mở có còn là tập mở, hợp một số bắt kỳ các tập
Trang 10
giao hai tôpô trên một tập X là một tôpô, vậy liệu hợp hai tôpô trên một
tập X có là một tôpô trên X hay không? Ta lại biết, mọi Tị không gian là Tạ—không gian, nhưng Tụ—không gian có là 7¡—không gian hay không? Câu hỏi tương tự đối với Tị— và T›—không gian, T›— và Ty—không gian,
T$‡— và Tì—không gian, Lại nữa, ta biết rằng một tập trong không gian
Euclid hữu hạn chiều là compae khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn, nhưng đối với một số không gian khác, chẳng hạn như không gian £* (X), điều này có còn đúng nữa hay không? Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại tập, tuy đóng và bị chặn trong không gian £* (X), nhưng không compae, v.v
Còn nhiều dẫn chứng khác nữa sẽ liên quan đến các phản thí dụ được chúng tôi tìm hiểu và giới thiệu trong Giải tích và Tôpô Theo chúng tôi
hiểu, phản thí dụ trong Toán học là các ví dụ mang tính phản bi
ràng rằng, các phản thí dụ có tác dụng khắc sâu sắc kiến thức, bồi dưỡng tính tích cực, năng động và chủ động, đồng thời phát huy tư duy độc lập,
sự linh hoạt sáng tạo trong khi học Toán Việc lật lại vấn đề thông qua
các phản thí dụ đối với các định lý và các kết luận xuất hiện trong Tốn học khơng chỉ giúp ta khắc sâu kiến thức, mà nhiều khi đó là cơ sở để ta phát hiện ra chân lý mới Với lý do đó, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu cho Luận văn của mình là: "Một số phản thí dụ trong Giải tích
va Topo"
2 Mục đích nghiên cứu
Tìm và xây dựng một số phản thí dụ trong Giải tích và Tôpô nhằm làm sâu sắc thêm và làm sáng tỏ một số một vài kiến thức về Giải tích và
Topo
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trang 11Sưu tầm các tài liệu liên quan, tổng hợp các vấn đề theo chủ đề đã
chọn, sắp xếp theo trình tự nhất định trên cơ sở chương trình đã được học
trong khoa Toán của trường đại học, trong đó có việc xây dựng thêm các phần thí dụ mới
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Thông qua việc tập hợp và xây dựng các phản thí dụ trong Giải tích
và Tưpơ, sẽ làm sâu sắc thêm các kiến thức về Giải tích Toán học
6 Cấu trúc và cách tổ chức của luận văn
Luận văn sẽ có hai chương như được phản ánh trong nội dung phần mở
đầu Chương 1: Một số phản thí dụ trong Giải tích và Chương 2: Một số phan thf du trong Topo Mở đầu ố phản thí dụ về dãy 1.2 Một số phản thí dụ về tính liên tục của hàm số 1.3 Một số phản thí dụ về tính khả vi của hàm số
1.4 Một số phản thí dụ về tính khả tích của hàm số và độ đo Lebesgue
Chương 2 Mot s6 phan thi du trong topo 2.1 Các phản thí dụ trong tôpô tập hợp 2.2 Các phản thí dụ trong các tiên đề tách 2.3 Các phản thí dụ về ánh xạ liên tục 2.4 Các phản thí dụ về tính liên tục đều của hàm số Kết luận
Tài liệu tham khảo
Để thuận lợi cho quá trình dạy và học, chúng tôi đã lựa chọn và xây
Trang 12
thời sắp xếp chúng theo nội dung Toán học tương ứng, tạo một tư liệu
giảng dạy và nghiên cứu cho người dạy và một nguồn tài liệu học tập cho
người học
Trang 13MỘT SỐ PHẢN THÍ DỤ TRONG GIẢI TÍCH 1.1 Một số phản thí dụ về dãy số và chuỗi số Phan thí dụ 1.1 Dãy số bị chặn nhưng không hội tụ 1 Đặt vấn đề Cho dãy số {z„} C R Dãy số {z„} được gọi là hội fụ đến z € ïR nếu với moi € > 0 cho trước,
tồn tại nạ € Ñ sao cho |#„ — #| < e Vn > nạ
Dãy số {z„} được gọi là bị chặn nếu tồn tại Äf > 0 sao cho |z„| < AM, Vn >1 Dễ dàng chứng minh được rằng: Nếu {z„} hội tụ đến z € R thì {z„} bị chặn That vậy, vì z„ —> z nên |z„| —> |z| Chọn e = 1, ta có số tự nhiên no thỏa mãn ||z„| — |z|| < 1, hay|za|< |z| + 1, Yn > nọ Dat M = max {|#| + 1;|z„|: 1 < n < nạ}, ta được |z„| < ẢM, Vn > 1 {an}
Câu hỏi: Liệu điều ngược lại có đúng không? Tức là nếu dãy bị chặn có suy ra nó hội tụ không?
2 Mệnh đề 1.1 Tôn tại dãy số bị chặn nhưng không hội tụ trong TR Chứng mình Xét dãy số {z„} : z„ = (—1)” Vì |z„| — 1, Yn > 1 nên dãy số {z„} bị chặn Giả sử {z„} hội tụ đến z € R Với mọi n > 1 ta có: lz„¿+—z|>1
B= [anes ~ tal len =a|+ ai ~z|> | Pp =1
mâu thuẫn với giả thiét x, > 2
Trang 14Phản thí dụ 1.2 Dây số {u„} hội tụ uÈ 0 nhưng chuỗi số 3 u„ phân net kì 1 Đặt vấn đề Cho day sé {u,}* , Ta lập dãy số mới Sp=uy 6s = tr +uy “Thiết lập dãy tổng riêng {S„} 2 ¡ với S„ = 3) u; và gọi tổng hình thức k=l ¥ un 1 một chuối số Nếu lim S,, ton tai va {S,} hoi tu dén Š thì ta nói chuỗi số 32 tr„ hội = mi tụ và định nghĩa > u, = S n=l Nếu dãy {S„} không có giới hạn hữu hạn thì ta nói chuỗi số 3” ư„ạ phan ni hà oe “Ta có thể chứng minh được: Nếu chudi S> u,, hoi tu thi day sé u, hoi tu it đến 0 Thật vậy, giả sử 32 ư„ = S Khi đó u„ = S„— S„_¡ 4 S-S=0 = khi n —> %
Câu hỏi: Điều ngược lại có đúng không? Tức là nếu dãy số w„ —> 0 có
Trang 152 Mệnh đề 1.4 Tôn tai hai chuối số thỏa mãn điều kiện của Dấu
hiệu so sánh thứ nhất (đặc biệt |uy| < |oa|,Vn), chuỗi Š tạ hội tụ nhưng chuỗi Ÿ^ tạ phân là nt co x Chứng mình Xét chuỗi sé SO un va 3” un trong đó: nt n=l van, =" "+ “Ta có Jun] = ay < 4 =lenl, Wn EN = oe (yeti
Chuỗi số 3` s„ = 3) —— hội tụ theo dấu hiệu Leibniz, nhưng chuỗi mi =A
số 3} ø„ = 3) } phân kì vì nó là chuỗi điều hòa
nt n=l
Phan thí dụ 1.5 Hai chuỗi số thỏa mãn điều kiện của Dấu hiệu so
sánh thứ hai (túc lim “* — = a > 0 hữu hạn) nhưng không cùng hội tụ hoặc
phân kì
1 Đặt vấn đề Dầu hiệu so sánh thứ hai nói rằng, nếu hai dãy số dương Š trụ và Š oạ thỏa mãn điều kiện lim 3 = a > 0, thi “ 30 En
(a) Nếu 0 < a < œ thì hai chuỗi * Un va ys vp cling hdi tu hoặc
n=l n=l
phan ki
(b) Nếu a =0 và ys U, hoi tu thì > ư„ cũng hội tu
m= n1
(e) Nếu œ = œ và > vy phan ki thì 3 up phan kì =I
Trang 16Chứng mình Xét hai chuỗi số 3) uạ và 3) tạ, trong đó nt n=l = aye Chuỗi số 3) C”” hội tụ theo dấu hiệu Leibniz ni “Tuy nhiên chuỗi 3 Ẹ *+ 4 phân kì vì chuỗi 3 4 phan kì, còn chuỗi wt mt x % cap" = > 52" hoi tụ theo dấu hiệu Leibniz, nên tổng của nó 3` = n=l phan kì 1.2 Một số phản thí dụ về tính liên tục của hàm số
Phản thí dụ 1.6 Hàm số liên tục tuyệt đối trên tập số thực R nhung
hàm số đó gián đoạn tại mọi điểm trên tập này
1 Đặt vấn đề Hàm số ƒ : IR —› R được gọi là liên fục tại zụ € iR nếu
với mọi e > 0, ton tai 6 > 0 sao cho với mọi # € mà |# — zg| < ổ thì
|/()~— ƒ (o)| < e
Nếu ƒ liên tục tại mọi điểm thuộc R thì ta nói ƒ liên tục trên R
“Ta nhận thấy rằng nếu một hàm ƒ : 8 —› RR liên tục trên ÏR thì nó tuyệt đối liên tục trên ïR, tức hàm số |ƒ| : R —› R liên tục
That vay gia sit ƒ liên tục tại zọ € R và e > 0 là số cho trước Khi đó
tồn tại ổ > 0 sao cho |ƒ (#) — ƒ (#o)| < e với moi x € f8, |z — zo| < ổ Vậy
với z €R và | — #o| < ổ, ta có ||ƒ (z)| — Lƒ œo)l| < |ƒ (œ) — f(e)| < £
vậy ƒ liên tục tuyệt đối tại zọ € IR
Câu hỏi: Nếu ƒ tuyệt đối liên tục trên ïR thì ƒ có liên tục trên tập này:
Trang 172 Mệnh dé 1.6 Ton tai ham sé f : R > R tuyét doi lién tuc, nhưng ƒ không liên tục tại bắt cứ điểm nào của tập này
Chứng mình Xét hàm ƒ : R + R cho béi
1 nếu z € Q
ƒœ)= th nếu z € R\O,
ở đây Q là tập số hữu tỉ trên đường thắng thực Khi đó |ƒ (z)| = 1 với moi x € R, tite | f| IA mot hing hàm, nên nó liên tục với mọi z € R
“Tuy nhiên, ta thấy rằng hàm ƒ không liên tục tại bất kỳ điểm nào thuộc
R, thật vậy, giả sử zọ € R
(a) Néu xp € Q (s6 hitu ti) thi f (zu) = 1 Trong khi đó trong lân cận
tùy ý của xo
U (20) = {x €R|: x — 20) <3},
luôn tồn tai day {2,,}%, C U (ao) gồm các điểm vô tỉ, tức z„ € R\Q, ta
có ƒ (#ạ) = —1 với mọi n Vậy thì ƒ (z„) = —1 ⁄2 1= ƒ (œ), tức zụ là
điểm gián đoạn của ƒ
(b) Nếu zọ € R\Q, tức zọ là điểm vô tỉ Ta có ƒ (zạ) = —1 Lập luận
tương tự khi lấy một dãy {z, =¡ các điểm hữu tỉ trong lân cận V của #o
V (xo) = {a € RI: 2 — 29| < ổ},
ta có ƒ (#„) =1 —-1= f (xo), vậy ƒ gián đoạn của zọ Tom lai, f gián đoạn tại moi x € R
Phan thí dụ 1.7 Hàm số liên tục tại duy nhất một điểm
1 Đặt vấn đề Thông thường ta xét hàm số liên tục tại một điểm, trên một tập hợp, trên toàn bộ, đường thắng v.v
Câu hỏi: Liệu có hàm số nào chỉ liên tục tại một điểm duy nhất không?
2 Mệnh đề 1.7 Tồn tại hàm số chỉ liên tục duy nhất một điểm
Trang 18_ƒz nếuzeQ
/0={§ nếu z € R\Q
Ta thay ham f nay chi lién tục duy nhất tại z = 0
Trước hết ta chỉ ra ƒ liên tục tại xo = 0, gid sit > Ú cho trước, ta
chọn ổ = e Khi đó với mọi z € R ma |z — 0| = |z| < ở = e thì
— _ _ Jlr| nếuzeQ
vey-sol=Uemi= {hl meres
“Trong cả hai trường hợp này ta đều có
If (x) = ƒ(0)| < e khi |z — 0| < ổ
Vậy ƒ liên tục tại zạ = 0 Tiếp theo ta sẽ chỉ ra ƒ không liên tục (gián
doan) tai moi x 4 0
(a) Néu x € R\Q thi theo tinh trù mật của tập số thực, sẽ tồn tai day {an}, C Q sao cho x, + x Do x, € Qnén f (x_) = z„, Vn > 1 Vậy
F (Gn) = ay 2 £0 = F(a), tite f (1) A f(x) khi n => se mặc dù
Ine
Vay f khong lien tục trên R\Q
(b) Nếu z € Q Khi đó do tính trù mật của tập số vô ti trén R, nén tồn
tại dãy {zu}¡ C IRQ sao cho z„ —> z Vì z„ € R\O nên ƒ (z„) = 0, Yn > 1, kéo theo ƒ(z„) + 0 4 x Vix € Q nên ƒ(z) = z Như vậy
Ff (tn) A f (x) khi n —> so, mặc dù rằng z„ —> x Do đó, f không liên tục (gián đọan) trên Q (tập các số hữu tỉ)
“Tóm lại, ƒ không liên tục tại mọi z # 0 hay nói khác tí, ƒ chỉ liên tục
tai a = 0
Phan thi du 1.8 Ham số liên tục tại một điểm thì liên tục trên toàn bộ không gian
1 Đặt vấn đề Nói chung, hàm số liên tục tại một điểm thì không thể
Trang 19Câu hỏi: Có lớp hàm nào mà liên tục tại một điểm thì kéo theo sự liên tục trên toàn bộ không gian hay không?
2 Mệnh dé
sự liên tục của nó trên tồn bộ khơng gian „8 Tồn tại lớp hàm ma sự liên tục tại một điểm kéo theo
Chứng mình Giả sử ƒ : X —> X là một ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào chính nó và giả sử ƒ liên tục tại zọ € X và z € X là một điểm bất kỳ Nếu {z„}? ¡ C X là một dãy trong X sao cho x, + x Khi đó #„ — # +29 > 2 Do ƒ liên tục tai xp nén lim ƒ(#„ — # + #g) = ƒ (#o)- Do ƒ tuyến tính nên Ff (tn = 2 + x0) = ƒ (đa) — f (x) + f (20) Từ đó J (xo) = lim [f (tn — 2 + 20)] = lim f (tn) — f(x) + f (x0) Từ đây suy ra lim ƒ (z„) = ƒ (+), = tức ƒ liên tuc tai x Do x € X tity ý nên ta kết luận ƒ liên tục trên toàn bộ X Phản thí dụ 1.9 Hàm số liên tục trên một tập bị chặn mà không bị chặn
1 Đặt vấn đề Ta biết rằng một hàm liên tục trên một tập đóng và
bị chặn thì bị chặn (hơn nữa nó liên tục đều)
Câu hỏi: Nếu ta bỏ giả thiết đóng, thì kết luận có còn đúng nữa không?
Tức nếu hàm liên tục trên một tập bị chặn thì nó có còn bị chặn nữa hay
Trang 202 Ménh dé 1.9 Ham f : (0,1) + R cho bdi
f(z) =+z.z € (0,1)
liên tục trên (0,1) nhưng không bị chặn trên tập này
Chứng mảnh Do ham g (x) = (1 — z) liên tục và khác 0 trên (0,1), nên g(x) = 4 = F (x) lien tue trén tap nay
Tiép theo ta chi ra ring f không bị chặn, tức ta sẽ chỉ ra rằng, với mọi
A >0, tồn tại zạ € (0,1) sao cho f (x9) > A Rõ ràng ta có thể giả thiết 4 >1 khi đó 0<1-4<1 Vay chi cn chon 29 théa man 0<1-4<m<1,
ta sẽ có f (xo) = -4, > A, tite A khong bi chan
Phan thi dụ 1.10 Hàm số ƒ có giới hạn hữu hạn khi x — xp nhung
ƒ không liên tục tại œụ
1 Đặt vấn đề Ta biết rằng hàm ƒ liên tục tại zọ thuộc miền xác định
của ƒ nếu lim f (2) = ƒ (20)
Câu hỏi: Nếu tồn tại giới hạn ƒ (z) khi 2 > xp va ham ƒ xác định tại zo, thé thì liệu hàm ƒ có liên tục tại zg hay không?
2 Mệnh đề 1.10 Tồn (ại hàm số ƒ có giới hạn hữu hạn khi x + x9
Trang 21Xét lim f(x) Voie > 0 thi khi z 4 0, ta có f(x) = 1, cho nên fim f (x) = 1 Tuy nhien do f (0) = 0, nên lim f (x) = 14 0 = ƒ(0),
nên ƒ không liên tục tại 0
Phần thí dụ 1.11 Hàm số liên tục trên một tập mà không có cực trị
trên tập này
1 Đặt vấn đề Ta biết rằng một hàm liên tục trên một tập đóng và bị chặn thì có cực đại và cực tiểu trên tập đó
Câu hỏi: Một hàm liên tục trên một tập bị chặn thì liệu có cực trị hay
không?
2 Mệnh đề 1.11 Tồn tại hàm liên tục trên một tập bị chặn nhưng không có cực trị trên lập nàu Chứng mảnh Xét hàm ƒ : (0,1) + R cho bởi ƒ(z) = ri với z € (0,1) Ta có /'(#) = Ep Do f(x) £0 tren (0,1) nên ƒ không có cực trị trên tập này Phan thí dụ 1.12 Hợp của một hàm gián đoạn tới một hàm liên tục vẫn liên tục 1 Đặt vấn đề Ta biết rằng hợp hai hàm liên tục là một hàm liên tục
Câu hỏi: Liệu hợp của một hàm liên tục với một hàm gián đoạn có nhất thiết là gián đoạn không?
2 Mệnh đề 1.12 Tòn ứại hai hàm số, một hàm liên tục nà một hàm gián đoạn nhưng hợp của chúng lại liên tục
Trang 22g(x) = 0 với z€R
Khi đó ø(z) là hằng hàm nên liên tục Ta có ƒ (g(z)) = 0 voi moi +€RR Vậy hàm hợp ƒø liên tục trên R
Phần thí dụ 1.13 Hàm số liên tục một phía nhưng không liên tục 1 Đặt vấn đề Hàm số ƒ : X —› E được gọi là liên tục phải tại điểm #o € X nếu với mọi e > 0 cho trước, tồn tại ổ > 0 sao cho với mọi z € X,
mà #ọ < # < xo + 6 thi |f (x) — ƒ (zo)| < e
Hàm ƒ được gọi là liên tục trái tại zụ € X nếu với mọi ¢ > 0 cho
trước, tồn tại ổ > 0 sao cho với mọi z € X, mà #ụ — ổ < # < z thì
\f (x) = f (20)| < €
Hàm số liên tục tại zy € X khi và chỉ khi nó đồng thời vừa liên tục trái
vừa liên tục phải tại x9
Cau hoi: Li
liên tục tại đi 1 mot ham số chỉ liên tục một phía, trái hoặc phải, thì có n dé hay khong?
2 Mệnh đề 1.13 Tồn tại hàm số liên tục phải tại một điểm nhưng không liên tục tại điểm đó
Chứng mình Xét hàm Haar cho bởi
_ fl nếu0<z<l
7œ =Í nếu z ¢ [0, 1)
Ta e6 f (0) = 1 va lim f(x) = 1 = f (0) Vay f liên tục phai tai 0
“Tuy nhiên ƒ không liên tục vì nó không liên tục trái tại 0 Thật vậy, ta có
F(0) =1 va lim ƒ (+) = 0 # ƒ (0) = 1, vậy ƒ không liên tục trái tại 0
Tom lại hàm ƒ liên tục phải tại 0 nhưng không liên tục tại điểm này Phan thi du 1.14 Song ánh liên tục ƒ nhưng ƒ~Ì khơng liên tục tại
bắt cứ điểm nào
Trang 23a <a, <a <bthi f(x) < f (x9), anh xa nguge f-! : [f (a), ƒ (b)] => R
cũng liên tục và tăng nghiêm ngặt trên [ƒ (a), ƒ (b)Ì
Câu hỏi: Liệu kết luận trên có còn đúng không nếu ƒ : X —> Y là song
ánh liên tục tùy ý Nói khác đi, nếu ƒ : X => Y là song ánh liên tục thì
ƒ*!:Y — X có liên tục hay không?
2 Mệnh dé 1.14 Tén tai song ánh liên tục ƒ nhưng ánh zạ ngược ƒ~! không liên tục tại bắt kỳ điểm nào
Chứng mình Do tập số nguyên Z và tập số hữu tỉ Q cùng lực lượng (cùng đếm được) nên tồn tại song ánh h : Z > Q Ta thấy rằng h liên tục
trên Z Thật vậy, xét na € Z và giả sử e > Ú cho trước, ta lấy ở = 1 Khi đó
với mọi k € Z sao cho |n — k| < 1 thì k = n Từ đó |h (n) — h(R)| = 0 < e
Vậy h liên tục trên Z
Tuy nhiên hàm h~! : Q > Z khong lién tục tại bất kỳ điểm p nào
thuộc Q Thật vậy, chọn e = 1 Khi đó với mọi 5 > 0, ta lay q € Q sao
cho p <q <p+6 Vậy |q— p| < ð Do h đơn ánh nên h~! (q) # h~1 (p)
Hơn nita do h~! (p), h-! (q) € Z nen |h-! (p) — h~! (q)| > 1
“Tóm lại h liên tục trên Z nhưng h—' không liên tục tại bất kỳ điểm nào
thuộc Q
1.3 Một số phản thí dụ về tính khả vi của hàm số
Cho X C R là một tập con của R và zụ € X Giả sử ƒ : X —> R là một hàm số từ X vào R Ký hiệu Azu = # — #ụ, Aƒ (o) = f (#) — f (ao) Ta
nói ƒ khả ơi tai xo nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
lim 3/9 — lịm ẤZ)=/9)
Aru a0 Ato — zymg Fo
Ta ký hiệu giới hạn hữu hạn này là ƒ'(zo) và goi f’ (xo) 1a đạo hàm
hoặc œi phân của ƒ tai x9
Phản thí dụ 1.15 Hàm số liên tục nhưng không khả oi
Trang 24y = f (x) kha vi tai ap thude mign xéc định của f Thé thi
Ninn LL) — 7" (x5)
Điều này có nghĩa là
(E5) = ƒf(gu) + a (00), ở đây œ (#o) —> 0 khi # —> zụ Do đó
Ff (x) — f (x0) = [ƒ (sa) + a (ea)] (+ — za)
cho nên ƒ (#) —> ƒ () khi z —> #o, tức hàm y = f (x) lien tuc tại zọ nếu nó khả vi tại Zụ
Câu hỏi: Một hàm liên tục tại zụ có khả vi tại điểm này không?
2 Mệnh đề 1.15 Tôn tại hàm y = f (xr) liên tục tại rụ mà không khả
vi tai diém nay
Chứng mình Xét hàm ƒ : R + R cho béi ƒ(z) = |z| với mọi z € R
Thế thì hàm số liên tục tại 0 Thật vậy, giả sử e > 0 Ta chọn ổ
Trang 25Ta thay f (0-) = -1 4 1= f (0*) Vay f khong kha vi tai x = 0
Phan thi du 1.16 Hàm khả ơi có dạo hàm gián đoạn
1 Đặt vấn đề Ta biết rằng một hàm khả vi trên một tập X nào đó thì tục trên tập này Câu hỏi: Liệu một hàm khả vi trên một tập thì đạo hàm của nó có liên tục trên tập đó không? 2 Ménh dé 1.16 Tén tai hàm khd vi nhung dao ham gián đoạn Chứng mình Xét hàm s +đsin nuzz#0 )= Đ nu # =0 Ham nay kha vi tai mọi điểm và có đạo hàm 1) — f2esint—cost nếuz#0 f w={ néu x =0
Ta thấy đạo hàm của ƒ(z) gián đoạn tại 0 Thật vậy, xét hai day
Gu)¡ và (u]ệ với ta = py vA Ta = ghey “Ta có z„ —> Ú và #„ + 0 khi n + 00 Ngoài ra ta còn có f'n) =f" (sg) = de sin (2nm) — cos (2nm) = -1 nén tim, f' (x, Sin) =S (Ag ) = mê sân (ng + §) — co (3n + ÿ 2g Do dé lim f' (Zn) = 0
Vay lim /'(z) không xác định, tức f" (2) gin doan tai 0
Trang 261 Đặt vấn đề Ta biết rằng một hàm số khả vi tại một điểm và có
đạo hàm đổi dấu qua điểm đó, thì hàm số đạt cực trị tại điểm này
Câu hỏi: Liệu hàm số có cực trị tại một điểm thì đạo hàm của nó có
nhất thiết đổi dấu qua điểm đó không?
2 Mệnh đề 1.17 Tồn tại hàm số khả tì uà đạt cực trị tại một điểm nhưng đạo hàm không giữ dấu trong lân cận phải tà lân cận trái của điểm đó Chứng mình Xét hàm số z!(2+sin1) nếu z#0 /6=§ vu c0 0 Rõ ràng hàm số đạt cực tiểu toàn cục tại x Đạo hàm của nó là 2 inl on sư — [22 [de (2+ sin2) —cos 4] néu 2 £0 {#œ)= {0 nếu # = 0
Trang 271 1 need m= VÀ #„ = thì ta cũng có ƒ“(#„) < 0 với ø đủ lớn, còn ƒ'(#„) > 0 với n đủ lớn
Phản thí dụ 1.18 Hàm số có đạo hàm hữu hạn trên toàn trục số,
nhưng đạo hàm lại không bị chặn trên một đoạn đóng
1 Đặt vấn đề Ta biết rằng hàm số khả vi (có đạo hàm hữu hạn)
"mạnh" hơn rất nhiều khái niệm liên tục, đặc biệt lại là hàm khả vi trên toàn trục số Vậy thì đạo hàm của hàm như vậy ta đoán rằng có nhiều ưu
việt, chẳng hạn như tính bị chặn
Câu hỏi: Đạo hàm của một hàm khả vi trên toàn trục số liệu có bị chan
trên mỗi đoạn của IRÌ hay không?
2 Mệnh đề 1.18 Tồn tại hàm số khả tì (có đạo hàm hữu hạn)
toàn trục nhưng đạo hàm lại không bị chặn trên một đoạn đóng
Chứng mình Xét hàm số
L(x) #®sinsb nếuz#0 0 nếu # = 0
Hàm số này xác định và có đạo hàm trên toàn trục số với đạo hàm
xưa - (2rsin‡#—$cosz+2š nếuz#0
r= {j ms
Tuy nhiên, đạo hàm ƒ' (2) không bị chặn trên đoạn đóng [—1, 1] That vậy, lấy dãy {#„}‡ ¡ với
Trang 28= -2V2nm —> —% khi n > o0
Vay /' (z) không bị chặn trên đoạn [—1, 1]
Phan thi du 1.19 Ham sé khé vi duy nhất tại một điểm
1 Đặt vấn đề Phản thi du 1.15 cho thay ham s6 f(x) = |z| chỉ
không khả vi duy nhất tại n
khả vi t điểm 0, còn tại các điểm khác thì hàm số
Câu hỏi: Vậy thì hàm khả vi tại một điểm có kéo theo tính khả vi tại
các điểm khác trong lân cận điểm đó không?
2 Mệnh đề 1.19 Tòn tại hàm số khả ơi chỉ tại duy nhất một điểm
Chứng minh Xét hàm số ƒ : R —x R cho bởi a nếuz€(Q œ)= f nếu # € R\Q Ham số khả vi tai zp = 0 Thật vậy với mọi z # 0 ta có /)=ƒ/(0) = lz| —> 0 khi Az = # — 0 — 0 0< | 20
Vay ham f kha vi tại zạ = 0 và ƒ' (0) = 0
Tuy nhiên hàm ƒ không khả vi tại mọi điểm z # 0 Thật vậy, nếu f khả vi tại z # 0 thì ƒ phải liên tục tại z, tức với mọi dãy số {z„}> ¡ C IR,
atm > x thi f (an) > f (x)
Do Q là tập số hữu tỉ trù mật trong R nén tồn tại dãy số {z„}2_¡ C Q
Tụ =7
Ta dit an = rn + 7 € R\Q, ta được dãy s6 {an}, C R\Q, an > 2
Tuy nhiên ƒ (r„) = r„Š —> x? nhưng ƒ (a„) = 0 —> Ú khi n + oo Điều
Trang 291.4 Một số phản thí dụ về tính khả tích của hàm số và độ đo Lebesgue
Phan thi du 1.20 Ham khả tích Lebesgue mà không khả tích Riemann
1 Đặt vấn đề Trong không gian Euelid hữu hạn chiều RẺ, nếu một
hàm khả tích Riemann (gọi tắt là (R)-khả tích hay khả tích (R)) thì nó cũng khả tích Lebesgue (gọi tắt là (L)-khả tích hay khả tích (L)) Nói riêng, nếu một hàm khả tích (R) trên {a,b} C R thì nó cũng khả tích (L) và hai tích phân đó bằng nhau trên [a,Ù}
(1) ƒ ƒ(z)dz= (R) Ƒ ƒ(z)dz
{a,b} le]
Câu hỏi: Liệu một hàm (L)-khả tích thì có kéo theo (R)-khả tích hay không?
2 Ménh dé 1.20 Tén tai ham (L)-khả tích mà không (R)-khả tích Chứng mình Giả sử f 1 ham Dirichlet trên đoạn |0, 1] 1 nếuz€Q ƒứ)= fi néu x € R\Q Ta xét mot phan hoach 7 ciia doan (0, 1] thanh cae doan con béi cée diém chia Ú=#o<z) <?2< <#„
Trang 30
D(o) = Wildl = ¥1As1 =[[0,1]| =1 40
khi ø —> 0, ở đây ø là đường kính lớn nhất (trong trường hợp này là độ đài lớn nhất) của các đoạn chia trong phân hoạch z Vậy hàm f khong
khả tích (R) trên [0, 1]
Tuy nhiên ƒ lại khả tích (L) trên [0, 1] vì
(L) J fdu=01+1.0=0
(0.1)
do tap [0, 1] là hợp của hai tập rời nhau Q¡ gồm các điểm hữu tỉ trên [0, 1],
và P; gồm các điểm vô tỉ trên [0, 1] Độ đo của Q\ là 0, độ đo của ?¡ là 1, nhưng giá trị của hàm ƒ trên Q\ là 1, còn giá trị của ƒ trên P; 1a 0 nén
ta có đẳng thức trên
Vay hàm Dirichlet trên [0, 1] khả tích (L) nhưng không khả tích (R)
Phần thí dụ 1.21 Tuyệt đối khả tích (R) nhưng không khả tích (R) 1 Đặt vấn đề Ta biết rằng nếu ƒ là hàm đo được trên tập 4, thì ƒ
khả tích (L) khi và chỉ khi |ƒ| khả tích (L), ngoài ra ta có bất đẳng thức
A J fau <I/J dụ A
Câu hỏi: Đối với tích phân Riemann, hàm |ƒ| khả tích (R) có suy ra được ƒ khả tích (R) hay không?
2 Mệnh đề 1.21 Tồn fại hàm số ƒ mà |ƒ| khả tích (R) trên A nhưng
ƒ không khả tích (R) trên A
Chứng mình Giả sử [a,b] CR Xét ham số ƒ xác định trên [a,b} cho
Trang 31nếu # hữu tỉ
nếu x vo ti
/0={t,
“Ta nhận thấy rằng |ƒ (z)| = 1 trên [a, b} nên ƒ khả tích (R) trên [a, b} vì
nó liên tục trên đoạn này Tuy nhien, bằng cách lập luận giống như trong
phan thí dụ 1.20, ta suy ra rằng ƒ không khả tích (R) trén (a, )
Phản thí dụ 1.22 Đoạn [0,1] trie di mot tap con có độ dai bing 1, nhưng tập con còn lại van có lực lượng continum (lực lượng ©), tức uẫn
tương đương vdi đoạn {0,1}
1 Đặt vấn đề Ta biết rằng đoạn [0,1] có độ dài bằng 1 và có lực lượng continum (e)
Câu hỏi: Đoạn [0, 1] trừ đi một tập E có độ dài bằng 1, thì liệu [0, 1]\#
còn có lực lượng continum nữa hay không, tức có còn tương đương với
đoạn [0, 1] nữa hay không?
2 Mệnh đề 1.22 Loại bỏ khỏi đoạn [Ú, 1Ì một tập cơn E C [0, 1] có độ
đài bằng 1, nhưng tập con còn lại F` = [0, 1]\ uẫn có lực lượng continum, tức tương đương tới đoạn {0, 1)
Chứng mình Tap F dé la tap Cantor được xác định như sau [2]
Xét đoạn |0, 1] Chia đoạn này ra ba phần bằng nhau, bỏ đi khoảng
giữa, tức khoảng (3, ‡), còn lại tập F, gém hai doan F, = [0, $] U [3,1] Lai chia mỗi đoạn con này thành ba phần bằng nhau, bỏ đi các khoảng giữa (tức bỏ đi các khoảng (‡, 8) va (2,8)), con lại tập F¿ gồm bồn đoạn #à = [0.ã] 0 , ] 0 [8 ã] 0 [ễ, 1] - Tiếp tục mãi như vậy, kết quả là ta đã bỏ đi một số lượng đếm được các khoảng rời nhau, và còn lại tập đóng F=ÑE, n=l
Trang 32
Điều đó có nghĩa là, để c6 duge tap Cantor F, ta da loai bé di khdi
đoạn [0,1] mot tap E
(0, 1)
Dựa theo Định lý 12 (xem [2], trang 25) ta có thể chỉ ra rằng F c6 hye
lượng continum (lực lượng €)
ộ dài tổng cộng bằng 1, tức bằng độ dài đoạn
“Ta có thêm hai bình luận thú vị sau
Thứ nhất là, độ do Lebesgue ø (F) của tập Ƒ là w(F)=n(0,1]\B=1-1
Nói khác đi, độ lớn của F bằng 0, nhưng do có lực lượng continum, nén
nó vẫn tương đương với đoạn {0, 1]
“Thứ hai là, qua đây ta có thể thấy sự còn "thô sơ" của độ do Lebesgue:
mặc dù # có lực lượng e, tức tương đương với đoạn [0,1] nhưng nó vẫn
chỉ có độ đo Lebesgue bằng 0 (!)
Vì thế người ta đã tạo nên một loại độ đo mới, được gọi là độ đo
Hausdroff tinh tế hơn Với độ đo Hausdroff thứ nguyên s = (22, thì độ đo
Trang 33CHUONG 2
MOT SO PHAN THi DU TRONG TOPO
Các định nghĩa và khái niệm trong chương này ta sử dụng tài liệu [1] và [3], kiến thức và Tôpô ta sử dụng các tài liệu [4j và [?}
2.1 Các phản thí dụ trong tôpô tập hợp
Phản thí dụ 2.1 Hợp của hai tôpô trên một tập không la mét topo trên tập đó
1 Đặt vấn đề Một không gian tôpô là một cặp (X,7) gồm một tập
X và một họ các tập con 7 của X thỏa mãn các điều kiện sau đây: (O1) €7 và X €7
Trang 34{a} U {0} = {a,b} ¢ 1 UT»
Phan thí dụ 2.2 Không gian tôpô khả lì nhưng không thỏa mãn tiên
đề đếm được thứ nhất
1 Đặt vấn đề Không gian metrie có một tập con đếm được trù mật
trong nó được gọi là một không gian rnetric khả li
Ta biết rằng trong một không gian metric, điều kiện khả li tương đương,
điều kiện đếm được thứ hai, do đó thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất Câu hỏi: Liệu mỗi không gian tôpô tổng quát khả li có thỏa mãn tiên
đề đếm được thứ nhất hay không?
2 Mệnh đề 2.2 Tòn tại không gian tôpô khả lì nhưng không thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất
Chứng mình Giả sử X là tập hợp không đếm được Khi đó họ z ={0}U{A € 2X: CyA = X\A là hữu hạn}
là một tôpô trên X Tôpô này được gọi là fôpô có phần bù hữu hạn trên
X Ta chứng minh không gian (X,7) là khả li nhưng không thỏa mãn tiên
đề đếm được thứ nhất
Thật vậy, giả sử K 1A mot tập con vô hạn đếm được của X Khi đó €yCIK là mở và do đó hoặc là rỗng, hoặc là có phần bù hữu hạn Nhưng do Cx (Cx (CIK)) = CIK Ð K là vô hạn, nên Cy (CLK) = 0, nghia la
X =CIK Vậy K trù mật trong X, tức X khả li
Giả sử trái lại rằng không gian tôpô (X,7) thỏa mãn tiên đề đếm được
thứ nhất và p là một điểm thuộc X Khi đó p có một cơ sở lân cận đếm
được gồm các tập r=mở = {B, :n € Đ}.Do mỗi tập Ư„ là r—=mở nên
phần bù của nó ŒxÖ, là z—đóng và hữu hạn Ta có tập A = Uy, là
đếm được vì nó là hợp đếm được của các tập hữu hạn Nhưng do tập X
Trang 354€ CxA=Cx 3) =ñ@ (CxB,) =fBụ
Do đó q € B„ với mỗi n € Ñ Mặt khác, Ởy {4} là một tập z—mở vì
phần bù của nó là một tập hữu hạn và Cy {q} chứa p vì q # p Lại do B
là sở lân cận của p nên tồn tai phan tit B,, € B sao cho B,, C Cx {q} Tit
đó q ¢ B,,, Nhưng điều này mâu thuẫn vi q € B,, véi mdi n € Ñ Vậy giả thiết rằng không gian tôpô (X,7) thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất là không đúng
Phan thí dụ 2.3 Không gian tôpô khả lì nhưng không thỏa mãn tiên
đề đếm được thứ hai
1 Đặt vấn đề Trong tôpô ta có kết quả sau
Moi khong gian tôpô thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai đều khả li
Câu hỏi: Liệu điều ngược lại có đúng không, có nghĩa là không gian khả
li thi c6 thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai hay không?
2 Mệnh đề 2.3 Tòn tại không gian khả lì nhưng không thỏa mãn liên
đề đếm được thứ hai
Mệnh đề này có thể suy ra từ mệnh đề của phản thí dụ 2.2 vì mọi không
gian không thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất đều không thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai Ta nêu ra một cách chứng mỉnh trực tiếp khác
Chứng rảnh Giả sử X là tập hợp không đếm được và 7 là tôpô trên
X xác định như sau
rz={A2*:pe A}U{0}
Topo này được gọi là fôpô có điểm đặc biệt Khi đó ta chứng mỉnh (X,r) kha li nhưng không thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai
“Trước hét ta chting minh Cl {p} = X That vay, giả sử F là một tập
Trang 36Ta có Cl{p} = X, do đó {p} là tập con trù mật đếm được của X Vậy
không gian tôpô có điểm đặc biệt X là khả li Với mỗi z € X, tap {x, p} là tập mở nhỏ nhất chứa z và do đó nó thuộc vào bất kỳ cơ sở nào của
topo c6 điểm đặc biệt 7 Do X là không đếm được, nên không có cơ sở
đếm được đối với tôpô 7, Do đó X không thỏa mãn tiên đề đếm được thứ
hai
Phản thí dụ 2.4 Không gian (X,7) khả lỉ nhưng không gian con (A.7A) không khả li
1 Đặt vấn đề Trong tôpô đại cương ta có kết quả sau
Giả sử (X,7) là một không gian topo khả li Nếu U là một tập con mở của X, thì (U,z) cũng khả li
Câu hỏi: Liệu có phải nếu (X,7) khả li thì với mọi tập con 4 của X ta đều có (A,7a) khả li hay không?
2 Mệnh đề 2.4 Tòn tai tap con A của không gian khả li (X,7), nhưng không gian con (A,7A) không khả li
Chứng mình Giả sử X là một tập không đếm được, p là một điểm của
X va 7, là tôpô có điểm đặc biệt p trên X
Giả sử A = Cx {p} Khi đó (X,7„) là một không gian khả li nhưng
khong gian con (A, (7p) 4) thi khong kha li
Thật vậy, ta có Cl„ {p} = X, (theo chứng minh mệnh đè trong phản
thí dụ 2.3) Do đó {p} là tập con đếm được trù mật của X, tức (X,7p)
khả li
“Tiếp theo ta giả sử 7 là một tập con tùy ý của 4 Khi đó p £ D nên
p€CyD, tức CyD là 7,—mé ‘ay D la z,—đóng Ta có Cl;,),D = ANCL,D = AND
Vay néu D đếm được thì bao đóng của nó Cl,„„),D cũng đếm được và
đo đó không thể bing A, tap khong đếm được Vậy A khong thé có tập
Trang 37
Phản thí dụ 2.5 Không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nhưng không thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai
1 Đặt vấn đề Trong tô pô đại cương ta có kết quả sau
Không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai thì thỏa mãn tiên đề
đếm được thứ nhất Cau he
thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất thì có thỏa mãn tiên đề đếm được
Liệu điều ngược lại có đúng không, nghĩa là một không gian thứ hai hay không?
2 Mệnh đề 2.5 Tồn tại không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ
nhất nhưng không thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai
Chứng mình Trong chứng mình này ta chỉ ra hai phản thí dụ
(1) X là một tập không đếm được, 7 là tôpô rời rạc trên X Nếu p là ý của X, thì {p} lập nên một cơ sở lân cận của ? Vậy X đề đếm được thứ nhất “Ta thấy mỗi cơ sở của tôpô 7 nhất thiết phải bao gồm tắt cả các tập
có dạng {z}, nên mọi cơ sở tôpô của 7 đều không đếm được Vậy (X,7) không thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai
(9) X là một tập không đếm được, 7 là tôpô có điểm đặc biệt trên X
Theo phản thí dụ 2.3 ta thấy (X,7) không thỏa mãn tiên đề đếm được
thứ hai
Mặt khác, tập hợp {p} là r t cơ sở lân cận của điểm p Nếu q # p thì tập hợp {4,p} là cơ sở lân cận tại Vậy (X,7) thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất
Phan thí dụ 2.6 Biên của bao đóng và biên của phần trong của một
tập là tập con thực sự của biên của tập đó, đồng thời biên của hợp hai tập
hợp cũng là tập con thực sự của hợp các biên của hai tập đó
1 Đặt vấn đề Giả sử X là một không gian tôpô, A C X Khi đó biển
Trang 38(1) Er(G14) C Fr va Fr (Int) C FrA; (2) Fr(AUB) C FrAUFB
Câu hỏi: Liệu có tồn tại các tập A va B dé trong (1) cả 3 tập là khác
nhau và trong (2) là bao hàm thức thực sự hay không?
2 Mệnh đề 2.6 Tồn tại các tập A uà B để các tập trong (1) là khác
nhau tà trong (2) là bao hàm thức thực sự Chứng mình Lây A = (0.1) U (1,9) U {3}, ta có IntA = (0,1)U(1,2), CIA = [0,2) U {3} FrA = {0,1,2,3}, Fr IntA = {0, 1,2}, Fr CIA = {0, 2,3}
Vậy ta có Fr CLA, Ft IntA và FrA là 3 tập khác nhau
Lấy A = (0,1), Ð = (1,3) Khi đó AU B = (0,3) Ta nhận thấy rằng FrA = {0,1}, FrB = {1,2} nlumg Er(AU 8) = {0,2}
Phan thí dụ 2.7 Hợp một số bát kỳ các tập đóng có thể không đóng
tà giao một số bắt kỳ các tập mỏ có thé khong md
1 Dat van đề Ta biết rằng hợp của một số bất kỳ các tập mở là một tập mở và giao một số bất kỳ các tập đóng là tập đóng
Câu hỏi: Liệu hợp của một số bắt kỳ các tập đóng có phải là tập đóng
Trang 40UF = (0.1) A (b) Xét tập G, = (-}.‡) m €Ñ Khi đó Œ„ là tập mở vì nó là các khoảng trong R với mỗi n € Ñ Ta xét “Ta có G = {0} Thật vậy, do 0 € G,,, Vn, nên {0} C1) Gn (2.3) nel Ngược lại nếu có # # 0, z € G = ƒ Gy, tite x € Gy, Wn EN Gia sit n€N
+ >0 (nếu z < 0 ta làm tương tự) Khi đó tồn tại nọ € Ñ sao cho ạ_ < 2
Thế thì z ý G„, = (—j}.j})- Điều này là võ lý, vì z € Gạ, Vn EN Do đó đ=nø,=t0} neN Do tập một điểm {0} là đóng (không mở), nên kết luận của mệnh đè được chứng mình 2.2 Các phản thí dụ trong các tiên đề tách Phan thí dụ 2.8 T,—không gian nhưng không là Tị—không gian 1 Đặt vấn
gian và 7¡—không gian như sau
Trong tôpô đại cương ta đã biết định nghĩa Ty—không
Cho (X,7) là một không gian tôpô Không gian tôpô (X,7) được gọi là Tụ—không gian, nếu với mỗi cặp điểm phân biệt x,y € X, ton tai một
7~—lân cận của một trong hai điểm nói trên mà không chứa điểm kia, nghĩa
là hoặc một z—lân cận của # không chứa , hoặc một z—lân cận của y