Đề tài Tính chất của dãy I-hội tụ trong không gian topo nghiên cứu về hội tụ thống kê của dã số thực, từ đó làm tiền đề để nghiên cứu dãy I-hội tụ trong không gian topo; chứng minh chi tiết một số kết quả liên quan đến dãy I-hội tụ của tác giả đi trước.
Trang 1
DAI HOC DA NANG
TRUONG ĐẠI HỌC SU PHAM
Đặng Phạm Phú An
TÍNH CHẤT CỦA DÃY 7-HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN TOPO
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Đà Nẵng - 2021
Trang 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM
Đặng Phạm Phú An
TÍNH CHẤT CỦA DÃY 7-HỘI TỤ TRONG
KHÔNG GIAN TOPO
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 8.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS Lương Quốc Tuyển
Trang 3LOI CAM DOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình khác
Tác giả
Trang 4‘Tén dé tai : TINH CHAT CUA DAY Z-HQITY TRONG KHONG GIAN TOPO
Ngành : Toán Giải Tích Khóa: K39 Ho và tên học viên: Đặng Phạm Phú An
Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyền
Cơ sở đào tạo: Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng
Tóm tắt
*Những kết quả chính của luận văn:
Đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học “Tính chất của dãy 7 -hội tụ trong không
gian topo” đã đạt được một số kết quả sau đây:
- Trình bày về ideal, lọc trên một tập M, các tính chất cơ bản của nó và mối liên hệ giữa ideal và lọc trên tập hợp M
~ Trình bày khái niệm và các tính chất của dãy 7 -hội tụ Chứng minh mối liên hệ giữa tính chất của dãy 7 -hội tụ với một số tính chất của các loại hội tụ khác
- Trinh bày về tập 7 -mở, tập Z -đóng và các tính chất của chúng Nghiên cứu mối liên hệ giữa tập 7 -mở, tập mở dãy và tập mở; mối quan hệ giữa các tập 7 -đóng, tập đóng dãy và tập đồng
~ Trình bày về không gian Fréchet-Urysohn, không gian 7 -Fréchet-Urysohn, không gian
dây, không gian 7 -dãy Nghiên cứu tính di truyền lên không gian con, không gian thương, không gian tổng cũng như mối liên hệ của các không gian đó
*Y nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn:
Luận văn được nghiên cứu dựa trên 05 tài liệu tham khảo bằng tiếng Anh được trình bày tương đối kĩ lưỡng và đầy đủ, nó là tài liệu tham khảo bổ ích cho các học viên, sinh viên quan tâm nghiên cứu hướng này
Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Người thực hiện luận văn
Trang 5INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: Properties of Z -convergent sequence in topo space Major: Mathematical analysis
Full name of Master student: DANG PHAM PHU AN Supervisors: PhD LUONG QUOC TUYEN
‘Training institution: The University of Danang, University of Education Summary,
* The main results of the thesis:
‘The research topic of the master of science thesis "Properties of Z -convergent sequence in topo space" has achieved the following results:
= Presenting ideal, filter on set M, it’s basic properties and the relationship between ideal
and filter on set M
- Presenting concept and properties of Z -convergent sequence Demonstrating the relationship between the properties of Z convergent sequence and some properties of
other convergences
- Presenting the 7 -opened set, Z -closed set and their properties Researching on the relationship of Z -opened set, sequentially opened subset va opened subset; the relationship of Z -closes set, sequentially closed subset va closed subset
- Presenting the Fréchet-Urysohn spaces, Z -Fréchet-Urysohn spaces, Sequential Spaces, 7 -Sequential Space Researching on the heritability on the subspaces, quotient spaces, sum spaces and the relationship of those spaces
* The applicability in practice and subsequent research of the thesis:
The thesis is researched based on 05 references in English which are presented relatively carefully and completely, itis a useful reference for students who are interested in studying this direction
Supervior’s confirmation Student
se
dù (ht gl Pan
Trang 6Dé hoàn thành được luận van nay
lời đầu tiên tác giả xin gửi lời
cảm ơn sâu sắc đến thầy TS Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn
tác giả trong suốt quá trình thực hiện đề tài
Trang 7MUC LUC CHƯƠNG 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Dãy số thực 1.2 Hội tụ thống kê 1.3 Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp 9 1.4 Tập hợp đóng và bao đóng của một tập hợp 1.5 Phần trong của tập hợp 1.6 Ánh xạ liên tục 1.7 Không gia
1.8 Tổng của các không gian topo
1.9 Không gian thương
CHƯƠNG 2 Tính chất của dãy 7-hội tụ trong không gian metric suy rong
2.1 Ideal va loc trén mét tap hop M
Trang 81 Lý do chọn đề tài
Năm 1951, H Fast đã giới thiệu một phần mở rộng khái niệm về giới
hạn thông thường của các dãy số thực và được tác giả gọi là hội tụ thống
kê (xem [1]) Trong [4], I J Schoenberg da dura ra mot sé tinh chat co bin
của sự hội tụ thống kê và đã nghiên cứu tổng của chuỗi nhờ khái niệm hội
tụ thống kê Đến năm 1985, J A Fridy da đưa ra khái niệm day Cauchy
thống kê và chứng mỉnh rằng nó tương đương với dãy hội tụ thống kê (xem [2]) Gần đây, nhiều tác giả trên thế giới đã mở rộng khái niệm hội tụ thống kê theo nhiều hướng khác nhau Một trong những hướng mở rộng
được các tác giả trên thế giới quan tâm nhiều hiện nay là khái niệm 7-hội
tụ trên không gian topo, ở đây 7 là mot ideal Trong [5], X Zhou, L Liu,
S Lin đã đưa ra khái niệm ánh xạ 7-liên tục, đã chứng minh rằng ánh xạ
liên tục bảo toàn dãy 7-hội tụ, và nếu ƒ bảo toàn dãy 7-hội tụ, thì ƒ là
ánh xạ 7-liên tục Từ đó, các tác giả đã đặt ra bài toán sau
Bài toán 1 Ánh xa 7-liên tục có bảo toàn day T-hội tụ hay không? Bên cạnh đó, các tác giả còn chứng minh rằng hợp của hai tập 7-mở là tập 7-mở; nếu 7-là ideal cực đại, thì giao của hai tập 7-mở là tập 7-mở Bởi vậy, các tác giả đã đặt bài toán mở sau:
Bài toán 2 Giao của hai tập 7-mỏ có là tập 7-mỏ hay không? Các bài toán chưa có lời giải đáp đã được một số tác giả trên thế giới quan tâm và hiện Với mong muốn nghiên cứu về sự hội tụ thống kê cũng như nghiên tính ủa thầy Tinh chat
chất của dãy 7-hội tụ trong không gian topo, dưới sự hướng dã
giáo T8 Lương Quốc Tuyển, chúng tôi quyết định chọn đề t:
Trang 92
của đãy 7-hội tụ trong không gian topo” lam dé tai cho luận văn của mình
2 Mục đích nghiên cứu
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu về hội tụ thống kê của dãy
số thực, từ đó làm tiền đề để nghiên cứu dãy 7-hội tụ trong không gian topo Chứng mỉnh chỉ tiết một số kết quả liên quan đến dãy 7-hội tụ của
các tác giả đi trước
3 Đối tượng nghiên cứu
Dãy số thực hội tụ thống kê, Dãy 7-hội tụ trong không gian topo, tính
chất của các tập 7-mở, 7-đóng, và tính chất của không gian 7-Eréchet-
Urysohn , không gian 7-dãy
4 Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu tính chất của dãy 7-hội tụ, tập 7-mở, 7-đóng trong không gian topo
5 Phương pháp nghiên cứu
®& Tham khảo tài liệu, hệ thống lại một số kiến thức về topo đại cương
e Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả đi trước liên quan hội
tụ thống kê và 7-hội tụ
® Bằng cách tương tự hóa, khái quát hóa nhằm đưa ra các kết quả mới cũng như mở rộng một số kết quả của các tác giả đi trước
e Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả đang nghiên cứu để hoàn chỉnh đề tài của mình
6 Cấu trúc của đề tài
Trang 10Chương 1, trình bày một số kiến thức về hội tụ của dãy số, hội tụ thống kê trong số thực, không gian topo, không gian metric suy rộng nhằm phục
nghiên cứu Chương 2
vụ cho
Chương 2, trình bày tính chất của đãy 7-hội tụ trong không gian metric
suy rộng; tập hợp 7-đóng, 7-mở trong không gian topo; không gian 7-dãy,
Trang 11CHƯƠNG 1
é “ 3
KIEN THUC CHUAN BI
Chương này dành cho việc trình bày về dãy hội tụ và dãy hội tụ thống kê trong không gian metric; các kiến thức cơ bản của topo đại cương nhằm
phục vụ cho việc chứng mình cho chương sau 1.1 Dãy số thực
Định nghĩa 1.1.1 Cho {z„} C R và L € R Ta nói rằng dãy {z„} có
giới hạn bing L khi n — oo, néu véi moi ¢ > 0, ton tai N € N sao cho
|e, — L| <¢ véi moin > N Lúc này ta ký hiệu lim 2, — L hoặc x, + L khi n —> % no Ví dụ 1.1.2 Cho dãy số thực {z„} được xác định như sau với moi n € Ñ
Khi đó, lim x, = =2 n~yae
Thật vậy, giả sử e > 0, khi đó —2n+1 n+l lz„ — (-2)| = | +] = khi và chi khi n > BL 1 Như vậy, nếu lấy số nguyên dương N > a 1, £ £ thì ta có
|an — (—2)| < e với mọi n > N
Trang 12Dinh Ii 1.1.3 Néu {2r,} C R cé gidi han, thì giới hạn đó là duy nhất
Chitng minh Gia sit lim x, =a va lim x, = b véi a,b € R Ta can chitng = =
minh ring a = b That vay, véi moi ¢ > 0, vi x, —> ø nên tồn tại AM €Ñ sao cho
€
[tn — al <5 với mọi n > Ny
Mặt khác, vì z„ —> b nên tồn tai No € N sao cho
lẽ, — 0| < Š với mọi n > No,
Ta dat N = max{Nj, Ä;}, khi đó với mọi n > À, ta có Ja —b| < a= ap] + |#a — b| < e Qua gidi han khi ¢ + 0 ta suy ra |a — b| = 0, kéo theo a = b a Định lí 1.1.4 Nếu {z„} hội tụ, thì nó bị chặn Chứng mình Giả sử z„ —š L, khi đó với e = 1, tồn tại A' € Ñ* sao cho |z„ — L| < 1 với mọi n > N, kéo theo rằng lưạ| < |E| + 1 với mọi n > ÀY Bây giờ, ta đặt
M = maxe{ uy, tals tural ILI + 1},
ta thu dude |un| <M véi moi n > N o
Trang 131.2 Hội tụ thống kê
Định nghĩa 1.2.1 ((2), (3]) Cho C Ñ, khi đó số ð(K) = lim 214k <n:k€K\|
được gọi là mật độ tự nhiên của tập ÍÝ
Nếu {z¿} là dãy thỏa mãn tính chất
một tập hợp các & có mật độ tự nhiên bằng 0, thì ta nói {z¿} thỏa mãn
tính chat “P” hầu như tất cả các È, ta viết tắt điều nay bing h.t.c k
Nhận xét 1.2.2 (2|) Giả sử K C Ñ sao cho tồn tại ð(Y) Khi đó, P° cho tất cả các &, ngoại trừ 1) ð(K) < 1; 2) Nếu K hữu hạn, thì ð() = 0 Do đó, nếu ổ() # 0, thì K la tap vô hạn Chứng mình (1) Ta có {k<n:k€K}C({1,2, , n},
kéo theo |{k <n: k € K}| <n Do dé, 6(K) < lim * =
(2) Gia sit K = {hy,ko, , kp} Khi đó, voi moi n > ky ta 6
k<n:k€K
5(K) = tim HES RERW _ jy —g, ni n mm
Như vậy, nếu ð(K) # 0, thì K là tập vo hạn ñ
Định nghĩa 1.2.3 ([2], (3j) Dãy số {z„} được gọi là hội fụ thống kê đến L nếu với mỗi e > 0,
tim +|{& <n: Jax nhà — HỊ > e}| =0,
nghĩa là
Am Ố (1)
Trang 14Bổ đề 1.2.4 ((2)) Giới hạn thống kê của một dãy nếu tồn tại là duy nhất
Chứng mình Giả sử st-limy rz = Lị và st-lim¿z¿ = Lạ Ta chứng mình ring L; = Lạ Thật vậy, giả sử ngược lại Lị # Lạ Khi đó, bởi vì
0< |Eị = Hạ| < tn — Lil + lan — Lol
nên với e = |Lị — Lạ| > 0, ta cé
{k <n: |L) — La] > e}
C{k <n: lan — Li| > e/2}U{k <n: |xn — Lo| > €/2}
Suy ra
I{k <n: [Li — Lal > e}|
S|{k <n: [ty — La] > €/2}| + [{k <n: tn — Lol > €/2}I
Nhờ giả thiết ta suy ra
[{k <n: [Ly ~ Lol > e}| _
n
1=lim 0
Diéu mau thuan nay ching t6 ring Li = Le ữ
Trang 15Suy ra với mọi e > Ú ta có 1 0 < im n|[E < n: Ješ —0| > || 1 =lim=|{k <m: ay > e}| on 1 Stim 2|{k <n: ¢0}|
Nhu vay, st-lim 2, = 0
Nhận xét 1.2.6 ([3]) Néu bất đăng thức (1.1) thỏa mãn với tất cả trừ
một số hữu hạn các giá trị của k, thì lim, = ⁄ Điều này chứng tỏ rằng,
néu lime, = L, thi st-lim z„ = 1 Tuy nhiên, si-limz„ = L # lima, = L
Thật vậy, ta đặt K = {17,2?, ,k?, } Khi do, K là tập đếm được Bởi vì Q là tập đếm được nên ta có thể viết Q=f{r,:k€ K} Bây giờ, với mọi n € Ñ, ta đặt rey nếuk€K, "` - Ta có hai khẳng định sau
© Khiing dinh 1: st-lim x, = 0
“Thật vậy, với mọi e > Ú và n € Ñ, ta có
l<n:lm| >e)|< vũ
Trang 16That vay, gid sit x € R, bởi vì tập các số hữu ti Q là trù mật trong tập các số thực J nên tồn tại một dãy số hữu tỉ hội tụ về z Rõ ràng dãy này
là một dãy con của {z¿}
“Từ khẳng định 2, ta suy ra dãy {z¿} không bị chặn Do đó, lim z„ 4 0
1.3 Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp
Định nghĩa 1
X thỏa mãn các điều kiện sau
1 Giả sử z là họ nào đó gồm các tập con của tập hợp
(a) Ú,X €7:
(b) Nếu Ư, V €7, thì UfV €7;
(e) Nếu {Ua}„-4 C7, thì LJ U„ €7
acl Khi do,
1) 7 được gọi là một føpo trên X
2) Cặp (X,7) được gọi là một không gian fopo
3) Mỗi phần tử của z được gọi là một đập hợp mở 4) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó
Nhận xét 1.3.2 Dối với không gian topo X, các khẳng định sau là đúng
1) Ú, X là các tập hợp mở;
2) Giao hữu hạn tập hợp mở là một tập hợp mở; 3) Hợp tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở
Ví dụ 1.3.3 Giả sử X là một tập hợp, z¡ là họ gồm tắt cả các tập con
Trang 1710
Ví dụ 1.3.4 Giả sử (X,đ) là một không gian metric và
7z ={AC X: A là tập con mở trong (X,d)}
Khi đó, 7 là một topo trên X và ta nói rằng 7 là fopo được sinh bởi metric d Dac biét, néu X = R va metric đ là khoảng cách thông thường
tren R, nghia là
d(x,y) = |e — yl voi mọi ø, ý € R,
thì ta nói rằng 7 là fopo thông thường trên R
Định nghĩa 1.3.5 Giả sử A là một tập con của không gian topo (X,7)
Khi đó, tập con Ư của X được gọi là một lân cận của A nếu tồn tại V € 7 sao cho
AcVcU
Ngoài ra, nếu U € 7, thi ta n6i ring U 1A lan can mé của A Đặc b nếu 4 = {z}, thi ta néi ring U Ia lan can cia x
Nhận xét 1.3.6 Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập hợp
mở, nhưng mỗi tập hợp mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó
Chứng mình (1) Giả sử X = {a,b,c} va
7 = {0,X, {a}, {b,c}}
Khi đó, 7 là một topo trên X và {ø, b} là lân cận của ø nhung {a,b} ý 7
(3) Giả sử U là một tập hợp mở và z € U Khi đó, nếu ta lấy V = U,
thì V €7 và
œ€VCU
Như vậy, U là một lân cận của z trong X n
Bổ đề 1.3.7 Dối với không gian topo (X,7), các khẳng định sau là
Trang 181) U là tập hợp mở;
2) U là lân cận của mọi điểm thuộc nó;
3) Với mọi z € U, tồn tại lân cận V¿ của # sao cho # € V„ C Ù
Chứng mình (1) —> (3) Giả sử U mở và z € U Khi đó, nếu ta chọn V=U€z, thì z€ V C U Như vậy, U là lân cận của x
(2) —= (3) Giả sử U là lân cận của mọi điểm thuộc nó và z €
Khi đó, U là một lân cận của z Như vay, néu ta chon V, = U, thì V„ là
lân cận của # và z € V; C Ù
(3) = (1) Giả sử với mọi z € U, tồn tại lân cận W„ của z sao cho
+œ€ V¿C U Khi đó, vì V¿ là lân cận của z nên tồn tai W, € 7 sao cho 2 €W, C V Hơn nữa, ta có U=UfŒ}€ UW,€ UV,CU, zeU EU xếU kéo theo U = U W, Theo Định nghĩa 1.3.1 ta suy ra U €7 n xeU 1.4 Tập hợp đóng và bao đóng của một tập hợp
Định nghĩa 1.4.1 Tập con X của một không gian topo (X,7) được gọi
là tập hợp đóng trong X nếu X\A €7
Dinh lí 1.4.2 Đối với không gian topo (X, 7), các khẳng định sau là đúng
1) 0, X là các tập hợp đóng;
2) Hợp hữu hạn tập hợp đóng là một tập hợp đóng; 3) Giao tùy ý các tập hợp đóng là một tập hợp đóng
Trang 1912 1) Bởi vì Ú, X €7 nên X\0=Xer: X\X=0er Như vậy, Ú và X là các tập hợp đóng 2) Gia sit Fi, F, , Fy là các tập hợp đóng Khi đó, X\€r với mọi ¡ = 1,2, n Hơn nữa, theo Định nghĩa 1.3.1 ta suy ra x\ (Us) Nhu vay, U F; 1a mot tap hgp dong isl 3) Gia sit {F,}aca 1a ho gdm cc tap hợp đóng Khi đó, X\F, €7 véi moi a € A Do đó, theo Định nghĩa 1.3.1 ta suy ra x\(*)= U(X\#)<z ach ach Như vậy, ƒ\ F, la mot tap hgp dong o acl
Nhận xét 1.4.3 Hợp tùy ý các tập hợp đóng trong không gian topo có
thể không đóng Do đó, giao tùy ý các tập hợp mở có thể không mở
Chứng mình Giả sử TR là tập hợp số thực với topo 7 thông thường và
A,= |0.1= | với mọi n € N
Khi do,
Trang 20® 4a là tap hgp dong trong R với mọi n € Đ « U 4¿= 0,1): nen That vay, giả sit a € U A, Suy ra tồn tại n € Ñ sao cho nen re A= [o.1-4] € (0.1) Ngược lại, giả sử z € [0, 1), kéo theo 0 < x < 1 Do đó, tồn tain EN sao cho 1 0<z<1—- n Diéu nay suy ra ring ve [o1-2}=4,c Yan n neN Tit chitng minh trén ta st ra hợp tùy ý các tập hợp đóng có thể không ập hợp mở có thể không mở a
dong Do dộ, giao tiy Ơ Â:
nh nghĩa 1.4.4 Giả sử 4 là một tập con của khong gian topo (X,7)
Trang 2114 6) AUB i] >ị UB; 7) ANB CANB, va ding thtic khong xy ra Chứng mình Giả sử rằng, Z={FCX:F đóng và AC F}; G={F CX: F đóng và BC F} Khi đó,
1) Bởi vì X là tập hợp đóng chứa 4 nên X € ZƑ, kéo theo F £0 Do đó,
- luôn tồn tại Hơn nữa, vì A C # với mọi # € # nên
Acn{F:Fe7}=Ã
2) Theo Dinh If 1.4.2(3) ta suy ra ring A là tập hợp đóng Bây giờ, giả sử F la tap dong bit ky trong X chita A Khi d6, F € F, kéo theo A=fn{F:Fe7}CE Ngoài ra, nhờ khẳng định (1) ta suy ra 4 € Z Như vậy, A 1a tap hợp đóng nhỏ nhất chứa 4 3) Giả sử A đóng Khi đó, vì 4 C 4 nên ta suy ra 4 € Z, kéo theo A=UF:FEF}CA
Két hgp khang dinh (1) ta suy ra ring A = A
Ngược lại, giả sử A = A Khi đó, nhờ khẳng định (2), 4 là tap hop
đóng, kéo theo 4 là tập hợp đóng trong X
4) Theo khẳng định (2), 4 là tập hợp đóng Do đó, nhờ khẳng định (3) A
Trang 22
5) Bởi vì 4C Ø nên ổ C Z Do đó, A=n{F:Fe7}cn{F:Feđ} =8 6) Theo khẳng định (1), 4 C A; C , kéo theo AUBCAUB Mặt khác, theo khẳng định (2), 4, là các tập hợp đóng Do đó, nhờ Dinh Ii 1.4.2(2), AUB 1a tap hgp đóng Như vậy, sử dụng khẳng định (3) và (5) ta suy ra rằng,
AUBC AUB= AUB (12)
Hơn nữa, vì AC 4U Ö và BC AU Ö nên theo khẳng định (5) ta có AcAUB; BCAUB
Điều này kéo theo rằng
AUB Cc AUB (1.3)
Nhu vay, tit (1.2), (1.3) ta suy ra AUB = AUB
Trang 2317
1.5 Phần trong của tập hợp
Định nghĩa 1.5.1 Giả sử 4 là một tập con của không gian topo (X,7) Khi đó, hợp của tất cả các tập hợp mở nằm trong 4 được gọi là phần trong
của A và ký hiệu là Int.A
Nhận xét 1.5.2 Giả sử A là một tập con của không gian topo (X,7)
Ta ký hiệu
đ(A)={VCX:Ver,VC4} Khi đó, ta suy ra rằng
TntA =U{V : V €đ(4)}
Định lí 1.5.3 Giả sử 4 là tập con của không gian topo (X,7) Khi đó,
+ € Tn‡A khi và chỉ khi tồn tại lân cận U của z sao cho x € U C A
Chứng mình Điều kiện cần Giả sử z € TntA Khi đó, tồn tại U € G(A)
sao cho « € Ứ Bởi vì € Ø(4) nên U mở và U C A Như vậy, tồn tại
lân cận Ứ của x sao cho U C A
Điều kiện đủ Giả
Bởi vì U là lân cận của z nên tồn tại V € 7 sao cho x € V C U Nhu vậy,
VỀ €6(4) và z € IntA n
ử rằng tồn tại lân cận U của z sao cho C A
Định lí 1.5.4 Giả sử (X,7) là một không gian topo, A và là các tập con của X Khi đó, các khẳng định sau là đúng
1) Tn£A là tập hợp mở lớn nhất nằm trong 4; 2) Néu AC B, thi IntA C IntB;
3) A mé khi va chi khi IntA = A;
4) Int(AN B) = IntAN IntB
Trang 241) Suy trực tiếp từ Định nghĩa L5.1
2) Gia sit A C B Khi do, G(A) C G(B) Suy ra IntA C IntB
3) Giả sử A mở Khi đó, vi A C A nén A € G(A) Suy ra A C Int A Nho khẳng định (1) ta suy ra A = Int A Bay gid, giả sử A — TntA Khi đó, theo khẳng định (1) ta suy ra rằng A là tập hợp mở 4) Theo khẳng định (1) ta có IntA C 4 và IntÖ C Ö, kéo theo IntANIntBC ANB Mặt khác, theo khẳng định (1), Int(4 1 Ö) là tập hợp mở lớn nhất nằm trong AN B nên
IntAN IntB Cc Int(AN B) (14)
Ngược lai, vi ANB C A va ANB C B nén theo khẳng định (2) ta suy
ra ring
Int(AN B) C IntA va Int(AN B) C IntB
Do đó,
Int(ANB) C IntAN IntB (15)
Tit (1.4) va (1.5) ta suy ra Int(A f\ B) = IntA (\ IntÖ a Định lí 1.5.5 Giả sử A là một tập con của không gian topo (X,7) Khi
đó, ta có
IntA=X\X\A
Chứng mình Theo Định If 1.4.5(1) ta c6 X \ A C X\ A, kéo theo
Trang 2519 Nhờ Dinh If 1.4.5(2), X \A Ia tap hyp dong, kéo theo X \X\A la tap hợp mở nằm trong A Do dé, X\XY4cđ(4) kéo theo X\XYAc1ntA (1.6) Theo Dinh lí 1.5.4(1) ta cé IntA C A va IntA là một tập hợp mở Do đó, X\AC X\TmtA Nhờ Định lí 1.4.5 ta suy ra X\ACX\IntA= X \ nt Điều này chứng tỏ rằng IntACX\XN\A (7)
Tit (1.6) va (1.7) ta suy ra IntA = X\ X\A, o
1.6 Anh xa lién tuc
Dinh nghĩa 1.6.1 Giả sử ƒ: X —> Y là một ánh xạ liên tục từ không gian topo X vào không gian topo Ÿ' Khi đó,
1) ƒ được gọi là liên tục tại z € X nếu với mọi lân cận mở V của ƒ(z) trong Y, ton tại lân cận mở của z trong X sao cho ƒ(U) C V
2) ƒ được gọi là liên tục trên X (hay liên tục) nếu nó liên tục tại mọi rex
Trang 262) ƒ“!(U) mở trong X với mọi U mé trong Y;
3) ƒ“'(F) đóng trong X với mọi # đóng trong Y;
4) ƒ(9 C ƒ(4) với mọi AC X; 5) ƒ“1(P) C ƒ-1(B) với mọi BC Y;
6) f-'(IntB) C Tntƒ~'(B) với mọi B C Y
Chitng minh 1 => 2 Giả sử ƒ là một ánh xạ liên tuc va U mé trong Y
Ta ching minh ring f~!(U) IA mở trong X Thật vậy, giả sử z € ƒ~!(U)
Khi đó, Ù là lân cận của ƒ(z) trong Y Bởi vì ƒ là ánh xạ liên tục nên tồn tại lân cận V của x trong X sao cho ƒ(V) C U Như vậy,
xe€V€ƒ'((V))c ƒ (0)
Do đó, theo Bồ đề 1.3.7 ta suy ra ƒ“Ì(U) mở trong X
2 — 3 Giả sử rằng khẳng định (2) thỏa mãn và # đóng trong Y Khi d6, Y \ F mé trong Y Bởi vì khẳng định (2) thỏa mãn nên f-1(Y \ F)
mở trong X Mặt khác, vì
ƒ1\P)=X\/7ứ)
nên ta suy ra rằng ƒ~!(F) đóng trong X
3 => 4 Theo Định lí 1.4.5, ƒ(4) đóng trong Y Bởi vì khẳng định (3) thỏa mãn nên ƒ~!(ƒ()) đóng trong X Mặt khác, vì 4 C ƒ~!(ƒ(4)) nên
theo Định lí 1.4.5 ta suy ra
4c7/-!1(4) =/'ữ()
Điều này kéo theo rằng ƒ(4) C ƒ(4)
Trang 272
1.8 Tổng của các không gian topo
Định nghĩa 1.8.1 Giả sử {(X„,7a)}aca là một họ gồm các không gian topo thỏa mãn
Xa Xa =0 với mọi a # đ,
X= U X¿ vàz là một topo trên X được xác định như sau: ach
GŒ€T khi và chỉ khi G1 Xa € 7a với mọi œ € A
Khi đó, (X,7) được gọi là tổng fopo của các không gian topo Xq Lite nay, x=S Xu ack Đặc biệt, néu A hitu han, thì ta ký hiệu X = X¡ @ X› @ - ® X„, Bổ đề 1.8.2 1) 7¿C 7 với mọi œ€ A ta ký hiệu
2) G dong trong X —> GNX, déng trong X, véi moi a € A
Chứng mình (1) Giả sử U € Tq, khi dé véi moi 8 € A ta c6
« Nếu B =a, thi UN X3 =UNX, =U Em = 7
« Néu 8 Za, thh UN X3 C XaN Xp =VE 73
Như vậy, UX € 74 vai moi 8 € A Do dé, U € 7 (9) Giả sử Ở C X, khi đó với mọi œ € A, ta có
Xa \ (GN Xa) = Xa\G = (X\G)NXa-
Như vậy, Œ đóng trong X khi và chỉ khi X \ G € 7, khi và chỉ khi (X\G)nX¿= X¿\(G X4) € 7a với mọi a € A, khi va chi khi GNX,
Trang 281.9 Không gian thương
Định nghĩa 1.9.1 Giả sử (X,7) là một không gian topo, X* là một
phân hoạch của X Ký hiệu z* là phần tử của X* chứa z,
X'={z:zeX},
a:X + X1?
ary n(x) = +” Khi đó,
1) œ được gọi là một phép chiếu tự nhiên
2) Topo 7* mạnh nhất trên X* sao cho z liên tục được gọi là fopo thương
3) (X*,7*) được gọi là không gian thương, m dude gọi là ánh xạ thương tự nhiên Bồ đề 1.9.2 7' ={ŒC X*:z (G) €7} Chứng mình Ta đặt B={GCX*:z !(G) cr} Khi đó, Khẳng định 1 BC 7" 1) B là một topo trên X* That vay
(a) Bởi vì z"!(0) =0 €7 và z~1(X*) = X €z nên Ú, X* € B
Trang 29(e) G sử A, B € B, khi đó ~!(AnB) =z"}(A)nz"1(8) e Suy ra An B€B 2) m: (X,7) > (X*, B) lien tue
That vay, gid sit V € B Khi dé, theo cach dat B ta suy raz 1(V) € 7
Nhut vay, 7 lien tue
3) 7* là topo mạnh nhất trên X* sao cho ø liên tục, do đó BC 7*
Khẳng dinh 2 7* cB
Giả sử G € 7*, khi đó vì
z:(X,7) — (X",z*)
Trang 30TÍNH CHẤT CỦA DÃY 7-HỘI TỤ TRONG
KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG về ideal, “Trong chương này, trước tiên chúng tôi trình bà tập A, các tính chất cơ bản của nó cũng như mối liên hệ giữa ideal và lọc
trên tập hợp A Sau đó, chúng tôi trình bày khái niệm và các tính chất của day 7-hội tụ, chứng minh mối liên hệ giữa tính chất của dãy 7-hội tụ với
một số tính chất của các loại hội tụ khác Trình bày và chứng minh tính chất của tập 7-mở, tập 7-đóng; mối quan hệ giữa tập 7-mở, tập mở dãy
và tập mở; mối quan hệ giữa các tập 7-đóng, tập đóng dãy và tập đóng
Cuối cùng, chúng tôi trình bày về không gian Fréchet-Urysohn , khong gian 7-Eréchet-Urysohn „ không gian dãy, không gian 7-dãy; nghiên cứu
tính đi truyền lên không gian con, không gian thương, không gian tổng
cũng như mối liên hệ của các không gian này 2.1.Ideal và lọc trên một tập hợp A/
Mục này dành cho việc trình bày về ideal, lọc trên mot tap M, cdc tinh
chất cơ bản của nó và mối liên hệ giữa ideal và loc trén tap hop M
Định nghĩa 2.1.1 (5]) Gi
Àf và 7 C A4 Khi đó,
it A = 2™ la ho gm tit cd các tập con của
1) 7 được gọi la mot ideal trên M néu né thỏa mãn hai điều kiện sau (a) Nếu BC A€7, thì Ð €7;
(b) Nếu A, €7, thì AU B €7
Trang 3127 3) Một idean không tầm thường 7 trên A/ được gọi la idea! chấp nhận được nếu {{z}: + € M} C 1; 4) Giả sử 7 là một ideal không tầm thường trên A/ Ta ký hiệu Fr={ACM:M\AeT} 5) Ta ký hiệu
Ty = {AC M: A hitu han}
Nhận xét 2.1.2 ([5]) 1) Néu M 1a mot tập hợp vô hạn, thì 7 là ideal chấp nhận được;
2) Nếu 7 là một ideal chấp nhận được trên A/, thì 7 chứa mọi tập con
hữu hạn của À
That vay, gid sit M 1a tập vô hạn Khi đó, ta có
e Bởi vì Af vô hn nờn M Â TZ
ô Với mỗi z € AM, tập hợp {z} là hữu hạn nên {z} € 7/ Suy ra 7/ # Ú
do đó {{z}:n € X} C7/
Nhu vay, Z; là ideal chấp nhận được và (1) thỏa mãn
Bây giờ, giả sử 7 là một ideal chấp nhận được trên A/ và Ƒ là tập con hữu hạn của A/ Bởi vì 7 là ideal chấp nhận được nên {z} € 7 với mọi +€E Do đó, theo Định nghĩa 2.1.1 (1a) ta suy ra F € Z
Định nghĩa 2.1.3 (|5]) Một họ Z C 2*f được gọi là một iọc trên Aƒ nếu
nó thỏa mãn các điều kiện sau
1) 0 7 và 7 #0;
Trang 32Điều kiện đủ Gia sit Fz a một lọc tren M Khi do,
e Bởi vì Zz # Ú nên tồn tại A € Zz Suy ra Aƒ\ A €7, và 7 # Ú
e Bởi vì Ú £ 7z nên Aƒ = Àf \ 0 £ 7 e Giả sit A, B € 7, khi đó M\A, M\ Be Fr Bởi vì Z7 là lọc trên ă nên M\ (AUB) =(M\ A)N(M\ B) € Fr Như vậy, AU 8 €7 « Giả sử A € 7 và BC A Khi đó, AM \ A € Zz và MỊ\ AC A\ B Bởi vì Zz là một lọc trên ă nên A \ 8 € Zz Do đó, B €7
Như vậy, 7 là một ideal không tầm thường trên A/ a
2.2 Tính chất của dãy 7-hội tụ
Mục này dành cho việc trình bày khái niệm và các tính chất của dãy T-hoi tụ Chứng minh mối liên hệ giữa tính chất của dãy 7-hội tụ với một số tính chất của các loại hội tụ khác Trong mục này ta quy ước 7 là một
ideal nào đó trên Ñ
Định nghĩa 2.2.1 ((5]) Cho (X,7) là một không gian topo, {z¿} C X,
œ€ X và, là họ gồm tất cả các lân cận của z Khi đó, {z¿} được gọi là 7-hội tụ đến z € X nếu với mọi Ù € 74;, ta có
Ay ={kEN: a, ¢U} ET
Lúc này, ta ký hiệu Z-lim x, hoặc z„¿ -Š z, và z được gọi là điểm
T-giới han cita day {xp}
Nhận xét 2.2.2 ((5]) Gia sit Z 1 mot ideal trên Ñ Khi đó,
Trang 33lim a, = z, thì 7- = 2) Nếu 7 là ideal không tầm thường, thì khẳng định trên nói chung là không đúng Thật vậy, ta có (1) Giả sử 7 là ideal chấp nhận được, limz¿ = z và U € ¡4 Khi đó, vì {z¿} hội tụ đến z nên tập hợp Ay = {k EN: 2% ¢U} là hữu hạn Như vậy, theo Nhận xét 2.1.2 ta suy ra ring Ay € Z, do d6 x Tlim x,
(3) Giả sử 7 = {{1}} và (X,7) là một không gian topo thô khác rỗng, nghĩa là z — {0, X} Khi đó, vì 7 # Ú và Ñ ¢ 7 nên ta suy ra rằng 7 là một ideal khơng tầm thường của Đ Bây giờ, ta xét dãy {z¿} C X với
#„ = # với mọi k € Ñ Khi đó,
o lima, = z
Gia sit U 1a lan can bat ky cia x trong X Khi d6, ay =x € U với
mọi k € Ñ Suy ra lim z¿ = x
© {z¿} không là dãy 7-hội tụ đến x trong X
Gia sit U = X, khi d6 U 1a lân cận của # trong X Hơn nữa, Ay = {n€N: 2, ¢U} ={ne€N:2¢X}=O0¢T
Như vậy, {z¿} không là dãy 7-hội tụ đến z
Bồ đề 2.2.3 ((5]) Giả sử 7 là một ideal trên Ñ, và (X,7) là một không,
gian topo Khi đó,
Trang 342) Nếu N €7, thì 7 = 2%, và moi day trong X la Z-hoi tụ đến mọi điểm
của X
3) Nếu 7 là iđeal không tầm thường trên Ñ và X là không gian Hausdorff, thi méi day 7-hội tụ có duy nhất một điểm 7-giới hạn
Chứng mình (1) Điều kiện cần Giả sử 7 = Ú và {z¿ — z: k € Ñ} là một dãy hằng trong X Khi đó, vì 7 = Ú nên Ay ý 7 với mọi lân cận U của + Như vậy, {z¿} không là dãy 7-hội tụ đến z € X
Điều kiện đủ Giả sử rằng với mọi dãy hằng {z¿ — z : k € Ñ} không là 7-hội tụ đến z € X Ta chứng minh 7 = Ú Thật vậy, giả sử ngược lại rằng 7 # 0 Khi đó, tồn tại 4 € 7 Bởi vì 7 là một ideal va 0 C A nên
0 €7 Ta lấy z € X và dãy hằng {z; = z : k € N} Bởi vì {z¿} không là
7-hội tụ đến z nên tồn tại lân cận Ù € #4; sao cho
O={kEN: a ¢U} ¢Z,
đây là một mâu thuẫn
(3) Rõ ràng rằng 7 C 2* Bây giờ, giả sử Ñ € 7 và A € 2*, Khi đó, ACN Bởi vì N € 7 và 7 là một ideal nên A € 7 Như vậy, 2Ÿ C 7
“Tiếp theo, giả sử {z„} là một dãy trong X, z € X và U € #4, Khi đó,
{k€N:z¿ ý U} € 9Ÿ =1
Suy ra {z¿} là dãy 7-hội tụ đến z trong X
(3) Giả sử 7 là ideal không tầm thường và X la khong gian Hausdorff, 7-lim z¿ = z và 7-limz¿ = g Khi đó, vì X là không gian Hausdorff nên
tồn tại U € #4 và V € Uy, sao cho UNV = ƒ Mặt khác, vì 7-lim z¿ = #
và 7-lim xy = ÿ nên
Trang 3532 Bởi vì 7 là một ideal nên ta có Ay U Ay € 7 Mặt khác, vì {k€N:z;eX\(UnV)} = {kEN: a, €(X\U)U(X\V)} C{KEN: ap EX\U}U{k <n: ae €X\V} = Ay UAy € TZ Bởi vì 7 là một ideal trên N nén {k€N:z.€X\(UnV)} e7 Hơn nữa, vì U f1 V = ƒ nên Ñ € 7 Điều này mâu thuẫn với 7 không là ideal tầm thường ñ
Định lí 2.2.4 ((5]) Giả sử 7 là ideal không tầm thường trên Ñ và (X,7)
là Tạ-không gian có ít nhất hai điểm Khi đó,
1) 7-hội tụ trên X trùng với hội tụ thông thường khi và chỉ khi Z = 7/;
2) 7-hội tụ trên X trùng với hội tụ thống kê khi và chỉ khi 7 = 7¡
Chứng mình Ta lấy a,b € X sao cho a # b Bởi vì X là Tì-không gian
nên không giảm tổng quát ta giả sử rằng tồn tai U € Ua sao cho b £ Ư
(1) Điều kiện cần Giả sử 7-hội
chứng minh 7/ = 7 Thật vay, tụ trùng với hội tụ thông thường Ta
eZ ct
Gia sit F € Ty, khi đó # là tập con hữu hạn của Ñ Ta xác định dãy
{z„} trong X như sau
a nếu k€ F;
*C— Ìa, nếu keN\E
Bởi vì z¿ # b chỉ hữu hạn phần tử nên hiển nhiên rằng {z¿} hội tụ thông
Trang 36hội tụ thông thường nên {z¿} là 7-hội tụ đến a Bởi vì b £ Ư nên
F={keN: x ¢U}
Như vậy, F € Z, va Ty CT
«7C1/
Giả sử A € 7, ta chứng minh A € 77, nghĩa là 4 là tập con hữu hạn của Ñ Thật vậy, giả sử ngược lại rằng 4 là tập vô hạn của Ñ Bởi vì 7 là
ideal khong tầm thường nên 7 # Ú và Ñ £ 7 Nếu Ñ \ A là tập hữu han,
thi theo chứng mình trên ta có 7; C T, kéo theo N\ A € 7 Bởi vì 7 là
ideal nên
ÑN=AU(N\4) €7
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng N \ A 1a tap vo han Bay giờ ta định
nghĩa dãy {z¿} như sau: _ ƒa nếukeN\4A Vb nếuk€A Khi đó, ø {z¿} là dãy 7-hội tụ đến a That vay, gid sit W € Uy, k6o theo UN W € U, Bai vib ¢ U nén b£UnW Do đó, {k€N:z:#@UnW}=Ae7 Mặt khác, vì 7 là ideal và
{kEN: a €W}C{kEN: % ¢UNW}
nên {k €NĐ:z¿ # W} € 7 Như vậy, {z¿} là dãy 7-hội tụ đến a trong X
© {z¿} không hội tụ thong thường đến ø trong X
“Thật vậy, vì Ư là lân cận của ø, 4 vo han va x, = b ¢ U với mọi k € A
Trang 3734
¢ Nếu {z„} hội tụ đến z, thì với với mọi V € #⁄, ta có Ay={k€N:z¿ £ V}
là tập hữu hạn Do đó, Ay € 7 = 7, và {z¿} là dãy 7-hội tụ đến z
@ Nếu {z¿} là dãy 7-hội tụ đến z, thì với mọi V € #4; ta có {keN: a, ¢V} ET
Bởi vì 7 = 7/ nên Ay hữu hạn Như vậy, {z¿} hội tụ đến z
(9) Điều kiện cần Giả sử rằng 7-hội tụ trùng với hội tụ thống kê Ta
chứng minh rằng 7 = Zs
“Thật vậy, giả sử A € 7¿, ta xét dãy {z¿} như sau
aft nếu keÑN\A
Yb néu ke A
Khi do,
e {z¿} là dãy hội tụ thống kê đến a
Gia sit V € Up, kéo theo V f1 € #4, Ta có
Ay ={k EN: ay EV} C{kKEN: a #@UnV}= A€7; Do dé, 6(A) = 0, va {2x} là dãy hội tụ thống kê đến a
e Bởi vì giả thiết điều kiện cần ta suy ra {z¿} là dãy 7-hội tụ đến a Bởi vì U € #4, nên ta có
A={kEN: a, ¢U} ET
Do đó, Zs C 7 Hơn nữa, vì nếu tồn tại A € Z\ Zs Khi đó, 4 và Ñ\ A là các tập vô hạn Do đó, ta suy ra rằng 7 C 7 ñ
Trang 38topo, {#„}, {w,} C X và z € X Khi đó, nếu #„ ` z và
{n€N:z„ # „} €7, thì Yn 2,2 EX
Chứng mình Giả sử rằng x,, 4 x € X va U €U, Khi d6,
Ayp{néeN:a, ¢U} ET
Ta lấy n bất kỳ sao cho
n€{nEN: an F yn} U{NEN: x, ý U}
Lic nay n ¢ {n EN: yn ¢ U} Do a6,
{nEN: yn EU} C{NEN: a, AynpU{NEN: a, ¢U}
Hơn nữa, vì 7 là ideal trên Ñ nên ta có
{nEN: yn GU} ET
Nhut vay, yn 2 a
Bé dé 2.2.6 ((5]) Cho 7 C J la hai ideal tren N Khi d6, néu x, 4 #
trong khong gian topo (Xr), thi z, 4 x
Chitng minh Véi mdi U € Uy, bởi vì {z„} là dãy 7-hội tụ nên Ay ={n€N: 2, ¢U} ET Đổi vì 7 C 7 nên ta suy ra rằng, Au ={neN:z„#U} €7 Điều này chứng tỏ rằng z„ x a Nhận xét 2.2.7 ((5]) 1) Ta goi là họ gồm tất cả các ideal chấp nhận
Trang 3936 2) Nếu J la mot ideal cue dai cia N va A CN, thì 4 € J hoac AEN\J 3) Ta goi O(Z) là họ gồm tất cả các ideal cực đại của Ñ chứa 7 Khi đó, 7 =f1zseø Z
Mệnh đề 2.2.8 ((5]) Cho dãy {z„} trong không gian topo (.X,7) và 7
là một ideal trên Ñ Khi đó, với mọi J € ©(7) ta có z„ ^^ # khi và chỉ khi z„ -Š z
Chứng mình Diều kiện cần Giả sử z„ - z Theo Nhận xét 2.2.7 ta suy ra 7 C J véi moi J € O(Z) Mặt khác, theo Bổ đề 2.2.6, ta thu được 2, 4 x véi moi J € (7) Điều kiện đủ Giả sử U € H,, khi đó vì z„ 4 x v6i moi J € ©(7) nên với mọi / € ©(7) ta có Au={n€NÑ:z„#U} €7 Như vậy, Áơ € (Ìzco(z) 7 Điều này chứng tỏ ring ay 4 2 a 2.3 Tính chất của các tập 7-mở, 7-đóng Mục này dành cho việc trình bày về tập 7-mở, tập 7-đóng và các tính
chất của chúng Nghiên cứu mối liên hệ giữa tập 7-mở, tập mở day va tap
mở; mối quan hệ giữa các tập 7-đóng, tập đóng dãy và tập đóng
Định nghĩa 2.3.1 (5]) Cho 7 là mot ideal trong Ñ và (X,7) là một
không gian topo, U C X Khi đó,
1) U được gọi là 7-đóng nếu với moi diy {en} C U thỏa mãn z„ `3 z,
ta đều có # € Ư;
2) U được gọi là T-mở nếu X \ U là tập 7-đóng
Bổ đề 2.3.2 (Í5]) Cho (X,r) là khơng gian topo, U C X và 7 là một
Trang 401) Néu U la tap dong, thi U la tập 7-đóng;
2) Nếu U mé, thi U la tap Z-mé
Chiing minh (1) Gia sit U la tap dong, {an} C U sao cho a, 4 x, Ta phai ching minh ring « € U That vay, giả sử ngược lại ring x ¢ U, kéo theo x € X \ U Béi vi U dong nén X \ U là mở, do đó X \ U là lân cận
mở của # trong X Mặt khác, vì z„ -^ z nên ta suy ra
Axu ={k€N:z¿ ý X\U} €7
Hơn nữa, vì {#„} C U nên 4y; = Ñ, kéo theo Ñ € 7 Như vậy, 7 là một ideal tầm thường, đây là một mâu thuẫn
(3) Giả sử U là tập mở, khi đó X \ Ứ là tập đóng Theo (1) ta suy ra X \ U là tập 7-đóng Do đó, U là tập 7-mở n Định nghĩa 2.3.3 (|5]) Cho (X,7) là mot khong gian topo, £ C X Khi đó, 1) # được gọi là đóng dãy nếu không có dãy nào nằm trong # hội tụ đến điểm nằm ngoài F
2) F duge goi la mé day néu X \ F la tap dong day
Bổ dé 2.3.4 ([5]) Cho Z, J la hai ideal trên Ñ sao cho Z C J va (X,7) la mot khong gian topo Khi d6, néu U là tap J-mé trong X, thi U cing là tập Z-mé trong X
Chứng minh Gia sit {rn} C X\U sao cho rq 4 + € X Khi đó, vì 7 C Z7 nên theo Bổ đề 2.2.6 ta suy ra x, 4 x Mat khéc, vi U là tập 7-mở nên
X \U là tập ,7-đóng Điều này chứng tỏ rằng 2 € X\U, va X\U la tap
,7-đóng Do đó, U là tập 7-mở ao
Hé qua 2.3.5 ({5]) Gia sit ring {Z, : a € A} 1a một họ các ideal trên