Đề tài Tính chất của ánh xạ giả - mở nghiên cứu nhằm những mục đích hệ thống lại một số kiến thức về topo đại cương, nghiên cứu các tính chất của ánh xạ giả - mở, các tích chất mạng cũng như sự bất biến của các tính chất mạng thông qua ánh xã giả - mở.
Trang 1
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Trang 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRA TH] THANH HOA
TINH CHAT CUA ANH XA GIA-MG
Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 8.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học:
TS Lương Quốc Tuyển
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Toi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số
liệu, kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bắt kì công trình nào khác
Tác giả <b
Trang 4Major: Mathematical analysis
Full name of Master student: LE THI DIEP Supervisors: PhD, LUONG QUOC TUYEN
‘Training institution: The University of Danang, University of Eduacation
mmat
* The main results of the thesis:
‘The research topic of the master of science thesis " Properties of quotient-sequence mapping" has achieved the following results
- Systematically restate and demonstrate in detail some results of topological spaces, the concepts of closed sets, open sets, compact sets, inner parts and closures along with their properties
- Present some axioms of separation, compact space and continuous mapping along with some of their basic properties
- Present in a systematic way and demonstrate in detail the results of sequence- continuous, quotient, presequential, and quotient-sequential mapping,
- Systematically present and demonstrate in detail the results on the features of the quotient-sequence mapping and the relationship between the quotient-sequential mapping and the invariant of cs*- lattice, cs'-lattice, wsn -network through quotient-
sequence mapping
* The applicability in practice and subsequent research of the th
‘The thesis is researched based on 08 references in English which are presented relatively carefully and completely, it is a useful reference for students who are interested in studying this direction
* The next research direction of the thesis
In the coming time, we will continue to study the characteristics of the sequence- quotation mapping and the relationship between the sequence quotient mapping with the disparity of es*-network, cs'-network, wsn-network through the mapping commercial series
Trang 5TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ
Tên để tài : TÍCH CHÁT CỦA ÁNH XA THUONG- DAY
Ngành : Toán Giải Tích Khóa: K37 Họ và tên học viên: Lê Thị Diệp
Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển
Cơ sở đảo tạo: Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng Tom tit *Những kết quả chính của luận văn: 'Đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học “ Tính chất của ánh xạ thương dãy đã
đạt được một số kết quả sau đây:
~ Trình bày lại một cách có hệ thống và chứng minh chỉ tiết một số kết quả của không
gian topo, các khái niệm tập đóng, tập mở, tập compact, phin trong va bao đóng cing với các tính chất của chúng ~ Trình bày một số tiên đề tách, không gian compact và ánh xạ liên tục cùng với một số tính chất cơ bản của chúng
~ Trình bảy một cách có hệ thống và chứng minh chỉ tiết những kết quả về các ánh xạ
liên tục theo dãy, ánh xạ thương, ánh xạ tiền day, ánh xa thương- dãy
~ Trình bày một cách có hệ thống và chứng minh chỉ tiết những kết quả về đặc trưng
của ánh xạ thương- dãy và mối quan hệ giữa ánh xạ thương- dãy với sự bất biến của
©s* mạng, es'-mạng, wsn-mạng thơng qua ánh xạ thương- day
*Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn:
Luận văn được nghiên cứu dựa trên 08 tải liệu tham khảo bằng tiếng Anh được trình bày tương đối kĩ lưỡng và đầy đủ, nó là tài liệu tham khảo bô ích cho các học viên,
sinh viên quan tâm nghiên cứu hướng này
*Hướng nghiên cứu tiếp theo của luận văn:
“Trong thời gian tới chúng tôi tiếp tục nghiên cứu về đặc trưng của ánh xạ thương- dãy
và mỗi quan hệ giữa ánh xạ thương dãy với sự bất biên của cs*-mạng, cs'-mạng, wsn-
mạng thông qua ánh xạ thương dãy
-Từ khóa: Tính chất của ánh xạ thương- day, ánh xạ thương- dãy, sự bắt biên của cs*- mạng, c$`-mạng, wsn-mang thông qua ánh xạ thương dãy
Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Người thực hiện đề tài
Trang 6Để hoàn thành được luận văn này, lời đầu tiên tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn
tác giả trong suốt quá trình thực hiện đề tà
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các quý thầy cô đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu Đồng thị cảm ơn đến các bạn trong lớp cao
học Toán Giải Tích K3ï - DN, đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong quá „ tác giả cũng xin gửi lí
trình học tập vừa qua
Trang 7Cơng trình được hồn thành tại
Trường Dại học Sư phạm - DHDN Người hướng dẫn khoa học: TS, Lương Quốc Tuyển Phản biện 1: TS Hoàng Nhật Quy
Phản biện 2: TS Lê Quang Thuận
Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Toán Giải tích họp tại Trường Dại học Sư phạm - DHDN vào ngày 28 tháng 11 năm 2021
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
Trang 8MỞ ĐẦU
CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN TOPO
1.1, Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp 1.2, Tập hợp đóng và bao đóng của một tập hợp
1.3 Phần trong của tập hợp, 7ì-không gian và 7z-không gian
1.4 Tập hợp compact và ánh xạ liên tục
1.5 Không gian con và không gian tích
CHƯƠNG 2 TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ GIẢ-MỞ
Trang 9MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Năm 1963, bằng cách tương tự những tính chất tốt của ánh xạ mở trong
không gian topo, A V Arhangelskii đã đưa ra khái niệm ánh xạ giả-mở,
như là một mở rộng của ánh xạ mở, và đã chứng mỉnh được một số kết
quả đẹp tương tự như ánh xạ mở và ánh xạ đóng ([I|) Sau đó, S Lin, € Liu và các cộng sự đã chứng minh một số bất biến của không gian với
các tính chất mạng thông qua ánh xạ mở, ánh xạ đóng Bởi vì mỗi ánh xạ
mổ hoặc đóng là ánh xạ giả-mở nôn các tác giả đã đặt ra bài toán mở sau (xem |3|)
Bài tốn 1 Khơng gian tới cs*-mang diém- được có bất biến qua
s-ánh zạ giả-mỏ hay khơng?
Bài tốn này đã thu hút nhiều nhà nghiên cứu topo trên thế giới quan
tâm từ đó đến nay Khi nghiên cứu bài toán, người ta đã thay đổi điều
kiện bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau, nhờ vậy nhiều khái niệm
mới trong topo được đưa ra Chính vì lẽ đó, người ta đã thu được nhiều
tính chất quan trọng, tạo ra những hướng nghiên cứu mạnh mẽ góp phần
làm phong phú Lý thuyết về topo đại cương (xem [3|)
Hiện nay, S Lin và X Liu đã chứng mình một số đặc trưng của ánh xạ giả-mở thông qua co sd, sp-mang, cn-mang va mang Pytkeev, cũng như
chứng mỉnh một số bất biến của các tính chất mạng đó thông qua ánh xạ
giả»mở Bởi vì mỗi ánh xạ giả-mở là
Trang 10Bài toán 8 Hãy đặc trưng ánh zạ liên lục f : X — Y théa mãn tính chất: Nếu B là mạng Pụthee của X, thì ƒ(B) là mạng Ptkeen của Y ?
Nhằm hiểu thấu đáo hơn về ánh xạ giả-mö, sự bất biến của các tính chất mạng thông qua ánh xạ giả-mở, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, chúng tôi quyết định nghiên cứu các kết quả trong bài báo |A| của S Lin và X Liu liên quan đến ánh xạ giả-mở Do đó, chúng tôi chọn đề tài “Tính chất của ánh xạ giả-mở" làm đề tài luận văn thạc sỹ cho mình
2 Mục đích nghiên cứu
“Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu nhằm những mục đích như sau:
Hệ thống lại một số kiến thức về topo đại cương, nghiên cứu các tính chất của ánh xạ giả-mở, các tính chất mạng cũng như sự bắt biến của các tính chất mạng thông qua ánh xạ giả-mổ
3 Đối tượng nghiên cứu
Các tính chất mạng, ánh xạ đóng, ánh xạ mổ, ánh xạ giả- mở 4, Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các tính chất của ánh xạ giả-mở, đặc trưng của ánh xạ giả-
mở thông qua các tính chất mạng, sự bảo tồn các tính chất mạng thông
qua ánh xạ giả-mở
5 Phương pháp nghiên cứu
& Tham khảo tài liệu, nhờ đó hệ thống lại một số kiến thức về topo đại
cương liên quan đến kết quả nghiên cứu;
® Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả đi trước liên quan đến ánh xạ giả-mở và các tính chất mạng
Trang 11
3
® Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả
đang nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn của mình
6 Cấu trúc luận văn
Ngoài phần Mỡ đầu, phần Kết luận và danh mục Tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn được chúng tôi chia thành hai chương
& Chương 1: Kiến thức về không gian topo Chương này dành cho việc
trình bày một số khái niệm và tính chất quan trọng của không gian
topo nhằm phục vụ cho việc chứng mình Chương 3
© Chương 2: Tính chất của ánh xạ giả-mở Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm về k-không gian, không gian dãy, không gian Fréchet-Urysohn và nghiên cứu quan hệ giữa một số mạng trong khong gian topo Chứng mỉnh chỉ tiết một số tính chất của ánh xạ giả-mổ
và mối quan hệ giữa ánh xạ giả-mở với ánh xạ đóng, ánh xạ mỏ, ánh xạ thương Chứng mỉnh sự tương đương giữa ánh xạ giả-mở với tính
Trang 12KHÔNG GIAN TOPO
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về topo đại
cương, các khái niệm và tính chất trong chương này được chúng tôi
trình bày u thấu đáo hơn các kiến thức
và chứng mỉnh chỉ tiết nhằm
về topo, cũng như nhằm phục vụ cho việc chứng mỉnh các kết quả chính
của chương sau Sau đây là những ký hiệu được chúng tôi sử dụng trong tồn bộ luận văn
N=(12 },e=NĐU{0}
1.1 Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp
Định nghĩa 1.1.1 Giả sử z là họ nào đó gồm các tập con của tập hợp
-X thỏa mãn các điều kiện sau (a) 0X €7; (b) Nếu V€7,thì UV €z; (e) Nếu {Ua}„¿Ạ C7, thì LJ Ứạ €7 ota Khi đó,
1) 7 được gọi là một topo trên X
Trang 133) Mỗi phần tử của 7 được gọi là một tập hợp mở
4) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó
Nhận xét 1.1.2 Dối với không gian topo X, các khẳng định sau là đúng 1) Ú, X là các tập hợp mổ; 2) Giao hữu hạn tập hợp mở là một tập hợp mỡ; 3) Hợp tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở Vi dụ 1.1.8 Giả sử X là một tập hợp, zị là họ gồm tất cả các tập con cia X va 7» = {0,X} Khi d6, 71, 72 là các topo trên X, Lúc này, ta nói ring 7; 18 topo rai rac va 7» là topo thé tren X
Vi dy 1.1.4 Gia sit (X,d) 1a mot khong gian metric và
7 ={ACX:A la tap con mở trong (X, đ)}
Khi d6, 7 1A m6t topo trén X va ta noi ring 7 1A topo được sinh bởi
metric d Dac biét, nou X = R va metric dla khodng céch thong thudng trên R, nghia 1a
d(x, y) = |x — yl vi moi x.y ER, thi ta néi rang 7 1A topo théng thwdng tren R
Định nghĩa 1.1.5 Giả sử 4 là một tập con của không gian topo (X,7) Khi đó, tập con U của X được gọi là một lân cận của Á nếu tồn tại V €7 sao cho
AcVcU
Ngoài ra, néu U € 7, thi ta nói rằng Ù là lân cận znở của 4 Đặc biệt, nếu 4 = {z}, thì ta nói rằng U là lân cận của z
Nhận xét 1.1.6 Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tap hop
Trang 14{0,X, {a}, {b.e}}- Khi đó, z là một topo trén X va {a, b} 18 lan cận của ø nhưng {a,b} ¢ 7 z (2) Gia sit U là một tập hợp mở và z € Ư Khi đó, nếu ta lấy V = U, thì V €7 và œ€VCUƯ
Như vậy, Ư là một lân cận của z trong X, a
Bồ đề 1.1.7 Đối với không gian topo (X,7), các khẳng định sau là lương
đương
1) U là tập hợp mở;
#) U là lân cận của mọi điểm thuộc nó;
3) Với mọi z € U, tồn tại lân cận V; của # sao cho z € V„ C Ữ
Chứng mình (1) => (3) Giả sử U mở và z € U Khi đó, nếu ta chọn V=U€7, thì z € V CƯ Như vậy, U là lân cận của z
(2) — (8) Giả sử U là lân cận của mọi điểm thuộc nó và z € U, Khi đó, U là một lân cận của z Như vậy, nếu ta chọn V; = U, thi Vz 1a lân cận của ø và € V¿ C
(3) = (1) Giả sử với moi 2 € U, tén tai lan cận V¿ của # sao cho +€V¿C U Khi đó, vì V; là lân cận của z nên tồn tại WỨ„ € 7 sao cho + € IW; C V¿ Hơn nữa, ta có
U=Ufz}c UWzc UVcU zeU zeU zeU
kéo theo U = U IW; Theo Định nghĩa 1.1.1 ta suy ra Ư €7 ñ
Trang 15Định nghĩa 1.1.8 Giả sử (X,7) là một không gian topo và B C z Ta nói rằng Ö là cơ sở của (X,z) (hay là cơ sở của 7) nếu mỗi phần tử của 7 là hợp nào đồ các phần tử của Ö,
Nhận xét 1.1.9 Giả sử (X,7) là một không gian topo một 8 C 7 Khi đó,
1) Nếu B là cơ sở của z, thì mỗi phần tử của là một tập hợp mở
trong X, nhưng mỗi tập hợp mở trong X có thể khơng thuộc Ư
2) B là cơ sở của không gian topo (X,7) khi va chỉ khi với mọi U € 7
và với mọi x € Ứ, tồn tại V € B sao cho
+€VCU
Chứng mình (1) Bởi vì B C z nên mỗi phần tử của B là tập hợp mở Bây giờ, giả sử X = {a,b,c}, z là topo rời rạc, nghĩa là z là họ gồm tất cả các tập con của X và ta đặt
B= {{a} {0} {c}}
Khi đó, (X,7) là một không gian topo và B là cơ sở của X nhưng tồn tại
tập mở X mà X ¢ B
(3) Điều kiện cần Giả sử B là cơ sở của X, U €z và z € U Khi đó,
tén tai {Ba}aca C B sao cho U =U{Ba: a € A} Đổi vì z € Ù nên tồn tại œ € A sao cho # € „ Như vậy, tồn tại V = B, € B sao cho weVvcu
Trang 16W= Uf}o UV.cw ew aw
Như vậy, IW là hợp nào đó các phần tử của B a 1.2 Tap hgp đóng và bao đóng của một tập hợp
Định nghĩa 1.2.1 Tập con A của một không gian topo (JÝ,7) được gọi là lập hợp đóng trong X nếu X\A €7
Trang 179
Do đó, theo Định nghĩa 1.1.1 ta suy ra
X#\(ñ#)=U@\#)<z
‘ach "CA
Như vậy, (] F¿ là một tập hợp đóng ach a
Nhận xét 1.2.3 Hợp tùy ý các tập hợp đóng trong không gian topo có thể không đóng Do đó, giao tùy ý các tập hợp mở có thể không mở
hứng mình Giả sử RR là tập hợp số thực với topo 7 thông thường và An = poa-4] với mọi n €Đ Khi đó, © |0,1) không là tập hợp đóng trong (R,7) ® A„ là tập hợp đóng trong R với mọi n € Ñ © U A, = (0,1) nếN That vay, giả sử z € LJ 4„ Suy ra tồn tại n € Ñ sao cho nen r€A„= [h!-ä] (0,1) Ngược lại, giả sử z € [Ú, 1), kéo theo 0 < z < 1 Do đó, tồn tại n €Ñ sao cho Điều này suy ra rằng | =A, Cc U An nen
Từ chứng mỉnh trên ta suy ra hợp tùy ý các tập hợp đóng có thể không
Trang 18Định nghĩa 1.2.4 Giả sử 4 là một tập con của không gian topo (X,7) Khi đó, giao của tất cả các tập con đóng trong X chứa 4 được gọi là bao đóng của A và ký hiệu là 4, Định lí 1.2.5 Giá sử A, B là các tập con của không gian topo (X,7) Khi đó, các khửng định sau là đúng 1) Ä luôn lồn tại va AC A; 2) A la tap hop đóng nhỏ nhất chứa A; 3) A dong khi va chỉ khí A ya 5) NéewAC B, mW ACB; A; 6) AUB=AuB; 7) AABC An, sà đẳng thức có thể không zảy m hứng mình Giả sử rằng Z={FC X:F đồng và AC F}, Ø@={FCX:F đóng và BC F} Khi đó,
(1) Bởi vì X là tập hợp đóng chứa A nên X € Z, kéo theo #Ƒ # Ú
Do đó, 2 luôn tồn tại Hơn nữa, vì 4 C Ƒ với mọi F € F nén
Acrn{F:Fe7}=Ã
(3) Theo Dịnh lí 1.2.2(3) ta suy ra rằng Z1 là tập hợp đóng Bay giờ, giả sử F là tập đóng bất kỳ trong X chứa A Khi đó, F € Z, kéo theo
Trang 19uw Ngoài ra, nhờ khẳng định (1) ta suy ra 4 € Z Như vậy, A là tập hợp đồng nhỏ nhất chứa A (8) Giả sử A đóng Khi đó, vì 4 C A nên ta suy ra 4 € Z, kéo theo Ä=n{F:Fe7}c A Kết hợp khẳng định (1) ta suy ra rằng A = Ä
Ngược lại, giả sử 4 = 4 Khi đó, nhờ khẳng định (2), 4 là tập hop
đóng, kéo theo 4 là tập hợp đóng trong X, (4) Theo khẳng định (2), A là tập hợp đóng Do đó, nhờ khẳng định A (8) ta suy ra rằng 2 (6) Bởi vì A CB nên đ C Z Do đó,
A=n{F: Fe F}CUF: FeG}=B
(6) Theo khiing dinh (1), Ac A; BC B, kéo theo AUBCAUB Mặt khác, theo khẳng định (2), A, Bla cdc tập hợp đóng Do đó, nhờ Dinh li 1.2.2(2), AUB la tap hop dong Nhu vay, sử dụng khẳng định (3) và (5) ta suy ra rằng AUBCAU AuB (0) Hơn nữa, vì AC AU B va B C AUB nén theo khẳng định (5) ta có AcAUB; BCAUB Điều này kéo theo rằng AUBCAUB (1.2)
Nhu vay, tit (1.1), (1.2) ta suy ra AUB = AUB
Trang 20Mặt khác, theo khẳng định (2), 4 và là các tập hợp đóng Hơn nữa, nhờ Dịnh lí 1.2.2(8), Ä\ Ø là tập hợp đóng Do đó, sử dụng khẳng định (8) va (5) ta suy ra rằng ANB cCANB=AnB giả sử X = R với topo thông thường và 4 = (0,1), B = (1,2) Khi d6, vi A = (0, 1], = [1,2] nên ta có =0z{1}=Än Như vậy, không xảy ra đẳng thức trong khẳng định (7) a Định lí 1 tưởng đương Đối tới không gian topo (X,7), các khẳng định sau là 1)z€Ã;
8) ƯnA #0 tới mọi lân cận U của z;
3) Ton tai một cơ sở B„ của # sao cho U 1A # Ö sói mọi U € B,
Chứng mình (1) => (3) Giả sử z € 7Ã Ta chứng mình rằng với mọi lân cận U của z, U f\A # Ú Thật v
U cita x sao cho UN A = 0 Béi vì Ù là lân cận của z nên tồn tại V €7: sao cho x € V CU Do dd, V0 A= 0, kéo theo 4 C X \ V Mặt khác,
vi X\V Ia d6ng nén theo Dinh Ii 1.2.5 ta suy ra
giả sử ngược lại rằng tồn tại lân cận
4cXWV=x\V
Do d6, ANV = 0, kéo theo
Trang 2113
Điều này dẫn đến mâu thuẫn với z € 4
(3) — (8) Giả sử z € X và B, là họ gồm tắt cả các lân cận của x
Khi đó, hiển nhiên rằng B, là một cơ sở lân cận của # và ƯUnA #0với mọi U € B,
(8) — (1) Giả sử rằng tồn tại cơ sở lân cận B, tai x sao cho UNA #0
với mọi U € B„ nhưng z ý Ä Khi đó, X \ Ä là một lân cận mở của x
Mặt khác, vì Ö, là cơ sở lân cận tại z nên tồn tại U € B; sao cho œ€UCX\A Suy raU AC ƯA = Ú Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết ring UN AZO a Bồ đề 1 Giả sử X là một không gian topo, A C X nà V là một tập hợp mổ trong X Khi đó, AnVc 2V
Chứng mình Giả sử z € Ãf\V và U là một lân cận bắt kỳ của z Khi đó,
vì ƯnV là một lân cận của # và z € nên
AN(UNV) #9
Điều này chứng tỏ rằng
(AnV)nU #0
Nhu vay, x € ANV a
1.3 Phan trong của tập hợp, 7¡-không gian và 7;-không gian Định nghĩa 1.3.1 Giả sử 4 là một tập con của không gian topo ( X,z)
Trang 22Nhận xét 1.3.2 Giả sử A là một tập con của không gian topo (X,7) Ta ký hiệu
đ(A)={VCX:Vez, VC 4} Khi đó, ta suy ra rằng
Tnt.A4 = U{V : V € đ(4)}
Định lí 1.3.8 Giữ sử A là tập con của không gian topo (X,7) Khi đó,
+€ IntA khi oò chỉ khi lồn tại lân cận Ù của + sao cho z € U C A
Chứng minh Diều kiện cần Giả sử z € InvA Khi đó, tồn tại U € G(A)
sao cho x € U Bai vi U € G(A) nén U mở và U C 4 Như vậy, ton tai
lan can U cita x sao cho U C A
Diéu kign di Gia sit rang tén tai lan can U cita x sao cho U C A
Béi vi U 1a lan can cita x nén ton tai V € 7 sao cho x € V CU Nhu vay,
V €đ(4A) và z € IntA n
Định lí 1.8.4 Giả sử (X,7) là một không gian topo, A va B la các tập con của X Khi đó, các khẳng định sau là đúng
1) IntA là lập hợp mở lớn nhất nằm trong A;
9) Nếu AC B, thi IntA C IntB;
3) A mở khí tà chi khi tnt A = A;
4) Int(AN B) = IntAn intB
Chứng mình (1) Suy trực tiếp từ Dịnh nghĩa 13.1
(2) Giả sử A C B, Khi 46, G(A) C đ(B) Suy ra Int.A C TntÖ,
(8) Giả sử A mở Khi đó, vì 4 C 4 nên A € đ(4) Suy ra Á C Tnt4
Trang 2315
Bây giờ, gid sit A= Int A, Khi d6, theo khang dinh (1) ta suy ra ring A là tập hợp mở,
(4) Theo khẳng định (1) ta có Int.4 C A và IntB C B, kéo theo
IntAN IntBC ANB
Mặt khác, theo khẳng định (1), Int(A A B) la tap hop mở lớn nhất nằm
trong AN B nên
IntAN IntB C Int(AN B) (13)
Nawgc lai, vi ANB C Ava ANB C B néntheo khang dinh (2) ta suy ra rằng
Int(AN B) C IntA va Int(AN B) c intB
Do đó,
Int(AN B) C IntAN Int B (14)
Trang 24Theo Định lí 1.3.4(1) ta có IntA C A va Int.A là một tập hợp mở Do đó, X\ACX\mtA Nhờ Dịnh lí 1.2.5 ta suy ra X{\ACX\TntÄ4= X \ tA Điều này chứng tỏ rằng mtAcX\X\A (1.6)
Tit (1.5) va (1.6) ta suy ra IntA =X\X\A a Định nghĩa 1.3.6 Giả sử (X,z) là một không gian topo Khi đó,
1) (X,7) được gọi là Tị -không gian nếu với mọi #, ý € X mà z # ÿ,tồn
tại các lân cận Ù của ø và V của # sao cho # ¢ V vay ¢ U;
2) (X,7) được gọi là T,-không gian hay là không gian Hausdorƒƒ nếu với mọi #, ý € X mà # # 1, tồn tại các lân cận Ứ của z và V của y sao cho UNV =0
Định lí 1.8.7 Giá sử (X,z) là một không gian topo Khi đó, 1) Tạ-không gian —> Tì-không gian;
8) Tị-không gian #> T›-không gian
Chứng minh (L) Suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.3.6 (3) Giả sử X là tập hợp vô hạn và
Tz={ACX:A=0 hoặc X \ A hữu hạn }
Trang 2517 (a) 7 là một topo trên X
e@ Hiển nhiên rằng Ú € 7 Hơn nữa, vì X \_X = Ú là hữu hạn nên X € 7 sử A, €7 Khi đó, nếu 4 = Ú hoặc / = Ú, thì AnB=0er Bây giờ, nếu A # Ú và # Ú, thì X \ A và X \ Ö là các tập hữu hạn Do đó, từ đẳng thức X\(ANB) =(X\A)U(X\B)
ta suy ra rằng X \ (A2 Ö) là tập hữu hạn Như vậy, A1 € 7, ® Giả sử {4a}acA C7 Khi đó,
Nếu tồn tại aœ € A sao cho Ag #0, thi X \ Aa là tập hữu hạn Do đó,
từ bao hàm thức
X\(U ach Ae) CX\ An
ta suy xa X\ ( U Aa) là tập hữu hạn, Như vay, U Aa oth se € 7
Nếu A„ = Ủ với mọi a € A, thi U Ag =0 ET ach
(b) (X,7) 1 Tị-không gian Giả sử z, € X mà z Z Ta đặt U=X\{y}; V=X\ {2}
Khi đó, X\U = {u} và X\V = {z} là các tập hữu hạn Suy ra U, V € 7 Như vậy, U là lân cận mổ của z và V là lân cận mở của ÿ thỏa mãn rằng
Trang 26(c) (X,7) không là 7;-không gian Ta chỉ cần chứng minh rằng với hai tập mở khác rỗng bất kỳ trong X' đều có giao khác rỗng Thật vậy, giả sử ngược lại rằng tồn tại 4, Ở € 7 sao cho
AZ0, B40, ANB=0
Khi d6, AC X\ B Béi vì B € z và Ö # Ú nên X \ Ö là tập hữu hạn Như vậy, A là tập con hữu hạn của X Hơn nữa, vì 4 # Ú, A € 7 nên -X \ A hữu hạn Do đó, X là tập hữu hạn Điều này mâu thuẫn với X là
tap vo han a
1.4 Tập hợp compact va anh xa lién tuc
Định nghĩa 1.4.1 Giả sử #/ là một họ nào đó gồm các tập con cia khong gian topo X và AC X Khi đó, 1) # được gọi là một phử của A nếu AC U{U : Ứ €} 2) U duge gọi là phủ mở của A nếu 8# là một phủ của A và mỗi phần tử của #í là tập hợp mở, 3) U ditge gọi là phú hữu hạn của A nếu #4 là một phủ của A chỉ có hữu hạn phần tử
Định nghĩa 1.4.2 Giả sử K là một tập con của không gian topo X, Ta
nói rằng là tập compact nếu mỗi phủ mở của K, tồn tại một phủ con
hitu han pha K
Bồ đề 1.4.3 Mỗi tập con compact trong khong gian Hausdorff la tap hap
đồng
Chứng mình Giả sử X là không gian Hausdorff, 4 là tap con compact trong X và z € X \ 4 Khi đó, vì X là không gian Hausdorff nên với mỗi
Trang 2719
Mặt khác, vì họ {V, : y € A} 1a mt phi mở của tập con compact Á nên tồn tại tập con hữu hạn F C A sao cho AC LJ V Bây giờ, nếu ta đặt vếF U = [| Ưy, thì U là lân cận của z và ek creUcX\A Như vậy, A là tập hợp đóng trong X a
Định nghĩa 1.4.4 Giả sử f: X + Y 1 mot anh xa lien tuc tit khong gian topo X vao khong gian topo Y Khi 46,
1) ƒ được gọi là liên tục tai z € X nếu với mọi lân cận mở V của ƒ(z)
trong Y, tồn tại lân cận mở Ù của # trong X sao cho ƒ(U) C V
2) ƒ được gọi là liên tục trên X (hay liên tục) nếu nó liên tục tại mọi rex 8) ƒ được gọi là phép đồng phôi nếu f 12 mot song anh va f, f-! 1a cdc ánh xạ liên tục Định lí 1.4.5 Đối sới không gian topo X, các khẳng định sau là tướng đương 1) ƒ là ánh zạ liên tục;
2) f-\(U) mé trong X védi moi U mé trong Y;
3) f-\(P) déng trong X vdi moi F déng trong Y;
4) {(A) c F(A) vdi moi AC X;
5) F-(B) C f-\(B) với moi BCY;
Trang 28Chứng mình (1) => (3) Giả sử ƒ là một ánh xạ liên tục và Ư mở
trong Ÿ Ta chứng mình rằng ƒ~!(U) là mở trong X Thật vậy, giả sử + € f-\(U), Khi đó, U là lân cận của ƒ(z) trong Y' Bởi vì f là ánh xạ liên tục nên tồn tại lân cận V của z trong X sao cho ƒ(V) C U Như vậy,
xz€VCƒ !ƒ(V))c ƒ (0)
Do đó, theo Bồ đề 1.17 ta suy ra f-(U) mé trong X
(2) — (3) Giả sử rằng khẳng định (2) thỏa mãn và £ đóng trong Y Khi d6, Y\ F mé trong Y Béi vì khẳng định (2) thỏa mãn nên ƒ~!(Y \ £) mở trong X, Mặt khác, vi
1@\P=X\Z£'Œ) nên ta suy ra rằng ƒ~!(F) đóng trong X
(8) => (4) Theo Dinh li 1.2.5, F(A) dong trong Y Béi vì khẳng định (8) thỏa mãn nên ƒ~!(ƒ(4)) đóng trong X Mặt khác, vì 4 C ƒ~!(ƒ(4))
nên theo Dịnh lí 1.2.5 ta suy ra
Ac7'ữ()) = Ƒ'ữ0)
Điều này kéo theo rằng ƒ(4) C F(A),
(4) => (5) Theo khẳng định (4), với mọi B C Y ta có 7010) € ƒ(1(B8)) c5
Suy ra FB) C ƒ“!(B)
(5) => (6) Vi moi B.C Y, theo Dinh lí 1.3.5 ta có
Jat B) = f-"(Y \Y\B) = X\ f(V VB) (17)
Trang 292I
X\ FB) = FAV VB) cf (VB) (18)
Như vậy, từ (1.7) và (1.8) ta suy ra rằng
£ 'ŒntB) C X\X\ ƒFÍ(B) = mt f-(B)
(6) => (1) Giả sử z € X và V là một lân cận mở của ƒ(z) trong Y Khi đó, theo Định lí 1.3.4 ta suy ra Int V = V, Bởi vì khẳng định (6) thỏa mãn nên
SOV) = ƒ-!(IntV) C Int ƒ~!(V)
Hon nita, theo Dinh li 1.3.4 ta suy ra Int f-"(V) C f-'(V) Do đó,
int f-'(V) = f(V)
ay, néu ta dat U = f-1(V), thi U 1A mot lan can mé cita # và ƒ(U) CV Điều này suy ra rằng ƒ liên tục tại z a
Bồ đề 1.4.6 Nếu ƒ là ánh zạ liên tục từ không gian topo X rào không
gian topo Y va là tap compact trong X, thì ƒ(K) là tập compact trong Y
Chitng minh Gia sit U là một phủ mở của ƒ(Ñ) trong Y Khi d6, vì ƒ là ánh xạ liên tục nên theo Định lí 14.5 ta suy ra {ƒ~'(U) : U €1} là phủ mở của A trong X, Mặt khác, vì K là tap con compact trong X nén ton tại họ con hữu hạn V CU sao cho KC LU JMU), Kéo theo ve
JKC F(U FW) © UO) © UU ve wy vey
Trang 30Định nghĩa 1.5.1 Giả sử (X,z) là một không gian topo, Y C X và Ty ={YnU:Uezr}
Khi đó, zy là một topo trên Ÿ' Ta nói rằng (Y,zy) là một không gian con
của không gian topo (X,7)
Định lí 1.5.3 Giá sử (X,7) là một không gian topo, (Y, ry) la mot khong gian con của X va ACY Khi đó,
1) A là đồng trong Y khi va chi khi tên tai tap con déng F trong X sao cho A=Y OF;
2) A =Any
Chitng minh, (1) Gia sit A d6ng trong Y, Khi đó, Y \ A € zy Suy ra tồn
tai U € 7 sao cho Y\A=YnU Như vậy, A=Y\(¥\A)=Y\(YOU)=Y\U=YN(X\U) Do đó, néuta dat F =X \U, thi F đồng trong X va A=YnE Đảo lại, giả
Khi đó, ử rằng tồn tại tập con Ƒ đồng trong X sao cho A = YF
Y\A=Y\(YOF)=Y\F=Y¥A(X\F)
Trang 3123
(2) Sử dụng khẳng định (1) ta có
AY ={E CY: E dong trong Y}
=M{Y OF: F déng trong X}
=Yfn(f{F: F đóng trong X}) = A
Didu nay ching té ring AY = ANY n
Định nghĩa 1.5.3 Giả sử (X, zy), (Y,7y) là hai không gian topo và 7 là một topo trên X x Y có cơ sở là
B={UxV:U€zy và V €zy}
Khi đó, 7 duge goi IA topo tich tren X x Y
Định lí 1.5.4 Tích của hai không gian compact là compact
Chứng mình Giả sử (X,7x), (Y,y) là hai không gian topo compact và 7 Ia topo tích tren X x Y, Khi 46,
Khẳng định 1 Với mỗi z € X, z x Y là tập hợp compact
That vay, giả sử ## là một phủ mở của z x Ÿ trong X x Y Suy ra với mỗi ý € Y, tồn tại W, € U sao cho (x,y) € Wy Do d6, véi mdi € Y,
ton tai Uy € Tx va Vy € Ty sao cho
U,x Vy CW,
Bởi vi {Vy : y € Y} 1A mot phi mé cia Y compact nen ton tai tap con hữu han K CY sao cho ¥ C LJ VỤ Điều này suy ra rằng veK
xzxYc|J(,xv„)c J1
eK eK
Như vậy, {W„ : y € K} là phủ con hữu hạn của # phủ z x Y Do đó,
Trang 32trong X x Ý, tồn tại lan can W, cia x trong X sao cho +xYCH,xVCA,
That vay, vì Á„ là lân cận của z x Y nên Ä„ là lân cận của (z,y) với mọi y € Y Do d6, với mỗi y € Y, ton tai U, € 7x và VỤ € 7y sao cho
@ EU yy E Vy, Uy X Vy C Nee
Mặt khac, vi {V, : y € Y} là phủ mở của Ý compact nên tỒn tại tập con
hữu hạn F CY sao cho Y C U Vy Nut vay, néu ta dat We = 1) Us,
ver yer
thi W, 18 lân cận của z và
#xYCW,xYCU,xYCN,
Khẳng định 3 X x Y là compact
That vay, gid sử Ở là một phủ mở của X x ¥, Theo khẳng định 1, 2 x ¥ là tập compact trong X x Ÿ với mọi z € X Do đó, với mỗi z € X, tồn tại họ con hữu hạn Z; C Ở sao cho #xYCU{F:F€7,} Bây giờ, với mỗi x € X, nếu ta đặt N, =U{F : F € Fy}, thi NV, là lan cận của x x Ÿ' Do đó, theo khẳng định 1, tồn tại W; € 7x sao cho #xYCH,xYCA,
Bởi vì {VW, : z € X} là một phủ mở của tập compact # nên tồn tại tập con hitu han H CX sao cho X C LJ W; Do đó,
cH
xxycUMxyycU UUŒ:r<Z,))
Trang 332
Trang 34TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ GIẢ-MỞ
Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm về k-không gian, không
gian dãy, không gian Fréchet-Urysohn và nghiên cứu quan hệ giữa một số
mạng trong không gian topo Chứng mình chỉ tiết một số tính chất của ánh xạ giảmở và mối quan hệ giữa ánh xạ giả-mở với ánh xạ đóng, ánh xạ mở, ánh xạ thương Chứng mình sự tương đương giữa ánh xạ giả-mởi
với tính bất biến của cơ sở, sg-mạng, en-mạng thông qua ánh xạ giả-mở
2.1 Mạng trên không gian metric suy rộng,
Mục này dành cho việc trình bày khái niệm về k-không gian, không
gian da
không gian Fréchet-Urysohn Chứng mỉnh chỉ tiết một số mối
quan hệ giữa các mang trong khong gian topo
Định nghĩa 2.1.1 Gia sit (X,r) là một không gian topo Khi đó,
1) X được gọi là k-không gian nếu với 4 C X mà AOP mở trong P với mọi P là tập compact trong X, thi 4 là tập mở trong X,
2) X được gọi là không gian đấy nếu với A C X thỏa mãn không có dãy nào trong A hội tụ đến điểm nằm ngoài A, thì A đóng trong X' 3) X duge goila khong gian Fréchet-Urysohn néuvéi moi A C X,x € A,
ton tai day {z„} C A hội tụ đến z
Bồ đề 2.1.2 Mỗi không gian metrie là một không gian Fréchet-Urysohn,
và mỗi không gian Fhéchel-Urusohn là một không gian dãy
Trang 35oe
(2) Gia sit (X,7) 1 không gian Fréchet-U
có dãy nào nằm trong 4 hội tụ đến điểm nằm ngoài 4 Ta chứng mỉnh
rằng A dong That vậy, giả sử ngược lại rằng 4 không đóng Khi đó, tồn
tại z € Ä\ A Bởi vì X là không gian Eréchet-Urysohn nên tồn tại dãy {#a} C A sao cho x, + z Điều này chứng tỏ rằng tồn tại day nim trong A hội tụ đến điểm nằm ngoài 4, mâu thuẫn với giả thiết ban đầu — [1
Định nghĩa 2.1.3 (|2) Cho (X,z) là một không gian topo và A C X
Ta nói A tụ tại điểm + hay z là điểm tụ của A nếu với mọi lân cận của #
chứa vô hạn phần tử của A
Nhận xét 2.1.4 Giả sử (X,7) là 7¡-không gian Khi đó, z € X là điểm tụ của A khi và chỉ khi z € 4\ {z}
Chứng mình Điều kiện cần Giả sử z là điểm tụ của A và U là lân cận bắt kỳ của z Suy ra U chứa vô hạn phần tử của 4, do đó U chứa vô hạn phần tử của tập A\ {z} Như Un(A\ 1z) #0 Điều này kéo theo rằng z € 4\ {z}
Điều kiện đủ Giả sử z € 4\ {z} và U là lân cận mở của z Ta chứng
mình rằng U chứa vô han phan tit cia A, That vay, giả sử ngược lại rằng,
Trang 36một phủ gồm các tập con nào đó của X Khi đó,
1) ? được gọi là mạng của X nếu với mọi z € U với U € 7, tỒn tại PEP sao chore PCU
2) P duge goi lA cs*-mang cita X néu voi moi day {z„} hội tụ đến z € U véi U €7, tồn tại P € P va day con {xp»,} C {z„} sao cho
{z}U{z„ :k€N}CPCU
8) Ð được gọi là cs°-mang của X nếu với mọi đãy {z„} hội tụ đến
œ€U với U € 7, ton tai P € P va day con {27,,} C {an} sao cho
{£„ :k€ N} CPCU
4) ? được gọi là k-mạng của X nếu với mỗi K compaet và C U €7,
tồn tại họ con hữu hạn F C ? sao cho K C UF CU
5) P được gọi là sp-mang của X nếu với mỗi A C X,U € 7 vàz € Uf\Ä,
tồn tại P € ? sao cho z€ PC U vàz€ PñA
6) Ð được gọi là mạng Pụtkeen của X nếu nó là mạng của X và với mỗi
lân cận U của z trong X, và với mỗi tập con 4 trong X có điểm tụ
lax, ton tại P € P sao cho PO Ala vo han va P CU
7) P duge goi là en-mang của X nếu với mỗi lân cận U của z trong X,
tập hợp U{P €?:z€ PC U} là lân cận của #
Nhận xét 2.1.6 Giả sử (X,7) là một không gian topo Khi đó,
1) Mỗi s"=mạng (hoặc #-mạng, hoặc mạng Pytkeev) là wes*-mang;
2) Mỗi uucs'-mạng (hoặc sp-mạng, mạng Pytkeey, cn-mạng) là mạng, Chứng mình (1) Nêu P là es*-mạng của X, thì theo Dịnh nghĩa 2.1.5 ta
Trang 3729
Bây giờ, giả sử 7 là kemạng của X, {z„} là đãy hội tụ đến z € U €7
Khi đó, tồn tại nọ € Ñ sao cho
{x} U{aq in > mo} CU
Ta dat
K = {2}U {04m > no}
Khi đó, K 1a tap con compact cita X va K CU Bai vì ? là k-mạng của X nén ton tai ho con hữu hạn Ø C ? sao cho
KCUGCU
Béi vi G hitu han nén ton tai day con {x,,} cita {z„} va P € G sao cho
{i,k EN} CPCUGCU
Nhu vay, P 1a wes*-mang ciia X Cuối cùng, giả sit P 1A mang Pytkeev Ta dat
ay} là dãy hội tụ đến z € U € 7
A=(z}U{z„:n €N}
Khi đó, z là điểm tụ của A Bởi vì ? là mạng Pytkeev nên tồn tại P €? sao cho Pf\ A vô hạn và P C U Do đó, tồn tại dãy con {z„} của {„}
sao cho
{an :k€N} CPCỨƯ
Do đó, P 1a mang Pytkeev của X, (9) Giả sử P là
ta lay x, =x vdi moi n € Ñ Rõ ràng ring x, + x Bởi vì P 1a wes*-mang
Trang 38khi đó z € U14 Bởi vì P 1a sp-mang cita X nên tồn tại P € ? sao cho
œ€PCUvàzeÄänP
Như vậy, Ð là mạng của X
Cuối cùng, nếu ? là mạng Pytkeev hoặc en-mạng của X, thì theo Định
nghĩa 3.15, ? là mạng của X ao
Bỗ đề 2.1.7 ([4]) Gid si (X,7) là một không gian dãy Khi đó, mỗi
wes*-mang trong X la mang Pytkeev
Chitng minh, Gia sit P là wes*-mang cia X, A CX, x € X la diémty của A và Ứ là lân cận mở của z trong X Khi đó,
« Theo Nhận xét 2.1.6(1), P 1a mang cita x
© Ta chỉ cần chứng mình rằng tồn tại P € Ð sao cho PC U và PA là tập vô hạn
‘That vay, vi x là điểm tụ của 4 nên theo Nhận xét 2.1.4 ta suy ra rằng
a € A\ {x} Bay gid, ta đặt
D=(A\ {x}) U(X \U) (21)
Bởi vì U là 1an cn ciia x nen ô Â X\U, k6o theo x ¢ D Bai viU € + nén X \U dong trong X Mặt khác, vì
D=A\(yUX\U =A\ {a U(X \U)
và z€ 4\ {z} nên z € Ð\ D, kéo theo D không đóng trong X Hơn nữa,
vì X là không gian dãy nên tồn tại dãy {z„} CD sao cho z„ + 2 ¢ D Lite may, ta có
Trang 3931 phần tử của {z„}, nghĩa là X \ U chứa một day con 2} của {z„}, thì z€eXN\U=X\U=D,
đây là một mâu thuẫn Do đó, X \ U chứa nhiều nhất là hữu hạn phần
tử của {z„} Như vậy, nhờ (2.1) ta có thể giả thiết rằng {z„} C A và
Ip # Lm Vi moi m #n
e Bởi vì z ý X \ U nên z € U Hơn nữa, vì Ð là ues"-mạng của X nên
tồn tại P € ? và {z„,} của {z„} sao cho {tn :kEN}CPCU Diu nay chting t6 ring POA vo han và P C U Do đó, P là mang Pytkeev của X ũ B6 đề 2.1.8 (||) Giá sử X là không gian Fréchet-Urysohn Khi d6, mỗi cs*-mạng trong X là một sp-mạng Chứng mình Giả sử P IA es’
X và AC X Bởi vì X là không gian Fréchet-Urysohn nên tồn tại dãy {#a} C A sao cho z„ —> z trong X Mặt khác, vi P là cs*-mang va x € U
nên tồn tại ? € 7 và dãy con {z„¿} C {ap} sao cho
mạng của Ý, # € U f1 Ä với Ứ mỡ trong
{z}U {z„ : k€ N}C PCỨƯ
Do đó, ta suy ra rằng {z„„} C PA, kéo theo z € P13 Như vậy, P là
một sjmạng của X: n
Định lí 2.1.9 (|d|) Giá sở? là họ nào đó gồm các tập con của (X,7)
Khi đó, Ð là en-mạng của X khi và chỉ khi nó thỏa mãn hai điều kiện sau
1) Đ là mạng của X;
Trang 40Chứng mình e Điều kiện cần Giả sử ? là một en-mạng của X Khi đó, (1) P là mạng của X Gia sit x © W € z, khi đó vì ? là en-mạng của X nên tập hợp U{P€P:zePCW} là lân cận của x, Suy ra œ€U{P€7P:zePCW} Do đó, tồn tại P € ? sao cho z € PC IW, Điều này chứng tỏ rằng Ð là mạng của X (2) Giả sử A C X, z là điểm tụ của A và U là lân cận của z Khi đó, nhờ Nhận xét 2.14 ta có z € 4 \ {z} Mặt khác, vì U{P€P:zePCU} là lân cận của + nên tồn tại z€ (4\v6))n(0(P<P:zePcU})
Do đó, tồn tại z € A\ {z} và P € Ð sao cho {z,z} C PC U,
« Diều kiện đủ Giá sử Ð thỏa mãn (1) và (2) Ta chứng mình rằng ? là một en-mạng của X
That vay, giả sử U là một lân cận của z trong X Ta đặt
V=U[P€P:zePCU}
Khi đó, nếu V không là lân cận của z, thì với mọi lân cận mở IW của z ta đều có W ¢ V, kéo theo WN(X\V) #0, do đó z € XÂY, Bởi vì +€ V nên z ý X \ V, kéo theo