Mục tiêu của đề tài Tính chất Fréchet-Urysohn trên không gian cầu trường được là tìm hiểu mối quan hệ giữa các không gian Fréchet-Urysohn, không gian Fréchet-Urysohn mạnh, không gian dãy và không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất; tìm hiểu một số tính chất của không gian cầu trường được; tìm hiểu tính chất Fréchet-Urysohn và tính chất Fréchet-Urysohn mạnh trên không gian cầu trường được.
Trang 1TRUONG DAI HOC SU PHAM VÕ THỊ TUYẾT NHU TÍNH CHẤT FRÉCHET-URYSOHN TRÊN KHƠNG GIAN CÂU TRƯỜNG ĐƯỢC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS Lương Quốc Tuyển
Trang 2Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số
liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công, bố trong bất kì công trình nào khác
Tác giả
Trang 3MỞ ĐẦU 222222222222 nhi 1
CHƯƠNG 1 Cơ sở lý thuyết 4
1.1 Khong gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp 4
1.2 Tập hợp đóng và bao đóng của một tập hợp Ñ
1.3 Phần trong của tập hợp, 7ì-không gian va Tz-khOng gian 13
1.4 Tập hợp compact va dnh xa lién tue 6.6 eee ee eee eee eee eee 18 1.5 Không gian con và không gian tích - 21 CHƯƠNG 2 Tính chất Eréchet-Urysohn trên không gian cầu
trường được 222222222222 222 2c ssy 25
Trang 41 Tính cấp thiết của đề tài
Nhóm topo đã được G Birkhoff đưa ra vào năm 1936 trong [1] Sau đó, nhiều tác giả trên thế giới đã giới thiệu nhiều khái niệm suy rộng của nó
và đã thu được những kết quả mở rộng của một số kết quả trong nhóm topo ([1], [2], [4], [5] [6] [7]) Đặc biệt, vào năm 1996, A S Gulko đã giới thiệu khái niệm không gian cầu trường được (rectiñable space), đã chứng
minh rằng mỗi nhóm topo là một không gian cầu trường được, và không
gian cầu trường được như là mội ông của nhóm topo Hơn nữa,
tác giả cũng đưa ra ví dụ nhằm chỉ ra rằng sự mở rộng này là không tầm
thường ([4]) Gần đây, một số tác giả đã nghiên cứu tính chất compact cũng như tính chất Fréchet-Urysohn, tính chất Eréchet-Urysohn mạnh trên không gian cầu trường được và đã thu được nhiều kết quả thú vị ([7], [8])
Hơn nữa, trong [7] các tác giả đã đặt ra bài toán sau
Bài toán 1 ([7], Question 7.2) Mỗi không gian cầu trường được chính quy có là không gian hoàn toàn chính quụ hay khơng?
Bài tốn 2 ([7], Question 7.8) Gid sit K la tap con compact va F
là tập con đóng của không gian cầu trường được Œ Khi đó, KF có là tập cơn đóng trong Œ hay khơng?
Hai bài tốn trên đã thu hút nhiều nhà nghiên cứu topo đại cương trên
thế giới quan tâm nhưng đến nay vẫn còn mở
Nhờ những lý do như trên cùng với sự định hướng của thầy giáo Lương Quốc Tuyển, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài: “Tính chat Fréchet-
Urusohn trên không gian cầu trường được” làm đề tài luận văn thạc
Trang 5
@ Tìm hiểu mối quan hệ giữa các không gian: Không gian Fréchet-
Urysohn, không gian Eréchet-Urysohn mạnh, không gian dãy và không
gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất
@ Tìm hiểu một số tính chất của không gian cầu trường được Tìm hiểu tinh chat Fréchet-Urysohn và tính chất Eréchet-Urysohn mạnh trên khong gian cầu trường được ¢ Tìm hiểu phép chứng mỉnh chỉ tiết cho Định lí 2.1 trong [9] 3 Đối tượng nghiên cứu Tinh chất Fréchet-Ur: không gian cầu trường được
ohn va tinh chất Fréchet-Urysohn mạnh trên
4 Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về mối liên hệ giữa tính chất Eréchet-Urysohn và Fréchet- Urysohn mạnh trên không gian cầu trường được
5 Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình
thực hiện đề tài Bằng cách thu thập những bài báo liên quan với đề tài của các tác giả đi trước nhằm tìm được phép chứng mỉnh chỉ tiết cho Dinh
lí 2.1 trong [9]
6 Tổng quan và cấu trúc luận văn
Trong luận văn này, chúng tôi chứng mỉnh chỉ tiết mối liên hệ giữa
không gian Eréchet-Urysohn, không gian Eréchet-Urysohn mạnh, không gian dãy và không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất Chứng minh
chi tiết mối liên hệ giữa tính chất Fréchet-Urysohn với tính chất Fréchet-
Trang 6
trình bày trong hai chương Ngoài ra, luận văn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Phần mở đầu, phần Kết luận và Kiến nghị, Tài liệu tham khảo
Trong chương thứ nhất, chúng tôi trình bày về các kiến thức cơ bản
của topo đại cương nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2
“Trong chương thứ hai, chúng tôi trình bày về mối quan hệ giữa các không
Trang 7
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong chương này chúng tôi trình bày mội
cương, các khái niệm và các tính chất trong chương này được chúng tôi
kiến thức về topo đại trình bày và chứng minh chỉ tiết nhằm hiểu thấu đáo hơn các kiến thức về topo, cũng như nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của chương sau Sau đây là những ký hiệu được chúng tôi sử dụng trong
toàn bộ luận văn N={1,2, },w =NU {0} 1.1 Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp Định nghĩa 1 X thỏa mãn các điều kiện sau 1 Giả sử 7 là họ nào đó gồm các tập con của tập hợp (a) 0, X €r; (b) Nếu U, V €z, thì UnV €7; (c) Nếu {Ua}„-4 C7, thì U Ua €7 ach Khi dé,
1) 7 được gọi là một føpo trên X
2) Cặp (X.7) được gọi là một không gian topo
3) Mỗi phần tử của z được gọi là một ứập hợp mỏ
Trang 8Nhận xét 1.1.2 Dối với không gian topo X, các khẳng định sau là đúng
1) 0, X là các tập hợp mở;
2) Giao hữu hạn tập hợp mở là một tập hợp mở;
3) Hợp tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở
Vi dụ 1.1.3 Giả sử X là một tập hợp, 7¡ là họ gồm tất cả các tập con
của X và r¿ = {0,X} Khi đó, 7¡, 7z là các topo trên X, Lúc này, ta nói rằng 7¡ là fopo rời rạc và 7› là topo thô trên X
Ví dụ 1.1.4 Giả sử (X,đ) là một không gian metric và z={AC X : A là tập con mở trong (X, d)}
Khi đó, 7 là một topo trên X và ta nói rằng 7 là fopo được sinh bởi metric d Đặc biệt, nếu X = R va metric đ là khoảng cách thông thường
trên R, nghia la
d(x, y) = |x — y| voi moi 2,y ER, thì ta nói rằng 7 1a topo thông thường trên R
Định nghĩa 1.1.5 Giả sử 4 là một tập con của không gian topo (X,7)
Khi đó, tập con U của X được gọi là một lân cận của A nếu tồn tại V € 7 sao cho AcVCU Ngoai ra, néu U € 7, thi ta néi ring U Ia lan can md cita A Dac biét, néu A=
r}, thì ta nói rằng U là lân cận của z
Nhận xét 1.1.6 Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập hợp mở, nhưng mỗi tập hợp mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó
Trang 9r = {0,X,{a}, {b,e}}
Khi đó, 7 là một topo trên X và {ø, b} là lân cận của ø nhung {a,b} ¢ 7
(2) Gia sit U là một tập hợp mở và z € U Khi đó, nếu ta lấy V = U,
thì V €7 và
œ€VCU
Như vậy, U là một lân cận của z trong X a
Bổ đề 1.1.7 Đối uới không gian topo (X,7), các khẳng định sau là tương
đương
1) U là tập hợp mở;
2) U là lân cận của mọi điểm thuộc nó;
8) Với mọi z € U, tôn tại lân cận Vy của œ sao cho œ € V„ CŨ
Chứng mình (1) => (3) Giả sử U mỡ và # € U Khi đó, nếu ta chọn V=U€z, thì z€ V C U Như vậy, U là lân cận của #
(2) — (3) Giả sử U là lân cận của mọi điểm thuộc nó và z € Ù
Khi đó, U là một lân cận của z Như vậy, nếu ta chọn W„ = Ù, thì V„ là lan can cia x va x € V, CU
(3) — (1) Giả sử với mọi x € U, tdn tai lan can V, ciia x sao cho œ€ V¿C Ư Khi đó, vì V¿ là lân cận của z nên tồn tại W„ € 7 sao cho + € I; C V; Hơn nữa, ta có
U=Ufz}c UW;c UV;CƯ,
zeU xếU zeU
kéo theo U = LJ W2 Theo Định nghĩa 1.1.1 ta suy ra U €7 zeU a
Trang 10Định nghĩa 1
trong X Ta nói rằng họ Ö; C #4; là một cơ sở lân cận tai x nếu với mọi
U €Ur, ton tai V € B; sao cho
10 Giả sử , là một họ gồm tất cả các lân cận của x
œ€VCỨ
1.2 Tập hợp đóng và bao đóng của một tập hợp
Định nghĩa 1.2.1 Tập con 4 của một không gian topo (X,7) được gọi
là tập hợp đóng trong X nếu X\A €7
Trang 11Do đó, theo Dịnh nghĩa 1.1.1 ta suy ra
x\(#)=UŒ\®%)cz
ach ach
Nhu vay, 1) F, la mot tap hgp dong n
acl
Nhận xét 1.2.3 Hợp tùy ý các tập hợp đóng trong không gian topo có
thể không đóng Do đó, giao tùy ý các tập hợp mở có thể không mở Chứng mình Giả sử R là tập hợp số thực với topo 7 thông thường và
A,= [0.1= | với mọi + € Ñ Khi đó, e [0, 1) không là tập hợp đóng trong (R,7) ® 4a là tập hợp đóng trong R véi moi n € Đ © U An = (0,1) neN That vậy, giả sử z € LJ 4a Suy ra tồn tại n € Ñ sao cho neN re A, = fo - | € (0,1) Ngược lại, giả sử ø € [0, 1), kéo theo 0 < x < 1 Do dé, tồn tại n €Ñ sao cho 1 0<z<1—- Điều này suy ra rằng
'Từ chứng minh trên ta suy ra hợp tùy ý các tập hợp đóng có thể không,
Trang 12Định nghĩa 1.2.4 Gi Khi đó, giao của tất cả các tập con đóng trong X chứa A được gọi là bao đóng của A và ký hiệu là A ử A là một tập con của không gian topo (.X,7) Định lí 1.2.5 Giả sử A, là các tập con của không gian topo (X,7) Khi đó, các khẳng định sau là đúng 1) Ä luôn tồn tại va ACA; 2) A la tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A; 3) A đóng khi tà chỉ khi A = A; 4) A=4; 5) Néeu ACB, th ACB; 6) AUB=AuB; 7) AnBC An, sà đẳng thức không zẩ ra Chứng mình Giả sử rằng Z#={FCX:F đóng và AC F}; đ@={FCX:F đóng và BC F} Khi đó,
(1) Bởi vì X là tập hợp đóng chứa 4 nên X € Z, kéo theo Z # Ú Do đó, 2 luôn tồn tại Hơn nữa, vì A C F véi moi F € F nén
AC(KF: Fe F}=A
(2) Theo Dinh If 1.2.2(3) ta suy ra ring A 1a tap hop déng Bay giờ, gid sit F la tap dong bit ky trong X chứa A Khi đó, F € F, kéo theo
Trang 13Ngoài ra, nhờ khẳng định (1) ta suy ra 4 € Z Như vậy, 4 là tập hợp
đóng nhỏ nhất chứa 4
(3) Giả sử A đóng Khi đó, vì A C A nên ta suy ra A € Z, kéo theo
A=ff:Fe7}c4A
Kết hợp khẳng định (1) ta suy ra rằng A = Ä
Ngược lại, giả sử A4 = Z Khi đó, nhờ khẳng định (2), Z là tập hợp đóng, kéo theo 4 là tập hợp đóng trong X
(4) Theo khẳng định (2), A la tap hop đóng Do đó, nhờ khẳng định A
(3) ta suy ra ring A
(5) Boi vi AC B nén GC F Do a6,
A=(F: FEF} CMF: FeG}=B
(6) Theo khẳng định (1), AC 24; 8 C , kéo theo AUBCAUB
Mặt khác, theo khẳng định (2), A, B 1a cée tập hợp đóng Do đó, nhờ
Dinh If 1.2.2(2), AUB 1a tap hợp đóng Như vậy, sử dụng khẳng định (3)
và (5) ta suy ra rằng
AUBC ÂUB= ÄUB (1)
Hơn nita, vi AC AU B và BC AU nên theo khẳng định (5) ta có
4c 4UB; Bc AUB
Điều này kéo theo rằng
AUBCAUB (1.2)
Nhu vay, tit (1-1), (1.2) ta suy ra AUB = AUB
Trang 14AnBc n5 Mặt khác, theo khẳng định (2), A và là các tập hợp đóng Hơn nữa, nhờ Định If 1.2.2(3), AN B la tập hợp đóng Do đó, sử dụng khẳng định (3) và (5) ta suy ra rằng AnBc Ẩn B= n5 Bây giờ, giả sử X = R với topo thông thường và A = (0,1), B = (1,2) Khi đó, vì 4 = [0,1], Z = 1,2] nên ta có =0#{1}= Än?
Như vậy, không xẩy ra đẳng thức trong khẳng định (7) a Định lí 1.2.6 Đối oới không gian topo (X,z), các khẳng định sau là
tương đương
1)+z€Ã;
9) UnA #0 tới mọi lân cận U của +;
3) Tồn tại một cơ sở lân cận B, của z sao cho UÑA # Ú tới mọi
U€B
Chứng minh (1) —> (2) Gia sit « € A Ta chứng minh rằng với mọi lân
cận U của z, U f\A # Ú Thật vậy, giả sử ngược lại rằng tồn tại lân cận
U cia x sao cho U A = 0 Bởi vì Ư là lân cận của z nên tồn tại V € 7
sao cho # € V € Ư Do đó, Vf\A = Ú, kéo theo 4 C X \ V Mặt khác,
vì X \ V là đóng nên theo Định lí 1.2.5 ta suy ra 4cXWV=xX\V
Do đó, 4n V =0, kéo theo
Trang 15Điều này dẫn đến mâu thuẫn với z € A
(2) — (3) Giả sử z € X và B, là họ gồm tá
Khi đó, hiển nhiên rằng Ö; là một cơ sở lân cận của # và cả các lân cận của #
UnA#Ú với mọi U € B,
(3) => (1) Gia sit rang tén tai co sé lan can B, tai x sao cho UNA 40 véi moi U € B, nhung x ¢ A Khi d6, X \ A 1a mét lan can mé của z
Mặt khác, vì Ö; là cơ sở lân cận tại z nên tồn tại U € B; sao cho œ€UCX\A Suy ra UN A C UNA = 9 Diéu nay din dén mau thuan véi gid thiét ring UNA 0 n Bồ đề 1.2.7 Giả sử X là một không gian topo, AC X va V la mét tập hợp mỏ trong X Khi đó, AnNV CANV
Chứng mình Giả sử z € ANV và U là một lân cận bất kỳ của z Khi đó,
vì UV là một lân cận của z và # € 4 nên
An(UnV) #0 Điều này chứng tỏ rằng
(AnV)nU #0
Nhu vay, 2 € ANV n
1.3 Phần trong của tập hợp, 7¡-không gian và 7›-không gian Định nghĩa 1.3.1 Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, 7)
Trang 16Nhận xét 1 Ta ký hiệu Giả sử A là một tập con của không gian topo (X,7) đ(A)={VCX:Ver,VC4} Khi đó, ta suy ra rằng 1ntA = U{V : V € đ(4)}
Dinh lí 1.3.3 Giá sử A là tập con của không gian topo (X,z) Khi đó, +€IntA khi nà chỉ khi tồn tại lân cận U của # sao cho œ € U C A
Chứng mình Điều kiện cần Giả sử z € TntA Khi đó, tồn tại U € đ(A)
sao cho x € U Béi vi U € G(A) nén U mở và C A Như vậy, tồn tại lân cận U của # sao cho U C A
Điều kiện đủ Giả sử rằng tồn tại lân cận U của z sao cho U C A
Bởi vì U là lân cận của z nên tồn tại V € 7 sao cho x € V C U Nhu vay,
V €đ(4) và z € IntA o
Dinh lí 1.3.4 Giá sử (X,7) là một không gian topo, A va B la céc tap con của X Khi đó, các khẳng định sau là đúng
1) IntA la tap hợp mở lớn nhất nằm trong A; 2) Néu AC B, thi IntA C IntB;
3) A mé khi va chi khi IntA = A; 4) Int(AN B) = IntAn IntB
Chitng minh (1) Suy true tiép tit Dinh nghia 1.3.1
(2) Gia sit A C B Khi d6, G(A) C G(B) Suy ra Int A C Int B
Trang 17Bay gid, giả sử 4 = Int.A Khi đó, theo khẳng định (1) ta suy ra rằng A là tập hợp mở (4) Theo khang dinh (1) ta cé IntA C A va IntB C B, kéo theo IntANIntBC ANB Mặt khác, theo khẳng định (1), Int(A/M B) 1a tap hop mé Ién nhat nim trong AN B nén
IntAN IntB Cc Int(AN B) (1.3)
Nguge lai, vi ANB C A va ANB C B nén theo khang dinh (2) ta suy ra ring
Int(AN B) C IntA va Int(AN B) C IntB
Do đó,
Int(AN B) C IntAn IntB (14)
Trang 18X\AC X\IntA Nhờ Dịnh lí 1.2.5 ta suy ra X\ACX\TntA= X \ IntA Điều này chứng tỏ ring mtAcX\X\A (1.6)
Tit (1.5) va (1.6) ta suy ra IntA = X\X\A, o Định nghia 1.3.6 Gia sit (X,r) là một không gian topo Khi đó,
1) (X,z) được gọi là Tì-không gian nếu với mọi z, € X mà z # , tồn tại các lân cận U của z và V của y sao cho x ¢ V vay ¢ U;
2) (X,7) được gọi là 7›-không gian hay là không gian Hausdorƒƒ nếu với
mọi #, € X mà z # ÿ, tồn tại các lân cận Ù của # và V của sao
cho fV =Ú
Định lí 1.3.7 Giả sử (X,7) là một không gian topo Khi đó, 1) Tạ-không gian => Tị-không gian;
8) Tị-không gian #=> T›-không gian
Chứng minh (1) Suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.3.6 (3) Giả sử X là tập hợp vô hạn và
7z={ACX: A=hoặc X \ A hữu hạn }
Khi đó, (X,7) là Tị-không gian nhưng không là 7;-không gian Thật vậy, {a) r là một topo trên X
e Hiển nhiên rằng Ú € 7 Hơn nữa, vì X \ X = là hữu hạn nên X € 7
e Giả sử A, Ở €7 Khi đó, nếu A = 0 howe B= 0, thi
Trang 19Bay giờ, nếu 4 # Ú và # Ú, thì X \ 4 và X \ Ø là các tập hữu hạn Do đó, từ đẳng thức
X\ (ANB) =(X\ A)U(X\B)
ta suy ra rằng X \ (A1 B) là tập hữu hạn Như vậy, A1 €7
« Giả sử {4a}acA C 7 Khi đó,
Nếu tồn tai a € A sao cho A, # Ú, thì X \ A, 1a tap hitu han Do đó, từ bao hàm thức
X\(U 4) cX\A ach
tà suy ra x\( U Aa) là tập hữu hạn Như vậy, LJ 4a €7 aca aA Nếu 4a = Ú với mọi a € A, thi U Aa = 0 ET ach (b) (X,7) là Tị-không gian Giả sử z, y € X ma x 4 y Ta dat U=X\{y}s V=X\ {2}
Khi d6, X\U = {y} va X\V = {2} la céc tap hitu han Suy ra U, V €7 Nhu vay, U là lan can mé ciia x va V [a lan can mé cita y théa man ring
y GU; eV
(e) (X.7) không là 7;-không gian Ta chỉ cần chứng minh rằng với hai
tập mở khác rỗng bất kỳ trong X đều có giao khác rỗng Thật vị ngược lại ring ton tai A, B € T sao cho
giả sử
A#Z0,B#0,AnB=0
Khi đó, 4A C X \ Ö Bởi vì Ø €7 và Ø # Ú nên X \ là tập hữu hạn
Như vậy, 4 là tập con hữu hạn của X Hơn nữa, vì A # 0, A € 7 nên X \ A hữu hạn Do đó, X là tập hữu hạn Điều này mâu thuẫn với X là
Trang 201.4 Tap hgp compact va ánh xạ liên tục
Định nghĩa 1.4.1 Giả sử¿/ là một họ nào đó gồm các tập con của không
gian topo X va A C X Khi đó,
1) #4 được gọi là một phủ của A nếu 4 C LJ{U :U <}
2) #4 được gọi là phủ mở của A nếu #4 là một phủ của A và mỗi phần tử
của # là tập hợp mở
3) #4 được gọi là phú hữu hạn của A nếu #⁄ là một phủ của A chỉ có hữu hạn phần tử
Định nghĩa 1.4.2 Giả sử # là một tập con của không gian topo X Ta nói rằng K là fập compact nếu mỗi phủ mở của Ñ, tồn tại một phủ con hữu hạn phủ K
Bồ đề 1.4.3 Mỗi tập con compact trong không gian Hausdorff la tap hợp
đồng
Chứng mình Giả sử X là khong gian Hausdorff, A 1a tap con compact
trong X va x € X \ A Khi đó, vì X là không gian Hausdorff nên với mỗi
€ A, tồn tại các lân cận mở U„ của z và Vụ của sao cho U,NV, =0
Trang 21Định nghĩa 1.4.4 Giả sử / : X —> Y là một ánh xạ liên tục từ không gian topo X vào không gian topo Y Khi d6,
1) ƒ được gọi là liên tục tại z € X nếu với mọi lân cận mở V của ƒ(z)
trong Y, ton tai lan can mé U cia x trong X sao cho f(U) CV 2) ƒ được gọi là liên tục trên X (hay liên tục) nếu nó liên tục tại mọi rex 3) ƒ được gọi là phép đồng phôi nếu ƒ là mot song anh va f, f~! là các ánh xạ liên tục Định lí 1.4.5 Đối uới không gian topo X, các khẳng định sau là tương đương 1) ƒ là ánh zạ liên tục;
2) ƒ T(U) mở trong X tối moi U mở trong Y;
3) f-\(F) đóng trong X với mọi F déng trong Y;
4) f(A) CFA) voi moi AC X;
5) FB) f'(B) vdi moi BCY;
6) f-\(IntB) C Int f(B) vdi moi BCY
Chiing minh (1) => (2) Gia sit f Ta một ánh xạ liên tục và U mở
trong Y Ta chứng minh ring f~!(U) là mở trong X Thật vậy, giả sử
+€ ƒ '(U) Khi đó, U là lân cận của ƒ(z) trong Y Bởi vì ƒ là ánh xạ
liên tục nên tồn tại lân cận V của x trong X sao cho f(V) C U Nhu vậy, reVc f(f(V)) Cf)
Do đó, theo Bổ đề 1.1.7 ta suy ra ƒ~!(U) mở trong X
Trang 22LUV \F)=X\f(F)
nên ta suy ra ring f~!(F) déng trong X
(3) => (4) Theo Dinh Ii 1.2.5, F(A) dong trong Y Béi vi khiing dinh (3) théa man nen f~!(F(A)) dong trong X Mat khie, vi A C f-'(f(A))
nên theo Dịnh lí 1.2.5 ta suy ra
Ac PGA) = FFM)
Diéu nay kéo theo ring f(A) ¢ f(A)
(4) => (5) Theo khẳng định (4), véi moi B C Y ta có S(FB)) ¢ FFB) cB
Suy ra ƒ“1(B) C ƒ~!(B)
(5) = (6) Với mọi B CY, theo Dinh If 1.3.5 ta có
ƒ'm8) = ƒ'(YV\Y Y8) =X\/!@# Y8) (17) Mặt khác, vì khẳng định (5) thỏa mãn nên
X\/Z#18)=ƒƑ'W\8)cƒ'@\ø) (18)
Như vậy, từ (1.7) và (1.8) ta suy ra rằng
f-\(IntB) CX \X\ ƑƑT(B) = Int f-1(B)
(6) — (1) Giả sử z € X và V là một lân cận mở của ƒ(z) trong Y Khi đó, theo Định lí 1.3.4 ta suy ra IntV = V Béi vì khẳng định (6) thỏa
mãn nên
ƒƑ'(V) = ƒ-'(TntV) C Tntƒ~1(V)
Hơn nữa, theo Định lí 1.3.4 ta suy ra Tatƒ~!(W) C ƒ~!(V) Do đó,
Trang 23Như vậy, nếu ta đặt U = ƒ~!{V), thì Ư là một lân cận mở của # và ƒ(U) CV Điề u này suy ra rằng ƒ liên tục tai x a
Bổ đề 1.4.6 Nếu ƒ là ánh zạ liên tục tit khong gian topo X vao khong gian topo Y' tà K là tập compaet trong X, thì ƒ(K) là tap compact trong Y
Chứng mình Giả sử 14 là một phủ mở của ƒ(K) trong Y Khi đó, vì ƒ là ánh xạ liên tục nên theo Định lí 1.4.5 ta suy ra {ƒ~'(U) : U € #4} là phủ
mở của A trong X Mặt khác, vì là tap con compact trong X nén ton
tại họ con hữu hạn ÿ C # sao cho K C J ƒ~!(U), kéo theo
7) c€/(U ƒ1)) c U 7ˆ) U 0 UeV UeV UeV
Nhu vay, f(A) la tap compact trong Y ñ
1.5 Không gian con và không gian tích
Định nghĩa 1.5.1 Giả sử (X,7) là một không gian topo, Y C X và Ty ={YnU:U er}
Khi đó, ry 1A mot topo trén Y Ta nói rằng (Y, 7y) là một không gian con
của không gian topo (X,7)
Định lí 1.5.2 Giá sử (X,7) là một không gian topø, (Y, zy) là một không gian con của X tà A C Y Khi đó,
1) A là đóng trong Y' khi tà chỉ khi tồn tại tập con đóng F trong X sao cho A=YF;
2) A" =Any
Trang 24Y\A=YnU Như vậy, A=Y\(\4)=Y\(ểnU)=Y\U=Yn(X\0) Do đó, néu ta dat F = X \U, thi F đóng trong X và A=YNF Đảo lại, giả sử rằng tồn tại tap con F déng trong X sao cho A = YF Khi do, Y\A=Y\(YNF)=Y\F=YA(X\F) Bởi vi X \ F €7 nên ta suy ra Ý \ A € 7y Do đó, A đóng trong Y (2) Sử dụng khẳng định (1) ta có ÄŸ =n{EC Y : E đóng trong Y}
=MY OF: F đóng trong X}
=YN(N{F: F dong trong X}) = A
Digu nay ching td ring AY = Any g
Định nghĩa 1.5.3 Giả sử (X,zy), (Y,7y) là hai không gian topo và 7 là một topo trên X x Y có cơ sở là
B={UxV:U €zx và V €}
Khi đó, z được gọi là topo tich tren X x Y
Định lí 1.5.4 Tích của hai không gian compact la compact
Chứng mình Giả sử (X,7x), (Y,y) là hai không gian topo compact và 7
la topo tích trên X x Y Khi đó,
Trang 25That vay, giả sử # là một phủ mở của # x Y trong X x Y Suy ra với mỗi ‡ € Y, tồn tai Wy € U sao cho (x,y) € W, Do đó, với mỗi y € Y, tồn tai Uy € 7x va V„ € 7y sao cho
U, x Vy C Wy
Béi vi {V, : y € Y} 1a mot phi mé cia Y compact nén tồn tại tập con
hữu han K CY sao cho Y C U Vy Diéu nay suy ra ring veK #xY€ U(0,x¿)€ U weK ueK Như vậy, {W, : y € K} là phủ con hữu hạn của # phủ z x Ÿ Do đó, # x Y là tập compact
Khẳng định 2 Với mọi z € X và với moi lan can mé N, cia x x Y trong X x Y, tồn tại lân cận WW„ của z trong X sao cho
axYCW,xYCN,
That vay, vi N, 1a lan can cita x x Y nén N, 1a lan can cia (x,y) với
moi y € Y Do dé, véi mdi y € Y, tồn tại Uy € Tx và V„ € 7y sao cho
+€Ữ, ụ€ V„, Ủy x Vụ C Ñ¿
Mặt khác, vì {V„ : ý € Y} là phủ mở của Yˆ compaet nên tồn tại tập con hữu hạn F Cc Y sao cho Y c VU Vy Như vậy, nếu ta đặt W; = ƒ1 U„,
yer ver
thì W; là lân cận của # và
2xY CW,xYCULxYCN, Khẳng định 3 X x Y là compact
“Thật vậy, giả sử đ là một phủ mở của X x Ÿ Theo khẳng định 1, z x Ÿˆ
la tap compact trong X x Y véi moi z € X Do đó, với mỗi z € X, tồn
tại họ con hữu hạn Z„ C Ở sao cho
Trang 26Bây giờ, với mỗi z € X, nếu ta đặt
N.=U{F: F € F,},
thi N, 1a lân cận của # x Y Do d6, theo khing dinh 1, tn tai W, € Tx sao cho
#xYCH¿+xY CAN,
Bởi vì {W, : z € X} là một phủ mở của tập compact nên tồn tai tap
con hitu han H C X sao cho X C U W, Do do, xeH
XxYC U(W,xY)c U A;= U(U{f:FeZ7,)})
zeH +cH zCH
Trang 27TINH CHAT FRECHET-URYSOHN TREN
KHONG GIAN CAU TRUONG DUGC
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của khong
gian cầu trường được, không gian Eréchet-Urysohn, không gian Fréchet-
Urysohn mạnh và không gian dãy Mục đích chính của chương này là trình bày phép chứng minh chi tiết cho Định lí
.1 trong [9] rằng, nếu Œ là không gian Hausdorff cầu trường được sao cho mỗi tap con compact trong Œ là Fréchet-Urysohn, thi mdi tap con compact trong Œ là Fréchet-Urysohn mạnh
2.1 Không gian cầu trường được
Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện tương đương của không gian cầu trường được Œ, phần tử đơn vị e của Œ, phần tử nghịch
Trang 28Khi đó, ¿ được gọi là một phép cầu trường được (rectiñable) trên Ớ, và G được gọi là không gian câu frường được (rectifiable space)
Dinh lí 2.1.2 ([7]) Không gian topo Œ là không gian cầu trường được khi tà chỉ khi tồn tại e € G va hai ham liên tục p:GxG-Œ (x,y) => p(, y) ạ:0GxG>@ (x,y) > 4(=, 9) thỏa mãn các điều kiện sau uới mọi z, € Œ 1) q(,) #) p(>.4(+.9)) = q(*.p(+.9)) = y- Chứng mình Điều kiện cần Giả sử rằng ánh xạ @:GxG>GxŒG (x,y) > 9(a,y)
Trang 30#(œ,) = (œ,4(œ,9)): #ˆ(œ,w) = (+.p(+.9))
Trude tiên, ta chứng minh œ là một phép đồng phôi Thật vậy,
© ¿ là một song ánh
That vậy, giả sử +, € Œ Khi đó,
poe (x,y) = e(œ.p(z.9)) = (x, q(>.p(+, »)) = (x,y); el o¢(z,y) = 9 '(2,4(2,y)) = (#.p(œ.a(e.))) = (œ.9)- Điều này chứng tỏ rằng, poet =lexa plop =lexc Nhu vay, y 1A mot song Anh « ¿ liên tục
“Thật vậy, giả sử U là một lân cận mở của (z,q(z.)) Khi đó, tồn tại
các lân cận mé Uj cita x va U2 cita g(x,y) sao cho U; x Ur CU
Trang 31£(V,W) = V x q(V,W) CV x Uy C U
Như vậy, ánh xạ ¿ liên tục
ey! lien tue
That vay, gia sit U là một lân cận mở của (z,p(z,)) Khi đó, tồn tại
các lân cận mở ¡ của # và U; của p(x, y) sao cho
U, x Uy CU
Hon nifa, vi U2 Ia lan can mé ciia p(x, y) va ánh xa p lién tuc nên tồn tai
các lân cận mở Vị của x va V2 cita y sao cho (Vi, V2) C Ud Nhu vay, néu ta dat VY =trnUi, thì ta suy ra rằng Vx, CU, xl, CU; P(V, V2) C Ua Do đó, ta có #"1(V,W) =V x p(V,W) C V x Uy C U Điều này chứng tỏ rằng ¿~Ì là một ánh xạ liên tục
'Từ chứng minh trên ta suy ra rằng ¿ là một phép đồng phôi
Trang 32
Nhận xét 2.1.3 (7|) Ánh xạ p được gọi là ánh zạ tích, p(z, ) được viết
gon la zy va p(A, B) được viết gọn là A với mọi A, C G Như vậy,
4(z.) là một phần tử sao cho xq(x,y) = Hơn nữa, vì
re = 2q(x,2) =
xq(x,e) =e
nên e thường được gọi là phần tử đơn tị phải của Œ và q(z,e) được gọi là phần tử nghịch đảo phải của z
Trang 33Tiếp theo, ta chứng minh ánh xạ ƒ, liên tục Thật vay, giả sử U là một
lân cận mở
iia ƒz() = p(z.) Khi đó, vì p liên tục nên tồn tại các lân
cận mở U¡ của x va U; của sao cho
fr(U2) = p(x, U2) C p(Ui, U2) CU
Do đó, ánh xạ ƒ; liên tục
Cuối cùng, ta chứng minh ánh xạ ø„ liên tục That vay, giả sử V là lân cận mở của g;(y) = q(œ,) Khi đó, vì ạ liên tục nên tồn tại các lân cận
mở Vị của # và V2 của y sao cho
Gx(V2) = q(x, V2) C q(Vi, Va) CV
Điều này chứng tỏ rằng g, lién tuc
Như vậy, f, và ø; là các phép đồng phôi n
2.2 Tính chat Fréchet-Urysohn và Eréchet-Urysohn mạnh
Mục này dành cho việc trình bày khái niệm và tính chất của không gian Eréchet-Urysohn, không gian Fréchet-Urysohn mạnh Nghiên cứu mối liên hệ giữa không gian Eréchet-Urysohn, Fréchet-Urysohn mạnh, không gian dãy và không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất
Định nghĩa 2.2.1 Giả sử {z„} là một dãy trong không gian topo X Ta nói rằng {z„} là dãy hội tu đến z nếu với mọi lan can U của z, tồn tại
mm € Ñ sao cho
{z}U {ay :n>m} CU
Dinh nghia 2.2.2 ((3]) Giả sử X là một không gian topo, x € X va day {z„} hội tụ đến z Khi đó,
1) P được gọi là lên cận đãy cia x nếu với mọi dãy {z„} hội tụ đến z,
Trang 34{x} U {ay :n>m} cP
2) P được gọi là mở đãy nếu P là lân cận dãy của z với mọi z € P 3) X được gọi là không gian đấy nếu mỗi tập con mở dãy trong X là
tập hợp mở
Bổ đề 2.2.3 Giá sử X là một không gian topo Khi đó, 1) Lân cận là lân cận day;
8) Giao hữu hạn lân cận day của z trong X là một lân cận dãy của z
trong X
Chứng mình (1) Suy trực tiếp từ Định nghĩa 3.2.1 và 2.2.2 (2) Giả sử Pị, P›, P„ là các lân cận dãy của z trong X và
P=nf.:¡<n)
Ta cần chứng minh rằng P la mot lan cận dãy của z trong X Thật
giả sử {z¡} là đãy hội tụ đến z trong X Khi đó, vì mỗi P; là lân cận day của z trong X nên với mỗi & = 1,2, ,n, tồn tại ¡¿ € Ñ sao cho {z}U {#i:¡ > i} CĐ Như vậy, nếu ta đặt m = max(i, : k = 1,2, ,n}, thì ta suy ra rằng {z}U 4i: > m} C P
Điều này chứng tỏ P là một lân cận dãy của « trong X o Dinh nghia 2.2.4 ((9]) Gia sit X la mot khong gian topo Khi đó,
1) X được goi la Fréchet-Urysohn tai x néu véi moi A C X sao cho
Trang 352) X được gọi là không gian Fréchet-Urusohn nếu nó là Ftéchet-Urysohn tại # với mọi # € X
3) X được gọi là Fréchef-Urusohn mạnh tại z nếu với mỗi dãy giảm {AnJnen théa man x € (] 2u và với mỗi ø € Ñ, tồn tại #„ € An sao
neN
cho dãy {z„} hội tụ đến z
4) X được gọi là khong gian Fréchet-Urysohn manh nếu nó là Fréchet-
Urysohn mạnh tại mọi z € X
Định nghĩa 2.2.5 Không gian topo X được gọi là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nêu mỗi z € X, tồn tại cơ sở lân cận B, đếm được
Bổ đề 2.2.6 Giá sử X là một không gian topo Khi đó, nếu X là không
gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, thì ta có thể giả thiết rằng B, là giảm uới mọi z € X
Chứng mình Giả sử Ở; là cơ sở lân cận đếm được tại z với mọi z € X
Suy ra với moi x € X ta có thể viết đ; = {Un (x) : n € Ñ} Bây giờ, với mỗi n0 € Ñ, ta đặt Bạ() = 1) Ui(2) <n B, = {B,(x) :n € N}
Khi đó, B; giảm và đếm được Hơn nữa, Ö, là cơ sở lân cận tại z Thật vậy, giả sử V là lân cận của x Khi đó, vì Ở; là cơ sở lân cận tại z nên tồn tại
U,(2) € Gr sao cho x € Ư„(#) C V Do đó,
+€ B,(z) CV
Trang 36Định lí 2.2.7 (|9) Đối uới không gian topo X, các khẳng định sau là đúng
1) Không gian metric là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất;
8) Không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất là không gian Fréchet-
Urysohn;
3) Khong gian Fréchet-Urysohn la khong gian day;
4) Khéng gian Fréchet-Urysohn manh la khong gian Fréchet-Urysohn Chiing minh (1) Gia sit (X,d) ld mot khong gian metric Khi d6,
7 ={U CX: U mi trong (X,d)}
là topo trên X được sinh bởi metric d Bây giờ, với mỗi x € X, ta đặt Sila) = {y © X : d(,w) < L/n};
B; = {Su(z) :n € N}
Khi đó, hiển nhiên rằng mỗi Ö, là đếm được Hơn nữa, B; là một cơ sở lân cận tại z Thật vậy, giả sử U là một lân cận của z Khi đó, vì X là
một không gian metric nên ton tai n € N sao cho S„(#) C Ư Điều này chứng tỏ rằng tồn tại = S„(z) € B; sao cho
œ€ BC
Do đó, X là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất
(2) Giả sử X là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất,
ACXvàze 4 Khi đó, theo Bổ đề 2.2.6 ta suy ra rằng tại z tồn tại cơ
sở lân cận giảm và đếm được
B, = {B,(x) :n € N}
Béi vi x € A nén theo Dinh If 1.2.6 ta suy ra
Trang 37Bây giờ, với mỗi n € Ñ, ta lấy z„ € X thỏa mãn z„ € An Bạ(z)
Để hoàn thành chứng minh ta chỉ cần chứng tỏ rằng dãy {z„} hội tụ đến z “Thật vậy, giả sử U là một lân cận của z Khi đó, vi B, là cơ sở lân cận
tai x nên tồn tại rm € Đ sao cho
« € B,,(x) CU
Do đó, với mọi n > ? ta có
®ạ € Ba(#) C B„(z) C U Như vậy, {z„} là dãy hội tụ đến z trong X
(3) Giả sử X là không gian Fréchet-Urysohn va U là một tập mở dãy trong X Ta chứng minh rằng Ư là tập mở trong X Thật vậy, giả sử ngược
lại rằng U không mở trong X Khi đó, X \U không đóng trong X Suy ra ton tai x € X sao cho
reEX\U\(X\U),
kéo theo # € U Bởi vì X là không gian Fréchet-Urysohn nên tồn tại dãy
{za} CX \U sao cho {z„} hội tụ đến z Mặt khác, vì U là lân cận dãy
của z nên tồn tại m € N sao cho
{x} U {ay in >m} CU
Điều này dẫn đến mâu thuẫn với z„ ý Ù véi moi n € Ñ
(4) Giả sử X là không gian Fréchet-Urysohn mạnh và z € 2 Khi đó,
nếu ta đặt
A, = A với mọi n € Ñ,
Trang 38tụ đến x, Diều này chứng tỏ rằng tồn tại dãy {z„} C 4 sao cho {z„} hội
tụ đến x Như vậy, X là không gian Fréchet-Urysohn n
2.3 Tính chất Fréchet-Urysohn trên không gian cầu trường được
Mục này đành cho việc trình bày tính chất Fréchet-Urysohn va tinh chất Fréchet-Urysohn mạnh trên không gian cầu trường được Œ Trình
bày chỉ tiết phép chứng mỉnh Định lí 2.1 trong |9] rằng, nếu Ở là không, gian Hausdorff cầu trường được sao cho mỗi tap con compact trong G là Eréchet-Urysohn, thì mỗi tập con compaet trong Œ là Fréchet-Urysohn
mạnh
Định If 2.3.1 ((3]) Không gian con của không gian Fréchel-Urysohn là không gian Fráchet-Urysohn
Chứng mình Giả sử X là không gian con đóng của không gian Fréchet-
Urysohn Œ, A C X và z € ÄŸ Khi đó, theo Định lí 1.5.2 ta suy ra
AY =Anx
Điều này kéo theo rằng
xzce(nX)\AcÃ\4
Bởi vì G là không gian Fréchet-Urysohn nên tồn tại đấy {#„} C sao cho
{z„} hội tụ đến œ trong G Dé hoàn thành chứng minh ta chỉ cần chứng
tỏ rằng dãy {z„} hội tụ đến x trong khong gian con X Thật vậy, giả sử
rằng U là lân cận mở của z trong X Khi đó, tồn tại lân cận mở V của z
trong sao cho
U=XñYV
Trang 39Hơn nữa, vì {z„} C A và 4 C X nên ta suy ra
{z}U{z„:n >m} CVfnAcVnX =U
Như vậy, dãy tồn tại dãy {z„} trong 4 hội tụ đến z trong X, do đó X là
không gian con Fréchet-Urysohn Qo
Bồ đề 2.3.2 Giả sử X là một không gian topo, x € X, {xn} la dãy hội
tu dén x trong X va
S={x}U{x, :n € N}
Khi đó, S là tập con compact của X
Chứng mình Giả sử 4 là một phủ mở bất kỳ của Š Khi đó, tồn tại Uụ € #4
sao cho œ € Up Bai vi {2} la day ho
+ nên tồn tại m € Ñ sao cho
tu dén x va Up 1a lan cận mở của
{2} U {ain > m} C Up
Lại vì #4 là phủ của S$ nén với mỗi ¡ = 1,2,
a; € U¡ Như vậy, S9 C U Uj, do dé S$ 1a tap compact trong X ñ
int
B6 dé 2.3.3 Gid sit f : X + Y la ánh zạ liên tục từ không gian topo X
tào không gian topo Y tà z € X Khi đó, nếu {z„} là dãy hội tụ đến œ
trong X, thi {f(an)} la day hoi tu dén f(x) trong Y
.,m, ton tại U; € U sao cho
Chứng mình Giả sử V là lân cận của ƒ(z) Khi đó, vì ƒ là ánh xạ liên tục
nên tồn tại một lân cận Ù của # sao cho ƒ(U) C V Mặt khác, vì {z„} là
dãy hội tụ đến z nên tồn tại rn € Ñ sao cho
{x} U {a in >m} CU Điều này kéo theo rằng
{/(z)}U {ƒŒu) :n > m} C ƒ(U) CV
Trang 40Dinh If 2.3.4 ({9], Theorem 2.1) Gid sit G la khong gian Hausdorff céiu
trường được Khi đó, nếu mỗi tap con compact trong G la Fréchet-Urysohn,
thì mỗi tập con compact trong G la Fréchet-Urysohn mạnh
Chứng mình Giả sử X là một tập con compact trong không gian cầu
trường được Œ Khi đó, tồn tại các ánh xạ p, g thỏa mãn Dinh Ii 2.1.2 Nhờ Bồ đề 1.4.3 và Định lí 2.3.1 ta suy ra X là tập hợp đóng và Eréchet- Urysohn Do đó, theo Định lí 1.5.2 và Định lí 1.2.5 ta suy ra rằng với mọi tập con ` trong X ta có FY =FoX=F=F Để hoàn thành chứng minh ta chỉ cần chứng tỏ rằng X là không gian con Fréchet-Urysohn mạnh của G
Thật vậy, giả sử {4„}„ew là một dãy giảm gồm các tập hợp con của