ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN NGUYỄN VĂN TRUNG TÍN TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành học SƯ PHẠM TOÁN HỌC Giảng viên hướng dẫn TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN[.]
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN NGUYỄN VĂN TRUNG TÍN TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành học: SƯ PHẠM TOÁN HỌC Giảng viên hướng dẫn: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Đà Nẵng, N˚ am 2018 Luan van ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ———————— NGUYỄN VĂN TRUNG TÍN TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành: Sư phạm Toán học GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Đà Nẵng - Năm 2018 Luan van MỤC LỤC MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tô pô 1.1.1 Lân cận, sở lân cận sở khơng gian tơpơ 1.1.2 Bao đóng tập hợp 11 1.2 Ánh xạ liên tục 12 1.3 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng phép đồng phơi 13 1.4 Không gian 14 1.5 Không gian compact 14 1.6 Khơng gian quy 15 Tính chất khơng gian cầu trường 16 2.1 Định nghĩa số kết liên quan 16 2.2 Kết 25 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 Luan van Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển LỜI CẢM ƠN Trong thời gian thực đề tài, gặp không khó khăn nhờ giúp đỡ từ phía thầy cơ, gia đình, bạn bè với nỗ lực thân, em tự tìm tịi, học hỏi nhiều kiến thức bổ ích cho thân hồn thành khóa luận Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển anh Ơng Văn Tun tận tình bảo, giúp đỡ động viên em suốt q trình thực khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất q thầy giáo tận tình dạy bảo em suốt thời gian học tập mái trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng 05 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Văn Trung Tín Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Luan van Trang Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển DANH MỤC KÝ HIỆU Trong tồn khóa luận này, cho khơng gian X, G ta hiểu X, G không gian tôpô em quy ước tất không gian T1 , khái niệm thuật ngữ khác khơng nói thêm hiểu thơng thường N Tập hợp số nguyên dương R Tập hợp số thực A\B Hiệu hai tập hợp A ∩ B Giao hai tập hợp A ∪ B Hợp hai tập hợp f ◦g |A| Phép hợp thành hai ánh xạ Số phần tử tập hợp A Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Luan van Trang Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Năm 1936, G Birkhoff giới thiệu nhóm tơpơ ([4]) Sau đó, M M Choban giới thiệu không gian cầu trường V V Uspenskij chứng minh nhóm tơpơ khơng gian cầu trường được, tồn không gian cầu trường khơng phải nhóm tơpơ ([5,9]) Từ đến nay, nhiều kết liên quan đến khơng gian nhà tốn học quan tâm nghiên cứu (xem [6, 7, 8]) Tuy nhiên, khái niệm khơng gian cầu trường cịn xa lạ với nhiều sinh viên khoa Toán Mặt khác, số lượng tính chất khơng gian cịn khiêm tốn so với khơng gian khác Hiện nay, cịn nhiều câu hỏi mở chưa giải đáp [3, 4, 6] Với mong muốn cung cấp khái niệm, số tính chất bản, đồng thời nêu lên số tính chất khơng gian này, hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển, em chọn đề tài khóa luận: Tính chất khơng gian cầu trường II MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI Giới thiệu không gian cầu trường được, đồng thời chứng minh chi tiết số định lý bổ đề liên quan, để từ phần Kết đưa tính chất khơng gian cầu trường chứng minh tính đắn chúng III NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, bố cục khóa luận em bao gồm hai chương: Chương khóa luận trình bày số kiến thức chuẩn bị khơng gian tôpô, định nghĩa không gian tôpô, lân cận, sở lân cận sở không gian tôpô; định nghĩa định lý ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng phép đồng phơi Chương khóa luận trình bày định nghĩa bổ đề liên Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Luan van Trang Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển quan, để từ phần kết chính, em nêu số kết mà em nghiên cứu không gian cầu trường IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Khóa luận em chủ yếu sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết Đồng thời, nghiên cứu kết tác giả trước để đưa kết V BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Lân cận, sở lân cận sở không gian tôpô 1.1.2 Bao đóng tập hợp 1.2 Ánh xạ liên tục 1.3 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng Phép đồng phơi 1.4 Không gian 1.5 Không gian compact 1.6 Không gian quy Chương Tính chất khơng gian cầu trường 2.1 Một số định nghĩa kết liên quan 2.2 Kết Kết luận VI ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI Đề tài góp phần cung cấp khái niệm số tính chất khơng gian cầu trường Đề tài trình bày số tính chất khơng gian cầu trường Điều thể Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2 Định lý 2.2.4 Những tính chất góp phần làm sáng tỏ mối liên hệ tập đóng tập compact khơng gian này, đồng thời làm rõ tính Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Luan van Trang Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển chất đếm thứ không gian cầu trường Các kết sở quan trọng để nhận hai báo: [1] Ông Văn Tuyên Nguyễn Văn Trung Tín (2017), “Một số tính chất khơng gian cầu trường được”, Tạp chí Khoa học Giáo dục - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, to accept [2] Ông Văn Tuyên Nguyễn Văn Trung Tín (2017), “Tính chất đếm thứ không gian cầu trường được”, Tạp chí Khoa học Giáo dục - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Luan van Trang Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, em trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian tôpô định nghĩa, lân cận, sở lân cận sở không gian tôpô, bao đóng tập hợp Đồng thời, em cịn đề cập tới định nghĩa định lý liên quan tới ánh xạ liên tục, ánh xạ đóng, ánh xạ mở, phép đồng phơi khơng gian compact, khơng gian quy, nhằm phục vụ cho việc chứng minh bổ đề định lý Chương 1.1 Không gian tô pô Định nghĩa 1.1.1 [10] Cho tập X Một họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện: (1) X ∅ thuộc τ ; (2) Hợp tùy ý tập thuộc τ thuộc τ ; (3) Giao hữu hạn tập thuộc τ thuộc τ Luan van Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển Một tập X tôpô X gọi không gian tôpô Để rõ τ tôpô của không gian tôpô X, ta viết (X, τ ) Cho (X, τ ) không gian tôpô Tập U ∈ τ gọi tập mở X Tập F X gọi tập đóng X\F tập mở Nhận xét 1.1.1 Từ định nghĩa ta có nhận xét sau: ∅, X tập mở; Hợp tùy ý tập mở tập mở; Giao hữu hạn tập mở tập mở Ví dụ 1.1.1 Với tập X, P (X) = {U : U ⊂ X} tôpô X, gọi tôpô rời rạc Tập X với tôpô rời rạc gọi khơng gian rời rạc Ví dụ 1.1.2 Với tập X, τ = {∅, X} tơpơ X, gọi tơpơ thơ Ví dụ 1.1.3 Cho X tập Một hàm d : X −→ R mêtric X thỏa mãn điều kiện: (1) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = ⇔ x = y; (2) d(x, y) = d(y, x); (3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Luan van Trang ... thiệu không gian cầu trường V V Uspenskij chứng minh nhóm tơpơ không gian cầu trường được, tồn khơng gian cầu trường khơng phải nhóm tơpơ ([5,9]) Từ đến nay, nhiều kết liên quan đến khơng gian. .. số tính chất bản, đồng thời nêu lên số tính chất khơng gian này, hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển, em chọn đề tài khóa luận: Tính chất không gian cầu trường II MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI Giới thiệu không. .. cung cấp khái niệm số tính chất không gian cầu trường Đề tài trình bày số tính chất khơng gian cầu trường Điều thể Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2 Định lý 2.2.4 Những tính chất góp phần làm sáng