Đề tài Tính chất của ánh xã thương - Dãy tiến hành nghiên cứu nhằm hệ thống lại một số kiến thức về topo đại cương, nghiên cứu các đặc trưng của ánh xạ thương-dãy, các tính chất mạng cũng như sự bất biến của các tính chất mạng thông qua ánh xạ thương - dãy.
Trang 2
DAI HOC DA NANG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM
LÊ THỊ DIỆP
TINH CHAT CUA ANH XA THUGNG-DAY
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 8.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS Lương Quốc Tuyển
Trang 3Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực Các chứng minh
được trình bày cụ thể, trích dẫn rõ ràng
Trang 4
Name of thesis: Properties of quotient-sequence mapping Major: Mathematical analysis
Full name of Master student: LE THI DIEP Supervisors: PhD LUONG QUOC TUYEN
‘Training institution: The University of Danang, University of Eduacation Summary
* The main results of the thesis:
The research topic of the master of science thesis" Properties of quotient-sequence mapping" has achieved the following results:
- Systematically restate and demonstrate in detail some results of topological spaces, the concepts of closed sets, open sets, compact sets, inner parts and closures along with their properties
- Present some axioms of separation, compact space and continuous mapping along with some of their basic properties
- Present in a systematic way and demonstrate in detail the results of sequence-
continuous, quotient, presequential, and quotient-sequential mapping
~ Systematically present and demonstrate in detail the results on the features of the
quotient-sequence mapping and the relationship between the quotient-sequential
mapping and the invariant of cs*- lattice, cs'-lattice, wsn -network through quotient-
sequence mapping
* The applicability in practice and subsequent research of the thesis:
The thesis is researched based on 08 references in English which are presented relatively carefully and completely, it is a usefull reference for students who are interested in studying this direction
* The next research direction of the thesi
In the coming time, we will continue to study the characteristics of the sequence-
quotation mapping and the relationship between the sequence quotient mapping with
the disparity of cs*-network, cs'-network, wsn-network through the mapping commercial series
Trang 5TRANG THONG TIN LUAN VAN THAC ST
Tên đề tài : TICH CHAT CUA ANH XA THUONG- DAY
Neganl ích Khóa: K37 Hộ và tên học viên: Lê Thị Diệp
Toán
Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển
Cơ sở đào tạo: Trường Dai Hoc Su Pham - Đại Học Đà Nẵng
Tóm tắt
*Những kết quả chính của luận văn:
Đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học * Tính chất của ánh xạ thương~ dãy”đã
đạt được một số kết quả sau đây:
~ Trình bày lại một cách có hệ thống và chứng minh chỉ tiết một số kết quả của không
gian topo, các khái niệm tập đóng, tập mở, tập compact, phần trong và bao đóng cùng
với các tính chất của chúng
~ Trình bày một số tiên đề tách, không gian compaet và ánh xạ liên tục cùng với một
số tính chất cơ bản của chúng
- Trình bày một cách có hệ thống và chứng minh chỉ tiết những kết quả về các ánh xạ liên tục theo day, ánh xạ thương, ánh xạ tiền dãy, ánh xạ thương- dãy
~ Trình bày một cách có hệ thống và chứng minh chỉ tiết những kết quả về đặc trưng
của ánh xạ thương- dãy và mối quan hệ giữa ánh xạ thương- dãy với sự bắt biến của ©s*- mạng, cs`-mạng, wsn-mạng thông qua ánh xạ thương- day
*Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn:
Luận văn được nghiên cứu dựa trên 08 tài liệu tham khảo bằng tiếng Anh được trình
bày tương đối kĩ lưỡng và đầy đủ, nó là tài liệu tham khảo bỏ ích cho các học viên, sinh viên quan tâm nghiên cứu hướng này
*Hướng nghiên cứu tiếp theo của luận văn:
Trong thời gian tới chúng tôi tiếp tục nghiên cứu về đặc trưng của ánh xạ thương- dãy và mối quan hệ giữa ánh xạ thương dãy với sự bắt biên của cs*-mạng, cs`-mạng, wsn- mạng thông qua ánh xạ thương day
~Từ khóa: Tính chất của ánh xạ thương dãy, ánh xạ thương- dãy, sự bắt biên của cs*- mang, cs’-mang, wsn-mang thong qua ánh xạ thương dãy
Xác nhận của ee Người thực hiện luận văn
Trang 6Lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lời cảm on sắc tới thầy giáo
hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt
quá trình thực hiện để tôi có thể hoàn thành được luận văn này
cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô
giáo đã tận tình dạy bảo em trong suốt thời gian học tập của khóa học
Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em trong lớp Giải tích Khóa 37 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp
Cuối cùng, tôi xin được cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn ủng hộ,
Trang 7Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển
Phản biện 1: TS Phạm Quý Mười
Phản biện 2: PGS.TS Kiều Phương Chỉ
Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc
sĩ Toán Giải tích họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày 28
tháng 11 năm 2021
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tam Thong tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
Trang 8LOI CAM DOAN LOI CAM ON a 1.2 Tập hợp đóng và bao đóng của một tậ 1.1 Không gian topo, tập hợp mở 1.3 Phần trong của tập hợp 1.4 Tiên đề tách, không gian con, khi F44////4 4(/4////6, 21 1.5 Ánh xạ liên tục
CHƯƠNG 2 ÁNH XẠ THƯƠNG DÃY 27
Trang 9
Hien nay, S Lin va X
thương-dãy, chứng minh một số đặc trưng của ánh xạ thương-dãy thông đã đề cập lại các vấn đề liên quan đến ánh xạ qua tập hợp mở theo dãy, lân cận dã day hoi tu, wsn-mang, cs*-mang
va cs'-mang va m6t s6 tinh chat topo bat bién qua ánh xạ thương-dãy đã thu được (xem [8])
Nhằm hiểu thấu đáo hơn về ánh xạ thương-dãy, sự bất biến của các
tính chất mạng thông qua ánh xạ thương-dãy, dưới sự hướng dẫn của thầy
giáo TS Lương Quốc Tuyể
trong bài báo [8] của 8 Lin và X Liu liên quan đến ánh xạ thương-dãy Do đó, chúng tôi chọn đề tài “Tính chất của ánh xạ thương-dãy” làm đề tài luận văn thạc chúng tôi quyết định nghiên cứu các kết quả ÿ cho mình 2 Mục đích nghiên cứu
“Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu nhằm những mục đích như sau:
Hệ thống lại một số kiến thức về topo đại cương, nghiên cứu các đặc trưng, của ánh xạ thương-dãy, các tính chất mạng cũng như sự bất biến của các tính chất mạng thông qua ánh xạ thương-dãy
3 Đồi tượng nghiên cứu
Các tính chất mang, ánh xạ giả-mở, ánh xạ thương, ánh xạ thương-dãy
4 Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các tính chất của ánh xạ thương-dãy, đặc trưng của ánh xạ thương-dãy thông qua các tính chất mạng, sự bảo tồn các tính chất mạng
thông qua ánh xạ thương-dãy
5 Phương pháp nghiên cứu
e Tham khảo tài liệu, nhờ đó hệ thống lại một số kiến thức về topo đại
cương liên quan đến kết quả nghiên cứu;
Trang 10ánh xạ thương-dãy và các tính chất mạng
® Thể hiện tường mình các kết quả nghiên cứu trong đề tài;
& Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả
đang nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn của mình
6 Cấu trúc luận văn
Ngoài phần Mở đầu, phần Kết luận và danh mục Tài liệu tham khảo,
nội dung của luận văn được chúng tôi chia thành hai chương
« Chương 1: Kiến thức về không gian topo Chương này dành cho việc
trình bày một số khái niệm và tính chất quan trọng của khong gian topo
nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của luận văn e Chương 2: Tính chất của ánh xạ thương-dãy Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày và chứng minh chỉ tiết về một số tính chất mạng và iữa chúng trong không gian topo Sau đó, chúng tôi nghiên
mối quan hị
cứu về ánh xạ liên tục theo dãy, ánh xạ thương-dãy và chứng minh một
số kết quả liên quan đến ánh xạ liên tục theo dãy, ánh xạ thương, ánh
xạ tiền-dãy, ánh xạ thương-dãy Cuối cùng, chúng tôi chứng minh chỉ tiết
đặc trưng của ánh xạ thương-dãy và mối quan hệ giữa ánh xạ thương-
dãy với sự bất biến của cs*-mang, cs'-mang, wsn-mang thông qua ánh xạ
Trang 11KHÔNG GIAN TOPO
Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức về topo đại cương nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của luận văn Các
khái niệm và tính chất được chúng tôi chứng minh một cách chỉ tiết nhằm
hiểu thấu đáo hơn các kiến thức về topo Các kết quả chính của chương
này được tham khảo trong [4)
“Trong toàn bộ luận văn chúng tôi dùng ký hiệu N={I, };ø=NU(0} 1.1 Không gian topo, tập hợp mở và lân cận Định nghĩa 1.1 thỏa mãn điều kiện sau Cho X là một tập hợp và 7 là một tập con của X 1) 0,X er 2) Nếu {Ua}„eA C7, thì LJ Ua €7 aA 3) NeuU,V €7, thiUnV er Khi đó,
® 7 được gọi là một føpo trên X
© Cặp (X,7) được gọi là một không gian fopo
Trang 12e A, 1a tap mé véi moi n € Đ © 1 An = {0} N nel Thật vậy, vì {0} C 4„ với mọi n € N nén {0} C (1) Ay neN
Bây giờ, giả sử œ € (] A„, khi đó neN
0<Iz|< : với mọi n € Ñ
Qua giới hạn khi n —> oe ta suy ra z = 0 Như vậy, (\ 4„ C {0} xế
® {0} khơng là tập mở trong R
Như vậy, nhận xét được chứng minh oO
Định nghĩa 1.1.4 Cho A la tap con khác rỗng của không gian topo
(X.7) Khi đó, tập con Ư của X được gọi là một lân cận của tập 4 nêu
tồn tai V € 7 sao cho
AcVCcU
Ngoài ra, néu U € 7, thì ta nói ring U 1a lan can md cia A Dac biét, nếu
A= {z} thì ta nói rằng U là lân cận của #
Nhận xét 1.1.5 Giả sử (X,7) là một không gian topo Khi đó,
1) Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập mở Tuy nhiên, mọi tập mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó
2) Giao hữu hạn các lân cận của 4 cũng là một lân cận của 4 Tuy nhiên, giao tùy ý các lân cận của 4 có thể không là lân cận của 4
Chứng mình Ta chỉ chứng mình cho giao tùy ý các lân cận của 4 có thể
không là lân cận của 4
Trang 13) vdi moi n € N Khi đó, theo chứng minh của Nhận xét 1.1.3, () An = {0} khong là một lân cận của 0 ma n Bổ đề 1.1.6 Giá sử (X,7) là không gian topo Khi đó, các mệnh dé sau là tương đương 1) U là tập hợp mở;
2) U là lân cận của mỗi điểm thuộc nó;
8) Với mọi z € U, tôn tại lân cận V, ctia x sao chox EV, CU
Chứng minh (1) => (2) Gia sit U mé va x € U Néu ta lay V =U, thi ro rang V € 7 vax € V CU Nhu vay, U la lan can cita 2
(2) — (3) Gia sit U la lan cận của mỗi z € U Khi đó, với mọi x € U,
ta lay V, = U, thi V, la lan can cla x va
reVecU Do đó, (3) thỏa mãn
(3) => (1) Giả sử với mọi z € U, ton tại lan cận V; của z sao cho œ€VWzC U Khi đó, vì V; là lân cận của z nên tồn tại W„ € 7 sao cho œ€ IW„ C V„C U Do đó, U= Ufz}C UWzc UV-CỮ zeU xeU zeU Nhu vay, U = LJ W; €7 a xeU 1.2 Tập hợp đóng và bao đóng của một tập hợp
Định nghĩa 1.2.1 Tập con A của không gian topo (X,7) được gọi là
Trang 14Nhận xét 1.2.2 1) Ú, X là các tập hợp đóng 2) Hợp hữu hạn các tập hợp đóng là tập hợp đóng Tuy nhiên, hợp tùy ý các tập hợp đóng có thể không đóng 3) Giao tùy ý Nhận xét 1.2.3 Hợp tùy ý các tập đóng có thể không đóng trong X ác tập hợp đóng là tập đóng
Chứng mình Giả sử R là tập số thực với topo thông thường Ta đặt
Trang 153) A đóng khi và chỉ khi 4) Nếu AC B, thì 4C Ð Chứng mảnh (1) Bởi vì X là tập đóng chứa A nên Xe{F CX: F dong, AC F}
Do dé, A tén tại và theo Dinh nghĩa 1.2.6 nén AC A
(2) Bởi vì 4 = (\{F C X: F đóng, AC F} nên theo Nhận xét 1.2.2
ta suy ra 4 là tập đóng chứa A
Bây giờ, ta chứng minh rằng 2 là tập đóng nhỏ nhất chứa A Thật vậy, giả sử G là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa 4 Khi đó,
G€{FCX:F đóng, AC F},
kéo theo
A=f(FCX:F đóng, AC F} CG
(3) Giả sử A4 C X là tập con đóng Khi đó, vì 2 là tập đóng nhỏ nhất
chứa 4 và 4 cũng là tập đóng chứa 4 nên 4Ä C 4 Mặt khác, theo khẳng định (1), ta có A C A Do vay, A = A Bây giờ, gia sit A = A, theo khẳng định (1) thì rõ ràng 4 là tập con đóng của X (4 Ta có AC BC B nên Ö là tập đóng chứa 4 Mặt khác, vì A la tập đóng nhỏ nhất chứa 4 nên 4C Ö a
Vi du 1.2.8 Cho X = {a,b,c}, AC X va mot topo tren X là
T= {0,x, {a}, {a,b} {a,c}, {03}
{a}, A= {a,b}, A= {b,c}
Hay tìm 4 trong các trường hợp s¡
Trang 161) Trường hợp 1: A = {a} (a) Các tập đóng trong X là: X, 0, {b,e}, {e} {b} {a,e} (b) Các tập đóng trong X chứa A là: X Như vậy, 4 = X 2 {a,c} = {a,c} 2) Trường hợp 2: A = {a,b} (a) Các tập đóng trongg X là: X, 0, {b,e}, {e} {b}, {a,c} (b) Các tập đóng trong X chứa A là: X, Nhu vay, A = X 3) Trường hợp 1: A= {b,c} Bởi vì A dong nén nhé Nhan xét 1.2.7 ta suy ra A = A Như vậy, ta có 4 = A
Ví dụ 1.2.9 Xét R véi topo thong thường, A C R Hay tim 4 biết
Trang 17That vay, vi AC AUB va B C AUB nén theo Nhan xét 1.2.7 ta có
AcAUB; BC AUB Như vậy, AUB Cc AUB
o Theo Nhan xét 1.2.7(2) ta có
ACA, BCB
Do đó, AU BC AUB Lai theo nhan xét 1.2.7 (2), A va đóng Do đó, theo Nhận xét 1.2.2 (2), AUB dong Nhu vay, áp dụng Nhận xét 1.2.7 (2) ta thu được AUB Cc AUB=AUB (2) Véi moi a € I ta cé6 Ag C YU Ag Theo theo Nhan xét 1.2.7 (2) ta acl 4a C |] Aa với mọi a € 1 acl suy ra Do d6, U An c U Aa ott oct (3) Theo Nhận xét 1.4.2 (2) ta có A4 C A va BC B Do d6, ANBC ANB Sit dung Nhận xét 1.2.2 và Nhận xét 1.4.2 ta suy ra AnBc AnB= Än8
Bây giờ, ta chứng tỏ rằng đẳng thức có thể không xảy ra Thật vậy, giả stt R 1A tap số thực với topo thông thường Ta đặt
An = fo - Fl véi moi n EN Khi đó, Ù 3, nat = |0,1) nhưng Ù 4, = [0.1] nai
Lấy A = (0,1), B = (1,2) Lúc này, ta có 4 = (0,1), B = [1,2],
Trang 18Định lí 1.2.11 Giá sử (X,7) là một không gian topo, FC X Khi đó,
a €F khi va chi khi vdi moi lan can mé V cia x ta đều có V\F # Ú Chitng minh Diéu kién can Giả sử x € F va V là một lân cận mở của #
Ta phai chimg minh ring V0 F #0
That vay, gid sit ngugc lai ring VN F = 0 Khi d6, F CX \V, kéo theo F C X\V Béi viV € 7 nén X\V dong, kéo theo X\V =X\V Do đó, TC X \ V, kéo theo
zeFnV=U
Nhờ mâu thuẫn này ta suy ra điều phải chứng minh
Điều kiện đủ Giả sử mỗi lân cận mở V bắt kì của z ta đều có VfF # Ú
Ta phải chứng minh z € F
ử ngược lại rằng z ý F Khi đó, z € X \ # Bởi vì, F
đóng nên X \ là lân cận mở của z Theo giả thuyết điều kiện đủ ta suy
ra F(X \ F) 40 Do do,
That vay, gi
0#Fn(X\F)cFn(X\F) =0,
Đây là một mâu thuẫn a
Dinh nghia 1.2.12 Gia sit (X,d) la mot khong gian metric, {,,} CX Ta nói dãy {z„} hội fụ đến z nếu d(„,z) -> 0, nghia la vdi moi ¢ > 0,
tồn tại N € N sao cho
d(2p,2) <€ v6i moin > N
Lúc này ta kí hiệu #„ > z hoặc lim z„ = x n¬%
Định lí 1.2.13 Giả sử (X,đ) là một không gian metric, F C X Khi đó,
a € F khi uà chỉ khi tồn tại dãy {œ„} C F` sao cho z„ — x
Trang 19
«& Điều kiện đủ Giả sử với mọi day {x,} C F ma x, > z ta đều có
œ€ E Ta phải chứng mình # đóng, nghĩa là phải chứng minh f C F
That vay, giả sử z € F Khi đó, theo Định lí 1.2.13, tồn tại day {z,} C F
sao cho zu —> # Theo giả thiết điều kiện đủ ta suy ra z € Ƒ n
1.3 Phần trong của tập hợp
Định nghĩa 1.3.1
đó, hợp của tất cả các tập con mở nằm 4A được gọi là phân trong của A,
và kí hiệu IntA Như vậy, sử 4 là tập con của không gian topo (.X,7) Khi IntA = U{V €z:VC 4} Nhận xét 1.3.2 Giả sử 4, P là các tập con của không gian topo (X,7) Khi đó,
1) IntA là tập con mở lớn nhất trong A;
2) A mở khi và chỉ khi IntA = A;
3) Nếu AC Ö, thì IntA C Int
Chứng minh (1) Boi vi IntA = U{V €7: V CA} nên TntA là tập con
mở nằm trong A Bay giờ, giả sử Œ là tập mở lớn nhất nằm trong 4 Suy
ra G€{V €r:VC 4} Do đó,
GCUV €r:V CA} = Int
(2) Giả sử A md, khi do A € {V €7 :V C 4} Suy ra
ACU{V€7r:VC 4}=1ntA
Trang 20(3) Gach 1: Boi vi AC B nen
{Ver:VCA}C{Ver:VCB)
Do đó, IneA C TntÖ,
Cách 2: Theo (1), IntA là tập mở trong 4 C Ö, và IntÖ là tập mở lớn nhất nằm trong Như vậy, Int 4C Int Ö o
Vi du 1.3.3 Cho X = {a,b,c},
7 = {0,X, {a}, {a,b}, {a,c}, {0}} va M C X Hãy tìm IntAƒ trong các trường hợp sau: M = {b,c}, M = {a,b} Bài giải (1) Trường hợp 1: AM = {b, c} Ta có {Ver:VCM}= {0,{0}} Suy ra Int M = 0U {b} = {b} (2) Trung hgp 2: M = {a,b} Cách 1: Ta có {V€zr:VC M} = {0,{a},{a.b}, {b}} Suy ra Int M = 0U {a} U {a,b} U {b} = {a,b}
Céch 2: Béi vi M = {a,b} € 7 nén theo Nhan xét 1.3.2, ta suy ra IntM = M = {a,b}
Ví dụ 1.3.4 Xét R với topo thông thường, A C R Hay tim IntA biét
A= [a,b]; A= (a,b); A= (a,b); A= [a,b)
Trang 21Int(a, b] = (a,b); Int(a,b) = (a,b); Int(a,b] = (a,b); Tnt{a,b) = (a,b) Dinh lí 1.3.5 Giả sử (X,z) là không gian topo Khi đó,
1) Int(A/N B) = IntAN IntB;
2) Int4U1ntB C Int(AU B), đẳng thức có thé không xảu ra;
3) ItA=X\XVA
Chitng minh (1) Béi vi IntA C A va IntB C B nén IntAN IntB Cc ANB
Mặt khác vi IntAM IntB 1a tap hgp md nim trong AN B va Int(AN B) là tap hdp mé Ién nhat nim trong AN B nén
IntAN IntB Cc Int(AN B) (L1) Lại vì Tnt(A f\ 8) C TntA và Int(A f\ 8) C Tnt nên
Int(AN B) C IntAn IntB (1.2)
Từ (1.1) và (12) ta suy ra điều phải chứng minh
(2) Bởi vì IntA C A và Int C B nén IntAUIntB C AU Ö Do đó, IntAUTnt là tập mở nằm trong 4U Ö Mặt khác, vì Int(AU ) là tập
mở lớn nhét nim trong AU B nén IntA U IntB C Int(AU B)
Bây giờ, ta chứng minh đẳng thức có thể không xảy ra
“Thật vậy, xét ïR là tập số thực với topo thông thường Ta lấy 4 = (0, 1),
B=[1,2) Khi đó,
IntA = (0,1), IntB = (1,2) va Int(AU B) = (1,2)
Trang 22(3) Bởi vì X\ A C X\A nen X\X\ACX\(X\A)=A Suy ra X \ X\A la tap mé trong A Do đó, X\X\Ac mt, (1.3) Mặt khác, vi IntA C A nén X \ A C X \ IntA Hon nita, vi X \ IntA đóng nên X\ACX\Tnt4= X \IntA Như vậy, IntAcX\X\A (1.4)
Nhờ (1-3) và (1.4) ta suy ra điều phải chứng minh n
1.4 Tiên đề tách, không gian con, không gian compact
Định nghĩa 1.4.1 Giả sử (X,7) là không gian topo Khi đó,
1) (X,7) được gọi là Tụ-không gian nếu với moi x,y € X mà + z ÿ, tồn
tại V €7 chứa đúng một trong hai điểm này
2) (X,7) được gọi là Tị-không gian nếu với mọi z,y € X mà x F y,
tồn tại lân cận mở Ù của # sao cho y ¢ X
3) (X,7) được gọi là T¿-không gian hay là không gian Hausdorff nếu
với hai điểm phân biệt được tách bởi tập mở
Bổ đề 1.4.2 Giá sử (X,7) là không gian topo, F C X Khi đó,
te ={VAF:Ver}
la mét topo trén F
Trang 233) x, > 2 trong F <=> z„ + 2 trong X
Chứng mảnh (1) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa
(3) Điều kiện cần Giả sử U là lân cận của z trong Ƒ Khi đó, tồn tại
W € Tr sao cho x € W CU Béi vi W € Tp nén tdn tai A € T sao cho
W = FONA Dat V =UU(X \ F), ta thu duge
ercA= (AnF)u(An(X\F)) CWU(X\F) Cc UU(X\F) =V eVNF= (Uu(X\#))n£= (0nP)0[ŒX\£)nF] =0
Điều kiện đủ Giả sử tồn tại lân cận V của z trong X sao cho = FAV
Khi đó, vì V là lân cận của z nên tồn tại A € 7 sao cho #€ AC V Ta có AnF €7r và +€AnFCVnF=U Nhu vay, U là lân cận của z trong F (3) Giả sử {z„} C F, khi đó
¢ Gia sit x, > # trong #, U là lân cận của x trong X Khi d6, UN F là
lan cận của z trong #' Bởi vi x, + x trong F nén tồn tại no € N sao cho
2, CUNF CU véi moi n > nạ
Như vậy, z„ —> x trong X
e Giả sử z„ > x trong X, U là lân cận của # trong Ƒ Khi đó, tồn tại
lan can V của z trong X sao cho U = VfE: Bởi vì z„ > z trong X nên
tồn tại nạ € Ñ sao cho #„ € V với mọi > nạ, kéo theo
2, €VAF =U véi moi n > no
Trang 24Định lí 1.4.5 Giá sử (F.zp) là không gian con của (X,7) tà E C E Khi đó, 1) E đóng trong F` khi tà chỉ khi tồn tại tập con đóng A trong X sao cho B= ANF; 2) E" =EnE; Chứng mình: (1) Ta có E déng trong F <=> F \ E € tp, <=> tén tai V €7 saocho F\ E=VNF, <=> E=F\(F\E)=F\(VAF)=F\V =(X\V)OF, trong đó X \ V đóng trong X (2) Ta có =N{A: A dong trong F, EC A} =N {BNF : B dong trong X, Ec B} =Fn (9 {B : B dong trong X, EC B}) =FnE
Như vậy định lý đã được chứng mỉnh
Định nghĩa 1.4.6 Giả sử A là tập con của không gian topo (X,7) và U = {Va}ocr la ho nao dé gdm cée tập con của X Khi đó,
1) U được gọi là một phú của 4 nếu 4C (J V2 aéI
2) V được gọi là phủ con của # phủ A nếu } C # và ÿ phủ A
3) Một phủ # của A được gọi là phú mở của 4A nếu # phủ A và # C 7
Định nghĩa 1.4.7 Giả sử K là tập con của không gian topo (X,7) Khi
đó, K được gọi là tap con compact trong X néu moi phi mé cia K, ton tại
Trang 25Nhận xét 1.4.8 Dói với không gian topo (X, 7), các khẳng định sau đây
là đúng
1) Hop hitu han cdc tap con compact 1a tap con compact 2) Néu A dong, B compact va A C B, thi A compact
3) Nếu X là T;-không gian, thì mọi tập con compact của X đều đóng
4) Giả sử E, F là các tập con compaet rời nhau trong 7;-không gian X
Khi đó, tồn tại các lân cận mở Ù của E và V của Ƒ sao cho Ưf\V = 0
Do đó, nếu X là 75-không gian compact, thì X là chuẩn tắc
Chitng minh (L) Giả sử A, B là hai tập compaet Ta chứng minh A U
compact
Thật vậy, giả sử U = {U, : œ € J} la phủ mở của A U Ö, kéo theo
AUBC JU, Khi đó, bởi vi U phi mé tap compact A nén ta suy ra oe! ton tai ay, , a, € I sao cho A C |LJ Ua, Mặt khác, vì U phi mé tap 1 ntm compact Ö nên tồn tại œ„¿, ,„y„ € Ï sao cho BC J_Ua, Như i=n+l
vậy, {Uạ,, ,a„ } là phủ con hữu hạn của # phủ AU Ö
(9) Giả sử # {Ua : a € T} là phủ mở của 4 Khi đó, vì U {X \ 4} là phủ mở của X nên nó là phủ mở của tập compact Ö Do đó, tồn tại 456665 € 1 sao cho {Uạ,, ,Uạ„„ X \ A} là phủ con hữu hạn của B
Mặt khác, vì X \ 4 không phủ phần tử nào của A và B= AUu(B\ A)
nên ta suy ra AC UY Ug,-
i=l
Trang 26‘That vay, giả
sit x € X \ A Khi d6, véi moi y € A ta có # z Bởi vì X là Ty-khong gian nên tén tai cée lan can mé Uy, cita x va V, cia y sao
cho U, NV, = 0 Mat khée, vi {V, : y € A} 1A phii mé cita A compact nén
tồn tại 1¡, ,„ € A sao cho AC U V,, Ta dat U = Ẫ U„,, khi đó U i= i=l la lan can mé cia x vì unac (Ng v)n (U%,) i=! j=l Ulan) | 1 J(0,nV,) =8 Nh ky CC XÀ A sn BC
(4) Véi moi x € E, vi EQ F = nên z ý F Theo cách chứng minh
trong (3), tồn tại lân cận mở U„ của # và V„ của F sao cho U, NV; = 0
Bởi vì {U, : x € E} là phủ mở của E compact nén tồn tại z, ,#„ € E
sao cho EC Ủ U,, Ta đặt
Trang 27rạc nhau Khi đó, theo (2) ta suy ra EB va F la hai tap con compact rdi
nhau Theo điều vừa chứng mỉnh ta suy ra tồn tại các lân cận mở của
EwaV cla F sao cho UNV = 0 n
1.5 Ánh xạ liên tục
Định nghĩa 1.5.1 Giả sử ƒ : (X,7) —> (Y,Ø) là ánh xạ từ không gian (X.7) đến không gian (Y,Ø) Khi đó,
1) ƒ được gọi là ánh xạ liên tục liên tục tại điểm zạ € X nếu với mọi lan cận mở V của ƒ(zọ) trong Y, tồn tại lân cận mở Ù của zọ trong
X sao cho f(U) CV
2) ƒ gọi là liên tục trên X (hay liên tục) nếu ƒ liên tục tại mọi điểm
của X
3) ƒ gọi là phép đồng phôi nếu ƒ là một song ánh và f, f~! là các ánh
xạ liên tục
Định lí 1.5.2 Giá sử ƒ : (X,7) — (YØ) là ánh zạ từ không gian topo
(X.7) đến không gian (Y,Ø) Khi đó, các khẳng định sau là tương đương
1) ƒ liên tục
2) Tạo ảnh của mọi tập hợp mở trong Ÿ' là một tập hợp mỏ trong X 3) Tạo ảnh của mọi tập hợp đóng trong Y' là một tập hợp đóng trong X
4) ƒŒ C ƒ(A) uới mợi A C X; 5) ƒT(B) C ƒ !(B) tới mọi B C Y;
6) f-'(IntB) C Int f~'(B) uới mọi B C Y
Trang 28That vay, gid sit x € f-'(U) Khi d6, U la lan can mé f(x) trong Y
Bởi vì ƒ là ánh xạ liên tục nên tồn tại lân cận mở V của # trong X sao cho ƒ(V) C U Như vậy,
œ€VCƒ"!(/(V)) c ƒ"!(U)
(2) — (3) Giả sử rằng (2) thỏa mãn và F đóng trong Y Khi đó, Y \ F mé trong Y Béi vi (2) théa man nén f-!(Y \ F) mé trong X Mặt khác, vì
SAW \F)=X\ f(F)-
nen f~!(F) dong trong X
(3) => (4) Gia sit (3) thỏa mãn và ƒ(4) đóng trong Y nên ƒ~!(ƒ(4))
đóng trong X Mặt khác, vì AC ƒ~'(ƒ(4)) C ƒ~!Ữ(4)) nên
4cƒ1(74)) =/'ữ()) Suy ra f(A) c F(A)
Trang 29fo'(IntB) CX \X\ FCB) = Int f-!(B)
(6) — (1) Giả sử z € X và V là một lân cận mở của ƒ(z) trong Y
Khi đó, TntV = V Bởi vì (6) thỏa mãn nên
/7!(V) = ƒ“!(TntV) C Tnt/~!(V)
Hơn nữa, vì Intƒ~!(V) C ƒ~}{V) nên Intƒ~!(V) = ƒ~}{V) Như vậy,
néu dat U = ƒ~'(W), thì Ứ là lân cận mở của z và f(U) CV a Định lí 1.5.3 Giá sử ƒ : (X,7) —> (Y,Ø) là ánh zạ liên tục Khi đó, nếu K la tap con compact trong X, thi f(K) la tap con compact trong Y
Chiing minh Gia sit U = {Vạ : œ € T} là phủ mở của ƒ(K) nghĩa là ƒ(K) € U Vạ Khi đó, se
KC PUK) F(a) = 7144) acl ae!
Bởi vì C ø nên ƒ~!(V„) €7 với moi a € I Do đó, {ƒ"}{V„) : a € 1}
là phần mở của K trong X Bởi vì # compaet nên tồn tại ai, , đ„ sao cho K CU f-4(Va,) Suy ra in
ƒ()cƒ (Ù 710) Us| ad] Ue
Trang 30CHƯƠNG 2
ÁNH XẠ THƯƠNG DÃY
Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày và chứng minh chỉ tiết về một số tính chất mạng và mối quan hệ giữa chúng trong không gian topo Sau đó, chúng tôi nghiên cứu về ánh xạ liên tục theo dãy, ánh xạ thương-dãy và chứng mỉnh một số kết quả liên quan đến ánh xạ liên tục theo dãy, ánh xạ thương, ánh xạ tiền-dãy, ánh xạ thương-dãy Cuối cùng, chúng tôi chứng minh chi tiết đặc trưng củ ánh xạ thương-‹
quan hệ giữa ánh xạ thương-dãy với sự bất biến của es°-mạng,
wsn-mang thong qua 4nh xa thuong-day
Trong toàn bộ chương này, chúng tôi giả thiết rằng các không gian topo
là Hausdorff Giả sử ƒ : (X,7) —> (Y,Ø) là một ánh xạ từ không gian topo
(X.7) vào không gian topo (Y,ø), ? là họ nào đó gồm các tập con của
4X Khi đó, ta ký hiệu
f(P) = {f(P): P € P}:
UP =U{P: PEP}:
OP =n{P: PEP}
2.1 Một số tính chất mạng trên không gian topo
Mục này dành cho việc trình bày và chứng mỉnh chi tiết về một số tính
chất mạng và mối quan hệ giữa chúng
Định nghĩa 2.1.1 (4|) Giả sử (X,7) là một không gian topo Khi đó,
Trang 31Do đó, nếu ta đặt mm = max{m; : ¿ < n} ta suy ra
{z}U {x :k > m} C [ẦUi
in
Như vậy, ()j<,, Ui là một lân cận dãy của z, và khẳng định (1) thỏa mãn
Từ định nghĩa của dãy hội tụ ta suy ra rằng khẳng định (2) và (3) là
đúng Bây giờ, ta chứng minh khẳng định (4)
Giả sử Ƒ là tập đóng trong X Khi đó, X \ F' € z Nhờ khẳng định (3) ta suy ra rằng X \ Ƒ là tập mở theo dãy trong X, Do đó, F = X\(X\F)
là tập đóng theo dãy trong X o
Dinh nghia 2.1.3 ((8]) Gia sit một là họ nào đó gồm các tập con của
không gian topo (X,7) Khi đó,
1) 7 được gọi là mạng của X nếu với mỗi z € U €7, tồn tại P €7? sao cho #€ P.CU
2) 7 được gọi là 0sn-mmạng của X nếu với mỗi z € U €7, tồn tại lân
cận dãy P €7 của z sao cho P.C Ư;
3) ? là cs"-mạng của X nếu với mỗi # € U € 7 và với mọi dãy {z„} hội
tụ đến x trong X, tồn tại P € ? và dãy con {x,,} C {z„} sao cho
{z}U {z„ :k€ N} CPCƯ
4) Ð được gọi là es'-rmạng của X nếu với mọi dãy {z„} hội tụ đến
+ €U €7, tồn tại P €7 và m € Ñ sao cho
{x, am} CP CU
5) ? được gọi là en-mạng của X nếu với mỗi lân cận U của z trong X,
tập hợp U{P €?:+z€ PC U} là lân cận của z
Trang 32Chitng minh (1) Giả sử B là cơ sở của X Khi đó, với mỗi z € U €7, tồn
tại B € B sao cho z € B C Ư Bởi vì mỗi lân cận là lân cận dãy nên Ø là
lân cận dãy của z Do đó, Ö là øsn-mạng của X
(3) Giả sử ? là øsn-mạng của X, z € U €7 và {z„} là dãy hội tụ đến
+ trong X Khi đó, vì ? là +»sn-mạng nên tồn tai P € P sao cho P CU và P là lân cận dãy của z Mặt khác, vì P là lân cận dãy của x và {z„} hội tụ đến z nên tồn tại zn € Ñ sao cho
{2} U {ain >m}CPCU
Hơn nữa, vì {z„ : n > rn} là dãy con của {z„} nên ta suy ra P la cs*-mang của X
(3) Giả sử ? là es'-mạng của X, {z„} là dãy hội tụ đến z € U €7
Khi đó, tồn tại P € P va day con {#»,} C {zn} sao cho {z}U {z„,: k€ N}C PCU io EN, thì ta có (.z,,}C PC U, và Ð là cs'-mạng của X (4) Giả sử ? là es-mạng của X Khi đó, nhờ Định nghĩa 2.1.3 ta suy ra 7 là mạng của X o Định nghĩa 2.1.5 ((8]) Gia sit (X,7) 1a mot khong gian topo, A C X Khi đó, ta ký hiệu
(A) seq = {a © X : A là lân cận dãy của z trong X};
[A]¿.„ = {z € X : tồn tại dãy trong A hội tụ đến z trong X}
Bổ đề 2.1.6 (S|) Giả sử (X,7) là một khong gian topo va A C X
Khi đó,
Trang 33Chứng mình Ta có
1) A°C (4)„„ Giả sử z € A°, khi đó 4 là lân cận của z Như vậy, 4 là lan can day cita x, va ¢ € (A)seg-
2) Gia stt © € (A)seq, khi d6 A 1a lan can day cia x, kéo theo x € A
Nhu vay, (A) seg C A
3) Gid sit x € A, khi d6 vi moi n EN, ta léy x, = x Rõ ràng rằng
{x,} la day nim trong A hoi tụ đến z Như vậy, z € [4]„„, do đó AC [Aseg-
4) Gid sit x € [A]seq, lúc này tồn tại dãy {2,} C A sao cho x, + x Do đó, với mọi lân cận V của z, {z„} từ lúc nào đó nằm trong V Suy
ra VN AF O Nhu vay, 2 € A
Do vậy, bổ đề được chứng minh ữ
Nhận xét 2.1.7 Giả sử (X,7) là một không gian topo Khi đó, các khẳng định sau là đúng
1) U là lân cận dãy của 4 khi và chỉ khi A C (U)„.„:
2) U là tập mở theo dãy trong X khi và chỉ khi U C (U),„„
Bỗ đề 2.1.8 ((S|) Giá sử (X,7) là một không gian fopo tà A C X Khi đó,
[Alseqg = X \(X \ A)seq-
Chứng mình Rõ ràng rằng z € [A]„.„ khi và chi khi tồn tai day {en} C A sao cho #„ —> #, khi và chỉ khi X \ 4 không là lân cận dãy của z, khi và chỉ khi ø ế (X \ 4)„„¿, khi và chỉ khi
ze€X\(X\A)z„
Trang 34Định lí 2.1.9 ((§)) Giá sử P là họ nào đó gồm các tập con của không gian topo (X,7) Khi đó, ? là cs'-mạng của X khi uà chỉ khi uới mỗi lân cận mở Ù của #, ta có
œ€(U{(P<7:zePCU})s«4-
Chứng mình Diều kiện cần Giả sử rằng ? là cs-mạng của X và U là một lân cận mở của z trong X Ta đặt
YV={P€P:zePCU}
Khi đó, z € f và LJV C U Ta chứng minh rằng LJV là lân cận dãy của x trong X Thật vậy, giả sử ngược lại rằng LJV không là lân cận dãy của + trong X Khi đó, tồn tại dãy {z„} hội tụ đến z trong X sao cho với mọi
m€N, tồn tại í„ € Ñ sao cho i, > n va a;, ¢ UV Bai vi {2;, : n € N} là dãy hội tụ đến z trong X và 7 là es-mạng của X nên tồn tại rm € N va P € P sao cho {œ,z„„} CP CU Do đó, z¡„ € P C JV, đây là một mâu thuẫn Như vay, ta có +€(U(P€7:zePCU))s«4- Điều kiện đủ Giả sử với mọi lân cận mở Ù của z trong X, ta đều có we (U{PEP:2€ PCU})seq- Ta chứng mình 7 là cs-mạng của X
“Thật vậy, giả sử {z„} là dãy hội tụ đến z € V € 7 Theo giả thiết điều
kiện đủ U{P €7 :z € PC V} là lân cận dãy của z Do đó, tồn tại
mm € Ñ sao cho
{t}Uf{2n:n>m}cU{PEP: rE PCV}
Ta lay n > m, khi dé ton tai P € P sao cho x, € P Do đó,
Trang 35Nhờ điều kiện đủ ta suy ra rằng tồn tại € Ð và z € X \ V sao cho {2,2} CP CU
Bởi vì z € PC U nên z€ PC V Điều này mâu thuẫn với z ý V
Như vậy, ? là en-mạng của X a
Định nghĩa 2.1.13 ((4]) Khong gian topo (X,7) duge goi lA khong gian
Fréchet-Urysohn néu véi moi A C X va x € A, tén tai diy {x,} C A hdi tụ đến x trong X Nhan xét 2.1.14 ((4]) Mỗi không gian metric la một không gian Fréchet- Urysohn Định lí 2.1.15 ((S)) Giá sử (X,7) là một không gian topo Khi đó, các khẳng định sau là đúng
1) Mỗi cn-mang của X là cs'-mạng của X;
2) Giả sử X là không gian Fréchet-Urusohn Khi đó, mỗi cs'-mạng của X là en-mang của X
Trang 36Khi đó, với mỗi z € X và mỗi lân cận mở Ứ của x trong X, ta đặt
V=U{P<7:zePCU}
Ta chỉ cần chứng mình rằng z € IntV Thật vậy, giả sử ngược lại rằng
x ¢ IntV Khi đó, z ¢ X\X\V, kéo theo x € X\ V Bởi vì X là không,
gian Eréchet-Urysohn nên tồn tại dãy {z„} C X \ V hội tụ đến x trong X Mặt khác, ì Ð là es-mạng của z nên tồn tại P € 7 và m € Ñ sao cho {#.zm} CP CƯ Đổi vì z € P C U nên PC V, kéo theo Pf(X \ V) = Ú Điều này mâu thuẫn với Im € PA(X\V)
Như vậy, V là lan can cita x trong X Do d6, P la cn-mang cia XO
2.2 Ánh xạ liên tục theo dãy
Mục này đành cho việc trình bày và chứng minh chỉ tiết một số kết quả liên quan đến ánh xạ liên tục theo dãy, ánh xạ thương, ánh xạ tiền-dãy và
ánh xạ thương-dãy
Định nghĩa 2.2.1 Giả sử ƒ : (X,7) —> (Y,ø) là một ánh xạ Khi đó,
1) ý được gọi là liên tục theo dãy nếu với mọi # € X và với mọi dãy
{z„} hội tụ đến z trong X, ta có {ƒ(z„)} là dãy hội tụ đến f(x)
trong Y
2) ƒ được gọi là ánh xạ thương nếu với A C X, ta có 4 mở trong Y khi và chỉ khi ƒ~!(4) mở trong X
3) ƒ được gọi là tiển-đấy nếu với mỗi đãy {y„} hội tụ đến y trong Ÿ và {yn} khong tit Nic nào đó bằng , tập hợp
Trang 37không đóng theo dãy
4) ƒ được gọi là ánh xạ fhương-đãy nếu với A C Y, ta có A là tập mở
theo day trong Y khi và chỉ khi ƒ~!(4) là tập mở theo dãy trong X
Nhận xét 2.2.2 Dói với ánh xạ ƒ : (X,7) => (Y,Ø), các khẳng định sau là đúng
1) Nếu ƒ là ánh xạ liên tục, thì ƒ là ánh xạ liên tục theo đãi
2) Nếu ƒ là ánh xạ thương, thì ƒ là ánh xạ thương-dãy
Định lí 2.2.3 (3|) Giả sử ƒ : (X,7) —> (Y,Ø) là một ánh xa Khi đó,
các khẳng định sau là tương đương
1) ƒ là ánh zạ liên tục theo dãy;
2) Néu U la tap hop mở theo dãy trong Y, thì ƒ~'(U) là tập mở dãy
trong X;
3) Nếu H là tập đóng theo dãy trong Y, thì ƒ~'(H) là tập đóng dãy
trong X;
4) Nếu H là tập đóng theo dãy tà đếm được trong Y, thì ƒ~'(H) là tập đóng theo dãy trong X
Chứng mình (1) —> (3) Giả sử ƒ liên tục theo dãy và H là tập đóng
theo day trong Y Ta cần chứng minh rằng ƒ~!(H) là tập đóng theo dãy trong X Thật vậy, giả sử ngược lại rằng ƒ~1(H) không là tập đóng theo
day trong X Khi đó, X \ ƒ~!(H) không là tập mở theo dãy trong X Suy
ra tồn tại z € X \ f-'(H) va day {z„} C ƒ~1(H) hội tụ đến x trong X
Mặt khác, vì ƒ liên tục theo dãy nên ta suy ra {ƒ(z„)} là day trong H hoi
tụ đến ƒ(z) trong Y' Hơn nữa, vì z ý ƒ~!(H) nên ƒ(z) # H Như vậy, H
Trang 38“Thật vậy, giả sử {z¿} là dãy trong #7 hội tụ đến z Khi đó,
e Nếu {z„} là đãy tầm thường, nghĩa là tồn tại nọ € Ñ sao cho z„ — z với mọi n > no, thi z = z,, € H
e Néu {z,} la day khong tầm thường, thì tồn tại dãy con {z¡,} của {z;}
sao cho {z„ } là dãy con của {ƒ(z„,)} Bởi vì z„ —> z nên {ƒ(z»„)} có dãy con hội tụ, đây là một mâu thuẫn
Như vậy, H la tap đóng theo dãy Bởi vì # đếm được nên theo khẳng định (4) ta suy ra ƒ“!(H) cũng đóng theo dãy trong X Mặt khác, vì
{ra} C ƒCÌ(H) nen ta suy ra ring x € f-!(H), kéo theo f(x) € H Béi
vi f(x) # nên tồn tại n € Ñ sao cho f(x,) = f(x) Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng ƒ(#„) # ƒ(z) với mọi n € Đ đ
Nhận xét 2.2.4 Giả sử ƒ : (X,7) > (Y,c) la anh xa lién tue theo day,
{un} CY, yeY va
L= {yn in € NFU {y}
Khi đó, nếu „ —> y, thì ƒ~!(L) đóng trong X, Tuy nhiên, chiều ngược lại nói chung không đúng
Chứng mình Bởi vì yạ —> nên L là tập đóng trong Y, do đó nó là tập
đóng theo day trong Y Hon nita, vi L đếm được nên theo Định lí 2.2.3 ta
suy ra ƒ~!(L) đóng trong X
Bây giờ, ta chứng tỏ rằng chiều ngược lại không đúng Thật vậy, giả sử X = {x =1/n:n€N}U{O}
Ta goi 7 1a topo thông thường trên X, ø là topo rời rạc trên X và xét
ƒ: (X,7) —> (X,Ø) là ánh xạ đồng nhất Khi đó, nếu ta lấy L = X, thi
f-\(L) = L dong trong (X,7) Lúc này, ƒ(L) = L = X không hội tụ
Trang 39“Thật vậy, giả sử z„ —> z trong ø Khi đó, vì (X,ø) là không gian topo
rời rạc nên {z} là một lân cận mở của z Lúc này, tồn tại nọ € Ñ sao cho #„ = z với mọi n > nọ, đây là một mâu thuẫn với dãy {z„} phân biệt [1
2.3 Ánh xạ thương-dãy
Mục này dành cho việc trình bày một số đặc trưng cơ bản của ánh xạ tién-day va tính chất của ánh xạ thương-dãy
Định lí 2.3.1 (3|) Giá sử ƒ : (X,7) —> (Y,Ø) là một ánh zạ liên tục
theo dãy Khi đó, các khẳng định sau là tương đương
1) ƒ là ánh zạ tiền-đãy;
2) Néu U không là tập mở theo dãy trong Y, thì ƒ~'(U) không là tập
mé theo day trong X;
3) Nếu H không là tập đóng theo dãy trong Y, thì ƒ~!(H) không là tập déng theo day trong X
Chứng mình (3) —> (3) Giả sử rằng (9) thỏa mãn và HH là tập không
đóng theo dãy trong Y” Khi đó, Y \ H 1a tap khong mé theo day trong Y
Bởi vì khẳng định (2) thỏa mãn nên ta suy ra
f° \H)=X\f"(#)
la tap khong mé theo day trong X Diéu nay ching té ring f-!(H) la tap không đóng theo dãy trong X
(3) — (9) Giả sử rằng (3) thỏa mãn và Ứ là tập không mở theo dãy trong Y, Khi d6, Y \U la tap khong dong theo day trong Y Béi vì khẳng định (3) thỏa mãn nên ta suy ra
ƒ*@\U)=X\Ƒ (0)
Trang 40(3) => (1) Gia sit {y,} la day khong tim thudng hoi tu dén y Ta dat
H = {unin EN, Yn F y}-
Khi đó, vì H 1a mot day trong H hoi tu dén y ¢ H nên H khong dong theo dãy Mặt khác, vì khẳng định (3) thỏa mãn nên tập hợp sau không đóng theo dãy
ƒ-1{H) = U{ƒ (yn) 22 EN, à # v}
Như vậy, ƒ là ánh xạ tiền-dãy
(1) = (3) Gia sit f là ánh xạ tiền-dãy và liên tục theo dãy, H là tập
không đóng theo day trong Y Khi đó, tồn tại day {y,} C H hoi tụ đến
y © Y \ H Ro rang {y„} là dãy không tầm thường trong Y Bởi vì ƒ là
ánh xạ tiên lượng nên tập hợp
TH = {J (u,) :n € N}
không là tập đóng theo dãy trong X Do đó, tồn tại dãy {z„,} C_H” sao
cho ƒ(#„,) = ạ, với mọi ¡ € Ñ và z„, —> z € X \ H Bởi vì
Yn, > Fe) =y
nên z ý ƒ~'(H) và
{z„}C HC ƒˆ{(H)
Suy ra ƒ~!(H) không đóng theo dãy trong X, a Dinh Ii 2.3.2 ((3]) Một ánh zạ là thương-dãy khi và chỉ khi nó là ánh xa
liên tục đã tà tiên lượng
Chứng mình Suy trực tiếp từ Định lí 2.2.3 và Định lí 2.3.1 a Định lí 2.3.3 (3)) Giả sử ƒ : (X,7) —> (Y,ø) là một ánh xạ liên tục
theo dãy Khi đó, các khẳng định sau là tương đương