Luận văn thạc sĩ toán học tính chính quy nghiệm của phương trình elliptic với hệ số bmo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Mẫn TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BMO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh –[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Mẫn TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BMO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Mẫn TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BMO Chuyên ngành : Tốn Giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Thành Nhân, luận văn chuyên ngành Toán Giải Tích với đề tài: “Tính quy nghiệm phương trình elliptic với hệ số BMO” thực nhìn nhận tìm hiểu thân tơi Trong q trình nghiên cứu thực luận văn, thừa kế kết báo, luận văn nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan nội dung kết luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 03 năm2019 Học viên thực Nguyễn Thị Tuyết Mẫn LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn thạc sĩ không nhờ vào nỗ lực, cố gắng thân mà cịn nhờ nhiều vào hướng dẫn nhiệt tình Thầy, Cơ; ủng hộ, giúp đỡ, động viên từ gia đình bạn bè Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thành Nhân, người giới thiệu cho đề tài trực tiếp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành tốt luận văn Bên cạnh tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến tồn thể q Thầy, Cơ khoa Tốn-Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình truyền đạt kiến thức quý báu cho tơi suốt khóa học Tơi xin cảm ơn ban lãnh đạo chuyên viên Phòng sau đại học, Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi học tập hồn thành nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin cảm ơn đến gia đình ln bên, động viên, ủng hộ, giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence 1.2 Một số khái niệm 1.2.1 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood số kết Lp 1.2.2 Bổ đề phủ Vitali 1.2.3 Định nghĩa không gian BMO 1.2.4 Một số định nghĩa kết liên quan đến biên Lipschitz 1.2.5 Bổ đề 1.6 Chương PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC DẠNG DIVERGENCE VỚI HỆ SỐ KHƠNG LIÊN TỤC 2.1 Bổ đề phủ Vitali 2.2 Các định nghĩa bổ đề 2.3 Tính quy 19 Chương BÀI TOÁN DIRICHLET VỚI HỆ SỐ BMO TRÊN MIỀN LIPSCHITZ 22 3.1 Bổ đề phủ Vitali 22 3.2 Các định nghĩa bổ đề 24 3.3 Tính quy 37 Chương BÀI TOÁN NEUMANN VỚI HỆ SỐ BMO TRÊN MIỀN LIPSCHITZ 42 4.1 Các định nghĩa bổ đề 42 4.2 Tính quy nghiệm 53 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU x   x ', xn  Một điểm điển hình R n Rn   x  R n : xn  0 Không gian R n với điểm có xn  Br   y  Rn : y  r Quả cầu mở R n với tâm O, bán kính r Br  x   Br  x Quả cầu mở có thêm x Br  Br   xn  0 Nửa cầu Br  x   Br  x Nửa cầu có thêm x Tr  Br  xn  0 Quả cầu mở Br với điểm có xn  c Br  Br  xn  0 Biên Br mà điểm có xn  A  aij  Ma trận A cấp n  n u:  R Hàm u với u  x   u  x1, , xn   x   f :   Rn Hàm f với f  x    f  x  , , f n  x    x   f Br  Br  f  x dx Giá trị trung bình f Br Br   divf  x     f  x   u  u x1 , , u xn n i 1 C0    Gradient u i xi Divergence f Không gian hàm u  C     có giá compact 1 MỞ ĐẦU Bài tốn tính quy nghiệm phương trình đạo hàm riêng nhà khoa học quan tâm nghiên cứu nhiều năm Gần số kết toán cho phương trình với hệ số BMO nghiên cứu phương pháp sử dụng Bổ đề phủ Vitali công cụ giải tích điều hịa Luận văn tập trung khảo sát số đánh giá tính quy nghiệm lớp phương trình đạo hàm riêng có dạng divergence với hệ số khơng liên tục Cụ thể khảo sát tính quy nghiệm phương trình elliptic với ma trận hệ số có nửa chuẩn BMO nhỏ Tài liệu nghiên cứu [1], [3], [5], [8] Nội dung tập trung khảo sát tính quy nghiệm phương trình dạng divergence Từ ứng dụng vào tốn cụ thể với điều kiện biên Dirichlet điều kiện biên Neumann Nội dung luận văn gồm bốn chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Bước đầu giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence, định nghĩa bổ đề quan trọng để bổ trợ cho chương sau Chương 2: Bàn luận tính quy cho gradient nghiệm phương trình elliptic dạng divergence với hệ số khơng liên tục Cơng cụ Bổ đề phủ Vitali Và phương pháp đánh giá tính quy nghiệm chương tảng cho phương pháp hai chương sau Chương 3: Mở rộng đánh giá chương trước để nghiên cứu tính trơn nghiệm yếu lên biên toán Dirichlet với hệ số BMO miền Lipschitz Chương 4: Bài toán Neumann với hệ số BMO miền Lipschitz Chương mở rộng đánh giá chương trước Kỹ thuật chương từ Bổ đề 3.1 Chương 2 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, bước đầu giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence, số định nghĩa bổ đề cần thiết để nghiên cứu chương sau Tài liệu tham khảo chương chủ yếu từ [1], [2], [3], [5] [9] 1.1 Giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence Phương trình elliptic dạng divergence:  Lu   aij u x j  xi   div  Au   divf   f i  miền bị chặn   Rn (1.1) x i Giả thiết hệ số phương trình elliptic, A  aij  , thuộc không gian John-Nirenberg BMO (xem.[5]) với nửa chuẩn BMO nhỏ:  ABMO  supsup r 0 x Br A  y   ABr  x  dy  Br  x  (1.2) 1.2 Một số khái niệm 1.2.1 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood số kết Lp Định nghĩa hàm cực đại Hardy-Littlewood Cho f hàm khả tích địa phương Khi đó, hàm cực đại Hardy-Littlewood f là: f  x   sup r 0 Br f  y  dy  Br  x  Định lý hàm cực đại Hardy-Littlewood   f  Lp  R n  Hơn nữa, (i) Nếu f  Lp R n với p  , đó: f Lp C f Lp (1.3)   (ii) Nếu f  L1 R n , đó: x  R n : f  x     C  p f dx (1.4) (1.3) gọi mạnh loại p  p (1.4) gọi yếu loại  Bổ đề 1.1 Với  p   Khi đó, ta có: (i) f  L1    f  L1    , (ii) f  Lp    f p  L1    Bổ đề 1.2 Với   f  Lp   1  p    Khi đó, ta có: (i) (ii) x  : f  x     1  p    p f dx,    f dx  p   p 1 x  : f  x    d p Bổ đề 1.3 Cho p  Giả sử tồn p số thực với     p   nhỏ cho: A  In    Khi đó, tất nghiệm u  H phương trình div  Au   miền bị chặn   Rn thỏa mãn u  W1, p 1.2.2 Bổ đề phủ Vitali Cho A tập đo Giả sử lớp cầu B phủ A A  B Bán kính B bị chặn Và tồn cầu rời B   i i 1  B  cho: A  5Bi , i với 5Bi cầu với bán kính gấp năm lần bán kính Bi Khi đó, ta có: A  5n  Bi i 1.2.3 Định nghĩa không gian BMO Cho f hàm khả tích địa phương R n Khi đó, ta nói f thuộc khơng gian BMO  f BMO  supsup r 0 x Br f  y   f Br  x  dy    Br  x  Với hàm f  BMO   ,      supsup r x Br f  y   f Br  x  dy  Br  x  Ta nói hàm f thuộc khơng gian VMO lim         gọi  0 mô đun VMO hàm f Thay cầu B B   , ta nhận định nghĩa BMO    Hơn nữa, ta mở rộng toàn R n mà giữ tính chất BMO    1.2.4 Một số định nghĩa kết liên quan đến biên Lipschitz Định nghĩa hàm liên tục Lipschitz Hàm u : Rn  R liên tục Lipschitz nếu: Lip u   sup x , yR n , x  y u  x  u  y x y  với số C Định nghĩa miền Lipschitz Với điểm x0   tồn r   0, R nhỏ hàm liên tục Lipschitz  : R n 1  R cho:   Br  x0   x   x1, , xn1, xn    x ', xn   Br  x0  : xn    x ' sup x ' y '   x '    y ' x ' y ' hệ tọa độ Định nghĩa  , r0  - Lipschitz   ,r0  -Lipschitz với x0   , tồn hàm liên tục Lipschitz  : R n 1  R với Lip     cho   Br0  x0    x   x ', xn    Br0  x0  : xn    x ' hệ tọa độ Ta giả sử r0  chứng minh sau  bất biến tỉ lệ Bổ đề 1.4 Nếu   Rn miền với biên Lipschitz,  có miền mở rộng W1, p với  p   Nghĩa là, có tốn tử tuyến tính bị chặn: E : W1, p     W1, p  Rn  cho với u  W1, p    : (i) Eu  u hầu khắp nơi  , (ii) Eu có giá compact, (iii) Eu   C u W1, p R n , W1, p    Eu gọi mở rộng đến R n Định lý 1.5 Cho   Rn miền có biên Lipschitz, u  W1, p    Khi đó: (i) Nếu  p  n , u C u L   q 1, p W np n p (1.5) n p (1.6)   với q    với    (ii) Nếu p  n , u C  C u   1, p W (iii) Các phép nhúng compact bất đẳng thức ngặt (1.5) (1.6) thỏa 1.2.5 Bổ đề 1.6 Giả sử f hàm đo được, không âm miền bị chặn  Cho số   N1  Khi đó, với  p   : f  Lp    S    N1k  k 1 p x  : f  x    N    k Và S f C p Lp     C    S , C>0 số phụ thuộc vào  , p N1 Bổ đề cho ta biết cách xác định hàm hàm thuộc Lp    Vậy ta nhắc lại số kiến thức quan trọng cần thiết Bổ đề phủ Vitali, hàm cực đại Hardy-Little Wood, chuẩn BMO,… để việc tìm hiểu chương sau dễ dàng 7 Chương PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC DẠNG DIVERGENCE VỚI HỆ SỐ KHÔNG LIÊN TỤC Trong chương này, ta xét W1, p 1  p    đánh giá nghiệm u phương trình elliptic dạng divergence sau: Lu  div  A  x  u   divf (2.1) Giả thiết ma trận hệ số có nửa chuẩn BMO nhỏ Nội dung tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [4], [8] 2.1 Bổ đề phủ Vitali Bổ đề 2.1 Cho    C  D  B1 hai tập đo với C   B1 (2.2) thỏa mãn tính chất sau: x  B1 với C  Br  x    Br , Br  x   B1  D (2.3) C  10n  D Khi đó: Chứng minh Theo (2.2), với x  C hầu khắp nơi, tồn rx  nhỏ cho: C  Brx  x    Brx C  Brx  x    Br với r   0,1 (2.4)   Chú ý Brx  x  : x  C phủ C Khi đó, theo Bổ đề phủ Vitali, có   cầu rời Bri  xi   Brx  x  : x  C  i  1 thỏa: C  5Bri  xi  C  5n  Br i i (2.5) i Do đó, theo (2.4), C  B5ri  xi    B5ri  xi   5n  Bri  xi   5n C  Bri  xi  (2.6) Tiếp theo, ta chứng minh: Bri  2n Bri  xi   B1 (2.7)   Với r  không đổi, inf Br  x   B1 : x  B1  Br  e1   B1 Ta có:  r   Br  e1   B1  B r  1   e1  , 2   Br  x   B1  Br  e1   B1  Br  2 n Br  x  Từ đây, ta suy (2.7) Khi đó, theo (2.5), (2.6), (2.7) (2.3), ta được: C  B  x    C  B  x  C  ri i i ri i i  5n   Bri  xi  i  10   Bri  xi   B1 n i  10n  i B x   B  ri i  10n  D , hoàn thành chứng minh  2.2 Các định nghĩa bổ đề Ta giả sử L toán tử elliptic đều, tức là, Định nghĩa 2.2 L toán tử elliptic tồn số  dương cho: 1    T A x     , x  hầu khắp nơi,   R n (2.8) 2 Ta nhận thấy từ điều kiện A  bị chặn 9 Định nghĩa 2.3 u  H  BR  R   nghiệm yếu phương trình (2.1) nếu:  BR Au. dx   f dx với   H 01  BR  BR Bổ đề 2.4 Giả sử u nghiệm yếu (2.1) B2 Khi đó:   u dx  C B2   B2  f dx    u dx ,   C0  B2  2 B2 Chứng minh Theo Định nghĩa 2.3, ta có:    B2 B2 B2 Au.  2u  dx    f  2u  dx B2 Au. 2u   2u  dx    f  2u   2u  dx B2  Au.udx     2uf   fu dx   B2 B2 2uAu.dx Ta viết lại đẳng thức sau: I1  I  I , với I1    Au.udx, B2 I2   B2  2uf   fu dx, I    2uAu.dx B2 Đánh giá I1 Theo điều kiện elliptic (2.8), ta có: I1    Au.udx   1   u dx B2 B2 Đánh giá I Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với  , ta có: 10  2uf    f u dx    f u   f u dx I2   B2 B2 2 2 2     f  u    u   f dx B2 4    2 2   1     f dx   u  dx     u dx B2 B2  4  B2 Đánh giá I Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với  , ta có: I    2uAu.dx B2  A   u u dx B2  C   u dx  B2 C   B2 u  dx 2 Ta kết hợp Ii  i  1,2,3 để có:  1   u dx  I1  I  I B2  2 2   1     f dx   u  dx     u dx  B2 B2  4  B2 C 2  C   u dx   u  dx  B2 B2  2 2   C  C   u  1     f  1     u B2  4  B2    B2 Cuối cùng, ta chọn    B2  u dx  C để có kết luận: 2C    B2  f dx    u dx ,   C0  B2   2 B2 Bổ đề 2.5 Với   ,       cho với nghiệm yếu u (2.1) B5 với 11 B5  B5 B5 u dx   f B5  A  AB5  dx   , (2.9) tồn nghiệm trơn v  C   B4     div A B4 v  B4 thỏa  u  v dx   B4 (2.10) Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử ngược lại, nghĩa tồn   ,  Ak k 1 , uk k 1 fk k 1    cho uk nghiệm yếu div  Ak uk   divfk B5 (2.11) với B5  B5 uk dx  B5  B5  Nhưng  B4 fk  Ak  Ak B5 2  dx  k1 (2.12) uk  vk dx   02 (2.13) với nghiệm vk  C   B4    div Ak B4 vk  B4  Theo Bổ đề 2.4 (2.12), uk  uk     k 1 (2.14) bị chặn H  B4    đó, uk  uk có dãy con, mà ta kí hiệu uk  uk , cho: uk  uk ⇀ u0 H  B4  uk  uk  u0 L2  B4  (2.15)     Vì Ak B4 bị chặn, nên có dãy mà ta kí hiệu Ak Ak B4  A0 k    k 1 , cho: (2.16) 12 Nhưng đó, theo (2.12), ta có: Ak  A0 L2  B4  (2.17) Bây giờ, ta chứng tỏ u0 nghiệm div  A0u0   B4 (2.18) Để vậy, ta lấy   H 01  B4  Khi đó, ta có:  B4 Ak uk  dx   Ak uk  dx   fk dx   fk dx; B5  hay B4 B5 B4 Ak uk  dx   fk  dx (2.19) B4 Vì uk ⇀ u0 Ak  A0 L2  B4  , nên Ak uk ⇀ A0u0 L2  B4  Khi đó, cho k   (2.19), ta có:  B4 A0u0  dx  0, đó, ta (2.18) Chú ý rằng:        div Ak B4 u0  div Ak B4  A0 u0  div  A0u0   div Ak B4  A0 u0  B4 Lấy hk nghiệm       div Ak B4 hk  div Ak B4  A0 u0 B4   hk  B4 (2.20) Khi đó, u0  hk  C   B4  nghiệm    div Ak B4   u0  hk   B4 Với   H 01  B4  , (2.21) 13  A   u  h . dx   A u  dx     A u  dx    A  A  u  dx    A  A  u    A u     A B4 B4 B4 k B4 k B4 k B4 k k B4 B4 k B4 B4 B4 0 Ak B4 hk  dx B4 0 k B4 B4   A0 u0   0, đó, (2.20) (2.18), ta có (2.21) Hơn nữa, theo (2.20): hk L2  B4   hk H  B4     C Ak B4  A0 u0  C Ak B4  A0 u0 L2  B4  L2  B4   C Ak B4  A0 , thế, ta có: uk   u0  hk  L2  B4   uk  u0 L2  B4   hk  uk  u0 L2  B4   C Ak B4  A0 L2  B4  Theo đánh giá này, (2.15) (2.16) thì: uk   u0  hk  L2  B4   k   Nhưng điều mâu thuẫn với (2.13) (2.21)  Hệ 2.6 Với   , có       nhỏ cho với nghiệm u (2.1) B5 mà 1 2 f  A  A dx   , (2.22)  u dx  B5   B5 B5 B5 B5  tồn nghiệm trơn v  C   B4     div A B4 v  B4  ... ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Mẫn TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BMO Chun ngành : Tốn Giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... hòa Luận văn tập trung khảo sát số đánh giá tính quy nghiệm lớp phương trình đạo hàm riêng có dạng divergence với hệ số khơng liên tục Cụ thể khảo sát tính quy nghiệm phương trình elliptic với. .. compact 1 MỞ ĐẦU Bài tốn tính quy nghiệm phương trình đạo hàm riêng nhà khoa học quan tâm nghiên cứu nhiều năm Gần số kết tốn cho phương trình với hệ số BMO nghiên cứu phương pháp sử dụng Bổ đề