Phương trình elliptic đa kích thước

✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖ ◆●➷ ❚❍❆◆❍ ❱Ơ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❊▲▲■P❚■❈ ✣❆ ❑➑❈❍ ❚❍×❰❈ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ✣➔ ◆➤♥❣ ✲ ◆➠♠ ✷✵✷✶ ✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✕ ◆●➷ ❚❍❆◆❍ ❱Ơ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❊▲▲■P❚■❈ ✣❆ ❑➑❈❍ ❚❍×❰❈ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ●✐↔✐ t➼❝❤ ▼➣ sè✿ ✽✳✹✻✳✵✶✳✵✷ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ◆❣÷í✐ ữợ P ✲ ◆➠♠ ✷✵✷✶ ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ tæ✐ ữợ sỹ ữợ trỹ t t ❈❤û ❱➠♥ ❚✐➺♣✳ ◆❤ú♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ sè ❧✐➺✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ tê♥❣ ❤đ♣ tø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❦❤♦❛ t ữủ ró ỗ ố tr➼❝❤ ❞➝♥✳ ✣â♥❣ ❣â♣ ❝õ❛ tỉ✐ ❧➔ tê♥❣ ❤đ♣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉✱ ❧➔♠ rã ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➔ ❝❤✐ t✐➳t ❤â❛ ❝→❝ ✈➼ ❞ư✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❚→❝ ❣✐↔ ◆❣ỉ ❚❤❛♥❤ ❱ơ ✐ INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: DIFFERENTIAL EQUATIONS IN MATHEMATICAL MODELLING Major: Mathematical Analysis Full name of Master student: NGO THANH VU Supervisor: PhD CHU VAN TIEP Training institution: Faculty of Math, The University of Danang, University of Science and Education Abstract * The main results of the thesis: After a while researching the topic: Multidimensional Elliptic Equations, we have achieved the following results: Many important problems in materials science are multi-dimensional problems Finding numerical solutions for these problems by traditional methods such as finite element method, finite difference method, finite volume method, etc often leads to discrete problems with very large sizes and therefore very difficult to solve An alternative approach is to study their homogeneous equations and the relationship between the solution of a multidimensional problem and its homogeneity problem From this, we solve the number of homogeneous equations and get an approximate solution of the multidimensional equation * The scientific and practical significance of the topic: The thesis studies multi-dimensional equations and their homogenous equations have both theoretical and practical significance The topic is valuable in terms of theory and application Thesis can be used as reference for math students and other interested parties * The next research direction of the topic: In the future, I will learn more about using the method of variation in finding solutions of multi-dimensional elliptic equations * Keywords: method of variation, multi-dimensional elliptic Supervisor’s confirmation Student TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC ĐA KÍCH THƯỚC Ngành: Tốn Giải tích Họ tên học viên: NGÔ THANH VŨ Người hướng dẫn khoa học: TS CHỬ VĂN TIỆP Cơ sở đào tạo: Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Tóm tắt * Những kết luận văn: Sau thời gian nghiên cứu đề tài: Phương trình Elliptic đa kích thước, đạt kết sau: Nhiều toán quan trọng khoa học vật liệu tốn đa kích thước Việc tìm nghiệm số cho tốn theo phương pháp truyền thống phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp thể tích hữu hạn, … thường dẫn đến tốn rời rạc với kích thước lớn khó để giải Một cách tiếp cận thay thể nghiên cứu phương trình chúng mối quan hệ nghiệm tốn đa kích thước tốn Từ đó, giải số phương trình nhận nghiệm xấp xỉ phương trình đa kích thước * Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: Luận văn nghiên cứu phương trình đa kích thước phương trình chúng có ý nghĩa lí thuyết thực tiễn Đề tài có giá trị mặt lý thuyết ứng dụng Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Toán đối tượng quan tâm * Hướng nghiên cứu đề tài: Trong thời gian đến, tơi tìm hiểu sâu sử dụng phương pháp biến phân việc tìm nghiệm phương trình elliptic đa kích thước * Từ khóa: phương pháp biến phân , elliptic đa kích thước Xác nhận giáo viên hướng dẫn Người thực đề tài ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▲í✐ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❡♠ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ t ữợ ỷ t t ữợ tr sốt q tr tỹ ✤➸ ❡♠ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤÷đ❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❊♠ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ♥❤➜t ✤➳♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❞↕② ❜↔♦ ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣ ❝õ❛ õ ỗ tớ ụ ỷ ỡ ✤➳♥ ❝→❝ ❛♥❤ ❝❤à tr♦♥❣ ❧ỵ♣ ❚♦→♥ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❑✸✼ ✤➣ ♥❤✐➺t t➻♥❤ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ ❧ỵ♣✳ ❚→❝ ❣✐↔ ◆❣ỉ ❚❤❛♥❤ ❱ơ ✐✐ ▼ư❝ ử tự ỵ ❤✐➺✉ ✈➔ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ♣❤ư trđ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ✺ ✺ ✶✳✶✳✶ ▼ët sè ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✶✳✷ ❍ë✐ tö ②➳✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✷ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✶✳✸ P❤➙♥ ❧♦↕✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ❤❛✐ ✶✹ ✷ ❚❤✉➛♥ ♥❤➜t ❤â❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t ợ t ữỡ tr t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✶✼ ✷✳✶✳✶ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t→❝❤ ❜✐➳♥ ❋♦✉r✐❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✷✳✶✳✷ ◆❣❤✐➺♠ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t tr➯♥ ❤➻♥❤ trá♥ ✤ì♥ ✈à ✷✸ ✷✳✷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ tê♥❣ q✉→t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸ ◆❣❤✐➺♠ ②➳✉ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✷✼ ✷✳✹ ✷✺ ✷✳✸✳✶ ✣➦t ❜➔✐ t♦→♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✷✳✸✳✷ ❈→❝ ❞↕♥❣ s♦♥❣ t t tr ổ rt ỵ ▲❛①✲▼✐❧❣r❛♠✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ✷✳✸✳✹ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ❙ì ❧÷đ❝ ✈➲ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❤â❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ✳ ✳ ✸✻ ✷✳✹✳✶ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ t✐➺♠ ❝➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ✷✳✹✳✷ ❍ë✐ tö ✧t✇♦✲s❝❛❧❡✧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽ ✷✳✹✳✸ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❤❛✐ ❦➼❝❤ tữợ t t tữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺ ✷✳✺✳✶ ✹✻ ❍ë✐ tö ✤❛ ❦➼❝❤ tữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▼ð ✤➛✉ ỵ t ổ ❤â❛✱ ①➣ ❤ë✐ ♣❤→t tr✐➸♥ ❝æ♥❣ ♥❣❤➺ 4.0✱ ❝→❝ ❧♦↕✐ ✈➟t ❧✐➺✉ tê♥❣ ❤đ♣ ♥❤÷ ✭❣é ❝ỉ♥❣ ♥❣❤✐➺♣✱ sđ✐ q✉❛♥❣ ❤å❝✱ sđ✐ ❝❛r❜♦♥✱ ①÷ð♥❣ ♥❤➙♥ t↕♦✳✈✳✈✳✳✳✮ ✤â♥❣ ♠ët ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ♥❣➔♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❦ÿ t❤✉➟t ♥❤÷ ỡ t ỵ õ s r t tờ ủ ỳ t t t ỵ ổ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ ❞❛♦ ✤ë♥❣ ❣✐ú❛ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝➜✉ t↕♦ ♥➯♥ ✈➟t ❧✐➺✉ ✤â✳ ❑❤✐ ❝→❝ t❤➔♥❤ ữủ trở ợ t t ♥➔② ❞❛♦ ✤ë♥❣ r➜t ♥❤❛♥❤ ❞➝♥ tỵ✐ ❝→❝ ❝➜✉ tró❝ ✈✐ ♠æ ❝õ❛ ♥â trð ❧➯♥ r➜t ♣❤ù❝ t↕♣✳ ❱✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ ✈➟t ❧✐➺✉ tê♥❣ ❤ñ♣ ♥➯✉ tr➯♥ ❞➝♥ ✤➳♥ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ r tở tữợ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❧♦↕✐ ♥➔② r➜t ♣❤ù❝ t↕♣ ✈➻ ❤➺ sè ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❞❛♦ ✤ë♥❣ r➜t ♥❤❛♥❤✳ ▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝→❝❤ ✤➸ ❦❤➢❝ õ õ ũ ỵ tt t t ❤â❛ ✤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➽ ♠æ ❝õ❛ ✈➟t ❧✐➺✉ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ❝➜✉ tró❝ ✈✐ ♠ỉ ✤â✳ t t ỵ tt t t õ ❝ù✉ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ♠ët ❞➣② ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❦❤✐ ♠ët t❤❛♠ sè ❞➝♥ tỵ✐ 0✳ số t số ỳ tữợ ♠æ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝➜✉ t↕♦ ♥➯♥ ✈➟t ❧✐➺✉ tữợ ổ t ố t ❧✐➺✉✳ ❚r♦♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠ỉ t↔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ✈➟t ❧✐➺✉ tê♥❣ ❤đ♣✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝ì ❜↔♥ ✈➔ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ỵ tt ữỡ tr r t ỵ t Pữỡ tr t õ ự tr ❤➳t ❝→❝ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ tø ❣✐↔✐ t➼❝❤ ✤✐➲✉ ❤á❛ ✤➳♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ r➜t ♥❤✐➲✉ ù♥❣ tr t ỵ tr õ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ✳ P❤÷ì♥❣ tr t tữợ u (x) u0 (x) −∇ · (aε (x)∇uε (x)) = f (x) − ∇ · (a0 (x)∇u0 (x)) = f (x) ✷✳ ▼ö❝ t✐➯✉ ✈➔ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❼ ❚➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ♥❣❤✐➺♠ ❝ê ✤✐➸♥ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛♣❧❛❝❡ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ P♦✐ss♦♥✳ ❼ ❚➻♠ ❤✐➸✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤ë✐ tử tữợ tử tữợ ❚➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ sü t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❤â❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ tữợ Pữỡ ự ❝ù✉ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✤➲ t➔✐✱ ❜❛♦ ỗ t ợ ủ t tữớ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ ✤➲ t➔✐✳ ❼ ❚r❛♦ ✤ê✐✱ t ợ ữợ t t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ tèt ❤ì♥✳ ✹✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ỗ ữỡ ữỡ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝➛♥ t❤✐➳t ❝❤♦ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳ ❼ ❈❤÷ì♥❣ ✷✱ tr➻♥❤ ❜➔② ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❤â❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t✳ ✹ ✭✷✳✼✼✮✳ ❚❤➟t ✈➟② t➼♥❤ ❝♦❡r❝✐✈❡ ❝õ❛ A ❝❤♦ t❛ D Y a (x, y) (∇ϕ0 (x) + ∇y ϕ1 (x, y)) · (∇ϕ0 (x) + ∇y ϕ1 (x, y)) dydx ≥α D Y | (∇ϕ0 (x) + ∇y ϕ1 (x, y)) |2 dydx Y | (∇ϕ0 (x)) |2 dydx + α =α D D Y | (∇y ϕ1 (x, y)) |2 dydx ỵ r t tỗ t t (u0 , u1 ) tr♦♥❣ H01 (D) × H01 (D) × L2 (D; H# (Y )/R) ♥➯♥ ❞➣② uε ✈➔ ∇uε ❤ë✐ tö ✧t✇♦✲s❝❛❧❡✧ tỵ✐ u0 (x) ✈➔ ∇u0 (x) + ∇y u1 (x, y)✳ ▲➛♥ ❧÷đt ❝❤å♥ ϕ0 = 0, ϕ1 = 0✱ →♣ ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tø♥❣ ♣❤➛♥ ❝❤♦ ✭✷✳✼✼✮ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❤â❛ s❛✉✿   −∇y · (a (x, y) (∇u0 (x) + ∇y u1 (x, y))) = 0, tr♦♥❣ D × Y,    −∇ · A (x, y) (∇u (x) + ∇ u (x, y)) = f (x), tr♦♥❣ D, x Y y t✉➛♥ ❤♦➔♥ ❝❤✉ ❦ý Y, tr➯♥ ∂D  y → u1 (x, y),    u = 0, ❑❤û u1 ✈➔ ❜✐➳♥ y tø ❤➺ tr➯♥ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✹✾✮ t❛ ❝ơ♥❣ t❤✉ ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤✉➜t ♥❤➜t ❤â❛ ✭✷✳✺✵✮ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ t✐➺♠ ❝➟♥✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐✱ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ♠ð rë♥❣ ❝→❝ ❦➳t q t t tữợ t t tữợ t t tữợ sỷ D Rd ởt ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ A (x1 , y1 , , yn ) ∈ L∞ D, C Rnd d×d ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♠❛ tr➟♥ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ n + ❜✐➳♥ ♥❤➟♥ ❝→❝ ❣✐→ trà tr♦♥❣ d ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ Rd×d sym ❀ A t✉➛♥ ❤♦➔♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ yi ✈ỵ✐ ❝❤✉ ❦ý Y = [0, 1] ❝❤♦ ♠é✐ i = 1, , n ●✐↔ sû A ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✱ õ tỗ t số > s ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠å✐ ξ ∈ Rd ✳ γ|ξ|2 ≤ ξ T A (x, y1 , , yn ) ξ ≤ γ −1 |ξ|2 ✹✺ ✭✷✳✼✽✮ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ D ✈➔ yi ∈ Y, i = 1, , n ✳ ✣è✐ ✈ỵ✐ t❤❛♠ sè ε > ✱ t❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t s❛✉ −❞✐✈❆ε ∇uε = f tr♦♥❣ D, uε = tr➯♥ ∂D ✭✷✳✼✾✮ ✈ỵ✐ f ∈ L2 (D) ✳ ▼❛ tr➟♥ Aε ✤÷đ❝ ❣✐↔ sû ♣❤ư t❤✉ë❝ ợ t t s tỗ t↕✐ n ❤➔♠ ❞÷ì♥❣ ε1 , , εn ❝õ❛ ε ❤ë✐ tö ✈➲ ✵ ❦❤✐ ε → ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ lim εi+1 /εi = ✭✷✳✽✵✮ ε→0 ✈ỵ✐ ♠å✐ i = 1, , n − ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ D Aε (x) = A x, ε ε , , x1 xn ❑❤✐ n = ✱ ❝❤ó♥❣ t❛ trð ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ❤❛✐ tữợ t trữợ divA x, x ∇uε ❂ f ε ✭✷✳✽✶✮ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✱ ✤➸ ❦❤ä✐ ♠➜t ❝æ♥❣ ♥❤➢❝ ❧↕✐✱ t❛ ❧✉æ♥ ❣✐↔ t❤✐➳t ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✽✵✮ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ✷✳✺✳✶ ❍ë✐ tử tữợ ởt {u }ε ⊂ L2 (D) u0 (x, y1 , , yn ) ∈ L (D × Y1 uε ϕ x, lim ε→0 D = ε ε , , x1 xn D Y1 ❤ë✐ tư (n + 1)✲s❝❛❧❡ ✤➳♥ × · · · × Yn ) ♥➳✉ d① u0 (x, y1 , , yn )ϕ (x, y1 , , yn ) dxdy1 dyn Yn ❝❤♦ ❜➜t ❦ý ❤➔♠ ϕ ∈ L2 (D, C# (Y1 × · · à ì Yn )) ỵ ứ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ L2 (D)✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ tr➼❝❤ ①✉➜t ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ♠➔ ❤ë✐ tö (n + 1)✱ ❦❤✐ ε → ✱ tỵ✐ ♠ët ❤➔♠ u0 ∈ L2 (D × Y1 × · · · × Yn ) ✣➸ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✱ t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ V ♥❤÷ s❛✉✿ V = (ϕ,{ϕi }) : ϕ ∈ H01 (D) , ϕi ∈ L2 D × Y1 ×· · ·× Yi−1 , H# (Yi ) /R ,i = 1, n ✹✻ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ ❜❛ ❣↕❝❤ n |||(ϕ, {ϕi })||| = ||∇ϕ||L2 (D) + i=1 ||yi i ||L2 (DìY1 ìÃÃÃYi ) ợ (, ϕ1 , , ϕi ) ∈ V ỵ u t ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ ♠ët ❤➔♠ ε u tr♦♥❣ H0 (D) ✈➔ ❣r❛❞✐❡♥t ∇u (n + 1) ❤ë✐ tö n + 1✲s❝❛❧❡ ✤➳♥ n ∇u (x) + i=1 ∇yi ui (x, y1 , , yi ) tr♦♥❣ ✤â (u, u1 , , un ) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ V ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ B (u, {ui } ; ϕ, {ϕi }) n = D Y1 ··· Yn A ∇x u + = D i=1 n ∇yi ui ∇x ϕ + i=1 ∇yi ϕi dxdy1 dyn ✭✷✳✽✸✮ f ϕdx, ∀(ϕ, {ϕi } ∈ V ❉↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ B ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ ❜ù❝ ✭✧❝♦❡r❝✐✈❡✧✮ tr♦♥❣ V tỗ t c1 , c2 > ✤ë❝ ❧➟♣ ✈ỵ✐ ε s❛♦ ❝❤♦ ∀ (ϕ, {ϕi }) ∈ V : B (ϕ, {ϕi }; ϕ, {ϕi }) ≥ c1 ||| (ϕ, {ϕi }) |||2 ; ✭✷✳✽✹✮ ✈➔ ∀ (u, {ui }) , (v, {vi }) ∈ V ✭✷✳✽✺✮ B (u, {ui } ; v, {vi }) ≤ c2 ||| (u, {ui }) |||.||| (v, {vi }) ||| ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳❡♠ ❬✷❪✳ ❑❤✐ n = 1✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✽✸✮ trð t❤➔♥❤ D Y A (x, y) (∇x u + ∇y u1 ) · (∇x ϕ + ∇y ϕ1 ) dxdy = ✈ỵ✐ ♠å✐ ϕ ∈ H01 (D) ✈➔ ϕ1 ∈ L2 D, H# (Y ) /R f dx D ỵ sû r➡♥❣ ♥❣❤✐➺♠ (u, u1, , un) ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✽✸✮ ¯ ✈➔ ui ∈ C D, ¯ C (Y1 × · · · × Yi ) ✤õ trì♥✱ tù❝ ❧➔ u ∈ C D # i = 1, , n✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❦❤✐ ε → t❛ ❝â n x1 xi ε1i ui x, , , uε (x)− u (x) + ε εi i=1 ✈ỵ✐ ♠å✐ → ♠↕♥❤ tr♦♥❣ H (D) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳❡♠ ❬✷❪✳ ❱➼ ❞ö t ữỡ tr tữợ d dx duε dx x (1 + x) + cos2 2π ε = −1, x ∈ D = (0, 1), uε (0) = uε (1) = P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✽✻✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ln(1 + x) u(x) = √ x − ln 2 ❱➼ t ữỡ tr tữợ ởt tr➯♥ (0, 1) ♥❤÷ s❛✉✿ d dx x (1 + x) + cos2 2π ε1 + cos x 2π ε2 uε (0) = uε (1) = P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❤â❛ ❝â ♥❣❤✐➺♠ t❤✉➛♥ ♥❤➜t u(x) = ln(1 + x) x− ln ✹✽ duε dx = 1, x ∈ D t õ õ ỗ ✶✳ ❚➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤ë✐ tư ✤❛ ❦➼❝❤ tữợ ự ữỡ tr t tữợ ✷✳ ❈❤✐ t✐➳t ❤â❛✱ ❧➔♠ rã ♠ët sè ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✶✱ ✷✱ ✹❪✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ❞♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❦❤æ♥❣ ♥❤✐➲✉ ✈➔ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✈➝♥ ❝á♥ ♥❤ú♥❣ s❛✐ sõt rt ữủ sỹ õ ỵ qỵ t ổ ữủ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳ ✹✾ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ●✳ ❆❧❧❛✐r❡ ✭✶✾✾✷✮✱ ❍♦♠♦❣❡♥✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ t✇♦✲s❝❛❧❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✱ ❙■❆▼ ❏♦✉r♥❛❧ ♦♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❆♥❛❧②s✐s✱ ✷✸✭✻✮✱ ✶✹✽✷✕✶✺✶✽✳ ❬✷❪ ●✳ ❆❧❧❛✐r❡ ❛♥❞ ▼✳ ❇r✐❛♥❡✳ ✭✶✾✾✻✮✱ ▼✉❧t✐s❝❛❧❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❛♥❞ r❡✐t❡r✲ ❛t❡❞ ❤♦♠♦❣❡♥✐s❛t✐♦♥✱ Pr♦❝❡❡❞✐♥❣s ♦❢ t❤❡ ❘♦②❛❧ ❙♦❝✐❡t② ♦❢ ❊❞✐♥❜✉r❣❤✱ ✶✷✻✭✷✮✱ ✷✾✼✲✸✹✷✳ ❬✸❪ ❉✳ ❈✐♦r❛♥❡s❝✉✱ ❆✳ ❉❛♠❧❛♠✐❛♥✱ ❛♥❞ ●✳ ●r✐s♦ ✭✷✵✵✽✮✱ ❚❤❡ ♣❡r✐♦❞✐❝ ✉♥❢♦❧❞✐♥❣ ♠❡t❤♦❞ ✐♥ ❤♦♠♦❣❡♥✐③❛t✐♦♥✱ ❙■❆▼ ❏♦✉r♥❛❧ ♦♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❆♥❛❧②s✐s✱ ✹✵✭✹✮✱ ✶✺✽✺✕✶✻✷✵✳ ❬✹❪ ❱✳ ❍✳ ❍♦❛♥❣ ❛♥❞ ❈✳ ❙❝❤✇❛❜ ✭✷✵✵✺✮✱ ❍✐❣❤✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❢✐♥✐t❡ ❡❧❡✲ ♠❡♥ts ❢♦r ❡❧❧✐♣t✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ ♠✉❧t✐♣❧❡ s❝❛❧❡s✱ ▼✉❧t✐s❝❛❧❡ ▼♦❞❡❧✐♥❣ ✫ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥✱ ✸✭✶✮✱ ✶✻✽✕✶✾✹✳ ❬✺❪ ❯✳ ❍♦r♥✉♥❣ ✭✶✾✾✼✮✱ ❍♦♠♦❣❡♥✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ P♦r♦✉s ▼❡❞✐❛✱ ■♥t❡r❞✐s❝✐✲ ♣❧✐♥❛r② ❆♣♣❧✐❡❞ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✳ ❬✻❪ ❱✳ ❏✐❦♦✈✱ ❙✳ ❑♦③❧♦✈✱ ❛♥❞ ❖✳ ❖❧❡✐♥✐❦ ✭✶✾✾✹✮✱ ❍♦♠♦❣❡♥✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❉✐❢✲ ❢❡r❡♥t✐❛❧ ❖♣❡r❛t♦rs ❛♥❞ ■♥t❡❣r❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧s✱ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ❇❡r❧✐♥✳ ❬✼❪ ❲✳ ▼❝▲❡❛♥ ✭✷✵✵✵✮✱ ❙tr♦♥❣❧② ❊❧❧✐♣t✐❝ ❙②st❡♠s ❛♥❞ ❇♦✉♥❞❛r② ■♥t❡❣r❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s✱ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✳ ❬✽❪ ❉✳ ❈✐♦r❛♥❡s❝✉✱ ❉✳ ❛♥❞ ❉♦♥❛t♦✱ P✳ ❛♥❞ ❘♦q✉❡✱ ▼✳P✳ ✭✷✵✶✼✮✱ ■♥tr♦❞✉❝✲ t✐♦♥ t♦ ❙❡❝♦♥❞ ❖r❞❡r P❛rt✐❛❧ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s✱ ❆♥✿ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s✱ ❲♦r❧❞ ❙❝✐❡♥t✐❢✐❝ P✉❜❧✐s❤✐♥❣ ❈♦♠♣❛♥②✳ ❬✾❪ ●✳ ◆❣✉❡ts❡♥❣ ✭✶✾✽✾✮✱ ❆ ❣❡♥❡r❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ r❡s✉❧t ❢♦r ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ❤♦♠♦❣❡♥✐③❛t✐♦♥✱ ❙■❆▼ ❏♦✉r♥❛❧ ♦♥ ▼❛t❤❡✲ ♠❛t✐❝❛❧ ❆♥❛❧②s✐s✱ ✷✵✭✸✮✱ ✻✵✽✕✻✷✸✳ ❬✶✵❪ ❏✳ ❲❧♦❦❛ ✭✶✾✽✼✮✱ P❛rt✐❛❧ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s✱ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡r✲ s✐t② Pr❡ss✳ ✺✵ ❬✶✶❪ ❇❡♥s♦✉ss❛♥✱ ❆✳ ❛♥❞ ▲✐♦♥s✱ ❏✳▲✳ ❛♥❞ P❛♣❛♥✐❝♦❧❛✉✱ ●✳✭✶✾✼✽✮✱ ❆s②♠♣✲ t♦t✐❝ ❆♥❛❧②s✐s ❢♦r P❡r✐♦❞✐❝ ❙tr✉❝t✉r❡s✱ ◆♦rt❤✲❍♦❧❧❛♥❞ P✉❜❧✐s❤✐♥❣ ❈♦✳✳ ❬✶✷❪ ❈❤✐♣♦t✱ ▼✳✭✷✵✵✾✮✱ ❊❧❧✐♣t✐❝ ❊q✉❛t✐♦♥s✿ ❆♥ ■♥tr♦❞✉❝t♦r② ❈♦✉rs❡✱ ❇✐r❦❤☎ ❛✉s❡r ❇❛s❡❧✳ ✺✶ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc BẢN TƯỜNG TRÌNH BỔ SUNG, SỬA CHỮA LUẬN VĂN Họ tên học viên: NGƠ THANH VŨ Ngành: Tốn Giải tích Khóa: 37 Tên đề tài luận văn: PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC ĐA KÍCH THƯỚC Người hướng dẫn khoa học: TS CHỬ VĂN TIỆP Ngày bảo vệ luận văn: 28/11/2021 Sau tiếp thu ý kiến Hội đồng bảo vệ luận văn họp ngày 28/11/2021, chúng tơi giải trình số nội dung sau: Những điểm bổ sung, sửa chữa: Phần nội dung, luận văn chia làm hai chương: Chương 1: - Đã điều chỉnh điều kiện cho miền D (tính đóng, bị chặn, biên Lipschitz,….) khơng gian hàm tương ứng, Thống sử dụng kí hiệu Rd Thuật ngữ điều kiện biên Drichlet, vectơ ma trận - Đã điều chỉnh lại định lí bất dẳng thức Young phù hợp với nội dung luận văn - Đã điều chỉnh kí hiệu Định nghĩa 1.2.1 Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp k Chương 2: - Ví dụ 2.2.2, trang 23, trình bày lời giải Phần trích dẫn: Đã trích dẫn tài liệu tham khảo cho kết (định lí, bổ đề,…) khơng có chứng minh ln văn Những điểm bảo lưu ý kiến, không sửa chữa, điều chỉnh (nếu có) lý sau: ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đà Nẵng, ngày 28 tháng12 năm 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Phương trình eliptic đa kích thước Ngành: Tốn giải tích Lớp K37.TGT Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2055 /QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021 Danh sách thành viên Hội đồng: HỌ VÀ TÊN STT CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG TS Lương Quốc Tuyển Chủ tịch TS Tôn Thất Tú Thư ký TS Phạm Quý Mười Phản biện PGS.TS Nguyễn Thành Chung Phản biện PGS.TS Nguyễn Văn Đức a Thành viên có mặt: 05 Ủy viên b Thành viên vắng mặt: Thư ký Hội đồng báo cáo trình học tập, nghiên cứu học viên cao học đọc lý lịch khoa học (có văn kèm theo) Học viên cao học trình bày luận văn Các phản biện đọc nhận xét nêu câu hỏi (có văn kèm theo) Học viên cao học trả lời câu hỏi thành viên Hội đồng 10 Hội đồng họp riêng để đánh giá 11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết 12 Kết luận Hội đồng a) Kết luận chung: - Luận văn trình bày rõ ràng, khoa học, có bố cục hợp lý Nội dung phù hợp với bậc học học thạc sĩ chuyên ngành - Đề nghị Trường ĐHSP-ĐH Đà Nẵng công nhận kết bảo vệ cấp thạc sỹ chun ngành Tốn Giải tích cho học viên b) Yêu cầu chỉnh, sửa nội dung: - Chỉnh sửa theo góp ý hội đồng Đặc biệt theo ý kiến hai phản biện - Sau chỉnh sửa, học viên gửi email file PDF luận văn cho phản biện để xác nhận c) Các ý kiến khác: Khơng có d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8.3 Bằng chữ: Tám phẩy ba 13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến 14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TS Lương Quốc Tuyển TS Tơn Thất Tú CỘNG HỊA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc =====&&&===== BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (Dùng cho phản biện) Đề tài: Phương trình Elliptic đa kích thước Chun ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 8.46.01.02 Họ tên học viên: Ngô Thanh Vũ Người nhận xét: Phạm Quý Mười Đơn vị công tác: Trường ĐH Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng NỘI DUNG NHẬN XÉT I Tính cấp thiết đề tài Nhiều toán quan trọng khoa học vật liệu tốn đa kích thước Việc tìm nghiệm số cho toán theo phương pháp truyền thống phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp thể tích hữu hạn,… thường dẫn đến toán rời rạc với kích thước lớn khó để giải Một cách tiếp cận thay thể nghiên cứu phương trình chúng mối quan hệ nghiệm tốn đa kích thước tốn Từ đó, giải số phương trình nhận nghiệm xấp xỉ phương trình đa kích thước Đây phương pháp thường nghiên cứu sử dụng Luận văn nghiên cứu phương trình đa kích thước phương trình chúng có ý nghĩa lí thuyết thực tiễn II Cơ sở khoa học thực tiễn Các kết luận văn chứng minh chặt chẽ trích dẫn rõ ràng; nội dung trình bày phù hợp tên đề tài Các tài liệu tham khảo đảm bào tính xác có độ tin cậy cao Vì thế, luận văn đảm bảo tính khoa học thực tiễn III Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu phù hợp, dựa nguồn tài liệu tham khảo, học viên tổng hợp, xếp chứng minh quan trọng, phù hợp với nội dung nghiên cứu IV Kết nghiên cứu Luận văn có độ dài gần 50 trang, bao gồm phần mở đầu, nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Phần nội dung, luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Tác giả trình bày khơng gian hàm bản, khái niệm hội tụ khơng gian hàm, Định lí Lax-Milgram số khái niệm, thuật ngữ phương trình đạo hàm riêng cấp hai, đặc biệt phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Chương nội dung luận văn Trong chương này, học viên tập trung trình bày phương pháp hóa phương trình elliptic đa kích thước Trước hết, luận văn trình bày kết phương trình elliptic phương pháp chuỗi Fuourier để giải tốn Dirichlet, Neuman cho phương trình Sau đó, học viên giới thiệu tốn đa kích thước (bao gồm tốn hai kích thước sau n+1 kích thước) tồn tại, nghiệm toán Để nhận phương trình nhất, luận văn sử dụng phương pháp khai triển tiệm cận phương pháp hội tụ đa kích thước (được giới thiệu Nguyetseng tổng quát hóa Allair) Xét tổng thể, luận văn bố cục hợp lí, có giá trị khoa học thực tiễn Tuy nhiên, luận văn cịn khai nhiều lỗi tả tốn học, cần phải hồn thiện Một số lỗi cần phải chỉnh sửa sau: Cần xác định rõ điều kiện cho miền D (tính đóng, bị chặn, biên Lipschitz,….) để đảm bảo tồn không gian hàm tương ứng Khái niệm “hội tụ yếu*” nên đổi thành “hội tụ *yếu” sử dụng số giáo trình tiếng việt Tương tự cho khái niệm “Holder liên tục” nên đổi thành “liên tục Holder” Định lí 1.1.5, trang 8, đặt sau điều kiện cho a b Trang 9, định nghĩa Dk khơng xác, dẫn đến sai Định nghĩa 1.2.1 (sai kí hiệu Dk) Trang 14, cơng thức (2.1) khơng xác Cần thống sử dụng kí hiệu cho khơng gian Rn (hiện sử dụng Rn, RN, Rd dẫn đến sai kí hiệu thành phần cho phần tử) Ví dụ 2.2.2, trang 23, chưa trình bày lời giải Trang 24, cần sử lại thuật ngữ “ba loại điều kiện biên Dirichlet”, “trường vector ma trận”, Cần trích dẫn tài liệu tham khảo cho kết (định lí, bổ đề,…) khơng có chứng minh ln văn V Hình thức luận văn Hình thức luận văn quy định, trình bày mạch lạc, rõ ràng, số lỗi cần chỉnh sửa VI Đánh giá chung Đồng ý cho học viên bảo vệ trước Hội đồng Câu hỏi dành cho học viên: Học viên viết biểu thức tường minh cho D2 (xem định nghĩa trang 9)? Học viên phát biểu định nghĩa cho khái niệm “hội tụ kích thước”? Đà nẵng, ngày 27 tháng 11 năm 2021 Người nhận xét TS Phạm Quý Mười cONG HoA xA HOr cuu Ncuia vrEr NArvr Ddc lip - Trr - Hanh phric eAN NHAN xgT LUAN vAN TOT NGHIEP THAC Si (Denh cho thinh vi6n hOi d6ng li ngrrdi phin biQn) fr^ ll , r r ^ '1'€n d€ tai, LuA,n ud,n: Phtang trinh elliptic da kfch thudc Chuy€n ngd.n^,h: To5,n gi6i tich AtI d, ng d,nh: 8.46.01.02 Ho ud, t€n hoc oi€n: NgO Thanh Vfl Ngudi nhd,n zdf: Nguy6n Thdnh Chung (DH Qu6ng Binh) Hoc hd,m, hoc u,i: Ph6 gi5,o su, Ti€n si xQr DUNG NHAN xET I/ Tinh c6p thiot cria dd t),i: Chirng ta biot rXng, vd,t liOu t6ng hgp d6ng vai trd r6t quan trong nhi6u ngb,nh khoa hoc ki thu6,t nhu co hoc, va,t li, h6a hec, O do, nhfrng tinh ch6t vat Ii kh6ng li€n tuc vb, c6 su dao dOng gifra c5,c thd,nh phAn khd,c Khi cd,c thhnh phAn drtoc tron 16rr, c5c tinh ch6t dao dQng nhanh d6n t6i c5,c c6u tr'frc vi m6 cria v6,t li6u tdng hgp r6t phrlc tap ViQc nghi€n cfiu tinh ch6t cua vQt liQu t6ng hgp d5n d6n vi6c gi6,i c6c phuong trinh dao him ri6ng r6t phirc tap phu thu6c vdo nhidu kich thu6c kh6c vdi hO s6 dao dOng nhanh Di! gi6i clrroc l6p phrrong trinh ni,y chting ta c6,n srt dung li thuy6t thuAn nh6t h5a, tfic ld nghien crlu gidi han cua m6t day c6c bdi to5,n vd, nghiOm cria chirng m6t tham s6 ni,o d6 dAn d6n Dd tei "phuong trinh eliiptic da kich thudc" trinh bd,y sg thuAn nh6t h6a cua phuong trinh elliptic da kich thrt6c, 16p phuong trinh c6 nhi6u rlng dung c6c linh vrrc khd,c cta to6n hoc Da,y le dd tdi c5 tinh thict thrrc, giirp hoc vi6n c6 th6m nhfrng hidu bi€t r,6 li thuyot thuAn nh6t phuong trinh clao hb,m ri6ng vb, rlng dung nghi€n crlu c5,c linh vuc li6n quan III Ca sd khoa hoc vb, thuc ti6n: De tei 'rPhrrong trinh elliptic da kich thudcrr c6 y nghia khoa hoc v) tirrrc ti6n \,{uc dich cria lu6,n vdn 1}, trinh bdy vi6c 6p dung lf thuyet thu6.n nh6t cho phuong tr)nh elliptic V6i m6t ho th5ng ki6n thrlc duoc trinh bdy chi tiot, til vi6c gi6i thi6u phrtong trinh elliptic, bb,i to5,n elliptic da kfch thudc vi, vioc srr dung khfli ni6rn hOi tu da kfch thu6c d6 xay dUng phuong trinh thuAn nh6t h6a cua phuong tr.inh elliptic da kich thrt6c, c6 th6 n6i rd,ng lu6,n v5,n ld te,i liOu tharn kh6o b6 ictr cho cd,c d6i tuong quan t6,m dOn Ii thuy6t thu6n nh6t vh, rlng dung cho bb.i to6n elliptic LuO,n v5,n tham kh6o c5,c tb,i li6u c6 uy tin, cd d6 tin c6,y cao III/ Phuong ph6p nghiOn cilu: B5,ng c6ch thu thap, phAn tich vb, t6ng hgp tdi liQu vo }i thuy6t thuAn nh6t, su hOi tu da kich thrt6c, t5,c giA da trinh bd,y chi tiet viec v6,n dung li thuy6t thuan nhAt cho bii to5,n elliptic, giirp ngudi doc n6m b6t duqc van d6, rlng dung nghien c(tu giAng day IV I