Mục tiêu của đề tài Phương trình dạng Maxwell đa kích thước là tìm hiểu khái niệm hội tụ đa kích thước; tìm hiểu về sự thuần nhất hóa phương trình Maxwell đa kích thước. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 3Lời cam đoan
‘Toi xin cam đoan, luận văn này là cụng trỡnh nghiờn cứu của tụi dưới _— sự hướng dẫn trực tiếp của thầy giỏo TS Chử Văn Tiệp Những khỏi
niệm và số liệu trong luận văn được tổng hợp từ cỏc tài liệu khoa học
đỏng tin cậy, và được chỉ rừ nguồn gốc trớch dẫn Đúng gúp của tụi là
tổng hợp cỏc tài liệu, làm rừ cỏc kết quả và chỉ tiết húa cỏc vớ dụ Tụi
xin chịu trỏch nhiệm với những cam đoan của mỡnh
| Tỏc giả
Trang 4
Lời cảm ơn
Lời đầu tiờn của luận văn em xin gửi lời cảm ơn sõu sắc tới thầy giỏo hướng dẫn TS Chử Văn Tiệp đó tận tỡnh hướng dẫn em trong suốt quỏ trỡnh thực hiện để em cú thể hoàn thành được luận văn này Em cũng xin gửi lời cảm ơn chõn thành nhất đến tất cả cỏc thầy cụ giỏo đó tận
tỡnh dạy bảo em trong suốt thời gian học tập của khúa học Đồng thời
Trang 5INFORMATION ON MASTER'S THESIS Official thesis tittle: Multiscale Maxwell type equations
Major: Mathematical Analysis
Full name of Master's student: Nguyen Anh
Supervisor: Dr Chu Van Tiep
Training institution: The University of Da nang - University of Education and Science
Abstract :
The main content of the thesis " Multiscale Maxwell type equations" is use
homogenization theory for investigate properties of electromagnetic materials The main results of the thesis:
- Recall the definitions of spaces funtions , multiscale convergence
- Present the content of multiscale convergence method to study Maxwell equations
- Clarify and detail some proofs in the article [3]
- Use Matlab to solve some examples to illustration theory results
‘The issues stated in the thesis are practical and suitable for major in mathematical
analysis Thesis can be used as reference for math students and subject interests ‘The next research diriction of the topic are research properties of other composites Keywords: Spaces funtions , multiscale convergence, multiscale Maxwell type equations, composites, Mathlab
Supervisor's confirmation
Supervisor Master's student
Trang 6TRANG THONG TIN LUAN VAN THAC Si
Tộn dộ tài: Phương trỡnh dạng Maxwell đa kớch thước
Ngành: Toỏn giải tớch
Họ và tờn học viờn: Nguyễn Anh
Người hướng dẫn khoa học : TS Chử Văn Tiệp
Cơ sở đào tạo: Trường ĐHSP- Đại học Đà Nẵng
‘Tom tắt:
'Nội dung chớnh của luận văn " phương trỡnh dạng Maxwell đa kớch thước" là sử
dụng lớ thuyết thuần nhất húa để nghiờn cứu cỏc tớnh chất của vật liệu điện từ Luận văn đó đạt được một số kết quả sau:
~ Nhắc lại một số định nghĩa cỏc khụng gian hàm, sự hội tụ đa kớch thước
~ Tỡm hiểu và trỡnh bày lại nội dung phương phỏp hội tụ đa kớch thước để nghiờn
cứu phương trỡnh dạng Maxwell
- Chỉ tiết húa, làm rừ một số chứng minh trong bài bỏo [3]
~ Sử dụng phần mềm Mathlab để giải một số vớ dụ minh họa kết quả lớ thuyết
Cỏc vấn đề trong luận văn mang tớnh thực tiễn, phự hợp với chuyờn ngành toỏn giải
tớch Luận văn cú thể được sử dụng để tham khảo cho cỏc sinh viờn ngành toỏn và
đối tượng quan tõm Hướng nghiờn cứu tiếp theo của đề tài là nghiờn cứu cỏc vật
liệu tổng hợp khỏc
Từ khúa: Khụng gian hàm, sự hội tụ đa kớch thước, phương trỡnh dạng Maxwell đa kớch thước, vật liệu tổng hợp, phần mềm Mathlab
Xỏc nhận của giỏo viờn hướng dẫn
Cỏn bộ hướng dẫn Người thực hiện đề tài
Trang 7Mục lục Mục lục 1 Kiến thức chuẩn 11 Ký hiệu và kiến thức phụ trợ - 1.1.1 Mot sộ khụng gian hàm 1.1.2 Hội tụ yếu 113 Định 2 Thuần nhất húa phương trinh dang Maxwell 21 22 23 Đặt bài toỏn 2.11 Bài toỏn dạng À 2.1.2 Hội tụ đa kớch thước
2.1.3 Thuần nhất húa bài toỏn dạng Maxwell đa kớch thước Hiệu chỉnh và sai số thuần nhất húa
2.2.1 Bài toỏn hai kớch thước
2.2.2 Bài toỏn đa kớh thước
axwell đa kớch thước
Tớnh trơn của X”, œ” và uạ
3 Phương phỏp phần tử hữu hạn cho phương trỡnh dạng
Maxwell
3.1 Phần tử hữu hạn rời rạc
Trang 8Mở đầu
1 Ly do chon dộ tai
Vật liệu tổng hợp đúng một vai trũ quan trọng trong nhiều ngành
khoa học kỹ thuật như cơ học, vật lý, húa học, sinh học Trong cỏc vật liệu tổng hợp, những tớnh chất vật lý (chẳng hạn như tớnh dẫn nhiệt, tớnh
đàn hồi, tớnh dẫn điện, từ tớnh ) khụng liờn tục và dao động giữa cỏc
thành phần khỏc nhau cấu tạo nờn vật liệu đú Khi cỏc thành phần này được trộn lẫn với nhau, cỏc tớnh chất này dao động rất nhanh dẫn tới cỏc cấu trỳc vi mụ của nú trở lờn rất phức tạp
Việc nghiờn cứu tớnh chất của những vật liệu tổng hợp nờu trờn dẫn đến việc giải cỏc phương trỡnh đạo hàm riờng phụ thuộc vào nhiều kớch thước khỏc nhau Tuy nhiờn việc giải cỏc phương trỡnh đạo hàm riờng loại này rất phức tạp vỡ hệ số của chỳng dao động rất nhanh
Một trong những cỏch để khắc phục khú khăn đú là dựng lý thuyết
thuần nhất húa để nghiờn cứu cỏc tớnh chất vĩ mụ của vật liệu thong
Trang 9Trong cỏc vật liệu nhõn tạo kể trờn, vật liệu điện từ đúng một vai trũ quan trọng Tuy nhiờn bài toỏn thuần nhất húa phương trỡnh dạng,
Maxwell vẫn chưa được nghiờn cứu nhiều Chớnh vỡ vậy, luận văn muốn nghiờn cứu bài toỏn này dưới dạng đơn giản hơn: Bài toỏn phương trỡnh dạng Maxwell đa kớch thước
curl (a (x)curl u(x) + (xu (2) = f(z)
với điều kien bien uộ x v = 0 tren OD
2 Mục tiờu và nội dung nghiờn cứu  Tim hiểu khỏi niệm hội tụ đa kớch thước
đ Tỡm hiểu về sự thuần nhất húa phương trỡnh dạng Maxwell đa kớch thước
3 Phương phỏp nghiờn cứu
e Nghiờn cứu cỏc tài liệu liờn quan đến đề tài, bao gồm cỏc tài liệu
kinh điển và cỏc bài bỏo mới â Tổng hợp và thể hiện tường mỉnh cỏc kết quả nghiờn cứu trong đề tài đ Trao đổi, thảo luận với cỏn bộ hướng dẫn, để cải tiến, thiết lập cỏc kết quả tốt hơn
4 Nội dung luận văn Luận văn gồm ba chương:
e Chương 1, trỡnh bày cỏc kiến thức cần thiết cho cỏc chương sau
đ Chương 2, trỡnh bày bài toỏn thuần nhất húa dạng Maxwell và một số tớnh chất Nội dung chớnh là một phần trong bài bỏo [3]
e Chương 3, trỡnh bày phương phỏp phần tử hữu hạn cho phương trỡnh dạng Maxwell và một số vớ dụ minh họa Nội dung chớnh là
Trang 10Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Ký hiệu và kiến thức phụ trợ
Phần này nhắc lại định nghĩa của một số khụng gian hàm và định lý của giải tớch hàm được sử dụng trong Chương 2 của khúa luận mà khụng
cú chứng minh Chỉ tiết cú thể xem thờm trong cỏc tài liệu sau (9, 16]
1.11 Một số khụng gian hàm
“Trong chương này ta xột miền 2 C R* Khi đú, ta ký hiệu c:
gian hàm như sau:
e Khụng gian Banach cỏc hàm liờn tục:
C(Đ) = {u: D — R, u liờn tục}
với chuẩn
IIellcdo = sup |a(2)|- zeb e Khụng gian Banach
L(Đ) = {u | w: D —š R đo được Lebegues, ||ullz~(p) < 00}
với chuẩn
IIwllr~¿p) = esssup|u(2)|:= inf sup |a(z)| xeD m(2)=0 reD\O
cú nghĩa là @ la tap do duge Lebegues với độ
Trang 11
e Khụng gian cỏc hàm thử D(D) := CF (D) = {u|u: DR, suppu compact, u c6 dao ham theo moi cap }, trong đú suppu := {#: + â D, u(x) # 0}
e Khụng gian Hilbert cỏc hàm bỡnh phương khả tớch: 12(D) ={u |u: D— xf |u(a) dx < oo} ID |Iulrz¿o = (fimenrar) e Khụng gian Hilbert cỏc hàm bỡnh phương khả tớch nhận giỏ trị vec tơ với chuẩn (12(é))“={u|u: é— x [ |u(x)2dx < se} D 1⁄2 Ie (ff dP) trong đú |z| là chuẩn Euelid: 2" a, -)I= (la) Â H'(D) = {u| we L(D), Vu € (L°(D))"} voi chuẩn với chuẩn 1⁄2 lao = (leli2 + IIVelỆ,2 m2) +
Trang 12@ HT}(D) là khụng gian đối ngẫu của HẠ(D) tức là khụng gian của
cỏc phiếm hàm tuyến tớnh liờn tục trờn #/j(D), trong đú đối ngẫu
được ký hiệu là (°,:)„-(p),y(ứ) với chuẩn được định nghĩa như sau:
LỮ-9)nơx42m(p) |
[lla = sup weH2(D)\{0} llu|;co,
Ký hiệu # chỉ sự tuần hoàn với chu ky Y = (0, 1)%
@ C¿(Y) = {u |: Y —š RR, w liờn tục và tuần hoàn theo chu kỳ Y}
với chuẩn
llullegar) = sup |u(y)]- veY
Khụng gian hàm này thường được đồng nhất với khụng gian cỏc hàm liờn tục trờn JR“, tuần hoàn theo chu kỳ Y
â LẸ(Y)={u|u: Y —vR, w bị chặn và tuần hoàn với chu kỳ Y, ||lu|èy~(y) <
%} với chuẩn
IIu|èu~¿yy = esssup |u(y)|- veY
đô H}(Y) = {u | € HỶ(Y), w tuần hoàn theo chu kỳ Ÿ } với chuẩn
3 2 1/2
IIelluyứ› = ((lellfsứ + IIVelỆyy;) —-
Trang 13e Khụng gian Sobolev
EAD HY(Y)) = {a | us D> 4%), f u(x, ingrde < 20}
với chuẩn
12
Hulxomoy = (flue Minors)
1.1.2 Hoi tu yộu
Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một khụng gian Banach thực, X" là khụng gian đối ngẫu của X tà (-,:) là cặp đối ngẫu trờn X" x X Tụ núi dóy
{#„} trong X hội tụ yếu đến z € X tà ta ký hiệu là
#„ — # trong X nộu (x',2,) + (2,2) vdi moi x’ € X’
Định lý 1.1.1 Cho X la mt khong gian Banach phan zạ tức là (X')' =
X va {x,} la mot day bi chan trong X, tite la ton tai mot s6 K > 0 sao
cho ||Êa||x < K Khi dộ ton tai x € X va mot day con {xy,} ctia {ap}
sao cho {n,} + trong X
1.1.3 Dinh ly Lax-Milgram
Cho V là một khụng gian Hilbert vội chuan |[v||y, va V’ 1a khong gian đối ngẫu của V với cặp dội ngau (-,-) Mot anh xa a(u,v):VxV OR được gọi là dạng song tuyến tớnh nếu nú tuyến tớnh theo từng biến Dạng, song tuyến tớnh a(w, 0) được gọi là liờn tục (bị chặn) nếu tồn tại hằng số Ở > 0 sao cho |a(w,e)| < Cllullvllellv Và, ứ € V Dạng song tuyến tớnh a(u,) được gọi là bức ("eoereive") nếu tồn tại một hằng số + > Ú sao cho la(w,w)| > +||u| Yu € V
Định lý 1.1.2 (Dinh ly Lax-Milgram) Cho a(u,v) là một dang song tuyến tớnh bức uà bị chặn, khi đú uới mọi phiếm hàm f € V', bài toỏn
Trang 14Chương 2
Thuần nhất húa phương trỡnh dạng Maxwell
“Trong chương tỳng tụi trỡnh bày bài toỏn dạng Maxwell đa kớch thước, sử dụng khỏi niệm hội tụ đa kớch thước để xõy dựng phương trỡnh
thuần nhất húa của phương trỡnh dạng Maxwell đa kớch thước từ đú
đưa ra hiệu chỉnh và đỏnh giỏ sai cho toỏn hai và đa kớch thước
Phần cuối của chương chỳng tụi xột tớnh chớnh quy của nghiệm Nội dung chương này được tham khảo từ tài liệu [3]
2.1 Đặt bài toỏn
2.11 Bài toỏn dạng Maxwell đa kớch thước
Cho D 1a miộn trong RÂ (d = (0,1)? va Y là tớch Decartes của ,3) Ta kớ hiệu í = Vị = = Y„ = tap Yi x Yo xs x Ya va ye Ya
vectd y = (yi, Yos -+Yn) Cho mỗi i = 1, ,n —1, ta ki hiộu Y; là tap
tơ #Ă = (01, yi) trong dộ yj € Yj) với j = l, ,ỉ
Với đ = 3, cho œ và b là cỏc hàm số nhận giỏ trị là cỏc ma trận đối
xứng từ 7 x Y vào R22; a va b liờn tục trong D x Ơ va tu
thuộc vào mỗi giỏ trị 1 cú chu kỡ thuộc vào Y; Ta giả sử rằng với mọi
giỏ trị z € D, y € Y, va moi €, € RY,
hoàn phụ
a|&Ủ < ag(z.w)&&;, œ(+.w)&@ < đ|Ê||€| (21)
Trang 15trong dộ a và đ là cỏc số dương; | - | được định nghĩa là chuẩn Euclid trong R3, Cho e là số dương bộ tựy ý, và et, ,e„ là m thành phần của
Ê được kớ hiệu m kớch thước vi mụ mà bài toỏn phụ thuộc vào Giả sử với mọi ¿ = l, ,# — 1 ta cú tớnh chất sau so ấ1(Ê) 2s) (2.2) Khụng mất tớnh tổng quỏt, ta giả sử rằng Â; = e Ta xột ỏnh xa a°,b° : D —š R4 như sau : a(x) =a (ô Khi d = 3 ta xột cỏc khụng gian (2.3) W = Ap(curl, D) = {u € L°(D)’, curlu € L?(D)Ÿ, ux v = 0}, và H=1*(D) Trong đú 1 kớ vectơ phỏp tuyến ngoài trờn biờn ỉ7) Để đồng nhất kớ hiện, ta kớ hiệu bằng H=12(D), H,= 12(D xY,)Ÿ, Ă=1, n
Vi W tri mat trong H va H tri mat trong W’, ta biộu thi (-,-), la
phộp nhan bộn trong H, mộ rong tinh dội ngau gitta W’ va W, nghĩa là,
(we: Cho f € W’ Ta xột bai toan sau
curl (a°(x)curl u(x) + €(a)uđ(a
f(z), (2.4)
với điều kiện biờn wŸ x v = 0 trộn AD
Ta xay dựng bài toỏn dạng biến phõn như sau: Tỡm uF € VỨ sao cho
(2) -ole)lde = ff F(2) -o(e)de
(2.5)
vội moi @ € W Theo dinh lý Lax-Milgram tồn tai duy nhat ham u* 1a
nghiệm của phương trỡnh thỏa món
[lull < ell fllwe (2.6)
trong đú hằng số e luụn phụ thuộc vào œ và đ trong (2.1)
I {a°(x)curl u(x) - curl (a) +b D
Trang 16
Hỡnh 2.1: Hội tụ đa kớch thước
Với d = 2, ma trận hàm bí : JD x Y > R?*? duge định nghĩa như trộn Vi curl uđ bay gid la ham số vụ hướng, a(z,) là cỏc hàm số liờn tục từ D x Y vào R trong đú tớnh tuần hoàn phụ thuộc vào mỗi giỏ trị tị với chủ kỡ thuộc vào Y; Theo (2.1), ta cú as<a(r,y) <8, VeeDvyeY “Trong trường hợp này, ta định nghĩa W = Hạ(curl, D) = {u € 12(D), curlue L(D), ux v=0}, và H= 1*(D)°
Phương trỡnh biến phõn trong trường hợp hai chiều trở thành:
jeœem u‘(x)curl o(x) + b'(x)uđ (x) - ú(œ)]dÊ = [ ƒ(+) - ú(+)dz
? ? (2.7)
với moi ú € W Trong phan cũn lại của luận văn, ta trỡnh bày kết quả cho trường hợp ba chiều và chỉ đề cập đến trường hợp hai chiều khi cằn
thiết; kết quả cho trường hợp hai chiều cũng tương tự
Trang 172.1.2 Hội tụ đa kớch thước
Ta sử dụng sự hội tụ đa kớch thước để thu được phương trỡnh thuần nhất húa Đầu tiờn ta nhắc lại định nghĩa của sự hội tụ đa kớch thước (xem Nguetseng [14], Allaire [1] va Allaire & Briane [2])
Định nghĩa 2.1.1 (Hội tụ đa kớch thước) Ta ni day ham {w=} C
12(D) hội tụ (n + 1)-s tới hàm t9 € L?(D x Y) nếu vdi moi ham tron ú € C*(D xY) tuần hoàn theo mỗi biến yi vdi chu ki thuộc YĂ uới sey, ta 6 - x lim | w*(x)6 (- = <0 Jp 1 Jae = ff we woe wave
“Ta cú kết quả như sau:
Mệnh đề 2.1.1 (Í2]) Với mọi dóy bị chặn trong L?(D) ta cú thể lắu ra
day con hội tụ (n + 1)-s
Với dóy bị chặn trong H(curl, D), ta cú kết quả sự hội tụ đa kớch thước dưới đõy Những kết quả này được thiết lập đầu tiờn ở [15] cho trường hợp hai chiều Ta sẽ sử dụng những kết quả đó nghiờn cứu ở phương trỡnh đa kớch thước (2.5) và (2.7) Ta ky hiộu Hy(curl ,Ơ;) la khụng gian cac lp tuong duong trong Hy (curl , Y;) sao cho nộu curly = curlw thi v = w trong Hy(curl, Y\)
Mệnh đề 2.1.2 (|3]) Cho {w*}- la day bi chan trong H(curl, D) Khi
Trang 18trong đú đ là hàm số trong Cặ(D,C‡(Yi, hoàn phụ thuộc vào yĂ, , y„ với chu kỡ thuộc Yj
đú ta cú
lim Í curl wđ +e, (-š =ơ0 Jp a1
tif curlw* - enđ (- 59 Ip = lim — a Jp x = lim | w°-curly,đ (2,=, =0 Ip a '*(Y„) )) và tuần „ Y„ tương ứng Khi Mặt khỏc, Do đú cú hàm số €„—Ă(#,„_Ă) € L2(D x Y„_Ă)” và hàm số toạ(z,„) € 12(D x Y„_Ă, HỆ (Y,)/R) sao cho €(+,9) = 6—1(đ, —Ă) + Vụ,tụa(+, )- Tiếp tục ta chọn ể=Êna-iđ(2,1 Yn-1) cho hàm số đ € Cÿ*(D, Cÿ(i, CŒ(Y—) ))? tuần hoàn phụ thuộc tỡ, -,n—Ă Khi đú ta cú + 0= tin [ cur uế cụ s8 ( " bes J, l =lim — = ) ae Ip Ê En-1
= fh fret a) + Vytles a) erly CE Yoo Yoav hy = | [ 6eiGiu,) DJY, Ă em, 8n toad ade
Do đú, cú hàm số ẫu-2(#,„_¿) € L2(D x Y„-s)3 và hàm số Wn-i(,Yn1) € L?(D x Y„-s, Hạ(Y„—Ă)/R)
Trang 19En-1(L,Yn—1) = ấn-3(#,ạ—a) + Vụ, yf0n—1(Œ, a1)ằ
vỡ thế
E(2,Y) = En2(2, Yn—2) + Vy, :đn—a(đ, ạ„—) + Vụ, (2, 9) Tiếp tục quỏ trỡnh như vậy, ta cú được
Đ(#,) = 0u(#) + 3 Vụ mi(2, i)
trong d6 wy € H va w,(x,y;) € 1?(D x YĂ_Ă,H}(Y,)/R) Như vậy Sy &(x, y)dy = wo(2), wo là giới hạn yếu của w° trong HH
Cho (x, y) la gidi han hoi tu (n+ 1)-s cita curl w* trong L?(D x Ơ)5
Cho (z,gị, u) € CF°(D, CPN, -, CP(Yn) -))- Ta 6 h =f, uẫ curl VW (ô2 'D a1 Do đú
0 =lim [ curluế -e„VW (ô bo,
=lim Í curluE - Vụ, (- top
= ff neu) V0 "ơ a)dụdr lb dy
Vỡ thế tồn tại hàm s6 w,(x,y,) € L2(D x Yn-1, Hy(curl, Y,)) va ham
Mn-1(2,Yn—1) € L2(D x Yy-1)% sao cho
(L,Y) = Mn-1(2, Yn—1) + Curly, W(x, Y)-
Trang 20Cho W(x, y1,-.-,Yn-1) € OR(D, CRM,
0= mạ tim f, curl w* - = tin f curl w* - BH ÁN
= fff tose 1) + curly tn(t 9) âS,, Ÿ ty 03)4ydz
NÃI Tỡm—1(#,„—1) â Vụ, ,ĐỆđ, tị, ‹‹‹›Un—1)đự,—vử, DIY
ôCF (Yau) -+.)) Ta cú
Vi thộ c6 ham 6 wp-i(2,y,,) € L?(D x Yn-2, Hy(curl , Yy-1)) vaham M-2(;Yn-2) € L2(D x Ơn-2)* sao cho
Mn-1(LsYn—1) = Mn—2(2s Yn) + Curly, ,10n—1(#; u—Ă)
nộn
(X,Y) = M-2(2, Yn—2) + Curly, ,Wn—1(đ, Yn—1) + Curly, Wn(, Y)-
Tiếp tục như vậy, ta tỡm ra cc ham n(x) € H va ham w((x,y;) €
12(D x Y;_Ă, ẹz(curL, Y;)) như vậy (#9) = h(#) + >ằ 9): ist Với mọi O(a) € CR (D)Đ lim Í curl w°(x) - $(ô)dx = I mw() ot Ip ID - ð(z)dz, np la hoi tu yộu cita curl w* trong HH, Do đú ny = curl wo Ta c6 diộu cin chứng minh a
2.1.3 Thuan nhất húa bài toỏn dạng Maxwell đa kớch thước
Từ (2.6) và Mệnh dộ 2.1.2, ta cú thể lấy ra dóy con (khụng đỏnh số
lại), mot ham s6 up € W, n ham số u, € 12(Dx Y x::-xY/_Ă, H}(Y;)/R)
va n ham s6 uj € L2(D x Yị x ::- x Yi_t, Hự(curl, Y,)) sao cho
0 OS yt Vit, (2.8)
Trang 21và curluđ “5° curl uy + curl,u, (29) i=l Với mỗi ¿ = 1, ,n, cho WW; = LẦ(D x Vỡ x - x V_Ă, Hạ (curL, Y,))
Vi= P(D x, x + x Yin, HA(Y)/R)
Ta định nghĩa khụng gian V như sau
V=W xi x‹::x Hy x Mi x‹-: x Vặ
“Trờn V ta trang bị chuẩn sau
lllplll = llrollzee,p) + é 2 ll9llzoxv, ó„(em.x))
+ IIilliz(pxv, „‡(w2/8) ist
với v = (vo, {vi}, {v;}) € V Ta cú kết quả như sau
Trang 22Ta cú I [tore u'(2) - ( D + > > Suy iat jal SỐ +b°(a)u (a) ô (ô10 + Vein (- i= curl tạ(#) + Ä ^ eĂcurl,t (- ơ Êị
Sử dụng sự hội tụ đa kớch thước và tớnh chất (2.2), khi e dần về 0, ta cú
I ẫ [em (own w+ Soowrin) : (own + Sewn) i=l +b(x, y) (- + > vas) : (ằ + > v.0)| dụdz ist ist = | 16)-a0wr+ Ƒ F0)- Yo Vaz wade = [Hle)- wade , Sử dụng lập luận về tớnh trự mật, ta cú (2.10) a
Mộnh dộ 2.1.4 ([3]) Dang song tuyộn tinh B: V x V > R thộa man
điều kiện bức tà bị chặn, nghóa la, ton tai cdc hing s6 duong c* vac, sao
cho
Blu,v) <e'|||u|||||Ie|||_ ve ô-|llwilllllwlll < B(e, w) (210) vdi moi u,v € V Hơn nữa, bài toỏn (3.10) do đú cú nghiệm duy nhất
Trang 23Chứng mỡnh Dễ dàng thấy rằng cú hằng số dương c* sao cho
(w.) < Ê|Ilwllllllll-
Bay gid ta thấy chỉ ra ỉ thỏa món điều kiện bức Ta cú từ (2.1)
PB(u.u >a (63) >e [ J( curl ugt+ curl y,uj em,
> of Í (jw ol? + Do leur y.uil? + fuol? + > Ivan) dyde
DIY i=l i=l
> e|llwllỨ-
m4 |ằ + > Vyanl Jayde
a
Ta cú được kết luận từ định lý Lax-Milgram a
2.2 Hiộu chinh và sai số thuần nhất húa
Trong trường hợp hai chiều, ta thu được ước lượng thuần nhất húa cu thộ theo e Ta trỡnh bày trong mục này cho trường hợp d = 3; trường,
hợp đ = 2 tương tự
2.2.1 Bài toỏn hai kớch thước
Trong trường hợp hai kớch thước, ta thay ký hàm số a(z,) bởi
a(z.) Phương trỡnh thuần nhất hai chiều trở thành
| J a(x, y)(curl ug + curl yu) + (curl 9 + curl yr)dydr bY
+ | [P00 + Vạn) (6 + Vụm)Mydz= [ ƒ(e) -t(z)dz DY D
Đầu tiờn ta đặt vp = 0, Ă = Ú, và suy ra
[fe 9)(wo + Vạn) - Vypdydz = 0 Jy
Với mỗi r = 1,2,3, cho œ'(z,:) € L2(D, H}(Y)/R) là nghiệm của bài
toỏn
I [ We, y)(e° + Vy")-Vydyde = 0 Vu € 12(D, HA(Y)/R) (2.12) Jy
Trang 24trong đú e" là vectơ đơn vị thứ r trong R3 Từ đú ta cú
uy (x,y) = w" (x, U)0or()-
Do đú, ta cú
ÍQ Í_t69)046+ Van) cadyde = [ Pg)aaG) cai), Jy ,
trong đú ma trận xỏc định dương Ù(z) được định nghĩa như sau
(0) = [ MĂl)(e + Vyasa) (C+ Dyula) (2.43)
Cho vp = 0 va v, = 0, ta c6
I Í a(2,y)(curl uy + curlyus) - curlyrdyde = 0 Lb Jy
Với mọi v, € L?(D, Hy(curl ,Y)) Vội mdi r = 1, 2,3, cho x" € L'(D, Hy(curl Y))
là nghiệm của bài toỏn
ƒ Í a(x, y)(e" + curly") - curlypdydz = 0 pủy (214)
với mọi € L2(D, Hz(curl,Y)) Ta cú
aị = (curlug(#))-XỶ (3, 9)- (2.15) Hệ số thuần nhất a9 được xỏc định bởi
de) = [ sa) y4) + curly’ pb
= [ a(x, y)(e + curly?) -(e! + curlyyđ\dy (2.16)
Ta cú
I [ a(x, y)(curl up + curlyu) + curl vydedy
- I a°(c)curl b uo() - curl wp(x)de
Trang 25Bài toỏn thuần nhất là
I [a(z)curd ug(x) + curl up(:z) + 6°(e)ug(x) -vo(2)] de = | f(x) v9(x)der
D D
(217) với mọi uy) € W
Tiộp theo ta sẽ chứng mỉnh cụng thức sai số thuần nhất húa
Định lý 2.2.1 ((3)) Giỏ sử rằng uạ € Hˆ(cunl; D), v7 € C1(D,C(Ÿ))đ, curlyx' € C1(Đ,C(Ÿ))3, w” €C'(D,C'(Y)) vdi moi r = 1,9,3, khỉ đú
Je bor wan (a), <=” va |cô: ul [curt wo +curlyn (- 3] | <œ1, Ê H Chứng mỡnh Ta xột hàm số uj (a) = u(x) +x” (x, *) (curl ug(x)), + eV ( ( 2) ww.(z)) Ta cú
curl (a°curl uj) + buf
= curla (x, *) [eurt u(x) + court =x" (2, 2) (curluo(z)); +eurlyy" (=, 5) (curl ug(x)), + ÊV (curl u(x), x x" (x, ?) ] +eViw" (x, 3 toe (a) + eu.” (x, °) Vwa(z)|
= curlaé(œ)eurlug(v) + b(z)ug(z) + curl G, (x, 2) (curl u(x), +9 (, 2) ter(#) + ecurl I() + eJ(z)
trong đú hàm vectơ Œ„(z,) và g;(+,y) được định nghĩa bởi
(G,)i(a, y) = az(#, 0) + aj(>, 9)(curl,X'(e,9)); — a-(+), — (2.18)
(gr)i(x, y) = bir(x, ) + bụ(, Deel y) — B(x); (2.19) Jj
Trang 26và I(x) =a (x, 2 [eurl x” (= 3 (curlua(z))„ + V(eurlug(2))y x x” (= 3] và I(x) = 6(c, *) ix" (= Ê)(curt 1a(2)); + Vw" ( 2) te(#) + -{ ?) Vo.(z)] Tit (2.14), ta cú được curl,G,(x, ) = 0 Mặt khỏc từ (2.17), ta cú [ƑGGdy=0 y Từ cỏc điều đú ta suy ra cỏc hàm Ở, sao cho Gi(+,) = VụGi(#, 9) (2.20) Tit (2.12), ta cú divyg-(x,y) = 0 va từ (2.13) ta cú Í or(x,y)dy = 0 v
Do đú, tồn tai g, sao cho
g(x,y) = curlyd, (x,y) (2.21)
Tit (2.20) va (2.21),
or (x, *) = ecurlĐ, (ô, 5) — ecurl,ð„ ( 3)
Trang 27Với mọi ú € D(D), ta cú
(curl (ađcurl uj) + uj — curl (ađcurl up) — bPuo, 6) 4
= ƒ G,(e, 2) (curlug(z)); curt o(a)dx
+ằ (=2) uor(x) - (œ)d+
+6 f0)-curtolade+e fe) -ole)tr
==e I G, ( *) div((curl uo(x)),curl 4(x) dx
D €
~e I V.G, (0,2) (curl up(2)), ôcurl (a)de
+ [a (2.2) curt uo (e)o(e))ae
-e I curl,ð; (ô, 2) (curl ug(x)),- curl ỏ(z)dz
+ef 12) -curt (ede +e f J() -ð(z)dz ID ID Ta chỳ ý rằng Í G, (2, 2) div((curduo(x))pcurt e))ar a(t = I ở, 2) V(eurlua(+)), - curl o(a)dx và I 5, (2,2) - curt (wor(2)o(a) de
= fa (2.2) (wale eur o(2) + Vuar(2) x d(e))de D ộ€
Do V,G,(ô,-) = G,(z,:) € H\(Y)3 nờn A,G,(z,:) € L(Y) Do đú ổ,(z.:) € H?(Y) với ở,(z,-) € C(Y)đ Do G,(x,y) € Œ1(é, H}(Y))3, ta suy ra ring G,(x,y) € C!(D, H*(Y))* C C!(D,C(Y))3 Cỏch xõy
dựng hàm số ÿ„ trong [10] cú nghĩa là ứ; € C'(D,C(Y))* (xem [7]) Do
đú
| Í, ỡ, (z=) div (curl u(x)),curl 6(a))dz| < elleurl 4\z,
D €
Trang 28Je (4) -curt (u(x) (2))de| < eleurt da + lla) ủ ộ
Do yx" € C'\(D,C(Y))* va w" € C'(D,C(Y)), |Z Ila và ||J||[u bị chan đều phụ thuộc vào e Từ những điều đú ta kết luận ring
|(eurl (aFeurl tu) + uj — curl (ađeurl uạ) — bu, ú) |
< c(l|cur!ðlliz + ||ứllu)-
Sử dụng tớnh trự mật, ta suy ra kết luận trờn đỳng với mọi ú € Hạ(cur!, D),
do đú
lJeurd (afcurl uf) + buf — curl (a curl up) — bPug||py: < c= \lcurl (aFcurl (u; — uđ)) + 8 (uj — uw) lw < ce
Do uj khong thuộc Họ(curt, D), để thu được ước lượng theo chuẩn trong,
H(eurL, D) cho uấ — uị, ta sử dụng hàm lớp biờn 7° sao cho hầm a{ được định nghĩa bờn dưới thuộc vào Ho(curl , D) Cho 7Z(z) là hàm số trong, D(D) như là z“(z) = 1 bờn ngoài Ê lõn cận của ỉD và supe|V7f(z)| < e
reD
trong đú e khụng phụ thuộc e Đặt
wi(x) = w(x) +2r*(x)x" (x, 2) (curlua(z)),+eV [rœ" (x, 2) wo(2)|
Hàm số ƒ(z) thuộc JỨ Ta chỳ ý rằng
uj(2) ~ wile) = (1 — r*(x))x’ (2, 2) (curt ue(2))-
+eV {a = 1(2))uo" (x, 3 wœ(2)|
Từ đú,
curl (uf(x) — wi(x)) = ecurl x" ( ?) (curl up(x))-(1 — r°(2)) + curl yx" ( 5) (curl uo(2))-(1 — 7(2)) = e(curl uo(x))e Vr (a) x x" (x, ‘)
+e(1— zZ(z))V(curlua(z)); x x” (x, ?)
Trang 29Cho DZ là e lõn cận của biờn ỉD Ta chỳ ý kết quả sau
IIứllẽsyứ- < eÊllứllinvo, + e<ll6lẽơ¿p) < cllðllinvo;-
(xem [7]) Vỡ vậy ta suy ra ring ll(cur!ua(2));|[rs¿o < e2 'Từ cỏc điều đú ta cú lleurl (uj — wi) lla < ce” Mặt khỏc, ta cú uj(x) — wi(x) = e(1 — r*(2))x" (x, 2) (curl uo(x))r ~ÊVr“(z)¿" (z, 3 to, (2) +e(1— zf(z))V;„œ" (x, 2 oe (a) + (1 — 7(a))V yo" (x, 2) ter(r) #, H + +2(1-1'(a))w" (2, 2 Vuo, (2) Sử dụng tớnh chất x" € C'(D,C(V))8, 2" € C(D,C'(Y)) va lluorll 09 < e2, ta suy ra rằng ||u{ — will <ce!/2 Vỡ thộ |curtaF(curl (uĐ — w)) + Bế (wị — 0): < c1 Do đú
|curlaf(eurl (uộ — wi)) + ý (wẫ — w)||s < e9,
Vỡ tế — wi € W, sit dung tinh cht bite cia ađ va ta cú
a(lIcurl (wÊ — wù)llf: + ||(wÊ — ứ)|lủ,)
< I afcurl (uf — wf) - curl (uf — wf) + (uf — wf) ô (uf — wide
< ce? lu — willan(curt 0)-
Do d6 ||u?—w3l| z(curt.p) S ce'/? Tit cde dieu dộ ta 66 |Ju°—ujl| (curt) S
ce}/3, Ta đi đến kết luận n
Với uạ € H*(curL, D) khi 0 < s < 1, ta cú ước tớnh sai số thuần nhất
Trang 30Định lý 2.2.2 ({3]) Giả sử rằng uạ € H*(curl , D), x" € Œ1(D,C(Ÿ))3, curly” € C'(D.C(V))5 va a” € C(D,C'Y)) vdi moi r = 1,2,3, bhi
đú Ie - [uo + Vụn ( Il, < ce/0+9)
[curt ua [eurt up + curlyus (- 2] l, < ces/059),
Chứng mỡnh “Ta xột tập gồm Á hỡnh hộp mở Q; (
Ê* với sị > 0 được chọn sao cho D CU, Qi va Qi D # 0 Moi hỡnh
hop Q; chi giao nhau với một số hữu hạn hỡnh hộp khỏc khụng phụ thuộc vào e Ta xột một phan hoạch đơn vị bao gồm M ham sộ p; so cho cộe p; c6 gid trong Q;, OM, pi(x) với moi x € D và |Vp;(x)| < ce voi
moi x Với r = 1,2,3 và Ă = „AM, ta kớ hiệu
Ưù = r1 ah, (curl uo(2)) dx va VF =
li Tuy
Vi uo € H*(D) va curl uo € H*(D)%, với miền Lipschitz D, ta cú thể mở rộng mỗi chỳng, riờng biệt, liờn tục bờn ngoài D và để đơn giản ký
hiộu ta coi up va curl uo la cdc mộ rong dộ (xem Wloka [16] Dinh ly 5.6) Ky hiộu U; va V; la cộe vects (U},U?,U3) va (V2,V2,V;) tutong ting Gọi P là hỡnh hộp đơn vị trong RẺ Từ bất đẳng thức Poincarộ, ta cú
2
| | -J ú(ứ)#| dr < ef |Vo(x) 2dr Vo H'(B) el? dey l;
Bằng phộp tịnh tiến và phộp co gión, ta suy ra
Trang 31Do đú I, `“ ns.a Đặt t-(#) = ta() + eX" (x, °) UTpj(z) +ÊV | (=, *) Vyoj(a)] Ta cú
curl (a°(x)curl uf(x)) + 0 (x)us(z)
=curla (x, *) | (3) + ecurl„X" (x, *) U7p,(z) +eurlyy’ (2, 2) Ư7pj(z) + e(U/Vứj(+)) x x" (2, 2|
+b( =) [uole) +ex" (x, 5) Uùpj(z) + eVze" (x, 5) Vip;(2) $V yo" (x, *) Vy'pj(a) + ew" (= 5) V7Vứ,(2)|
= curl (a°(x)curl uo(#)) + b(z)uo(#) + curl |G (ô, Bỡ Ư7ứĂ()|
+g (2, =) Vjpj(x) + ecurl I(x) + eJ(c)
Trang 32Do dộ vội @ € Ho(curl , D), ta cú
(curl (a“curl nI + bfuj — curl (a°curl up) — Duo, ể)m
= [vine ( 2) -curl ddr
+ [va +) ( + š)-úœ)4z
+e I I(x) ô curl 6(x)de + I JŒ) -ú(x)dr
+ I (a°(x) = a°(z)) (curl u(x) — U;p;(2)) ôcurl d(x)dx +0) —(z))(wa(#) — Vjứj(2)) - ú(z)dz Sử dụng hàm số Ớ, ở (3.20), ta cú I Uyps(0)G (0,2) -curlo(a)dx = ƒ U/ứa) [2VG, (2,2) ~eV.6, (2,4)] -eurto(e)ae =~e I ỡ, (x, *) div|(UTứ;(2))curlỏ(ứ)]dr —e J U7p;(z)V,, (= 5) - curl ú(+) da 7 Ta chỳ ý rằng
J, Ulpj(2)V.G, (=, *) = curl o(x)dx
S AU; pyl| a l|eurLllir
Tit
I07ứlfsứ = [(0716)38 + 3C Í vrvsoces(ae, 1⁄7
Trang 34Lập luận tương tự như trờn, ta cú
â [ Vjos(a)eurta (2.2) -o(a)| < cellV pjlalollar $ cellolla, va  | Vios(adeurts, (1,2) -(e)ar [ a: (2, ; -eurl [(W7p,(z))(z)] de =| [a Gr (2,5) - [(Vipj(2))eurt oa) + (Vf Vp,(x)) x ú(z)] dr| M 1/2
€(elleurl ol|az + ce!" [dl (esr) ja
Trang 35sử dụng tớnh chất giỏ của ứ;, ta cú từ (2.22)
a
J Ncurtuate))- = Ufojla))Pae <Q f (curt ua(2)), ~ UPd D “i19,
M
<a x |I(curtLua), ll a,)
= cen š “lJ (curl u(x) 2d (2.23)
Trang 36tức là, |lcur! (aFcurlu) + Bíu — curl (a9eurl uạ) — b°upllwy < ele!" +e) Như vậy |lcurl (a°curlu{) + bế uĐ — curl (a°eurlu°) — bu |yyz < c(e1—đ + e*), (2.26) Vỡ u{ khụng thuộc Ho(curl , D), ta dat r(x) la ham sộ trong D(D) sao cho 7Z(#) = 1 ngoài lõn cận € cia OD va sup e|Vr"(2x)| < c trong d6 Â xeb
khụng phụ thuộc vào e Ta xột hàm số
u{(ứ) = ua(+)+er“(z)U7j(e)í (#,=)+sV [V/ứj(e)r“(ứ)er (e.*)] Khi đú ta cú tậ(z) — u{(z) =e(1=7“(z))U7p/(e)x" (=.=) +sV | ~ zf@œ))V7ứ,(e}7 (z.=)| và â curl (ui (x) — wi(x)) = ecurl, x" (= 3 U7p;(z)(1— 7*(2)) +eurlyy” (2,2) Ujaj(z)(1—r*(e)) —eUTpj(œ)V7“(#) x x" ( 2) +e(1— z(#))U7Vứ,(+) x x" (ô,*) Như trỡnh bày trờn ||U7ứ;||zz(o) bị chặn đều, nờn r = " —Ê,
[courts (x, 5) (U7ứ;(z))(1 =7: |, <e
Cho ế“ là lõn cận 3e*' của ỉ7 Ta chỳ ý rằng curl up duge mộ rong mot
Trang 37sử dụng phộp nội suy ta được
ll6lla¿ứ-) < œ°*/2|ứllu-/ằy < œ°*/2|lúlla-›
với mọi ở € HÍ*(D) mở rộng một cỏch liờn tục bờn ngoài 72 Khi đú ta cú
Wye) < Of | (073j604
M 1 ?
< Lie nD Or ((,e7:se+)
<c S 6/02] ƒ curtug(2))2ae aro lil Jo,
Trang 38Ngoài ra ta cú eV [= r(x)" (2, =) (Vjoj(e))] =~ eWz“(z)er (e.2) (V7ứ,(2)) +s(1=7“#))V,er (2,2) (V7ứ/(2)) +=z“))V„# (œ.Š) (7ứ) + e(1— 7Z(z))e” (x, *) (WƑVứ(z))
Lập luận tương tự như trờn, ta suy ra
IVFllasyoy Sec", IVF Wpyllzaqoos See, Vi thộ lev {a —7(x))w" (x, 5) (7z;)] l, <e (msrs92 + zcsrdcstee)/2) Do đú lui — e{llu < e (crate + el-atnaetann/2) | Chon sị = 1/(s + 1) ta cú
|lcurt (ađcurt (uj — wi) + 0° (uf — wi) we < ce"),
Kột hop với (2.26) cú được
|Jcurt (a%curl (uộ — wi) + 0 (ul — wi) Iw < ce°/*9, Do đú luế — wùlly < ce Từ điều đú và (2.27) và (2.27) ta được luế — ill < c*/*9, (2.28) Chỳ ý rằng
curl uf(ô) = curl u(x) + curlyy” (z, 5) (U7pj(z))
+ ecurl„x" (=, 5) (U7p;(z)) + e(UƑVp;(z)) x X" (=, 5)
Trang 40Kết hợp với (2.28) ta suy ra
|¿( ~— u(#) — Vye" ( 3) ta) | „ <ce/0+9),
Khi đú ta cú được kết luận a
2.2.2 Bài toỏn đa kớch thước
Phần này ta xột bài toỏn đa kớch thước Trước hết ta xõy dựng phương, trỡnh thuần nhất Từ (2.10) với moi v; € Wi ta cú ƒ Í d(.) (ô+ 2s) + (Speman) dydx DIY i=l i=l Do đú I Í a(z,9) (ow tạ + ) - curl,, o„ddz = 0 DIY i=l
với mọi ứy € IW„, Với mỗi Í — 1,2,3, lấy xị, € W„ là nghiệm của
ƒ Í a(x, y) (e+ curly, x!) -curl,, ondyde = 0 pty
với mọi tn € Wa Ta cú thể viết tạ là
tig = XL ((curl up) + (curly): + + (eul,, ,8m—1))- Với moi ty-1 € Wats