Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ NGỌC BÍCH MỘT PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH LỒI GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHO[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ NGỌC BÍCH MỘT PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH LỒI GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ NGỌC BÍCH MỘT PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH LỒI GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 84 60 112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Lê Dũng Mưu Thái Nguyên - 2018 i Mục lục Mở đầu Chương Bài toán qui hoạch lồi 1.1 1.2 Tập lồi, hàm lồi 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Hàm lồi 10 Bài toán qui hoạch lồi 16 Chương Một phương pháp qui hoạch lồi giải toán chấp nhận lồi 2.1 2.2 24 Bài tốn chấp nhận lồi ví dụ 24 2.1.1 Bài toán chấp nhận lồi 24 2.1.2 Ví dụ 25 Một phương pháp qui hoạch lồi giải toán chấp nhận lồi 25 2.2.1 Tóm tắt hai phương pháp bản: chiếu chiếu song song 25 2.2.2 Thuật toán đạo hàm giải toán qui hoạch lồi 29 2.2.3 Phương pháp chuyển toán qui hoạch lồi 32 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Mở đầu Tối ưu hóa khởi nguồn ngành Tốn học, có nhiều ứng dụng quy hoạch tài nguyên, thiết kế chế tạo máy, điều khiển tự động, quản trị kinh doanh việc tạo nên hệ hỗ trợ định quản lý phát triển hệ thống lớn Chính vậy, lĩnh vực tối ưu hóa ngày trở nên đa dạng mang nhiều tên gọi khác Quy hoạch toán học, Điều khiển tối ưu, Vận trù học, Lý thuyết trò chơi Hiện mơn học Tối ưu hóa đưa vào giảng dạy nhiều chương trình đào tạo đại học cho ngành khoa học Một tốn quan trọng Tối ưu hóa toán qui hoạch lồi Nhiều toán quan trọng lĩnh vực tốn học thực tế chuyển tốn qui hoạch lồi (tìm cực tiểu hàm lồi tập lồi) Đối với lớp tốn có nhiều phương pháp giải hiệu quả, ví dụ phương pháp đạo hàm, phương pháp đạo hàm, phương pháp điểm trong, Bài tốn chấp nhận lồi tốn tìm điểm chung số hữu hạn vô hạn tập lồi Bài tốn quan trọng nhiều toán toán học lĩnh vực thực tế khác chuyển tốn chấp nhận lồi Ví dụ tốn giải hệ phương trình, tốn tìm nghiệm chung toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, Chính chúng tơi chọn đề tài: "Một phương pháp qui hoạch lồi giải toán chấp nhận lồi" Luận văn nghiên cứu toán chấp nhận lồi giới thiệu vài phương pháp giải toán này, đặc biệt sâu vào phương pháp chuyển toán chấp nhận lồi qui hoạch lồi Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương "Bài toán qui hoạch lồi” giới thiệu kiến thức giải tích lồi tốn qui hoạch lồi Chương "Một phương pháp qui hoạch lồi giải toán chấp nhận lồi" giới thiệu phương pháp chiếu chiếu song song, thuật toán đạo hàm để giải toán qui hoạch lồi Cuối chương, đề cập đến phương pháp giải toán chấp nhận lồi Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng giáo sư, phó giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, Đại học Thăng Long, thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng đào tạo, khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập trường Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018 Học viên Vũ Thị Ngọc Bích Chương Bài tốn qui hoạch lồi Chương trình bày số kiến thức giải tích lồi tập lồi, hàm lồi, toán qui hoạch lồi, kiến thức tảng, cần thiết phục vụ cho việc nghiên cứu giải đề tài Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2] [3] 1.1 1.1.1 Tập lồi, hàm lồi Tập lồi Định nghĩa 1.1 Cho hai điểm a, b không gian Rn Đường thẳng qua hai điểm a b tập tất điểm x Rn có dạng x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ R Đoạn thẳng nối hai điểm a, b tập hợp điểm có dạng x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1] Định nghĩa 1.2 Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ta nói x tổ hợp lồi điểm (vectơ) x1 , x2 , , xk x= k X j=1 j λj x , λj > 0, ∀j = 1, , k, k X j=1 λj = 4 Định nghĩa 1.3 Một tập D gọi tập affine D chứa đường thẳng qua hai điểm x, y ∈ D, tức ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ Rn ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ D Mệnh đề 1.1 Tập hợp C lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức là: C lồi ∀k ∈ N, ∀λ1 , , λk > : k X k λj = 1, ∀x , , x ∈ C ⇒ k X λj xj ∈ C j=1 j=1 Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần quy nạp theo số điểm Với k = 2, điều cần chứng minh suy từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề với k − điểm Ta cần chứng minh với k điểm Giả sử x tổ hợp lồi k điểm x1 , , xk ∈ C Tức x= k X j λj x , λj > 0, ∀j = 1, , k, k X λj = j=1 j=1 Đặt k−1 X ξ= λj j=1 Khi < ξ < x= k−1 X j k λj x + λk x = ξ j=1 j=1 Do k−1 X λj j=1 k−1 X λj ξ ξ xj + λk xk =1 λj > với ∀j = 1, , k − nên theo giả thiết quy nạp, điểm ξ y := k−1 X λj j=1 ξ xj ∈ C 5 Ta có x = ξy + λk xk Do ξ > 0, λk > ξ + λk = k X λj = j=1 nên x tổ hợp lồi hai điểm y xk thuộc C Vậy x ∈ C Mệnh đề 1.2 Nếu A, B tập lồi Rn , C lồi Rm , tập sau lồi : A ∩ B := {x | x ∈ A, x ∈ B}; αA + βB := {x | x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R}; A × C := {x ∈ Rn+m | x = (a, c), a ∈ A, c ∈ C} Mệnh đề 1.3 D 6= ∅ tập affine có dạng D = M + a với M không gian Rn a ∈ Rn Không gian M xác định gọi không gian song song D Định nghĩa 1.4 Siêu phẳng Rn tổ hợp điểm có dạng {x ∈ Rn | aT x = α}, a ∈ Rn vectơ pháp tuyến siêu phẳng Một siêu phẳng chia không gian thành hai nửa không gian Định nghĩa 1.5 Nửa không gian tập hợp có dạng {x | aT x ≥ α}, a 6= α ∈ R Đây nửa khơng gian đóng Tập {x | aT x > α} nửa không gian mở 6 Như siêu phẳng chia không gian thành hai nửa không gian, nửa khơng gian phía siêu phẳng Nếu hai nửa khơng gian đóng phần chung chúng siêu phẳng Định nghĩa 1.6 Một tập hợp S ⊂ Rn gọi đơn hình có thứ ngun k (hoặc nói ngắn gọn k-đơn hình) S tổ hợp lồi k + vectơ độc lập affine Các vectơ gọi đỉnh đơn hình Ví dụ, tam giác không gian chiều 2-đơn hình Tập hợp ( ) k X Sk := x ∈ Rk | x ≥ 0, xj ≤ j=1 gọi đơn hình chuẩn tắc Rk Định nghĩa 1.7 Một tập gọi tập lồi đa diện giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng Như vậy, theo định nghĩa, tập lồi đa diện tập nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh tập lồi đa diện cho sau D := {x ∈ Rn | aj , x ≤ bj , j = 1, , m} Hoặc ta kí hiệu A ma trận có m hàng vectơ aj , j = 1, , m vectơ bT = (b1 , , bm ) hệ viết D = {x ∈ Rn | Ax ≤ b} Chú ý phương trình ha, xi = b viết lại cách tương đương dạng hai bất phương trình ha, xi ≤ b, h−a, xi ≤ b nên tập nghiệm hệ hữu hạn phương trình bất phương trình tập lồi đa diện 7 Định nghĩa 1.8 Bao lồi tập D giao tất tập lồi chứa D Bao lồi tập D ký hiệu coD Bao lồi tập D tập lồi nhỏ chứa D Định nghĩa 1.9 Một điểm a tập lồi D gọi điểm tương đối với x ∈ D có số λ > cho a + λ(x − a) ∈ D Tập điểm tương đối D ký hiệu riD Định nghĩa 1.10 Một tập D gọi nón ∀λ > 0, ∀x ∈ D ⇒ λx ∈ D Một nón gọi nón nhọn khơng chứa đường thẳng Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Nếu nón lồi lại tập lồi đa diện ta nói nón lồi đa diện Hình 1.1: Nón lồi nón khơng lồi Định nghĩa 1.11 Cho D ⊆ Rn tập lồi x0 ∈ D (i) Tập ND (x0 ) := {ω ∈ Rn : ω, x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ D} gọi nón pháp tuyến ngồi D x0 tập −ND (x0 ) gọi nón pháp tuyến D x0 (ii) Tập ND (x0 ) := {ω ∈ Rn : ω, x − x0 ≤ , ∀x ∈ D} gọi nón pháp tuyến D x0 ... cứu toán chấp nhận lồi giới thiệu vài phương pháp giải toán này, đặc biệt sâu vào phương pháp chuyển toán chấp nhận lồi qui hoạch lồi Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương "Bài toán qui hoạch. .. 1.1.2 Hàm lồi 10 Bài toán qui hoạch lồi 16 Chương Một phương pháp qui hoạch lồi giải toán chấp nhận lồi 2.1 2.2 24 Bài toán chấp nhận lồi ví... lồi? ?? giới thiệu kiến thức giải tích lồi toán qui hoạch lồi Chương "Một phương pháp qui hoạch lồi giải toán chấp nhận lồi" giới thiệu phương pháp chiếu chiếu song song, thuật toán đạo hàm để giải