Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một phương pháp quy hoạch lồi giải một lớp bài toán chấp nhận lồi tách

Mục đích của luận văn là giới thiệu lại kiến thức cơ bản về giải tích lồi, bài toán về quy hoạch lồi. Đặc biệt đi sâu vào các bài chấp nhận lồi tách và một phương pháp giải. Mời các bạn tham khảo!

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÀNH TRUNG MỘT PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH LỒI GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI TÁCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÀNH TRUNG MỘT PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH LỒI GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI TÁCH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 84 60 112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2018 i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi, hàm lồi 1.2 Toán tử chiếu lên tập lồi đóng 10 1.3 Dưới vi phân hàm lồi 14 Chương Phương pháp quy hoạch lồi giải toán chấp nhận lồi tách 2.1 2.2 21 Bài toán quy hoạch lồi 21 2.1.1 Định nghĩa 21 2.1.2 Điều kiện tồn nghiệm 25 2.1.3 Định lý Karush-kuhn-Tucker 28 2.1.4 Phương pháp chiếu đạo hàm 32 Bài toán chấp nhận lồi tách phương pháp giải 37 2.2.1 Bài toán chấp nhận lồi tách 37 2.2.2 Giới thiệu mơ hình thực tế dẫn tới toán 38 2.2.3 Chuyển toán chấp nhận lồi tách toán quy hoạch lồi 39 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giúp đỡ hướng dẫn tận tình GS.TSKH Lê Dũng Mưu Qua đây, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian làm luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng giáo sư, phó giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng đào tạo, khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018 Học viên Nguyễn Thành Trung Mở đầu Quy hoạch lồi lớp toán tối ưu hóa Một đặc điểm lớp toán điểm cực tiểu địa phương cực tiểu tuyệt đối Tính chất quan trọng cho phép lý thuyết có tính địa phương giới hạn, vi phân, áp dụng trực tiếp vào quy hoạch lồi Lý thuyết toán quy hoạch lồi quan tâm nghiên cứu nhiều thu nhiều kết quan trọng dựa lý thuyết giải tích lồi tối ưu hóa; phương diện tính tốn, có nhiều phương pháp hữu hiệu cho lớp toán Các phương pháp giới thiệu sách Tối ưu lồi (Convex Optimization) tác giả Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe nhà xuất Cambridge University Press in năm 2004 Đề tài luận văn "Một phương pháp quy hoạch lồi giải lớp toán chấp nhận lồi tách" có mục đích giới thiệu lại kiến thức giải tích lồi, tốn quy hoạch lồi Đặc biệt sâu vào chấp nhận lồi tách phương pháp giải Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương "Kiến thức chuẩn bị” giới thiệu kiến thức tập lồi, hàm lồi vi phân hàm lồi Chương "Phương pháp quy hoạch lồi giải toán chấp nhận lồi tách" giới thiệu toán quy hoạch lồi số tính chất Nhắc lại phương pháp chiếu đạo hàm giải toán Cuối tác giả giới thiệu tốn chấp nhận lồi tách phương pháp giải Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tác giả giới thiệu kiến thức giải tích lồi, kiến thức tảng cần thiết phục vụ cho việc nghiên cứu giải đề tài Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1] [2] 1.1 Tập lồi, hàm lồi Trước hết ta nhắc lại khái niệm tập lồi Rn khái niệm có liên quan Định nghĩa 1.1 Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi, C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ta nói x tổ hợp lồi điểm (véctơ) x1 , x2 , , xk x= k X j λj x , λj > ∀j = 1, , k, k X λj = j=1 j=1 Tương tự, x tổ hợp affine điểm (véctơ) x1 , , xk x= k X j=1 j λj x , k X λj = j=1 Tập hợp tổ hợp affine x1 , , xk thường gọi bao affine điểm Hình 1.1: (a), (b), (e) - Tập lồi; (c), (d) - Tập không lồi Mệnh đề 1.1 Tập hợp C lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức là: C lồi k k X X k ∀k ∈ N, ∀λ1 , , λk > : λj = 1, ∀x , , x ∈ C ⇒ λj xj ∈ C j=1 j=1 Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần quy nạp theo số điểm Với k = 2, điều cần chứng minh suy từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề với k − điểm Ta cần chứng minh với k điểm Giả sử x tổ hợp lồi k điểm x1 , , xk ∈ C Tức x= k X j λj x , λj > ∀j = 1, , k, j=1 k X λj = j=1 Đặt k−1 X ζ= λj j=1 Khi < ζ < x= k−1 X j k λj x + λk x = ζ j=1 Do j=1 k−1 X λj j=1 k−1 X λj ζ ζ xj + λk xk =1 λj > với j = 1, , k − nên theo giả thiết quy nạp, điểm ζ y := k−1 X λj j=1 ζ xj ∈ C Ta có x = ζy + λk xk Do ζ > 0, λk > ζ + λk = k X λj = 1, j=1 nên x tổ hợp lồi hai điểm y xk thuộc C Vậy x ∈ C Lớp tập lồi đóng với phép giao, phép cộng đại số phép nhân tích Descartes Cụ thể, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.2 Nếu A, B tập lồi Rn , C lồi Rm , tập sau lồi : A ∩ B := {x | x ∈ A, x ∈ B}, λA + βB := {x | αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R}, A × C := {x ∈ Rn+m | x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C} Định nghĩa 1.2 Một điểm a ∈ C gọi điểm tương đối C điểm C theo tô-pô cảm sinh affC (tập affine nhỏ chứa C) Ta ký hiệu tập hợp điểm tương đối C riC Theo định nghĩa ta có: riC := {a ∈ C | ∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C}, B lân cận mở gốc Hiển nhiên riC = {a ∈ affC | ∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C} Tiếp theo ta nhắc khái niệm hàm lồi số khái niệm liên quan Cho C ⊆ Rn tập lồi f : C → R Ta ký hiệu domf := {x ∈ C | f (x) < +∞} Tập dom f gọi miền hữu dụng f Tp epif := {(x, à) C ì R | f (x) ≤ µ} gọi đồ thị hàm f Bằng cách cho f (x) = +∞ x ∈ / C, ta coi f xác định tồn khơng gian hiển nhiên domf = {x ∈ Rn | f (x) < +∞}, epif = {(x, µ) ∈ Rn ì R | f (x) à} Do s làm việc với hàm số nhận giá trị −∞ +∞, nên ta quy ước: Nếu λ = 0, λf (x) = với x Định nghĩa 1.3 Cho ∅ 6= C ⊆ Rn lồi f : C → R Ta nói f hàm lồi C, epif tập lồi Rn+1 Sau ta chủ yếu làm việc với hàm f : Rn → R ∪ {+∞} Trong trường hợp này, dễ thấy định nghĩa tương đương với f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) Hàm f : Rn → R ∪ {+∞} gọi lồi chặt C f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) Hàm f : Rn → R ∪ {+∞} gọi lồi mạnh C với hệ số η > ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) có: f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ)kx − yk2 Dễ kiểm tra rằng, f lồi mạnh C với hệ số η > hàm η h(.) := f (.) − k.k2 lồi C Bằng qui nạp, dễ dàng chứng minh rằng, f nhận giá trị hữu hạn tập lồi C, với số tự nhiên m x1 , , xm ∈ C thoả mãn λ1 ≥ 0, , m P λm ≥ 0, λj = 1, ta có j=1 f m X j=1 ! λj x j ≤ m X j=1 λj f (xj ) (bất đẳng thức Jensen) Hàm f gọi hàm lõm C, −f lồi C Ví dụ 1.1 Cho S := {x ∈ Rn | kxk = 1} mặt cầu h : S → R+ hàm Định nghĩa hàm f sau:    kxk < 1,   f (x) := h(x) kxk = 1,     +∞ kxk > Hàm gọi hàm mặt cầu Dễ thấy f hàm lồi Rn , h hàm không âm mặt cầu S Ví dụ 1.2 Ví dụ hàm lồi, hàm lõm Hình 1.2: (a) - Hàm lồi; (b) - Hàm lõm Dưới điều kiện cần đủ hàm lồi, tiện ích nhiều trường hợp Mệnh đề 1.3 Một hàm f : C → R lồi C ∀x, y ∈ C, ∀α > f (x), ∀β > f (y), ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λα + (1 − λ)β ... tài luận văn "Một phương pháp quy hoạch lồi giải lớp tốn chấp nhận lồi tách" có mục đích giới thiệu lại kiến thức giải tích lồi, toán quy hoạch lồi Đặc biệt sâu vào chấp nhận lồi tách phương pháp. .. HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÀNH TRUNG MỘT PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH LỒI GIẢI MỘT LỚP BÀI TỐN CHẤP NHẬN LỒI TÁCH Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 84 60 112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC... Karush-kuhn-Tucker 28 2.1.4 Phương pháp chiếu đạo hàm 32 Bài toán chấp nhận lồi tách phương pháp giải 37 2.2.1 Bài toán chấp nhận lồi tách 37 2.2.2