Một trong những chủ đề khá hay của lý thuyết tổ hợp đó là công thức truy hồi. Đây là một trong những kỹ thuật đếm cao cấp để giải các bài toán đếm và là công cụ rất hữu hiệu để giải các bài toán khác có liên quan, đề tài nghiên cứu sẽ giới thiệu tới bạn đọc vấn đề này.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ THU HÀ ỨNG DỤNG CÔNG THỨC TRUY HỒI GIẢI TỐN SƠ CẤP Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 Cơng trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Phản biện 1: TS Phan Đức Tuấn Phản biện 2: GS.TS Lê Văn Thuyết Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp Đại Học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12 năm 2015 Có thể tìm hiểu Luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tổ hợp ngành khoa học xuất sớm vào đầu kỷ XVII, áp dụng nhiều lĩnh vực khác lý thuyết số, hình học, đại số, xác suất thống kê, quy hoạch thực nghiệm… Các vấn đề liên quan đến lý thuyết tổ hợp phận quan trọng, hấp dẫn tốn học nói chung tốn rời rạc nói riêng Nó nội dung phong phú áp dụng nhiều thực tế sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp xuất nhiều tốn hay khó Một chủ đề hay lý thuyết tổ hợp cơng thức truy hồi Đây kỹ thuật đếm cao cấp để giải tốn đếm cơng cụ hữu hiệu để giải tốn khác có liên quan Vì vậy, định chọn đề tài : “Ứng dụng cơng thức truy hồi giải tốn sơ cấp” để làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng công thức truy hồi giải toán sơ cấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Công thức truy hồi 3.2 Phạm vi nghiên cứu Công thức truy hồi, phương pháp giải ứng dụng toán sơ cấp Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, phân tích, tổng hợp dạng toán Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài nghiên cứu tính ứng dụng công thức truy hồi Giải toán đặt từ thực tế Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết Chương 2: Công thức truy hồi Chương 3: Ứng dụng cơng thức truy hồi giải tốn sơ cấp CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 TỔNG QUAN VỀ TỔ HỢP 1.1.1 Sơ lược lịch sử 1.1.2 Bài tốn tổ hợp a Cấu hình tổ hợp dạng toán tổ hợp Cho tập hợp , ,…, Giả sử sơ đồ xếp phần tử , , … , mô tả quy tắc xếp , , …, điều kiện ràng buộc lên xếp theo sơ đồ Khi xếp phần tử , , … , thỏa mãn điều kiện , , …, gọi cấu hình tổ hợp tập , ,…, Với cấu hình tổ hợp, ta thường gặp bốn dạng toán sau: toán tồn tại, toán đếm, toán liệt kê, toán tối ưu b Bài toán đếm * Nguyên lý cộng nguyên lý nhân } phân + Nguyên lý cộng Giả sử { , ,… , hoạch tập Khi | | = | | + | | + ⋯ + | | + Nguyên lý nhân Giả sử cấu hình tổ hợp xây dựng qua bước, bước thực cách, bước thực cách,…, bước thực cách Khi đó, số cấu hình tổ hợp … * Các cấu hình tổ hợp + Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.1 Một chỉnh hợp lặp chập phần tử khác có thứ tự gồm thành phần lấy từ phần tử cho Các thành phần lặp lại ( , )= + Chỉnh hợp không lặp Định nghĩa 1.2 Một chỉnh hợp không lặp chập phần tử khác có thứ tự gồm thành phần lấy từ phần tử cho Các thành phần không lặp lại Số tất chỉnh hợp không lặp chập phần tử ! ( , ) = ( − 1) … ( − + 1) = ( − )! + Hoán vị Định nghĩa 1.3 Một hoán vị phần tử khác cách xếp thứ tự phần tử Hốn vị coi trường hợp riêng chỉnh hợp khơng lặp chập , = Ta có số hốn vị ( ) = ! + Tổ hợp Định nghĩa 1.4 Một tổ hợp chập phần tử khác không kể thứ tự gồm thành phần khác lấy từ phần tử cho Nói cách khác, ta coi tổ hợp chập phần tử khác tập có phần từ phần tử cho Gọi số tổ hợp chập phần tử ( , ), ta có ! ( , )= ! ( − )! * Các cấu hình tổ hợp mở rộng + Hoán vị lặp Định nghĩa 1.5 Hoán vị lặp hốn vị phần tử ấn định số lần lặp cho trước Định lý 1.1 Số hoán vị lặp phần tử khác nhau, phần tử thứ lặp lần, phần tử thứ hai lặp lần, …, phần tử thứ lặp lần ( ; , ,…, )= ! ! !… ! ; = + +⋯+ Hệ 1.1 Giả sử có phần tử, có phần tử kiểu 1, phần tử kiểu 2,…, phần tử kiểu Khi số hốn vị phần tử ! P( ; , , … , ) = ! !… ! + Tổ hợp lặp Ví dụ 1.1 Giả sử ta có đầu sách: Tốn, Tin, Lý đầu sách có Hỏi có cách chọn Định nghĩa 1.6 Tổ hợp lặp chập từ phần tử khác nhóm khơng phân biệt thứ tự gồm phần tử trích từ phần tử cho, phần tử lặp lại Định lý 1.2 Giả sử có phần tử khác Khi số tổ ( , ) hợp lặp chập từ phần tử , ký hiệu ( , ) = ( + − 1, − 1) = ( + − 1, ) * Hàm sinh Định nghĩa 1.7 Cho dãy số thực ( ) = ( , , … ) biến Khi hàm sinh ( ) dãy ( , , … ) biểu thức có dạng với ( )= Ví dụ 1.2 Hàm + + (1 + ) = +⋯= ( , ) hàm sinh dãy ( , 0), ( , 1), … , ( , ) Định lý 1.3 i Nếu ( ) hàm sinh dãy ( ) ℎ( ) hàm sinh dãy ( ) ( ) + ℎ( ) hàm sinh dãy ( + ) , với số thực ii Nếu ( ) hàm sinh dãy ( ) ℎ( ) hàm sinh dãy ( ) ( ) ℎ( ) hàm sinh dãy 1.1.3 Giới thiệu phần mềm Maple Sau khởi động Maple, hình cửa sổ làm việc với dấu nhắc [> · Hàm ({ ( ) = ∗ ( − ) + ∗ ( − )+ ⋯, ( ) = , ( ) = , … }, ) để giải công thức truy hồi ( ) = ∗ ( − 1) + ∗ ( − 2) + ⋯ , (0) = , (1) = , … 1.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Định nghĩa 1.8 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hệ thức tuyến tính có dạng ( + )+ ( + − 1) + ⋯ + ( ) = ( ), (1.1) , , … , hệ số phương trình, ≠ 0, ( ) hàm số theo Nếu ( ) ≡ (1.1) có dạng ( + )+ ( + − 1) + ⋯ + ( ) = (1.2) gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số Nếu ( ) ≠ (1.1) gọi phương trình sai phân tuyến tính khơng cấp với hệ số Hàm số ( ) thỏa mãn (1.1) gọi nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính (1.1) Hàm số ( ) phụ thuộc tham số, thỏa mãn (1.2) gọi nghiệm tổng quát (1.2) Một nghiệm ∗ ( ) thỏa mãn (1.1) gọi nghiệm riêng (1.1) Nghiệm tổng quát ( ) (1.1) có dạng ( ) = ( ) + ∗ ( ) CHƯƠNG CÔNG THỨC TRUY HỒI 2.1 KHÁI NIỆM CÔNG THỨC TRUY HỒI Ví dụ 2.1 Xét tốn đếm số tập ( ) tập Gọi ( ) số tập tập có phần tử Giả sử có phần tử Cho x phần tử Tách ( ) làm hai nhóm , nhóm gồm tập chứa nhóm gồm tập khơng chứa Khi ( ∖ { }) tương đương Như ta có | ( )| = | | + | | = | ( ∖ { })| Từ suy công thức truy hồi: ( ) = ( − 1), ∀ Định nghĩa 2.1 Công thức truy hồi dãy (0), (1), (2), … phương trình xác định ( ) phần tử (0), (1), (2), … , ( − 1) trước ( )= (0), (1), (2), … , ( − 1) Điều kiện ban đầu giá trị gán cho số hữu hạn phần tử đầu Trong ví dụ 2.1, ta có điều kiện ban đầu (0) = 2.2 GIẢI CƠNG THỨC TRUY HỒI 2.2.1 Giải cơng thức truy hồi phương pháp lặp Nội dung dung phương pháp thay liên tiếp công thức truy hồi vào nó, lần thay bậc giảm đơn vị, đạt giá trị ban đầu Ví dụ 2.2 Trên mặt phẳng kẻ đường thẳng cho khơng có ba đường đồng quy khơng có hai đường song song Hỏi mặt phẳng chia làm phần? 2.2.2 Giải cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số a Định nghĩa cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số Định nghĩa 2.2 Cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc có dạng (!) = "# $(% − 1) + &' (() − 2) + ⋯ + *+ ,(- − ) + /(0) (2.1) 10 tính hệ số (2.2) = + + ⋯+ nghiệm (2.2), , , … , số tùy ý Định lý 2.3 Nếu nghiệm bội phương trình đặc trưng (2.3) , ,…, nghiệm cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc (2.2) Định lý 2.4 Nếu , , … , tương ứng nghiệm bội , ,…, phương trình đặc trưng (2.3) nghiệm tổng quát (2.2) có dạng ( ) = ( ) + ( ) + ⋯ + ( ), ( )= , + , + , + ⋯+ , , ∀ = 1, 2, … , , ( = 0, 1, 2, … , − 1) số *** Ghi Nếu có thêm điều kiện ban đầu nghiệm tổng quát vào điều kiện ban đầu để xác định số Hệ định lý 2.4 · Công thức nghiệm công thức truy hồi tuyến tính hệ bậc hai Cho cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc hai ( ) = ( − 1) + ( − 2), (2.5) với , số, ≠ phương trình đặc trưng có dạng − − = (2.6) i Giả sử phương trình đặc trưng (2.6) có nghiệm phân biệt , nghiệm tổng quát (2.5) có dạng ( )= + , 11 , số ii Giả sử phương trình đặc trưng (2.6) có nghiệm kép nghiệm tổng qt (2.5) có dạng ( )= + , với , số iii Giả sử phương trình đặc trưng (2.6) có nghiệm phức liên hợp = + , = − ( = −1) nghiệm tổng quát (2.5) có dạng ( ) = λ ( cos( ) + sin( )), với λ= + , tan = , ∈ − ; , 2 , số · Công thức nghiệm cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc ba Cho công thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc ba ( ) = ( − 1) + ( − 2) (2.7) + ( − 3), , , số ≠ Phương trình đặc trưng có dạng (2.8) − − − = i Nếu phương trình đặc trưng (2.8) có nghiệm thực phân biệt , , nghiệm tổng quát (2.7) có dạng ( )= + + , , , số ii Nếu phương trình đặc trưng (2.8) có nghiệm thực bội nghiệm đơn nghiệm tổng quát (2.7) có dạng ( ) = ( + ) + , , , số 12 iii Nếu phương trình đặc trưng (2.8) có nghiệm thực bội nghiệm tổng quát (2.7) có dạng ( ) = ( + + ) , , , số iv Nếu phương trình đặc trưng (2.8) có nghiệm thực hai nghiệm phức liên hợp = + = λ (cos + sin ), = − = λ (cos − sin ) (2.7) nghiệm tổng qt có dạng ( ) = + λ ( cos( ) + sin( )) , , số c Nghiệm riêng * Nghiệm riêng công thức truy hồi tuyến tính khơng hệ số bậc Cơng thức truy hồi tuyến tính khơng hệ số bậc có dạng ( ) = ( − 1) + ( ), (2.9) ≠ 0, ( ) hàm theo ( ) ≠ Nghiệm đặc trưng phương trình tương ứng (2.9) = Định lý 2.8 Nếu ( ) đa thức bậc , ( ) = ( ) nghiệm riêng ( ) (2.9) có dạng: ( )= ( ), ≠ 1, i ( ), = 1, ii ( ) = ( ) dạng đa thức bậc Định lý 2.9 Nếu ( ) = ( , ≠ 0) nghiệm riêng ( ) (2.9) có dạng: ( ) = , ≠ , i ii ( ) = , = ( ) đa Định lý 2.10 Nếu ( ) = ( ) ( ≠ 0) thức bậc nghiệm riêng (2.9) có dạng: 13 i ii … ( )= ( ) , ( )= ( ) , ( ) dạng đa thức bậc ≠ , = , Định lý 2.11 Nếu ( ) nghiệm riêng phương trình ( ) = ( − 1) + ( ), ( ) nghiệm riêng phương trình ( ) = ( − 1) + ( ), ( ) nghiệm riêng phương trình ( ) = ( − 1) + ( ), ( ) = ( )+ ( )+ ⋯+ ( ) nghiệm riêng phương trình ( ) = ( − 1) + ( ) + ( ) + ⋯ + ( ) * Nghiệm riêng công thức truy hồi tuyến tính khơng hệ số bậc hai Cơng thức truy hồi tuyến tính khơng hệ số bậc hai có dạng ( ) = ( − 1) + ( − 2) + ( ), (2.12) ≠ 0, ( ) hàm theo ( ) ≠ Phương trình đặc trưng (2.12) có dạng (2.13) − − = Định lý 2.12 Nếu ( ) đa thức bậc , ( ) = ( ) nghiệm riêng ( ) (2.12) có dạng: ( )= ( ), (2.13) khơng có nghiệm = 1, i ( ), (2.13) có nghiệm đơn = 1, ii ( ) = ( ), (2.13) có nghiệm kép = 1, iii ( ) = (n) dạng đa thức bậc ( ≠ 0) ( ) đa Định lý 2.12 Nếu ( ) = ( ) thức bậc nghiệm riêng (2.12) có dạng: ( ) , (2.13) khơng có nghiệm = , i ( ) = 14 ( ) , (2.13) có nghiệm đơn = , ii ( ) = ( ) iii ( ) = (2.13) có nghiệm kép = , ( ) dạng đa thức bậc Định lý 2.13 Nếu ( ) nghiệm riêng phương trình ( ) = ( − 1) + ( − 2) + ( ) nghiệm riêng phương trình ( ) = ( − 1) + ( − 2) + … ( ) nghiệm riêng phương trình ( ) = ( − 1) + ( − 2) + ( ), ( ), ( ), ( ) = ( )+ ( )+ ⋯+ ( ) nghiệm riêng phương trình ( ) = ( − 1) + ( − 2) + ( ) + ( ) + ⋯ + ( ) Kết luận Việc tìm nghiệm riêng cơng thức truy hồi tuyến tính khơng hệ số bậc làm tương tự tìm nghiệm riêng cơng thức truy hồi tuyến tính khơng hệ số bậc một, hai Xét công thức truy hồi tuyến tính khơng hệ số bậc (2.2), i Nếu ( ) đa thức bậc nghiệm đặc trưng bội công thức (2.2), (2.2) có nghiệm riêng dạng ( )= , + + +⋯+ số , , … , xác định cách ( ) vào (2.2) ii Nếu ( ) = , nghiệm đặc trưng bội (2.2) (2.2) có nghiệm riêng dạng ( )= , 15 xác định cách ( ) vào (2.2) iii Giả sử ( ) = ( ) + ( ) + ⋯ + ( ) Trong trường hợp ta tìm nghiệm riêng ( ) ứng với hàm ( ), = 1, 2, … , Khi nghiệm riêng ( ) có dạng ( ) = ( ) + ( ) + ⋯ + ( ) d Phương pháp tổng quát giải công thức truy hồi phương trình đặc trưng * Cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc ( ) = ( − 1) + ( − 2) + ⋯ + ( − ) Các bước giải sau: Bước Giả sử công thức truy hồi tồn nghiệm dạng ( ) = Tìm phương trình đặc trưng cơng thức truy hồi dạng − − − ⋯− = Bước Tìm nghiệm phương trình đặc trưng Bước Suy nghiệm tổng quát có dạng ( ) = + +⋯+ Bước Từ điều kiện ban đầu, ta thay vào công thức nghiệm tổng quát, giải hệ phương trình để tìm hệ số , , … , Từ ta thu kết * Cơng thức truy hồi tuyến tính khơng hệ số bậc ( ) = ( − 1) + ( − 2) + ⋯ + ( − ) + ( ) Các bước giải sau: Bước Tìm nghiệm tổng quát ℎ( ) cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc tương ứng Bước Tìm nghiệm riêng ( ) cơng thức truy hồi tuyến tính không Bước Suy nghiệm tổng quát công thức truy hồi cần giải: 16 ( ) = ℎ( ) + ( ) Bước Sử dụng điều kiện ban đầu thay vào cơng thức tìm bước 3, ta thu kết Ví dụ 2.3 Giải công thức truy hồi ( ) = ( − 1) + ; (0) = 2.2.3 Giải công thức truy hồi hàm sinh * Phương pháp giải Bước Để tìm dãy số { }, ta xét hàm sinh sinh dãy { } ( )= Bước Dựa vào đặc điểm dãy { } ta tìm ( ) Bước Đồng thức ta thu dãy { } Ví dụ 2.4 Giải cơng thức truy hồi =3 −2 ; = 1, = Ví dụ 2.5 Giải cơng thức truy hồi =− +2 +3 ; = 2, = 2.2.4 Giải cơng thức truy hồi maple Ví dụ 2.6 Giải công thức truy hồi −2 −3 = −1+2 ; = 1, = 0; ≥ Ví dụ 2.7 Giải công thức truy hồi −1 −1 + ; = 0, ≥ = 2.2.5 Tuyến tính hóa cơng thức truy hồi Nội dung phương pháp đưa công thức truy hồi dạng phi tuyến dạng tuyến tính Ví dụ 2.8 Tuyến tính hóa công thức truy hồi +4 = ; = = 2, ∀ ≥ 17 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CÔNG THỨC TRUY HỒI GIẢI TOÁN SƠ CẤP 3.1 ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP 3.1.1 Phương pháp giải Thay đếm trực tiếp ( ) theo u cầu tốn, ta thiết lập cơng thức liên hệ ( ), ( − 1), … để từ tính ( ) Ta thực qua bước sau: Bước 1: Tìm giá trị ban đầu (0) = , (1) = , ( − 1) = Bước 2: Thiết lập công thức truy hồi ( ) = ( − 1) + ( − 2) + ⋯ + ( − ) + ( ), Bước 3: Giải công thức truy hồi với điều kiện ban đầu, từ ta tìm ( ) 3.1.2 Các toán Bài toán 3.1.1 (Bài tốn tháp Hà Nội ) Có ba cọc 1, 2, Ở cọc có đĩa, kích thước khác nhau, xếp chồng lên cho đĩa nằm lớn đĩa nằm Hãy chuyển tất đĩa từ cọc sang cọc với điều kiện lần chuyển đĩa từ cọc sang cọc khác đảm bảo đĩa nằm lớn đĩa nằm Hãy tính số lần di chuyển đĩa Bài toán 3.1.2 (Bài toán lãi suất ngân hàng) Một người có 20000000 đồng Việt Nam, dự định người gửi tiền vào tài khoản tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 5% năm Hỏi số tiền người nhận (cả gốc lẫn lãi) sau 20 năm tiết kiệm? Tổng quát với số năm gửi ( ≥ 1) Bài tốn 3.1.3 Có người ngồi thành hàng ngang vào ghế Hỏi có cách lập hàng cho người mà cách 18 lập, người giữ nguyên vị trí mình, đổi chỗ cho người liền bên trái, đổi chỗ cho người liền bên phải Bài toán 3.1.4 Trên mặt phẳng kẻ đường thẳng cho khơng có đường đồng quy khơng có đường song song Tính số đa giác tạo thành Bài toán 3.1.5 Trong thi đấu thể thao có huy chương, phát ngày thi đấu Ngày thứ nhất, người ta phát huy chương huy chương lại Ngày thứ hai, người ta phát huy chương huy chương lại Những ngày lại tiếp tục tương tự Ngày sau cịn lại huy chương để phát Hỏi có tất huy chương phát ngày? 3.2 ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TỐN VỀ DÃY SỐ 3.2.1 Tìm cơng thức tổng quát dãy số cho công thức truy hồi Bài tốn tìm cơng thức tổng qt dãy số cho công thức truy hồi thực chất tốn giải cơng thức truy hồi a Dãy số cho công thức truy hồi biểu thức tuyến tính Bài tốn 3.2.1 Tìm tất dãy số ( ) thỏa mãn: =3 −5 ( ) dãy tăng b Dãy số cho công thức truy hồi hệ biểu thức tuyến tính Nếu dãy số cho công thức truy hồi hệ biểu thức tuyến tính có dạng: = ; = = + ( , , , , , ∈ R) = + 19 Ta giải sau: Từ phương trình thứ hai hệ, biến đổi ta =( + ) +( − ) ; = , = + Giải công thức truy hồi ta tìm Thay vào hệ ta tìm Bài tốn 3.2.2 Tìm , thỏa mãn: = 2; =0 =2 −3 (3.5) =2 + c Dãy số cho công thức truy hồi biểu thức tuyến tính với hệ số biến thiên Việc giải công thức truy hồi với hệ số biến thiên phức tạp Trong phần này, ta xét số toán giải phương pháp đặt dãy số phụ Bài toán 3.2.3 Cho dãy số ( ) xác định bởi: = ∀ ≥ = mãn: −2 Xác định công thức tổng quát Bài tốn 3.2.4 Tìm cơng thức tổng qt dãy số (u ) thỏa mãn: Bài tốn 3.2.5 Tìm cơng thức tổng quát dãy số ( ) thỏa rằng: Bài tốn 3.2.6 Tìm số hạng tổng qt dãy số ( ) biết = 0, = = 0, =( = > 0, ( ( )( = ) + 1), ∀ ≥ ) ( ( ) ( ) + 1), ∀ ≥ ; ( − 1), ∀ ≥ 2, ∈ N ∗ cho trước d Dãy số cho công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ số 20 Dạng 3.2.1 Tìm số hạng tổng quát dãy số ( = , = + ; ) cho bởi: với ∀ ≥ 2, , , ∈ R∗ , ∈ R Bài tốn 3.2.7 Tìm số hạng tổng quát dãy số ( ) thỏa Bài tốn 3.2.8 Tìm số hạng tổng qt dãy số ( ) thỏa mãn: mãn: = 1, = = 3, = = 0, = , ∀ ≥ ,∀ ≥ Dạng 3.2.2 Tìm số hạng tổng quát dãy số ( )cho bởi: + = , = , ∀ ≥ 1, + , , , , số thực cho trước Bài tốn 3.2.9 Tìm số hạng tổng quát dãy số ( ) thỏa mãn: ( Dạng 3.2.3 Cho ) thỏa mãn: , ∀ ≥ ≥ Tìm cơng thức tổng qt dãy số + (3.13) ,∀ ≥ e Dãy số cho công thức truy hồi dạng khác Bài tốn 3.2.10 Tìm cơng thức tổng qt dãy số ( ) thỏa mãn: với mãn: với = , = = , = + + , ∀ ≥ 2, − = 1, > 0, > Bài tốn 3.2.11 Tìm số hạng tổng qt dãy số ( = , − = 1, = > 0, , ∀ ≥ 2, > ) thỏa 21 Bài tốn 3.2.12 Tìm số hạng tổng qt dãy số ( với = , = , = + , ∀ ≥ 3, ) thỏa mãn: ∈ R; , ∈ R∗ Bài tốn 3.2.13 Tìm số hạng tổng qt dãy số ( ) thỏa mãn: = , = +2 − + (∀ ≥ 3) = + Bài toán 3.2.14 Tìm số hạng tổng quát dãy số ( ) thỏa mãn = 1, = , = (∀ ≥ 3) 3.2.2 Tính tổng dãy số Bài tốn 3.2.15 Tính tổng = + + + ⋯ + − 1, với ∈ N, ≥ Bài tốn 3.2.16 Tính tổng = + + + ⋯ + , với ∈ N, ≥ Bài tốn 3.2.17 Tính tổng = + + + ⋯ + , với ∈ N, ≥ Bài tốn 3.2.18 Tính tổng = 1.2.3 + 2.3.4 + ⋯ + ( + 1) ( + 2), ∈ N, ≥ Bài toán 3.2.19 Cho dãy ( ) thỏa mãn: = ∀ ≥ = 2(2 − 1) +1 Tính tổng 2001 số hạng dãy ( ) 3.3 ỨNG DỤNG TRONG SỐ HỌC Bài toán 3.3.1 Cho dãy số ( ) xác định bởi: = 1, = 2, =2 − + với ≥ Chứng minh rằng: ∀ , số hạng dãy số 22 Bài toán 3.3.2 Cho dãy số ( ) thỏa mãn = 1, = 0, =2 − + 2, ∀ ≥ Chứng minh số phương Bài toán 3.3.3 Cho dãy số ( ) xác định sau: + √3 − − √3 ; = 0, 1, … 2√3 a Chứng minh số nguyên, ∀ = 0, 1, … b Tìm tất số hạng dãy chia hết cho Bài toán 3.3.4 Cho dãy số ( ) thỏa mãn: +1 = 2, = +2 a Tính b Tìm phần ngun tổng sau: = = Bài toán 3.3.5 Cho dãy số ( ) thỏa mãn điều kiện sau: i = 0, = 1, = 0, ii Với ≥ 3, ( − + 7)( − 2) = + ( − + 7) −3 −2 − +3 Chứng minh số phương với ≥ 3.4 ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Việc giải phương trình sai phân thực chất giải công thức truy hồi Bài tốn 3.4.1 Giải phương trình sai phân = 17 = − + + + 23 Bài tốn 3.4.2 Giải phương trình sai phân = 1; =1 −5 + = − + 3.5 ỨNG DỤNG TÍNH TÍCH PHÂN Những tốn tích phân truy hồi bậc THPT thường u cầu biểu diễn tích phân theo cơng thức truy hồi tuyến tính Giải cơng thức truy hồi ta tìm Bài tốn 3.6.1 Cho = Chứng minh Tính cos( ) − 4cos = với = ( ∈ N, − ≥ 3) , = 24 48 Bài tốn 3.6.2 Tính tích phân = cos cos( ) , = ( ∈ N ∗ ) 24 KẾT LUẬN Đề tài: “Ứng dụng cơng thức truy hồi giải tốn sơ cấp” xây dựng lý thuyết công thức truy hồi đưa ứng dụng công thức truy hồi việc giải toán sơ cấp tương đối đầy đủ Đề tài nêu phương pháp giải công thức truy hồi như: phương pháp lặp, phương pháp hàm sinh, dùng phương trình đặc trưng, tuyến tính hóa cơng thức truy hồi phi tuyến sử dụng phần mềm tin học Maple Đề tài nghiên cứu ứng dụng công thức truy hồi giải tốn sơ cấp như: tìm số hạng tổng quát tính tổng dãy số, giải số phương trình sai phân tuyến tính Ứng dụng số toán số học tích phân truy hồi Tuy nhiên, thời gian khả hạn chế nên đề tài chưa nghiên cứu sâu rộng phương pháp khác giải công thức truy hồi Đề tài chưa nghiên cứu ứng dụng công thức truy hồi việc giải toán phức tạp toán tin học Đây chủ đề hay, hướng mở để tiếp tục phát triển ... cơng thức truy hồi giải tốn sơ cấp? ?? xây dựng lý thuyết công thức truy hồi đưa ứng dụng công thức truy hồi việc giải toán sơ cấp tương đối đầy đủ Đề tài nêu phương pháp giải công thức truy hồi. .. tơi định chọn đề tài : ? ?Ứng dụng cơng thức truy hồi giải tốn sơ cấp? ?? để làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng cơng thức truy hồi giải tốn sơ cấp Đối tượng phạm vi... Đồng thức ta thu dãy { } Ví dụ 2.4 Giải cơng thức truy hồi =3 −2 ; = 1, = Ví dụ 2.5 Giải công thức truy hồi =− +2 +3 ; = 2, = 2.2.4 Giải công thức truy hồi maple Ví dụ 2.6 Giải cơng thức truy hồi