Luận văn thạc sĩ toán học một phương pháp quy hoạch lồi giải một lớp bài toán chấp nhận lồi tách

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÀNH TRUNG MỘT PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH LỒI GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI TÁCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯ[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÀNH TRUNG MỘT PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH LỒI GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI TÁCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÀNH TRUNG MỘT PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH LỒI GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI TÁCH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 84 60 112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2018 i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi, hàm lồi 1.2 Toán tử chiếu lên tập lồi đóng 10 1.3 Dưới vi phân hàm lồi 14 Chương Phương pháp quy hoạch lồi giải toán chấp nhận lồi tách 2.1 2.2 21 Bài toán quy hoạch lồi 21 2.1.1 Định nghĩa 21 2.1.2 Điều kiện tồn nghiệm 25 2.1.3 Định lý Karush-kuhn-Tucker 28 2.1.4 Phương pháp chiếu đạo hàm 32 Bài toán chấp nhận lồi tách phương pháp giải 37 2.2.1 Bài toán chấp nhận lồi tách 37 2.2.2 Giới thiệu mơ hình thực tế dẫn tới toán 38 2.2.3 Chuyển toán chấp nhận lồi tách toán quy hoạch lồi 39 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giúp đỡ hướng dẫn tận tình GS.TSKH Lê Dũng Mưu Qua đây, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian làm luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng giáo sư, phó giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng đào tạo, khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018 Học viên Nguyễn Thành Trung Mở đầu Quy hoạch lồi lớp toán tối ưu hóa Một đặc điểm lớp toán điểm cực tiểu địa phương cực tiểu tuyệt đối Tính chất quan trọng cho phép lý thuyết có tính địa phương giới hạn, vi phân, áp dụng trực tiếp vào quy hoạch lồi Lý thuyết toán quy hoạch lồi quan tâm nghiên cứu nhiều thu nhiều kết quan trọng dựa lý thuyết giải tích lồi tối ưu hóa; phương diện tính tốn, có nhiều phương pháp hữu hiệu cho lớp toán Các phương pháp giới thiệu sách Tối ưu lồi (Convex Optimization) tác giả Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe nhà xuất Cambridge University Press in năm 2004 Đề tài luận văn "Một phương pháp quy hoạch lồi giải lớp toán chấp nhận lồi tách" có mục đích giới thiệu lại kiến thức giải tích lồi, tốn quy hoạch lồi Đặc biệt sâu vào chấp nhận lồi tách phương pháp giải Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương "Kiến thức chuẩn bị” giới thiệu kiến thức tập lồi, hàm lồi vi phân hàm lồi Chương "Phương pháp quy hoạch lồi giải toán chấp nhận lồi tách" giới thiệu toán quy hoạch lồi số tính chất Nhắc lại phương pháp chiếu đạo hàm giải toán Cuối tác giả giới thiệu tốn chấp nhận lồi tách phương pháp giải 2 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tác giả giới thiệu kiến thức giải tích lồi, kiến thức tảng cần thiết phục vụ cho việc nghiên cứu giải đề tài Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1] [2] 1.1 Tập lồi, hàm lồi Trước hết ta nhắc lại khái niệm tập lồi Rn khái niệm có liên quan Định nghĩa 1.1 Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi, C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ta nói x tổ hợp lồi điểm (véctơ) x1 , x2 , , xk x= k X j λj x , λj > ∀j = 1, , k, k X λj = j=1 j=1 Tương tự, x tổ hợp affine điểm (véctơ) x1 , , xk x= k X j=1 j λj x , k X λj = j=1 Tập hợp tổ hợp affine x1 , , xk thường gọi bao affine điểm 3 Hình 1.1: (a), (b), (e) - Tập lồi; (c), (d) - Tập không lồi Mệnh đề 1.1 Tập hợp C lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức là: C lồi k k X X k ∀k ∈ N, ∀λ1 , , λk > : λj = 1, ∀x , , x ∈ C ⇒ λj xj ∈ C j=1 j=1 Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần quy nạp theo số điểm Với k = 2, điều cần chứng minh suy từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề với k − điểm Ta cần chứng minh với k điểm Giả sử x tổ hợp lồi k điểm x1 , , xk ∈ C Tức x= k X j λj x , λj > ∀j = 1, , k, j=1 k X λj = j=1 Đặt k−1 X ζ= λj j=1 Khi < ζ < x= k−1 X j k λj x + λk x = ζ j=1 Do j=1 k−1 X λj j=1 k−1 X λj ζ ζ xj + λk xk =1 λj > với j = 1, , k − nên theo giả thiết quy nạp, điểm ζ y := k−1 X λj j=1 ζ xj ∈ C 4 Ta có x = ζy + λk xk Do ζ > 0, λk > ζ + λk = k X λj = 1, j=1 nên x tổ hợp lồi hai điểm y xk thuộc C Vậy x ∈ C Lớp tập lồi đóng với phép giao, phép cộng đại số phép nhân tích Descartes Cụ thể, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.2 Nếu A, B tập lồi Rn , C lồi Rm , tập sau lồi : A ∩ B := {x | x ∈ A, x ∈ B}, λA + βB := {x | αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R}, A × C := {x ∈ Rn+m | x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C} Định nghĩa 1.2 Một điểm a ∈ C gọi điểm tương đối C điểm C theo tô-pô cảm sinh affC (tập affine nhỏ chứa C) Ta ký hiệu tập hợp điểm tương đối C riC Theo định nghĩa ta có: riC := {a ∈ C | ∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C}, B lân cận mở gốc Hiển nhiên riC = {a ∈ affC | ∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C} Tiếp theo ta nhắc khái niệm hàm lồi số khái niệm liên quan Cho C ⊆ Rn tập lồi f : C → R Ta ký hiệu domf := {x ∈ C | f (x) < +∞} Tập dom f gọi miền hữu dụng f Tập epif := {(x, à) C ì R | f (x) ≤ µ} gọi đồ thị hàm f Bằng cách cho f (x) = +∞ x ∈ / C, ta coi f xác định tồn khơng gian hiển nhiên domf = {x ∈ Rn | f (x) < +}, epif = {(x, à) Rn ì R | f (x) ≤ µ} Do làm việc với hàm số nhận giá trị −∞ +∞, nên ta quy ước: Nếu λ = 0, λf (x) = với x Định nghĩa 1.3 Cho ∅ 6= C ⊆ Rn lồi f : C → R Ta nói f hàm lồi C, epif tập lồi Rn+1 Sau ta chủ yếu làm việc với hàm f : Rn → R ∪ {+∞} Trong trường hợp này, dễ thấy định nghĩa tương đương với f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) Hàm f : Rn → R ∪ {+∞} gọi lồi chặt C f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) Hàm f : Rn → R ∪ {+∞} gọi lồi mạnh C với hệ số η > ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) có: f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ)kx − yk2 Dễ kiểm tra rằng, f lồi mạnh C với hệ số η > hàm η h(.) := f (.) − k.k2 lồi C Bằng qui nạp, dễ dàng chứng minh rằng, f nhận giá trị hữu hạn tập lồi C, với số tự nhiên m x1 , , xm ∈ C thoả mãn λ1 ≥ 0, , m P λm ≥ 0, λj = 1, ta có j=1 f m X j=1 ! λj x j ≤ m X j=1 λj f (xj ) (bất đẳng thức Jensen) 6 Hàm f gọi hàm lõm C, −f lồi C Ví dụ 1.1 Cho S := {x ∈ Rn | kxk = 1} mặt cầu h : S → R+ hàm Định nghĩa hàm f sau:    kxk < 1,   f (x) := h(x) kxk = 1,     +∞ kxk > Hàm gọi hàm mặt cầu Dễ thấy f hàm lồi Rn , h hàm không âm mặt cầu S Ví dụ 1.2 Ví dụ hàm lồi, hàm lõm Hình 1.2: (a) - Hàm lồi; (b) - Hàm lõm Dưới điều kiện cần đủ hàm lồi, tiện ích nhiều trường hợp Mệnh đề 1.3 Một hàm f : C → R lồi C ∀x, y ∈ C, ∀α > f (x), ∀β > f (y), ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λα + (1 − λ)β 7 Chứng minh Chứng minh điều kiện cần Giả sử f lồi Chọn x, y, α, β nêu mệnh đề Chọn α0 ∈ (f (x), α) β ∈ (f (y), β) Vậy (x, α0 ) (y, β ) thuộc epif Do epif lồi, nên ((1 − λ)x + λy, (1 − λ)α0 + λβ ) ∈ epif Do f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)α0 + λβ < (1 − λ)α + λβ Chứng minh điều kiện đủ Chọn (x, µ) (y, ν) thuộc epif λ ∈ (0, 1) Thế với  > 0, ta có f (x) < µ + , f (y) < ν +  Do f [(1 − λ)α0 + λβ ] < (1 − λ)(µ + ) + λ(ν + ) = (1 − λ)µ + λν +  Điều với  > 0, nên cho  → 0, ta f [(1 − λ)α0 + λβ ] ≤ (1 − λ)µ + λν Chứng tỏ (1 − λ)(x, µ) + λ(y, ν) ∈ epif Vậy f lồi Dưới định nghĩa khác, tương đương hàm lồi, lồi mạnh, dựa vào khái niệm hệ số lồi Định nghĩa 1.4 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} (không thiết lồi), C ⊆ Rn tập lồi khác rỗng η số thực Ta nói η hệ số lồi f C, với λ ∈ (0, 1), x, y thuộc C, ta có f [(1 − λ)x + λy] ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y) − ηλ(1 − λ)kx − yk2 Hiển nhiên η = f lồi C Nếu f có hệ số lồi C η > 0, f lồi mạnh C với hệ số η Một hàm f gọi thường domf 6= ∅ f (x) > −∞ với x Hàm f gọi đóng, epif tập đóng Rn+1 Như nói trên, f hàm lồi tập lồi C, thác triển f lên tồn khơng gian cách đặt   f (x), x ∈ C, fe (x) :=  +∞, x 6∈ C Hiển nhiên fe (x) = f (x) với x ∈ C fe lồi Rn Hơn fe thường f thường Tương tự fe đóng f đóng Chú ý rằng, f hàm lồi Rn domf tập lồi, domf hình chiếu Rn epif , tức là: domf = {x | ∃µ ∈ R : (x, µ) ∈ epif } Từ định nghĩa tập đồ thị, ta thấy hàm lồi xác định đồ thị Mệnh đề đưới cho thấy lý thực tế người ta thường quan tâm đến hàm lồi thường Mệnh đề 1.4 Giả sử f hàm lồi khơng thường Rn f 6≡ +∞ Khi f (x) = −∞ với x ∈ ri(domf ) Chứng minh Theo định nghĩa hàm thường, domf 6= ∅, tồn x0 cho f (x0 ) = −∞ Giả sử x ∈ ri(domf ) Theo định nghĩa điểm tương đối, tồn y ∈ domf thỏa mãn x = λy + (1 − λ)x0 với λ ∈ (0, 1) Do f lồi f (y) < +∞, nên f (x) ≤ λf (y) + (1 − λ)f (x0 ) = −∞ Theo mệnh đề trên, để tránh làm việc với hàm lồi đồng với −∞ miền tương đối miền hữu dụng, từ sau, khơng nhấn mạnh thêm, nói đến hàm lồi Rn , ta ln hiểu hàm thường, tức khơng đồng với +∞ không nhận giá trị −∞ Mệnh đề 1.5 Nếu f hàm lồi Rn , tập mức Lf (α) := {x | f (x) ≤ α}, lf (α) := {x | f (x) < α} lồi với α ∈ R Chứng minh Trường hợp α = +∞ −∞ hiển nhiên (nhớ tập rỗng lồi) Lấy x, y ∈ lf (α) Tức f (x) < α, f (y) < α Do f lồi, nên theo Mệnh đề 1.3, với λ ∈ (0, 1) ta có: f (λx + (1 − λ)y) < λα + (1 − λ)α = α Vậy λx + (1 − λ)y ∈ lf (α) \ Tập Lf (α) = lf (µ), nên tập lồi µ>α Một lớp hàm lồi quan trọng hàm lồi dương Nhắc lại hàm f gọi dương (bậc 1) Rn f (λx) = λf (x) ∀x ∈ Rn , ∀λ > Một hàm dương không thiết hàm lồi, nhiên ta dễ dàng chứng minh mệnh đề sau: Mệnh đề 1.6 Cho f hàm dương Rn Khi f lồi cộng tính, theo nghĩa f (x + y) ≤ f (x) + f (y) ∀x, y Một hàm dương cộng tính gọi tuyến tính Một ví dụ điển hình hàm tuyến tính hàm chuẩn f (x) = kxk 10 1.2 Toán tử chiếu lên tập lồi đóng Trong mục ta chứng minh tồn tính hình chiếu xuống tập lồi đóng Tiếp đến khảo sát số tính chất tốn tử chiếu Định nghĩa 1.5 Cho ∅ 6= C ⊆ Rn (không thiết lồi) y véctơ bất kỳ, đặt dC (y) := inf kx − yk Ta nói dC (y) khoảng cách từ y đến C Nếu tồn x∈C π ∈ C cho dC (y) = kπ − yk, ta nói π hình chiếu y C Theo định nghĩa,ta thấy hình chiếu  pC (y) y C nghiệm kx − yk2 | x ∈ C Nói cách khác việc tìm hình chiếu tốn tối ưu minx y C đưa việc tìm cực tiểu hàm tồn phương kx − yk2 C Ta ký hiệu π = pC (y), đơn giản p(y) không cần nhấn mạnh đến tập chiếu C Chú ý rằng, C 6= ∅, dC (y) hữu hạn, ≤ dC (y) ≤ ky − xk với x ∈ C Cho C ⊆ Rn , x0 ∈ C Nón pháp tuyến (ngồi) tập C x0 tập hợp NC (x0 ) := {w | wT (x − x0 ) ≤ ∀x ∈ C} Hình 1.3: Hình chiếu vng góc 11 Mệnh đề 1.7 Cho C tập lồi đóng khác rỗng Khi đó: (i) Với y ∈ Rn , π ∈ C hai tính chất sau tương đương: a) π = pC (y), b) y − π ∈ NC (π) (ii) Với y ∈ Rn , hình chiếu pC (y) y C tồn (iii) Nếu y 6∈ C, hpC (y) − y, x − pC (y)i = siêu phẳng tựa C pC (y) tách hẳn y khỏi C, tức hpC (y) − y, x − pC (y)i ≥ 0, ∀x ∈ C, hpC (y) − y, y − pC (y)i < (iv) Ánh xạ y ,→ pC (y) có tính chất sau: a) kpC (x) − pC (y)k ≤ kx − yk ∀x, ∀y, (tính khơng giãn), b) hpC (x) − pC (y), x − yi ≥ kpC (x) − pC (y)k2 , (tính đồng bức) Chứng minh (i) Giả sử có a) Lấy x ∈ C λ ∈ (0, 1) Đặt xλ := λx + (1 − λ)π Do x, π ∈ C C lồi, nên xλ ∈ C Hơn π hình chiếu y, nên kπ − yk ≤ ky − xλ k Hay kπ − yk2 ≤ kλ(x − π) + (π − y)k2 Khai triển vế phải, ước lược chia hai vế cho λ > 0, ta có λkx − πk2 + hx − π, π − yi ≥ Điều với x ∈ C λ ∈ (0, 1) Do cho λ tiến đến 0, ta hπ − y, x − πi ≥ ∀x ∈ C 12 Vậy y − π ∈ NC (π) Bây giả sử có b) Với x ∈ C, có ≥ (y − π)T (x − π) = (y − π)T (x − y + y − π) = ky − πk2 + (y − π)T (x − y) Từ b), dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: ky − πk2 ≤ (y − π)T (y − x) ≤ ky − πkky − xk Suy ky − πk ≤ ky − xk ∀x ∈ C, π = p(y) (ii) Do dC (y) = inf kx − yk, nên theo định nghĩa cận đúng, tồn x∈C dãy {xk } ∈ C cho lim kxk − yk = dC (y) < +∞ k Vậy dãy {xk } bị chặn, có dãy {xkj } hội tụ đến điểm π Do C đóng, nên π ∈ C Vậy kπ − yk = lim kxkj − yk = lim kxk − yk = dC (y) j k Chứng tỏ π hình chiếu y C Bây ta tính hình chiếu Thật vậy, tồn hai điểm π π hình chiếu y C, y − π ∈ NC (π), y − π ∈ NC (π ) Tức π − y, π − π ≥ π − y, π − π ≥ Cộng hai bất đẳng thức ta suy kπ − π k2 ≤ 0, π = π (iii) Do y − π ∈ NC (π), nên hπ − y, x − πi ≥ ∀x ∈ C 13 Vậy hπ − y, xi = hπ − y, πi siêu phẳng tựa C π Siêu phẳng tách y khỏi C y 6= π, nên hπ − y, y − πi = −kπ − yk2 < (iv) Theo phần (ii) ánh xạ x ,→ pC (x) xác định khắp nơi Do z−p(z) ∈ NC (p(z)) với z, nên áp dụng với z = x z = y, ta có hx − p(x), p(y) − p(x)i ≤ hy − p(y), p(x) − p(y)i ≤ Cộng hai bất đẳng thức lại hp(y) − p(x), p(y) − p(x) + x − yi ≤ Từ theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, suy kp(x) − p(y)k ≤ kx − yk Để chứng minh tính đồng bức, áp dụng tính chất b) (i), với p(x) p(y), ta có: hp(x) − x, p(x) − p(y)i ≤ hy − p(y), p(x) − p(y)i ≤ Cộng hai bất đẳng thức ta hp(x) − p(y) + y − x, p(x) − p(y)i = hp(x) − p(y), y − xi + kp(x) − p(y)k2 ≤ Chuyển vế ta có hp(x) − p(y), x − yi ≥ kp(x) − p(y)k2 Đây tính đồng cần chứng minh 14 1.3 Dưới vi phân hàm lồi Định nghĩa 1.6 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} x0 ∈ R cho f (x0 ) < +∞ Nếu với vectơ y ∈ Rn mà giới hạn f (x0 + λy) − f (x0 ) lim λ↓0 λ tồn (hữu hạn hay vô hạn), ta nói f có đạo hàm theo hướng y điểm x0 Ta ký hiệu giới hạn f (x0 , y) Mệnh đề 1.8 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} lồi Khi với x ∈domf y ∈ Rn , ta có: i) ϕ hàm đơn điệu không giảm (0, +∞); f (x, y) tồn với y ∈ Rn f (x, y) := f (x + λy) − f (x) λ ii) Hàm f (x, ) dương bậc Ngoài f (x, ) > −∞ thì: a) Hàm f (x, ) tuyến tính Rn (do hàm lồi thường Rn ) b) −f (x, −y) ≤ f (x, y) ∀y ∈ Rn c) Hàm f (x, ) nhận giá trị hữu hạn F x ∈ridomf , F khơng gian domf Định nghĩa 1.7 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} Ta nói x∗ ∈ Rn đạo hàm f x hx∗ , z − xi + f (x) ≤ f (z), ∀z Tương tự hàm lồi khả vi thông thường, biểu thức có nghĩa phương trình tiếp tuyến nằm đồ thị hàm số Tuy nhiên khác với trường hợp khả vi, tiếp tuyến khơng tồn Ký hiệu tập hợp tất đạo hàm f x ∂f (x) Nói chung 15 tập (có thể rỗng) Rn Khi ∂f (x) 6= ∅, ta nói hàm f khả vi phân x Theo định nghĩa, điểm x∗ ∈ ∂f (x) thỏa mãn hệ vơ hạn bất đẳng thức tuyến tính Như ∂f (x) giao nửa khơng gian đóng Vậy ∂f (x) ln tập lồi đóng (có thể rỗng) Ta ký hiệu dom(∂f ) := {x | ∂f (x) 6= ∅} Ví dụ 1.3 f = δC hàm tập lồi C 6= ∅ Khi với x0 ∈ C, ∂δC (x0 ) = {x∗ | x∗ , x − x0 ≤ δC (x) ∀x} Với x 6∈ C, δC (x) = +∞, nên bất đẳng thức Vậy ∂δC (x0 ) = {x∗ | x∗ , x − x0 ≤ ∀x ∈ C} = NC (x0 ) Vậy vi phân hàm tập lồi C khác rỗng điểm x0 ∈ C nón pháp tuyến ngồi C x0 Mệnh đề cho định nghĩa khác tương đương vi phân Mệnh đề 1.9 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} lồi, thường (i) x∗ ∈ ∂f (x) f (x, y) ≥ hx∗ , yi , ∀y Nếu x ∈ ri(domf ), f (x, y) = sup hx∗ , yi với y x∗ ∈∂f (x) (ii) Nếu f hàm lồi thường Rn , với x ∈ dom(∂f ), ta có f (x) = f¯(x) ∂f (x) = ∂ f¯(x) Chứng minh (i) Theo định nghĩa x∗ ∈ ∂f (x) ⇔ hx∗ , z − xi + f (x) ≤ f (z) ∀z Với y, lấy z = x + λy, λ > 0, ta có hx∗ , λyi + f (x) ≤ f (x + λy) 16 Từ suy hx∗ , yi ≤ f (x + λy) − f (x) ∀λ > λ Theo định nghĩa f (x, y), từ suy hx∗ , yi ≤ f (x, y) ∀y (1.1) Ngược lại giả sử (1.1) thỏa mãn Lấy z áp dụng với (1.1) với y = z − x λ = Ta có f (x + y) − f (x) ≥ f (x, y) = f (x, z − x) ≥ hx∗ , z − xi ∀z Vậy x∗ ∈ ∂f (x) Chú ý f (x, ) hàm lồi, dương, nên hàm non affine f (x, ) tuyến tính, tức có dạng hp, i Vậy hp, i hàm non affine f (x, ) Rn , hp, yi ≤ f (x, y) ∀y Theo Mệnh đề 1.9 ta có p ∈ ∂f (x) Hơn nữa, f (x, ) hàm lồi đóng, nên theo định lý xấp xỉ tập lồi bao hàm non Vậy f (x, y) = sup hp, yi p∈∂f (x) (ii) Cho x ∈ dom(∂f ) x∗ ∈ ∂f (x) Theo định nghĩa f¯, hàm liên hợp x∗ ∈ ∂f (x) ta có: f (x) ≥ f¯(x) = f ∗∗ (x) ≥ hx∗ , xi − f ∗ (x∗ ) = f (x) Từ suy f (x) = f¯(x) Nếu y ∗ ∈ ∂ f¯(x), với z có: f (z) ≥ f¯(z) ≥ f¯(x) + hy ∗ , z − xi = f (x) + hy ∗ , z − xi Suy ∂ f¯(x) ⊆ ∂f (x) Để chứng minh điều ngược lại, lấy z ∈ ri(domf ) Với z ta có   f¯(z) = lim f (1 − t)z + tz t&0 ... tài luận văn "Một phương pháp quy hoạch lồi giải lớp tốn chấp nhận lồi tách" có mục đích giới thiệu lại kiến thức giải tích lồi, toán quy hoạch lồi Đặc biệt sâu vào chấp nhận lồi tách phương pháp. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÀNH TRUNG MỘT PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH LỒI GIẢI MỘT LỚP BÀI TỐN CHẤP NHẬN LỒI TÁCH Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 84 60 112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... lên tập lồi đóng 10 1.3 Dưới vi phân hàm lồi 14 Chương Phương pháp quy hoạch lồi giải toán chấp nhận lồi tách 2.1 2.2 21 Bài toán quy hoạch lồi