Luận văn thạc sĩ tiếp cận một số bài toán hình học sơ cấp bằng hình học xạ ảnh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYEN VĂN SƠN TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC SƠ CẤP BẰNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 Ngưài hưáng dan khoa PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà n®i - 2017 HQC: Mnc lnc M®t so kien thÉc ban cua hình HQC xa anh phang 1.1 Sơ lưoc n®i dung phương pháp cna hình HQC xa anh 1.1.1 M®t so dang hình HQC ban m¾t phang 1.1.2 Phương pháp nghiên cúu hơnh HQC xa anh 1.2 Ánh xa xa anh giua hai dang cap mđt bắc nhat 1.2.1 Ti so kép cna bon phan tu 1.2.2 Ánh xa xa anh giua hàng điem giua chúm đưòng thang 1.2.3 Nghiên cúu ánh xa xa anh giua hai dang cap m®t bắc nhat bang TQA đ Descartes 1.2.4 Phép bien đêi xa anh trờn mđt dang cap mđt, bắc nhat 1.3 Các đường cong bậc hai lớp bậc hai 10 1.3.1 M®t so đành lị ban liên quan đen đưịng cong b¾c hai, lóp hai 10 1.3.2 Ánh xa xa anh giua hai dang cap mđt bắc hai, lúp hai 11 1.4 nh xa xa anh giua hai dang cap hai 15 1.4.1Phép c®ng tuyen giua hai trưịng điem 15 1.4.2 TQA đ® xa anh 15 1.4.3 Bổ sung phan tu ao vào m¾t phang xa anh thnc 17 1.4.4 Phép đoi xa, nguyên tac đoi ngau17 1.4.5 Cnc đoi cnc 18 Ứng dụng hình học xạ ảnh hình học sơ cấp 19 19 2.1 Một số toán chứng minh đồng quy song song, thẳng hàng 2.2 Một số tốn chứng minhđại lượng khơng đổi chứng minh đẳng thức liên quan đến độ dài đoạn thẳng 30 2.3 Bài tốn chứng minh đường thẳng ln qua điểm cố định 42 2.4 Bài tốn quỹ tích hình bao 45 2.5 Một số tốn dựng hình 51 2.6 Mộtsố tính chất Euclide đặc trưng phép biến đổi xạ ảnh eliptic đường thẳng đường tròn 56 2.7 Một số cách tiếp cận mở rộng hình học xạ ảnh 59 2.7.1 Dùng hình học afin để nghiên cứu hình học Euclid 59 2.8 Dùng hình học afin hình học Euclide 68 68 2.8.1Giải số tốn hình học xạ ảnh 2.8.2Phát kiện hình học xạ ảnh 2.9 Mở rộng định lý Steiner định lý Fre'gier Ket lu¾n Tài li¾u tham khao 70 77 83 84 Ma đau Hình học xạ ảnh mơn hình học tổng qt sử dụng cơng cụ tuyến tính Nhiều định lý hình học tiếng nhiều tốn hình học hay trở nên đơn giản góc nhìn hình học xạ ảnh Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh cơng cụ hữu hiệu việc nghiên cứu, giảng dạy bồi dưỡng học sinh khiếu hình học trường phổ thơng Mục đích luận văn trình bày số khái niệm mặt phẳng xạ ảnh ảnh mặt phẳng afin, Euclide đặc biệt ứng dụng hình học xạ ảnh để định hướng cho lời giải sơ cấp tốn hình học Nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương Cơ sở lí thuyết hình học xạ ảnh phẳng Trong chương này, tác giả trình bày tóm lược kiến thức sở mặt phẳng xạ ảnh khái niệm xạ ảnh nghịch đảo, xạ ảnh hai dạng cấp bậc bậc hai, ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp bậc hai Ngoài để khai thác nhiều ứng dụng hình học xạ ảnh, tác giả sử dụng mơ hình xạ ảnh afin, Euclide có bổ sung phần tử vơ tận Chương Ứng dụng hình học xạ ảnh hình học sơ cấp Đây chương luận văn trình bày ứng dụng mặt phẳng xạ ảnh mơ hình mặt phẳng xạ ảnh afin, Euclide vào việc chứng minh số định lý giải tốn hình học sơ cấp thơng qua ví dụ chọn phân loại thành dạng toán khác nhau, mục đề xuất chứng minh tính chất đặc trưng phép biến đổi xạ ảnh eliptic đường thẳng đường trịn Phần cuối chương trình bày mở rộng định lí Steiner, Fre'gier Luận văn hồn thành hướng dẫn, bảo tận tình PGS.TS Vũ Đỗ Long Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy giúp đỡ quý báu Nhân tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy Nguyễn Vũ Lương, Đỗ Thanh Sơn giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả trình thực luận văn Mặc dù thân có cố gắng nhiều q trình thực luận văn khơng thể trách khỏi thiếu sót Rất mong bảo, góp ý quý thầy cô bạn đồng nghiệp Xin chân trọng cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Người viết luận văn: Nguyễn Văn Sơn Chương M®t so kien thÉc ban cua hình HQC xa 1.1 anh phang Sơ lưac n®i dung phương pháp cua hình HQC xa anh Hình HQc xa anh chuyên nghiên cúu tính chat xa anh cna hình, túc tính chat bat bien qua phép chieu xuyên tâm (xem muc 1.2.2), chang han tương quan đong quy, thang hàng, tính chat chia đieu hịa, tính suy bien hay khơng suy bien cna đưịng b¾c hai, Các khái ni¾m đưoc xét đ%nh lí cna hình hQc xa anh đeu nhung khái ni¾m xa anh, chang han điem, đưòng thang, tam giác, tú giác tồn phan, đưịng cong b¾c hai, ti so kép, Trong hình HQc xa anh, ngưịi ta thưịng nghiên cúu nhung ỏnh xa tự mđt hop oi tong (iem, ũng thang, mắt phang) ny sang mđt hop oi tưong khác Các t¾p hop đoi tưong đưoc GQi nhung dang 1.1.1 M®t so dang hình HQC CƠ ban mắt phang Cỏc dang cap mđt bắc nhat Đ%nh nghĩa 1.1.1 Hàng điem thang t¾p hap tat ca điem thu®c m®t đưàng thang Đưàng thang đưac GQI giá cua hàng điem Mői giá có the chúa nhieu hàng điem khác Đ%nh nghĩa 1.1.2 Chùm đưàng thang t¾p hap tat ca đưàng thang m¾t phang qua m®t điem Điem đưac GQi giá (hay tâm) cua chùm Mői giá có the chúa nhieu chùm đưàng thang khác Các dang cap hai Đ%nh nghĩa 1.1.3 Trưàng điem t¾p hap tat ca điem cựng thuđc mđt mắt phng ó cho Mắt phang ny đưac GQI giá cua trưàng M®t giá có the chúa nhieu trưàng điem khác Đ%nh nghĩa 1.1.4 Trưàng đưàng thang t¾p hap tat ca đưàng thang cựng thuđc mđt mắt phng ó cho Mắt phang ny đưac GQI giá cua trưàng M®t giá có the chúa nhieu trưàng đưàng thang khác 1.1.2 Phương pháp nghiên cÉu hình hQC xa anh Đe nghiên cúu hình HQc xa anh, có the dùng nhung khái ni¾m tính chat khơng xa anh cna nhung hình hQc khác (hình HQc afin, hình HQc Euclide, ) làm phương ti¾n hoắc nghiờn cỳu đc lắp Theo cỏch thỳ nhat, ta xem nhung tớnh chat xa anh l mđt bđ phắn lan vào nhung tính chat khác cna hình HQ c afin hình HQc Euclide, sau su dung kien thúc cna nhung hình HQ c đe nghiên cúu, sau cùng, ta the hi¾n ket qua thu đưoc dưói dang xa anh đe đưoc nhung ket qua cna hình HQc xa anh Theo cách thú hai, ta xây dnng hình HQc xa anh thành m®t mơn đ®c l¾p, hồn tồn khơng dùng đen tính chat khơng xa anh làm phương ti¾n Moi cách nói đeu có nhung ưu điem riêng, cách thú nhat tn nhiên (phù hop vói l%ch su phát trien cna hình HQ c) gan gũi vói tốn phő thơng hơn, cịn cách thú hai lai khoa HQ c ti¾n loi Nhung kien thúc đưoc trình bày chương theo đưòng loi thú nhat 1.2 1.2.1 Ánh xa xa anh giEa hai dang cap mđt bắc nhat Ti so kộp cua bon phan tE Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho bon điem A, B, C, D thang hàng đưàng thang ∆ CA Trên ∆ ta CHQn m®t đơn v% dài m®t hưáng dương Ts so giua hai ts so CB DA đưac GQI ts so kép cua bon điem thang hàng A, B, C, D đưac ký hi¾u DB (ABCD) Như v¾y CA DA (ABC) (ABCD) = : = (ABD) CB DB Neu ti so kép (ABCD) = 1−thì ta nói c¾p điem C, D chia đieu hịa c¾p điem A, B Khi ta nói bon điem A, B, C, D lắp thnh mđt hng iem ieu hũa, hay c¾p điem A, B c¾p điem C, D liên hap đieu hòa vái Đ%nh nghĩa 1.2.2 Cho bon đưàng thang a, b, c, d đong quy tai điem O Khi m®t cát tuyen bien thiên, cat chùm bon đưàng thang tai bon điem A, B, C, D có ts so kép khơng đői Ts so kép không đői đưac GQI ts so kép cua chùm bon đưàng thang cho, ký hi¾u (abcd) hay (OA, OB, OC, OD) − ta nói c¾p đưịng thang c, d chia đieu hịa Neu ti so kép (abcd) = c¾p đưịng thang a, b Khi ta nói bon đưịng thang a, b, c, d lắp thnh mđt chựm ieu hũa, hay cắp đưịng thang a, b c¾p đưịng thang c, d liên hap đieu hịa vái Đ%nh lí 1.2.1 Trên mői đưàng chéo cua tú giác toàn phan, hai đsnh đoi di¾n chia đieu hịa hai giao điem cua đưàng chéo vái hai đưàng chéo cịn lai Đ%nh lí 1.2.2 Tai mői điem chéo cua m®t hình bon đsnh tồn phan, hai canh chia đieu hịa hai đưàng thang noi điem chéo vái hai điem chéo cịn lai 1.2.2 Ánh xa xa anh giEa hàng điem giEa chùm đưàng thang Đ%nh nghĩa 1.2.3 Cho hai đưàng thang d, dJ cat tai điem I m®t điem S nam ngồi hai đưàng thang Vái mői điem M thu®c d, ta cho úng vái điem M J thu®c dJ cho S, M, M J thang hàng Tương úng m®t song ánh tù d lên dJ , đưac GQI phép chieu xuyên tâm, vái tâm S, tù d lên dJ Đ%nh nghĩa 1.2.4 Cho hai chùm đưàng thang tâm O OJ m®t đưàng thang s khơng qua O, OJ Vái mői đưàng thang m thu®c chùm (O), ta cho tương úng vái đưàng thang mJ cua chùm (OJ ) cho s, m, mJ đong quy Tương úng m®t song ánh tù chùm (O) lên chùm (OJ ), đưac GQI phép chieu xuyên trnc, vái trnc s, tù chùm (O) lên chùm (OJ ) Đ%nh nghĩa 1.2.5 M®t song ánh giua hai dang cap m®t đưac ánh xa xa anh neu bao tồn ts so kép GQI m®t Theo đ%nh nghĩa phép chieu xuyên tâm phép chieu xuyên truc đeu nhung ánh xa xa anh Phép chieu xuyên tâm phép chieu xuyên truc đưoc gQI chung ánh xa phoi canh Sau m®t so tính chat ban cna ánh xa xa anh ánh xa phoi canh Đ%nh lí 1.2.3 MQI ánh xa xa anh f : ∆ −→ ∆J giua hai đưàng thang ∆, ∆J vái ∆ ƒ= ∆J tích cua hai phép chieu xuyên tâm Đ%nh lí 1.2.3’ MQI ánh xa xa anh f : O −→ OJ giua hai chùm đưàng thang tâm O, OJ vái O =ƒ OJ tích cua hai phép chieu xuyên trnc %nh lớ 1.2.4 ieu kiắn can v u e mđt ánh xa xa anh giua hai đưàng thang phân bi¾t trá thành m®t phép chieu xuyên tâm giao điem cua hai đưàng thang tn úng Đ%nh lí 1.2.4’ ieu kiắn can v u e mđt ỏnh xa xa anh giua hai chùm đưàng thang phân bi¾t trá thành m®t phép chieu xuyên trnc đưàng thang qua hai tâm cua chúng tn úng Đ%nh lí 1.2.5 Cho ba điem phân bi¾t A, B, C bat kỳ đưàng thang ∆ ba điem phân bi¾t AJ , B J , C J bat kỳ ∆J Ton tai nhat ánh xa xa anh f bien A, B, C theo thú tn thành AJ , B J , C J Đ%nh lí 1.2.5’ Cho ba ng thang phõn biắt a, b, c bat k thuđc chùm (O) ba đưàng thang phân bi¾t aJ , bJ , cJ bat kỳ thu®c chùm (OJ ) Ton tai nhat ánh xa xa anh f bien a, b, c theo thú tn thành aJ , bJ , cJ 1.2.3 Quan hệ ánh xa xa anh giEa hai dang cap m®t bậc bang TQA đ® Descartes Trong hình HQc xa anh ngưịi ta thưịng dùng m®t loai TQA đ® riêng, TQa đ® xa anh Trong muc ta se dùng TQA đ® Descartes thơng thưịng làm cơng cu trung gian đe nghiên cúu m®t so tính chat cna ánh xa xa anh giua hai dang cap mđt bắc nhat Tuy nhiờn o õy, ũng thang Euclide đưoc bő sung m®t điem xa vơ tắn m ta gỏn cho honh đ ( hay + cng chi mđt iem xa vụ tắn cna đưịng thang đó) Đ%nh lí 1.2.6 Cho hai điem M, M J lan lưat nam hai trnc ∆, ∆J có hồnh đ® tương úng x, xJ ieu kiắn can v u e cú mđt ỏnh xa xa anh − f : J J ∆ ∆ giua x v x cú mđt liờn hắ nhat bien: → a x+b xJ = , ad − bc ƒ= (1.1) cx + d Tù (1.1) ta se thiet l¾p đ¾c trưng Euclide - đ¾c trưng hình hQc ve lưong theo nghĩa Euclide cna ánh xa xa anh giua hai đưịng thang, tù ta có the v¾n dung đưoc vào m®t lóp tốn hình hQc sơ cap Trưóc het ta đưa đ%nh nghĩa sau ve điem giái han Đ%nh nghĩa 1.2.6 Cho ánh xa xa anh f : ∆− ∆J GQi J J điem cua hàng ∆J , úng vái điem xa vơ t¾n hàng điem ∆→và gQI I điem cua hàng ∆, úng vái điem xa vơ t¾n hàng điem ∆J Hai điem I, J J đưac GQI hai điem giái han H¾ thúc sau the hi¾n đ¾c trưng ve lưong cna ánh xa xa anh giua hai đưịng thang Đ%nh lí 1.2.7 Cho ánh xa xa anh f : ∆−→ ∆J , M M J Neu CHQN J J điem giái han I, J tương úng ∆, ∆ làm goc hồnh đ® ta ln có IM J J M J = const (1.2) Như v¾y mơ hình afin hay mơ hình Euclide cna m¾t phang xa anh, bat bien xa anh (ti so kép) đưoc dien ta bang m®t bat bien ve lưong thơng qua đ® dài cna đoan thang Tù ta có the áp dung vào vi¾c phát hi¾n chúng minh nhung h¾ thúc có dang AM AJ M J l mđt hang so (khi cắp iem M, M J chuyen đ®ng hai đưịng thang đó) Trưịng hop đ¾c bi¾t hai điem giói han I, J J đeu o xa vơ t¾n, hàm nhat bien (1.1) tro thành hàm b¾c nhat a b xJ = x + d d Do neu hai điem M1 (x1 ), M2 (x2 ) có anh tương úng M1J (xJ1), M2J (xJ2 ) ta có a M1JJ = = const (1.3) M2 d M1M Đ%nh lớ 1.2.8 ieu kiắn can v u e mđt ỏnh xa xa anh giua hai đưàng thang trá thành m®t ánh xa đong dang ca hai điem giái han đeu xa vơ t¾n Dna vào đ%nh lí ta có the đe xuat nhung tốn chúng minh mđt hắ thỳc khụng i cú dang (1.3) Tuy nhiờn muon nhung bi toỏn chỳng minh mđt hắ thúc khơng đői có dang (1.3) ho¾c có dang (1.2) ta can cú mđt tiờu chuan nhắn biet mđt ỏnh xa xa anh giua hai hàng điem Đ%nh lí 1.2.9 Neu tù mői điem M cua m®t đưàng thang (hàng điem) ∆, ta xác đ%nh đưac điem M J đưàng thang (hàng điem) ∆J bang nhung phép dnng hình cho i) Giua M M J có m®t liờn hắ mđt oi mđt (ke ca phan tu ao neu có), nói cách J khác là, ánh xa f : ∆ M J m®t song ánh −→ ∆ , M ii) Các đưàng m¾t dùng phép dnng hình đe xác đ%nh c¾p điem tương úng M, M J nhung đưàng m¾t đai so Khi ánh xa f : ∆−→ ∆J , M M J m®t ánh xa xa anh giua hai đưàng thang Các đ%nh lí 1.2.6 1.2.9 đoi vói hai chùm đưịng thang (đoi ngau cna hai hàng điem) Đ%nh lí 1.2.10 Cho hai đưàng thang m, mJ lan lưat thu®c chùm tâm O, OJ có h¾ so góc tương úng k, k J ieu kiắn can v u e cú mđt ỏnh xa xa anh f : O −→ OJ giua k v k J cú mđt liờn hắ nhat bien: kJ = 1.2.4 a k+b , ad − bc ƒ= ck + d Phép bien đoi xa anh mđt dang cap mđt, bắc nhat Phõn loai cỏc phép bien đoi xa anh m®t dang cap m®t, bắc nhat %nh ngha 1.2.7 Mđt ỏnh xa xa anh giua hai hàng giá d (tương úng, giua hai chùm tâm (O)) đưac GQI m®t phép bien đői xa anh (hay bien hình xa anh) cua đưàng thang d (tương úng, cua chùm (O)) Vì hai hàng giá hay hai chùm tâm nên có the xay trưòng hop hai phan tu tương úng trùng Nhung phan tu đưoc gQI nhung phan tu kép (hay phan tu bat đ®ng) Đ%nh nghĩa 1.2.8 Ta GQI m®t phép bien đői xa anh cua đưàng thang (hay cua m®t chùm đưàng thang) thu®c loai hybebolic, parabolic hay eliptic tùy theo có hai, m®t hay khơng có điem (hay đưàng thang) bat đ®ng thnc Trưàng hap phép bien đői xa anh loai eliptic, khơng có phan tu bat đ®ng thnc, ta bao rang có hai điem (hay đưàng thang) ao liờn hap Mđt so tớnh chat ắc trng %nh lí 1.2.11 Trong m®t phép bien đői xa anh loai hybebolic cua đưàng thang, hai điem bat đ®ng vái c¾p điem tương úng tao thành bon điem có ts so kép khơng đői Đ%nh lí 1.2.11’ Trong m®t phép bien đői xa anh loai hybebolic cua m®t chùm đưàng thang, hai đưàng thang bat đ®ng vái hai đưàng thang tương úng tao thành bon đưàng thang có ts so kép khơng đői Đ%nh lí 1.2.12 Đieu ki¾n can đu đe m®t phép bien đői xa anh loai hybebolic m®t đưàng thang trá thành m®t bien đői đong dang m®t hai điem bat đ®ng vụ tắn %nh lớ 1.2.13 Trong mđt phộp bien i xa anh loai eliptic cua đưàng thang ∆ ton tai hai điem đoi xúng qua ∆ cho tù mői điem ln nhìn đoan thang M M J noi c¾p điem tương úng M, M J bat kỳ dưái m®t góc đ%nh hưáng khơng đői tương quan liên thu®c dưói dang xa anh (đưịng trịn ôvan qua hai diem cyclic, hai đưòng thang song song có điem chung o vơ t¾n, trung điem cna đoan thang AB chia đieu hịa điem vơ t¾n cna đưịng thang AB đoi vói c¾p điem (A, B), ) Sau xem điem cyclic ho¾c điem vơ t¾n nhung điem thơng thưịng khác cna m¾t phang xa anh e thu oc mđt %nh lớ hoắc tốn mói cna hình HQ c xa anh Ví dn 2.4.35.(Đ%nh lí Menelaus) Cho tam giác ABC, điem M, N, P lan lưat nam đưàng thang BC, CA, AB không trùng vái đsnh A, B, C Khi M, N, P thang hàng chs (ABP ).(BCM ).(CAN ) = (2.23) Trong ví du 2.3.6 ta chúng minh đ%nh lí Menelaus bang hai cách, bây giị tù đ%nh lí này, bő sung vào m¾t phang afin đưịng thang vơ t¾n ta đưoc m¾t phang xa anh thu đưoc đ%nh lí xa anh tương úng sau: Đ%nh lí xa anh 2.8.1 Cho tam giác ABC ba điem M, N, P lan lưat BC, CA, AB mà không trùng vái A, B, C M®t đưàng thang d khơng qua A, B, C, cat BC, CA, AB lan lưat tai AJ , B J , C J Khi AJ , B J , C J thang hàng chs (ABP C J ).(BCM AJ ).(CAN B J ) = Hình 2.46 Đe chúng minh đ%nh lí ta can bő đe sau: Bo đe 2.8.1 Cho tam giác ABC ba điem M, N, P lan lưat BC, CA, AB mà không trùng vái A, B, C GQI E điem cho khụng thuđc AB, BC, CA A1 = AE ∩ BC, B1 = BE ∩ AC, C1 = CE ∩ AB Khi M, N, P thang hàng chs (ABPC1).(BCMA1).(CANB1) = −1 Bő đe có the đưoc chúng minh bang phương pháp TQA đ® xa anh (cHQn muc tiêu (A, B, C; E)), xem t¾p 4.11 [3, tr 29] Bây giị ta áp dung bő đe đe chúng minh đ%nh lí 2.4.1 J Chúng minh Đ¾t E = BB∩ CC J , A” = AE BC Xét hình bon đinh J tồn phan ABCE ta đưoc (BCA A”) − = Tù áp dung bő đe ta có M, N, P thang hàng chi (ABP C J ).(BCM A”).(CAN B J ) = −1 ⇔ (ABP C J ).(BCM AJ ).(BCAJ A”).(CAN B J ) = −1 ⇔ (ABP C J ).(BCM AJ ).(CAN B J ) = −1 Đ%nh lí đưoc chúng minh xong Bây giị xuat phát tù m®t tốn đơn gian cna hình hQc sơ cap ta se đưa giai tốn xa anh tương úng, tù chúng minh đ%nh lí Droz-Farny bang phương pháp xa anh Ví dn 2.8.36.Cho tam giác ABC m®t điem S Các đưàng thang vng góc vái SA, SB, SC tai A, B, C đong quy chs S nam đưàng trịn (ABC) Khi điem đong quy T đoi xúng vái S qua tâm cua đưàng trịn (ABC) Hình 2.47 Hình 2.48 Trên phương di¾n xa anh, đưịng trịn ôvan qua hai điem cyclic I, J , tù ta có tốn xa anh sau: Bài toán xa anh 2.8.1 Cho năm điem A, B, C, I, J nam đưàng ôvan C S m®t điem GQI Ax đưàng thang chia đieu hịa AS đoi vái c¾p đưàng thang (AI, AJ ), tương tn vái By, Cz Khi Ax, By, Cz đong quy tai m®t điem chs S nam Trong C T trưàng hap điem T làC giao điem cua đưàng thang noi S vái cnc cua đưàng thang IJ (hình 2.48) Lài giai GQi T, U, V lan lưot giao điem cna Ax, By, Cz vói C Gia su S thu®c C, theo gia thiet ta có (AI, AJ, AS, AT ) = (BI, BJ, BS, BU ) = −1 Suy (IJST ) = (IJSU ) = −1 Vì điem I, J, S, T, U nam Ctrên nên tù thúc suy T trùng U Tương tn ta có T trùng V V¾y đưịng thang Ax, By, Cz đong quy tai T nam C Ngưoc lai, gia su đưòng thang Ax, By, Cz đong quy tai T nam C Ta chúng minh S thu®c C GQI S1 , S2 , S3 lan lưot giao điem cna AS,CBS, CS vói , điem I, J, A, B, S1 , T nam nên tù gia thiet ta có (BI, BJ, BS1, BT ) = (AI, AJ, AS1, AT ) = −1 Tương tn (AI, AJ, AS2, AT ) = (BI, BJ, BS2, BT ) = −1 Tù suy S1 trùng S2 Tương tn, S1 S3 trùng Như v¾y đưịng thang AS, BS, CS đong quy tai S1, túc S trùng S1 V¾y S thu®c C Theo nguyên tac đoi ngau, tù ket qua cna toán ta thu đưoc ket qua sau: M¾nh đe 2.8.1 Cho tam giác ABC hai đưàng thang l, lJ cat tai P tiep xúc vái đưàng ôvan GQI X, Y, Z (tương úng X J , Y J , Z J ; C Xd , Yd , Zd ) giao điem cua l (tương úng lJ , d) vái đưàng thang BC, CA, AB GQI XdJ điem chia đieu hịa Xd đoi vái c¾p (X, X J ), tương tn vái YdJ , ZdJ Khi ba điem XdJ , YdJ , ZdJ nam tiep tuyen dJ cua C chs d tiep xúc vái J C Trong trưàng hap giao điem cua d d nam đưàng đoi cnc cua P đoi vái C Bây giò neu xem đưòng thang d đưịng thang vơ t¾n ta có h¾ qua sau: H¾ qua 2.8.1 Các trung điem cua XX J , Y Y J , ZZ J nam đưàng thang dJ chs l, lJ tiep xúc vái parabol (P ) tai M, M J Trong trưàng hap dJ tiep tuyen vái parabol (P ) song song vái M M J Hình 2.49 Đ%nh lí Droz-Farny Tù h¾ qua trên, neu l vng góc vói lJ P trùng vói trnc tâm tam giác ABC ta có đ%nh lí sau: Đ%nh lí 2.8.2 (Đ%nh lí Droz-Farny) Neu hai đưàng thang vng góc đưac ve tù trnc tâm cua m®t tam giác, chan mői canh cua tam giác m®t đoan thang trung điem cua đoan thang thang hàng Chúng minh sơ cap cna đ%nh lí có the xem "A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem", Jean-Louis Ayme, Forum Geometricorum, Volume (2004) 219–224 Ví dn 2.4.37.Chúng minh rang neu m®t hỡnh bỡnh hnh ABCD nđi tiep hoắc ngoai tiep mđt elip hoắc mđt hypebol thỡ tõm cua nú trựng vỏi tõm cua elớp hoắc hypebol ú õy l mđt bi tốn quen thu®c cna tốn phő thơng, có the giai đưoc de dàng bang phương pháp TQA đ® Trong mơ hình afin, Euclide cna m¾t phang xa anh đưịng elíp ho¾c hypebol có tâm O đưoc the hi¾n boi mđt ụvan xa anhCkhụng cat hoắc cat ũng thang vụ t¾n ∆ tai hai điem phân bi¾t O cnc cna ∆ Như v¾y tốn đưoc phát bieu lai o dang xa anh là: Bài toán xa anh 2.8.2 Cho trưác đưàng thang ∆ đưàng ôvanCkhông tiep xúc vái ∆ Chúng minh rang neu m®t hình bon snh ABCD nđi tiep hoắc ngoaiC tiep v cú P ∩ = AB CD, Q∩= AD BC đeu thu®c ∆ O = AC BD cnc cua đưàng∩thang ∆ Hình 2.50 C Lài giai Trưóc het ta xét trưịng hop hình bon đinh ABCD n®i tiep , gQI E = ∩ BD P Q, F = AC P Q, theo tính chat cna hình bon đinh tồn phan ABCD ta có − (BDOE = (CAOF ) = Do O liên hop vóiCE F đoi vói V¾y O cnc cna EF hay O tâm cna (C) Trưịng hop hình bon đinh ABCD ngoai tiep (C), gQI M, N, K, L lan lưot tiep điem cna AB, BC, CD, DA vói (C) Áp dung đ%nh lý Brianchon cho tú giác ABCD ta có AC, BD, NL, MK đong quy tai O M¾t khác de thay P, Q lan lưot cnc cna MK NL Do v¾y O = MK ∩ NL cnc cna PQ Tiep theo ta xét m®t ví du quen thu®c liên quan đen tính chat cna parabol Ví dn 2.8.38.Cho parabol (P ) có tiêu điem F, đưàng chuan ∆ tiep tuyen tai đsnh d, điem M thay đői (P ) a) Chúng minh rang chân đưàng vng góc tù F xuong tiep tuyen vái (P ) tai M nam d b) Gia su MF cat (P ) tai N Chúng minh rang tiep tuyen vái (P ) tai M, N vng góc c) GQI P giao điem cua tiep tuyen tai M, N nói Chúng minh PF ⊥ MN Lài giai a) CHQn hắ truc TQA đ cho phng trỡnh cna parabol y = 2px Phương trình tiep tuyen vói (P ) tai M (x0 , y0 ) yy0 = p(x + x0 ) Phương trình đưịng thang qua F vng góc vói tiep tuyen y0x + py− = Suy hồnh đ® giao điem H cna y0 p p y2 p x0 − đưịng thang tiep tuyen nói xH = 2 p2 + y Tù y02 = 2px0 nên suy xH = 0, túc H thu®c Oy, tiep tuyen tai đinh cna (P ) b) Theo câu hình chieu H, G cna F lên tiep tuyen tai M, N vói (P ) đeu thu®c d nên de thay neu KH,ìLnh l2a.n51:lưot đoi xúng vói F qua tiep tuyen tai M N K, L đeu thu®c ∆ De thay tú giác MKPF , HPGF n®i tiep, tù ta có N^P F + F^P H = P^KF + F^KM = 900 ⊥ Suy PM PN c) Do tú giác MKPF n®i tiep nên PF MN⊥ Bây giị tù tốn sơ cap ta thu đưoc toán xa anh tương úng sau Bài tốn xa anh 2.8.2 Trong m¾t phang xa anh (có bő sung phan tu ao) cho trưác đưàng thang w Côvan tiep xúc vái w tai điem T Trên w lay hai điem ao liên hap, hai tiep tuyen ao liên hap ké tù I, J cat tai F GQi O giao điem Cthú hai cua F T vái d tiep tuyen vái tai O Gia su M m®t điem thay đői , H điem tiep C tuyen t vái tai M cho (HF, HM, HI, HJ ) m®t chùm đưàng thang đieu hịa a) Chúng minh H thu®c d b) Gia su MF cat (S) tai N, gQI P giao điem cua tiep tuyen vái taiC M, N Chúng minh hai chùm đưàng thang (PM, PN, PI, PJ ) (FP, FM, FI, FJ ) = −1 hai chùm đưàng thang đieu hòa Lài giai a) Gia su t cat d tai G, gQI S, M J , GJ lan lưot giao điem cna d, t cna F G vói w Ta se ≡chúng minh G H Trưóc J J tiên ta chúng − minh (M G IJ ) = Theo đ%nh lí Steiner đoi ngau, ta có ánh xa xa anh f : d −→ w, G −→ M J Vì f song ánh nên de thay ánh xa sau ánh xa xa anh g : w −→ w, M J −→ GJ = F G ∩ w Hình 2.52 Ánh xa có hai điem kép I, J có g(S) = T M¾t khác xét tú giác tồn phan IJU V SF (hình ve), ta có (ST IJ 1, −) = J J ta có (M G IJ ) = J Bây giò gia su F H cat d, w lan lưot tai G1 , H Theo chúng minh ta có (GJ M J IJ ) − = M¾t khác theo gia thiet (HF, HM, HI, HJ ) = J J suy (H M − IJ ) = 1, tù suy≡ra GJ H J , ≡ H G1 G b) Vì cnc cna ∆ điem F nam ≡ MN nên cnc cna MN điem P phai nam ∆, đưòng thang co đ%nh Khi P thay đői ∆, xét ánh xa f tuyen C lóp hai , vói f (PM ) = PN , theo đ%nh lí đao cna đ%nh lí Frégier đoi ngau, de thay f m®t phép bien C hình đoi hop có hai tia kép PI, PJ Do (PM, PN, PI, PJ ) = − Theo chúng minh ta có P thu®c ∆, tù P liên hop vói F M đoi vói C nên cnc cna FM Hai đưòng thang FP, FM theo thú tn có cnc Q, P (hình ve), hai điem liên hop đoi vói C nên FP, FM liên hop đoi vói C Tù suy (FP, FM, FI, FJ ) = −1 2.9 Ma r®ng đ%nh lí Steiner v% đ%nh lí Frégier Trong muc 1.2.4, ta đe c¾p đen đ%nh lí Steiner đ%nh lí đoi ngau cna Theo đ%nh lí Steiner, neu m, mJ l mđt cắp ũng thang tng ỳng cna m®t ánh xa xa anh giua hai chùm đưịng thang (A) (B) quy tích giao điem cna chúng l mđt ũng cong bắc hai Van e neu ta thay c¾p điem A, B đ%nh lí boi m®t đưịng cong lóp hai khơng suy bien (cắp iem A, B oc xem l mđt ũng cong lóp hai suy bien) quy tích giao điem cna m, mJ gì? Tương tn, neu ta thay c¾p c¾p đưịng thang a, b đ%nh lí 1.3.1’ boi mđt ũng cong bắc hai khụng suy bien (cắp đưịng thang a, b đưoc xem m®t đưịng cong b¾c hai suy bien) hình bao cna đưịng thang M M J gì? Trưóc tiên ta xét tốn hình HQ c sơ cap sau đây: Bài tốn 2.9.1 M®t góc đ%nh hưáng có đ® lán khơng đői quay quanh điem O co đ%nh m®t đưàng trịn (C, R) co đ%nh Gia su canh cua góc cat (C) tai hai điem M, M J Chúng minh rang hình bao cua đưàng thang M M J m®t đưàng trịn co đ%nh (C J ), đong tâm vái đưàng trịn cho Đây m®t tốn đơn gian cna hình HQ c sơ cap, ta khơng trình bày lịi giai o mà tỡm cỏch the hiắn nđi dung bi toỏn ny mơ hình Euclide cna m¾t phang xa anh đe thu đưoc m®t ket qua cna hình HQc xa anh Trong mơ Euclide cna m¾t phang xa anh, đưịng trịn m®t ơvan C qua hai điem cyclic I, J , theo công thúc Laguerre (xem [7, tr 133]), gia thiet góc (OM, OM J ) khơng đői tương đương vói ti so kép (OM, OM J , OI, OJ ) không đői, hay ti so kép (I, J, M, M J ) khơng đői Đe có đưoc đieu ta có the gia su M, M J m®t cắp iem tng ỳng mđt phộp bien C i xa anh ơvan , có I, J hai iem bat đng Nh vắy tự ket qua cna bi tốn sơ cap ta suy đưoc m¾nh đe sau Hình 2.53 M¾nh đe 2.9.1 Neu M, M J l mđt cắp iem tng ỳng mđt phộp bien đői xa anh f đưàng cong b¾c C hai khơng suy bien hình bao cua đưàng thang M M J m®t đưàng cong Cláp hai J đó, đưàng cong lưãng tiep đưàng cong tai A B, A B hai điem bat C đ®ng (thnc hay ao liên hap) cua f V¾y neu ta thay c¾p đưịng thang a, b bang mđt ũng cong Cbắc hai khụng suy bien thỡ ta thu đưoc ket qua tương tn đ%nh lí 1.3.1’ Trong trưịng hop góc khơng đői tốn sơ cap góc vng hình bao cna đưịng thang M M J tâm C cna đưịng trịn Ve phương di¾n xa anh, phép bien đői xa anh nói m¾nh đe mơt phép bien hình đoi hop hình bao cna đưịng thang M M J chi m®t điem F (đưịng cong lóp hai suy bien đ¾c bi¾t) Ta tìm lai đưoc đ%nh lí Frégier Như v¾y m¾nh đe 2.5.1 m®t ket qua mo r®ng cna đ%nh lí Frégier Dna vào m¾nh đe 2.5.1 ta cịn có the thiet lắp mđt phộp bien i xa anh (iem) trờn mđt đưịng cong b¾c hai khơng suy bienCbang cách sau: Trên C ta cHQN trúc mđt húng i ký hiắu l p, hưóng ngưoc lai đưoc ký J hi¾u n Xột mđt ũng cong bắc lừng tiep vúi tai hai điem A, B C hai Vói moi điemC M , tù M ta ke đưoc hai tiep tuyen M C M J , M M ”∈ vói J J J (M , M ” C ) Ta quy ưóc đ¾t tên M , M ” cho tù M đen M J theo hưóng p cHQN khơng qua M ” Khi tương úng F : , M C −→ C −→ J M m®t phép bien đői xa anh (điem) ơvan có hai điem kép A, C B en õy mđt cõu hoi l neu hai đưịng cong C J khơng lưõng tiep mà hai đưịng cong bat kì tương úng F nói có cịn m®t phép bien đői xa anh Cnua khơng? Câu tra lịi khang đ%nh, the hi¾n qua bő đe sau Bo đe 2.9.1 Cho hai ôvan C J Trên C , ta CHQn trỏc mđt hỏng i, ký hiắu l p, hỏng cịn lai đưac ký hi¾u n Vái mői điem M Ctrên , tù M ta ké đưac hai tiep tuyen M M J , M M ” vái J (M J , M ” ) C ∈ J Ta quy ưác đ¾t tên C M , M ” cho tù M đen M J theo hưáng p CHQN khơng qua M ” Khi tương úng F : C −→ C, M −→ M J m®t phép bien đői xa anh (điem) C Chúng minh GQi d m®t đưịng thang co đ%nh đó, xét tương f : d −→ d, X1 úng −→ X2 Hình 2.54: xác đ%nh sau: vói moi điem X1 d, ta ve SX1 , cat C tai X Tù X ta ve tiep tuyen XX J vói C J , (X J ∈ C) cho X J = F (X) Đ¾t X2 = X J S ∩ d Theo đ%nh lí 1.2.9, ta có f phép bien đői xa anh d Xét ánh xa ngh%ch đao xa anh g : C −→ d, Y −→ Y J = SY ∩ d, ta có g m®t song ánh bao tồn ti so kép GQI M1 , M2 lan lưot giao điem cna d vói M S, M J S Khi ta có g(M ) = M1 , f (M1 ) = M2 , g −1 (M2 ) = M J Vì g, g−1, f đeu nhung song ánh bao toàn ti so kép nên F = g◦−1 f g m®t song ánh bao tồn ti so kộp Vắy F l mđt phộp bien i xa anh đưịng ơvan C Như v¾y theo bő đe 2.5.1, vói hai ơvan C C , J bat kì, ta cú the thiet lắp oc mđt phộp bien i xa anh (điem)Ctrên Trong trưòng hop J suy bien thnh mđt cắp iem trựng thỡ theo %nh lớ Frégier đao, phép bien đői xa anh F nói m®t phép bien hình đoi hop Theo ngun tac đoi ngau ta suy đưoc m¾nh đe sau: J M¾nh đe 2.9.2 Cho hai đưàng ơvanC C Trên , ta CHQN trưác m®t J hưáng đi, vái mői tiep tuyen m ké hai C cua , tù Chai giao điem cua m vái J tiep Ctuyen vái quy ưác đ¾t tên m , m” cho tù M đen J M theo hưáng CHQN khơng qua M ” (vái M, M J , M ” lan lưat tiep điem cua m, mJ , m” vái C) Khi tương úng F : C −→ C, m −→ mJ m®t phép bien đői xa anh (tuyen) C (Hình 2.55) Hình 2.55 Theo m¾nh đe 2.5.2, vói hai ơvanC C, J bat kì, ta có the thiet l¾p đưoc m®t phép bien đői xa anh (tuyen) Trong trũng hop J suy bien thnh C mđt cắp ũng thang trùng theo đ%nh lí Frégier đao, phép bien hình xa anh F nói m®t phép bien hình đoi hop Bây giị ta gia su m, mJ (M, M J ) l mđt cắp ũng thang (cắp iem) tng ỳng mđt phộp bien i xa anh tuyen (điem) C ơvan , the quy tích giao điem cna m, mJ (hình bao cna M M J ) cú l mđt ũng cong bắc (lúp) hai hay khơng? Đây câu hoi mà ta ó ve viắc mo rđng %nh lớ Steiner đ%nh lí đoi ngau cna Câu tra lịi khang đ%nh, cu the ta có đ%nh lí sau đây: Đ%nh lí 2.9.1 (Đ%nh lí Steiner má r®ng) Neu m, mJ l mđt cắp ng thang tng ỳng m®t phép bien đői xa anh (tuyen) đưàng cong láp hai khơng suyC bien quy tích giao iem cua chỳng l mđt ng cong bắc hai J Đ%nh lí 2.9.1’ (Đ%nh lí Frégier má r®ng) Neu M, M J l mđt cắp iem tng ỳng m®t phép bien đői xa anh (điem) đưàng cong b¾c hai khơng suy bien C hình bao cua đưàng thang M M J m®t đưàng cong láp hai C J Hình 2.56 Theo nguyên tac đoi ngau ta chi can chúng minh m®t hai đ%nh lí trên, tù suy đ%nh lí cịn lai Dưói chúng minh cna đ%nh lí 2.5.1’ Chúng minh Gia su f m®t phép bien đői xa anh đưịng cong b¾c hai C J J J J J , điem A, B, C, D, E có anh lan lưot A , B , C , D , E Khi năm đưòng thang AAJ , BB J , CC J , DDJ , EE J xác đ%nh nhat môt đưịng cong C J lóp hai nh¾n chúng làm tiep tuyen TrênCđưịng cong , ta cHQN trưóc m®t hưóng Vói moiCđiem M , ta ke đưoc hai tiep tuyen MCM J , M M ” vói J , M J , M ” ∈ C Ta quy ưóc đ¾t tên M J , M ” cho tù M đen M J theo hưóng cHQN khơng qua M ” Khi ta gQI đoan tiep tuyen M M J hưóng vói hưóng cHQn Xét năm đoan tiep tuyen AAJ , BB J , CC J , DDJ , EE J , theo ngun lí Dirich- let phai có nhat ba đoan tiep tuyen hưóng (ho¾c ngưoc hưóng) vói hưóng cHQN Khơng mat tőng qt, gia su ba đoan tiep tuyen AAJ , BB J , CC J hưóng vói hưóng cHQn Xét ánh xa F : C, C −→ J M− M , xác đ%nh o bő đe 2.5.1 Khi→đó theo bő đe F m®t phép bien đői xa anh (điem) Qua C phép bien đői A, B, C lan lưot bien thành AJ , B J , C J Như v¾y F f có ba c¾p phan tu tương úng Hình 2.57: chung, F = f Bây giị vói MQI điem M bat kì thu®c C , gia su f (M ) = M J , F (M ) = f (M ) = M J , M M J tiep xúc vóiC J (theo cách xác đ%nh cna F ) V¾y hình bao cna đưịng thang M M J đưịng cong lóp hai C J Phan đao lai cna đ%nh lí đưoc suy tù bő đe 2.5.1 o Nh¾n xét 2.9.1 Neu f m®t phép bien hình xa anh đoi hap F = f phép bien hình đoi hap Do theo cách xác đ%nh cua F hình bao cua đưàng thang noi c¾p điem tương úng M, M J m®t đưàng cong láp hai suy bien ắc biắt (mđt cắp iem trựng nhau) Ta tìm lai đưac đ%nh lí Frégier V¾y đ%nh lí 2.5.1’ đ%nh lí má r®ng cua đ%nh lí Frộgier Ket luắn Luắn ó minh HQA mđt so nét ve moi quan h¾ qua lai giua hình HQC xa anh, afin Euclide ứng dụng việc tiếp cận giải tốn hình học sơ cấp thơng qua nhung ví du cu the Qua ta hướng tới lời giải gắn gọn nhìn tốn cách tổng qt Nhung van đe đưoc đe c¾p lu¾n văn chi mói giói han m¾t phang Vì v¾y vi¾c khai thác tiep nhung van đe không gian mđt húng phỏt trien cna luắn Mđt húng nghiờn cúu khác nua dùng hình HQC xa anh đe nghiên cúu hình HQC gia Euclide, phi Euclide ngưoc lai Tài li¾u tham khao [1] Văn Như Cương, Kieu Huy Ln, Hồng TRQNG Thái (1999), Hình HQc 2, NXB Giáo Duc [2] Nguyen Dũng (2007), M®t so láp đa giác phang đ¾c bi¾t (Các đa giác lưãng tâm (lưãng tiep), nua đeu gan đeu), Lu¾n văn thac sĩ khoa hQc, ĐHKHTN, Đai HQc quoc gia Hà Nđi [3] Pham Bỡnh ụ (2002), Bi hỡnh HQc xa anh, NXB Đai HQc sư pham [4] Nguyen Văn M¾u, Nguyen Đăng Phat, Đo Thanh Sơn (2007), Hình HQc m®t so van đe liên quan, NXB Giáo Duc [5] Nguyen Đao Phương, Phan Huy Khai (1994) Tuyen cHQN tốn ve ba đưàng cơnic, NXB Giáo Duc [6] V.V Praxolov (2002), Các tốn ve hình HQc phang, T¾p II, NXB Hai Phịng [7] Nguyen Canh Tồn (1963), Hình HQc xa anh, NXB Giáo Duc [8] Tuyen t¾p 30 năm Tap chí tốn HQc tuői tre, NXB Giáo Duc, 2004 [9] Tap chí tốn HQc tuői tre (2008), Tuyen cHQN theo chuyên đe THTT, quyen 3, NXB Giáo Duc [10] H.S.M Coxeter and S.L Greitzer (1967), Geometry Revisited, The Mathe- matical Association of America, Washington [11] Luigi Cremona (1885), Elements of Projective Geometry, Oxford Press [12] Tài li¾u tù Internet ... Ứng dụng hình học xạ ảnh hình học sơ cấp Đây chương luận văn trình bày ứng dụng mặt phẳng xạ ảnh mơ hình mặt phẳng xạ ảnh afin, Euclide vào việc chứng minh số định lý giải tốn hình học sơ cấp thơng... đau Hình học xạ ảnh mơn hình học tổng qt sử dụng cơng cụ tuyến tính Nhiều định lý hình học tiếng nhiều tốn hình học hay trở nên đơn giản góc nhìn hình học xạ ảnh Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh. .. đổi xạ ảnh eliptic đường thẳng đường tròn 56 2.7 Một số cách tiếp cận mở rộng hình học xạ ảnh 59 2.7.1 Dùng hình học afin để nghiên cứu hình học Euclid 59 2.8 Dùng hình