ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HÀ TRƯỜNG GIANG VỀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT DẠNG (x2 ± C)(y2 ±D) = z4 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG Đ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HÀ TRƯỜNG GIANG VỀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT DẠNG (x2 ± C)(y ± D) = z LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HÀ TRƯỜNG GIANG VỀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT DẠNG (x2 ± C)(y ± D) = z Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS NGƠ VĂN ĐỊNH THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình Diophant dạng ax2 − by = ±2 1.2 1.3 Phương trình Diophant dạng ax2 − by = ±4 Dãy Lehmer số kết liên quan Phương trình Diophant dạng (x2 ± C)(y ± D) = z 13 2.1 Phương trình Diophant dạng (x2 ± 1)(y ± 1) = z 13 2.2 2.3 Phương trình Diophant dạng (x2 ± 4)(y ± 4) = z 21 Phương trình Diophant dạng (x2 ± 2)(y ± 2) = z 26 2.4 2.5 Phương trình Diophant dạng (x2 ± 2)(y ± 1) = z 29 Phương trình Diophant dạng (x2 ± 2)(y ± 4) = z 31 2.6 Phương trình Diophant dạng (x2 ± 4)(y ± 1) = z 35 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tỉ mỉ tận tình thầy giáo TS Ngơ Văn Định Em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Trong trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tác giả nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo khoa Tốn – Tin Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy cô Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, anh chị học viên lớp Cao học Toán K11A trao đổi, động viên khích lệ tác giả q trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả luận văn Hà Trường Giang Mở đầu Số học mơn tốn học có đối tượng nghiên cứu số ngun Khơng có đơn giản quen thuộc số nguyên Ngày nay, với phát triển khoa học công nghệ, đặc biệt cơng nghệ số hóa, địi hỏi người không ngừng nghiên cứu khám phá quy luật, thuật giải cho toán liên quan tới số nguyên Bao hàm mảng số học, giải phương trình nghiệm ngun hay cịn gọi phương trình Diophant Lớp phương trình cịn tồn nhiều tốn, giả thuyết chưa có câu trả lời Nó ln vấn đề thu hút nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu tìm hiểu Chính việc tìm lời giải cho tốn hay chứng minh giả thuyết phương trình Diophant làm nảy sinh nhiều lý thuyết, phương pháp khác Toán học Lớp tốn liên quan tới phương trình Diophant khơng có quy tắc giải tổng quát, có dạng đơn giản Đó nguyên nhân để lớp phương trình thu hút khám phá nghiên cứu nhà Toán học Trong hầu hết kỳ thi quan trọng thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Quốc tế, tốn liên quan đến phương trình Diophant thường xun sử dụng để đánh giá học sinh Do đó, hướng dẫn khoa học TS Ngô Văn Định, chọn hướng đề tài luận văn liên quan tới lớp phương trình Diophant Cụ thể nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình Diophant dạng (x2 ± C)(y ± D) = z , C, D ∈ {±1, ±2, ±4} 2 Với tên đề tài “Về phương trình Diophant dạng (x2 ± C)(y ± D) = z ”, mục đích luận văn trình bày lại số kết nghiên cứu Luca Walsh [6] cơng bố tạp chí Acta Arithmetica năm 2001 số kết Yuan Luo [10] cơng bố tạp chí Acta Arithmetica năm 2010 Công cụ quan trọng chứng minh kết sử dụng kết có nghiệm phương trình Diophant dạng ax2 − by = c, với c ∈ {±1 ± 2, ±4} Nội dung luận văn gồm chương Chương tập trung trình bày số kết chuẩn bị, đặc biệt giới thiệu sơ lược số kết phương trình Diophant dạng ax2 − by = c dùng chứng minh nội dung chương sau Chương trình bày lại kết quan trọng Luca Walsh, Yuan Luo tính chất nghiệm phương trình Diophant dạng (x2 ± C)(y ± D) = z , với C, D ∈ {±1, ±2, ±4} Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả luận văn Hà Trường Giang Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày sơ lược lại số kiến thức chuẩn bị sử dụng chương sau, đặc biệt số kết phương trình Diophant dạng ax2 − by = c, với c ∈ {±2, ±4} 1.1 Phương trình Diophant dạng ax2 − by = ±2 Giả sử a, b số nguyên dương lẻ cho phương trình Diophant: aX − bY = (1.1) có nghiệm nguyên dương (X, Y ) Giả sử (a1 , b1 ) nghiệm nguyên dương bé phương trình (1.1) Đặt √ √ a1 a + b1 b √ α= (1.2) Khi đó, với k số nguyên dương lẻ, ta có: √ √ a + b b a k √ k , αk = (1.3) (ak , bk ) số nguyên dương Đặc biệt người ta tất nghiệm nguyên dương (X, Y ) phương trình (1.1) có dạng (ak , bk ) Với mệnh đề đây, Luca Walsh cho lời giải đầy đủ phương trình Diophant dạng: ax2 − by = (1.4) Mệnh đề 1.1.1 ([6, Định lý 2]) (i) Nếu b1 khơng số phương phương trình (1.4) khơng có nghiệm (ii) Nếu b1 số phương b3 khơng số phương √ (X, Y ) = (a1 , b1 ) nghiệm phương trình (1.4) √ √ (iii) Nếu b1 b3 số phương (X, Y ) = (a1 , b1 ), (a3 , b3 ) nghiệm phương trình (1.4) Sử dụng phương pháp Luca Walsh, Yuan Li [9] chứng minh giả thuyết Akhtari, Togbe Walsh phương trình dạng aX − bY = −2 Cụ thể, ta có mệnh đề sau đây: Mệnh đề 1.1.2 ([9]) Cho số nguyên dương lẻ a, b, phương trình ax2 − by = −2 có nhiều nghiệm nguyên dương nghiệm xây dựng từ nghiệm nhỏ phương trình bậc hai ax2 − by = −2 1.2 Phương trình Diophant dạng ax2 − by = ±4 Giả sử A B số nguyên dương lẻ cho phương trình Diophant: Ax2 − By = (1.5) có nghiệm nguyên dương lẻ x, y Giả sử (a1 , b1 ) nghiệm nguyên dương nhỏ Đặt √ √ √ √ an A + b n B a1 A + b B n =( ) (1.6) 2 Với giả thiết này, Ljunggren chứng minh kết sau phương trình dạng Ax4 − By = cách tính tốn kí hiệu Jacobi dãy Lehmer liên quan Mệnh đề 1.2.1 ([5, Định lý 1]) Phương trình Diophant dạng Ax4 −By = có nhiều hai nghiệm nguyên dương x, y Cụ thể: (i) Nếu a1 = h2 Aa21 − = k phương trình (1.5) có hai nghiệm √ √ x = a1 = h x = a3 = hk (ii) Nếu a1 = h2 Aa21 − 6= k x = phương trình (1.5) √ a1 = h nghiệm (iii) Nếu a1 = 5h2 A2 a41 − 5Aa21 + = 5k phương trình (1.5) có nghiệm √ x = a5 = 5hk Trong trường hợp cịn lại, phương trình (1.5) khơng có nghiệm Đối với phương trình dạng Ax4 − By = −4, ta có mệnh đề sau chứng minh Luo Yuan Mệnh đề 1.2.2 ([7]) (i) Nếu b1 không số phương phương trình: Ax2 − By = (1.7) khơng có ngiệm ngun dương ngoại trừ trường hợp b1 = 3h2 Bb21 +3 = √ 3k , trường hợp y = b3 nghiệm phương trình (1.7) (ii) Nếu b1 số phương phương trình (1.7) có nhiều √ √ nghiệm nguyên dương mà y = b1 Nghiệm xác định y = b3 √ y = b2 , trường hợp sau xảy a1 b1 số phương, A = B 6= 1.3 Dãy Lehmer số kết liên quan Trong phần này, giới thiệu số kết sử dụng chương sau luận văn Đặc biệt, nhắc lại số kết có liên quan đến dãy số Lehmer Trước tiên, ta nhắc lại kết sau Walsh Mệnh đề 1.3.1 ([8, Định lý 2.1.1]) Giả sử D 6= số ngun dương khơng phương với - D (i) Nếu | D có phương trình dạng kx2 − ly = có nghiệm nguyên, (k, l) chạy tất cặp số nguyên cho k > 1, kl = D (ii) Nếu - D có phương trình dạng kx2 − ly = 1, kx2 − ly = có nghiệm nguyên, (k, l) phương trình thứ chạy tất cặp số nguyên cho k > 1, kl = D, (k, l) phương trình sau chạy tất cặp số nguyên thỏa mãn k > 0, kl = D (iii) Nếu - D phương trình Diophant x2 − Dy = có nghiệm nguyên lẻ x y có phương trình dạng kx2 − ly = có nghiệm nguyên, (k, l) chạy tất cặp số nguyên cho k > 1, kl = D Từ Mệnh đề 1.3.1, ta có hệ trực tiếp sau đây: Hệ 1.3.2 ([10, Bổ đề 3.2]) (i) Giả sử k > l số nguyên dương lẻ cho kx2 −ly = 4, - xy có nghiệm nguyên dương Khi phương trình kx2 − ly = có nghiệm nguyên dương (ii) Giả sử D số nguyên dương thỏa mãn x2 − Dy = 4, - xy giải Khi có phương trình dạng kx2 − ly = có nghiệm nguyên, (k, l) chạy tất cặp số nguyên thỏa mãn k > 1, kl = D Giả sử L > M hai số nguyên nguyên tố thỏa mãn √ L − 4M > Gọi α β hai nghiệm tam thức bậc hai x2 − Lx + M Khi dãy Lehmer {Pn } dãy Lehmer liên kết {Qn } định nghĩa n α − βn , n lẻ, α − β Pn = α n − β n , n chẵn, α − β2 ... 2.3 Phương trình Diophant dạng (x2 ± 4)(y ± 4) = z 21 Phương trình Diophant dạng (x2 ± 2)(y ± 2) = z 26 2.4 2.5 Phương trình Diophant dạng (x2 ± 2)(y ± 1) = z 29 Phương trình. .. Phương trình Diophant dạng ax2 − by = ±4 Dãy Lehmer số kết liên quan Phương trình Diophant dạng (x2 ± C)(y ± D) = z 13 2.1 Phương trình Diophant dạng (x2 ± 1)(y ± 1) = z ... phương trình Diophant dạng (x2 ± C)(y ± D) = z , C, D ∈ {±1 , ±2 , ±4 } 2 Với tên đề tài ? ?Về phương trình Diophant dạng (x2 ± C)(y ± D) = z ”, mục đích luận văn trình bày lại số kết nghiên cứu Luca