Đề tài Một số phương pháp lặp cho bài toán điểm bất động nghiên cứu nhằm giới thiệu các phương pháp lặp và phân tích sự hội tụ của chúng cho xấp xỉ điểm bất động trong không gian Banach, không gian Hilbert. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 1
TRUONG ĐẠI HỌC SU PHAM
DOAN TH] HA
MOT SO PHUGNG PHAP LAP
CHO BAI TOAN DIEM BAT DONG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
ĐÀ NẴNG - NĂM 2021
Trang 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỒN THỊ HÀ
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP
CHO BÀI TỐN DIEM BAT DONG
Chuyên h: Tốn giải tích
Mã số: §.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thành Chung
Trang 3Tơi xin cam đoan các kết quả trình bày trong luận văn này là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi và được hồn thành dư: hướng dẫn của
PGS.TS Nguyễn Thành Chung Các kết quả trong luận văn chưa từng
được cơng bồ trong các cơng trình của người khác
Tác giả
Trang 4Trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và cuối cùng là thực hiện,
hồn thành đề tài luận văn thạc sĩ, ngồi sự nỗ lực, cố gắng của bản thân tơi cịn cĩ những nguồn động lực và sự giúp đỡ to lớn từ quý thầy cơ, đồng
nghiệp, gia đình và bạn bè
Lời đầu tiên, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo - PGS.TS Nguyễn Thành Chung đã nhiệt tình, tận tâm giúp đỡ, hướng
dẫn tơi hồn thành tốt luận văn này trong thời gian qua
Tơi cũng xin gửi đến các quý Thầy, Cơ giáo và Ban chủ nhiệm khoa
Tốn, Trường Dại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng lời cảm ơn sâu sắc nhất
vì đã truyền đạt những thức quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi
nhất cho quá trình học tập và nghiên cứu của tơi
Cảm ơn các anh, chị và các bạn trong lớp cao học Tốn giải tích khĩa
K39 đã luơn chia sẻ nhiều kiến thức và kinh ng]
suốt quá trình học tập và nghiên cứu
quý giá cho tơi trong,
Và cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, lãnh đạo Trường THPT Phan Chau Trinh, lãnh đạo tổ chuyên mơn Tốn Trường THPT Phan Châu Trinh - Đà Nẵng đã luơn động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để quá trình học tập và nghiên cứu của tơi được hồn thành tốt đẹp
Toi xin chân thành cảm ơn!
Tác giả
Trang 5Tén dé tai: MOT SO PHUONG PHAP LAP CHO BAI TOAN DIEM BAT
DONG
Ngành: Tốn Giải Tích Khĩa: 39
Họ và tên học viên: ĐỒN THỊ HÀ
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thành Chung Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng
Tĩm tắt:
Những kết quả chính của luận văn:
Đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học “Một số phương pháp lặp cho
bài tốn điểm bắt động” đã đạt được một số kết quả sau đây;
+ Trình bày một số kiến thức chuẩn bị liên quan đến giải tích hàm, các
khơng gian Hilbert, khơng gian Banach, các lớp ánh xạ co, ánh xạ khơng giãn, và các dạng ánh xạ khác liên quan
+ Trình bày một số phương pháp lặp thường gặp khi nghiên cứu điểm bắt
động của các lớp ánh xạ khác nhau, bao gơm phương pháp lặp Picard, phương
pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa Day là những phương pháp lặp cho
chúng ta kết quả về sự hội tụ yếu đến điểm bắt động Ngồi ra, luận văn cũng xét
đến các phương pháp lặp cho kết quả về sự hội tụ mạnh đến điểm bắt động như phương pháp lặp Helpern, phương pháp lặp CQ và phương pháp lặp Browder
Y nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn:
Các kết quả trong luận văn giúp người đọc nắm bắt được những phương
pháp lặp cơ bản trong lí thuyết điểm bất động Từ đĩ cĩ những nghiên cứu phát
triển cho các lớp khơng gian hàm khác nhau cũng như các lớp ánh xạ khác nhau Lun vin la tai liệu tham khảo bổ ích cho các học viên, sinh viên nghiên
cứu về đề tài điểm bất động
Trang 6Name of thesis: Some Iterative Methods for Fixed Point Problems Major: Mathematical analysis
Full name of Master student: DOAN THI HA
Supervisors: Associate Prof Dr NGUYEN THANH CHUNG
Training institution: The University of Danang, University of Education
Summary * The main results of the thesis:
The research topic of the master of science thesis “Some Iterative Methods
for Fixed Point Problems” has achieved the following results:
+ Introduce some preparatory knowledge related to functional analysis,
Hilbert
spaces, Banach spaces, contraction mapping classes, nonexpansive type mappings, and other related types of mapping;
+ Introduce some iterative methods when studying fixed points of different mapping classes, including Picard iteration method, Mann iteration method, Ishikawa iterative method These are iterative methods that give us results of weak convergence to a fixed point In addition, the thesis also considers the iterative methods that give results of strong convergence to fixed points such as the Helpern iterative method, the CQ iterative method and the Browder iterative
method
* The applicability in practice and subsequent research of the thesis:
The results in the thesis help readers grasp the basic iterative methods in fixed point theory Since then, there have been development studies for different
function space classes as well as different mapping classes
The thesis is a useful reference for students and researchers on the topic of
fixed points
Keywords: Fixed point problem, Picard iterative method, Mann iterative
method, Ishikawa iterative method, Helpern iterative method, CQ iterative method, Browder iterative method
Suyervior’s confirmation
Trang 7
1 Li do chon dé tai Xét phương trình phi tuyến
ƒ(œ) =0 << ƒ()++=+© T(z) =+
(véi T(x) = f(x) + x), trong đĩ 7 là một tốn tử xác định trong một tập € của một khơng gian X thích hợp Giá trị « € C sao cho
=Tứ)
được gọi là điểm bất động của ánh xạ 7 Như vậy, việc tìm nghiệm của
một phương trình phi tuyến bất kì cĩ thể đưa về việc tìm điểm bất động
cho một ánh xạ phi tuyến Vấn đề đặt ra là điều kiệ bất động cĩ là duy nhất và phương pháp tìm ra d m bất động, điểm m bất động là gì?
Lí thuyết điểm bất động là một trong những cơng cụ hữu hiệu khi nghiên
cứu các phương trình phi tuyến, cĩ nhiều ứng dụng trong các ngành kỹ: thuật nĩi chung và trong các lĩnh vực tốn học nĩi riêng, như giải bài tốn
tối ưu, giải tích biến phân, phương trình vi phân hay giải tích hàm phi tuyến Do đĩ cĩ nhiều nhà tốn học trong nước và trên thế giới quan
tâm nghiên cứu về lí thuyết điểm bất động Năm 1922, Stefan Banach lần
đầu tiên phát biểu và chứng minh một kết quả về ánh xạ eo trong khong gian mêtric đầy đủ Cụ thể, nếu 7 là một ánh xạ co trong khơng gian
metric day di X, theo nguyên lí ánh xạ co của Banach thì 7 cĩ duy nhất một điểm bất động Các kết quả kinh điển sau đĩ cĩ thể kể ra bao gồm
các kết quả của các nhà tốn học Browder, Schauder, Leray, Ở đĩ, một
trong những điều kiện được nhắc đến là điều kiện compact của miền xác định ánh xạ, điều này đảm bảo cho sự tồn tại của điểm bất động Một vấn đề được nhiều nhà tốn học quan tâm là nếu ánh xạ 7 khơng phải là ánh
Trang 8
giải quyết như thế nào? Từ đĩ lí thuyết điểm bất động được nghiên cứu
và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của tốn học
Chúng ta biết rằng việc tìm được đúng điểm bất động của ánh xạ 7 là
một điều rất khĩ khăn Do đĩ một trong những hướng nghiên cứu của bài
tốn tìm điểm bất động là tìm xấp xỉ (gần đúng) d bat động thơng qua + bài tốn điểm bat động là việc xây dựng một dãy z„ trong miền xác định Œ của ánh xạ 7
các phương pháp lặp Phương pháp lặp để giải qu;
sao cho nĩ hội tụ đến #*, với giá trị ban đầu là zụ Dãy #„ được xác định
bằng cách tính giá trị #„„¡ thơng qua #„ Cĩ nhiều phương pháp lặp được
các nhà tốn học đề xuất để giải quyết bài tốn điểm bất động, chẳng hạn
các phương pháp lặp Picard, Mann, Ishikawa,
Tùy từng cấu trúc bài tốn mà chúng ta cần đề xuất mỗi phương pháp lặp tương ứng Một trong những vấn đề quan trọng khi nghiên cứu phương,
pháp lặp là nghiên cứu sự hội tụ của nĩ, phương pháp lặp tốt hay khơng tốt sẽ cho tốc độ hội tụ nhanh hay chậm Với mong muốn tìm hiểu sâu
hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn
Thanh Chung, tơi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Một số phương pháp lặp
cho bài tốn điểm bất động”
hơn về các phương pháp lặp này, với s
2 Mục tiêu nghiên cứu
Giới thiệu các phương pháp lặp và phân tích sự hội tụ của chúng cho
xấp xỉ điểm bất động trong khơng gian Banach, khơng gian Hilbert
3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu
Một số phương pháp lặp được áp dụng cho bài tốn tìm điểm bất dong
trong khơng gian Banach, khơng gian Hilbert
3.2 Phạm vi nghiên cứu
Một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm, lí thuyết khơng gian Banach,
khơng gian Hilbert Các phương pháp lặp và đánh giá sự hội tụ của chúng,
Trang 9liên quan đến điểm bat dong trong khơng gian Banach, khơng gian Hilbert
và các phương pháp lặp tìm điểm bắt độ
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Đề tài luận văn cĩ giá trị về mặt lí thuyết và ứng dụng
Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bị
m bắt ng và phương pháp lặp cho bài tốn tìm điểm bắt động h cho những ai nghiên cứu về
6 Cấu trúc luận văn
Luận văn cĩ cấu trúc như sau
Lời nĩi đầu
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích hàm
1.2 Tính chất LE và tính chất điểm AF cho tốn tử phi tuyến tính
1.3 Ánh xạ gần Lipschitz
1.4 Ánh xạ k-giả co chặt tiệm cận theo nghĩa suy rộng
Trang 10KIEN THUC CHUAN BI
1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích hàm
Trong mục này, chúng tơi sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất
cơ bản trong giải tích hàm cĩ liên quan đến lí thuyết điểm bất động được sử dụng trong chương sau Các khơng gian được nhắc đến trong phần này
bao gồm: khơng gian metric, khơng gian định chuẩn, khơng gian Banach,
„
khơng giãn, ánh xạ tựa khơng giãn Các kiến thức trong chương này chủ
khơng gian Hilbert và các khái n
n quan như ánh xạ co, ánh xạ yếu tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3j GD Định nghĩa 1.1 Cho X là một tập hợp khác rỗng, hàm đ : X x X —R¿ := [0;+oc) thỏa mãn các điều kiện sau () d(,g) >0, Vz,€ X, d(x,) =0 ® z =1 d(x,y) =d(y,2), Vr,y eX, (iii) d(x, y) > d(z,z) + d(z,w), Vr,.z€ X
được gọi là một metric trên X
Tập X với metric d được gọi là khơng gian metric (X, d)
Trang 11(ii) Mọi dãy hội tụ là đều dãy Cauchy
(iii) Néu day {x,} la day Cauehy uà cĩ day con hgi tu vé x thi {+„} cũng
hoi tu vé x
5 inh nghĩa 1.5 Khong gian metric (X,d) trong dé moi diy Cauchy
đều hội tụ (đến một phần tử thuộc X) được gọi là một khơng gian metric
đầy đủ
Như chúng ta sẽ thấy, tính chất đầy đủ của khơng gian metric đĩng vai
trị rất quan trọng khi nghiên cứu phương trình tốn tử
Vi du 1.3 (i) Khong gian metric X = R véi metric thong thuéng d(x,y)=|e-yl, x, yeX là một khơng gian metrie đầy đủ Tổng quát hơn, khơng gian X = RẺ với metric z » trong đĩ # = (#I,#2, #„), U = (Mi.9a a) € X, là một khơng gian metric đầy đủ
Nếu ta thay tập số thực R bởi tập các số hữu ti Q thì với các metric trên khơng gian metric X khơng đầy đủ
(ii) Khong gian metric X — C|a,b} là khơng gian đầy đủ với metric
d: Xx X>R xác định bởi
d(x, y) = mas |a(t)—y(t)|], ve yeX
nhưng nĩ khơng phải là khơng gian metric day di véi metric
b
du) = [ Irt) =1, zy€X:
Định nghĩa 1.6 Cho khơng gian metric (X, đ) Một tập 4 C X được
gọi là compact néu moi day {x,,} C A déu cĩ một dãy con {z„,} hội tụ đến một điểm z € A
Mệnh đề 1.4 Trong khơng gian metric (X,d) ta luơn cĩ các khẳng
Trang 12(i) Moi tap compact déu la tap dong (ii) Moi tap compact déu bi chin
(iii) Tap con déng ctia mot tap compact là tap compact
Mệnh đề 1.5 (Hausdorff) Trong khong gian metric, tap compact la tập đĩng uà hồn tồn bị chặn Ngược lại, một tập đĩng uà hồn tồn bị chặn trong khơng gian metric đầu đủ thì nĩ là tập compaet
h nghĩa 1.7 Cho hai khơng gian metric (X, dy) và (Y, dy) và ánh xạ 7: X —x Y Ta cĩ các khái niệ
au
(i) Anh xa T goi là liên tục tại điểm zọ € X nếu với moi € > 0, tồn tại
ổ > 0 (phụ thuộc e và zg) sao cho với mọi € X thỏa mãn đx(z,#ụ) < ổ
ta cĩ dy(T+, Tạ) < €
Điều này tương đương với Tz„ —> Tzụ với mọi dãy {z„} C X thỏa
mãn #„ — 2 Anh xa T gọi là liên tục trên X nếu nĩ liên tục tại mọi
điểm zụ € X
(ii) Ánh xạ 7 gọi là liên tục đều trên X nếu với moi € > 0, tồn tại ð >0 (phụ thuộc e) sao cho với mọi x,y € X théa man dy(x,y) < 6 ta
cĩ dy(Tz, Tụ) < c
m8 Định nghĩa 1.8 Giả sử (X, ở) là mot khong gian metric, anh xa T : X + X Ta nĩi điểm z € X là một điểm bất động của ánh xạ 7 nếu Tz = z Tập các điểm bất động của ánh xạ 7 được kí hiệu là Fix(7), tức là
Fix(T) = {x €X: Tr =2}
Từ Định nghĩa 1.8, việc tìm điểm bất động của ánh xạ 7: X —> X
tương đương với việc tìm nghiệm của phương trình tốn tử
Trz — z =0
Định nghĩa 1.9 Giả sử (X, đ) là một khơng gian metric Anh xa T :
X — X được gọi là ánh xạ Lipschitz, nếu tồn tại hằng số k > 0 sao cho
với mọi #, € X ta cĩ
Trang 13Hằng số k trong (1.1) được gọi là hằng số Lipschitz Nếu È € [0, 1), thì
ta nĩi 7: X —> X là một ánh xạ co với hằng số co là k Trong trường hợp
k=l, tức là
d(Tz.Tụ) < d(z.u) Va,yeX (1.2) p3
ta nĩi 7 là ánh xạ khơng giãn trên X Ánh xạ khơng giãn 7 với tập
Eix(T) # Ú gọi là ánh xạ tựa khơng giãn
Gi Nhận xét 1.1 Trong khơng gian metric X, một ánh xạ tựa khơng giãn là một ánh xạ khơng giãn
Một trong những kết quả quan trọng và được sử dụng rộng rãi trong
lí thuyết điểm bất động là nguyên lí ánh xạ co Banach trong khơng gian
metric day đủ, được phát biểu như sau
Mệnh đề 1.6 (Nguyên lí ánh xạ co Banaeh) Giá sử (X, đ) là một khơng gian metric đầu đủ, ánh xạ T : X —> X là một ánh xa co Khi đĩ T cĩ một
điểm bắt động duy nhất, tức là tồn tại duy nhat x* € X sao cho Tx* = 2"
Đối với ánh xạ khơng giãn, kết quả của Mệnh đề 1.6 khơng cịn đúng,
chẳng hạn ánh xạ 7 : R —> R cho bởi 7z = z + 1 là ánh xạ khơng giãn
nhưng khơng cĩ điểm bất động
Định nghĩa 1.10 Giả sử X là một khơng gian tuyến tính trên trường
K Hàm || - || : X > R, théa man các tiên đề
(i) |[a|] > 0, Va eX,
ltzll=0 œz=0,
(i) JIAzll = IAlllx|| À € K, Ve © X,
(iii) |lz + w|| < llz|l+ llv|l Yz,w eX,
được gọi là một chuẩn trên X
Khơng gian tuyến tinh X trên đĩ cĩ thể xác định một chuẩn || - || được
gọi là khơng gian định chuẩn, kí hiệu (X, || : ||) Trong nhiều trường hợp,
Trang 14đến z € X, kí hiệu z„ —> z nếu với mọi z" ta cĩ lim z*(zn) = #*(2)
Mệnh đề 1.9 Khơng gian Banach X là phản zạ khi uà chỉ khi mọi
đâu bị chặn trong X đều cĩ một day con hội tụ yếu uÈ một phần tử của
x
Từ khái niệm hội tụ yếu trong Định nghĩa 1.12, nếu thay sự hội tụ
mạnh bằng sự hội tụ yếu chúng ta cĩ các khái niệm tương ứng như tập
đĩng yếu, tap compact yếu,
Earr0 Mệnh đề 1.10 Trong khơng gian Banach X, mọi tập con Œ đĩng yếu
là đĩng (mạnh) Ngược lại, nếu Œ là một tập con lồi đĩng (mạnh) khác rỗng trong X thà X là một tập đĩng yéu
Định nghĩa 1.13 Giả sử (X, || - ||) là một khơng gian Banach
(i) Ta nĩi X là một khơng gian Banach lồi chặt nếu với moi x,y € X,
x Z ụ thỏa mãn ||z|| = 1, ||y|| = 1 ta đều cĩ ||2‡|| < 1
(ii) Ta nĩi X là một khơng gian Banach lồi đều nếu với mọi > 0, tồn
tai 6(€) > 0 sao cho véi moi x,y € X thỏa mãn ||z|| < 1, |ly|| < 1 và
llz — || > e ta cĩ ||##*|| < 1~ ð
G3 Nhận xét 1.3 Từ Dịnh nghĩa 1.12, mọi khơng gian Banach lồi đều là
lồi chặt Tuy nhiên, điều ngược lại khơng đúng
Định nghĩa 1.14 (xem (4) Một khơng gian Banach X được gọi là thỏa mãn điều kiện Opial nếu với mỗi dãy thực {z„} C X hội tụ yếu đến
một điểm # € X, ta cĩ
lim inf [lx — z|| < đminf le; — yll, Vy Ax eX, (1.4) C6 thé thấy các khơng gian Banach hữu hạn chiều và khơng gian 1”,
1< p< © thỏa mãn điều kiện Opial
r3 Nhận xét 1.4 (¡) Từ Định nghĩa 1.14, ta cĩ nếu X là một khơng gian
Trang 15một điểm z € X và lim inf ||za — g|| < lim inf ||r„ khi đĩ ta cĩ (ii) Biểu thức (1.4) trong Định nghĩa 1.14 cĩ thể thay thế bởi đẳng thức sau
imsup lz, — z|| < limsup |lz, — ||, WyAr eX n-toc n-too (15) p3]
Thật vậy, nếu đẳng thức (1.4) thỏa mãn, tồn tại dãy con {z„,} của dãy
{tq} sao cho
lim sup | lary — #|| = lim ||za, — z|| mm je
< liminf ||x,, — y|| ye
< lim sup ||za — 9|| m->ae
tức là ta cĩ (1.5) Ngược lại, nếu đẳng thức (1.5) thỏa mãn, tồn tại dãy
con {z„,} của dãy {zu} sao cho
Jim inf ||2 — yl] = Jim lam, — yl]
> limsup ||e„„ — #|| pares
> liminf ||z„ — #||
suy ra (1.4) thỏa mãn
Gis) Dinh nghia 1.15 Gia sit H là khơng gian tuyến tính trên # Một ánh xa (.,.):H x H > R thỏa mãn các điều kiện sau
() (,z) >0, Vr€ H,
(,z)=0@z~=0,
(ii) (vy) = (y,2), Va,y € H,
Trang 16được gọi là một tích vơ hướng trên H Cap (H, (.,.)) duge gọi là một khơng gian tích vơ hướng hay khơng gian Unita Gali = Dinh nghia 1.16 Gia sit (H, (.,.)) lA mot khong gian Unita Khi đĩ, ánh xạ ||: ||: H —› R, xác định bởi lIzll= W@.z) xe (16)
là một chuẩn trên #7, gọi là chuẩn sinh bởi tích vơ hướng ( )
Khơng gian Unita (H, ( )) gọi la day dit néu méi day Cauchy trong H
đều hội tụ (theo chuẩn (1.6)) về một điểm của H Khơng gian Unita đầy
đủ được gọi là khơng gian Hilbert
Tit Định nghĩa 1.16, mỗi khơng gian Hilbert cũng là một khơng gian
Banach, nhưng điều ngược lại khơng đúng
Định nghĩa 1.17 Cho H la khong gian Hilbert Day {z„} được gọi
là hội tụ mạnh tới phần tử z € #f, ký hiệu z —> z, nếu ||z„ — z|| —> 0 khi n> co,
Gia) Định nghĩa 1.18 Cho H a khong gian Hilbert Day {z„} được gọi
là hội tụ yếu tới phần tử z € H, ký hiệu z„ —> x, néu (x,y) > (x, y.)
khi n —> so với mọi € H
05 Nhận xét 1.5 Trong khơng gian Hilbert, hội tụ mạnh kéo theo hội
tụ yếu, nhưng điều ngược lại khơng đúng
Mệnh đề 1.11 Nếu day {2,} trong khong gian Hilbert thỏa mãn các điều kiện ||£a|| —> ||#|| tà #„ —> #, thà #„ —> # khi n —> co
Emrd8 Định nghĩa 1.19 Cho C là tập con của khơng gian Hilbert H Khi
đĩ Ở được gọi là
(ï) tập lồi nếu Az + (1 — À)y € Ở với mọi x,y € Œ và mọi À € [0,1] (ii) tap dong néu moi day {z„} C thỏa mãn #„ —> # khi ø + oo, ta
đều cĩ z € Œ
Trang 17lên Œ khi va chỉ khi
(x — Pe(x), Pe(x) —y) 20,Vx € H vay eC (17)
Chứng mình Giả sử Pc là phép chiếu metric tit H len C Khi đĩ với mọi œ€ H,ụ€C từ Định nghĩa 1.20, với mọi £ € (0, 1) ta cĩ
llz — fe(z)| < |lz = w~= (L=#)fe@)|É
Từ đĩ ta cĩ
t
(x — Pe(z), Pe(x) — y) 2 —5lly — Pe(x)|P,
với mọi t € (0,1) Cho t €> 0*, ta nhan duge
(x — Pox), Po(x) — y) 2 0
Ngược lại giả sử rằng,
(x — Pe(x), Po(x) — y) 3 0 với moi x € Hyy EC
Khi đĩ, với mỗi # € H và € , ta cĩ
llz — Fe(z)|Ÿ = œ = Pe(œ).z— + Fe(z))
= &~ Fc(),u~ Fe(+)) + T— Pecx,+ — y) <ll£ = yl? + (y — Pe(a), @ — Po(a) + Po(x) = y)
= ll# 0| + (ụ = Fe(z),# = Pe(z))
< llz = w|Ẻ
Suy ra Fc(z) là phép chiếu từ H lên C o
1.2 Tinh chat LE va tinh chat diém AF đối với tốn tử phi
tuyén tinh
Trong mục này, chúng tơi trình bày một số khái niệm quan trọng liên quan đến lí thuyết điểm bắt động của ánh xạ phi tuyến tính, xem [18]
Định nghĩa 1.21 Cho X là một khơng gian định chuẩn, Œ là một tập con lồi khác rỗng của X, 7: Ở —> Œ là một ánh xạ với Fiz(7) #
và dãy {#„} C Ơ Ta cĩ các khái niệm sau
Trang 18EDYESZ)
LE) đối với ánh xạ 7 nếu giới hạn lim ||z„ — p|| tồn tại Vp € Fiz(T) (D3) Ta nĩi dãy {z„} cĩ tính chất xấp xỉ điểm bắt động (gọi tắt là tính
chất điểm 4F) đối với ánh xạ 7 nếu lim ||z„ — 7z,|| = 0
(D3) Ta nĩi dãy {z„} cĩ tính chất điểm LEAF nếu {z„} cĩ cả hai tính chất (D1) và (D2), tức là {„} cĩ tính chất LE và tính chất điểm AE
Định nghĩa 1.22 Giả sử X là một khơng gian Banach và 7 là một ánh xạ với miền xác định Ø(7) và miền giá trị #(7) trong X Khi đĩ, ánh xạ 7 được gọi là nửa đĩng tại điểm p € R(T) néu với mọi dãy
{z„} C D(T) hội tụ yếu về điểm z € D(T) và {Tz„} hội tụ mạnh về p
ta luơn cĩ Tz = ?
Mệnh đề sau đây là một trong những kết quả quan trọng trong lí thuyết
điểm bất động liên quan đến lớp các ánh xạ khơng giãn
Mệnh đề 1.16 (Nguyên lí nửa đĩng) Cho X là khơng gian Banach thỏa mãn điều kiện Opial Goi Œ là một tập con đĩng yếu khác rỗng của X tàT': Ở — Ở là một ánh xa khơng giãn Khi đĩ ánh zạ I — T là nửa đĩng tại 0
Chứng mình Giả sử rằng {z„} là một dãy trong Ở thỏa mãn z„ — # và {z„} cĩ tính chất điểm AF đối với ánh xạ 7 Giả thiết phản chứng rằng + # T+ Khi đĩ, bởi điều kiện Opial (xem Nhận xét 1.4) ta cĩ
lim sup ||z„ — z|| < lim sup ||#„ — T2|| nyo n—ee
< limsup(llz„ — 7z|| + |Iz„ — T2||) no
< limsup ||z„ — z||, 900
mâu thuẫn Từ đĩ suy ra (1 — T)z = 0 ũ
Một đặc trưng quan trọng của dãy cĩ tính chất điểm AF đối với một
ánh xạ bất kì 7 là mọi giới hạn riêng yếu của nĩ đều là một điểm bất dong
của 7 nếu Ï — 7 là nửa đĩng tại 0
Mệnh đề 1.17 Cho X là một khơng gian Banach thỏa mãn điều kiện
Trang 19ánh xa sao cho (i) Fix(T) #0,
(8) I— TT là nửa đĩng tại 0,
giả thiết rằng dãy {œ„} C Ở sao cho {xu} cĩ tính chất LEAE Khi đĩ,
{z„} hội tụ yếu đến một điểm bắt động nào đĩ của T
Chứng mình Chúng ta sử dụng kí hiệu sau
10u({#„}) = {x : Srp, + + biểu thị giới hạn riêng yếu của {z„}} Vi C la mot tap compact yé
Gia sit x, —> p Do {z„„} C Ở và Ở là tập đĩng yếu nên ta c6 p € C nên {z„} cĩ dãy con {z„,} hội tụ yếu Lại cĩ lim |lz„ — 7z„||— 0 nước và Ï — 7 là nửa đĩng tại 0 nen (I — T)p = 0 va do dé p € Fix(T) Dé kết thúc chứng minh Mệnh đề 1.17 chúng ta sẽ chỉ ra rằng {x,} hoi tụ yếu đến một điểm bất động của ánh xạ T
Tit lap luận trên, chúng ta chỉ cần chỉ ra tập các giới hạn riêng yếu của
đây {#„} là s„({z„}) chỉ chứa đúng một điểm p
That vậy, giả sử rằng tồn tại một dãy con khác {z„¿} # {2n,} ma #„, —` q # p Lập luận tương tự trên suy ra g € C vag € Fix(T) Vi
dãy {z„} cĩ tính chất điểm LEAF nên cĩ tính chất LE, tức là các giới hạn im l|ẽ„ — p|| và lịm ||z„ — g|| tồn tại Mặt khác, khơng gian Banach X thỏa mãn điều kiện Opial nên ta cĩ các đánh giá Tima [atm — pl = jim |lz„, — p|| < Jim [lam ~ a] = Tina lam — all, va
tim, Jen — al] = fim [lan = all < Jim flan, = pl] = Jim |lz» = |,
mau thuẫn Từ đĩ, p = q va {z„} > p Nhut vay, w.({2n}) = {p} tức là
Trang 20“Tiếp theo, chúng ta sẽ nĩi đến các khái niệm về ánh xạ gần Li
một dạng đặc biệt của ánh xạ Lipschitz trong khơng gian Banach đã được
nêu ở phần trước (xem 1.9)
£23 Dinh nghĩa 1.23 (xem (17]) Cho Œ là một tập khác rỗng của khơng
gian Banach X và một dãy cố định {a„} C [0,se) sao cho {a„} —> 0,
n —> œ Một ánh xạ 7 : Œ —> Œ được gọi là gần Lipschitz tương ứng với dãy số {a,} nếu với mỗi n € Đ, 3k„ > 0 sao cho
|”+ — 7"y|| < ks(l|# — 9|| + an), Vary e C (18)
Tập hợp các hằng số k„ thỏa mãn (1.8) được ký hiệu là ;;(T”) và được
gọi là hằng số gần Lipschitz của 7",
@at24 Dinh nghia 1.24 Một anh xa gin Lipschitz T vdi day {(a,,n(T")}
được gọi là
(0) Gần khơng giãn nếu +(7") > 1,Yn €Đ
(ii) Gần khơng giãn tiệm cận nếu n(7") > 1,Yn € Đ và lim 9(T") = 1
Gần k-Lipschitz đều nếu +(7") < k,Yn €Đ (iv) Gần k - co rút đều nếu n(7") < k < 1,Yn €N
Nhận xét 1.6 Một gần tiệm cận khơng giãn với dãy {(a„.1;(7")} là một tiệm cận khơng giãn nếu ø„ = 0,Yn € Đ
La Vidu 1.4 Cho X = R,C = [0,1] và 7 : Ở => Ở là ánh xạ thỏa 1 niu ¢ [0,3 NIK Tx = 5,0 3
Trang 21va T : C => là ánh zạ k-giả co chặt tiệm cận theo nghĩa su rộng tối
day {Yn} Khi đĩ uới mọi #,ụ € Ở tà n € Đ ta cĩ I?+= T?| <1 (lz=vll+ V-£@=»)lz =vlP + = He) (L1) pem Chứng minh Từ (1.16), với mọi #, € Ở ta cĩ lr"z ~7"w|?
< (1+ )|lr = v|Ê + Rlr = T7? ~ (y~ T°/)|Ê +;
(1+ ra)lle—ylP +4 (lle —ull + lle — Tull) ten
<(1+k+qw)lle—ylP
+ k(2llx = ylllT%2 = 7"w||+ IIf°s = 70w) + en
(1= Alli" — T"y|Ẻ —2R||z — v|) I[F"z = 7|
~(1#+k+u)||z — v|? = ey <0 (118) EET
Bất đẳng thức (1.15) là một bất phương trình bậc hai theo biến là
|(T*z — T"w|| với hệ số bậc hai 1 — k > 0 ta cĩ thể suy ra (1.17) In)
Mệnh đề 1.21 Giả sử C la mot tập con khác rỗng của khơng gian
Hilbert H va TT : C + C la dnh xa k-gid co chặt tiệm cận liên tục đều theo
nghĩa suy rộng vdi day {Yn} Giả sử {z„} là một dãy trong C sao cho
|lz„ — z„+4|| 40, |lr„— 7"z¿|[ >0, n => 00
Khi đĩ ta cĩ ||, — Tzạ|| —> 0 khi n —> se
Trang 22Để ý rằng ||z„ — #„¿i|| —> 0, suy ra ||T"e, — Tr, 41] + 0 khi n— 00 Mat khée [late — Ten] < [lan anal] + [ltnea — "nga HT" ns — T"†tz„||+ ||†*?1z„ — Tzạ|| (120) p2) Bởi tính liên tục đều của ánh xạ 7 ta cĩ ]im |Ífz„ = T®z„||= 0 (1.21) Vi ty — T#„, —> Ú và #„ — #u¿¡ —> 0, bởi (1.20) và (1.21) ta cĩ lim ||#„ — Tz„|| = 0 khi n — 00 o
xr7l Nhận xét 1.7 Trong [19j, Sahu và cộng sự đã chứng minh rằng nếu € là một tập khác rỗng của khơng gian Hilbert #f và 7 : Ở —> Œ là một
ánh xạ &-giả co chặt tiệm cận theo nghĩa suy rộng thì 7ƒ — 7 là nửa đĩng tai 0 theo nghĩa, nếu {z„} là một dãy trong Œ sao cho #„ —> # € Œ và
lim sup lim sup ||z„ — T"z„|| = 0
mx n-$0
Trang 23CHƯƠNG 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP THƯỜNG
DUNG TRONG Li THUYET DIEM BAT DONG
Cho C la một tập con của khơng gian X Ánh xạ 7 : Ở —> C, bai toan
tim x € Ở sao cho
Tz =z (2.1)
được gọi là bài tốn tìm điểm bất động đối với ánh xạ 7 Tập hợp các
điểm bất động của ánh xạ 7 được kí hiệu là z(T) Phương pháp lặp để giải quyết bài tốn trên bao gồm việc xây dựng một dãy {z„} trong C hội tụ đến #°, dãy này bắt đầu từ một giá trị zọ € C, các giá trị z„:¡ được
tính thơng qua giá trị #„
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bà ố phương pháp lặp thường
gặp trong lí thuyết tìm điểm bất động, điều kiện tồn tại điểm bất động và
đánh giá sự hội tụ của các phương pháp này
2.1 Phương pháp lặp Picard
Cĩ thể nĩi rằng, phương pháp lặp Picard cho bài tốn điểm bất động (2.1) là một trong những phương pháp lặp cổ điển được nghiên cứu sớm
nhất, xem [16] Trong mục này, chúng ta trình bày phương pháp lặp Picard
dựa trên nguyên lí ánh xạ co Banach và nghiên cứu tính chất điểm AF của
dãy lặp Picard đối với ánh xạ 7 sinh ra nĩ, xem Dinh nghia 1.21
Dinh nghia 2.1 Cho C là một tập con khác rỗng của khơng gian metric (X,d) va anh xa T : C —› Œ Khi đĩ dãy lặp Picard {z„} cho bài tốn (2.1) được xác định bởi cơng thức
mmEC,
bk =Tr, néN (2.2) (pez
Trang 24(i) Dãy lặp Picard {œ„} được cho bdi (3.2) cĩ tính chất điểm AF đối ới ánh xạ T
(ii) Anh 2a T cĩ một điểm bắt động duy nhất hay néi cách khác bài tốn
(2.1) cĩ một nghiệm duy nhất trong C
Chứng minh (ï) Từ cách xác định của dãy {z„} theo cơng thức (2.2) và đo 7 là ánh xạ co nên suy ra
(x2, 2) = dời, Trạ) Š kd(i, zo),
d(x3, x2) = d(Tx2,Tx1) < kd(x2, 21) < K'd(x1, 20) Bằng cách quy nạp ta cĩ
d(an41,2n) <k"d(ay,29) neEN
Vik € (0,1) nén d(xq41,2n) = d(T 2p, 2) + 0 khi n > 00 Tit do ta suy ra {z„} cĩ tính chất điểm AF déi véi T, xem Dinh nghia 1.21
(ii) Trước hết, chúng ta chỉ ra rằng {z„} được xác định như trong cong thức (2.2) la mot day Cauchy That vay, véi m > ? ta cĩ
(Gn; Xm) S A(@n,Xn+1) + Aan41,Ln42) + + A(Xm-1; 2m)
đứa, su)[1 + + RỂ + + nen] 1 < Fd(e1,20)-7 +0 (2.3) Vì k € (0,1) nén lim đ(#„,z„) = 0 từ đĩ ta cĩ {z„} là dãy Cauchy, ne xem Định nghĩa 1.4
Lại cĩ X là một khơng gian metric đầy đủ và Œ là một tập con đĩng,
Trang 25Như chúng ta thấy, Định lí 2.2 chi ra day lap Picard ciia anh xa khong giãn sẽ hội tụ yếu nếu nĩ thỏa mãn tính chất chính quy tiệm cận Trong cơng trình [H4], Mann đã giới thiệu phương pháp giá trị trung bình mà theo đĩ tính chất chính quy tiệm cận cĩ thể được nới lỏng
Định nghĩa 2.3 Giả sử Œ là một tập con lồi của khơng gian tuyến
tính X và ánh xạ 7 : C > C Khi do, day lặp Mann {z„} được xác định bởi nec, {ns = (L=q) tn + OnTIn, nEN 24) za trong đĩ {a„} là một dãy thuộc [0, 1] thỏa mãn các điều kiện thích hợp
Chúng ta biết rằng, đối với ánh xạ liên tục 7, nếu dãy lap Mann hdi tụ thì nĩ phải hội tụ đến một điểm bất động của 7 Nhưng nếu 7 khơng liên
tục thì khơng cĩ gì đảm bảo rằng (ngay cả khi dãy lặp Mamn hội tụ) nĩ sẽ
Trang 26Cĩ thể thấy rằng điểm z = 1 khơng là điểm bất động của ánh xạ 7
Gia sit T : C + Ở là một ánh xạ khơng giãn và Tạ = (L— a)1 + a7 với œ € (0, 1), trong đĩ J là kí hiệu của ánh xạ đồng nhất Nhiều nhà tốn học đã nghiên cứu tính chất điểm AF của dãy lặp Mann {7z} đối với ánh ạ 7 trong trường hợp khơng gian X là lồi đều hoặc lồi chặt Sử dụng, Mệnh đề 1.18(), với T„ :— 7, L„ = 1 va py = 0, voi n € Đ* và một số đánh giá ước lượng thích hợp, Ishikawa [L1] đã thu được kết quả sau đây
cho một khơng gian định chuẩn bất kì
Định lí 2.4 (xem [H]) Giả sử Ở là một tập khác rỗng của khơng gian
định chuẩn X tà T : Ở —> X là một ánh za khơng giãn Với x, € C, xét đấu {xu} như (2.4), trong đĩ {aa} là một dãy số thỏa mãn các điều kiện + (i) 0< a <1,¥n EN, limsupa, <1 va ») n>ee n=1 (ii) {tn} CC
Hon nữa, nếu giả thiết dãy {x,} bi chặn trong khơng gian định chuẩn X thi day {x,} cĩ tính chất điểm AF đối uới ánh xa T
Bây giờ chúng ta cĩ thể áp dụng Mệnh đề 1.17 để thu được kết quả về
sự hội tụ yếu của dãy {z„} xác định bởi cơng thức (2.4) đối với ánh xạ
khơng giãn trong khơng gian Banach Định lí 2.5 Giá
Opial, Œ là một tap loi, compact yéu khác rỗng của X tà T': Ở = Œ là
một ánh xa khơng giãn Với zị € C, xét dãy {z„} cho bởi cơng thức (2.4),
trong đĩ {au} là dãy thỏa mãn các điều kiện sau đây
XX là một khơng gian Banach thỏa mãn điều kiện
0<a„<1, WNEN, limsupay <1, SS, =o
Khi d6, day {x,} h6i tu yếu đến một điểm bắt động của ánh xạ T
Trang 27(3.4) cĩ tính chất điểm AF đối với ánh xạ 7 Áp dụng Mệnh đề 1.17, ta
cĩ dãy {z„} hội tụ yếu đến một điểm bất động của ánh xạ 7 n
Nam 1978, Bose [6] da bat dau nghiên cứu sự xấp xỉ của điểm bất động
của ánh xạ khơng giãn tiệm cận trong một khơng gian Banach lồi đều thỏa
mãn điều kiện Opial Năm 1991, Schu [21] da ching minh ring day lap Mann tương thích với tính chất điểm AF đối với các ánh xạ khơng giãn tiệm cận trong một khơng gian Banach lồi đều
Kết quả sau đây chỉ ra rằng dãy {z„} sinh bởi dãy lặp Mann sửa đổi
tương thích với tính chất điểm AF đối với lớp các ánh xạ gần khơng giãn tiệm cận trong khơng gian định chuẩn tùy ý
Định lí 2.6 Giả sử Ở là một tập con lồi khác rỗng của khơng gian
định chuẩn X tà T: C + C la mét ánh xạ gần khơng giãn tiệm cận tới
đâu {(a„,1(T"))} sao cho
Yay <co va Ÿ (n(T") = 1) < ox
n=l n=l
Giả sử {a„} là một dãy trong (0,1) sao cho 0 < a < a„ <b< 1,Ýn € N Với bất kỳ zị € Ơ, xét {z„} là dãy được xác định bởi quá trình lặp
Trang 28() Vì ánh xạ 7 là liên tục đều và theo (ï) thì ||z„ — 7"z„|| => 0 khi
7ì => % nên ta suy ra |T®'z, — Tz„|| —> 0 Do đĩ, llz„ — Tzu|| < |lru — 7"za|| + ||T®z„ — T"*!z,|| +|IT"?!z„ — Tz„|| —> 0 khi n — % đ
Kết quả mở rộng sau đây mở rộng trực tiếp từ lớp các ánh xạ khơng
giãn cho lớp các ánh xạ gần khơng giãn tiệm cận
Định lí 2.7 Giả sử X là một khơng gian Banach thỏa mãn điều kiện Opial, Ở là một con lồi compact yếu khác rỗng của X uà T : Œ + C la một ánh xa liên tục đều, gần khơng giãn tiệm cận tới dãy {an,n(T"))}
sao cho các điều kiện sau thỏa mãn
(i) Ya < % tà intr") -l)<o
n=l nt
(ii) I—T la nita dong tai 0
Giá sử {z„} là dãy thuộc (0,1) sao cho0 <a<a,<b<1,Vn EN
Với zì € Ở tùy ý, xét dãy {+„} xác định bởi cơng thức (2.5) tà giả thiết
rằng
®ll( — 7)7"z„|| < cv
Khi đĩ {z„} hội tụ yếu đến một điểm bắt động của ánh zạ T
Chứng mình Từ (2.5), ta cĩ
lle.e: — 9|| < (1— a,)||e› — #||+ a,|[T"#, — oll < q— à)|lz, — ø|Í+ aa(l| — vl + an)
Trang 29< an(lts — Tza|| + |[fz„ — Twa||) < (1+ i)||z„ — Tn||,
llz»+: — «|| < (L— an)|l#a — à|| + œs|[fa — 9aÌÌ
<(= an)|lEn — á|| + an(|[Tya — Tza|| + |» — w:||) <= an)|lEn — á|| + an(||be — #a|| + [Tam = Yall) = [lyn — tall + as(1— Ø,)|lg» — Tzn||
= (Bn + @n(1 = Bn))||en — Tzn||
va
Ilens1 — Trn+1I|
S (1 = an)||#u — Tru¿i|| + an|[Tza+i — Tưn|| < Œ an)|lg„ — Tza¿i|| + an|[fz»+a — ||
< — 8n)(lEn — #n‡|[ + |En+a — Tzận||) + aa|lgs+a — «|| <(d~a,)(œ(1 + 8,)|lg„ — Tza|| + |l2n+1 — Ta nill)
+ an||#n+i — tn||-
Vi vay
llz„+i — 7z»+¡||
<(=a)(1 + đu)|l#u — Tzn|| + |ÌEs+i — 2Ì Ì
Trang 30dy = (L— đu) đ, + aubạ
Ta thay
llbal| < az`|[Tz„ = 7z„+i||) + |ÍTfz„ — 7| < a2”|lz»+i — tall + |len — Yall S (1+ 25,)]||2n — Tn suy ra lim sup ||bn|| < d n-¥00 Hon nita véi n € N, ta cĩ DS (Peis = Px) + (Tx; - Ty) ¡=1 (Tees — Trị) + (T5, — Tự) i=l S$ [[Tane1 — Teil] + >? aillT x; — Tyill isd
$||Tens1 — Txi|] + Ư 2a¡/i|le¡ — Tzi||-
Chú ý rằng {||a„||} là một dãy hội tu và {z„} bị chặn Do đĩ dãy Y aid p bi chan Lại cĩ Ð ˆa„ = ae Ấp dụng Mệnh đề 1.7, ta thu iat được (I — T)#„ —> 0 khi n + 00 hay day {z„} cĩ tính chất điểm AF đối với ánh xạ 7 n
z5 Định lí 2.9 (xem [9]) Giả sử X là một khơng gian Banach thỏa mãn
điều kiện Opial, Ở là một tập con lơi, compact yếu khác rỗng của X nà
T:C — C là ánh xạ khơng giãn Với +ị € Ở, xét dãy {z„} bởi cơng thức
(2.7), trong đĩ {a„} và {8„} là hai dãy thỏa mãn các điều kiện sau
Trang 31
(ii) 0S Bn S1,Wn €NĐ tà S8, < 00
n=l
Khi đĩ, dâu {2} h0i tu yêu đến một điểm bat dong ctia énh xa T
Chứng minh Véi v € Fix(T), ta cĩ
| < [len — vl], VR EN
|lzn+i —
Từ đĩ ta cĩ giới hạn lim ||z„ — ø|| tồn tại Từ Định lí 2.8 ta cĩ dãy
{z„} cĩ tính chất điểm AE đối với ánh xạ 7
“Theo Mệnh đề 1.16, ánh xạ Ï — 7 là nửa đĩng tại 0 Áp dụng Mệnh đè
1.17, suy ra day {z„} hội tụ yếu đến một điểm bất động của 7 n
Nhận xét 2.2 Từ chứng minh của Định lí 2.9 cĩ thể thấy rằng Dinh
lí 2.5 là một hệ quả của Định lí 2.9 khi đ„ = Ú với mọi n
2.4 Phương pháp lặp Helpern
Như chúng ta thấy, các dãy lặp cho bởi các cơng thức (2.2), (2.4) và
(2.7) nĩi chung chỉ hội tụ yếu Năm 1967, Helpern [10} đã đề xuất một
phương pháp lặp để tìm điểm bất động của ánh xạ khơng giãn, ở đĩ dãy
nghiệm xắp xỉ hội tụ mạnh đến nghiệm chính xác
Định nghĩa 2.5 Giả sử Œ là một tập con lồi khác rỗng của khơng gian
tuyến tính X và ánh xạ 7 : C —> Œ Giả sử w € Œ và dãy {a„} C |0, 1]
cho trước Khi đĩ, dãy {z„} trong Œ được xác định bởi cơng thức ay €C, {Rs =Onu+(1—a,)T2,, Vn €N (28) p2 được gọi là một dãy lặp Helpern
Liên quan đến nghiệm số của bài tốn điểm bất động của ánh xạ khơng giãn, Helpern đã chứng minh được kết quả sau
Trang 32) Ym =, n=0 () hoặc lim supø„ < 0 hoặc Ÿ ˆ |x„ø„| < % nos n=0
Khi đĩ ta cĩ {an} ạ hội tu vê 0
Chứng mình Với mọi e > 0, lấy N là số nguyên đủ lớn sao cho ơy < €, với n > A', Từ điều kiện (¡), ta cĩ 1Ĩ@- +») n=1 Sử dụng (1.12) và bằng phương pháp quy nap, véi n > N ta cé ns < (đ‹ - ») ay + ( -1Ia -»)) < k=A k=N Từ đĩ, bởi điều kiện () suy ra limsup œ„ < 2 Do {an} 1a một dãy na
các số thực khơng âm nên ta cĩ lim a„ =0 n-#90 o
Trang 33IITzall < lleal| neEN, suy ra dây {7z„} bị chặn trong #1 Từ (2.10) ta cĩ
Want — zal|
= ||fcla, + (L— a)Tz,] = Pola,- + (L— a~)7za- |
s| \a,+ Œ— a,)z, — [010 + (1 = On-1)Py-||
= |[len = nada + (I= an)Paty = (= On) Ppa + Tat = Trp + On AT Ly — OT Ly | < (1—an)||Tz„ — Tz„—x|| + |a» — œn~i|(I|e|| + |ITza~l|) “==[(lull+ lffzu~l)- <(1~ an)|l#„ — -1l| + Om Ta thấy dãy {||u|| + |ÍTz„_+||} bi chan Ap dụng Mệnh đề 2.1 ta cĩ llz„¿¡ — z„Í|| —> 0 khi n > oo Bước 3: Chứng minh day {z„} cĩ tính chất điểm AF đối với ánh xạ 7 Ta cĩ
|lz„ — Tza|| < lan — neil] + [lens — Tl]
= lÌ#a — #z+ll + |ÍPe[a„w + (L— a»)Tz„] — Pe(T,)|| Ấ ll#» — #s+i|| + |[a»w + (L— a„)Tz„ — Tz,|| = lÌ#a — #»+l| + aa||[u — Tz„|| + 0 khi n > 00 Bước 4: Chứng mình limsup(#„ — ) < 0 nae Giả sử đãy {z„„} là một dãy con của dãy {z„} sao cho lim (a, — Z,u — 8) limsup(„ — Z,ư — no mm
Vì dãy {z„} bị chặn, khong mit tính tổng quát ta cĩ thể giả thiết rằng,
Trang 34Bước 5: Chứng mình x, + F khi n —> 00 Dat yy = a,u+ (1 — anu)T an Chi § ring {241 = Po(Yn)- Tit (2.9) ta cĩ llru+i — Z|l = (Yn —.n+i — 3) + (Pe(Wn) — ái Pe(Wa) — < (0n —,#m+i — 3) = On(u— F, tng1 — ®)+
+ (1 = ay) tq — (1 = On) TE, 2041 — F)
San (u — F241 — F) + (1 an)|lg„ — #|| l|£a++ — #|| 1-a, 7 ~ ~ <4 (ll — FIP? + [letnsr — FIP) + an(u — F241 — 2) Do đĩ ta cĩ ike Z|?< la, 2a, mt Ta, 1+a„ = (1 = w)llen — FP + anda, llz„ — #| + (u— 2, m+i — 3) trong đĩ ma" "14a, Ấp dụng Mệnh đề 2.1 ta cĩ ||z„¿¡ — #|| —> 0 khi n —> oe, tức là #„ —> # khi n — % a 2.5 Phương pháp lặp CQ
Như đã biết, phương pháp lặp Mann sửa đổi nĩi chung khơng hội tụ mạnh Trong mục 3.4, chúng ta đã biết phương pháp lặp Helpern cho ánh xa khơng giãn xác định trong khơng gian Hilbert sẽ hội tụ mạnh Trong, mục này, chúng tơi sẽ trình bày việc xắp xỉ điểm bắt động của ánh xạ liên
tục đều và &-giả co chặt tiệm cận theo nghĩa suy rộng trong khơng gian Hilbert, gọi là phương pháp lặp CQ Chúng tơi cũng đặc biệt quan tâm
đến vai trị của tính chất điểm LEAF đối với phương pháp lặp CQ
Định lí 2.12 (xem [19)) Giả sử Ơ là một tập con lồi đĩng khác rỗng
của khơng gian Hilbert thực H nà T : => Ở là một ánh zạ liên tục đều
Trang 35
S |ltn = p| + as(E = (1= an))|le„ = Ten? + Cn + Ân < llEs — BH + eu + +,A„
Do đĩ p € Cụ
Bude 3: Ching minh Fiax(T) C Cr Qn, Yn € N
Theo Buée 2, Fix(G) C Œ, với moi n € Đ Ta chứng minh Fix(T) C Q¿ với mọi n € Đ bằng phương pháp quy nap Với n = 1 ta cĩ Fix(T) CC =Q Giả sử rằng Fix(T) C Qn Vì z„+¡ là hình chiếu của œ trên tập hợp Ca f1 Q„ nên theo định nghĩa Qn ta cé (@n¢1 — 2,U—2ny1) 20, Vz €CrAQn-
Vi Fix(T) CC, Q, nén Vz € Fix(T) theo dinh nghia ta c6é
Quer = {2 EC: (tng — 2,0 — Tn41) 2 O}-
Từ đĩ Fiz(T) C Q„¿¡ Theo quy nạp ta c6 Fix(T) C Qu, Wn EN
Bước 4: Chứng mình ||z„ — #„+\|| => 0 khi n > oo
“Theo cách xác định của Q„ ta cĩ #„ = PQ„(u) và |lu — zs|| < ||u — || Yy € Piz(7) c Qu
Trang 36Sử dụng Mệnh đề 1.12 ta cĩ được điều sau đây |les+i — 2nl|? = |[Es+i — ở — (ea — w)|lP
= llgseil + |latm — | — 2@#»¿i — #a, #u — 9)
< llz»sillÊ + |len — ull? + 0, khi n — 00
Bước õ: Chứng mình {z„} cĩ tính chất điểm AE đối với ánh xạ 7
“Theo cách xác định của g„ ta cĩ
|lz„ — 7"zz|| = a¿ '|lz» — wn||
< ap (lu — #u+a|| + |l»‡a — 9a|Ì)
<8 (|| — #a+al| + |Es+i — ||) (212) Vì #uyi € Ca, theo Bước 4 và (2.11) ta cĩ
lly — tnsall? S [lat — tnsall? + en + Indu 0, từ đĩ suy ra |lza — T”"z„|| — 0 khi ø —> œ (2.13) p2: Kết hợp (2.13) với Mệnh đề 1.21 ta được ||z„ — 7z„|| => 0 khi n => Bước 6: Chứng mình z„ — 0 € Fix(T)
Vi H la khong gian phản xạ và {z„} bị chặn nên ta cĩ tập hợp +#„({#„})
khác rỗng Đầu tiên, ta chỉ ra rằng œ„({z„}) là đơn tử
Gia sit ring {x,,} là một dãy con của dãy {#„} sao cho #„, —` 0 € Theo Bước 4, ||#„—7z„|| — 0 và 7 là liên tục đều ta cĩ ||£„—7”"z„|| —> 0,
Vm € Đ Bởi Nhận xét 1.7, ø € „({z„}) C Pz(T) “Từ #„+i = Peuno,(0) ta cĩ
||u— ansal] < [lu — Prizcr)(w)||,¥n EN
Ta thay ring u— 2», —> w — ø Bởi tính nửa liên tục yếu của chuẩn trong khơng gian Hilbert ta cĩ
llu — Pzzz(x;(w)|| < |lu — ul]
< liminf ||u — z».|| er
Trang 37S ||u— Priser)(u)ll,
|lu — Pe,ø(w)|| = |lw = vl] và
Jim |lu = an] = || — Pe»œ(9)||: (2.14) py Vì thế v = Ppizcr)(u) do tính duy nhất của hình chiếu của ứ lên Fiz(7),
suy ra
|lz», = ul] + [lv = ull
Ấp dụng Mệnh đề 1.11 ta cĩ #„, —> ø — ứ, nghĩa là #„, —> ø khi ¡ —> oe
Vì {z„ } là một dãy hội tụ yếu tùy ý nên ta cĩ +ø„({z„}) = {0} Điều này
chỉ ra rằng z„ —> ø khi ø —> so Dễ thầy, vì (9.13) ta cĩ ||z„—w|| —> ||ø—w||
khi n + 00 Do dé x, + v khi n > ov a
E23 Hệ quả 2.2 (xem (12j, Dinh lí 2.2) Giả sử Œ là một tập lồi đĩng bị chặn của khơng gian Hilbert thuc H va T : C => Ở là một ánh xa khong
giãn tiệm cận uới day {k„} C [1,00) Goi {an} C [0,1] sao cho 0 < ø <
a„ <1 Xét đâu {xn}, trong Ở cho bởi thuật lốn sau
w=#\ €C, +¡ chọn tùy ý
Yn = (1 = Oy) ap + OT an,
{2 € C= |lyn — 2|)? < |lam — 2||? + On}, (2.15)
Qn = {2 EC: (tn — z,U— an) > 0},
#n+ì = Pe,oo,„(0),Vn € Đ,
trong đĩ 6„ = (kệ — 1)diam(C)3,Vn € Đ Khi đĩ, dãy {z„} hội tụ mạnh
tới Pru(r)(w)
Hệ qua 2.3 Giả sử Ở là một tập con lồi đĩng, bị chặn khác rỗng của khơng gian Hibert thực H và T : Œ —> Ở là một ánh xạ khơng giãn tới
Fix(T) £ 0 Goi {an} là đãy trong [0,1] sao cho 0 < ø < œ„ < 1 Xét
Trang 38Khi đĩ, đâu {z„} hội tụ mạnh tới Pruz(r)(w)- 2.6 Phương pháp lặp Browder
Trong mục này, chúng tơi sẽ trình bày một phương pháp lặp dựa trên tính chất các ánh xạ khơng giãn cĩ thể được xấp xỉ bởi một dãy các ánh xạ co Cụ thể như sau
Cho Ở là một tập lồi đĩng của khơng gian Banach X, và ƒ : Ở — Ở là một ánh xạ khơng giãn Với mỗi r¡ € |0, 1) và zu € Ở, ánh xạ được xác định bởi cơng thức
đua = rif + (1—ri)ao, Vx € C
sẽ đi từ Ở vào chính nĩ và là một ánh xạ co với hằng số Lipschitz r, Nếu
r¡ gần với 1 thì ƒ„ là một xấp xỉ co của ánh xạ ƒ Theo nguyên lí ánh xạ
co Banach, mỗi ánh xạ co ƒ, sẽ cĩ duy nhất một điểm bất động, gọi là
#;, Như vậy,
= fate, = rift + (Liao
Vì ánh xạ ƒ„„ là một xấp xỉ eo của ƒ, chúng ta cĩ thể đặt ra vấn đề liệu
điểm bất động của ƒ là giới hạn của một dãy gồm các điểm bất động của
ƒ„.? Cau trả lời đã được đưa ra bởi Browder như sau
Dinh Ii 2.13 (xem (7]) Giả sử Ở là một tập con lồi đĩng bị chặn của khơng gian Hilbert H, T : Ở —> Ở là một ánh zạ khơng giãn Gọi u là một phần tử của uà G, : Ở + C, t € (0,1), là họ các ánh zạ được xác định
bdi Gua = (L— t)u +T+, Ve € Ơ Khi đĩ ta cĩ các khẳng định sau:
() Cĩ đúng một điểm bắt động œ, của ánh xạ Œ,, tức là
a = (1—t)u+tTx, (2.17) pm
(i) Dâu {+} hội tụ mạnh tới Pgu(z)(u) khỉ t > 1
Chứng mình (ï) Với mỗi t € (0,1), vi T 1a một ánh xạ khơng giãn từ Œ vào chính nĩ nên ta cĩ
\|Gex = Gw|| = ||(1L— £)w + fTz = (1— £)u = tTy||
Trang 39Stl - 9|l
với mọi #, € Œ
Từ đĩ suy ra Œ+f là một ánh xạ co từ Œ vào chính nĩ, do đĩ Œ¿ cĩ duy
nhất một điểm bất động +; € C
(ii) Vi Fix(T) 1a mot con tập lồi đĩng khác rỗng của Œ, nên tồn tại
trọ € Fiz(T) là điểm gần nhất của u
Bởi tính bị chặn của {z;} nên tồn tại một dãy con {z,„} của {z,} sao cho #„ —` z € Œ Kí hiệu #¿„ = #„ với mọi n = 1,2, Vì khơng gian H thỏa mãn điều kiện Opial và ||z„ — 7z„|| —> 0, từ Mệnh đề 1.16 ta cĩ z = Tz Đặt U := I — T Nhận thấy rằng, từ (2.17), (1 = ta)an + tn(ttn — Tạ) = (1= Eu)#n
(1 = tn)uo + tn(uo — Tuo) = (1 = tn)uo
“Trừ theo vế các đẳng thức trên, sau đĩ lấy tích vơ hướng hai vế với
# — trọ ta được
(L— tu)(Œn — wo, tn — up) + tn(U an — Uo, tn — uo)
= (1 = ty)(u — Uo, tn = Uo),
trong dé U = I —T ViU don digu tite Ia
(Urn — Utip, tn — ug) > 0
suy ra
[ln — uoll? < (w — uọ,z„ — tạ), Wn eN
Trang 40“Thế nên từ #„ — z, ta cĩ #„ —> trọ khi n —> s Chúng ta sẽ chỉ ra ring 2, — up khi £ —> 1, tức là wọ là điểm tụ (mạnh) duy nhất của {z,}
Giả thiết phản chứng ring {xy} la một dãy con khác của {z,} sao cho
{xu} > v F uạ khi n > oo Dat ty :— #ự, VÌ #„ — T#„ —> Ú suy ra
v € Fix(T) Tit (2.17) ta 06
a, = (1-t)u+tT x, = (1—-t)ut+tT2,—-T2,+T x, = (1—-t)u—(1—-t) T2,4-T2y,
suy ra
2 —Tx = (1—t)(u—Tx,) (2.18) (pez)
Với mọi y € Fix(T), tite la Ty = y, ta 06
(x, — Tate, — y) = (ae — Ty + Ty — Tae, 2% — y)
= (a — Ty, a1 = y) — (Tx, - Ty, 21 - y)
= || — Ty? — (Tae — Ty, 20 — 0)
= |lae — yl[? — (Tae — Ty, — y) > 0 Kết hợp điều này với (2.18) ta cĩ (u = Ty, 2 — y) <0 Từ đĩ ta cĩ (x; —u,a,—y) >0, YE€ (0,1) và € Fi(T), suy ra (uo — u, up — v) <0 va (v — u,v — trọ) <0 Điều đĩ c6 nghia lA up = v, mâu thuẫn Từ đĩ {z,} hội tụ mạnh tới Prizcr)(u) a
Nhận xét 2.3 Dịnh lí hội tụ mạnh của Browder đã được nhiều nhà
tốn học nghiên cứu phát triển cho các lớp ánh xạ và nửa nhĩm trong
khơng gian Hilbert và Banach Gần đây, định lí hội tụ mạnh cho lớp các ánh xạ khơng giãn được thiết lập trong khơng gian Banach X với một trong các giả thiết sau