Luận văn trình bày một định lý hội tụ mạnh giải bài toán chấp nhận tách và bài toán điểm bất động trong không gian Banach. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung luận văn này.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VŨ THỊ THANH NGA MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH VÀ BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên TS Li ZhenYang THÁI NGUYÊN - 2019 ii Líi c£m ỡn Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án TS Trữỡng Minh Tuyản, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn, giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu hon thnh luên vôn Tổi xin chƠn th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, c¡c th¦y gi¡o, cỉ giĂo khoa ToĂn Tin, trữớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi Trữớng NhƠn dp ny, tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh tợi nhỳng ngữới thƠn gia ẳnh, bÔn b v ỗng nghiằp  ởng viản, khẵch lằ, tÔo iÃu kiằn giúp ù tổi quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu iii Mửc lửc Lới cÊm ỡn Mởt số kỵ hiằu v viát tưt M Ưu Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 Khổng gian Banach p-lỗi ii iv Ãu v khổng gian Banach trìn ·u 1.1.1 Khỉng gian Banach phÊn xÔ 1.1.2 Sü hëi tư y¸u khỉng gian Banach 1.1.3 Hm lỗi v mởt số tẵnh chĐt 1.1.4 Khæng gian Banach 1.1.5 Khæng gian Banach trìn ·u 11 p-lỗi Ãu 1.2 nh xÔ ối ngău 13 1.3 Kho£ng c¡ch Bregman v ph²p chi¸u Bregman 16 1.3.1 Kho£ng c¡ch Bregman 16 1.3.2 Ph²p chi¸u Bregman 17 1.4 B i toĂn chĐp nhên tĂch 21 1.5 B i toĂn im bĐt ởng cừa Ănh xÔ Bregman khổng giÂn mÔnh trĂi 24 Chữỡng Mởt nh lỵ hởi tử mÔnh giÊi bi toĂn chĐp nhên tĂch v bi toĂn iºm b§t ëng khỉng gian Banach 26 2.1 Ph¡t biu bi toĂn 2.2 Phữỡng phĂp chiáu lai ghp 27 2.3 V½ dư minh håa 35 Kát luên Ti liằu tham kh£o 26 40 41 iv Mởt số kỵ hiằu v viát tưt E khổng gian Banach E khổng gian ối ngău cừa R têp hđp c¡c sè thüc ∩ ph²p giao inf M cªn dữợi úng cừa têp hủp số M sup M cên trản úng cừa têp hủp số M max M số lợn nhĐt têp hủp số M số nhọ nhĐt têp hủp số argminxX F (x) têp cĂc im cỹc tiu cừa hm têp rộng x vợi måi dom(A) mi·n húu hi»u cõa to¡n tû I to¡n tỷ ỗng nhĐt Lp () khổng gian cĂc hm khÊ tẵch bêc lp khổng gian cĂc dÂy số khÊ tờng bêc E M M F trản x A p trản p giợi hÔn trản cừa dÂy số {xn } lim inf xn giợi hÔn dữợi cừa dÂy số {xn } xn x0 dÂy {xn } hởi tử mÔnh và xn * x0 dÂy {xn } hởi tử yáu và Jp Ănh xÔ ối ngău E () mổ un lỗi cõa khỉng gian Banach ρE (τ ) mỉ un trìn cõa khæng gian Banach lim sup xn X n→∞ n→∞ F ix(T ) ho°c F (T ) x0 x0 tªp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ T E E v intM phƯn cừa têp hủp err sai số cho trữợc PC php mảtric lản f M C projC php chiáu Bregman lản iC hm ch cừa têp lỗi C C Mð ¦u Cho H1 v C v H2 , Q l cĂc têp lỗi, õng v kh¡c réng cõa c¡c khỉng gian Hilbert t÷ìng ùng Cho T : H1 −→ H2 l mët to¡n tû tuy¸n tẵnh b chn Bi toĂn chĐp nhên tĂch (SFP) cõ dÔng nhữ sau: Tẳm mởt phƯn tỷ x C cho T x Q (0.1) DÔng tờng quĂt cõa B i to¡n (0.1) l b i to¡n (0.2), b i to¡n n y ÷đc ph¡t biºu nh÷ sau: Cho âng cõa H1 v H2 Ci , i = 1, 2, , N v Qj , j = 1, 2, , M l cĂc têp lỗi v tữỡng ựng Tẳm mởt phƯn tû −1 (∩M x∗ ∈ S = ∩N j=1 Qj ) 6= ∅ i=1 Ci ∩ T (0.2) Mỉ h¼nh bi toĂn (SFP) lƯn Ưu tiản ữủc giợi thiằu v nghi¶n cùu bði Y Censor v T Elfving [6] cho mổ hẳnh cĂc bi toĂn ngữủc Bi toĂn ny õng vai trá quan trång khỉi phưc h¼nh £nh Y hồc, iÃu khin cữớng ở xÔ tr iÃu tr bằnh ung thữ, khổi phửc tẵn hiằu (xem [3], [4]) hay câ thº ¡p döng cho vi»c gi£i c¡c bi toĂn cƠn bơng kinh tá, lỵ thuyát trỏ chỡi Ta biát rơng C = F (PC )têp im bĐt ởng cừa php chiáu mảtric tứ H1 lản C Do õ, bi toĂn chĐp nhên tĂch (0.1) l mởt trữớng hủp c biằt cừa bi toĂn im bĐt ởng tĂch DÔng tờng quĂt cừa bi toĂn im bĐt ëng chung t¡ch ÷đc ph¡t biºu nh÷ sau: Cho j = 1, 2, , M Ti : H1 −→ H1 , i = 1, 2, , N l c¡c ¡nh xÔ khổng giÂn trản Tẳm phƯn tỷ H1 v H2 , v Sj : H2 −→ H2 , t÷ìng ùng −1 x∗ ∈ S = ∩N ∩M ∅ i=1 F ix(Ti ) ∩ T j=1 F ix(Sj ) = (0.3) Cho ¸n B i to¡n (0.3) khỉng gian Banach ¢ v ang l chõ · thu hót nhiÃu ngữới lm toĂn v ngoi nữợc quan tƠm nghiản cựu GƯn Ơy,  cõ mởt số tĂc giÊ Ã cêp án viằc nghiản cựu tẳm cĂc phữỡng phĂp lp mợi tẳm mởt nghiằm chung cừa Bi toĂn (0.1) hay (0.3) v c¡c lỵp b i to¡n kh¡c (b i to¡n cƠn bơng, bi toĂn im bĐt ởng, bĐt ng thực bián phƠn ) Mửc ẵch cừa luên vôn ny l trẳnh by lÔi cĂc kát quÊ cừa Tuyen T.M v Ha N.S ti liằu [17] phữỡng phĂp chiáu lai gh²p t¼m mët nghi»m chung cõa B i to¡n (0.2) v b i to¡n iºm b§t ëng chung cõa mët hå hỳu hÔn toĂn tỷ Bregman khổng giÂn mÔnh trĂi khổng gian Banach Nởi dung cừa luên vôn ữủc chia lm hai chữỡng chẵnh: Chữỡng Kián thực chuân b Trong chữỡng ny, luên vôn à cêp án mởt số vĐn à và khổng gian Banach phÊn xÔ, khổng gian p-lỗi Ãu, trỡn Ãu, Ănh xÔ ối ngău; khoÊng cĂch Bregman, php chiáu Bregman; bi toĂn chĐp nhên tĂch v bi toĂn tẳm im bĐt ởng cừa toĂn tỷ Bregman khổng giÂn mÔnh trĂi Chữỡng Mởt nh lỵ hởi tử mÔnh giÊi bi toĂn chĐp nhên tĂch v bi toĂn im bĐt ởng khổng gian Banach Trong chữỡng ny luên vôn têp trung trẳnh by lÔi mởt cĂch chi ti¸t c¡c k¸t qu£ cõa Tuyen T.M v Ha N.S ti liằu [17] và phữỡng phĂp chiáu lai ghp tẳm mởt nghiằm chung cừa bi toĂn chĐp nhên t¡ch v b i to¡n iºm b§t ëng cõa to¡n tû Bregman khổng giÂn mÔnh trĂi khổng gian Banach v trỡn Ãu p-lỗi Ãu Chữỡng Kián thực chuân b Chữỡng ny bao gỗm mửc Mửc 1.1 trẳnh by và mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa khổng gian phÊn xÔ, khổng gian Banach lỗi Ãu, trỡn Ãu Mửc 1.2 giợi thiằu và Ănh xÔ ối ngău chuân tưc Mửc 1.3 à cêp án cĂc khĂi niằm php chiáu mảtric v php chiáu tờng quĂt vợi mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa chúng Mửc 1.4 trẳnh b y v· to¡n tû ìn i»u khỉng gian Banach, to¡n tû gi£i têng qu¡t v to¡n tû gi£i m¶tric Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷đc tham kh£o c¡c ti liằu [2, 11, 12] 1.1 Khổng gian Banach p-lỗi ·u v khỉng gian Banach trìn ·u 1.1.1 Khỉng gian Banach phÊn xÔ X Cho l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân v X l khổng gian ối ngău cõa nâ º cho ìn gi£n v thuªn ti»n hìn, chúng tổi thống nhĐt sỷ dửng kẵ hiằu k.k ch chuân trản X tÔi im xX ữủc kỵ hiằu l ành ngh¾a 1.1.1 x∗∗ ∈ E ∗∗ , v tỗn tÔi X ; giĂ tr cừa phiám hm tuyán tẵnh x X hx, x i Khổng gian Banach xE E ữủc gồi l phÊn xÔ náu vỵi måi cho hx, x∗ i = hx∗ , x i, vợi mồi x E Vẵ dử 1.1.2 gian lp hay Mồi khổng gian tuyán tẵnh nh chuân hỳu hÔn chiÃu, cĂc khổng Lp (), vợi < p < ∞, l c¡c khæng gian ph£n xÔ (xem [2]) Chú ỵ 1.1.3 CĂc tẵnh chĐt dữợi Ơy và khổng gian Banach phÊn xÔ cõ th tẳm thĐy ti liằu tham khÊo [2] i) Náu khổng gian Banach Y, thẳ X X ỗng phổi tuyán tẵnh vợi khổng gian phÊn xÔ cụng l khổng gian phÊn xÔ ii) Mồi khổng gian õng cừa khổng gian phÊn xÔ l khổng gian phÊn xÔ; iii) Khổng gian Banach E l phÊn xÔ v ch khỉng gian li¶n hđp E∗ cõa nâ l khỉng gian phÊn xÔ 1.1.2 Sỹ hởi tử yáu khổng gian Banach nh nghắa 1.1.4 {xn} DÂy khổng gian tuyán tẵnh nh chuân xE gồi l hởi tử yáu và mởt phƯn tỷ v ữủc kỵ hiằu l xn * x, E ữủc náu lim hxn , x i = hx, x∗ i, n→∞ vỵi måi x∗ ∈ X ∗ Nhên xt 1.1.5 {xn } Náu dÂy x hởi tư y¸u v· khỉng gian Hilbert l2 , {xn } hởi tử mÔnh và (vẳ tực l kxn xk 0, thẳ dÂy Tuy nhiản, iÃu ngữủc lÔi khổng úng Chng hÔn, xt dÂy {en } xĂc nh bi en = (0, , 0, vỵi måi x, tr½ thù n , 0, ), n ≥ 1, hëi tư y¸u v· khỉng (xem [2]), khổng hởi tử mÔnh và khổng ken k = vỵi måi n ≥ 1) M»nh · 1.1.6 Cho E l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân, dÂy {xn} E hởi tử yáu và x E Khi â, d¢y {xn } bà ch°n Chùng minh Vỵi méi hx∗ , Hxn i = hxn , x i n 1, vợi mồi xt dÂy phiám h m x∗ ∈ E ∗ {Hxn } ⊂ E ∗∗ Khi â, vỵi méi x∗ ∈ E ∗ , x¡c ành bði ta câ hx∗ , Hxn i = hxn , x∗ i → hx, x∗ i Do õ, theo hằ quÊ cừa nguyản lỵ giợi nởi Ãu Banach-Stenhaux , ta câ sup kxn k = sup kHxn k < ∞ n Cho n X l khæng gian Banach, Y l khổng gian tuyán tẵnh nh chuân v {An } L(X, Y ) Náu vợi mội x ∈ X , d¢y {An x} hëi tư Y , th¼ supn kAn k < ∞ M»nh · ÷đc chùng minh M»nh · 1.1.7 Cho E l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân, A E l mởt têp compact tữỡng ối v {xn } ⊂ A thäa m¢n xn * x Khi â, xn → x Chùng minh Gi£ sû xn x, õ tỗn tÔi >0 v mởt dÂy {xnk } ⊂ {xn } cho kxnk − xk ≥ ε, vợi mồi Vẳ (1.1) k {xnk } A {xnk } cho â y = x v A l têp compact tữỡng ối, nản tỗn tÔi dÂy xnkl y Vẳ sỹ hởi tử mÔnh ko theo hởi tử yáu nản Trong bĐt ng thùc (1.1), thay xnk bði xnkl {xnkl } ⊂ xnkl * y v ta ÷đc kxnkl − yk ≥ ε, mƠu thuăn vợi xnkl * y xn x Vêy Trong luên vôn ny, chúng tổi thữớng xuyản sỷ dửng tẵnh chĐt dữợi Ơy cừa khổng gian Banach phÊn xÔ Mằnh à 1.1.8 (xem [2] trang 41) Cho E l mët khæng gian Banach Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng: i) ii) E l khỉng gian phÊn xÔ Mồi dÂy b chn E , Ãu cõ mởt dÂy hởi tử yáu Mằnh à dữợi Ơy cho ta mối liản hằ giỳa têp õng v têp õng yáu khổng gian tuyán tẵnh nh chuân Mằnh à 1.1.9 Náu C l têp lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian khổng gian tuyán tẵnh nh chuân X , thẳ C l têp õng yáu Chùng minh cho xn * x, ng°t x v C, Ta chựng minh bơng phÊn chựng GiÊ sỷ tỗn tÔi dÂy x / C tực l tỗn tÔi Theo nh lỵ tĂch cĂc têp lỗi, tỗn tÔi >0 cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, {xn } ⊂ C x∗ ∈ X ∗ t¡ch ... khổng gian phÊn xÔ cụng l khổng gian phÊn xÔ ii) Mồi khổng gian õng cừa khổng gian phÊn xÔ l khổng gian phÊn xÔ; iii) Khổng gian Banach E l phÊn xÔ v ch¿ khỉng gian li¶n hđp E∗ cõa nâ l khỉng gian. .. Kián thực chuân b 1.1 Khổng gian Banach p-lỗi ii iv Ãu v khổng gian Banach trìn ·u 1.1.1 Khỉng gian Banach phÊn xÔ 1.1.2 Sü hëi tư y¸u khỉng gian Banach 1.1.3 Hm... 1.1.23 (xem [2] trang 56) Måi khæng gian Banach lỗi Ãu bĐt kẳ l khổng gian phÊn xÔ Chựng minh GiÊ sỷ E l khổng gian Banach lỗi Ãu, ta cƯn chựng minh khổng gian Banach phÊn xÔ GiÊ sỷ v E GiÊ sỷ