ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ PHƯƠNG THẢO VỀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ PHƯƠNG TH[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ PHƯƠNG THẢO VỀ BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ PHƯƠNG THẢO VỀ BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN-2019 Mục lục Trang Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tổng quan tốn hình học tổ hợp 1.2 Một số nguyên lý, phương pháp giải toán thường gặp lời giải tốn hình học tổ hợp 1.2.1 Một số nguyên lý 1.2.2 Phương pháp đếm hai lần (Double Counting) 1.3 Một số ví dụ tốn hình học tổ hợp 1.3.1 Các toán đếm hình học tổ hợp 1.3.2 Các toán chứng minh hình học tổ hợp 3 Chương 2.1 Bài 2.2 Bài 2.3 Bài 4 8 Một số tốn cực trị hình học tổ hợp 22 tốn tìm giá trị lớn 22 tốn tìm giá trị nhỏ 36 toán liên quan đến cực trị hình học tổ hợp 43 Kết luận 46 ii Mở đầu Từ thời xa xưa vấn đề toán học đời từ sớm từ hoạt động thực tiễn người, có tư hình học tổ hợp, ví dụ: Ở nước châu Á, số có Ấn Độ, nhà tốn học Jaina nghiên cứu dãy số, dãy cấp số, hoán vị tổ hợp; Thời Trung Quốc cổ đại, người ta biết đến biểu đồ tổ hợp phức cịn gọi “hình vng thần kì”; Thời kì cổ đại Hy Lạp có nhà triết học thông thái đặc biệt nhà triết học Kxenorat biết từ chữ cho trước lập thành bảng chữ số Nhưng phải đến khoảng kỉ XVII – XVIII với cơng trình nghiên Pascal, Fermat, Euler tốn học tổ hợp thực hình thành nhánh tốn học Tốn tổ hợp có tính hấp dẫn, lý thú tốn học nói chung tốn sơ cấp nói riêng Nội dung tốn tổ hợp phong phú ứng dụng nhiều thực tế đời sống Hình học tổ hợp nhánh khơng thể thiếu tốn tổ hợp, tốn hay, thú vị thường xuyên xuất thi học sinh giỏi Quốc gia, Olympic toán quốc tế, thi Olympic sinh viên trường đại học, cao đẳng nước Ở Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên có học viên Lê Thị Bình làm luận văn Thạc sĩ với đề tài “Các tốn hình học tổ hợp” chưa luận văn đề cập cách hệ thống đến dạng tốn “Cực trị hình học tổ hợp” Chính với mong muốn tìn hiểu sâu tốn cực trị hình học tổ hợp, em chọn đề tài “Các tốn cực trị hình học tổ hợp” làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu luận văn xác định là: Sưu tầm, nghiên cứu trình bày cách có chọn lọc tốn cực trị hình học tổ hợp để hình thành tài liệu giảng dạy chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Nội dung luận văn trình bày thành hai chương: Chương 1: Trong chương này, luận văn trình bày số nguyên lý phương pháp thường gặp lời giải tốn hình học tổ hợp, kèm theo ví dụ, tập minh họa Chương 2: Nội dung chương dành riêng để trình bày lời giải số tốn cực trị hình học tổ hợp dành cho học sinh khá, giỏi xếp theo hai dạng là: Bài tốn liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ hình học tổ hợp Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS TS Trịnh Thanh Hải Em chân thành cảm ơn thầy Trịnh Thanh Hải tận tình hướng dẫn em triển khai đề tài luận văn Em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè anh chị tạo điều kiện để em hoàn thành đề tài Tuy nhiên điều kiện lực thân hạn chế, luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp để luận văn em hoàn thiện Em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 05 năm 2019 Học viên Đỗ Phương Thảo Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tổng quan tốn hình học tổ hợp Trước tiên, luận văn xin nhắc lại vài dạng tốn tổ hợp trình bày luận văn: (i) Bài toán cực trị tổ hợp: Dạng 1: Tìm số nguyên dương k nhỏ (lớn nhất) cho tập A mà | A |= k hữu hạn có tính chất T Ví dụ 1.1.1 Gọi A tập tất số tự nhiên lẻ không chia hết cho nhỏ 30 Tìm số k nhỏ cho tập A gồm k phần tử tồn hai số chia hết cho nhau? Ví dụ 1.1.2 Cho tập A gồm 16 số nguyên dương Hãy tìm số ngun dương k nhỏ có tính chất: Trong tập có k phần tử A tồn hai số phân biệt a, b cho a2 + b2 số nguyên tố (VMO 2004) Với toán dạng này, thường xét tập A có tính chất đặc biệt cho | A |= m A không thỏa mãn tính chất T , từ suy kmin > m + Tiếp theo ta chứng minh tập A mà | A |= m + có tính chất T , từ ta tìm kmin = m + Để chứng minh tập A mà | A |= m + có tính chất T ta sử dụng nguyên lí Dirichlet dựa vào tính chất tập A Dạng 2: Tìm số phần tử lớn (nhỏ nhất) tập A gồm phần tử có tính chất T Ví dụ 1.1.3 Cho A tập hợp gồm phần tử Tìm số lớn tập gồm phần tử A cho giao hai tập tập khơng phải tập gồm hai phần tử Ví dụ 1.1.4 Trong thi có 11 thí sinh tham gia giải tốn Hai thí sinh giải chung với khơng q Tìm k lớn để tốn có k thí sinh giải Để giải tốn này, thường thực theo cách sau: Đặt | A |= k , lập luận ta chứng minh k < m (k > m) Sau ta xây 0 dựng tập A thỏa tính chất T | A |= m (ii) Bài toán cực trị hình học tổ hợp Các tốn cực trị tổ hợp (i), mà tập A gồm đối tượng hình học thường xếp vào dạng Bài tốn cực trị hình học tổ hợp Ví dụ 1.1.5 Cho đa giác 2007 đỉnh Tìm số nguyên dương k nhỏ thoả mãn tính chất: Trong cách chọn k đỉnh đa giác, tồn đỉnh tạo thành tứ giác lồi mà số cạnh tứ giác cạnh đa giác cho (VMO 2007) Ví dụ 1.1.6 Cho 2006 điểm phân biệt khơng gian, khơng có bốn điểm thẳng hàng Số k gọi số tốt ta điền lên đoạn thẳng nối hai điểm 2006 điểm cho số tự nhiên không vượt k cho với tam giác có ba đỉnh 2006 điểm cho có hai cạnh điền hai số cạnh cịn lại điền số lớn Tìm số tốt có giá trị nhỏ (TST Việt Nam 2006) Phương pháp giải tốn cực trị hình học tổ hợp luận văn trình bày chi tiết nội dung Chương 1.2 1.2.1 Một số nguyên lý, phương pháp giải toán thường gặp lời giải tốn hình học tổ hợp Một số nguyên lý Nguyên lý cộng Quy tắc cộng: Nếu Ei (i = 1, , k ) với k kiện thỏa mãn: (i) Khơng có hai kiện số chúng xảy đồng thời; (ii) Ei xảy theo ni cách k kiện xảy theo (n1 + n2 + · · · + nk ) cách Nguyên lý nhân Quy tắc nhân: Nếu Ei (i = 1, , k ) với k kiện thỏa mãn Và E1 xảy theo n1 cách, E2 xảy theo n2 cách (không phụ thuộc đến việc E1 xảy nào); E3 xảy theo n3 cách (không phụ thuộc đến việc E2 , E1 xảy nào), , Ek xảy theo nk cách (không phụ thuộc đến (k − 1) kiện trước xảy nào), k kiện xảy đồng thời theo n1 · n2 · n3 nk cách Nguyên lý bù trừ Khi hai công việc làm đồng thời, ta khơng thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực nhiệm vụ gồm hai việc Để tính số cách thực nhiệm vụ này, ta cộng số cách làm hai việc trừ số cách làm đồng thời hai việc Ta phát biểu nguyên lý đếm ngôn ngữ tập hợp Cho A1 , A2 hai tập hữu hạn, đó: [ | A1 A2 |=| A1 | + | A2 | − | A1 ∩ A2 | Từ đó, với ba tập hữu hạn A1 , A2 , A3 ta có: | A1 ∪ A2 ∪ A3 |=| A1 | + | A2 | + | A3 | − | A1 ∩ A2 | − | A1 ∩ A3 | − | A3 ∩ A2 | + | A1 ∩ A2 ∩ A3 | Và quy nạp, với k tập hữu hạn A1 , A2 , , Ak ta có: | A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak |= N1 − N2 + N3 − · · · + (−1)k−1 Nk Trong Nm (1 ≤ m ≤ k ) tổng phần tử tất giao m tập lấy từ k tập cho, nghĩa là: X | Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aim | Nm = 1