Mục lục Lời nói đầu Chơng Cơ sở lý thuyết KKM không gian vectơ tôpô 1.1 Nguyên lý ánh xạ KKM điểm bất động 1.2 Bất đẳng thức Ky Fan ứng dụng 15 Ch−¬ng 2.1 2.2 2.3 Bài toán cân 33 Cân Nash 33 Bài toán cân 38 Các kết gần ®©y 49 Ch−¬ng 3.1 3.2 3.3 Bất đẳng thức biến phân 60 Bài toán biến phân cỉ ®iĨn 60 Kết bất đẳng thøc biÕn ph©n 61 Các kết gần 66 KÕt ln 102 Tµi liƯu tham kh¶o 104 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời nói đầu Lý thuyết KKM đời năm 1961 với báo Ky Fan: A generalization of Tychonoffs fixed point theorem, có kết quan trọng mà ngày đợc gọi nguyên lý ánh xạ KKM Kết mở rộng bổ ®Ị Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz (1929) tõ kh«ng gian tuyến tính hữu hạn chiều không gian vectơ tôpô tách Nguyên lý ánh xạ KKM khởi nguồn cho loạt kết quan trọng khác, có nhiều ứng dụng giải tích phi tuyến, đặc biệt bất đẳng thức minimax mà ngày gọi bất đẳng thức Ky Fan Từ bất đẳng thức dễ dàng suy số kết tiếng nh nguyên lý điểm bất động Schauder, định lý tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân Mặt khác, từ nguyên lý ánh xạ KKM nhận đợc định lý điểm bất động Browder - Fan, từ lại nhận đợc định lý minimax Sion Neumann, định lý tồn điểm cân Nash Những kết đợc tập hợp lại dới tên chung: Lý thuyết KKM Lý thuyết đà phát triển không gian siêu lồi nửa dàn tôpô Năm 1950 chứng kiến đời mét lý thut quan träng To¸n kinh tÕ víi báo John Nash: Equilibrium points in n-person games trò chơi không hợp tác Lý thuyết có tầm quan trọng đặc biệt kinh tế nên tác giả đà đợc nhận giải thởng Nobel vào năm 1994 Định lý Nash tồn điểm cân cho hệ kinh tế đến đà đợc nhiều nhà toán học cải tiến nâng cao, từ không gian hữu hạn chiều không gian vô hạn chiều, từ ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị, Dạng tổng quát toán cân gần với bất đẳng thức Ky Fan, lý thuyết KKM đóng vai trò quan trọng nghiên cứu toán cân bằng, mà trờng hợp riêng bất đẳng thức biến phân Cả hai lý thuyết nêu rÊt quan träng vỊ lý thut vµ øng dơng, vÉn trình phát triển hoàn thiện Có thể nói lý thuyết KKM sở lý thuyết cho toán cân Đà có nhiều báo vấn đề nhng theo đợc biết, cha có tài liệu giới thiệu cách hệ thống mối liên hệ lý thuyết nói Vì chọn đề tài: Lý thuyết KKM toán cân với hy vọng cung cấp cho độc giả thông tin bổ ích Vì thời gian hạn chế nên giới thiệu kết theo hớng nêu trên, đặc biệt kết gần Trong luận văn này, trình ba chơng gồm nội dung sau đây: ã Chơng giới thiệu lý thuyết KKM không gian vectơ tôpô ã Chơng giới thiệu toán cân ã Chơng giới thiệu bất đẳng thức biến phân LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cuèi cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TSKH Đỗ Hồng Tân đà hớng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn Sự bảo ân cần thầy Đỗ Hồng Tân suốt trình tác giả viết luận văn đà giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm tâm cao hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thạc sĩ Nguyễn Thế Vinh đà cung cấp cho tác giả tài liệu quan trọng lời khuyên quý báu Tác giả xin chân thành cám ơn đóng góp bổ ích thành viên Xêmina Hình học không gian Banach lý thuyết điểm bất động Bộ môn Giải tích, Trờng Đại học S phạm Hà Nội tổ chức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo Khoa Toán, Trờng Đại học S phạm Hà Nội, toàn thể bạn bè ngời thân đà đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tác giả trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 02 tháng 09 năm 2007 Học viên: Trần Việt Anh1 E-mail: tranvietanh.ceqea@gmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ch−¬ng Cơ sở lý thuyết KKM không gian vectơ tôpô Trong chơng này, trình bày kết lý thuyết KKM không gian vectơ tôpô Đó Nguyên lý ánh xạ KKM, bất đẳng thức Ky Fan ứng dụng Sau trình bày ứng dụng hay bất đẳng thức Ky Fan, chứng minh định lý định lý điểm bất động Fan-Glicksberg 1.1 Nguyên lý ánh xạ KKM điểm bất động Năm 1929, ba nhà toán học Knaster, Kuratowski Mazurkiewicz đà chứng minh đợc kết quan trọng mang tên Bổ đề KKM([35, trang 68]1 ) Định lý 1.1.1 Cho Δn := conv({e0, e1, , en }) n-đơn hình tiêu chuẩn Rn , ®ã ei , i = 0, 1, , n, vectơ đơn vị thứ (i + 1) Rn+1 tập hợp đóng F0 , F1, , Fn Δn tháa m·n ®iỊu kiện: với tập khác rỗng J {0, 1, , n}, ta cã conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Fj : j ∈ J} Khi n Fj = j=0 Điều thú vị Bổ đề KKM đợc chứng minh dựa kết Sperner năm 1928 ([35, trang 67]) phép tam giác phân đơn hình, thuộc lĩnh vực toán học tổ hợp, lĩnh vực tởng chừng nh không liên quan đến lý thuyết điểm bất động Mặc dù Bổ đề KKM quan trọng, cho ta chứng minh đơn giản Nguyên lý điểm bất động Brouwer (xem Định lý 1.1.3), nhng lại hạn chế áp dụng đợc cho không gian vectơ hữu hạn chiều Để khắc phục điều này, năm 1961, nhà toán học tiếng Ky Fan đà mở rộng Bổ đề KKM cho trờng hợp không gian vectơ tôpô Hausdorff Định lý Ky Fan ngày đợc gọi Nguyên lý ánh xạ KKM Sau phát biểu chứng minh Nguyên lý ánh xạ KKM cách sử dụng Bổ đề KKM Điều thú vị ngạc nhiên Nguyên lý ánh xạ KKM không gian không cần tính tách Theo nh tác giả đợc biết ý tởng chứng Trong [35], tác giả phát biểu cho đơn hình S Rn , ta sử dụng đơn hình tiêu chuẩn n Rn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com minh định lý sau gần gũi với ý t−ëng cđa Horvath vµ Llinares Ciscar (1996) hä chøng minh nguyên lý ánh xạ KKM cho nửa dàn tôpô [17], nhiên thân tác giả phép chứng minh Định lý 1.1.2 (Nguyên lý ánh xạ KKM) Cho C tập hợp khác rỗng không gian vectơ tôpô X, F : C 2X ánh xạ KKM, nghĩa với tập hợp hữu hạn khác rỗng A C ta cã conv(A) ⊂ {F (x) : x ∈ A} Gi¶ sử F (x) tập đóng X với x C Khi với tập hợp hữu hạn khác rỗng A C, ta có F (x) = ∅ x∈A Chøng minh XÐt A = {a0 , a1, , an } lµ tËp hữu hạn khác rỗng C, ta chứng minh n F (aj ) = ∅ j=0 n XÐt ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X cho bëi, víi x = n n 0, 1, , n, λi (x) = 1, th× ΦA (x) = i=0 n λi (x)ei ∈ Δn, λi (x) 0, i = i=0 λi (x)ai i=0 Víi i = 0, 1, , n, ta xét ánh xạ pi : n −→ R cho bëi, víi x = n λi ei ∈ Δn, λi 0, i = 0, 1, , n, i=0 λi = 1, th× pi (x) = i Rõ ràng i=0 ánh xạ pi liên tục Với i = 0, 1, , n, ta xét ánh xạ fi : R −→ X cho bëi fi(λ) = λai víi mäi λ R Vì X không gian vectơ tôpô nên fi ánh xạ liên tục n Từ đó, ΦA = fi ◦ pi nªn ΦA : Δn −→ X ánh xạ liên tục i=0 Ta chứng minh với tập J khác rỗng {0, 1, , n} th× ΦA (conv({ej : j ∈ J})) ⊂ conv({aj : j ∈ J}) ThËt vËy, víi x = λj (x)ej ∈ conv({ej : j ∈ J}), λj (x) víi mäi j ∈ J, j∈J λj (x) = 1, th× ΦA (x) = j∈J λj (x)aj Do ®ã ΦA(x) ∈ conv({aj : j ∈ J}) j∈J LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vì x conv({ej : j J}) tuú ý nªn ΦA (conv({ej : j ∈ J})) ⊂ conv({aj : j ∈ J}) (1.1) V× F : C 2X ánh xạ KKM nên conv({aj : j ∈ J}) ⊂ {F (aj ) : j ∈ J} KÕt hỵp víi (1.1), ta cã ΦA (conv({ej : j ∈ J})) ⊂ {F (aj ) : j ∈ J} Suy conv({ej : j ∈ J}) ⊂ Φ−1 A ( {Φ−1 A (F (aj )) : j ∈ J} (1.2) {F (aj ) : j ∈ J}) = §Ỉt Fj = Φ−1 A (F (aj )), j = 0, 1, , n Khi ®ã theo (1.2), với tập khác rỗng J {0, 1, , n}, ta cã conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Fj : j ∈ J} V× ánh xạ A : n X liên tục tập F (a0 ), F (a1), , F (an ) đóng X nên tập Fj = A (F (aj )) ®ãng Δn Khi ®ã, theo n n j=0 n Φ−1 A (F (aj )) = ∅, suy Fj = Nghĩa Bổ đề KKM (Định lý 1.1.1) j=0 F (aj ) = ∅ j=0 VËy Nguyªn lý ánh xạ KKM đợc chứng minh F (x) = với A Trong Nguyên lý ánh xạ KKM, ta khẳng định xA hữu hạn C Tính chất thờng đợc phát biểu họ {F (x) : x ∈ C} cã tÝnh chÊt giao h÷u hạn Trong [35], tác giả đà đa điều kiện để F (x) = , sau tác giả xin đa điều kiện có phần tốt Điều xC kiện là: tồn hữu hạn điểm a1 , a2 , , an thuéc C vµ tËp compact K n F (aj ) ⊂ K không gian vectơ tôpô X để j=1 ThËt vËy, ta chøng minh F (x) = ∅ x∈C F (x) = ∅ Suy X = X\ Gi¶ sử xC F (x) = xC đóng X K X = (X\F (x)) Vì F (x) x∈C (X\F (x)) nªn {X\F (x) : x ∈ C} lµ x∈C LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com phđ më cđa tËp compact K Do ®ã, tån t¹i x1 , x2, , xk ∈ C cho K ⊂ k k k (X\F (xi)) = X\ i=1 n F (xi) Tõ ®ã ta cã K ∩ i=1 n F (aj ) ⊂ K , ta suy j=1 j=1 i=1 k F (aj ) ∩ F (xi) = ∅ KÕt hỵp víi F (xi) = Điều trái với tính chất i=1 giao hữu hạn họ {F (x) : x C} VËy F (x) = ∅ x∈C Mét nh÷ng định lý tiếng Toán học kỷ trớc Nguyên lý điểm bất động Brouwer Đó định lý trung tâm lý thuyết điểm bất động nguyên lý giải tích phi tuyến Định lý đợc Brouwer chứng minh năm 1912 dựa vào công cụ sâu sắc tôpô lý thuyết bậc ánh xạ liên tục nên phức tạp Vì thế, nhiều nhà toán học đà tìm cách chứng minh Nguyên lý điểm bất động Brouwer công cụ đơn giản Bây ta chứng minh Nguyên lý điểm bất động Brouwer từ Bổ đề KKM Định lý 1.1.3 (Nguyên lý điểm bất động Brouwer) Cho T : n n ánh xạ liên tục Khi ®ã T cã ®iÓm bÊt ®éng Δn.2 Chøng minh Mỗi điểm x n đợc biểu diễn d−íi d¹ng n x= n xi ei , víi xi víi mäi i = 0, 1, , n i=0 xi = i=0 n Vì T (x) ∈ Δn nªn ta cã thĨ viÕt T (x) = víi i=0 n mäi i = 0, 1, , n vµ (T (x))iei , với (T (x))i (T (x))i = i=0 Với i = 0, 1, , n, đặt Fi = {x ∈ Δn : xi (T (x))i} V× T : n n ánh xạ liên tục nên tập Fi đóng n Thật vËy, víi i = 0, 1, , n, ta xét ánh xạ pi : n R cho bëi, víi n n λi ei ∈ Δn, λi x= 0, i = 0, 1, , n, i=0 λi = 1, th× pi(x) = λi Rõ i=0 ràng ánh xạ pi liên tục Vì T : n n ánh xạ liên tục Trong số tài liệu, Nguyên lý điểm bất động Brouwer thờng đợc phát biểu là:Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng Rn vào có điểm bất động LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com pi : n R ánh xạ liên tục nên pi T : n R ánh xạ liên tục Chú ý rằng, (pi T )(x) = (T (x))i nên tập Fi đợc viÕt l¹i nh− sau Fi = {x ∈ Δn : pi (x) (pi ◦ T )(x)} V× pi : Δn −→ R vµ pi ◦ T : Δn −→ R ánh xạ liên tục với i = 0, 1, , n nên tập Fi đóng n với i = 0, 1, , n Gi¶ sư I ⊂ {0, 1, , n} lµ mét tËp hợp khác rỗng, ta chứng minh conv({ei : i I}) ⊂ {Fi : i ∈ I} n LÊy x ∈ conv({ei : i ∈ I}) tuú ý, ®ã x = víi mäi i=0 n i = 0, 1, , n, xi ei víi xi xi = vµ xi = víi mäi i ∈ / I i=0 Ta chøng minh x ∈ {Fi : i ∈ I} Gi¶ sư x ∈ / Fi víi mäi i ∈ I, suy xi < (T (x))i với i I Khi ta gặp m©u thuÉn n xi = 1= i=0 VËy x ∈ n (T (x))i xi < i∈I (T (x))i = i=0 i∈I {Fi : i ∈ I} V× x ∈ conv({ei : i I}) tuỳ ý nên conv({ei : n i ∈ I}) ⊂ {Fi : i ∈ I} Theo Bỉ ®Ị KKM i=0 n x∗ ∈ Fi = , nghĩa tồn Fi Khi x∗ ∈ Fi víi mäi i = 0, 1, , n hay x∗i i=0 n n x∗i víi mäi i = 0, 1, , n KÕt hỵp víi i=0 (T (x∗))i (T (x∗))i, ta suy =1= i=0 x∗i = (T (x∗))i víi mäi i = 0, 1, , n Do ®ã T (x∗) = x∗ VËy T cã ®iÓm bÊt ®éng Δn Nguyªn lý ®iĨm bÊt ®éng Brouwer cã nội dung trực quan tự nhiên nh sau Giả sư cã n + doanh nghiƯp c¹nh tranh thị trờng, điểm x n biểu thị tình doanh nghiệp i chiếm đợc thị phần xi Do cạnh tranh nên tõ mét t×nh thÕ x ∈ Δn cã thĨ dÉn tới tình f (x) Đơng nhiên, doanh nghiệp i mong muốn chuyển đến tình f (x) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com víi (f (x))i > xi Nguyên lý điểm bất động Brouwer cho biết ánh xạ f liên tục bao giê cịng cã mét ®iĨm x∗ = f (x∗), nghÜa tình cân mà không doanh nghiệp muốn thay đổi để đợc lợi Chính mà Nguyên lý điểm bất động Brouwer (cùng với mở rộng nó) công cụ xây dựng lý thuyết cân kinh tế nhiều lĩnh vực khác Trong chứng minh Bổ đề KKM, tính ®ãng cđa c¸c tËp F0 , F1 , , Fn bắt buộc Một điều bất ngờ lý thú tính đóng thay tính mở việc chứng minh lại dựa vào Bổ đề KKM Định lý 1.1.4 Cho F0, F1, , Fn tập hợp mở Δn tháa m·n ®iỊu kiƯn: víi mäi tËp khác rỗng J {0, 1, , n}, ta cã conv({ej : j ∈ J}) ⊂ Khi ®ã {Fj : j ∈ J} n Fj = ∅ j=0 n n Fi , đặt Hy = Chứng minh Với y i=0 {Fi : y Fi } Khi y Hy i=0 Hy tập hợp mở n Do tồn tËp hỵp më Uy Δn cho y ∈ Uy ⊂ U y ⊂ Hy Víi mäi I ⊂ {0, 1, , n}, ta cã {Fi : i ∈ I} ⊂ {Uy : y ∈ Fi } i∈I vµ conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Fi : i ∈ I} Suy conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Uy : y ∈ Fi} i∈I V× conv({ei : i ∈ I}) lµ tËp compact Rn+1 nên tồn tập hữu hạn khác rỗng BI Fi cho i∈I conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Uy : y BI } Đặt B = {BI : I ⊂ {0, 1, , n}} B tập hữu hạn khác rỗng Với i {0, 1, , n}, đặt Gi = {U y : y ∈ B, Uy ⊂ Fi } LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta chứng tỏ tập Gi xác định Đặt I = {i}, BI = nên tồn y BI Ngoài BI Fi nên y Fi Theo định nghĩa Hy Hy Fi Uy Fi Vì y BI BI B nên y B Vậy tồn y B để Uy Fi , tức tập Gi xác định Mà B tập hữu hạn nên Gi tập hợp đóng n Nếu z Gi tồn y B để y Uy Fi z U y Hy Từ định nghÜa cña Hy , ta suy z ∈ Fi VËy Gi ⊂ Fi B©y giê ta chøng minh conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Gi : i I} với tập khác rỗng I {0, 1, , n} LÊy z ∈ conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Uy : y ∈ BI } tồn y BI {Fi : i ∈ I} ®Ĩ z ∈ Uy Do ®ã tån t¹i j ∈ I ®Ĩ y ∈ Fj Theo định nghĩa Hy Hy Fj , Uy Fj Mặt khác, từ định nghĩa Gj U y Gj ®ã z ∈ Uy ⊂ U y ⊂ Gj hay z ∈ Gj VËy ta cã z ∈ {Gi : i ∈ I} V× z ∈ conv({ei : i I}) tùy ý nên conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Gi : i ∈ I} Chó ý rằng, tập Gi n đóng n nên theo Định lý 1.1.1 Gj = Từ Gj Fj với j=0 n Fj = Định lý đợc chứng minh j = 0, 1, , n, ta suy j=0 Định lý 1.1.4 đợc gọi Bổ đề KKM cho tập hợp mở Vận dụng Định lý 1.1.4, ta phát biểu chứng minh định lý Shih Định lý 1.1.5 (Định lý Shih) Cho C tập hợp lồi khác rỗng không gian vectơ tôpô X A tập hữu hạn C Giả sử F : A 2C ánh xạ KKM F (x) lµ tËp më C víi mäi x ∈ A Khi ®ã F (x) = ∅ x∈A Chøng minh XÐt A = {a0 , a1, , an } tập hữu hạn khác rỗng C, ta chøng minh n F (aj ) = ∅ j=0 n Xét ánh xạ A : n X cho bëi, víi x = n 0, 1, , n, n λi (x) = 1, th× ΦA (x) = i=0 λi (x)ei ∈ Δn, λi (x) 0, i = i=0 λi (x)ai i=0 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com r»ng, v× y1 ∈ S(x1) nªn α1 ∈ F (x1, S(x1)) Tõ m(x1) = sup F (x1, S(x1)) = sup{α : α ∈ F (x1, S(x1))} F (x1, S(x1)) nên ta suy m(x1 ) > α1 > λ VËy x1 ∈ {x ∈ X : m(x) > λ} Tõ ®ã Ux0 ∩ Wx0 ⊂ {x ∈ X : m(x) > λ} nên {x X : m(x) > } mở X (ii) Trớc hết ta chứng minh ánh xạ đa trị T : X 2R xác định T (x) = F (x, S(x)) víi mäi x ∈ X nửa liên tục với giá trị compact LÊy x ∈ X vµ G lµ tËp më R víi T (x) ⊂ G Khi ®ã F (x, u) ⊂ G víi mäi u ∈ S(x) V× F nửa liên tục (x, u) nên tồn lân cận mở Vu u Y l©n cËn më Uu (x) cđa x X cho F (x , u ) ⊂ G víi Vu S(x) compact nên x Uu (x) u Vu Vì S(x) uS(x) n tån t¹i u1 , u2, , un ∈ S(x) cho S(x) ⊂ Vui Tõ giả thiết S nửa liên i=1 tục x, ta suy tồn lân cận mở U0(x) cđa x X cho víi mäi n x U0(x) S(x ) n Vui Đặt Ux = U0(x) i=1 Uui (x) Ux l©n cËn i=1 n më cđa x X NÕu x Ux u S(x ) S(x ) Vui nên tồn i=1 j {1, 2, , n} cho u ∈ Vuj V× x ∈ Ux (do x ∈ Uuj (x)) u Vuj nên F (x , u ) ⊂ G Do ®ã T (x ) = F (x , S(x )) = F (x , u ) ⊂ G víi u ∈S(x ) mäi x ∈ Ux Do T nửa liên tục x Vì x X tuỳ ý nên T nửa liên tục Lấy x X tuỳ ý, ta chứng minh T (x) compact Giả sử G = {Gi : i ∈ I} lµ mét phđ më t ý cđa T (x) Khi ®ã víi mäi u ∈ S(x) th× G = {Gi : i ∈ I} cịng lµ mét phđ më cđa F (x, u) Vì F (x, u) compact nên tồn Au I Gi , I họ tập hữu hạn khác rỗng để F (x, u) iAu I Vì tập Gi mở với i I nên Gi tập mở Do từ iAu tính liên tục điểm (x, u) X ì Y F F (x, u) Gi , tồn iAu lân cận mở Ux x X lân cận më Vu (x) cña u Y cho F (x , u ) ⊂ Gi víi mäi x ∈ Ux u Vu (x) Vì S(x) Vu (x) iAu uS(x) S(x) compact nên tồn điểm u1, u2, , un S(x) cho 93 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com n S(x) ⊂ Vui (x) Ta chøng minh T (x) ⊂ {Gi : i ∈ Au1 ∪ Au2 ∪ · · · ∪ Aun } i=1 F (x, u) nên tồn u S(x) Thật vậy, lấy y ∈ T (x) tuú ý, v× T (x) = uS(x) n y F (x, u) Vì u S(x) S(x) Vui (x) nên tồn số nguyên i=1 dơng k không vợt n cho u ∈ Vuk (x) Do ®ã F (x, u) ⊂ Gi KÕt i∈Auk hỵp víi y ∈ F (x, u) vµ Gi ⊂ {Gi : i ∈ Au1 ∪ Au2 ∪ · · · ∪ Aun }, ta suy i∈Auk y ∈ {Gi : i ∈ Au1 ∪ Au2 ∪ · · · ∪ Aun } Vì y T (x) tuỳ ý nên T (x) ⊂ {Gi : i ∈ Au1 ∪ Au2 ∪ · · · ∪ Aun } Chó ý r»ng, v× tập hợp Aui I nên Au1 Au2 ∪ · · · ∪ Aun ∈ I , ®ã G0 = {Gi : i ∈ Au1 ∪ Au2 ∪ · · · ∪ Aun } lµ mét phđ hữu hạn G Vì phủ mở G T (x) có phủ hữu hạn G0 nên T (x) compact Vì F, S hai ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng nên T nhận giá trị khác rỗng Vậy T : X 2R nửa liên tục với giá trị compact khác rỗng, T (x) R bị chặn nên m(x) = sup T (x) < +∞ víi mäi x ∈ X VËy m : X −→ R lµ mét hµm sè LÊy λ ∈ R t ý, ta chøng minh tËp hỵp {x ∈ X : m(x) < λ} lµ më X LÊy x0 ∈ {x ∈ X : m(x) < λ} th× x0 ∈ X vµ m(x0) < λ Chän a ∈ R cho m(x0 ) < a < λ Khi ®ã, m(x0) < a nên T (x0) (, a) Vì T nửa liên tục x0 tồn lân cận mở Ox0 x0 X cho T (x) ⊂ (−∞, a) víi mäi x ∈ Ox0 Do ®ã m(x) = sup T (x) a < λ víi mäi x ∈ Ox0 Do ®ã Ox0 ⊂ {x ∈ X : m(x) < } Chú ý rằng, Ox0 lân cận mở x0 X nên tập hợp {x X : m(x) < } mở X Vì R tuỳ ý nên ta suy m nửa liên tục Bây ta chứng minh tồn (SGIVI) dới giả thiết giả đơn điệu trù mật Định lý 3.3.21 (L.J Lin, M.F Yang, Q.H Ansari vµ G Kassay [27]) Cho X, Y lµ hai không gian vectơ tôpô Hausdorff, C tập lồi khác rỗng Y C0 trù mật đoạn C Cho T : C ìC 2X F : X ìC ìC 2R hai ánh xạ đa trị với giá trị compact khác rỗng cho F nửa liên tục trên, F (x, u, u) = {0} víi mäi x ∈ X vµ u ∈ C, với (x, u) X ì C cố định ánh xạ F (x, Ã, u) R+ - lồi Giả thiết điều kiện sau đợc thỏa mÃn (i) T giả đơn điệu trù mật theo đối số thứ tơng ứng với F ; 94 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (ii) với u C0 cố định ánh xạ đa trị T (u, Ã) : C 2X nửa liên tục với v C cố định ánh xạ đa trị T (Ã, v) : C 2X nửa liên tục từ đoạn thẳng C vào X; (iii) tồn tập compact khác rỗng K C u C0 cho sup F (T (u, u), u ˜, u) < víi mäi u ∈ C\K Khi ®ã (SGIVI) có nghiệm, nghĩa tồn u C ®Ĩ sup F (T (u, u), u, u) víi mäi u ∈ C Chøng minh Ta chia chøng minh định lý làm thành bớc (a) Trớc hết ta xét toán (MGIVI)0: Tìm u K cho víi mäi u ∈ C0 , sup F (T (u, u), u, u) 0, toán (MGIVI) : T×m u ∈ K cho víi mäi u ∈ C, sup F (T (u, u), u, u) Ta (MGIVI)0 (MGIVI) tơng đơng Vì C0 C nên (MGIVI) suy (MGIVI)0 Ngợc lại, giả sử u K nghiệm (MGIVI)0 Lấy u C bất kỳ, C0 trù mật đoạn C nên tồn v C0 cho u điểm tụ [u, v] C0 Do tồn dÃy suy rộng {u } ⊂ [u, v] ∩ C0 héi tơ tíi u MỈt khác, từ tính liên tục compact F T kéo theo tính liên tục từ đoạn thẳng C hàm w sup F (T (w, u), w, u) lên X Do sup F (T (u, u), u, u) lim sup F (T (uα , u), uα, u) uα →u VËy u ∈ K nghiệm (MGIVI) (b) Bây ta (MGIVI) tơng đơng với (SGIVI) Nhắc lại bất đẳng thức biến phân dạng ẩn tổng quát Stampacchia (SGIVI): T×m u ∈ C cho sup F (T (u, u), u, u) víi mäi u ∈ C Giả sử u C nghiệm (SGIVI), u K u / K th× u ∈ C\K Theo (iii) ta cã sup F (T (u, u), u ˜, u) < §iỊu vô lý u C nghiệm cđa (SGIVI) nªn sup F (T (u, u), u, u) víi mäi u ∈ C 95 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com vµ u˜ ∈ C (vì u C0) nên sup F (T (u, u), u ˜, u) Tõ (i) ta suy u nghiệm (MGIVI) Do theo (a) u nghiệm (MGIVI) Ngợc lại, giả sử u K nghiệm (MGIVI) Lấy u C đặt ut := tu + (1 − t)u víi t ∈ [0, 1] Khi đó, C lồi nên ut C víi mäi t ∈ [0, 1] vµ sup F (T (ut, u), ut, u) víi mäi t ∈ [0, 1] Với t cố định thuộc (0, 1), ta sÏ chØ r»ng sup F (T (ut, u), u, u) ThËt vËy, v× sup F (T (ut, u), ut, u) = sup{v : v ∈ F (T (ut, u), ut, u) nªn víi mäi ε > 0, tån t¹i v0 ∈ F (T (ut, u), ut, u) ®Ó cho sup F (T (ut, u), ut, u) < v0 + F (x, ut, u) nên tồn x0 T (ut, u) để Vì v0 F (T (ut, u), ut, u) := x∈T (ut ,u) cho v0 F (x0, ut, u) Mặt khác, x0 ∈ T (ut, u) ⊂ X vµ u ∈ C nên ánh xạ v F (x0, v, u) R+ - låi KÕt hỵp víi F (x0, u, u) = {0}, ta cã F (x0, ut, u) ⊂ tF (x0, u, u) + (1 − t)F (x0, u, u) − R+ = tF (x0, u, u) − R+ V× v0 ∈ F (x0, ut, u) ⊂ tF (x0, u, u)R+ nên tồn w0 F (x0, u, u) vµ a cho v0 = tw0 − a Chó ý r»ng, v× w0 ∈ F (x0, u, u) ⊂ F (T (ut, u), u, u) nªn w0 sup F (T (ut, u), u, u), cïng víi sup F (T (ut, u), ut, u) vµ a 0, ta có bất đẳng thức sau sup F (T (ut, u), ut, u) − ε < v0 = tw0 − a t sup F (T (ut, u), u, u) Do t Vì số dơng nên sup F (T (ut, u), u, u) Mặt khác, t (0, 1) cố định nên ta suy sup F (T (ut, u), u, u) víi mäi t ∈ (0, 1) Xét H : [0, 1] R đợc xác định H(t) := sup F (T (ut, u), u, u) víi mäi t ∈ [0, 1], ®ã H(t) víi mäi t ∈ (0, 1) Theo Bỉ đề 3.3.20(ii), H nửa liên tục trên đoạn [0, 1] H(0) lim sup H(t) Do sup F (T (ut, u), u, u) t→0 ®ã sup F (T (u, u), u, u) 0, nghÜa lµ u nghiệm (SGIVIP) Theo bớc (b) ta chØ cÇn chØ r»ng (MGIVI) cã nghiƯm (c) Víi w C, ta xác định ánh xạ đa trị T1, T2 : C 2Y cho T1(w) := {v ∈ C : sup F (T (v, v), w, v) 0} T2(w) := {v ∈ K : sup F (T (w, v), w, v) 0} 96 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com T1(w) lµ tËp nghiệm (SGIVI) Ta thấy wC T2(w) tËp nghiƯm w∈C cđa (MGIVI) Ta chØ r»ng T1 ánh xạ KKM C Giả sử ngợc lại T1 không ánh xạ KKM C Khi tồn w1, w2, , wn ∈ C vµ λ1 , λ2 , , λn n n λj = cho w := víi j=1 λj wj ∈ / T1(wi) víi mäi i = 1, 2, , n Vì j=1 n C lồi w1, w2, , wn ∈ C nªn w := λj wj ∈ C, chó ý r»ng v× j=1 w∈ / T1 (wi) víi mäi i = 1, 2, , n nªn sup F (T (w, w), wi, w) < víi mäi i = 1, 2, , n Vì với x T (w, w) ⊂ X, F (x, ·, w) lµ R+ - låi, ta cã n {0} = F (x, w, w) ⊂ λj F (x, wj , w) − R+ j=1 Khi tồn uj F (x, wj , w) ⊂ F (T (w, w), wj , w) víi j = 1, 2, , n n vµ a ∈ R+ cho = λj uj −a V× uj ∈ F (x, wj , w) ⊂ F (T (w, w), wj , w) j=1 víi mäi j = 1, 2, , n nªn uj 1, 2, , n Do ®ã ta cã n 0= n λj uj − a j=1 sup F (T (w, w), wj , w) víi mäi j = λj sup F (T (w, w), wj , w) < 0, j=1 ®iỊu vô lý Vậy T1 ánh xạ KKM C (d) Ta có T1( u) K, tồn u T1 ( u)\K sup F (T (u, u), u , u) 0, điều trái với (iii) Ngoài ra, K compact Y nên T1 ( u) tập compact Y Hơn nữa, n conv({w1, w2, , wn}) ⊂ n T1(wi) ⊂ i=1 T1(wi) i=1 víi mäi w1 , w2, , wn ∈ C Theo Nguyên lý ánh xạ KKM, ta có T1 (w) = ∅ w∈C 97 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com T1 (w) ⊂ (e) TiÕp theo, ta chØ w∈C0 T2 (w) w∈C0 ThËt vËy, theo b−íc (d) ta cã T1 (˜ u) ⊂ K V× K compact không gian vectơ tôpô Hausdorff Y nên K đóng, với T1( u) K ta đợc T1 ( u) K Chú ý rằng, u˜ ∈ C0 nªn T1(w) ⊂ T1 (˜ u) ⊂ K w∈C0 T1(w), ®ã v ∈ K ∩ T1(w) víi mäi w ∈ C0 Chän u ∈ C0 bÊt LÊy v ∈ w∈C0 kú, ta ph¶i chøng minh v T2(u) Vì v T1(u) nên tồn t¹i d·y suy réng {vα }α∈A ⊂ T1(u) cho {v} hội tụ tới v sup F (T (vα, vα ), u, vα) víi mäi α ∈ A Theo (i) ta cã sup F (T (u, vα), u, vα) víi mäi α ∈ A V× F nửa liên tục với giá trị compact, T (u, Ã) nửa liên tục T (u, v ) lµ compact víi mäi u, v ∈ C, theo Bổ đề 3.3.20(ii), với u C0 cố định hàm sup F (T (u, Ã), u, Ã) nửa liên tục Do sup F (T (u, v), u, v) lim sup sup F (T (u, vα), u, vα) vα →v V× v ∈ K vµ sup F (T (u, v), u, v) 0, ta suy v ∈ T2(u) VËy T1(w) ⊂ w∈C0 T2(w) wC0 (f) Từ bớc (a), (MGIVI)0 (MGIVI) tơng đơng nên T2(w) = T2(w) Tuy nhiên theo (e) th× T1(w) ⊂ T2(w) w∈C0 w∈C w∈C0 w∈C0 Do ®ã ta cã T1(w) ⊂ w∈C T1(w) ⊂ w∈C0 T2(w) = wC0 T1 (w) = Tõ b−íc (d) th× w∈C T2(w) w∈C T2 (w) = , nghĩa (MGIVI) wC có nghiệm Trong Định lý 3.3.21, trờng hợp C0 = C tập compact điều kiện (iii) thỏa mÃn (vì ta có thĨ chän K = C ), ®ã ta cã: Định lý 3.3.22 Cho X, Y hai không gian vectơ tôpô Hausdorff, C tập lồi compact khác rỗng Y Cho T : C ×C −→ 2X F : X ìC ìC 2R hai ánh xạ đa trị với giá trị compact khác rỗng cho F nửa liên tục trên, F (x, u, u) = {0} víi mäi x ∈ X vµ u ∈ C, ngoµi víi (x, u) ∈ X ì C cố định ánh xạ F (x, Ã, u) R+ - lồi Giả thiết điều kiện sau đợc thỏa mÃn 98 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (i) T giả đơn ®iƯu trï mËt theo ®èi sè thø nhÊt t−¬ng øng với F ; (ii) với u C cố định ánh xạ đa trị T (u, Ã) : C 2X nửa liên tục với v C cố định ánh xạ đa trị T (Ã, v) : C 2X nửa liên tục từ đoạn thẳng C vào X Khi (SGIVI) có nghiệm, tức tồn u ∈ C cho sup F (T (u, u), u, u) với u C Trong Định lý 3.3.21, Y = X đối ngẫu tôpô X F ánh xạ đơn trị cho bëi F (x, v, u) = v − u, x víi mäi u, v ∈ C vµ x ∈ X C0 = C , ta có kết sau, tổng quát hóa kết G Kassay, J Kolumbán [20] Đinh Thế Lục [28] Hệ 3.3.23 Cho X không gian Banach thực với đối ngẫu tôpô X , C X tập lồi khác rỗng Cho T : C ì C 2X ánh xạ đa trị với giá trị compact khác rỗng cho với u C cố định ánh xạ đa trị T (u, Ã) : C 2X nửa liên tục với v C cố định ánh xạ đa trị T (Ã, v) : C 2X nửa liên tục từ đoạn thẳng C vào X Giả thiết điều kiện sau đợc thỏa mÃn (i) T giả đơn điệu trù mật theo đối số thứ nhất; (ii) tồn tập compact khác rỗng K C u C cho sup u˜ − u, T (u, u) < víi u C\K Khi tồn u K cho sup u − u, T (u, u) víi mäi u ∈ C TiÕp theo, chóng t«i thiết lập kết tồn cho lời giải (MGIQVI) Nhắc lại bất đẳng thức tựa biến phân dạng ẩn tổng quát Minty (MGIQVI): Tìm u C cho u ∈ B(u) vµ inf F (T (v, u), v, u) víi mäi v ∈ A(u), ®ã T : C × C −→ 2X , F : X ì C ì C 2R A, B : C 2C ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng Định lý 3.3.24 (L.J Lin, M.F Yang, Q.H Ansari vµ G Kassay [27]) Cho X Y hai không gian vectơ tôpô Hausdorff C tập lồi khác rỗng Y Cho A, B : C −→ 2C lµ hai ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng cho với v C A1(v) tập më C, conv(A(u)) ⊂ B(u) víi mäi u ∈ C tập hợp F = {u C : u B(u)} đóng C Cho T : C ì C 2X F : X ì C ì C 2R ánh xạ nửa liên tục dới với giá trị khác rỗng cho ∈ F (x, u, u) víi mäi (x, u) X ì C Giả sử điều kiện sau đợc thoả mÃn 99 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (i) T giả đơn điệu yếu theo đối số thứ tơng ứng với F ; (ii) với u C tập hợp Q(u) = {v ∈ C : sup F (T (u, u), v, u) < 0} lồi; (iii) tồn tập compact khác rỗng K C tập lồi compact khác rỗng D C cho với u ∈ C\K, tån t¹i v˜ ∈ D víi v˜ ∈ A(u) cho inf F (T (˜ v, u), v˜, u) < Khi (MGIQVI) có nghiệm, nghĩa tån t¹i u ∈ C cho u ∈ B(u) vµ inf F (T (v, u), v, u) víi v A(u) Chứng minh Xét ánh xạ đa trÞ P : C −→ 2C cho bëi P (u) = {v ∈ C : inf F (T (v, u), v, u) < 0} víi mäi u ∈ C Ta xác định hai ánh xạ đa trị S, T : C −→ 2C cho bëi S(u) = A(u) ∩ P (u) A(u) nÕu u ∈ F ; nÕu u ∈ C\F T (u) = B(u) ∩ Q(u) B(u) nÕu u ∈ F ; nÕu u ∈ C\F vµ Bëi tÝnh giả đơn điệu yếu T ta có P (u) Q(u) với u C Vì Q(u) låi nªn ta suy conv(P (u)) ⊂ Q(u) víi u C conv(S(u)) T (u) V× ∈ F (x, u, u) víi mäi (x, u) X ì C nên ta có sup F (T (u, u), u, u) víi mäi u C Do u / Q(u) vËy u ∈ / T (u) víi mäi u ∈ C Bằng cách sử dụng tính liên tục dới F T với Bổ đề 3.3.20(i) ta có, với v C, u sup[F (T (v, u), v, u] nửa liên tục dới Do với v C, u inf[F (T (v, u), v, u] = − sup[−F (T (v, u), v, u] nửa liên tục Do đó, với v ∈ C, P −1 (v) = {u ∈ C : inf F (T (v, u), v, u) < 0} mở C Vì F đóng C với v C, A1(v) mở C, ta dƠ dµng thÊy r»ng S −1(v) = (A−1(v) ∩ P −1 (v)) ∪ (A−1(v) ∩ (C\F )) lµ më C 100 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Theo (iii), tồn tập compact khác rỗng K C tập lồi compact khác rỗng D ⊂ C cho víi mäi u ∈ C\K, tån t¹i v˜ ∈ D víi v˜ ∈ A(u) cho inf F (T (˜ v, u), v˜, u) < Khi ®ã u ∈ A−1(˜ v ) ∩ P −1 (˜ v) Do ®ã u ∈ S −1(˜ v) VËy tất điều kiện Định lý 2.2.1 đợc thoả mÃn, tồn u C cho S(u) = ∅ NÕu u ∈ C\F th× A(u) = S(u) = ∅, tr¸i víi A(u) = ∅ víi u C Do u F u B(u) A(u) P (u) = ∅ VËy víi mäi v ∈ A(u), v ∈ / P (u) NghÜa lµ u ∈ B(u) vµ inf F (T (v, u), v, u) víi mäi v A(u) Do ta có điều phải chứng minh 101 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com kÕt luận Lý thuyết KKM toán cân mà trờng hợp riêng bất đẳng thức biến phân ®Ịu rÊt quan träng vỊ lý thut vµ øng dơng, trình phát triển hoàn thiện Có thể nói lý thuyết KKM sở lý thuyết đóng vai trò quan trọng nghiên cứu toán cân Vì thế, luận văn này, việc trình bày nội dung tơng đối chi tiết lý thuyết KKM toán cân bằng, đà cố gắng định nghĩa khái niệm cần sử dụng, chứng minh cách chặt chẽ hầu hết định lý, hệ quả, bổ đề cố gắng nêu rõ mối liên hệ lôgíc chúng với Trên tinh thần đó, kết mà luận văn đà đạt đợc nh sau: + Trình bày tổng quan lý thuyết KKM không gian vectơ tôpô, lý thuyết KKM lµ mét lý thut rÊt quan träng, cã nhiỊu øng dụng trình phát triển hoàn thiện Lý thuyết KKM đà quen thuộc với nhiều bạn đọc, trình bày lại lý thuyết KKM, cố gắng trình bày theo hớng khác Cụ thể đà chứng minh lại Nguyên lý ánh xạ KKM theo cách hoàn toàn mà tính tách không gian đợc giải phóng, từ ứng dụng Nguyên lý ánh xạ KKM đợc giải phóng tính tách Cũng Chơng 1, chứng minh lại định lý Shih theo cách trực tiếp từ Bổ đề KKM cho tập mở Bên cạnh đó, tìm cách mở rộng định lý Browder-Fan chứng minh Nguyên lý ánh xạ KKM tổng quát, Định lý Browder-Fan tổng quát Trong phần cuối Chơng 1, chứng minh định lý điểm bất ®éng Fan-Glickberg theo c¸ch míi b»ng c¸ch sư dơng bÊt đẳng thức Ky Fan định lý Hahn-Banach Cách chứng minh theo hiểu biết tác giả Các Chơng nhằm giới thiệu số kết gần toán cân bất đẳng thức biến phân, liên quan đến hai báo [27] [34] Trong hai chơng này, đà chọn lọc, xếp lại kết để phù hợp với đầu đề chơng, cải tiến số kết giới thiệu thêm số kết Cụ thể + Trình bày số ứng dụng bớc đầu lý thuyết KKM cho toán cân Cụ thể đà chứng minh mở rộng bất đẳng thức Ky Fan cho hai hàm số C không compact cách sử dụng Định lý Browder-Fan tổng quát Chơng Từ thu đợc kết mở rộng bất đẳng thức Ky Fan cho hai hàm số C không compact không gian vectơ tôpô Hausdorff L.J Lin, Z.T Yu G Kassay [26] Cách chứng minh độc lập với L.J Lin, Z.T Yu G Kassay Ngoài phát biểu chứng minh chặt chẽ bất đẳng thức Minty, nh tìm cách mở rộng bất đẳng thức Minty trờng hợp đơn trị lẫn đa trị 102 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + Trình bày số kết bất đẳng thức biến phân nh trờng hợp riêng toán cân Với tinh thần đó, cố gắng trình bày dựa hai tảng bất đẳng thức Ky Fan bất đẳng thức Minty Một số kết phần đầu mục 3.3 cải tiến mức độ khác Định lý 3.1 [27] Định lý 3.1 [34] Các định lý, hệ quả, bổ đề luận văn đợc trình bày rõ ràng chặt chẽ, hầu hết bổ đề luận văn mà không đợc chứng minh [27] [34] đà đợc tự chứng minh theo cách hiểu thân Mặc dù có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian trình độ, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, mong muốn đợc tiếp thu chân thành cám ơn ý kiến giáo, đóng góp quý báu thầy cô giáo bạn độc giả để luận văn đợc hoàn thiện Mọi liên lạc với tác giả xin gưi qua th− ®iƯn tư: tranvietanh.ceqea@gmail.com 103 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tμi liƯu tham kh¶o [1] Q.H Ansari, T.C Lai, J.C.Yao, On the equivalence of extended generalized complementarity and generalized least-element problems, J Optim Theory Appl 102 (1999) 277-288 [2] Q.H Ansari, Y.C Lin, J.C Yao, General KKM theorem with applications to minimax and variational inequalities, J Optim Theory Appl 104 (2000) 41-57 [3] Q.H Ansari, J.C.Yao, An existence result for the generalized vector equilibrium problem, Appl Math Lett 12 (8) (1999) 53-56 [4] J.P Aubin, A Cellina, Differential Inclusions, Springer, Berlin, Heidberg, NewYork, 1994 [5] J.P Aubin and I Ekeland, Applied Nonlinear Analysis, Wiley, New York, 1984 [6] C Baiocchi and A Capelo, Variational and Quasivariational Inequalities, Wiley, New York, 1984 [7] C Berge, Topological Spaces, Oliver and Boyd, Edinburgh, London, 1963 [8] Robert Cauty, Solution du problÌme de point de Schauder, Fund Math 170 (2001), 231-246 [9] Y.Q Chen, On semi-monotone operator theory and applications, J Math Anal Appl 231 (1999) 177-192 [10] P Deguire, K.K Tan, G.X.Z.Yuan, The study of maximal elements, fixed points for Ls -majorized mappings and their applications to minimax and variational inequalities in product spaces, Nonlinear Anal 37 (1999) 933951 [11] X.P Ding and K.K Tan, Generalized variational inequalities and generalized quasivariational inequalities J Math Anal Appl 148 (1990), 497-508 [12] K Fan, Fixed points and minimax theorems in locally convex topological linear spaces, Proc Nat Acad Sci U.S.A 38 (1952), 131-136 [13] K Fan, A generalization of Tychonoff's fixed point theorem, Math Ann 142 (1961), 305-310 [14] F Giannessi, On Minty variational principle, in: F Giannessi, S Komlãsi, T Rapcs¸k (Eds.), New Trends in Mathematical Programming, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 1998 104 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [15] I.L Glicksberg, A further generalization of the Kakutani fixed point theorem with applications to Nash equilibrium points, Proc Amer Math Soc (1952), 170-174 [16] P.T Harker and J.S Pang, Finite dimensional variational inequalities and nonlinear complementarity problems: a survey of theory, algorithms and applications, Math Programming 48 (1990), 161-220 [17] C D Horvath and J V Llinares Ciscar, Maximal elements and fixed points for binary relations on topological ordered spaces, J Math Econom 25 (1996), 291-306 [18] T Husain and E Tarafdar, Simultaneous variational inequalities, minimization problems and related results Math Japonica 39 (1994), 221-231 [19] A Karamolegos and D Kravvaritis, Nonlinear random operator equations and inequalities in Banach spaces, Internat J Math Math Sci 15 (1992), 111-118 [20] G Kassay, J Kolumb¸n,Variational inequalities given by semipseudomonotone mappings, Nonlinear Anal Forum (2000) 35-50 [21] G Kassay, J Kolumb¸n, Zs P¸les, Factorization of Minty and Stampacchia variational inequality systems, Eur J Oper Res 143 (2002) 377-389 [22] D Kinderlehrer, G Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, NewYork, 1980 [23] S Komlãsi, On the Stampacchia and Minty variational inequalities, in: G Giorgi, F.A Rossi (Eds.), Generalized Convexity and Optimization for Economic and Financial Decisions, Pitagora Editrice, Bologna, 1999 [24] D Kravvaritis Nonlinear equations and inequalities in Banach spaces, J Math Anal Appl 67 (1979), 205-214 [25] L.J Lin, Z.T Yu, On some equilibrium problems for multimaps, J Comput Appl Math 129 (2001) 171-183 [26] L.J Lin, Z.T Yu, G Kassay, Existence of equilibria for multivalued mappings and its applications to vectorial equilibria, J Optim Theory Appl 114 (1) (2002) 189-208 [27] L.J Lin, M.F Yang, Q.H Ansari, G Kassay, Existence results for Stampacchia and Minty type implicit variational inequalities with multivalued maps, Nonlinear Anal 61(2005) 1-19 105 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [28] D.T Luc, Existence results for densely pseudomonotone variational inequalities, J Math Anal Appl 254 (2001) 291-308 [29] U Mosco, Implicit variational problems and quasi variational inequalities, in: Nonlinear Operators and the Calculus of Variations (eds J.P Gossez, E.J Lami Dozo, J Mawhin and L Waelbrook), 1976, pp 83-156, SpringerVerlag, Berlin [30] P.D Panagiotopoulus, G.E Stavroulakis, New types of variational principles based on the notion of quasidifferentiability, Acta Mech 94 (1992) 171-194 [31] M.H Shih and K.K Tan, Generalized quasi-variational inequalities in locally convex topological vector spaces, J Math Anal Appl 108 (1985), 333-343 [32] M.H Shih and K.K Tan A minimax inequality and Browder-HartmanStampacchia variational inequalities for multi-valued monotone operators Proceedings of Fourth FRANCO-SEAMS Joint Conference, Chiang Mai, Thailand 1988 [33] M.H Shih and K.K Tan, Browder-Hartman-Stampacchia variation inequalities for multi-valued monotone operators, J Math Anal Appl 134 (1988), 431-440 [34] K.K Tan, E Tarafdar, G.X.Z.Yuan, A study of Variational Inequalities for Set-Valued Mappings, J Inequal Appl 3(1999) 161-181 [35] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà Các định lí điểm bất động Nhà xuất Đại học S phạm, Hà Nội, 2003 [36] E Tarafdar, Nonlinear variational inequality with application to the boundary value problem for quasi-linear operator in generalized divergence form Funkcialaj Ekvacioj 33 (1991), 441-453 [37] E Tarafdar and X.Z Yuan, Non-compact generalized quasi-variational inequalities in locally convex topological vector spaces, Nonlinear World (1994), 273-283 [38] C.I Tulcea, On the approximation of upper semi-continuous correspondences and the equilibriums of generalized games, J Math, Anal Appl 136 (1988), 267-289 [39] Hoµng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2005 106 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [40] Walter Rudin, Functional Analysis, Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991 [41] J.C Yao, Multi-valued variational inequalities with K -pseudomonotone operators, J Optim Theory Appl 83 (1994) 391-403 [42] G.X.-Z.Yuan, KKM Theory and applications in nonlinear analysis, Marcel Dekker Inc., NewYork, 1999 [43] G.X.Z Yuan, the study of minimax inequalities and applications to economics and variational inequalities, Mem Amer Math Soc No 625, 132 (1998), 1-140 107 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... nói lý thuyết KKM sở lý thuyết cho toán cân Đà có nhiều báo vấn đề nhng theo đợc biết, cha có tài liệu giới thiệu cách hệ thống mối liên hệ lý thuyết nói Vì chọn đề tài: Lý thuyết KKM toán cân. .. mäi j = 1, 2, , n Định lý đà đợc chứng minh yj Kj Trong mục tiếp theo, ta xét toán cân đa giải thích cân Nash trờng hợp riêng toán cân 2.2 Bài toán cân Bài toán cân (EP)2 đợc phát biểu nh... quát toán cân gần với bất đẳng thức Ky Fan, lý thuyết KKM đóng vai trò quan trọng nghiên cứu toán cân bằng, mà trờng hợp riêng bất đẳng thức biến phân Cả hai lý thuyết nêu rÊt quan träng vỊ lý