Phương pháp giải một số bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐẶNG XUÂN SƠN PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐẶNG XUÂN SƠN PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : GS.TSKH Lê Dũng Mưu GS.TSKH Phạm Kỳ Anh XÁC NHẬN NCS Đà CHỈNH SỬA THEO QUYẾT NGHỊ CỦA HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ LUẬN ÁN Người hướng dẫn khoa học Chủ tịch hội đồng đánh giá Luận án Tiến sĩ GS.TSKH Lê Dũng Mưu PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh Hà Nội - 2018 L˝I CAM OAN Tæi xin cam oan Ơy l cổng trnh nghiản cứu ca tổi C¡c k‚t qu£ vi‚t chung vỵi c¡c t¡c gi£ kh¡c, ãu  ữổc sỹ nhĐt tr ca cĂc ỗng tĂc gi£ ÷a v o lu“n ¡n C¡c k‚t qu£ n¶u lu“n ¡n l ho n to n trung thỹc v chữa tng ữổc cổng b bĐt cø mºt cæng tr…nh n o kh¡c H nºi, ng y thĂng nôm Nghiản cứu sinh ng XuƠn Sỡn L˝IC MÌN B£n lu“n ¡n n y ÷ỉc ho n th nh t⁄i Bº mỉn Gi£i t‰ch, Khoa To¡n-Cì-Tin håc, Trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản, i hồc Quc gia H Ni, dữợi sỹ hữợng dÔn ca GS TSKH Lả Dụng Mữu v GS TSKH Phm Ký Anh TĂc gi£ xin b y tä lỈng k ‰nh trång v bit ỡn sƠu sc nhĐt n cĂc Thy vã sỹ ch bÊo v hữợng dÔn tn tnh sut thới gian t¡c gi£ l m nghi¶n cøu sinh T¡c gi£ cụng xin gòi lới cÊm ỡn tợi cĂc th nh viản nhõm Xảmina liản cỡ quan Trữớng i hồc Khoa håc Tü nhi¶n - ⁄i håc QuŁc gia H Ni, Trữớng i hồc BĂch khoa H Ni, Viằn nghiản cứu cao cĐp vã ToĂn  õng gõp nhiãu ỵ kin quỵ bĂu thới gian tĂc giÊ tham dỹ Xảmina TĂc giÊ trƠn trồng gòi lới cÊm ỡn n PhỈng Sau ⁄i håc, Ban Chı nhi»m Khoa To¡n-Cì-Tin håc, ban giĂm hiằu Trữớng THPT chuyản Trn Phú HÊi Phặng ¢ ln gióp ï, t⁄o i•u ki»n thu“n lỉi v ºng vi¶n t¡c gi£ suŁt qu¡ tr…nh håc t“p v nghi¶n cøu B£n lu“n ¡n n y s‡ khỉng th” ho n th nh n‚u khæng câ sü thæng cÊm, chia sà v giúp ù ca nhng ngữới thƠn gia …nh t¡c gi£ T¡c gi£ th nh k‰nh dƠng tng mõn qu tinh thn n y lản cĂc b“c sinh th nh v to n th” gia …nh thƠn yảu ca mnh vợi tĐm lặng trƠn trồng v bi‚t ìn s¥u s›c MỤC LỤ Trang Líi cam oan Líi c£m ìn Mưc lưc B£ng k‰ hi»u B£ng c¡c chœ vi‚t t›t Mð ƒu Ch÷ìng KI N THÙC CHU N BÀ 1.1 1.2 1.3 1.4 To¡n tß chi‚u B i to¡n i”m b§t ºng B i to¡n bĐt flng thức bin phƠn B i to¡n c¥n b‹ng Ch÷ìng B T NG THÙC BI N PH N TR N T P NGHI M CÕA B I TO N CH P NH N L˙I SUY R¸NG 2.1 Nghi»m chung cıa b i to¡n i”m b§t º b i to¡n c¥n b‹ng 2.2 B§t flng thức bin phƠn trản nghi flng thức bin phƠn v b i to¡n i”m b§ 2.3 B§t flng thøc bin phƠn trản im x bĂn co Ch÷ìng B I TO N CH P NH N T CH SUY RáNG 3.1 B i toĂn chĐp nhn tĂch suy rng liản im bĐt ng 64 3.2 B i to¡n t…m cüc trà cıa h m kho£ng c¡ch tr¶n t“p nghi»m cıa b i to¡n c¥n b‹ng t¡ch 75 v K‚t lu“n v ki‚n nghà Danh mưc cỉng tr…nh khoa håc cıa t¡c gi£ li¶n quan ‚n lu“n ¡n T i li»u tham kh£o BNGKHIU R N N ; A B A B x2A x 2= A 9x 8x n R H kxk hx; yi argminff(x) : x Cg argmaxff(x) : x Cg NC (x) @f(x) PC (x) n fx g n x ! x n x *x lim sup lim inf A Fix(T ) V IP(C;F) Sol(C; F ) EP (C; f) Sol(C; f) t“p nghi»m cıa b i to¡n c¥n b‹ng EP (C; f) k‚t thóc chøng minh B NGC CCHÚVI TT T VIP b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn EP b i to¡n c¥n b‹ng SEP b i to¡n c¥n b‹ng t¡ch CFP b i toĂn chĐp nhn lỗi GCFP b i toĂn chĐp nhn lỗi suy rng SFP b i toĂn ch§p nh“n t¡ch MSSFP b i to¡n ch§p nh“n t¡ch SFPP b i to¡n i”m b§t a t“p hỉp ºng t¡ch MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chn ti Nhiãu vĐn ã khoa hồc v kắ thut nhữ khổi phửc Ênh, xò lỵ tn hiằu v nhiãu b i toĂn nhữ: ti ữu, bĐt flng thức bin phƠn, giÊi hằ phữỡng trnh, cƠn bng, (xem [10,29,31] v c¡c t i li»u tham chi‚u ð Ơy) ãu cõ th ữa vã viằc giÊi b i toĂn chĐp nhn lỗi (CFP - Convex Feasibility Problem) sau ¥y: T…m i”m x â Ci; i = 1; 2; : : : ; N l c¡c t“p lỗi õng khĂc rỉng khổng gian Hilbert hoc khổng gian Banach B i toĂn CFP ữổc Cauchy ã cp tł giœa th‚ k¿ 19 v nh“n ÷ỉc sü quan tƠm v nghiản cứu rng rÂi hai thp niản gn Ơy cÊ vã lỵ thuyt v thut toĂn Ơy l mºt b i to¡n cì b£n v kh¡ tŒng qu¡t cıa to¡n gi£i t‰ch, to¡n håc t‰nh to¡n v toĂn ứng dửng B i toĂn chĐp nhn lỗi  thu hút sỹ quan tƠm ca nhiãu nh toĂn hồc t nhng nôm 30 ca th k trữợc, cho n nay, Ơy vÔn l mt vĐn ã thới sỹ, tnh lỵ thú vã mt toĂn hồc v c biằt l phm vi ứng dửng rĐt rng rÂi ca b i toĂn cĂc lắnh vỹc nhữ xò lỵ tn hiằu, khổi phửc Ênh, lỵ thuyt ti ữu, kắ thut y sinh v lỵ thuyt xĐp x [29] Mt s tĂc giÊ tiảu biu vã hữợng nghiản cứu n y l Bauschke v Borwein [10], Butnariu, Censor, Reich [15], D⁄ng ìn gi£n nh§t cıa b i to¡n CFP l tm im chung ca cĂc lỗi õng cho trữợc Trong trữớng hổp n y th kắ thut ph bi‚n gi£i b i to¡n CFP l sß dưng ph†p chiu lản cĂc lỗi vợi mt s phữỡng phĂp nhữ phữỡng phĂp chiu xoay vặng (tun tỹ), phữỡng phĂp chiu lp song song ( ỗng thới), phữỡng phĂp lp khi, Tuy nhiản, thỹc t th thữớng cĂc C i ãu khổng ữổc cho dữợi dng b i to¡n minfkx ” minh håa u k : x C; Ax Qg: nh lỵ 3.2, ta x†t v‰ dö sau: 4 V‰ dö 3.1 °t H1 = R , H2 = R v x†t to¡n tß tuy‚n t‰nh bà ch°n A : R ! R cho bði T A(x) = (x1 + x3 + x4; x2 + x3 Ta d„ d ng ki”m tra T x4) ; 8x = (x1; x2; x3; x4) R : ữổc toĂn tò liản hổp A : R ! R cıa A ÷ỉc cho bði T A (y) = (y1; y2; y1 + y2; y1 T y2) ; y = (y1; y2) R : X†t T C = f(x1; x2; x3; x4) R : x2 + x3 v song h m f : C C! x1 1g R cho bði T T f(x; y) = x1 x2 x3 y1+y2+y3; 8x = (x1; x2; x3; x4) C; y = (y1; y2; y3; y4) C: D„ d ng ki”m tra ữổc f(x; ) lỗi v khÊ dữợi vi phƠn trản C v f(x; x) = vỵi måi x C Ngo i f gi£ ìn i»u tr¶n C v thọa mÂn iãu kiằn kiu Lipschitz trản C vợi c¡c h‹ng sŁ c1 = c2 = D„ thĐy nghiằm ca b i toĂn cƠn bng EP (C; f) l T Sol(C; f) = f(x1; x2; x3; x4) R : x2 + x3 T x1 = 1g: Ti‚p theo, x†t t“p Q = f(u1; u2) R : u1 + u2 = 2g T“p nghi»m cıa b i to¡n SEP nh÷ sau: = T fx = (x1; x2; x3; x4) Sol(C; f) : A(x) Qg T x1 = 1; (x1 + x3 + x4) + (x2 + x3 T x1 = 1; x1 + x2 + 2x3 = 2g = fx = (x1; x2; x3; x4) R : x2 + x3 = fx = (x1; x2; x3; x4) R : x2 + x3 = f( ; T 4; ; ) : ; Rg: 86 x4) = 2g L§y x = ( ; T 4; ; ) b§t ký, ta câ p 2 2 kxk = + (3 4) + (3 2) + r = 2(79)2 13 + 2+ 77 r 13 = kx k; âx Chån x 3k + =( , " = 10 Ta câ k‚t qu£ k‚t qu£ t‰nh to¡n ð 2k + Ta th§y nghi»m x§p x¿ sau 35898 bữợc lp 35898 x = (1:28572; 0:14262; 0:42837; 0:00019)T l mºt x§p x¿ tŁt cho nghi»m óng x = 7; ; 7; T 87 Kết luận chương Trong ch÷ìng n y, chóng tỉi kt hổp phữỡng phĂp o h m tông cữớng-gn kã cho cĂc b i toĂn cƠn bng, phữỡng phĂp lp Mann ” t…m nghi»m cıa b i to¡n ch§p nh“n tĂch suy rng liản quan n b i toĂn cƠn b‹ng v i”m b§t ºng âng gâp ti‚p theo cıa chữỡng l ã xuĐt thut toĂn giÊi b i to¡n t…m cüc trà cıa h m kho£ng c¡ch tr¶n t“p nghi»m cıa b i to¡n c¥n b‹ng t¡ch 88 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong lu“n ¡n, chóng tỉi  ã xuĐt phữỡng phĂp giÊi mt v i lợp b i toĂn chĐp nhn tĂch suy rng liản quan ‚n b i to¡n c¥n b‹ng khỉng gian Hilbert thüc C¡c k‚t qu£ ch‰nh m lu“n ¡n thu ÷ỉc nhữ sau: XƠy dỹng thut toĂn giÊi b i to¡n t…m i”m chung cıa t“p i”m b§t ºng cıa mºt hå c¡c ¡nh x⁄ gi£ co ch°t vỵi t“p nghi»m b i to¡n c¥n b‹ng X¥y düng thu“t toĂn giÊi b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn trản nghiằm chung ca b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn v b i toĂn im bĐt ng ca Ănh x bĂn co ã xuĐt thut toĂn song song ” gi£i b i to¡n b§t flng thøc bin phƠn trản im bĐt ng chung ca mt hå hœu h⁄n c¡c ¡nh x⁄ b¡n co X¥y düng thu“t to¡n t…m nghi»m cıa b i to¡n ch§p nh“n t¡ch suy rºng li¶n quan ‚n b i to¡n cƠn bng v im bĐt ng ữa thut to¡n gi£i b i to¡n t…m cüc trà cıa h m kho£ng c¡ch tr¶n t“p nghi»m cıa b i to¡n cƠn bng tĂch Mt s vĐn ã cõ th tip tưc nghi¶n cøu: Nghi¶n cøu thu“t to¡n gi£i b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn trản nghiằm cıa b i to¡n t…m nghi»m chung cıa b i to¡n i”m b§t ºng cıa c¡c ¡nh x⁄ gi£ co cht v b i toĂn cƠn bng Nghiản cứu thu“t to¡n gi£i b i to¡n b§t flng thøc bi‚n phƠn trản nghiằm ca b i toĂn chĐp nhn tĂch suy rng liản quan n b i toĂn cƠn bng v im bĐt ng 89 Nghiản cứu thut to¡n song song gi£i b i to¡n b§t flng thøc bin phƠn trản nghiằm ca b i toĂn chĐp nh“n t¡ch suy rºng li¶n quan ‚n c¡c ¡nh x⁄ b¡n co 90 DANH MÖC C˘NG TR NH KHOA H¯C CÕA T C GI LI NQUAN NLU N N Anh P.N., Son D.X (2011), "A new method for a finite family of pseudo- contractions and equilibrium problems", Journal of Applied Mathematics and Informatics., 29, pp 1179-1191 (SCOPUS) Dinh B.V., Son D.X., Anh T.V (2017), "Extragradient-Proximal Methods for Split Equilibrium and Fixed Point Problems in Hilbert Spaces", Vietnam J Math., 45 (4), pp 651-668 (SCOPUS) Son D.X (2018), "An algorithm for solving a class of bilevel split problems involving pseudomonotone equilibrium problem", Afrika Matematika DOI : 10.1007/s13370-018-0614-0 (SCOPUS) Hieu D.V., Son D.X., Anh P.K., Muu L.D (2018), "A two-step extragradient- viscosity method for variational inequalities and fixed point problems", Acta Math Vietnam DOI: 10.1007/s40306-018-0290-z (SCOPUS) Anh T.V., Muu L.D., Son D.X (2018), "Parallel algorithms for solving a class of variational inequalities over the common fixed points set of a finite family of demicontractive mappings", Numer Funct Anal Optim DOI: 10.1080/01630563.2018.1485695 (SCIE) 91 Tài liệu tham khảo T i liằu ting Viằt [1] Nguyn Vôn Hiãn, Lả Dơng M÷u, Nguy„n Hœu i”n (2014), Gi¡o Tr…nh Gi£i T‰ch Lỗi ng Dửng, NXB i hồc Quc gia H Ni, H Nºi T i li»u ti‚ng Anh [2] Acedo G.L., Xu H.K (2007), "Iterative Methods for Strict Sseudo- Contractions in Hilbert Spaces", Nonlinear Anal., 67, pp 2258-2271 [3] Aoyama K., Kimura Y., Takahashi W., Toyoda M (2007), "Approximation of common fixed points of a coutable family of nonexpansive mappings in Banach space", Nonlinear Anal 67 (8), pp 2350-2360 [4] Anh P.K., Anh T.V., Muu L.D (2017), "On bilevel split pseudomonotone variational inequality problems with applications", Acta Math Vietnam., 42 (3), pp 413-429 [5] Anh P.K., Hieu D.V (2016), "Parallel hybrid iterative methods for variational inequalities, equilibrium problems, and common fixed point problems", Viet-nam J Math., 44 (2), pp 351-374 [6] Anh P.N (2013), "A hybrid extragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems", Optimization 62 (2), pp 271-283 [7] Anh T.V (2017), "An extragradient method for finding minimum-norm so- lution of the split equilibrium problem", Acta Math Vietnam., 42 (4), pp 587-604 92 [8] Anh T.V (2017), "A parallel method for variational inequalities with the multiple-sets split feasibility problem constraints", J Fixed Point Theory Appl., 19 (4), pp 2681-2696 [9] Anh T.V., Muu L.D (2016), "A projection-fixed point method for a class of bilevel variational inequalities with split fixed point constraints", Optimization 65 (6), pp 1229-1243 [10] Bauschke H.H., Borwein J.M (1996), "On projection algorithms for solving convex feasibility problems", SIAM Review 38, pp 367-426 [11] Bauschke H.H., Combettes P.L (2011), Convex Analysis and Monotone Op-erator Theory in Hilbert Spaces, Springer, New York [12] Baiocchi C., Capelo A (1984), Variational and Quasivariational Inequalities Applications to Free Boundary Problems, Wiley, New York [13] Blum E., Oettli W (1994), "From optimization and variational inequalities to equilibrium problems", Math Student 63, pp 123-145 [14] Buong N (2017), "Iterative algorithms for the multiple-sets split feasibility problem in Hilbert spaces", Numer Algorithms 76 (3), pp 783-798 [15] Butnariu D., Censor Y., Reich S (Editors) (2001), Inherently Parallel Algo- rithms in Feasibility and Optimization and Their Applications, Elsevier Science Publishers, Amsterdam, The Netherlands [16] Byrne C (2004), "A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction", Inverse Probl 20 (1), pp 103-120 [17] Byrne C (2002), "Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem", Inverse Probl 18 (2), pp 441-453 [18] Byrne C., Censor Y., Gibali A., Reich S (2012), "The split common null point problem", J Nonlinear Convex Anal 13 (4), pp 759-775 [19] Cegielski A (2015), "General method for solving the split common fixed point problem", J Optim Theory Appl 165 (2), pp 385-404 93 [20] Cegielski A., Al-Musallam F (2016), "Strong convergence of a hybrid steepest descent method for the split common fixed point problem", Optimization 65 (7), pp 1463-1476 [21] Ceng L.C., Petrusel A., Lee C., Wong M.M (2009), "Two Extragradient Ap-proximation Methods for Variational Inequalities and Fixed Point Problems of Strict Pseudo-Contractions", Taiwanese Journal of Mathematics, 13, pp 607-632 [22] Ceng L.C., Schaible S., Yao J.C (2008), "Implicit iteration scheme with per- turbed mapping for equilibrium problems and fixed point problems of finitely many nonexpansive mappings", J Optim Theory Appl 139 (2), pp 403-418 [23] Censor Y., Segal A (2009) "The split common fixed point problem for directed operators", J Convex Anal 16, pp 587-600 [24] Censor Y., Bortfeld T., Martin B., Trofimov A (2006), "A unified approach for inversion problems in intensity-modulated radiation therapy", Phys Med Biol 51, pp 2353-2365 [25] Censor Y., Gibali A., Reich S (2011), "The subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert space", J Optim Theory Appl 148 (2), pp 318-335 [26] Censor, Y., Gibali, A., Reich, S (2011), "Strong convergence of subgradi- ent extragradient methods for the variational inequality problem in Hilbert space", Optim Meth Softw 26(4-5), pp 827-845 [27] Censor Y., Elfving T (1994), "A multiprojection algorithm using Bregman projections in a product space", Numer Algorithms (2), pp 221-239 [28] Censor Y., Elfving T., Kopf N., Bortfeld T (2005), "The multiple-sets split feasibility problem and its applications for inverse problems", Inverse Probl 21 (6), pp 2071-2084 94 [29] Combettes P.L (1996), "The convex feasibility problem in image recovery", in, P.Hawkes(Ed.), Advances in Imaging and Electron Physics, Academic Press, New York 95, pp 155-270 [30] Combettes P.L., Hirstoaga S.A (2005), "Equilibrium programming in Hilbert spaces", J Nonlinear Convex Anal (1), pp 117-136 [31] Daniele P., Giannessi F., and Maugeri A (2003), Equilibrium Problems and Variational Models, Kluwer [32] Eslamian M., Eslamian P (2016), "Strong convergence of a split common fixed point problem", Numer Funct Anal Optim 37 (10), pp 1248-1266 [33] Eslamian M., Saadati R., Vahidi J (2017), "Viscosity iterative process for demicontractive mappings and multivalued mappings and equilibrium prob-lems", Comp Appl Math 36, pp 1239-1253 [34] Facchinei F., Pang, J.S (2003), Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementary Problems, NewYork: Springer-Verlag [35] Fan K (1972), "A minimax inequality and applications", in: O Shisha, In- equality III, Proceeding of the Third Symposium on Inequalities Academic Press, New York [36] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cam- bridge Studies in Advanced Math, vol 28 Cambridge University Press, Cam-bridge [37] He Z (2012), "The split equilibrium problems and its convergence algorithms", J Inequal Appl 2012:162, DOI:10.1186/1029-242X-2012-162 [38] Hieu D.V (2017), "An explicit parallel algorithm for variational inequalities", Bull Malys Math Sci Soc DOI:10.1007/s40840-017-0474-z [39] Hieu D.V (2015), "A parallel hybrid method for equilibrium problems, vari- ational inequalities and nonexpansive mappings in Hilbert space", J Korean Math Soc 52 (2), pp 373-388 95 [40] Hieu D.V (2016), "Parallel extragradient-proximal methods for split equilib-rium problems", Math Model Anal., 21 (4), pp 478-501 [41] Hieu, D.V., Anh P.K., Muu L.D (2017), "Modified hybrid projection methods for finding common solutions to variational inequality problems", Comput Optim Appl., 66, pp 75-96 [42] Hieu D.V., Muu L.D., Anh P.K (2016), "Parallel hybrid extragradient meth- ods for pseudomonotone equilibrium problems and nonexpansive mappings", Numer Algorithms, 73 (1), pp 197-217 [43] Konnov I.V (2000), Combined Relaxation Methods for Variational Inequali-ties, Springer, Berlin [44] Kraikaew R., Saejung S (2014), "Strong convergence of the Halpern sub- gradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert spaces", J Optim Theory Appl 163 (2), pp 399-412 [45] Liu B., Qu B., Zheng N (2014), "A successive projection algorithm for solving the multiple-sets split feasibility problem", Numer Funct Anal Optim 35 (11), pp 1459-1466 [46] Maing†, P.E (2008), "A hybrid extragradient-viscosity method for monotone operators and fixed point problems", SIAM J Control Optim 47 (3), pp 1499-1515 [47] Mann W.R (1953), "Mean value methods in iteration", Proc Amer Math Soc 4, pp 506-510 [48] Martinez-Yanes C., Xu H.K (2006), "Strong Convergence of the CQ Method for Fixed Point Processes", Nonlinear Anal 64 (11), pp 2400-2411 [49] Moudafi A (1999), "Proximal point algorithm extended to equilibrium prob- lems", J Nat Geom 15, pp 91-100 [50] Moudafi A (2011), "Split monotone variational inclusions", J Optim Theory Appl 150 (2), pp 275-283 96 [51] Moudafi A (2010), "The split common fixed-point problem for demicontrac-tive mappings", Inverse Probl 26 (5), ID: 055007 [52] Muu L.D (1984), "Stability property of a class of variational inequality", Optimization 15 (3), pp 347-351 [53] Muu L.D., Oettli W (1992), "Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria", Nonlinear Anal 18, pp 1159-1166 [54] Nadezhkina N., Takahashi W (2006), "Weak convergence theorem by an ex-tragradient method for nonexpansive mappings and monotone mappings", J Optim Theory Appl 128, pp 191-201 [55] Nikaido H., Isoda K (1955), "Note on noncooperative convex games", Pac J Math 5, pp 807-815 [56] Opial Z (1967), "Weak convergence of the sequence of successive approxima- tions for nonexpansive mappings", Bull Amer Math Soc 73, pp 591-597 [57] Peng J.W (2010), "Iterative Algorithms for Mixed Equilibrium Problems, Strict Pseudocontractions and Monotone Mappings", Journal of Optimization Theory and Applications, 144, pp 107-119 [58] Quoc T.D., Muu L.D., Nguyen, V.H (2008), "Extragradient algorithms ex- tended to equilibrium problems", Optimization 57 (6), pp 749-776 [59] Tada A., Takahashi W (2007), "Weak and strong convergence theorem for nonexpansive mapping and equilibrium problem", J Optim Theory Appl 133, pp 359-370 [60] Takahashi S., Takahashi W (2007), "Viscosity approximation methods for equilbrium problems and fixed point problems in Hilbert space", J Math Anal Appl 331, pp 506-515 [61] Takahashi W., Toyoda M (2003), "Weak convergence theorems for nonex-pansive mappings and monotone mappings", J Optim Theory Appl 118, pp 417-428 97 [62] Wang S (2016), "Strong convergence of a regularization algorithm for common solutions with applications", Comp Appl Math 35 (1), pp 153-169 [63] Wang S., Cho Y.J., Qin X (2010), "A New Iterative Method for Solving Equilibrium Problems and Fixed Point Problems for Infinite Family of Nonexpansive Mappings," Fixed Point Theory and Applications 2010, Article ID 165098, 18 pages [64] Wang S., Guo B (2010), "New Iterative Scheme with Nonexpansive Map- pings for Equilibrium Problems and Variational Inequality Problems in Hilbert Spaces," Journal of Computational and Applied Mathematics 233, pp 2620-2630 [65] Wen M., Peng J G., Tang Y.C (2015), "A cyclic and simultaneous itera- tive method for solving the multiple-sets split feasibility problem.", J Optim Theory Appl 166 (3), pp 844-860 [66] Xu H.K (2002), "Iterative algorithms for nonlinear operators", J London Math Soc 66 (1), pp 240-256 [67] Xu H.K (2006), "A variable Krasnosel’skii Mann algorithm and the multiple-set split feasibility problem", Inverse Probl 22, pp 2021-2034 [68] Xu H.K (2010), "Iterative methods for the split feasibility problem in infinite-dimensional Hilbert spaces", Inverse Probl 26 (10), ID: 105018 [69] Yamada I (2001), "The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings", In: Butnariu, D., Censor, Y., Reich, S (eds.) Inherently Parallel Algorithms for Feasibility and Optimization and Their Applications, Elsevier, Amsterdam, pp 473-504 [70] Yao Y., Liou Y.C., Wu Y J (2009), "An Extragradient Method for Mixed Equilibrium Problems and Fixed Point Problems", Fixed Point Theory and Applications DOI: 10.1155/2009/632819 98 [71] Zeidler E (1985), Nonlinear Functional Analysis and its Applications III: Variational Methods and Optimization, Springer-Verlag, New York [72] Zeng L.C., Yao J.C (2006), "Strong convergence theorem by an extragra- dient method for fixed point problems and variational inequality problems", Taiwanese J Math 10 (5), pp 1293-1303 [73] Zhao J.L., Yang Q.Z (2011), "Self-adaptive projection methods for the multiple-sets split feasibility problem", Inverse Probl 27 (3), ID: 035009 [74] Zhao J.L., Yang Q.Z (2013), "A simple projection method for solving the multiple-sets split feasibility problem", Inverse Probl 21 (3), pp 537-546 [75] Zhao J.L., Zhang Y.J., Yang Q.Z (2012), "Modified projection methods for the split feasibility problem and the multiple-sets split feasibility problem", Appl Math Comput 219 (4), pp 1644-1653 99 ... - ĐẶNG XUÂN SƠN PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN... cıa cĂc thut toĂn ã xuĐt lun Ăn 27 Chng BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI SUY RỘNG Trong phƒn ƒu ch÷ìng 2, chóng tỉi tr…nh b y thu“t to¡n t…m nghi»m chung cıa b... cıa b i to¡n ch§p nh“n tĂch suy rng liản quan n b i toĂn cƠn b‹ng v i”m b§t ºng T…m cüc trà cıa h m kho£ng c¡ch tr¶n t“p nghi»m cıa b i to¡n c¥n b‹ng t¡ch 12 Phương pháp nghiên cứu ” thu ữổc nhng