Một tiếp cận tối ưu hai cấp cho hiệu chỉnh bài toán cân bằng giả đơn điệu 12

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ THANH HẢI MỘT TIẾP CẬN TỐI ƯU HAI CẤP CHO HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ THANH HẢI MỘT TIẾP CẬN TỐI ƯU HAI CẤP CHO HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 1.1.2 1.2 Tập lồi, nón lồi, hàm lồi 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 Kết luận Bài toán cân 2.1 Bài toán cân k 2.1.1 2.1.2 2.2 Các trường hợp riêng 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.3 Sự tồn nghiệm 2.4 Kết luận Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp 3.1 Hiệu chỉnh toán cân bằ MỤC LỤC 3.1.1 3.1.2 3.2 Thuật toán giải 3.2.1 3.2.2 3.3 Kết luận Kết luận chung Tài liệu tham khảo LỜI CẢM ƠN Qua luận văn em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy GS.TSKH Lê Dũng Mưu, người tận tình bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn Tác giả xin trân trọng cám ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học đặc biệt quý thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em hồn thành khóa học Tác giả xin gửi lời cám ơn chân thành tới gia đình, đồng nghiệp, anh chị, bạn bè lớp cao học khóa 2013 - 2015 ln động viên, khích lệ tác giả cố gắng suốt khóa học để ln đạt kết học tập cao Em xin chân thành cảm ơn! MỞ ĐẦU Lớp toán cân ngày áp dụng nhiều vào lĩnh vực sống kinh tế, xã hội, Chính mà ngày nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu Hơn nữa, toán cân mở rộng lớp toán khác toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa, Mơ hình chung cho tốn cân Tìm x C cho f (x ; y) với y C (EP(C; f )) H khơng gian Hilbert, C H tập lồi f : C C ! R [ f+¥g song hàm Bài tốn hiệu chỉnh xây dựng cách thay song hàm ban đầu song hàm fe := f +eg, e; g tham số hiệu chỉnh song hàm hiệu chỉnh, thông thường ta chọn g song hàm đơn điệu mạnh Nếu f song hàm đơn điệu fe đơn điệu mạnh, tốn hiệu chỉnh ln có nghiệm Tuy nhiên, f song hàm giả đơn điệu tốn hiệu chỉnh trường hợp tổng qt khơng cịn đơn điệu mạnh hay đơn điệu, chí khơng giả đơn điệu tốn hiệu chỉnh nói chung khơng có nghiệm nhất, chí tập nghiệm khơng lồi, khơng thể áp dụng trực tiếp phương pháp để hiệu chỉnh cho toán EP(C; f ) giả đơn điệu trường hợp đơn điệu Do đó, luận văn nghiên cứu trình bày số phương pháp hiệu chỉnh cho tốn cân giả đơn điệu thơng qua tốn tối ưu hai cấp để tìm điểm giới hạn quỹ đạo nghiệm hiệu chỉnh Dựa ý tưởng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, [4] tác giả đưa phương pháp hiệu chỉnh với tốn hiệu chỉnh sau Tìm x C cho fk(x; y) := f (x; y) + ekg(x; y) với y C; ek > tham số hiệu chỉnh, g(x; y) song hàm đơn điệu mạnh gọi song hàm hiệu chỉnh MỞ ĐẦU Năm 1970 Martine đưa phương pháp điểm gần kề cho toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu sau mở rộng Rockafellar (1976) cho toán tử đơn điệu cực đaị Bài tốn hiệu chỉnh có dạng k Tìm x C cho k k k k fk(x ; y) := f (x ; y) + ckhx x k ;y x i dk với y C; ck > 0; dk > tham số hiệu chỉnh sai số cho trước Sự khác biệt hai phương pháp phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề bước lặp toán hiệu chỉnh phụ thuộc vào điểm lặp bước trước tham số hiệu chỉnh ck 6!0 k ! ¥ Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Bài toán cân Chương 3: Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Chương trình bày số kiến thức sở không gian tuyến tính, khơng gian Hilbert; kiến thức giải tích lồi tập lồi, nón lồi, hàm lồi; khái niệm hội tụ yếu, hội tụ mạnh, hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục Chương phát biểu toán cân bằng, số trường hợp đưa tốn cân tồn nghiệm tốn Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh toán cân giả đơn điệu, thuật toán tiếp cận dựa toán tối ưu hai cấp hội tụ thuật tốn Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận góp ý thầy bạn để luận văn hồn thiện Hà Nội, ngày 28 tháng 09 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hải Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức khơng gian tuyến tính, khơng gian Hilbert, tập lồi, nón lồi, hàm lồi; khái niệm hội tụ yếu, hội tụ mạnh, hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục Các kiến thức lấy từ tài liệu [1], [2] 1.1 Khơng gian Hilbert 1.1.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian tuyến tính thực Một chuẩn X, kí hiệu k:k, ánh xạ k:k : X ! R thỏa mãn tính chất sau kxk 0; 8x X; kxk = , x = 0; kaxk = jajkxk; 8x X; a R; kx + yk kxk+ kyk; 8x; y X: Khi (X; k:k) gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian tuyến tính thực, X gọi khơng gian tiền Hilbert với x; y X, xác định tích vơ hướng, kí hiệu hx; yi, thỏa mãn tính chất hx; yi = hy; xi; 8x; y X; hx + y; zi = hx; zi+ hy; zi; 8x; y; z X; hax; yi = ahx; yi; 8x; y X; a R; hx; xi 0; 8x X; hx; xi = , x = 0: Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1.2 Không gian Hilbert Bổ đề 1.1.1 Mọi không gian tiền Hilbert X không gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định sau p kxk = hx; xi; 8x X: Định nghĩa 1.1.3 Cho X không gian định chuẩn Dãy fxng X gọi dãy X n;m Nếu X, dãy hội tụ, tức kxn xmk ! kéo theo tồn xo X cho xn ! xo X gọi khơng gian đủ Định nghĩa 1.1.4 Không gian tiền Hilbert đủ gọi không gian Hilbert Trong luận văn ta thống kí hiệu H khơng gian Hilbert trường số thực Ví dụ 1.1.1 n Lấy H = R với tích vơ hướng xác định hệ thức hx; yi = å xiyi: i=1!n n Trong x = (x1; x2; :::; xn); y = (y1; y2; :::; yn) R Khi H khơng gian Hilbert Trên H có hai kiểu hội tụ sau Định nghĩa 1.1.5 Xét dãy fxn gn x thuộc không gian Hilbert thực H Dãy fxng gọi hội tụ mạnh đến x, kí hiệu xn ! x lim n ! Dãy fxng gọi hội tụ yếu đến x, kí hiệu xn * x n +¥ lim ! Điểm x gọi điểm tụ mạnh (hay yếu) dãy fxng từ dãy trích dãy hội tụ mạnh (hay yếu) tới x Mệnh đề 1.1.1 Nếu fxng hội tụ mạnh đến x hội tụ yếu đến x Nếu fxng hội tụ yếu đến x limn!+¥ kxnk = kxk fxng hội tụ mạnh đến x Chương Kiến thức chuẩn bị Mọi dãy hội tụ mạnh (yếu) bị chặn giới hạn theo hội tụ mạnh (yếu) tồn Nếu H khơng gian Hilbert hữu hạn chiều hội tụ mạnh hội tụ yếu tương đương Nếu fxng dãy bị chặn không gian Hilbert H ta ln trích dãy hội tụ yếu Nếu fxng dãy bị chặn khơng gian Hilbert hữu hạn chiều H ta ln trích dãy hội tụ mạnh 1.2 Tập lồi, nón lồi, hàm lồi 1.2.1 Tập lồi Định nghĩa 1.2.1 Một tập C H gọi tập lồi C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi 8x; y C; 8l [0; 1] ) l x + (1 l )y C: Mệnh đề 1.2.1 Tập hợp C lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức là, C lồi k 8k N; 8l1; l2; :::; lk k : å lj = 1; 8x ; :::; x C ) j=1 k å ljx j C: (1.1) j=1 Chứng minh Ta thấy, điều kiện đủ suy trực tiếp từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần quy nạp Với k = công thức (1.1) tương đương với chứng minh C lồi 8l1; l2 2 : l1 + l2 = 1; 8x ; x C ) l1x + l2x C: Điều suy trực tiếp từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề với (k 1) điểm Ta cần chứng minh với k k điểm Giả sử x tổ hợp lồi k điểm x ; :::; x C: Tức k j x = å lj x ; j=1 k lj 0; j = 1; 2; :::; k; Đặt k x = å lj : j=1 å lj = 1: j=1 39 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Nhận thấy, thỏa mãn Tuy nhiên, khác với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, cho k ! ¥ c k 6!0 k đó, từ ước lượng ta không suy dãy fx g hội tụ mạnh đến nghiệm cụ thể tốn EP(C; f ) mà kết luận dãy bị chặn, hội tụ yếu nghiệm tốn ban đầu 3.2 Thuật toán giải Như biết, tốn cân đơn điệu, nhờ tính đơn điệu mạnh toán hiệu chỉnh, thuật tốn hiệu chỉnh Tikhonov điềm gần kề dẫn đến phương pháp giải chấp nhận Còn toán cân giả đơn điệu, tốn hiệu chỉnh nói chung khơng đơn điệu mạnh, chí khơng giả đơn điệu, phương pháp giải địi hỏi tính đơn điệu khơng thể áp dụng Trong trường hợp này, điểm giới hạn điểm chiếu g nghiệm dự đoán x tập nghiệm toán EP(C; f ) Các điểm giới hạn thu dựa vào toán tối ưu hai cấp minfkx g x k với x S(C; f )g: (BO) 3.2.1 Mơ tả thuật tốn Như ta biết, f giả đơn điệu C, tập nghiệm S(C; f ) toán EP(C; f ) tập lồi Do (BO)là tốn tìm cực tiểu hàm chuẩn tập lồi Giả sử tập nghiệm S(C; f ) toán EP(C; f ) khác rỗng f liên tục yếu, giả đơn điệu C Xét song hàm L : H H ! R thỏa mãn điều kiện sau (B1)L(x; x) = 0; 9b > : L(x; y) b 2 kx yk ; 8x; y C; (B2)L liên tục yếu, L(x; :) khả vi, lồi mạnh H với x 2C Ñ 2L(x; x) = với x H Ta xét bổ đề sau Bổ đề 3.2.1 Giả sử f thỏa mãn giả thiết (A1); (A2) L thỏa mãn giả thiết (B1); (B2) Khi đó, với r > 0, mệnh đề sau tương đương 40 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp x nghiệm toán cân bằng; x C : f (x ; y) + x = argminf f (x ; y) + r L(x ; y) : y Cg: Thuật toán Chọn r > h (0; 1) g g Khởi đầu với x := x C (x có vai trị nghiệm dự đốn) 1 Nếu x S(C; f ); x nghiệm toán tối ưu (BO), ngược lại ta thực phép lặp k theo bước sau Bước Giải toán quy hoạch lồi mạnh k minf f (x ; y) + r L(x ; y) : y k (CP(x )) k k Cg để tìm nghiệm y : k k k k Nếu y = x , chọn u := x chuyển đến Bước Ngược lại chuyển sang Bước Bước 2.(Qui tắc tìm kiếm theo tia Amijio) Tìm số ngun, khơng âm nhỏ mk , m số nguyên, thỏa mãn k;m z f Đặt hk := h m k k ; z := z k;m k (3.11) := (1 hm)xk + hmyk; (z k;m k k k ; y ) + r L(x ; y ) 0: , tính (3.13) sk = k k (3.12) k k k g ¶2 f (z ; z ), đạo hàm hàm lồi f (z ; :) z : Bước Xây dựng nửa không gian k Ck := fy H : ku Dk := fy H : hx yk g k+1 Bước Đặt Bk = Ck \Dk \C tính x k+1 k+1 k k kx k x ;y x i yk g; 0g: g := PBk (x ): Nếu x S(C; f ), kết luận x nghiệm toán (BO) Ngược lại, tăng k lên lặp lại trình Chú ý 41 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp (i) Việc tìm kiếm theo tia Bước hồn tồn xác định được, trái lại với số ngun khơng âm m ta có k;m f (z k ;y )+ k Cho m ! ¥, tính nửa liên tục yếu f (:; y ), ta có k k k k k k f (x ; y ) + r L(x ; y ) 0; k k k f (x ; x ) + r L(x ; x ) = 0; cho thấy x nghiệm k toán quy hoạch lồi mạnh CP(x ): k k Do x = y ; điều mâu thuẫn việc tìm kiếm theo tia k k thực x 6= y : k k Chú ý mk > Thật vậy, mk = ta có z = y ; k k k k k k r L(x ; y ) = f (z ; y ) + r L(x ; y ) 0; k k L không âm, L(x ; y ) = từ k k L(x ; y ) k k ta có x = y : k (ii) g 6= kích thước sk bước (3.13) cho thấy x k k k k k k 6= y : Thật vậy, g = đó, g ¶2 f (z ; z ) ta có k k f (z ; x) k k k k hg ; x z i+ f (z ; z ) = 0; 8x C: k k k Từ (3.12) ta có L(x ; y ) 0, giả thiết (B1) L(x ; y ) b k k kx y k : 3.2.2 Tính hội tụ thuật tốn k k Bổ đề định lý sau cho thấy tính hội tụ mạnh dãy fx g; fu g thuật toán Bổ đề 3.2.2 Từ giả thiết Bổ đề 3.2.1 ta có Giả sử f thỏa mãn giả thiết (A1); (A2) L thỏa mãn giả thiết (B1); (B2) k ku xk kx k xk k sk kg k ; 8x S(C; f ); 8k: 42 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Chứng minh k Đặt v = x k k k k Do g ¶2 f (z ; z ) nên ta có k Vì x S(C; f ) nên f (x ; z ) 0; (3.16) ta có Trong x k Đẳng thức cuối suy từ định nghĩa s k cơng thức (3.13) thuật tốn Kết hợp với công thức (3.16), (3.18), (3.19) ta thu (3.15) Định lý 3.2.1 Giả sử f song hàm liên tục yếu, f(x,.) lồi, khả vi phân C với x C tốn EP(C; f ) có nghiệm Khi hai dãy k k fx g; fu g hội tụ tới nghiệm toán tối ưu hai cấp (BO) Chứng minh Ta có S(C; f ) Bk với k Thật vậy, từ Định lý 3.1.2 ta có n ku n xk kx xk ; 8x S(C; f ); S(C; f ) Ck Ta chứng minh S(C; f ) Dk phương pháp qui nạp Với k = D1 = H nên S(C; f ) D1 g k Giả sử S(C; f ) Dk, tức hx x ; x k x i với x S(C; f ) Khi S(C; f ) Bk = Ck \Dk: Mặt khác theo định nghĩa x ta có hx x k+1 k+1 ;x g k+1 x i 0; 8x S(C; f ); 43 g = PBk (x ) nên Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp hay Vậy S(C; f ) Dk+1, suy S(C; f ) Bk: Từ định nghĩa Dk, ta có k+1 Do x Dk nên k g Hơn nữa, x = PDk (x ) S(C; f ) Dk với k nên ta có k Do fx g bị chặn k Do tính bị chặn fx g kx k+1 Ta chứng minh kx k k+1 Thật vậy, x Dk x k k Dk, Dk tập lồi nên ta có g Mặt khác, x = PDk (x ) nên theo tính chất lồi mạnh hàm kx g kx Suy k Do lim kx Mặt khác, x k+1 Bk Ck; từ định nghĩa Ck ta có Do đó, kx k+1 k x k ! 0; tức 44 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp k Sau ta điểm tụ yếu dãy fx g nghiệm toán EP(C; f ) Thật vậy, lấy x điểm tụ yếu k k dãy fx g Không tính chất tổng quát, ta giả sử x * x: Ta xét hai trường hợp Trường hợp Việc tìm kiếm theo tia xảy hữu hạn điểm k k k Trong trường hợp này, theo thuật tốn, u = x với k vơ hạn, y = k x nghiệm toán EP(C; f ) với k Do vậy, trường hợp ln Trường hợp Việc tìm kiếm theo tia xảy vơ hạn điểm Khi ta trích dãy giả thiết việc tìm kiếm theo tia thực với k Ta xét hai khả (a) limkhk > k k Do x * x ku k k x k ! nên u * x: k Áp dụng công thức (3.15) với x S(C; f ) ta thấy skkg k ! 0: Do định nghĩa sk nên ta có hk k k k z i ! 0: hg ; y k hk k k Từ điều kiện limkhk > 0, giả sử hg ; y z i ! Mặt khác từ giả thiết (B1) qui tắc tìm kiếm Armijo ta có Do đó, kx k k k k 2r k y k ! 0: Do x * x nên y * x; y nghiệm tốn Khi ta viết lại sau k f (x ; y) + Cho k tiến vơ cùng, tính liên tục yếu f L nên f( điều cho thấy y nghiệm toán CP(x): k k k k Do kx y k ! x * x; y * y nên suy x = y Vậy theo Bổ đề 3.2.1 x nghiệm toán EP(C; f ) (b) limk hk = 0: k k Trong trường hợp dãy fy g bị chặn Thật vậy, y nghiệm toán k CP(x ), hàm mục tiêu liên tục yếu, lồi mạnh lời giải không đổi Theo Định lý 45 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp k k k Berge, ánh xạ x ! s(x ) := y liên tục yếu k k k Từ tính chất bị chặn fx g ta suy fy g bị chặn, suy y * y: f( Mặt khác, mk số tự nhiên nhỏ thỏa mãn quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo nên k;mk Trong z L ta thu giới hạn Thay y = x vào (3.21) ta kết hợp với (3.23) ta Từ (3.24) f (x; x) + r L(x; x) = 0; suy x; y nghiệm toán n o f (x; y) + r L(x; y) : y C : Do x = y, theo Bổ đề 3.2.1 x nghiệm toán EP(C; f ) k Hơn nữa, từ điều kiện ku xkk ! ta kết luận rằng, điểm tụ yếu fx kg nghiệm toán EP(C; f ) k Ta cần fx g hội tụ mạnh đến nghiệm toán hai cấp k (BO) Nhận thấy điểm tụ yếu fx g thuộc tập nghiệm S(C; f ) k g Gọi x điểm tụ dãy fx g; s = PS(C; f )(x ): Khi đó, tồn dãy k k k fx j g dãy fx g cho x j ! x j ! ¥ Theo chứng minh ta có x S(C; f ) từ định nghĩa s ta suy g s x k 46 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Bất đẳng thức cuối xảy x k+1 g = PBk (x ) s S(C; f ) Bk với k Do k lim kx g g x k = ks x k = kx g x k: Do x S(C; f ); s = PS(C; f ) (xg) S(C; f ) tập lồi đóng nên hình chiếu lên S(C; f ) nhất, suy g k x x = s, x ! s k ! ¥ nghiệm tốn (BO) Từ kx k k g u k ! ta có u ! Psx : k 3.3 Kết luận Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề, sử dụng phương pháp vào việc giải toán cân giả đơn điệu không gian Hilbert thông qua việc giải toán tối ưu hai cấp Chứng tỏ tốn hiệu chỉnh có nghiệm tốn gốc có nghiệm quỹ đạo nghiệm toán hiệu chỉnh hội tụ nghiệm nghiệm toán ban đầu 47 KẾT LUẬN CHUNG Luận văn trình bày vấn đề sau Các khái niệm khơng gian tuyến tính định chuẩn, khơng gian tiền Hilbert, khơng gian Hilbert, hội tụ yếu, hội tụ mạnh không gian Hilbert - Các định nghĩa tập lồi, nón lồi, hàm lồi tính chất hàm lồi Phát biểu toán cân bằng, tồn nghiệm tốn cân Trình bày số trường hợp đưa toán cân toán tối ưu, toán điểm bất động, toán cân Nash, tốn điểm n ngựa Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề cho toán cân giả đơn điệu, thuật toán hiệu chỉnh dựa toán tối ưu hai cấp hội tụ thuật toán 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Giải tích hàm, (2009), NXB khoa học kỹ thuật, Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2015), Giáo trình giải tích lồi ứng dụng, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [3] Bui V.Dinh, Pham G.Hung, Le D.Muu (2014), Bilevel optimization as a regu-larization approach to pseudomonotone equilibrium problems, Numerical Functional Analysis and Optimization 35:539-563 [4] Pham G Hung, Le D Muu (2011), The Tikhonov regularization extended to equilibrium problems involving pseudomontone bifunctions, Nonlinear Analysis 74:6121 – 6129 [5] M Bianchi and S Schaible (1996), Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems, Journal of Optimization Theory and Applications 90:31–43 [6] G Mastroeni (2003), On auxiliary priciple for equilibrium problems, Kluwer Academic, Dordrecht, pp 289–298 [7] L D Muu (1984), Stability property of a class of variational inequality, Opti-mization 15:347–351 49 ... toán tử cân toán cân bằng; khái niệm song hàm đơn điệu mạnh, đơn điệu, giả đơn điệu Một số tốn đưa dạng toán cân Phát biểu chứng minh tồn nghiệm toán cân 30 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp. .. tiếp phương pháp để hiệu chỉnh cho toán EP(C; f ) giả đơn điệu trường hợp đơn điệu Do đó, luận văn nghiên cứu trình bày số phương pháp hiệu chỉnh cho toán cân giả đơn điệu thơng qua tốn tối ưu. .. Chương phát biểu toán cân bằng, số trường hợp đưa tốn cân tồn nghiệm toán Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh tốn cân giả đơn điệu, thuật toán tiếp cận dựa toán tối ưu hai cấp hội tụ thuật