Một tiếp cận tối ưu hai cấp cho hiệu chỉnh bài toán cân bằng giả đơn điệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ THANH HẢI MỘT TIẾP CẬN TỐI ƯU HAI CẤP CHO HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ THANH HẢI MỘT TIẾP CẬN TỐI ƯU HAI CẤP CHO HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.1.2 Không gian Hilbert 1.2 Tập lồi, nón lồi, hàm lồi 1.2.1 Tập lồi 1.2.2 Nón lồi 1.2.3 Hàm lồi 1.2.4 Tính chất hàm lồi 1.3 Kết luận Bài toán cân 2.1 Bài toán cân khái niệm 2.1.1 Phát biểu toán 2.1.2 Các khái niệm 2.2 Các trường hợp riêng toán cân 2.2.1 Bài toán tối ưu 2.2.2 Bài toán điểm bất động 2.2.3 Bài toán cân Nash trò chơi không hợp tác 2.2.4 Bài toán điểm yên ngựa 2.3 Sự tồn nghiệm toán cân 2.4 Kết luận 6 8 10 11 12 13 13 13 13 18 18 19 19 20 21 30 Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp 31 3.1 Hiệu chỉnh toán cân giả đơn điệu 31 MỤC LỤC 3.2 3.3 3.1.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 3.1.2 Phương pháp điểm gần kề Thuật toán giải 3.2.1 Mô tả thuật toán 3.2.2 Tính hội tụ thuật toán Kết luận 31 35 40 40 42 47 Kết luận chung 48 Tài liệu tham khảo 49 LỜI CẢM ƠN Qua luận văn em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy GS.TSKH Lê Dũng Mưu, người tận tình bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn Tác giả xin trân trọng cám ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học đặc biệt quý thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa học Tác giả xin gửi lời cám ơn chân thành tới gia đình, đồng nghiệp, anh chị, bạn bè lớp cao học khóa 2013 - 2015 động viên, khích lệ tác giả cố gắng suốt khóa học để đạt kết học tập cao Em xin chân thành cảm ơn! MỞ ĐẦU Lớp toán cân ngày áp dụng nhiều vào lĩnh vực sống kinh tế, xã hội, Chính mà ngày nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu Hơn nữa, toán cân mở rộng lớp toán khác toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa, Mô hình chung cho toán cân Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ với y ∈ C (EP(C, f )) H không gian Hilbert, C ⊆ H tập lồi f : C ×C → R ∪ {+∞} song hàm Bài toán hiệu chỉnh xây dựng cách thay song hàm ban đầu song hàm fε := f + εg, ε, g tham số hiệu chỉnh song hàm hiệu chỉnh, thông thường ta chọn g song hàm đơn điệu mạnh Nếu f song hàm đơn điệu fε đơn điệu mạnh, toán hiệu chỉnh có nghiệm Tuy nhiên, f song hàm giả đơn điệu toán hiệu chỉnh trường hợp tổng quát không đơn điệu mạnh hay đơn điệu, chí không giả đơn điệu toán hiệu chỉnh nói chung nghiệm nhất, chí tập nghiệm không lồi, áp dụng trực tiếp phương pháp để hiệu chỉnh cho toán EP(C, f ) giả đơn điệu trường hợp đơn điệu Do đó, luận văn nghiên cứu trình bày số phương pháp hiệu chỉnh cho toán cân giả đơn điệu thông qua toán tối ưu hai cấp để tìm điểm giới hạn quỹ đạo nghiệm hiệu chỉnh Dựa ý tưởng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, [4] tác giả đưa phương pháp hiệu chỉnh với toán hiệu chỉnh sau Tìm x ∈ C cho fk (x, y) := f (x, y) + εk g(x, y) ≥ với y ∈ C, εk > tham số hiệu chỉnh, g(x, y) song hàm đơn điệu mạnh gọi song hàm hiệu chỉnh MỞ ĐẦU Năm 1970 Martine đưa phương pháp điểm gần kề cho toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu sau mở rộng Rockafellar (1976) cho toán tử đơn điệu cực đaị Bài toán hiệu chỉnh có dạng Tìm xk ∈ C cho fk (xk , y) := f (xk , y) + ck xk − xk−1 , y − xk ≥ −δk với y ∈ C, ck > 0, δk > tham số hiệu chỉnh sai số cho trước Sự khác biệt hai phương pháp phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề bước lặp toán hiệu chỉnh phụ thuộc vào điểm lặp bước trước tham số hiệu chỉnh ck → k → ∞ Nội dung luận văn gồm ba chương • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Bài toán cân • Chương 3: Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Chương trình bày số kiến thức sở không gian tuyến tính, không gian Hilbert; kiến thức giải tích lồi tập lồi, nón lồi, hàm lồi; khái niệm hội tụ yếu, hội tụ mạnh, hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục Chương phát biểu toán cân bằng, số trường hợp đưa toán cân tồn nghiệm toán Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh toán cân giả đơn điệu, thuật toán tiếp cận dựa toán tối ưu hai cấp hội tụ thuật toán Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 28 tháng 09 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hải Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức không gian tuyến tính, không gian Hilbert, tập lồi, nón lồi, hàm lồi; khái niệm hội tụ yếu, hội tụ mạnh, hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục Các kiến thức lấy từ tài liệu [1], [2] 1.1 1.1.1 Không gian Hilbert Không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian tuyến tính thực Một chuẩn X, kí hiệu , ánh xạ :X →R thỏa mãn tính chất sau x ≥ 0, ∀x ∈ X; x = ⇔ x = 0; αx = |α| x , ∀x ∈ X, x + y ≤ x + y , α ∈ R; ∀x, y ∈ X Khi (X, ) gọi không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian tuyến tính thực, X gọi không gian tiền Hilbert với x, y ∈ X, xác định tích vô hướng, kí hiệu x, y , thỏa mãn tính chất x, y = y, x , ∀x, y ∈ X; x + y, z = x, z + y, z , αx, y = α x, y , x, x ≥ 0, ∀x, y, z ∈ X; ∀x, y ∈ X, ∀x ∈ X; α ∈ R; x, x = ⇔ x = Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1.2 Không gian Hilbert Bổ đề 1.1.1 Mọi không gian tiền Hilbert X không gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định sau x = x, x , ∀x ∈ X Định nghĩa 1.1.3 Cho X không gian định chuẩn Dãy {xn } ⊆ X gọi dãy X lim xn − xm = n,m→∞ Nếu X, dãy hội tụ, tức xn − xm → kéo theo tồn xo ∈ X cho xn → xo X gọi không gian đủ Định nghĩa 1.1.4 Không gian tiền Hilbert đủ gọi không gian Hilbert Trong luận văn ta thống kí hiệu H không gian Hilbert trường số thực Ví dụ 1.1.1 Lấy H = Rn với tích vô hướng xác định hệ thức x, y = ∑ xi yi i=1→n Trong x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn Khi H không gian Hilbert Trên H có hai kiểu hội tụ sau Định nghĩa 1.1.5 Xét dãy {xn }n≥0 x thuộc không gian Hilbert thực H Dãy {xn } gọi hội tụ mạnh đến x, kí hiệu xn → x lim n→+∞ xn − x = Dãy {xn } gọi hội tụ yếu đến x, kí hiệu xn lim w, xn = w, x , n→+∞ x ∀w ∈ H Điểm x gọi điểm tụ mạnh (hay yếu) dãy {xn } từ dãy trích dãy hội tụ mạnh (hay yếu) tới x Mệnh đề 1.1.1 Nếu {xn } hội tụ mạnh đến x hội tụ yếu đến x Nếu {xn } hội tụ yếu đến x limn→+∞ xn = x {xn } hội tụ mạnh đến x Chương Kiến thức chuẩn bị Mọi dãy hội tụ mạnh (yếu) bị chặn giới hạn theo hội tụ mạnh (yếu) tồn Nếu H không gian Hilbert hữu hạn chiều hội tụ mạnh hội tụ yếu tương đương Nếu {xn } dãy bị chặn không gian Hilbert H ta trích dãy hội tụ yếu Nếu {xn } dãy bị chặn không gian Hilbert hữu hạn chiều H ta trích dãy hội tụ mạnh 1.2 Tập lồi, nón lồi, hàm lồi 1.2.1 Tập lồi Định nghĩa 1.2.1 Một tập C ⊆ H gọi tập lồi C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λ x + (1 − λ )y ∈ C Mệnh đề 1.2.1 Tập hợp C lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức là, C lồi k ∀k ∈ N, ∀λ1 , λ2 , , λk ≥ : k ∑ λ j = 1, ∀x , , x k ∈C ⇒ j=1 ∑ λ j x j ∈ C (1.1) j=1 Chứng minh Ta thấy, điều kiện đủ suy trực tiếp từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần quy nạp Với k = công thức (1.1) tương đương với chứng minh C lồi ∀λ1 , λ2 ≥ : λ1 + λ2 = 1, ∀x1 , x2 ∈ C ⇒ λ1 x1 + λ2 x2 ∈ C Điều suy trực tiếp từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề với (k − 1) điểm Ta cần chứng minh với k điểm Giả sử x tổ hợp lồi k điểm x1 , , xk ∈ C Tức k x= k j ∑ λ jx , λ j ≥ 0, ∀ j = 1, 2, , k, j=1 ∑ λ j = j=1 Đặt k−1 ξ= ∑ λ j j=1 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Giải tích hàm, (2009), NXB khoa học kỹ thuật, Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2015), Giáo trình giải tích lồi ứng dụng, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [3] Bui V.Dinh, Pham G.Hung, Le D.Muu (2014), Bilevel optimization as a regularization approach to pseudomonotone equilibrium problems, Numerical Functional Analysis and Optimization 35:539-563 [4] Pham G Hung, Le D Muu (2011), The Tikhonov regularization extended to equilibrium problems involving pseudomontone bifunctions, Nonlinear Analysis 74:6121 – 6129 [5] M Bianchi and S Schaible (1996), Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems, Journal of Optimization Theory and Applications 90:31–43 [6] G Mastroeni (2003), On auxiliary priciple for equilibrium problems, Kluwer Academic, Dordrecht, pp 289–298 [7] L D Muu (1984), Stability property of a class of variational inequality, Optimization 15:347–351 49 [...]...TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Giải tích hàm, (2009), NXB khoa học kỹ thuật, Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2015), Giáo trình giải tích lồi ứng dụng, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [3] Bui V.Dinh, Pham G.Hung, Le D.Muu (2014), Bilevel optimization as a regularization approach... Optimization 35:539-563 [4] Pham G Hung, Le D Muu (2011), The Tikhonov regularization extended to equilibrium problems involving pseudomontone bifunctions, Nonlinear Analysis 74:6121 – 6129 [5] M Bianchi and S Schaible (1996), Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems, Journal of Optimization Theory and Applications 90:31–43 [6] G Mastroeni (2003), On auxiliary priciple for equilibrium problems,