MỘT TIẾP CẬN TỐI ƯU HAI CẤP CHO HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNGGIẢ ĐƠN ĐIỆU

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ THANH HẢI MỘT TIẾP CẬN TỐI ƯU HAI CẤP CHO HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ THANH HẢI MỘT TIẾP CẬN TỐI ƯU HAI CẤP CHO HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu 6 7 7 9 9 12 12 12 14 14 14 15 17 18 19 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.1.2 Không gian Hilbert 1.2 Tập lồi, nón lồi, hàm lồi 1.2.1 Tập lồi 1.2.2 Nón lồi 1.2.3 Hàm lồi Bài toán cân 2.1 Bài toán cân khái niệm 2.1.1 Phát biểu toán 2.1.2 Các khái niệm 2.2 Các trường hợp riêng toán cân 2.2.1 Bài toán tối ưu 2.3 Sự tồn nghiệm toán cân Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp 3.1 Hiệu chỉnh toán cân giả đơn điệu 3.1.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 3.1.2 Phương pháp điểm gần kề 3.2 Thuật toán giải 3.2.1 Mô tả thuật toán 3.2.2 Tính hội tụ thuật toán MỤC LỤC Kết luận chung 24 Tài liệu tham khảo 25 LỜI CẢM ƠN Qua luận văn em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy GS.TSKH Lê Dũng Mưu, người tận tình bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn Tác giả xin trân trọng cám ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học đặc biệt quý thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa học Tác giả xin gửi lời cám ơn chân thành tới gia đình, đồng nghiệp, anh chị, bạn bè lớp cao học khóa 2013 - 2015 động viên, khích lệ tác giả cố gắng suốt khóa học để đạt kết học tập cao Em xin chân thành cảm ơn! MỞ ĐẦU Lớp toán cân ngày áp dụng nhiều vào lĩnh vực sống kinh tế, xã hội, Chính mà ngày nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu Hơn nữa, toán cân mở rộng lớp toán khác toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa, Mô hình chung cho toán cân Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ với y ∈ C (EP(C, f )) H không gian Hilbert, C ⊆ H tập lồi f : C ×C → R ∪ {+∞} song hàm Bài toán hiệu chỉnh xây dựng cách thay song hàm ban đầu song hàm fε := f + εg, ε, g tham số hiệu chỉnh song hàm hiệu chỉnh, thông thường ta chọn g song hàm đơn điệu mạnh Luận văn nghiên cứu trình bày số phương pháp hiệu chỉnh cho toán cân giả đơn điệu thông qua toán tối ưu hai cấp để tìm điểm giới hạn quỹ đạo nghiệm hiệu chỉnh Dựa ý tưởng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, [4] tác giả đưa phương pháp hiệu chỉnh với toán hiệu chỉnh sau Tìm x ∈ C cho fk (x, y) := f (x, y) + εk g(x, y) ≥ với y ∈ C, εk > tham số hiệu chỉnh, g(x, y) song hàm đơn điệu mạnh gọi song hàm hiệu chỉnh Năm 1970 Martine đưa phương pháp điểm gần kề cho toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu sau mở rộng Rockafellar (1976) cho toán tử đơn điệu cực đaị Bài toán hiệu chỉnh có dạng Tìm xk ∈ C cho fk (xk , y) := f (xk , y) + ck xk − xk−1 , y − xk ≥ −δk với y ∈ C, ck > 0, δk > tham số hiệu chỉnh sai số cho trước Sự khác biệt hai phương pháp phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề MỞ ĐẦU bước lặp toán hiệu chỉnh phụ thuộc vào điểm lặp bước trước tham số hiệu chỉnh ck → k → ∞ Nội dung luận văn gồm ba chương • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Bài toán cân • Chương 3: Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Chương trình bày số kiến thức sở không gian tuyến tính, không gian Hilbert; kiến thức giải tích lồi tập lồi, nón lồi, hàm lồi; khái niệm hội tụ yếu, hội tụ mạnh, hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục Chương phát biểu toán cân bằng, số trường hợp đưa toán cân tồn nghiệm toán Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh toán cân giả đơn điệu, thuật toán tiếp cận dựa toán tối ưu hai cấp hội tụ thuật toán Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 28 tháng 09 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hải Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức không gian tuyến tính, không gian Hilbert, tập lồi, nón lồi, hàm lồi; khái niệm hội tụ yếu, hội tụ mạnh, hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục Các kiến thức lấy từ tài liệu [1], [2] 1.1 1.1.1 Không gian Hilbert Không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian tuyến tính thực Một chuẩn X, kí hiệu , ánh xạ :X →R thỏa mãn tính chất sau x ≥ 0, ∀x ∈ X; x = ⇔ x = 0; αx = |α| x , ∀x ∈ X, x + y ≤ x + y , α ∈ R; ∀x, y ∈ X Khi (X, ) gọi không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian tuyến tính thực, X gọi không gian tiền Hilbert với x, y ∈ X, xác định tích vô hướng, kí hiệu x, y , thỏa mãn tính chất x, y = y, x , ∀x, y ∈ X; x + y, z = x, z + y, z , αx, y = α x, y , x, x ≥ 0, ∀x, y, z ∈ X; ∀x, y ∈ X, ∀x ∈ X; α ∈ R; x, x = ⇔ x = Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.3 Cho X không gian định chuẩn Dãy {xn } ⊆ X gọi dãy X lim xn − xm = n,m→∞ Nếu X, dãy hội tụ, tức xn − xm → kéo theo tồn xo ∈ X cho xn → xo X gọi không gian đủ Định nghĩa 1.1.4 Không gian tiền Hilbert đủ gọi không gian Hilbert Trong luận văn ta thống kí hiệu H không gian Hilbert trường số thực 1.2 1.2.1 Tập lồi, nón lồi, hàm lồi Tập lồi Định nghĩa 1.2.1 Một tập C ⊆ H gọi tập lồi C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λ x + (1 − λ )y ∈ C 1.2.2 Nón lồi Định nghĩa 1.2.2 Tập C gọi nón với λ > với x ∈ C suy λ x ∈ C Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Định nghĩa 1.2.3 Cho C = 0/ (không thiết lồi) y vectơ bất kỳ, đặt dC (y) := inf x − y x∈C Ta nói dC (y) khoảng cách từ y đến C Nếu tồn π ∈ C cho dC (y) = π − y , ta nói π hình chiếu y C, kí hiệu pC (y) Theo định nghĩa ta thấy rằng, hình chiếu pC (y) y C nghiệm toán tối ưu min{ x − y |x ∈ C} x Chương Kiến thức chuẩn bị 1.2.3 Hàm lồi Định nghĩa 1.2.4 Cho 0/ = C ⊆ H lồi f : C → R ∪ {+∞} Ta nói f hàm lồi C f λ x + (1 − λ )y ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y) ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] Hàm f : H → R ∪ {+∞} gọi lồi chặt C f λ x + (1 − λ )y < λ f (x) + (1 − λ ) f (y) ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) Hàm f : H → R ∪ {+∞} gọi lồi mạnh C với hệ số η với x, y ∈ C với λ ∈ (0, 1) f λ x + (1 − λ )y ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y) − ηλ (1 − λ ) x − y Hàm f gọi hàm lõm C − f hàm lồi C Chương Bài toán cân Ví dụ 2.1.2 Cho không gian Hilbert thực ∞ H = l2 := x = (x1 , x2 , , xi , ) := ∑ |xi |2 < +∞, ∀xi ∈ R i=1 Tích vô hướng chuẩn H tương ứng xác định ∞ x, y := ∑ xi yi , x := x, x i=1 với x = (x1 , x2 , , xi , ) = (x1 , x) ∈ H , y = (y1 , y2 , , yi , ) = (y1 , y) ∈ H , x := (x2 , , xi , ), y := (y2 , , yi , ) Kí hiệu ∞ x, y := ∑ xi yi , x := x, x i=2 √ Xét tập C = {x ∈ H : x ≤ 2} hàm f : C ×C → R cho f (x, y) = (2 − x ) x, y − x Nhận thấy, tập nghiệm toán EP(C, f ) C := S(C, f ) = {(x1 , 0, , 0, ) : x1 ∈ R)} Với x, y ∈ C ta có − x > − y > Do f (x, y) = (2 − x ) x, y − x ≥ 0; ⇒ x, y − x ≥ 0; ⇒ y, x − y ≤ 0; ⇒ f (y, x) = (2 − y ) y, x − y ≤ Chứng tỏ f song hàm giả đơn điệu C √ Lấy x = (0, 1, 0, , 0, ), y = (0, 2, 0, , 0, ) ∈ C Khi √ x = (1, 0, , 0, ), y = ( 2, 0, , 0, ) x = 1, y = √ Nhận thấy √ √ √ √ f (x, y) + f (y, x) = (2 − 1) × × ( − 1) + (2 − 2) × × (1 − 2) √ √ = ( − 1) × (2 − 1) > Vậy, f không đơn điệu C 11 Chương Bài toán cân 2.2 2.2.1 Các trường hợp riêng toán cân Bài toán tối ưu Cho hàm số ϕ : C → R Xét toán tối ưu Tìm x∗ ∈ C cho ϕ(x∗ ) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ C (OP) Đặt f (x, y) := ϕ(y) − ϕ(x) Rõ ràng f (x, x) = ϕ(x) − ϕ(x) = Vậy f song hàm cân Khi toán tối ưu (OP) tương đương với toán Tìm x∗ ∈ C cho ϕ(y) − ϕ(x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ C hay Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Đây toán cân 2.3 Sự tồn nghiệm toán cân Trong mục xét tới tồn nghiệm toán cân trường hợp compact trường hợp có điều kiện Ta xét tồn nghiệm toán cân dựa giả thiết sau Cho C ⊆ H tập lồi, đóng, khác rỗng f : H × H → R ∪ {+∞} Giả thiết (A1 ) f (., y) hàm nửa liên tục trên, yếu H y ∈ C; (A2 ) f (x, ) hàm lồi, nửa liên tục yếu H khả vi dom f (x, ) x ∈ C; (A3 ) Tồn taị tập compact B ⊂ H vectơ y0 ∈ B ∩C cho f (x, y0 ) < ∀x ∈ C \ B Giả thiết (A3 ) gọi điều kiện Ta xét định lý sau Định lý 2.3.1 (Ky Fan’theorem) Giả sử C tập lồi đóng, khác rỗng không gian Hilbert H f : C ×C → R ∪ {+∞} song hàm cân xác định C Nếu f thỏa mãn giả thiết A1 f (x, ) tựa lồi C với x ∈ C cố định Khi C tập compact điều kiện (A3 ) thỏa mãn toán EP(C, f ) có nghiệm 12 Chương Bài toán cân Mệnh đề 2.3.1 Nếu hàm f đơn điệu mạnh C thỏa mãn giả thiết (A1 ), (A2 ), EP(C, f ) có nghiệm Nếu hàm f thỏa mãn giả thiết (A1 ), (A2 ) giả đơn điệu C nghiệm EP(C, f ) tập lồi, đóng yếu Nếu hàm f thỏa mãn giả thiết (A1 ), (A2 ) (A3 ) tập nghiệm EP(C, f ) khác rỗng Mệnh đề 2.3.2 Giả sử f thỏa mãn giả thiết (A1 ) (A2 ) Xét mệnh đề sau Tồn véctơ y0 ∈ C cho L(y0 , f ) := {x ∈ C : f (x, y0 ) ≥ 0} tập bị chặn Tồn hình cầu đóng B ⊆ H vectơ y0 ∈ C ∩ B cho f (x, y0 ) < 0, ∀x ∈ C \ B Tập nghiệm S(C, f ) toán EP(C, f ) khác rỗng compact yếu Khi 1) ⇒ 2) ⇒ 3) Hơn f giả đơn điệu C S(C, f ) lồi tập L> (y0 , f ) : {x ∈ C : f (x, y0 ) > 0} rỗng với y0 ∈ S(C, f ) 13 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Trong chương nghiên cứu hai phương pháp hiệu chỉnh cho toán cân giả đơn điệu phương pháp Tikhonov phương pháp điểm gần kề Thuật toán tính hội tụ thuật toán hiệu chỉnh dựa toán tối ưu hai cấp Các kết lấy từ tài liệu [3], [4], [5], [6], [7] 3.1 3.1.1 Hiệu chỉnh toán cân giả đơn điệu Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Xét toán cân Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C, C tập lồi đóng H , f : C ×C → R song hàm giả đơn điệu C Khi toán hiệu chỉnh xây dựng sau Tìm x ∈ C cho fε (x, y) := f (x, y) + ε x − xg , y − x ≥ −δ , ∀y ∈ C (EPδ (C, fε )) g(x, y) song hàm đơn điệu mạnh gọi song hàm hiệu chỉnh, ε > tham số hiệu chỉnh Kí hiệu Sδ (C, fε ) tập nghiệm toán EPδ (C, fε ) Ta xét bổ đề sau Bổ đề 3.1.1 Giả sử f giả đơn điệu C Khi với ε > 0, δ ≥ 0, x ∈ S(C, f ), x(ε) ∈ Sδ (C, fε ) xg ∈ C, ta có xg − x(ε) 2+ x(ε) − x Sδ (C, fε ) ⊂ B 0, ≤ xg − x x + xg + 2 + 2δ , ε δ x − xg + ε 14 ∩C, Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp x(ε) − xg x − xg + ≤ x − xg 2 δ + , ε kí hiệu B(x, r) hình cầu đóng tâm x, bán kính r Ví dụ 3.1.1 Ta xét song hàm giả đơn điệu xác định Ví dụ 2.1.3 Xét toán hiệu chỉnh Tìm xk ∈ C cho fεk (xk , y) := f (xk , y) + εk xk − xg , y − xk ≥ −δk , ∀y ∈ C, (EP(C, fεk )) xg = (x1g , x2g , , xig , ) ∈ C nghiệm dự đoán toán EP(C, f ); {εk }, {δk } δk hai dãy số dương đơn điệu giảm thỏa mãn → k → ∞, εk fεk (xk , y) = (2 − xk ) xk , y − xk + εk (x1k − x1g )(y1 − x1k ) + εk xk − xg , y − xk = εk (x1k − x1g )(y1 − x1k ) + ε (2 − xk + εk )xk − εk xg , y − xk Ta nhận thấy, x1k = x1g , (2 − xk + εk )xk − εk xg = thỏa mãn xk = (x1k , xk ) nghiệm toán EP(C, fεk ) Từ đẳng thức (2 − xk + εk )xk − εk xg = ta suy √ εk x g ε k √ 0≤ x = ≤ − xk + εk − + εk Do k → ∞ εk → nên k ≤ limk→+∞ x − = limk→+∞ x k √ εk √ ≤ lim k→+∞ − + εk ⇒ limk→+∞ xk − = Điều chứng tỏ xk hội tụ mạnh Do đó, xk hội tụ mạnh x∗ := (x1g , 0) = (x1g , 0, , 0, ) ∈ C Hơn nữa, x∗ nghiệm toán cân đơn điệu mạnh EP(C, g) với g(x, y) := (x1 − x1g )(y1 − x1 ) + x − xg , y − x ≥ 3.1.2 Phương pháp điểm gần kề Trong phần nghiên cứu phương pháp điểm gần kề cho toán cân giả đơn điệu Kết hội tụ phương pháp cho thấy phương pháp điểm 15 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp gần kề sử dụng cho toán cân giả đơn điệu Tuy nhiên, khác với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp này, bước lặp, toán hiệu chỉnh phụ thuộc vào điểm lặp bước trước tham số hiệu chỉnh ck > không cần dần đến Xuất phát từ điểm x0 ∈ C cho trước, bước lặp k = 1, 2, xét toán hiệu chỉnh Tìm xk ∈ C cho fk (xk , y) := f (xk , y) + ck xk − xk−1 , y − xk ≥ −δk , ∀y ∈ C tham số ck > sai số δk ≥ cho trước Ta gọi nghiệm toán hiệu chỉnh δk − nghiệm kí hiệu tập tất δk − nghiệm Sδk (C, fk ) Gọi dãy {xk } với xk ∈ Sδk (C, fk ) quỹ đạo xấp xỉ gần kề Định lý sau rằng, toán cân giả đơn điệu, toán hiệu chỉnh nghiệm quỹ đạo xấp xỉ có giới hạn Định lý 3.1.1 Giả sử f giả đơn điệu C thỏa mãn giả thiết (A1), (A2) toán EP(C, f ) có lời giải Lấy {ck } {δk } hai dãy số dương cho δk ck ≤ c < +∞, ∀k, ∑∞ k=1 c < +∞ Khi k Đối với k ∈ N tập nghiệm Sδk (C, fk ) khác rỗng, đóng bị chặn Khi ta có δk xk−1 − xk + xk − x ≤ xk−1 − x + , (3.3) ck x ∈ S(C, f ), xk ∈ Sδk (C, fk ) Xét dãy {xk } bất kỳ, xk chọn tùy ý tập Sδk (C, fεk ), hội tụ yếu đến nghiệm toán EP(C, f ) Hơn nữa, {xk } có điểm hội tụ mạnh, toàn dãy hội tụ mạnh đến nghiệm toán EP(C, f ) ban đầu Định lý 3.1.2 Giả sử C ⊆ Rn tập lồi, đóng, khác rỗng, f giả đơn điệu C, f (., y) nửa liên tục với y ∈ C, f (x, ) nửa lên tục lồi với x ∈ C, toán cân EP(C, f ) có nghiệm Lấy {ck }, {δk } hai dãy số dương δk cho ck < c < +∞ ∑∞ k=1 c < +∞ Khi k Với k, tập δk -nghiệm toán EP(C, fk ) khác rỗng compact Mọi dãy {xk }, với xk δk -nghiệm toán EP(C, fk ) hội tụ mạnh tới nghiệm toán EP(C, f ) 16 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Nhận xét Các kết rằng, quỹ đạo thuật toán điểm gần kề có chung điểm giới hạn yếu Tuy nhiên việc tìm điểm giới hạn việc khó hội tụ không mạnh kết không điểm giới hạn Để làm rõ điều ta xét ví dụ sau Ví dụ 3.1.2 Xét song hàm cân giả đơn điệu Ví dụ 2.1.3 Ta xét toán hiệu chỉnh Tìm xk ∈ C cho fk (xk , y) := f (xk , y) + ck xk − xk−1 , y − xk ≥ −δk , ∀y ∈ C, (3.1.1) x0 = xg = (x1g , x2g , , xig , ) điểm xuất phát dãy lặp, đóng vai trò nghiệm dự đoán toán EP(C, f ); {ck }, {δk } hai dãy số không âm cho δk ck ≤ c < +∞ với k ∈ N ∑∞ < +∞ Khi k=1 ck fk (xk , y) = (2 − xk ) xk , y − xk + ck (x1k − x1k−1 )(y1 − x1k ) + ck xk − xk−1 , y − xk , = ck (x1k − x1k−1 )(y1 − x1k ) + ck (2 − xk + ck )xk − ck xk−1 , y − xk Nhận thấy, x1k = x1k−1 , (2 − xk + ck )xk − ck xk−1 = thỏa mãn xk = (x1k , xk ) nghiệm toán EP(C, fk ) ta có √ k−1 c x c k k √ ≤ xk = ≤ k − x + ck − + ck Tuy nhiên, khác với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, cho k → ∞ ck → đó, từ ước lượng ta không suy dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm cụ thể toán EP(C, f ) mà kết luận dãy bị chặn, hội tụ yếu nghiệm toán ban đầu 3.2 Thuật toán giải Như biết, toán cân đơn điệu, nhờ tính đơn điệu mạnh toán hiệu chỉnh, thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov điềm gần kề dẫn đến phương pháp giải chấp nhận Còn toán cân giả đơn điệu, toán hiệu chỉnh nói chung không đơn điệu mạnh, chí không giả đơn điệu, phương pháp giải đòi hỏi tính đơn điệu áp dụng 17 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Trong trường hợp này, điểm giới hạn điểm chiếu nghiệm dự đoán xg tập nghiệm toán EP(C, f ) Các điểm giới hạn thu dựa vào toán tối ưu hai cấp min{ x − xg 3.2.1 với x ∈ S(C, f )} (BO) Mô tả thuật toán Như ta biết, f giả đơn điệu C, tập nghiệm S(C, f ) toán EP(C, f ) tập lồi Do (BO)là toán tìm cực tiểu hàm chuẩn tập lồi Giả sử tập nghiệm S(C, f ) toán EP(C, f ) khác rỗng f liên tục yếu, giả đơn điệu C Xét song hàm L : H × H → R thỏa mãn điều kiện sau (B1 )L(x, x) = 0, ∃β > : L(x, y) ≥ β2 x − y , ∀x, y ∈ C; (B2 )L liên tục yếu, L(x, ) khả vi, lồi mạnh H với x ∈ C ∇2 L(x, x) = với x ∈ H Ta xét bổ đề sau Bổ đề 3.2.1 Giả sử f thỏa mãn giả thiết (A1 ), (A2 ) L thỏa mãn giả thiết (B1 ), (B2 ) Khi đó, với ρ > 0, mệnh đề sau tương đương x∗ nghiệm toán cân bằng; x∗ ∈ C : f (x∗ , y) + L(x∗ , y) ≥ 0, ρ ∀y ∈ C; x∗ = argmin{ f (x∗ , y) + L(x∗ , y) : y ∈ C} ρ Thuật toán Chọn ρ > η ∈ (0, 1) Khởi đầu với x1 := xg ∈ C (xg có vai trò nghiệm dự đoán) Nếu x1 ∈ S(C, f ), x1 nghiệm toán tối ưu (BO), ngược lại ta thực phép lặp k theo bước sau Bước Giải toán quy hoạch lồi mạnh min{ f (xk , y) + L(xk , y) : y ∈ C} ρ (CP(xk )) để tìm nghiệm yk Nếu yk = xk , chọn uk := xk chuyển đến Bước Ngược lại chuyển sang Bước 18 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Bước 2.(Qui tắc tìm kiếm theo tia Amijio) Tìm số nguyên, không âm nhỏ mk , m số nguyên, thỏa mãn zk,m := (1 − η m )xk + η m yk , (3.11) f (zk,m , yk ) + L(xk , yk ) ≤ ρ (3.12) Đặt ηk := η mk , zk := zk,mk , tính −ηk f (zk , yk ) σk = , (1 − ηk ) gk uk := PC (xk − σk gk ), (3.13) gk ∈ ∂2 f (zk , zk ), đạo hàm hàm lồi f (zk , ) zk Bước Xây dựng nửa không gian Ck := {y ∈ H : uk − y ≤ xk − y }; Dk := {y ∈ H : xg − xk , y − xk ≤ 0} Bước Đặt Bk = Ck ∩ Dk ∩C tính xk+1 := PBk (xg ) Nếu xk+1 ∈ S(C, f ), kết luận xk+1 nghiệm toán (BO) Ngược lại, tăng k lên lặp lại trình 3.2.2 Tính hội tụ thuật toán Bổ đề định lý sau cho thấy tính hội tụ mạnh dãy {xk }, {uk } thuật toán Bổ đề 3.2.2 Từ giả thiết Bổ đề 3.2.1 ta có Giả sử f thỏa mãn giả thiết (A1 ), (A2 ) L thỏa mãn giả thiết (B1 ), (B2 ) uk − x ∗ ≤ xk − x∗ − σk2 gk , ∀x∗ ∈ S(C, f ), ∀k (3.15) Định lý 3.2.1 Giả sử f song hàm liên tục yếu, f(x,.) lồi, khả vi phân C với x ∈ C toán EP(C, f ) có nghiệm Khi hai dãy {xk }, {uk } hội tụ tới nghiệm toán tối ưu hai cấp (BO) Chứng minh Ta có S(C, f ) ⊆ Bk với k Thật vậy, từ Định lý 3.1.2 ta có un − x ∗ ≤ xn − x∗ , 19 ∀x∗ ∈ S(C, f ), Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp S(C, f ) ⊆ Ck Ta chứng minh S(C, f ) ⊆ Dk phương pháp qui nạp Với k = D1 = H nên S(C, f ) ⊆ D1 Giả sử S(C, f ) ⊆ Dk , tức xg − xk , x∗ − xk ≤ với x∗ ∈ S(C, f ) Khi S(C, f ) ⊆ Bk = Ck ∩ Dk Mặt khác theo định nghĩa xk+1 = PBk (xg ) nên ta có x∗ − xk+1 , xk+1 − xg ≤ 0, ∀x∗ ∈ S(C, f ), xk+1 − x∗ , xg − xk+1 ≤ 0, ∀x∗ ∈ S(C, f ) hay Vậy S(C, f ) ⊆ Dk+1 , suy S(C, f ) ⊆ Bk Từ định nghĩa Dk , ta có xk = PDk (xg ) Do xk+1 ∈ Dk nên xk − xg ≤ xk+1 − xg , ∀k ∈ C Hơn nữa, xk = PDk (xg ) S(C, f ) ⊂ Dk với k nên ta có xk − xg ≤ x∗ − xg , ∀x∗ ∈ S(C, f ), ∀k (3.20) Do {xk } bị chặn Do tính bị chặn {xk } xk − xg ≤ xk+1 − xg với k nên limk xk − xg tồn Ta chứng minh xk+1 − xk → k → ∞ Thật vậy, xk ∈ Dk xk+1 ∈ Dk , Dk tập lồi nên ta có kk+1 + xk ∈ Dk Mặt khác, xk = PDk (xg ) nên theo tính chất lồi mạnh hàm xg − g x −x k xk+1 + xk ≤ x − ; xk − xg xk+1 − xg + ; = 2 1 = xg − xk+1 + xg − xk 2 ta có g − k+1 x − xk Suy k+1 x − xk ≤ xg − xk+1 − xg − xk k g Do lim x − x tồn nên ta suy xk+1 − xk → k → ∞ Mặt khác, xk+1 ∈ Bk ⊆ Ck , từ định nghĩa Ck ta có uk − xk+1 ≤ xk+1 − xk 20 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Do đó, uk − xk ≤ uk − xk+1 + xk+1 − xk ≤ xk+1 − xk , xk+1 − xk → 0, tức uk − xk → k → ∞ Sau ta điểm tụ yếu dãy {xk } nghiệm toán EP(C, f ) Thật vậy, lấy x điểm tụ yếu dãy {xk } Không tính chất tổng quát, ta giả sử xk x Ta xét hai trường hợp Trường hợp Việc tìm kiếm theo tia xảy hữu hạn điểm Trong trường hợp này, theo thuật toán, uk = xk với k vô hạn, yk = xk nghiệm toán EP(C, f ) với k Do vậy, trường hợp Trường hợp Việc tìm kiếm theo tia xảy vô hạn điểm Khi ta trích dãy giả thiết việc tìm kiếm theo tia thực với k Ta xét hai khả (a) limk ηk > Do xk x uk − xk → nên uk x Áp dụng công thức (3.15) với x∗ ∈ S(C, f ) ta thấy σk gk → Do định nghĩa σk nên ta có ηk gk , yk − zk → − − ηk Từ điều kiện limk ηk > 0, giả sử gk , yk − zk → Mặt khác từ giả thiết (B1) qui tắc tìm kiếm Armijo ta có 0≤ β k x − yk 2ρ Do đó, xk − yk → Do xk ≤ L(xk , yk ) ≤ − gk , yk − zk → 2ρ x nên yk x, yk nghiệm toán f (xk , y) + L(xk , y) : y ∈ C ρ Khi ta viết lại sau 1 f (xk , y) + L(xk , y) ≥ f (xk , yk ) + L(xk , yk ) ∀y ∈ C ρ ρ Cho k tiến vô cùng, tính liên tục yếu f L nên 1 f (x, y) + L(x, y) ≥ f (x, y) + L(x, y) ∀y ∈ C, ρ ρ điều cho thấy y nghiệm toán CP(x) Do xk − yk → xk x, yk y nên suy x = y Vậy theo Bổ đề 3.2.1 x nghiệm toán EP(C, f ) 21 (CP(Ck )) Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp (b) limk ηk = Trong trường hợp dãy {yk } bị chặn Thật vậy, yk nghiệm toán CP(xk ), hàm mục tiêu liên tục yếu, lồi mạnh lời giải không đổi Theo Định lý Berge, ánh xạ xk → s(xk ) := yk liên tục yếu Từ tính chất bị chặn {xk } ta suy {yk } bị chặn, suy yk y Lập luận tương tự trước ta 1 f (x, y) + L(x, y) ≤ f (x, y) + L(x, y), ρ ρ ∀y ∈ C (3.21) Mặt khác, mk số tự nhiên nhỏ thỏa mãn quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo nên f (zk,mk −1 , yk ) + L(xk , yk ) > (3.22) ρ x k → ∞ Từ bất đẳng thức (3.22), tính liên tục yếu f Trong zk,mk −1 L ta thu giới hạn f (x, y) + L(x, y) ≥ (3.23) ρ Thay y = x vào (3.21) ta f (x, y) + L(x, y) ≤ 0, ρ kết hợp với (3.23) ta f (x, y) + L(x, y) = ρ (3.24) Từ (3.24) f (x, x) + L(x, x) = 0, ρ suy x, y nghiệm toán f (x, y) + L(x, y) : y ∈ C ρ Do x = y, theo Bổ đề 3.2.1 x nghiệm toán EP(C, f ) Hơn nữa, từ điều kiện uk − xk → ta kết luận rằng, điểm tụ yếu {xk } nghiệm toán EP(C, f ) Ta cần {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm toán hai cấp (BO) Nhận thấy điểm tụ yếu {xk } thuộc tập nghiệm S(C, f ) Gọi x∗ điểm tụ dãy {xk }, s = PS(C, f ) (xg ) Khi đó, tồn dãy {xk j } dãy {xk } cho xk j → x∗ j → ∞ 22 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Theo chứng minh ta có x∗ ∈ S(C, f ) từ định nghĩa s ta suy s − xg ≤ x∗ − xg = lim xk j − xg ≤ lim sup xk − xg ≤ s − xg j k Bất đẳng thức cuối xảy xk+1 = PBk (xg ) s ∈ S(C, f ) ⊆ Bk với k Do lim xk − xg = s − xg = x∗ − xg Do x∗ ∈ S(C, f ), s = PS(C, f ) (xg ) S(C, f ) tập lồi đóng nên hình chiếu xg lên S(C, f ) nhất, suy x∗ = s, xk → s k → ∞ nghiệm toán (BO) Từ xk − uk → ta có uk → Ps xg 23 KẾT LUẬN CHUNG Luận văn trình bày vấn đề sau - Các khái niệm không gian tuyến tính định chuẩn, không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert, hội tụ yếu, hội tụ mạnh không gian Hilbert - Các định nghĩa tập lồi, nón lồi, hàm lồi tính chất hàm lồi - Phát biểu toán cân bằng, tồn nghiệm toán cân Trình bày số trường hợp đưa toán cân toán tối ưu, toán điểm bất động, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa - Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề cho toán cân giả đơn điệu, thuật toán hiệu chỉnh dựa toán tối ưu hai cấp hội tụ thuật toán 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Giải tích hàm, (2009), NXB khoa học kỹ thuật, Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2015), Giáo trình giải tích lồi ứng dụng, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [3] Bui V.Dinh, Pham G.Hung, Le D.Muu (2014), Bilevel optimization as a regularization approach to pseudomonotone equilibrium problems, Numerical Functional Analysis and Optimization 35:539-563 [4] Pham G Hung, Le D Muu (2011), The Tikhonov regularization extended to equilibrium problems involving pseudomontone bifunctions, Nonlinear Analysis 74:6121 – 6129 [5] M Bianchi and S Schaible (1996), Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems, Journal of Optimization Theory and Applications 90:31–43 [6] G Mastroeni (2003), On auxiliary priciple for equilibrium problems, Kluwer Academic, Dordrecht, pp 289–298 [7] L D Muu (1984), Stability property of a class of variational inequality, Optimization 15:347–351 25 [...]... bằng Trình bày một số trường hợp có thể đưa về bài toán cân bằng như bài toán tối ưu, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm yên ngựa - Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề cho bài toán cân bằng giả đơn điệu, thuật toán hiệu chỉnh dựa trên bài toán tối ưu hai cấp và sự hội tụ của thuật toán 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Giải tích... Chương 3 Hiệu chỉnh dựa trên tối ưu hai cấp Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu hai phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán cân bằng giả đơn điệu đó là phương pháp Tikhonov và phương pháp điểm gần kề Thuật toán và tính hội tụ của thuật toán hiệu chỉnh dựa trên bài toán tối ưu hai cấp Các kết quả được lấy ra từ các tài liệu [3], [4], [5], [6], [7] 3.1 3.1.1 Hiệu chỉnh bài toán cân bằng giả đơn điệu Phương... với bài toán cân bằng đơn điệu, nhờ tính đơn điệu mạnh của các bài toán hiệu chỉnh, các thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov và điềm gần kề có thể dẫn đến những phương pháp giải chấp nhận được Còn đối với bài toán cân bằng giả đơn điệu, các bài toán hiệu chỉnh nói chung là không đơn điệu mạnh, thậm chí không giả đơn điệu, vì vậy các phương pháp giải đòi hỏi tính đơn điệu không thể áp dụng 17 Chương 3 Hiệu chỉnh. ..Chương 2 Bài toán cân bằng Chương này chúng ta nhắc lại các khái niệm về song hàm cân bằng, toán tử cân bằng và phát biểu bài toán cân bằng Một số bài toán có thể đưa về dạng bài toán cân bằng và sự tồn tại nghiệm của bài toán Các kiến thức này được tham khảo từ các tài liệu [2], [3] 2.1 Bài toán cân bằng và các khái niệm Trong kinh tế và nhiều lĩnh vực khác bài toán cân bằng có nhiều ý... bài toán cân bằng có nhiều ý nghĩa quan trọng Hơn nữa, bài toán là sự mở rộng của nhiều bài toán khác như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm yên ngựa, Vì vậy mà lớp các bài toán cân bằng được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu 2.1.1 Phát biểu bài toán Định nghĩa 2.1.1 Giả sử C ⊆ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và f : H × H → R ∪ {+∞} thỏa... số ϕ : C → R Xét bài toán tối ưu Tìm x∗ ∈ C sao cho ϕ(x∗ ) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ C (OP) Đặt f (x, y) := ϕ(y) − ϕ(x) Rõ ràng f (x, x) = ϕ(x) − ϕ(x) = 0 Vậy f là một song hàm cân bằng Khi đó bài toán tối ưu (OP) tương đương với bài toán Tìm x∗ ∈ C sao cho ϕ(y) − ϕ(x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ C hay Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Đây chính là bài toán cân bằng 2.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng Trong mục... toán cân bằng đơn điệu mạnh EP(C, g) với g(x, y) := (x1 − x1g )(y1 − x1 ) + x − xg , y − x ≥ 0 3.1.2 Phương pháp điểm gần kề Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp điểm gần kề cho bài toán cân bằng giả đơn điệu Kết quả hội tụ của phương pháp này cho thấy phương pháp điểm 15 Chương 3 Hiệu chỉnh dựa trên tối ưu hai cấp gần kề cũng có thể sử dụng cho bài toán cân bằng giả đơn điệu Tuy nhiên,... Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Xét bài toán cân bằng Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C, trong đó C là một tập lồi đóng trong H , f : C ×C → R là một song hàm giả đơn điệu trên C Khi đó bài toán hiệu chỉnh được xây dựng như sau Tìm x ∈ C sao cho fε (x, y) := f (x, y) + ε x − xg , y − x ≥ −δ , ∀y ∈ C (EPδ (C, fε )) trong đó g(x, y) là một song hàm đơn điệu mạnh được gọi là song hàm hiệu chỉnh, ε... trên tối ưu hai cấp được Trong trường hợp này, các điểm giới hạn là điểm chiếu của các nghiệm dự đoán xg trên tập nghiệm của bài toán EP(C, f ) Các điểm giới hạn này có thể thu được dựa vào bài toán tối ưu hai cấp min{ x − xg 3.2.1 2 với x ∈ S(C, f )} (BO) Mô tả thuật toán Như ta đã biết, khi f là giả đơn điệu trên C, tập nghiệm S(C, f ) của bài toán EP(C, f ) là một tập lồi Do đó (BO)là bài toán tìm... Khi đó ta gọi hàm f là một song hàm cân bằng trên C Cho f là một song hàm cân bằng trên C Ta xét bài toán Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C (EP(C, f )) Ta kí hiệu bài toán này là EP(C, f ) và gọi là bài toán cân bằng, tập nghiệm của nó được kí hiệu là S(C, f ) 2.1.2 Các khái niệm Định nghĩa 2.1.2 Song hàm f : H × H → R ∪ {+∞} được gọi là 9 Chương 2 Bài toán cân bằng 1 đơn điệu mạnh trên C với