Một số phương pháp tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn 62 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA H€ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHI–N Đỗ Duy Th nh MỘT SỐ PHƯƠNG PH•P TœM NGHIỆM CHUNG CỦA B€I TO•N C…N BẰNG V€ BI TOãN IM BT NG CA ãNH X KHặNG GIN Chuyản ng nh: ToĂn gii tẵch M s: 62460102 LUN •N TIẾN SĨ TO•N HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Ngọc Anh GS.TSKH Phạm Kỳ Anh H Nội - 2016 Đ Tỉi xin cam đoan đ¥y l cổng trẳnh nghiản cu ca riảng tổi CĂc kt quả, số liệu luận ¡n l trung thực v chưa cỉng bố tr¶n cỉng tr¼nh n o kh¡c T¡c giả luận ¡n Đỗ Duy Th nh ẢƠ Luận ¡n n y ho n th nh trường Đại học Khoa học Tự nhi¶n - Đại học Quốc gia H Nội hướng dẫn tận t¼nh PGS.TS Phạm Ngọc Anh v GS.TSKH Phm K Anh  cõ nhng ỵ kin õng gâp chỉnh sửa luận ¡n T¡c giả xin b y tỏ láng biết ơn s¥u sắc đến c¡c thầy Trong quĂ trẳnh hc v nghiản cu, thổng qua cĂc b i giảng, hội nghị v seminar, t¡c giả luæn nhận quan t¥m gióp đỡ câ c nhng ỵ kin õng gõp quỵ bĂu ca cĂc thầy cỉ trường Đại học Khoa học Tự nhi¶n T¡c giả xin ch¥n th nh cảm ơn c¡c thầy cæ T¡c giả xin b y tỏ láng biết ơn đến Ban L¢nh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiản, Phỏng Sau i hc, Ban LÂnh o Trng i học Hải Pháng còng c¡c bạn đồng nghiệp khoa To¡n đ¢ tạo điều kiện thuận lợi cho t¡c giả thi gian l m nghiản cu sinh Xin chƠn th nh cảm ơn c¡c anh, chị, em nhâm Gii tẵch v cĂc bn b ng nghip  luổn b¶n cạnh động vi¶n, gióp đỡ t¡c giả suốt quĂ trẳnh hc v nghiản cu TĂc gi xin gửi đến gia đ¼nh m¼nh láng biết ơn v tẳnh cm yảu thng nht Li cam oan Li cm n Mc lc Danh mc cĂc kỵ hiu v chữ viết tắt Mở đầu Chương B i toĂn cƠn bng v Ănh x khổng giÂn 1.1 1.2 1.3 1.4 Sự hội tụ mạnh v yếu khæng g Ph²p chiếu v c¡c t½nh chất ãnh x khổng giÂn v cĂc nh lỵ im B i toĂn cƠn bng 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.5 Một số phương ph¡p t¼m nghiệm chu b i to¡n điểm bất động ¡nh xạ khæ 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.6 Kết luận Chương Phương ph¡p điểm bất động 2.1 Một số c¡ch tiếp cận điểm bất động c 2.2 XƠy dng dÂy lp 2.3 Kết hội tụ 2.4 2.5 Kết t½nh to¡n Kết luận Chương Phương ph¡p đạo h m tăng cường mở rộng 3.1 3.2 3.3 3.4 Chương Phương ph¡p t¼m kiếm theo tia 4.1 4.2 4.3 4.4 Một số phương ph¡p chiếu cho h Phương ph¡p đạo h m tăng cường Phương ph¡p đạo h m tăng cường mở Kết luận Giải b i to¡n c¥n v ¡nh xạ k 4.1.1 4.1.2 4.1.3 Giải b i to¡n c¥n v họ c¡c ¡ 4.2.1 4.2.2 Giải b i to¡n c¥n bằng, b i to¡n bất đẳ xạ khỉng gi¢n 4.3.1 4.3.2 Kết luận Kết luận Danh mục cỉng tr¼nh khoa học t¡c giả li¶n quan đến luận ¡n 113 Ắ N N R R n H H z ∥x∥ 9x 8x x; y A B A B A\B A[B A B diamD := sup ∥x y∥ x;y2D argminff(x) : x Cg @f(x) C () P rC (x) NC (x) n d¢y fx g hội tụ mạnh tới x n V I(C; F ) d¢y fx g hội tụ yếu tới x b i to¡n bất đẳng thức biến ph¥n OP b i to¡n tối ưu EP (C; f) b i to¡n c¥n F ix b i to¡n điểm bất động x !x x ⇀x n n Sol(C; F ) tập nghiệm b i to¡n V I(C; F ) Sol(C; f) tập nghiệm b i to¡n EP (C; f) I ¡nh xạ đồng F ix(S) tập c¡c điểm bất động ¡nh xạ S ĐẦ Mæ hẳnh cƠn bng cõ th c xem nh l mt ph¡t triển mở rộng mỉ h¼nh tối ưu ho¡ v b i to¡n bất đẳng thức biến ph¥n C¡c b i to¡n tối ưu v bất đẳng thức bin phƠn l nhng trng hp riảng ca b i to¡n c¥n Trong b i to¡n tối ưu câ chủ thể với nhiều mục ti¶u m chủ thể mong muốn t¼m giải ph¡p tối ưu điều kiện định Trong vấn đề câ nhiều chủ thể tham gia, chủ thể câ mc tiảu khĂc nhau, quan h mt thit, thm chẵ đối kh¡ng nhau, phương ¡n tối ưu khâ tất c¡c chủ thể chấp nhận, v¼ nâ câ thể tối ưu cho chủ thể n y, lại khỉng tốt cho chủ thể kh¡c Trong t¼nh n y kh¡i niệm c¥n bằng, đặc biệt l kh¡i niệm c¥n Nash, dễ chấp nhận Trong thời đại thæng tin nay, vấn đề quan h mt thit vi nhau, li ẵch thng mƠu thun nhau, n¶n dễ xảy xung đột Do đâ, c¡c mổ hẳnh cƠn bng t thẵch hp, gii c¡c m¥u thuẫn quyền lợi Điều n y gii thẵch lỵ vẳ nhng thp k gn Ơy, cƠn bng c quan tƠm nghiản cu nhiu Lớp b i to¡n c¥n bằng, mỉ tả dạng bất đẳng thức, cán gọi l bất đẳng thức Ky Fan, xuất lần đầu ti¶n v o năm 1972 tr¶n b i b¡o câ tựa đề "A Minimax Inequality and Its Applications" [25] v ¡p dng nghiản cu cĂc mổ hẳnh cƠn bng kinh tế theo kh¡i niệm c¥n J.F Nash, nh to¡n học Mỹ giải Nobel kinh tế cổng trẳnh nghiản cu v cƠn bng, a Sau đâ b i to¡n c¥n theo bất đẳng thức Ky Fan  c nghiản cu bi nhiu tĂc gi l nh to¡n học v chuy¶n gia kinh t V mt lỵ thuyt ca s tn ti nghim, nhiều kết v quan trọng đ¢ đạt cho b i to¡n c¥n tổng qu¡t tr¶n c¡c khỉng gian trừu tượng Tuy nhi¶n mặt t½nh to¡n, c¡c kết cán hạn chế C¡c phương ph¡p giải thu cho c¡c b i to¡n c¥n với c¡c song h m nhận gi¡ trị thc v cõ thảm nhng tẵnh cht n iu CĂc phương ph¡p giải cho lớp c¡c b i to¡n c¥n tổng qu¡t hơn, l lớp c¡c b i toĂn cƠn bng vi song h m cõ tẵnh n điệu suy rộng, giả đơn điệu, tựa đơn điệu v.v : : : nghi¶n cứu nhiều tẵnh lỵ thú v mt toĂn hc, cng nh kh ứng dụng lớp b i to¡n n y Cho C l tập lồi, đâng, kh¡c rỗng khæng gian Hilbert thực H v song h m f : C C ! R B i to¡n c¥n đặt l x C cho f(x ; y) với y C Ta biết rằng, x l b i to¡n c¥n v nâ l nghiệm b i to¡n tối ưu f(x; y): y2C Như vậy, với x C, x l điểm bất động ¡nh xạ nghiệm S(x) = argminf f(x; y) + C đâ > 0, ¡nh xạ nghiệm S : C ! Đ¥y l sở để đưa đến c¡c c¡ch tiếp cận v nghiản cu vic gii b i toĂn tẳm mt im chung tập nghiệm b i to¡n c¥n v bất động c¡c ¡nh xạ khỉng gi¢n Thực tế cho thấy, b i to¡n t¼m điểm bất động chung hai ¡nh xạ l b i to¡n rt ph bin lỵ thuyt im bt ng, b i to¡n n y thu hót nhiều nh khoa học nghi¶n cứu tr¶n lĩnh vực tồn nghiệm v c¡c thuật to¡n giải Do vậy, việc nghi¶n cứu đề t i l cần thiết v phò hp Trong nhng nm gn Ơy, b i toĂn tẳm điểm chung tập nghiệm b i to¡n c¥n v tập c¡c điểm bất động c¡c ¡nh xạ khỉng gi¢n l đề t i hấp dẫn nhiều nh khoa học tr¶n giới Hầu hết c¡c thuật to¡n để giải b i to¡n n y u da trản tẵnh cht rng: Vi mi r > v x H, tồn z C cho f(z; y) + r y z; z x 0; 8y C; đâ f l song h m tha mÂn mt s tẵnh chất cho trước Khi đâ, bước lặp n th n, thut toĂn gii thng xƠy dng dÂy lp fx g sau: < 8x C : >T¼m un > điểm lặp x n+1 n n t½nh theo x v u thỉng qua c¡c kỹ thuật điểm bất động Vậy, b i to¡n t¼m điểm chung tập nghiệm b i to¡n c¥n v tập điểm bất động ¡nh xạ khỉng gi¢n chuyển việc giải d¢y c¡c b i to¡n c¥n phụ Thực tế cho thấy, c¡c b i to¡n phụ n y giải nghiệm dạng xp x, thẳ cha chc dÂy lp  hi t v nghim ti u cn tẳm Ơy l mt đề quan t¥m giải v cán l mt cƠu hi m cho vic nghiản cu t¼m c¡c thuật to¡n hữu hiệu cho b i to¡n n y Một v i phương ph¡p tiếp cận bật giải b i to¡n n y tr¶n khỉng gian Hilbert thực H thời gian gần đ¥y biết đến như: Phương ph¡p xấp xỉ gắn kết (viscosity approximation methods) đề xuất nhâm t¡c giả S Takahashi v W Takahashi [55] dựa tr¶n kết P.L Combettes v S.A Hirstoaga [21] t½nh chất ¡nh xạ nghiệm v phương ph¡p xấp xỉ cho b i to¡n điểm bất động A Moudafi [38] CĂc tĂc gi  trẳnh b y hai nh lỵ hội tụ mạnh v yếu thuật to¡n đề xuất Phương ph¡p chiếu A Tada v W Takahashi [53] giới thiệu T¡c giả đ¢ cải tiến phương ph¡p xấp xỉ gắn kết chiếu xấp xỉ ban u ca dÂy lp lản giao ca hai li đâng chứa tập nghiệm b i to¡n v thu hội tụ mạnh thuật to¡n Phương ph¡p đạo h m tăng cường lần đầu ti¶n G.M Korpelevich [34] đề xuất để giải b i to¡n tẳm im yản nga sau õ c phĂt trin cho b i to¡n bất đẳng thức biến ph¥n Phương ph¡p n y sử dụng hai ph²p chiếu bước lặp sau: n n x C; y = P rC (x nF (x n )) v x n+1 n = P rC ( x nF (y n )): Tiếp cận n y cho ph²p giải b i to¡n b i to¡n bất đẳng thức biến ph¥n V I(C; F ) Từ Thuật to¡n 4.4, ta câ thể dễ d ng đạt thuật to¡n giải b i to¡n c¥n EP (f; C) sau 108 Thuật to¡n 4.5 Chọn c¡c d¢y số dương f ng, f ng (0; 1), (0; 1), (0; Bước Giải b i to¡n lồi mạnh sau n v đặt d(x ) = x n n ∥d(x )∥ ̸= th¼, chuyển sang Bước Bước T¼m số nguyản dng nh nht mn cho Tẵnh n n m n n n n n đâ z = x n d(x ), v @2f(z ; z ), Hn = fx H : v ; x z v chuyển sang Bước n 0g Bước T½nh t n := n + 1, v T nh lỵ 4.4, ta câ kết hội tụ Thuật to¡n 4.5 nh sau nh lỵ 4.5 Cho C l mt tập lồi, đâng, kh¡c rỗng H Cho f : C C ! R l song h m thỏa m¢n (F1) (F4) v dương mạnh từ H v o ch½nh nâ với hệ số l ¡nh xạ co với hệ số (0; 1) Giả sử > n n Cho c¡c d¢y fx g, fy g, v f ng [c; d]; với < c < d < Giả sử c¡c điều kiện (H1) thỏa m¢n Khi đâ, ta câ c¡c kết sau: (i) P rSol(C;f)(I A + g ) l ¡nh xạ co tr¶n C, đâ tồn q C cho q = P rSol(C;f)(I n n (ii) C¡c d¢y fx g, fy g v ế Trong chương 4, chóng tỉi sử dụng kỹ thuật t¼m kiếm theo tia kiểu Armijo để giải ba loại b i to¡n: B i to¡n t¼m điểm chung tập nghiệm b i to¡n c¥n v tập điểm bất động mt Ănh x khổng giÂn, b i toĂn tẳm im chung tập nghiệm b i to¡n c¥n v tập điểm bất động họ c¡c ¡nh xạ khổng giÂn, b i toĂn tẳm im chung ca nghiệm b i to¡n c¥n bằng, tập nghiệm b i to¡n bất đẳng thức biến ph¥n v tập c¡c điểm bất động ¡nh xạ khỉng gi¢n N²t bật kỹ thuật n y l kh¡ đơn giản mặt cấu tróc v t½nh to¡n khỉng cần điều kiện li¶n tục kiểu Lipschitz song h m f C th, chúng tổi xƠy dng mt siảu phẳng chứa tập nghiệm b i to¡n c¥n bằng, b i to¡n bất đẳng thức biến ph¥n v tập điểm bất động ¡nh xạ khỉng gi¢n Sau đâ, chiếu điểm lặp v o phần giao si¶u phẳng tr¶n với tập lồi, đâng kh¡c rỗng khæng gian Hilbert thực H chứa điểm xuất ph¡t x d¢y lặp kết hợp với kỹ thuật điểm bất động để x¥y dựng điểm lặp tip theo v thu c cĂc nh lỵ v s hội tụ mạnh v yếu thuật to¡n Trong chương n y, chúng tổi cng  xƠy dng vẵ d tẵnh toĂn trản phn mm Mathlab cho thut toĂn tẳm điểm chung tập nghiệm b i to¡n bất đẳng thức biến ph¥n v tập điểm bất động ¡nh xạ khỉng gi¢n 110 Ậ Luận ¡n đ¢ đạt kết sau: 1) Sử dụng phương ph¡p điểm bất động tr¶n sở cải tiến phương ph¡p đạo h m tăng cường P.N Anh [4] với phng phĂp chẵnh quy thay phiản ca S Sun [52] đưa kỹ thuật lặp để t¼m điểm chung tập nghiệm b i to¡n c¥n với giả thiết song h m f giả đơn điệu, li¶n tục kiểu Lipschitz tr¶n khỉng gian Hilbert thực H v tập điểm bất động ¡nh xạ khỉng gi¢n S m khỉng cần giải c¡c b i to¡n c¥n phụ thường cho nghiệm dạng xấp xỉ Thay v o đâ, bước lặp, chóng tỉi cần giải hai b i to¡n lồi mạnh, l b i to¡n câ thể thu lời giải ch½nh x¡c v chứng minh hội tụ yếu thuật to¡n 2) Đưa phương ph¡p đạo h m tăng cường mở rộng c¡ch kết hợp phương ph¡p lặp kiểu Mann với ph²p chiếu xấp xỉ ban u ca dÂy lp lản giao ca hai h cĂc tập lồi, đâng chứa tập nghiệm b i to¡n để đạt hội tụ mạnh 3) Sử dụng phương ph¡p t¼m kiếm theo tia kiểu Armijo loại bỏ điều kiện li¶n tục kiểu Lipschitz song h m f - điều kiện mạnh v khâ kiểm tra với song h m cho trước, để giải ba loại b i to¡n: B i to¡n t¼m điểm chung tập nghiệm b i to¡n c¥n v tập điểm bất động ¡nh xạ khỉng gi¢n, b i to¡n t¼m điểm chung tập nghiệm b i to¡n c¥n v tập điểm bất động họ c¡c ¡nh xạ khỉng gi¢n, b i to¡n tẳm im chung ca nghim b i toĂn cƠn bằng, tập nghiệm b i to¡n 111 bất đẳng thức biến ph¥n v tập c¡c điểm bất động Ănh x khổng giÂn v thu c cĂc nh lỵ hội tụ mạnh v yếu thuật to¡n C¡c vấn đề cần nghi¶n cứu l : 1) •p dụng thuật to¡n điểm gần kề cho b i to¡n t¼m nghiệm chung F ix(S)\ Sol(C; f) v mở rộng với b i to¡n c¥n v họ c¡c ¡nh xạ khỉng gi¢n 2) Dịng c¡c kỹ thuật chiếu v phương ph¡p si¶u phẳng cắt để tẳm nghim chung ca b i toĂn cƠn bng v tập điểm bất động c¡c ¡nh xạ giả co chặt 112 ĐẾ Ậ [1] P.N Anh, and D.D Thanh (2015), "Linesearch methods for equilibrium prob- lems and an infinite family of nonexpansive mappings", Bull Malays Math Sci Soc 38(3), pp 1157-1175 [2] P.N Anh, L.Q Thuy, and D.D Thanh (2015), "A fixed point scheme for non- expansive mappings, variational inequalities and equilibrium problems", Vietnam J Math 43(1), pp 71-91 [3] D.D Thanh, P.N Anh, and P.K Anh (2014), "Hybrid linesearch algorithms for equilibrium problems and nonexpansive mappings", Internat J Numer Methods Appl 11(1), pp 39-68 [4] D.D Thanh (2014), "Strong convergence theorems for equilibrium problems involving a family of nonexpansive mappings", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1186/1687-1812-2014-200 113 [1] P.K Anh, and C.V Chung (2014), "Parallel hybrid methods for a finite family of relatively nonexpansive mappings", Numer Funct Anal Optim (35), pp 649-664 Doi: 10.1080/01630563.2013.830127 [2] P.K Anh, and D.V Hieu (2014), "Parallel and sequential hybrid methods for a finite family of asymptotically quasi ϕ- nonexpansive mappings", J Appl Math Comput Doi: 10.1007/s12190-014-0801-6 [3] P.N Anh (2012), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and Ky Fan inequalities", J Optim Theory Appl (154), pp 303-320 [4] P.N Anh (2013), "A hybrid extragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems", Optim (62), pp 271-283 [5] P.N Anh (2013), "A hybrid extragradient method for pseudomonotone equi- librium problems and fixed point problems", Bull Malays Math Sci Soc (36), pp 107-116 [6] P.N Anh, and N.D Hien (2012), "The extragradient-Armijo method for pseudomonotone equilibrium problems and strict pseudocontractions", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1186/1687-1812-2012-82 [7] P.N Anh, and D.X Son (2011), " A new iterative scheme for pseudomono-tone equilibrium problems and a finite family of pseudocontractions", J Appl Math Inform (29), pp 1179-1191 114 [8] P.N Anh, J.K Kim, and J.M Nam (2012), "Strong convergence of an ex- tragradient method for equilibrium problems and fixed point problems", J Korea Math Soc (49), pp 187 -200 [9] K Aoyama, Y Kimura, W Takahashi, and M Toyoda (2007), "Approxima-tion of common fixed points of a coutable family of nonexpansive mappings in Banach space", Nonlinear Anal (67), pp 2350-2360 [10] E Blum, and W Oettli (1994), "From optimization and variational inequal-ity to equilibrium problems", Math Student (63), pp 123-145 [11] H Brezis (1987), Analyse fonctionnelle: Theârie et applications, MAS-SON [12] F.E Browder (1965), "Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space", Proc Nat Acad Sci USA (54), pp 1041-1044 [13] N Buong, and N.D Duong (2011), "A method for a solution of equilibrium problem and fixed point problem of a nonexpansive semigroup in Hilbert's spaces", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1155/2011/208434 [14] L.C Ceng, and S Huang (2009), "Modified extragradient methods for stric pseudo-contractions and monotone mappings", Taiwan J Math (13), pp 11971211 [15] L.C Ceng, and J.C Yao (2007), "An extragradient-like approximation method for variational inequalities and fixed point problems", Appl Math Comput (190), pp 205-215 [16] L.C Ceng, P Cubiotti, and J.C Yao (2008), "An implicit iterative scheme for monotone variational inequalities and fixed point problems", Nonlinear Anal (69), pp 2445-2457 [17] L.C Ceng, N Hadjsavvas, and N.C Wong (2010), "Strong convergence the- orem by a hybrid extragradient like approximation method for variational inequalities and fixed point problems", J Glob Optim (46), pp 635-646 115 [18] L C Ceng, A Petrusel, and J C Yao (2009), "Iterative approaches to solving equilibrium problems and fixed point problems of infinitely many nonexpansive mappings", J Optim Theory Appl (143), pp 37 - 58 [19] L.C Ceng, S Schaible, and J.C Yao (2008), "Implicit iteration scheme with perturbed mapping for equilibrium problems and fixed point problems of finitely many nonexpansive mappings", J Optim Theory Appl (139), pp 403418 [20] Y.J Cho, I.K Argyros, and N Petrot (2010), "Approximation methods for common solutions of generalized equilibrium, systems of nonlinear varia-tional inequalities and fixed point problems", Comput Math Appl (60), pp 22922301 [21] P.L Combettes, and S.A Hirstoaga (2005), "Equilibrium programming in Hilbert space", J Nonlinear Convex Anal (6), pp 117 136 [22] P Daniele, F Giannessi, and A Maugeri (2003), Equilibrium problems and variational models, Kluwer [23] T.T.T Duong, and N.X Tan (2012),"On the existence of solutions to gen- eralized quasi-equilibrium problems" J Global Optim., (52), pp 711-728 [24] T.T.T Duong, and N.X Tan (2011),"On the existence of solutions to gen- eralized quasi-equilibrium problems of type II and related problems" Acta Math Vietnam, (36), pp 231-248 [25] K Fan (1972), "A minimax inequality and applications", In: O Shisha (ed.), Inequality III, Academic Press, New York pp 103-113 [26] A Genel, and J Lindenstrauss (1975), "An example concerning fixed points", Israel J Math (22), pp 81-86 [27] K Goebel, and W.A Kirk (1990), Topics on metric fixed point theory, Cam- bridge University Press, Cambridge, England 116 [28] D Gohde (1965), "Zum prinzip der contraktiven abbindung", Math Nachr (30), pp 251-258 [29] C Jaiboon, and P Kumam (2009), "A hybrid extragradient viscosity approx- imation method for solving equilibrium problems and fixed point problems of infinitely many nonexpansive mappings", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1155/2009/374815 [30] P.Q Khanh, and N.M Tung (2015), "Optimality conditions and duality for nonsmooth vector equilibrium problems with contraints", Optim (64), pp 15471575 [31] W.A Kirk (1965), "A fixed point theorem for mappings with not increase distances", Amer Math Monthly (72), pp 1004-1006 [32] C Klin-eam, and S Suantai (2009), "A new approximation method for solv-ing variational inequalities and fixed points of nonexpansive mappings", J Inequal Appl vol 2009, Articale ID 520301, 16pages [33] I.V Konnov (2000), Combined relaxation methods for variational inequali-ties, Springer-Verlag, Berlin [34] G.M Korpelevich (1976), "The extragradient method for finding saddle points and other problems", Ekonomikai Matematcheskie Metody (12), pp 747-756 [35] W.R Mann (1953), "Mean value methods in iteration", Proc Amer Math Soc (4), pp 506-510 [36] G Marino, and H K Xu (2006), "A general iterative method for nonexpan-sive mappings in Hilbert spaces", J Math Anal Appl (318), pp 43-52 [37] G Marino, and H.K Xu (2007), "Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions in Hilbert spaces", J Math Anal Appl (329), pp 336-346 117 [38] A Moudafi (2000), "Viscosity approximation methods for fixed point prob- lems", J Math Anal Appl (241), pp 46-55 [39] N Nadezhkina, and W Takahashi (2006), "Weak convergence theorem by an extragradient method for nonexpansive mappings and monotone mappings", J Optim Theory Appl (133), pp 191-201 [40] N Nadezhkina, and W Takahashi (2006), "Strong convergence theorem by a hybrid method for nonexpansive mappings and Lipchitz-continous monotone mappings", SIAM J Optim (16), pp 1230-1241 [41] K Nakajo, and W Takahashi (2003), "Strong convergence theorems for non- expansive mappings and nonexpansive semigroups", J Math Anal Appl (279), pp 372-379 [42] K Nakprasit, W Nilsrakoo, and S.Saejung (2008), "Weak and strong conver- gence theorems of an implicit iteration process for a countable family of nonexpansive mappings", Fixed point Theory Appl Doi: 10.1155/2008/732193 [43] J Nash (1950), "Equilibrium points in n-person games", Proceedings of the National Academy of Sciences (54), pp 286-295 [44] Z Opial (1967), "Weak convergence of the sequence of successive approxima- tions for nonexpansive mappings", Bull Amer Math Soc (73), pp 591-597 [45] J W Penga, and J C Yao (2010), "Some new extragradient-like methods for generalized equilibrium problems, fixed point problems and variational inequality problems", Optimi Methods Softw (25), pp 677 - 698 [46] A Petrucel, and J.C Yao (2009), "An extragradient iterative scheme by viscosity approximation methods for fixed point problems and variational inequality problems", Cent Eur J Math (7), pp 335-347 [47] T.D Quoc, L.D Muu, and N.V Hien (2008), "Extragradient algorithms extended to equilibrium problems", Optim (57), pp 749-776 118 [48] R.T Rockafellar (1970), "On the maximality of sums of nonlinear monotone operators", Trans Amer Math Soc (149), pp 75 - 88 [49] P.H Sach, and L.A Tuan (2013), "New scalarizing approach to the stability analysis in parametric generalized Ky Fan inequality problems", J Optim Theorem Appl (157), pp 347 - 364 [50] J Schu (1991), "Weak and strong convergence to fixed points of asymptot- ically nonexpansive mapping", Bulletin Austral Math Soc (43), pp 153-159 [51] Y Song, and R Chen (2008), "Weak and strong convergence of Mann's-type iterations for a countable family of nonexpansive mappings",J Korean Math Soc (45) , No 5, pp 1393 1404 [52] S Sun (2012), "An alternative regularization method for equilibrium prob-lems and fixed point of nonexpansive mappings", J Appl Math Article ID 202860, 16 pages [53] A Tada, and W Takahashi (2007), "Weak and strong convergence theo-rems for a nonexpansive mapping and an equilibrium problems", J Optim Theorem Appl (133), pp 359-370 [54] W Takahashi (1997), "Weak and strong convergence theorems for families of nonexpansive mappings and their applications", Ann Univ Mariae CurieSklodowska Sect A (51), pp 277-292 [55] S Takahashi, and W Takahashi (2007), "Viscosity approximation methods for equilibrium problems and fixed point problems in Hilbert spaces", J Math Anal Appl (331), pp 506-515 [56] L.A Tuan, P.H Sach, and N.B Minh (2013),"Existence results in a general equilibrium problem ", Numer Funct Anal Optim (34), pp 430-450 119 [57] P.T Vuong, J.J Strodiot, and N.V Hien (2012), "Extragradient methods and linesearch algorithms for solving Ky Fan inequalities and fixed point problems", J Optim Theory Appl (155), pp 605-627 [58] S Wang, and B Guo (2010), "New iterative scheme with nonexpansive map- pings for equilibrium problems and variational inequality problems in Hilbert spaces", J Comput Appl Math., (233), pp 2620 - 2630 [59] S Wang, Y.J Cho, and X Qin (2010), "A new iterative method for solving equilibrium problems and fixed point problems for infinite family of nonexpansive mappings", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1155/2010/165098 [60] R Wangkeeree (2008), "An extragradient approximation method for equi- librium problems of a countable family of nonexpansive mappings", Fixed point Theory and Appl Article ID 134148, 17 pages [61] R Wangkeeree, and P Preechasilp (2012), "A new iterative scheme for solv-ing the equilibrium problems, variational inequality problems, and fixed point problems in Hilbert spaces", J Appl Math Article ID 154968, 21 pages [62] H.K Xu (2003), "An iterative approach to quadratic optimization", J Op-tim Theory Appl (116), pp 659-678 [63] H.K Xu (2004), "Viscosity approximation methods for nonexpansive map- pings", J Optim Theory Appl (298), pp 279-291 [64] H.K Xu, and R.G Ori (2001), "An implicit iteration process for nonexpan-sive mappings", Numer Funct Anal Optim (22), pp 767-773 [65] Y Yao, Y.C Liou, and J.C Yao (2007), "An extragradient method for fixed point problems and variational iequality problems", J Inequal Appl Article ID 38752, 12 pages 120 [66] Y Yao, Y.C Liou, and J.C Yao (2007), "Convergence theorem for equilib-rium problems and fixed point problems of infinite family of nonexpansive mappings", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1155/2007/64363 [67] Y Yao, J.C Yao, and H Zhou (2007), "Approximation methods for common fixed points of infinite countable family of nonexpansive mappings", Comput Math Appl (53), pp 1380-1389 [68] F Zhang, and Y Su (2007), "Strong convergence of modified implicit iter-ation processes for common fixed points of nonexpansive mappings", Fixed point Theory Appl Article ID 48174, pages [69] J Zhao, and S He (2009), "A new iterative method for equilibrium problems and fixed point problems of infinitely nonexpansive mappings and monotone mappings", Appl Math Comput (215), pp 670-680 [70] H Zhou (2009), "Strong convergence theorems for a family of Lipschitz quasi- pseudo-contractions in Hilbert spaces", Nonlinear Anal (71), pp 120-125 121 ... t¼m điểm chung tập nghiệm b i to¡n c¥n với tập c¡c điểm bất động ¡nh xạ khæng giÂn tẳm im chung ca nghim ca b i to¡n c¥n bằng, tập nghiệm b i to¡n bất đẳng thức biến ph¥n với tập c¡c điểm bất động. .. điểm chung tập nghiệm 12 b i to¡n c¥n v tập điểm bất động ¡nh xạ khỉng gi¢n, b i to¡n t¼m điểm chung tập nghiệm b i to¡n c¥n v tập điểm bất động họ cĂc Ănh x khổng giÂn, b i toĂn tẳm im chung. .. đ¢ kết hợp kỹ thuật điểm bất động Y Yao, Y.C Liou v J.C Yao [65] việc t¼m điểm chung tập nghiệm b i to¡n bất đẳng thức biến ph¥n với tập c¡c điểm bất động ¡nh xạ khỉng gi¢n v phương ph¡p xấp xỉ