Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA H€ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHI–N Đỗ Duy Th nh MỘT SỐ PHƯƠNG PH•P TœM NGHIỆM CHUNG CỦA B€I TO•N C…N BẰNG V€ BI TOãN IM BT NG CA ãNH X KHặNG GIN Chuyản ng nh: ToĂn gii tẵch M s: 62460102 LUN •N TIẾN SĨ TO•N HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Ngọc Anh GS.TSKH Phạm Kỳ Anh H Nội - 2016 Đ Tỉi xin cam đoan đ¥y l cổng trẳnh nghiản cu ca riảng tổi CĂc kt quả, số liệu luận ¡n l trung thực v chưa cỉng bố tr¶n cỉng tr¼nh n o kh¡c T¡c giả luận ¡n Đỗ Duy Th nh ẢƠ Luận ¡n n y ho n th nh trường Đại học Khoa học Tự nhi¶n - Đại học Quốc gia H Nội hướng dẫn tận t¼nh PGS.TS Phạm Ngọc Anh v GS.TSKH Phm K Anh  cõ nhng ỵ kin õng gâp chỉnh sửa luận ¡n T¡c giả xin b y tỏ láng biết ơn s¥u sắc đến c¡c thầy Trong quĂ trẳnh hc v nghiản cu, thổng qua cĂc b i giảng, hội nghị v seminar, t¡c giả luæn nhận quan t¥m gióp đỡ câ c nhng ỵ kin õng gõp quỵ bĂu ca cĂc thầy cỉ trường Đại học Khoa học Tự nhi¶n T¡c giả xin ch¥n th nh cảm ơn c¡c thầy cæ T¡c giả xin b y tỏ láng biết ơn đến Ban L¢nh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiản, Phỏng Sau i hc, Ban LÂnh o Trng i học Hải Pháng còng c¡c bạn đồng nghiệp khoa To¡n đ¢ tạo điều kiện thuận lợi cho t¡c giả thi gian l m nghiản cu sinh Xin chƠn th nh cảm ơn c¡c anh, chị, em nhâm Gii tẵch v cĂc bn b ng nghip  luổn b¶n cạnh động vi¶n, gióp đỡ t¡c giả suốt quĂ trẳnh hc v nghiản cu TĂc gi xin gửi đến gia đ¼nh m¼nh láng biết ơn v tẳnh cm yảu thng nht Li cam oan Li cm n Mc lc Danh mc cĂc kỵ hiu v chữ viết tắt Mở đầu Chương B i toĂn cƠn bng v Ănh x khổng giÂn 1.1 1.2 1.3 1.4 Sự hội tụ mạnh v yếu khæng g Ph²p chiếu v c¡c t½nh chất ãnh x khổng giÂn v cĂc nh lỵ im B i toĂn cƠn bng 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.5 Một số phương ph¡p t¼m nghiệm chu b i to¡n điểm bất động ¡nh xạ khæ 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.6 Kết luận Chương Phương ph¡p điểm bất động 2.1 Một số c¡ch tiếp cận điểm bất động c 2.2 XƠy dng dÂy lp 2.3 Kết hội tụ 2.4 2.5 Kết t½nh to¡n Kết luận Chương Phương ph¡p đạo h m tăng cường mở rộng 3.1 3.2 3.3 3.4 Chương Phương ph¡p t¼m kiếm theo tia 4.1 4.2 4.3 4.4 Một số phương ph¡p chiếu cho h Phương ph¡p đạo h m tăng cường Phương ph¡p đạo h m tăng cường mở Kết luận Giải b i to¡n c¥n v ¡nh xạ k 4.1.1 4.1.2 4.1.3 Giải b i to¡n c¥n v họ c¡c ¡ 4.2.1 4.2.2 Giải b i to¡n c¥n bằng, b i to¡n bất đẳ xạ khỉng gi¢n 4.3.1 4.3.2 Kết luận Kết luận Danh mục cỉng tr¼nh khoa học t¡c giả li¶n quan đến luận ¡n 113 Ắ N N R R n H H z ∥x∥ 9x 8x x; y A B A B A\B A[B A B diamD := sup ∥x y∥ x;y2D argminff(x) : x Cg @f(x) C () P rC (x) NC (x) n d¢y fx g hội tụ mạnh tới x n V I(C; F ) d¢y fx g hội tụ yếu tới x b i to¡n bất đẳng thức biến ph¥n OP b i to¡n tối ưu EP (C; f) b i to¡n c¥n F ix b i to¡n điểm bất động x !x x ⇀x n n Sol(C; F ) tập nghiệm b i to¡n V I(C; F ) Sol(C; f) tập nghiệm b i to¡n EP (C; f) I ¡nh xạ đồng F ix(S) tập c¡c điểm bất động ¡nh xạ S ĐẦ Mæ hẳnh cƠn bng cõ th c xem nh l mt ph¡t triển mở rộng mỉ h¼nh tối ưu ho¡ v b i to¡n bất đẳng thức biến ph¥n C¡c b i to¡n tối ưu v bất đẳng thức bin phƠn l nhng trng hp riảng ca b i to¡n c¥n Trong b i to¡n tối ưu câ chủ thể với nhiều mục ti¶u m chủ thể mong muốn t¼m giải ph¡p tối ưu điều kiện định Trong vấn đề câ nhiều chủ thể tham gia, chủ thể câ mc tiảu khĂc nhau, quan h mt thit, thm chẵ đối kh¡ng nhau, phương ¡n tối ưu khâ tất c¡c chủ thể chấp nhận, v¼ nâ câ thể tối ưu cho chủ thể n y, lại khỉng tốt cho chủ thể kh¡c Trong t¼nh n y kh¡i niệm c¥n bằng, đặc biệt l kh¡i niệm c¥n Nash, dễ chấp nhận Trong thời đại thæng tin nay, vấn đề quan h mt thit vi nhau, li ẵch thng mƠu thun nhau, n¶n dễ xảy xung đột Do đâ, c¡c mổ hẳnh cƠn bng t thẵch hp, gii c¡c m¥u thuẫn quyền lợi Điều n y gii thẵch lỵ vẳ nhng thp k gn Ơy, cƠn bng c quan tƠm nghiản cu nhiu Lớp b i to¡n c¥n bằng, mỉ tả dạng bất đẳng thức, cán gọi l bất đẳng thức Ky Fan, xuất lần đầu ti¶n v o năm 1972 tr¶n b i b¡o câ tựa đề "A Minimax Inequality and Its Applications" [25] v ¡p dng nghiản cu cĂc mổ hẳnh cƠn bng kinh tế theo kh¡i niệm c¥n J.F Nash, nh to¡n học Mỹ giải Nobel kinh tế cổng trẳnh nghiản cu v cƠn bng, a Sau đâ b i to¡n c¥n theo bất đẳng thức Ky Fan  c nghiản cu bi nhiu tĂc gi l nh to¡n học v chuy¶n gia kinh t V mt lỵ thuyt ca s tn ti nghim, nhiều kết v quan trọng đ¢ đạt cho b i to¡n c¥n tổng qu¡t tr¶n c¡c khỉng gian trừu tượng Tuy nhi¶n mặt t½nh to¡n, c¡c kết cán hạn chế C¡c phương ph¡p giải thu cho c¡c b i to¡n c¥n với c¡c song h m nhận gi¡ trị thc v cõ thảm nhng tẵnh cht n iu CĂc phương ph¡p giải cho lớp c¡c b i to¡n c¥n tổng qu¡t hơn, l lớp c¡c b i toĂn cƠn bng vi song h m cõ tẵnh n điệu suy rộng, giả đơn điệu, tựa đơn điệu v.v : : : nghi¶n cứu nhiều tẵnh lỵ thú v mt toĂn hc, cng nh kh ứng dụng lớp b i to¡n n y Cho C l tập lồi, đâng, kh¡c rỗng khæng gian Hilbert thực H v song h m f : C C ! R B i to¡n c¥n đặt l x C cho f(x ; y) với y C Ta biết rằng, x l b i to¡n c¥n v nâ l nghiệm b i to¡n tối ưu f(x; y): y2C Như vậy, với x C, x l điểm bất động ¡nh xạ nghiệm S(x) = argminf f(x; y) + C đâ > 0, ¡nh xạ nghiệm S : C ! Đ¥y l sở để đưa đến c¡c c¡ch tiếp cận v nghiản cu vic gii b i toĂn tẳm mt im chung tập nghiệm b i to¡n c¥n v bất động c¡c ¡nh xạ khỉng gi¢n Thực tế cho thấy, b i to¡n t¼m điểm bất động chung hai ¡nh xạ l b i to¡n rt ph bin lỵ thuyt im bt ng, b i to¡n n y thu hót nhiều nh khoa học nghi¶n cứu tr¶n lĩnh vực tồn nghiệm v c¡c thuật to¡n giải Do vậy, việc nghi¶n cứu đề t i l cần thiết v phò hp Trong nhng nm gn Ơy, b i toĂn tẳm điểm chung tập nghiệm b i to¡n c¥n v tập c¡c điểm bất động c¡c ¡nh xạ khỉng gi¢n l đề t i hấp dẫn nhiều nh khoa học tr¶n giới Hầu hết c¡c thuật to¡n để giải b i to¡n n y u da trản tẵnh cht rng: Vi mi r > v x H, tồn z C cho f(z; y) + r y z; z x 0; 8y C; đâ f l song h m tha mÂn mt s tẵnh chất cho trước Khi đâ, bước lặp n th n, thut toĂn gii thng xƠy dng dÂy lp fx g sau: < 8x C : >T¼m un > điểm lặp x n+1 n n t½nh theo x v u thỉng qua c¡c kỹ thuật điểm bất động Vậy, b i to¡n t¼m điểm chung tập nghiệm b i to¡n c¥n v tập điểm bất động ¡nh xạ khỉng gi¢n chuyển việc giải d¢y c¡c b i to¡n c¥n phụ Thực tế cho thấy, c¡c b i to¡n phụ n y giải nghiệm dạng xp x, thẳ cha chc dÂy lp  hi t v nghim ti u cn tẳm Ơy l mt đề quan t¥m giải v cán l mt cƠu hi m cho vic nghiản cu t¼m c¡c thuật to¡n hữu hiệu cho b i to¡n n y Một v i phương ph¡p tiếp cận bật giải b i to¡n n y tr¶n khỉng gian Hilbert thực H thời gian gần đ¥y biết đến như: Phương ph¡p xấp xỉ gắn kết (viscosity approximation methods) đề xuất nhâm t¡c giả S Takahashi v W Takahashi [55] dựa tr¶n kết P.L Combettes v S.A Hirstoaga [21] t½nh chất ¡nh xạ nghiệm v phương ph¡p xấp xỉ cho b i to¡n điểm bất động A Moudafi [38] CĂc tĂc gi  trẳnh b y hai nh lỵ hội tụ mạnh v yếu thuật to¡n đề xuất Phương ph¡p chiếu A Tada v W Takahashi [53] giới thiệu T¡c giả đ¢ cải tiến phương ph¡p xấp xỉ gắn kết chiếu xấp xỉ ban u ca dÂy lp lản giao ca hai li đâng chứa tập nghiệm b i to¡n v thu hội tụ mạnh thuật to¡n Phương ph¡p đạo h m tăng cường lần đầu ti¶n G.M Korpelevich [34] đề xuất để giải b i to¡n tẳm im yản nga sau õ c phĂt trin cho b i to¡n bất đẳng thức biến ph¥n Phương ph¡p n y sử dụng hai ph²p chiếu bước lặp sau: n n x C; y = P rC (x nF (x n )) v x n+1 n = P rC ( x nF (y n )): Tiếp cận n y cho ph²p giải b i to¡n b i to¡n bất đẳng thức biến ph¥n V I(C; F ) Từ Thuật to¡n 4.4, ta câ thể dễ d ng đạt thuật to¡n giải b i to¡n c¥n EP (f; C) sau 108 Thuật to¡n 4.5 Chọn c¡c d¢y số dương f ng, f ng (0; 1), (0; 1), (0; Bước Giải b i to¡n lồi mạnh sau n v đặt d(x ) = x n n ∥d(x )∥ ̸= th¼, chuyển sang Bước Bước T¼m số nguyản dng nh nht mn cho Tẵnh n n m n n n n n đâ z = x n d(x ), v @2f(z ; z ), Hn = fx H : v ; x z v chuyển sang Bước n 0g Bước T½nh t n := n + 1, v T nh lỵ 4.4, ta câ kết hội tụ Thuật to¡n 4.5 nh sau nh lỵ 4.5 Cho C l mt tập lồi, đâng, kh¡c rỗng H Cho f : C C ! R l song h m thỏa m¢n (F1) (F4) v dương mạnh từ H v o ch½nh nâ với hệ số l ¡nh xạ co với hệ số (0; 1) Giả sử > n n Cho c¡c d¢y fx g, fy g, v f ng [c; d]; với < c < d < Giả sử c¡c điều kiện (H1) thỏa m¢n Khi đâ, ta câ c¡c kết sau: (i) P rSol(C;f)(I A + g ) l ¡nh xạ co tr¶n C, đâ tồn q C cho q = P rSol(C;f)(I n n (ii) C¡c d¢y fx g, fy g v ế Trong chương 4, chóng tỉi sử dụng kỹ thuật t¼m kiếm theo tia kiểu Armijo để giải ba loại b i to¡n: B i to¡n t¼m điểm chung tập nghiệm b i to¡n c¥n v tập điểm bất động mt Ănh x khổng giÂn, b i toĂn tẳm im chung tập nghiệm b i to¡n c¥n v tập điểm bất động họ c¡c ¡nh xạ khổng giÂn, b i toĂn tẳm im chung ca nghiệm b i to¡n c¥n bằng, tập nghiệm b i to¡n bất đẳng thức biến ph¥n v tập c¡c điểm bất động ¡nh xạ khỉng gi¢n N²t bật kỹ thuật n y l kh¡ đơn giản mặt cấu tróc v t½nh to¡n khỉng cần điều kiện li¶n tục kiểu Lipschitz song h m f C th, chúng tổi xƠy dng mt siảu phẳng chứa tập nghiệm b i to¡n c¥n bằng, b i to¡n bất đẳng thức biến ph¥n v tập điểm bất động ¡nh xạ khỉng gi¢n Sau đâ, chiếu điểm lặp v o phần giao si¶u phẳng tr¶n với tập lồi, đâng kh¡c rỗng khæng gian Hilbert thực H chứa điểm xuất ph¡t x d¢y lặp kết hợp với kỹ thuật điểm bất động để x¥y dựng điểm lặp tip theo v thu c cĂc nh lỵ v s hội tụ mạnh v yếu thuật to¡n Trong chương n y, chúng tổi cng  xƠy dng vẵ d tẵnh toĂn trản phn mm Mathlab cho thut toĂn tẳm điểm chung tập nghiệm b i to¡n bất đẳng thức biến ph¥n v tập điểm bất động ¡nh xạ khỉng gi¢n 110 Ậ Luận ¡n đ¢ đạt kết sau: 1) Sử dụng phương ph¡p điểm bất động tr¶n sở cải tiến phương ph¡p đạo h m tăng cường P.N Anh [4] với phng phĂp chẵnh quy thay phiản ca S Sun [52] đưa kỹ thuật lặp để t¼m điểm chung tập nghiệm b i to¡n c¥n với giả thiết song h m f giả đơn điệu, li¶n tục kiểu Lipschitz tr¶n khỉng gian Hilbert thực H v tập điểm bất động ¡nh xạ khỉng gi¢n S m khỉng cần giải c¡c b i to¡n c¥n phụ thường cho nghiệm dạng xấp xỉ Thay v o đâ, bước lặp, chóng tỉi cần giải hai b i to¡n lồi mạnh, l b i to¡n câ thể thu lời giải ch½nh x¡c v chứng minh hội tụ yếu thuật to¡n 2) Đưa phương ph¡p đạo h m tăng cường mở rộng c¡ch kết hợp phương ph¡p lặp kiểu Mann với ph²p chiếu xấp xỉ ban u ca dÂy lp lản giao ca hai h cĂc tập lồi, đâng chứa tập nghiệm b i to¡n để đạt hội tụ mạnh 3) Sử dụng phương ph¡p t¼m kiếm theo tia kiểu Armijo loại bỏ điều kiện li¶n tục kiểu Lipschitz song h m f - điều kiện mạnh v khâ kiểm tra với song h m cho trước, để giải ba loại b i to¡n: B i to¡n t¼m điểm chung tập nghiệm b i to¡n c¥n v tập điểm bất động ¡nh xạ khỉng gi¢n, b i to¡n t¼m điểm chung tập nghiệm b i to¡n c¥n v tập điểm bất động họ c¡c ¡nh xạ khỉng gi¢n, b i to¡n tẳm im chung ca nghim b i toĂn cƠn bằng, tập nghiệm b i to¡n 111 bất đẳng thức biến ph¥n v tập c¡c điểm bất động Ănh x khổng giÂn v thu c cĂc nh lỵ hội tụ mạnh v yếu thuật to¡n C¡c vấn đề cần nghi¶n cứu l : 1) •p dụng thuật to¡n điểm gần kề cho b i to¡n t¼m nghiệm chung F ix(S)\ Sol(C; f) v mở rộng với b i to¡n c¥n v họ c¡c ¡nh xạ khỉng gi¢n 2) Dịng c¡c kỹ thuật chiếu v phương ph¡p si¶u phẳng cắt để tẳm nghim chung ca b i toĂn cƠn bng v tập điểm bất động c¡c ¡nh xạ giả co chặt 112 ĐẾ Ậ [1] P.N Anh, and D.D Thanh (2015), "Linesearch methods for equilibrium prob- lems and an infinite family of nonexpansive mappings", Bull Malays Math Sci Soc 38(3), pp 1157-1175 [2] P.N Anh, L.Q Thuy, and D.D Thanh (2015), "A fixed point scheme for non- expansive mappings, variational inequalities and equilibrium problems", Vietnam J Math 43(1), pp 71-91 [3] D.D Thanh, P.N Anh, and P.K Anh (2014), "Hybrid linesearch algorithms for equilibrium problems and nonexpansive mappings", Internat J Numer Methods Appl 11(1), pp 39-68 [4] D.D Thanh (2014), "Strong convergence theorems for equilibrium problems involving a family of nonexpansive mappings", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1186/1687-1812-2014-200 113 [1] P.K Anh, and C.V Chung (2014), "Parallel hybrid methods for a finite family of relatively nonexpansive mappings", Numer Funct Anal Optim (35), pp 649-664 Doi: 10.1080/01630563.2013.830127 [2] P.K Anh, and D.V Hieu (2014), "Parallel and sequential hybrid methods for a finite family of asymptotically quasi ϕ- nonexpansive mappings", J Appl Math Comput Doi: 10.1007/s12190-014-0801-6 [3] P.N Anh (2012), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and Ky Fan inequalities", J Optim Theory Appl (154), pp 303-320 [4] P.N Anh (2013), "A hybrid extragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems", Optim (62), pp 271-283 [5] P.N Anh (2013), "A hybrid extragradient method for pseudomonotone equi- librium problems and fixed point problems", Bull Malays Math Sci Soc (36), pp 107-116 [6] P.N Anh, and N.D Hien (2012), "The extragradient-Armijo method for pseudomonotone equilibrium problems and strict pseudocontractions", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1186/1687-1812-2012-82 [7] P.N Anh, and D.X Son (2011), " A new iterative scheme for pseudomono-tone equilibrium problems and a finite family of pseudocontractions", J Appl Math Inform (29), pp 1179-1191 114 [8] P.N Anh, J.K Kim, and J.M Nam (2012), "Strong convergence of an ex- tragradient method for equilibrium problems and fixed point problems", J Korea Math Soc (49), pp 187 -200 [9] K Aoyama, Y Kimura, W Takahashi, and M Toyoda (2007), "Approxima-tion of common fixed points of a coutable family of nonexpansive mappings in Banach space", Nonlinear Anal (67), pp 2350-2360 [10] E Blum, and W Oettli (1994), "From optimization and variational inequal-ity to equilibrium problems", Math Student (63), pp 123-145 [11] H Brezis (1987), Analyse fonctionnelle: Theârie et applications, MAS-SON [12] F.E Browder (1965), "Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space", Proc Nat Acad Sci USA (54), pp 1041-1044 [13] N Buong, and N.D Duong (2011), "A method for a solution of equilibrium problem and fixed point problem of a nonexpansive semigroup in Hilbert's spaces", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1155/2011/208434 [14] L.C Ceng, and S Huang (2009), "Modified extragradient methods for stric pseudo-contractions and monotone mappings", Taiwan J Math (13), pp 11971211 [15] L.C Ceng, and J.C Yao (2007), "An extragradient-like approximation method for variational inequalities and fixed point problems", Appl Math Comput (190), pp 205-215 [16] L.C Ceng, P Cubiotti, and J.C Yao (2008), "An implicit iterative scheme for monotone variational inequalities and fixed point problems", Nonlinear Anal (69), pp 2445-2457 [17] L.C Ceng, N Hadjsavvas, and N.C Wong (2010), "Strong convergence the- orem by a hybrid extragradient like approximation method for variational inequalities and fixed point problems", J Glob Optim (46), pp 635-646 115 [18] L C Ceng, A Petrusel, and J C Yao (2009), "Iterative approaches to solving equilibrium problems and fixed point problems of infinitely many nonexpansive mappings", J Optim Theory Appl (143), pp 37 - 58 [19] L.C Ceng, S Schaible, and J.C Yao (2008), "Implicit iteration scheme with perturbed mapping for equilibrium problems and fixed point problems of finitely many nonexpansive mappings", J Optim Theory Appl (139), pp 403418 [20] Y.J Cho, I.K Argyros, and N Petrot (2010), "Approximation methods for common solutions of generalized equilibrium, systems of nonlinear varia-tional inequalities and fixed point problems", Comput Math Appl (60), pp 22922301 [21] P.L Combettes, and S.A Hirstoaga (2005), "Equilibrium programming in Hilbert space", J Nonlinear Convex Anal (6), pp 117 136 [22] P Daniele, F Giannessi, and A Maugeri (2003), Equilibrium problems and variational models, Kluwer [23] T.T.T Duong, and N.X Tan (2012),"On the existence of solutions to gen- eralized quasi-equilibrium problems" J Global Optim., (52), pp 711-728 [24] T.T.T Duong, and N.X Tan (2011),"On the existence of solutions to gen- eralized quasi-equilibrium problems of type II and related problems" Acta Math Vietnam, (36), pp 231-248 [25] K Fan (1972), "A minimax inequality and applications", In: O Shisha (ed.), Inequality III, Academic Press, New York pp 103-113 [26] A Genel, and J Lindenstrauss (1975), "An example concerning fixed points", Israel J Math (22), pp 81-86 [27] K Goebel, and W.A Kirk (1990), Topics on metric fixed point theory, Cam- bridge University Press, Cambridge, England 116 [28] D Gohde (1965), "Zum prinzip der contraktiven abbindung", Math Nachr (30), pp 251-258 [29] C Jaiboon, and P Kumam (2009), "A hybrid extragradient viscosity approx- imation method for solving equilibrium problems and fixed point problems of infinitely many nonexpansive mappings", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1155/2009/374815 [30] P.Q Khanh, and N.M Tung (2015), "Optimality conditions and duality for nonsmooth vector equilibrium problems with contraints", Optim (64), pp 15471575 [31] W.A Kirk (1965), "A fixed point theorem for mappings with not increase distances", Amer Math Monthly (72), pp 1004-1006 [32] C Klin-eam, and S Suantai (2009), "A new approximation method for solv-ing variational inequalities and fixed points of nonexpansive mappings", J Inequal Appl vol 2009, Articale ID 520301, 16pages [33] I.V Konnov (2000), Combined relaxation methods for variational inequali-ties, Springer-Verlag, Berlin [34] G.M Korpelevich (1976), "The extragradient method for finding saddle points and other problems", Ekonomikai Matematcheskie Metody (12), pp 747-756 [35] W.R Mann (1953), "Mean value methods in iteration", Proc Amer Math Soc (4), pp 506-510 [36] G Marino, and H K Xu (2006), "A general iterative method for nonexpan-sive mappings in Hilbert spaces", J Math Anal Appl (318), pp 43-52 [37] G Marino, and H.K Xu (2007), "Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions in Hilbert spaces", J Math Anal Appl (329), pp 336-346 117 [38] A Moudafi (2000), "Viscosity approximation methods for fixed point prob- lems", J Math Anal Appl (241), pp 46-55 [39] N Nadezhkina, and W Takahashi (2006), "Weak convergence theorem by an extragradient method for nonexpansive mappings and monotone mappings", J Optim Theory Appl (133), pp 191-201 [40] N Nadezhkina, and W Takahashi (2006), "Strong convergence theorem by a hybrid method for nonexpansive mappings and Lipchitz-continous monotone mappings", SIAM J Optim (16), pp 1230-1241 [41] K Nakajo, and W Takahashi (2003), "Strong convergence theorems for non- expansive mappings and nonexpansive semigroups", J Math Anal Appl (279), pp 372-379 [42] K Nakprasit, W Nilsrakoo, and S.Saejung (2008), "Weak and strong conver- gence theorems of an implicit iteration process for a countable family of nonexpansive mappings", Fixed point Theory Appl Doi: 10.1155/2008/732193 [43] J Nash (1950), "Equilibrium points in n-person games", Proceedings of the National Academy of Sciences (54), pp 286-295 [44] Z Opial (1967), "Weak convergence of the sequence of successive approxima- tions for nonexpansive mappings", Bull Amer Math Soc (73), pp 591-597 [45] J W Penga, and J C Yao (2010), "Some new extragradient-like methods for generalized equilibrium problems, fixed point problems and variational inequality problems", Optimi Methods Softw (25), pp 677 - 698 [46] A Petrucel, and J.C Yao (2009), "An extragradient iterative scheme by viscosity approximation methods for fixed point problems and variational inequality problems", Cent Eur J Math (7), pp 335-347 [47] T.D Quoc, L.D Muu, and N.V Hien (2008), "Extragradient algorithms extended to equilibrium problems", Optim (57), pp 749-776 118 [48] R.T Rockafellar (1970), "On the maximality of sums of nonlinear monotone operators", Trans Amer Math Soc (149), pp 75 - 88 [49] P.H Sach, and L.A Tuan (2013), "New scalarizing approach to the stability analysis in parametric generalized Ky Fan inequality problems", J Optim Theorem Appl (157), pp 347 - 364 [50] J Schu (1991), "Weak and strong convergence to fixed points of asymptot- ically nonexpansive mapping", Bulletin Austral Math Soc (43), pp 153-159 [51] Y Song, and R Chen (2008), "Weak and strong convergence of Mann's-type iterations for a countable family of nonexpansive mappings",J Korean Math Soc (45) , No 5, pp 1393 1404 [52] S Sun (2012), "An alternative regularization method for equilibrium prob-lems and fixed point of nonexpansive mappings", J Appl Math Article ID 202860, 16 pages [53] A Tada, and W Takahashi (2007), "Weak and strong convergence theo-rems for a nonexpansive mapping and an equilibrium problems", J Optim Theorem Appl (133), pp 359-370 [54] W Takahashi (1997), "Weak and strong convergence theorems for families of nonexpansive mappings and their applications", Ann Univ Mariae CurieSklodowska Sect A (51), pp 277-292 [55] S Takahashi, and W Takahashi (2007), "Viscosity approximation methods for equilibrium problems and fixed point problems in Hilbert spaces", J Math Anal Appl (331), pp 506-515 [56] L.A Tuan, P.H Sach, and N.B Minh (2013),"Existence results in a general equilibrium problem ", Numer Funct Anal Optim (34), pp 430-450 119 [57] P.T Vuong, J.J Strodiot, and N.V Hien (2012), "Extragradient methods and linesearch algorithms for solving Ky Fan inequalities and fixed point problems", J Optim Theory Appl (155), pp 605-627 [58] S Wang, and B Guo (2010), "New iterative scheme with nonexpansive map- pings for equilibrium problems and variational inequality problems in Hilbert spaces", J Comput Appl Math., (233), pp 2620 - 2630 [59] S Wang, Y.J Cho, and X Qin (2010), "A new iterative method for solving equilibrium problems and fixed point problems for infinite family of nonexpansive mappings", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1155/2010/165098 [60] R Wangkeeree (2008), "An extragradient approximation method for equi- librium problems of a countable family of nonexpansive mappings", Fixed point Theory and Appl Article ID 134148, 17 pages [61] R Wangkeeree, and P Preechasilp (2012), "A new iterative scheme for solv-ing the equilibrium problems, variational inequality problems, and fixed point problems in Hilbert spaces", J Appl Math Article ID 154968, 21 pages [62] H.K Xu (2003), "An iterative approach to quadratic optimization", J Op-tim Theory Appl (116), pp 659-678 [63] H.K Xu (2004), "Viscosity approximation methods for nonexpansive map- pings", J Optim Theory Appl (298), pp 279-291 [64] H.K Xu, and R.G Ori (2001), "An implicit iteration process for nonexpan-sive mappings", Numer Funct Anal Optim (22), pp 767-773 [65] Y Yao, Y.C Liou, and J.C Yao (2007), "An extragradient method for fixed point problems and variational iequality problems", J Inequal Appl Article ID 38752, 12 pages 120 [66] Y Yao, Y.C Liou, and J.C Yao (2007), "Convergence theorem for equilib-rium problems and fixed point problems of infinite family of nonexpansive mappings", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1155/2007/64363 [67] Y Yao, J.C Yao, and H Zhou (2007), "Approximation methods for common fixed points of infinite countable family of nonexpansive mappings", Comput Math Appl (53), pp 1380-1389 [68] F Zhang, and Y Su (2007), "Strong convergence of modified implicit iter-ation processes for common fixed points of nonexpansive mappings", Fixed point Theory Appl Article ID 48174, pages [69] J Zhao, and S He (2009), "A new iterative method for equilibrium problems and fixed point problems of infinitely nonexpansive mappings and monotone mappings", Appl Math Comput (215), pp 670-680 [70] H Zhou (2009), "Strong convergence theorems for a family of Lipschitz quasi- pseudo-contractions in Hilbert spaces", Nonlinear Anal (71), pp 120-125 121 ... t¼m điểm chung tập nghiệm b i to¡n c¥n với tập c¡c điểm bất động ¡nh xạ khæng giÂn tẳm im chung ca nghim ca b i to¡n c¥n bằng, tập nghiệm b i to¡n bất đẳng thức biến ph¥n với tập c¡c điểm bất động. .. điểm chung tập nghiệm 12 b i to¡n c¥n v tập điểm bất động ¡nh xạ khỉng gi¢n, b i to¡n t¼m điểm chung tập nghiệm b i to¡n c¥n v tập điểm bất động họ cĂc Ănh x khổng giÂn, b i toĂn tẳm im chung. .. đ¢ kết hợp kỹ thuật điểm bất động Y Yao, Y.C Liou v J.C Yao [65] việc t¼m điểm chung tập nghiệm b i to¡n bất đẳng thức biến ph¥n với tập c¡c điểm bất động ¡nh xạ khỉng gi¢n v phương ph¡p xấp xỉ
Ngày đăng: 13/11/2020, 16:05
Xem thêm:
