Một số phương pháp tìm giới hạn mslive.nstars.org I- ĐẠO HÀM 1. một vài công thức tính đạo hàm cấp n ( ) ( ) ( ) (n) m m n x m m 1 m n 1 x − = − … − + 1 ( ) ( 1) ( 1)! (ln ) n n n n x x − − − = x ( ) x (a ) a ln n n a= với a>0 ( ) ( inx) in( ) 2 n S S x n π = + ( ) ( osx) os( ) 2 n C C x n π = + 2.công thức mở rộng 1 2 2 ( )' ' ' ( )' 2 ( )' ' ' (ln )' ( )' ' ln (sin )' 'cos (cos )' 'sin ' (tan )' os ' (cot )' sin ' (log )' ln u u u u a u u u u u u e u e u u u a u a a u u u u u u u u c u u u u u u u a α α α − = = = = = = = − = − = = 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ax ( )' ( ) 2 ( )' ( ) b ad bc cx d cx d a b a c b c x x a b a c b c a x b x c a x b x c a x b x c + − = + + + + + + = + + + + 3. một vài kết quả hay dùng x 0 e 1 lim 1 x x → − = x 0 a 1 lim ln x a x → − = 0 ln(1+x) lim 1 x x → = 0 ln(1+ax) lim 1 x ax → = lim (1 ) x k x k e x →+∞ + = lim (1 ) k k x x x e →+∞ + = 4. công thức leplit: nếu u,v là các hàm khả vi n lần thì: onlysea7 1 Một số phương pháp tìm giới hạn mslive.nstars.org ( ) ( ) ( ) 0 ( ) n n i i n i n i uv C u v − = = ∑ II-MỘT VÀI CÔNG THỨC TÌM GIỚI HẠN 1.PHƯƠNG PHÁP 1: ứng dụng đạo hàm để tìm giới hạn Tìm giới hạn: 0 lim ( ) x x L Q x → = Ta làm như sau: B1: xác định hàm 0 ( ) ( )f x f x=> Xác định 0 '( ) '( )f x f x=> B2: biến đổi phương trình về dạng: 0 0 0 0 ( ) ( ) lim '( ) x x f x f x L f x x x → − = = − 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim . ( ) '( ). ( ) x x f x f x L p x f x p x x x → − = = − với 0 ( ) 0p x ≠ . 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim ( ) ( ) '( ) x x f x f x x x f x L g x g x g x x x → − − = = − − với 0 '( ) 0g x ≠ 2. PHƯƠNG PHÁP 2: gọi đa thức vắng Ta áp dụng kết quả sau: 0 1 ax 1 lim n x a x n → + − = VD:tìm 7 0 ( 2 1998) 1 2 1998 lim x x x x → + − − Ta có: 2 7 7 2 ( 1998) 1 2 1998 1 2 1 ( ) ( 1998) x x x f x x x x x + − − − − = = + + => 0 3996 lim ( ) 7 x f x → = − Trong ví dụ trên ta đã thêm bớt 2 1998x + vào tử thức để xuất hiện dạng 0 1 ax 1 lim n x x → + − . Đây là điểm mấu chốt của lời giải. Tổng quát: để tìm 0 lim ( ) x F x → ta thêm bớt p(x) vào f(x) làm xuất hiện dạng 1 ax 1 n x + − , hạng tử vắng là p(x) đã xưng danh 3. PHƯƠNG PHÁP 3: hệ số bất định Xét ví dụ: tìm 3 3 2 2 1 1 5 7 lim ( ) lim 1 x x x x f x x → → − − + = − Giải: 3 3 2 2 2 1 1 5 2 7 2 lim ( ) lim( ) 1 1 x x x x f x x x → → − − + − = − − − = 1 6 ** trong lời giải trên,ta đã thêm bớt 2 vào tử thức của f(x).câu hỏi đặt ra là: 1) Tại sao phải có số 2 2) Tại sao phải là số 2 3) Tìm số 2 như thế nào onlysea7 2 Một số phương pháp tìm giới hạn mslive.nstars.org ** trả lời 2 câu hỏi: để tìm số 2 ta đưa ra thuật toán tìm số hạng vắng. B1: c∀ ∈¡ ,ta có: 3 3 2 2 2 5 7 ( ) 1 1 x c x c f x x x − − + − = − − − B2:trong các số c đó, ta tìm số c sao cho x 2 -1 cùng nhân tử với 3 1 ( ) 5f x x c= − − và 3 2 2 ( ) 7f x x c= + − .điều đó xảy ra khi chỉ khi c là nghiểm của hệ sau: 1 2 ( 1) 0 ( 1) 0 f f ± = ± = 2 2 6 c c c = = ⇔ = c=2 là đáp án cần tìm. Tổng quát: giả sử ( ) ( ) ( ) f x F x g x = B1: phân tích 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x c f x c F x g x g x − − = + B2:tìm c. gọi x 1 ,x 2 ,x n là nghiệm của g(x)=0 ,khi đó c là nghiệm của hệ: 1 1 2 1 ( ) 0 ( ) 0 f x c f x c + = + = hoặc 1 2 2 2 ( ) 0 ( ) 0 f x c f x c + = + = hoặc … hoặc 1 2 ( ) 0 ( ) 0 n n f x c f x c + = + = 4. PHƯƠNG PHÁP 4: tách bộ phận kép Muốn tìm giới hạn ( ) ( ) lim ( ) m n k x a f x g x x a → − − có dạng vô định 0 0 (m,n,k ∈¥ ), 1 min( , )k m n≤ ≤ ,ta biến đổi bằng cách thêm bớt biểu thức ( ) ( ) k h x x a− vào phân thức phải tìm giới hạn: 1 1 ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m n m m m n k k k f x h x h x h x g x h x f x g x x a x a x a + − − + − = + − − − 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k f x g x x a Q x x a Q x = + − − Trong đó 1 2 ( ), ( )Q x Q x là biểu thức liên hợp của ( ) ( ) m f x h x− , ( ) ( ) m h x g x− . Lúc đó: 1 1 1 2 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) k k x a f x g x x a Q x x a Q x → + − − có dạng quen thuộc VD:tìm giới hạn 3 2 3 2 3 0 8 6 9 9 27 27 lim x x x x x x L x → + + + − + + = Đặt 3 2 3 2 ( ) 8 6 9 8 ( 3)f x x x x x x= + + + = + + 2 3 3 ( ) 9 27 27 ( 3)g x x x x x= + + = − + + Ta có: L= 3 2 3 3 3 3 0 8 ( 3) ( 3) lim x x x x x x → + + − − + + = 3 2 3 3 3 3 3 0 8 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) lim( ) x x x x x x x x x → + + − + + − − + + + onlysea7 3 Một số phương pháp tìm giới hạn mslive.nstars.org = 3 3 3 3 2 3 3 3 0 3 8 lim( ( 8 ( 3) ( 3)) (( 3) ( 3) ) x x x x x x x x x x x → + + + + + + + − + + = 3 2 3 3 0 3 8 1 lim( ) ( 8 ( 3) ( 3)) (( 3) ( 3) ) x x x x x x x → + + + + + + + − + + = 37 27 5. PHƯƠNG PHÁP 5: công thức L’HOSPITAL Cho hai hàm số ( ), ( )f x g x có đạo hàm trên (a,b) Giả sử rằng : 0 0 0 0 0 lim ( ) lim ( ) 0 lim ( ) lim ( ) '( ) lim '( ) x x x x x x x x x x f x g x f x g x f x g x α → → → → → = = = = ∞ = thì: 0 ( ) lim ( ) x x f x g x α → = Nhận xét: 1. kết quả trên vẫn đúng khi thay x 0 bằng ±∞ 2. khi x → x 0 (hoặc ∞ ) mà 0 '( ) lim '( ) x x f x g x → vẫn có dạng 0 , 0 ∞ ∞ ta áp dụng quy tắc trên một lần nữa. 3. nếu 0 '( ) lim '( ) x x f x g x → không tồn tại thì không thể kết luận 0 ( ) lim ( ) x x f x g x → không tồn tại nghĩa là 0 ( ) lim ( ) x x f x g x → có thể có giới hạn. VD: tìm giới hạn 0 1 2 1 sinx lim 3 4 2 x x x x → − + + + − − Giải: ta có 2 (1 2 1 sinx)' cos 2 2 1 x x x − − + + = + + 3 ( 3 4 2 )' 1 2 3 4 x x x + − − = − + => 0 1 2 1 sinx lim 3 4 2 x x x x → − + + + − − = 0 2 cos 2 2 1 lim 3 1 2 3 4 x x x x → − + + − + =0 II-BÀI TẬP ÁP DỤNG Tìm giới hạn sau: 1. 3 2 2 1 5 7 lim 1 x x x x → − − + − 2. 3 2 0 1 2 1 3 lim x x x x → + − + onlysea7 4 Một số phương pháp tìm giới hạn mslive.nstars.org 3. 2 1 0 2 lim( ) 1 x x x x + → + + 4. sin 2 sin 0 e e lim sinx x x x→ − **chú ý: để giải một số dạng vô định như 0 0 1 , ,0 ∞ ∞ ta tìm 0 lim(ln ) x x y α → = với ( ) [ ( )] g x y f x= rồi suy ra 0 lim x x y → = e α KIẾN NGHỊ Do thời gian soạn thảo đề tài còn ngắn, nên không tránh khỏi những sai sót, mong mọi người đọc và đóng góp ý kiến.Để tôi kịp thời chỉnh sửa đổi,bổ sung và hoàn thiện kiến thức cá nhân. Mọi ý kiến xin gửi về: princeonlysealove93@yahoo.com www.mslive.nstars.org onlysea7 5 . là các hàm khả vi n lần thì: onlysea7 1 Một số phương pháp tìm giới hạn mslive.nstars.org ( ) ( ) ( ) 0 ( ) n n i i n i n i uv C u v − = = ∑ II-MỘT VÀI CÔNG THỨC TÌM GIỚI HẠN 1.PHƯƠNG PHÁP 1:. của f(x).câu hỏi đặt ra là: 1) Tại sao phải có số 2 2) Tại sao phải là số 2 3) Tìm số 2 như thế nào onlysea7 2 Một số phương pháp tìm giới hạn mslive.nstars.org ** trả lời 2 câu hỏi: để tìm số. Một số phương pháp tìm giới hạn mslive.nstars.org I- ĐẠO HÀM 1. một vài công thức tính đạo hàm cấp n ( ) ( ) ( ) (n) m m n x m m 1 m n 1 x − =