Một số ứng dụng của vecto trong giải toán hình học

LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình toán ở bậc THPT, vectơ là một khái niệm quan trọng, nó có tính khái quát cao. Nó có thể sử dụng cho cả hình học phẳng lẫn hình học không gian và thậm chí cả đại số. Nhờ vectơ ta có thể đưa tọa độ vào bài toán hình học do đó tránh khỏi những sai lầm về mặt trực quan.Cũng nhờ vectơ nhiều bài toán hình học phẳng,hình học không gian rất khó nếu chỉ giải quyết bằng hình học thuần túy,nhưng lại trở nên đơn giản nếu ứng dụng vectơ. Chính vì vậy, nghiên cứu ứng dụng các vectơ vào việc giải toán hình học, thậm chí cả đại số là một vấn đề thú vị và ý nghĩa Trong khuôn khổ một chuyên đề nhỏ, chúng tôi chỉ đề cập đến một số ứng dụng phổ biến của vectơ trong việc giải toán. Để thực hiện chuyên đề này chúng tôi đã tham khảo một số quyển sách cũng như các trang web và diễn đàn toán học. Tuy đã rất cố gắng nhưng chắc chắn vẫn còn rất nhiều sai sót mong các bạn thông cảm. Xin chân thành cảm ơn Tác giả 1 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.1 Định nghĩa vectơ - Vectơ là một đoạn thẳng định hướng. - Mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối. Vectơ có điểm là A và điểm cuối là B được kí hiệu là AB uuur Quy ước: Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau là vectơ không. Kí hiệu: 0 r . 1.1.1 Độ dài vectơ Độ dài của vectơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đâù mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của AB uuur kí hiệu: AB uuur . 1.1.2 Hai vectơ cùng phương, bằng nhau, đối nhau Hai vectơ cùng phương nếu chúng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song. Hai vectơ cùng phuuwong có thể cùng hướng hoặc ngược hướng: • Hai vectơ AB uuur , DC uuur cùng hướng , kí hiệu: DAB C↑↑ uuur uuur . • Hai vectơ ngược hướng, kí hiệu: DAB C↑↓ uuur uuur . Hai vectơ AB uuur , DC uuur bằng nhau, kí hiệu: DAB C= uuur uuur . D D D AB C AB C AB C =   = ⇔  ↑↑   uuur uuur uuur uuur Hai vectơ AB uuur , DC uuur đối nhau, kí hiệu: DAB C= − uuur uuur . D D D AB C AB C AB C =   = − ⇔  ↑↓   uuur uuur uuur uuur 1.2 CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 1.2.1 Phép cộng vectơ - Các quy tắc + Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kì, ta luôn có: AB BC AC+ = uuur uuur uuur (hệ thức Chasles) 2 + Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì DAB A AC+ = uuur uuur uuur - Tính chất của phép cộng vectơ + Tính chất giao hoán: a b b a+ = + r r r r + Tính chất kết hợp: ( ) ( ( )a b c a b c+ + = + + r r r r r r + Tính chất của 0 r : 0 0a a a+ = + = r r r r r 1.2.2 Phép trừ vectơ - Ta có: ( )a b a b− = + − r r r r - Quy tắc ba điểm đối với phép trừ vectơ Cho vectơ AB uuur và một điêwmr O bất kì, t luôn có: AB OB OA= − uuur uuur uuur 1.2.3 Phép nhân vectơ với một số thực - Định nghĩa: Tích của số thực k với một vectơ a r là một vectơ, kí hiệu: k a r ka k a= r r - Tính chất: + Phân phối đối với phép cộng vectơ: ( )k a b ka kb+ = + r r r r + Phân phối đối với phép cộng: ( )k h a ka ha+ = + r r r + Kết hợp: ( ) ( . )k ha k h a= r r 1.3 TỌA ĐỘ VECTƠ 1.3.1 Trục tọa độ - Định nghĩa: Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị i r có độ dài bằng 1. - Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục: Cho vectơ u ai= r r ; a được gọi là tọa độ của vectơ u r trên trục (O; i r ). Một điểm M nằm trên trục và .OM m i= uuuur r ; m là tọa độ của M trên trục (O; i r ). 1.3.2 Hệ trục tọa độ 3 - Định nghĩa: Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy gồm hai trrục Ox, Oy vuông góc với nhau với hai vectơ đơn vị i r , j r có độ dài bằng 1. - Tọa độ của vectơ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì với mọi vectơ u r , ta có: 1 2 u u i u j= + r r r Cặp số (u 1 ;u 2 ) được gọi là tọa độ của vectơ u r Kí hiệu u r = (u 1 ;u 2 ) Cho hai điểm A(x A; y A ) và B(x B ; y B ) thì: ( ; ) B A B A AB x x y y= − − uuur - Tọa độ của một điểm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì: OM xi y j= + uuuur r r ⇔ x, y là tọa độ của M, kí hiệu M(x;y). 1.4 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1.4.1 Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ a r , b r là một số, kí hiệu là .a b r r được xác định bởi: ( ) . . . os ,a b a b c a b= r r r r r r 1.4.2 Hệ quả: - Bình phương vô hướng của vectơ a r : 2 2 a a= uur r - Điều kiện vuông góc của hai vectơ: . 0a b a b⊥ ⇔ = r r r r 1.4.3 Tính chất Với mọi a r , b r , c r và số thực k: - . . ;a b b a= r r r r - ( . ). ( . );m a b m a b= r r r r - .( ) . . ;a b c a b a c+ = + r r r r r r r 1.4.4 Biểu thức tọa độ tích vô hướng của hai vectơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ 1 1 ( ; )a x y r , 2 2 ( ; )b x y r . Khi đó 1 2 1 2 . . .a b x x y y= + r r Hệ quả: 4 - a r = 2 2 1 1 x y+ - 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 . os( , ) . . x x y ya b c a b a b x y x y + = = + + r r r r r r 5 B. ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ 1. ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG 1.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta đi chứng minh: ,AB k AC= uuur uuur k ∈ R. Để nhận được (1), ta lựa chọn một trong hai hướng: - Hướng 1: Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết. - Hướng 2: Xác định vectơ AB uuur và AC uuur thông qua các tổ hợp trung gian. * Chú ý: Cho ba điểm A, B, C. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là: (1 )MC MA MB α α = + − uuuur uuur uuur Với điểm tùy ý M và số thực α bất kì. Đặc biệt khi 0 1 α ≤ ≤ thì C thuộc đoạn AB 1.2 BÀI TẬP VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đường chéo AC thỏa mãn tỉ số E 2 3 A AC = . Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng. Giải Ta có: DI DC CI= + uuur uuur uur ⇒ 1 2 DI DC CB= + uuur uuur uuur (1) DE DC CE= + uuur uuur uuur Theo giả thiết, ta suy ra: 1 ( D ) 3 CE C DA= + uuur uuur uuur ⇒ 1 1 ( D ) ( D ) 3 3 CE C DA C CB= + = + uuur uuur uuur uuur uuur Từ đây ta có: 1 1 D 3 3 DE DC C CB= + + uuur uuur uuur uuur 6 ⇒ 2 1 3 3 DE DC CB= + uuur uuur uuur ⇒ 2 1 ( ) 3 2 DE DC CB= + uuur uuur uuur (2) Từ (1) và (2) suy ra: 2 3 DE DI= uuur uuur Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng. Ví dụ 2: Cho ∆ ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của ∆ ABC. CMR O, G, H thẳng hàng. Giải Ta có: 1 ( ) 2 OG OA OB OC= + + uuur uuur uuur uuur (1) Gọi E là trung điểm BC và 1 A là điểm đối xứng với A qua O, ta được: 1 1 ( ùng ) ( ùng ) BH CA c AC CH BA c AB ⊥   ⊥  P P 1 A BHC⇒ là hình bình hành 1 A⇒ , E, H thẳng hàng ⇒ 2AH OE= uuur uuur Ta có: 2OH OA AH OA OE OA OB OC= + = + = + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur . (2) Từ (1) và (2) suy ra: 1 , , 3 OG OH O G H= ⇔ uuur uuur thẳng hàng. Ví dụ 3: Cho ba dây cung song song 1 1 1 , ,AA BB CC của đường tròn (O). Chứng minh rằng trực tâm của ba tam giác 1 1 1 , ,ABC BCA CAB nằm trên một đường thẳng. Giải Gọi 1 2 3 , ,H H H lần lượt là trực tâm của các tam giác 1 1 1 , ,ABC BCA CAB Ta có: 7 1 1 2 1 3 1 OH OA OB OC OH OB OC OA OH OC OA OB = + + = + + = + + uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur Suy ra: 1 2 2 1 H H OH OH= − uuuuur uuuur uuuur 1 1 1 1 OC OC OA OA C C AA = − + − = + uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur 1 3 3 1 H H OH OH= − uuuuur uuuur uuuur 1 1 1 1 OC OC OB OB C C BB = − + − = + uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur Vì các dây cung 1 1 1 , ,AA BB CC song song với nhau Nên ba vectơ 1 1 1 , ,AA BB CC uuur uuur uuuur có cùng phương Do đó hai vectơ 1 2 1 3 àH H v H H uuuuur uuuuur cùng phương hay ba điểm 1 2 3 , ,H H H thẳng hàng. 1.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI 1. Cho ∆ ABC. Đường tròn nội tiếp ∆ ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại M, N. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC và BC. Tìm điểm P thuộc EF sao cho M, N, P thẳng hàng. 2. Cho ∆ ABC với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Các đường thẳng 1 2 3 , ,∆ ∆ ∆ đôi một song song nhau lần lượt qua các điểm A, B, C và có giao điểm thứ hai với đường tròn (O) theo thứ tự là 1 1 1 , ,A B C . Chứng minh trực tâm của ba tam giác 1 1 1 , ,ABC BCA CAB thẳng hàng. 3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB. Chứng minh ba điểm E, K, F thảng hàng và K là trung điểm của EF. 4. Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC.Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng. 5. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC. Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thẳng hàng. 8 a. Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N thẳng hàng. b. Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng. 6. Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và K là một điểm trên cạnh AC sao cho AK = 3 1 AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng 2 ỨNG DỤNG CỦA VETƠ TRONG CÁC BÀI TOÁN VUÔNG GÓC, TÍNH GÓC 2.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta cần chứng minh tích vô hướng của chúng bằng 0 . 0AB AC AB AC⊥ ⇔ = uuur uuur 2.2 BÀI TẬP VÍ DỤ Ví dụ 1: Trong đường tròn C(O; R) cho hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau ở điểm S và gọi M là trung điểm của AB.CMR: SM vuông góc A’B’. Giải Xét tích vô hướng 1 . ' ' ( ).( ' ') 2 SM A B SA SB SB SA= + − uuur uuuuur uur uur uuur uuur 1 ( . ' . ' . ' . ') 2 SA SB SA SA SB SB SB SA= − + − uur uuur uur uuur uur uuur uur uuur Ta có: . ' 0 . ' 0 . ' . ' SA SB SB SA SA SA SB SB = = = uur uuur uur uuur uur uuur uur uuur Từ đó suy ra . ' ' 0SM A B = uuur uuuuur nên SM vuông góc với A’B. 2.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI 1. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC ∆ , D là trung điểm cạnh AB , E là trọng tâm của ACD ∆ . Chứng minh rằng nếu AB AC = thì OE CD ⊥ . 9 2. Cho ABC∆ cân tại .A Gọi D là trung điểm cạnh AB , E là trọng tâm ADC∆ . Chứng minh IE CD⊥ . ( I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆ ). 3. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng: 2 2 2 5BM CN b c a⊥ ⇔ + = 4. Cho hình chữ nhật ABCD,kẻ BH AC ⊥ .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AH và DC.Chứng minh rằng: BM MN ⊥ 5. Cho hình vuông ABCD,trên DC lấy điểm E, kẻ ,( )EF AC F BC⊥ ∈ . M, N lần lượt là trung điểm của AE và DC. Chứng minh rằng: MN DF⊥ 6. Cho hình vuông ABCD, trên AB lấy điểm P,trên AD lấy điểm Q sao cho AP=AQ. Kẻ AH DP⊥ .Chứng minh rằng: CH QH⊥ 7. Cho tam giác cân ABC, AB=AC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm cạnh AB và G là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh: OG CD⊥ 3. CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU 3.1PHƯƠNG PHÁP CHUNG Muốn chứng minh hai điểm 1 A và 2 A trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hướng: - Hướng 1: Chứng minh 1 2 0A A = uuuur r . - Hướng 2: Chứng minh 1 2 OA OA= uuur uuuur với O là điểm tùy ý. 3.2 BÀI TẬP VÍ DỤ Ví dụ: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm. Giải Gọi 1 2 ,G G lần lượt là trọng tâm của tam giác ANP và CMQ và O là một điểm tùy ý. Ta có: 1 2 3 3 OA ON OP OG OC OM OQ OG  + + =   + + =   uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur (1) Mặt khác: 1 1 ( ) ( D) 2 2 OA ON OP OA OB OC OC O+ + = + + + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 ( D) 2 OA OC OB O= + + + uuur uuur uuur uuur (2) 10 [...]... nhất của biểu thức x 2 + ( y + 1) + x 2 + ( y − 3) 2 2 Trong đó x, y là các số thực thỏa mãn: 2 x − y = 2 (Trích đề thi HSG quốc gia lớp 12 năm 1998) 17 Cho hàm số f ( x ) = a 2 + x 2 + a 2 + ( c − x ) 2 Với giá trị nào của x hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ nhất ? 18 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = cos 2 x − 2cosx + 3 + cos 2 x + 4cosx + 8 19 Cho x, y, z là các số thực đôi một. .. trọng tâm G của ∆ABC vẽ đường thẳng ∆ cắt các cạnh AB và AC tại M và N Chứng minh: MB NC + = 1 MA NA 8 Cho ∆ABC Từ một P điểm P thay đổi nằm trong mặt phẳng của tam giác ta kẻ các đường thẳng song song với CA, CB lần lượt cắt CA, CB tại Q và R Đường thẳng d nối Q với trung điểm I của CA cắt đường thẳng d ' nối R với trung điểm J của CB tại S Chứng minh rằng đường thẳng PS luôn đi qua một điểm cố... z 2 + 2 ≥ 82 2 x y z 5 (Đại học khối B 2006).Cho x,y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y 2 − 2x + 1 + x2 + y 2 + 2x + 1 + y − 2 6 Cho ba số thực x, y, z tùy ý.Chứng minh: x 2 + xy + y 2 + x 2 + xz + z 2 ≥ y 2 + yz + z 2 7 (Dự bị đại học 2005) Cho x, y, z là ba số thực thỏa x + y + z = 0 Chứng minh rằng: 3 + 4 x + 3 + 4 y + 3 + 4 z ≥ 6 8 Chứng minh rằng với mọi tam giác... 12 Tìm GTNN c ủa hàm số : y = x 2 − 2 px + 2 p 2 + x 2 − 2qx + 2 p 2 Trong đó p, q là hai số thực cho trước và p ≠ q 13 Chứng minh rằng với mọi số thực a ta có: a 2 − 8a + 20 + ( a − 48) 2 + 36 ≥ 20 5 Khi nào xảy ra dấu “=” ? 14 Với a, b, c, x, y, z là những số thực bất kỳ, chứng minh rằng: ax + by + cz ≤ a 2 + b 2 + c 2 x 2 + y 2 + z 2 15 Cho bốn số thực khác nhau a, b, c, d chứng minh rằng: a 2 +... lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm 2 Cho lục giác ABCDEF có AB ⊥ EF và hai tam giác ACE và BDF có cùng trọng tâm CMR: AB²+EF²=CD² 4 ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CÁC BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐIỂM 4.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Với các bài toán quỹ tích ta cần nhớ : uu ur uu ur Nếu MA = MB , với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB uu uu... ( xyc 2 + yza 2 + xzb 2 ) (3) Cho M lần lượt là các điểm đặt biệt trong tam giác,ta có các bài toán sau: Bài toán 1 : Cho tam giác ABC.Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 ≤ 9 R 2 Lời giải: Khi M trùng G,ta có x = y = z = 1 a 2 + b2 + c2 nên OG 2 = R 2 − 3 9 Suy ra điều phải chứng minh Bài toán 2:Chứng minh: 2 a) R ≥ abc a+b+c b) R 2 ≥ 2 R Lời giải: Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a)Khi M trùng... = (3a + b) = (9a + b + 6a.b) = a 16 16 8 Vậy MB vuông góc với MN và MB =MN, tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M Ví dụ 5: Chứng minh rằng trong hình bình hành ta có: tổng các bình phương của hai đường chéo bằng tổng các bình phương của các cạnh Giải Cho hình bình hành ABCD,ta phải chứng minh: AC 2 + BD 2 = 2( AB 2 + AD 2 ) Ta có: u u 2 u u2 ur ur AC 2 + BD 2 = AC + BD uu uu ur ur u u uu ur u r = ( AB +... điểm đối xứng với B qua O Chứng minh : AH = B' C 5 ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 5.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta có: rr r r r r a.b = a b cosα , với α = (a, b), r r r r và bởi cosα ≤ 1 , do đó: a, b ≤ a b 5.2 BÀI TẬP VÍ DỤ Ví dụ 1: Giải 3 2 Cho ∆ ABC, CMR: cosA + cosB + cosC ≤ u u u r u r r Thiết lập các vectơ đơn vị e1 , e2 , e3 trên các cạnh AB, BC, AC của ∆ ABC, ta được: uu u u r... phương trình có nghiệm khi 7.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI 1 Giải các pt và bpt sau: a b c 22 d 2 Giải phương trình: x − 1 + x − 3 = 2( x − 3) 2 + 2 x − 2 3 Giải phương trình: x x + 1 + 3 − x − 2 x2 + 1 = 0 4 Giải phương trình: x − 2 + 4 − x = x 2 − 6 x + 11 5 Giải phương trình: x 2 − 2 x + 5 + x 2 + 2 x + 10 = 29 6 Giải phương trình: s inx + 2 − sin 2 x + s inx 2 − sin 2 x = 3 7 Giải hệ phương trình:  x1996 + y1996... hai điểm P, Q nằm trên cạnh AB Gọi J là tâm hình chữ nhật MNPQ Chứng tỏ rằng ba điểm I , K , J thẳng hàng 14 3 Cho hai hình vuông ABCD và BKMN có chung đỉnh B và đỉnh M nằm trên DB kéo dài Chứng minh rằng trung tuyến BE của ∆ABK nằm trên đường thẳng chứa đường cao BH của ∆BNC 4 Cho ∆ABC vuông tại A Gọi Au là tia phân giác của góc A Qua trung điểm M của cạnh huyền BC ta dựng đường thẳng vuông góc . nên đơn giản nếu ứng dụng vectơ. Chính vì vậy, nghiên cứu ứng dụng các vectơ vào việc giải toán hình học, thậm chí cả đại số là một vấn đề thú vị và ý nghĩa Trong khuôn khổ một chuyên đề nhỏ,. chỉ đề cập đến một số ứng dụng phổ biến của vectơ trong việc giải toán. Để thực hiện chuyên đề này chúng tôi đã tham khảo một số quyển sách cũng như các trang web và diễn đàn toán học. Tuy đã rất. tọa độ vào bài toán hình học do đó tránh khỏi những sai lầm về mặt trực quan.Cũng nhờ vectơ nhiều bài toán hình học phẳng ,hình học không gian rất khó nếu chỉ giải quyết bằng hình học thuần túy,nhưng