Phương pháp tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản

phương pháp nhân lượng liên hơn.  Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.  Nếu bậc của tử lớn hơn bậc[r]

Trang | PHƢƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO

CÁC DỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN 1 Phƣơng pháp

Phƣơng pháp:

Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn

Khi tìm ta thường chia tử mẫu cho , bậc lớn tử mẫu

Khi tìm ta thường tách sử dụng

phương pháp nhân lượng liên

+ Dùng đẳng thức:

Dùng định lí kẹp: Nếu ,n lim = lim un =

Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trƣờng hợp sau đây:

 Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn

 Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu

 Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn + hệ số cao tử mẫu dấu kết – hệ số cao tử mẫu trái dấu

Ví dụ Cho dãy số với , tham số Để có giới hạn

giá trị tham số là?

A -4 B 2 C 4 D 3

Hƣớng dẫn giải Chọn B

Dễ thấy với

Thật vậy:

Nếu

Nếu



 lim ( )

( )

f n g n

k

n k

 limk f n( )mg n( ) lim ( )f n lim ( )g n  

 a b a b a b; 3a3b3a23ab3b2 a b

 un vn

(un)

2

4

5 n

n n

u

an

  

 a (un)

a

2

a

2

4

lim lim

2

n

n n

u

n

 

 



a

2

4

lim lim n

n n

u     

0

a

2

4

lim lim

5 n

n n

u

an a

 

 

Trang |

Do để

Ví dụ Tìm hệ thức liên hệ số thực dương để:

A B C D

Hƣớng dẫn giải Chọn D

Từ kết trình bày phần ví dụ, ta thấy cần phải nhân chia với biểu thức liên hợp Ta có:

Suy Do để

Ví dụ Tìm số thực cho

A B C D

Hƣớng dẫn giải Chọn A

Ta có Để hữu hạn

( xem lại phần ví dụ )

phần Ví dụ) Ta có Vậy 2 Bài tập

Câu Cho dãy số  un thỏa mãn

 

1

1

2 ,

1

 

  

   

 

  



n n

n

u

u n

u

u

Tính u2018

A u2018 7 B u20182 C u2018  7 D u2018  7

Hƣớng dẫn giải Chọn A

limun 2 a

a   

a b 2

lim( n an 5 n bn3)2

a b  a b 2 a b 4 a b 4

 

2

2

2

5

5

a b n

n an n bn

n an n bn

 

     

    

2

2

5

1

a b n

a b

n n n n

  

    

 2 

lim

2

a b n an  n bn  

 2 

lim n an 5 n bn3 2

2

a b

    a b

a b 3

lim( 1n an b )

0

a b

     

1

a b

    

1

a b

      

0

a b

    

3 

lim 1n an b 0  b lim31n3 an lim31n3 an

0

a

3 

Trang |

Câu Cho dãy số (xn) xác định 1 1, 1 ,

2 n n n

x  x  x x  n

Đặt

1

1 1

1 1

n

n

S

x x x

   

   Tính limSn

A  B  C 2 D 1

Hƣớng dẫn giải Chọn C

Từ cơng thức truy hồi ta có: xn1xn,  n 1, 2, Nên dãy (xn) dãy số tăng

Giả sử dãy (xn) dãy bị chặn trên, tồn limxn x

Với x nghiệm phương trình:

1

xx    x x x vơ lí Do dãy ( )xn khơng bị chặn, hay limxn  

Mặt khác:

1 1

( 1)

n n n n n

x   x x   x x 

Suy ra:

1

1 1

1

n n n

x   x x 

Dẫn tới:

1 1

1 1

2 lim lim

n n

n n n

S S

x x  x  x

       

Câu Cho dãy (xk) xác định sau:

2! 3! ( 1)! k

k x

k

   

 Tìm limun với n 1n 2n 2011n

n

u  x x  x

A  B  C 1

2012!

 D 1

2012! 

Hƣớng dẫn giải Chọn C

Ta có: 1

( 1)! ! ( 1)!

k

k k  k nên

1

( 1)! k

x

k

  

Suy 1 1 1

( 2)! ( 1)!

k k k k

x x x x

k k

 

     

 

Mà: x2011n x1n x2n   x2011n n 2011x2011

Mặt khác: lim 2011 lim 2011 2011 2011 1 2012! n

Trang | Vậy lim 1

2012! n

u  

Câu Cho dãy (xk) xác định sau:

2! 3! ( 1)! k

k x

k

   

 Tìm limun với n 1n 2n 2011n

n

u  x x  x

A  B  C 1

2012!

 D 1

2012! 

Hƣớng dẫn giải

ChọnC

Ta có: 1

( 1)! ! ( 1)!

k

k k  k nên

1

( 1)! k

x

k

 



Suy 1 1 1

( 2)! ( 1)!

k k k k

x x x x

k k

 

     

 

Mà: x2011n x1n x2n   x2011n n 2011x2011 Mặt khác: lim 2011 lim 2011 2011 2011 1

2012! n

x  x x  

Vậy lim 1 2012! n

u  

Câu Cho hàm số f n a n 1 b n 2 c n3n *với a b c, , số thỏa mãn

a  b c Khẳng định sau đúng?

A lim  

x f n   B xlim f n 1 C xlim f n 0 D xlim f n 2

Hƣớng dẫn giải

ChọnC

Câu Cho a b,  , ( , ) 1;a b  nab1,ab2,  Kí hiệu rn số cặp số ( , )u v   cho

naubv Tìm lim n n

r n ab

 

A  B  C

ab D ab1.

Hƣớng dẫn giải

ChọnC

Xét phương trình 0;n

n



 

 

Trang | Gọi ( ,u v0 0) nghiệm nguyên dương (1) Giả sử ( , )u v nghiệm nguyên dương khác ( ,u v0 0) (1)

Ta có au0bv0 n au bv,  n suy a u u(  0)b v v(  0)0 tồn k nguyên dương cho uu0kb v,  v0 ka Do v số nguyên dương nên

0

1

1 v

v ka k a

     (2) Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương phương trình (1) số số k nguyên dương cộng với Do 1

1

n

v n u

r

a ab b a



   

     

   

Từ ta thu bất đẳng thức sau: 1 n

u u

n n

r

ab b   a ab b  a

Từ suy ra: u0 rn u0 1.

abnbna n abnbnan

Từ áp dụng nguyên lý kẹp ta có lim n n

r n ab

 

Cách 3: Dùng chức lim máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad +

9 cos

lim

2 10

x

x x  so đáp án

Câu Cho dãy số xác định với Gọi tổng số hạng đàu

tiên dãy số Tìm

A C B D

Hƣớng dẫn giải Chọn B

Cách 1: Ta có Đặt

Khi đó: Vậy cấp số nhân có công

bội Gọi tổng số hạng

Ta có: Suy ra:

Vậy

Cách 2: Sử dụng MTCT Nhập vào hình: Bấm r, máy hỏi A? nhập , máy hỏi X? nhập , máy hỏi Y? Nhập , bấm = liên tiếp ta thấy giá trị A ngày tăng cao

(un) u13, 2un1un1 n1 Sn n (un) limSn

limSn   limSn 1 limSn   limSn  1

1

2un un 1

1

2

n n

u  u

   vn un1

 

1

1 1

1 1

2 2

n n n n n

v u    u    u   v  vn

1

q Tn n  vn

1

1 n n

q

T v

q

 



1

2

1

2 n

v

      



1

2 n

v    

      

  Sn  Tn n

1

2 n

v     n

      

 

limSn  

1

: :

2

A A X Y  X  X Y

Trang |

Câu Cho dãy số xác định với Tìm

A B C D

Hƣớng dẫn giải Chọn C

Sử dụng MTCT

Dùng cách tìm dạng phân số số thập phân vơ hạn tuần hoàn ta

Vậy giới hạn dãy số trường hợp

Bổ sung: Cho dãy số xác định , , với ,

trong số thực cho trước, Người ta chứng minh

Câu Cho dãy số xác định với Tìm

A C B D

Hƣớng dẫn giải Chọn B

Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn Khi ta có:

Tuy nhiên đến ta khơng cịn để kết luận hay

Ta sử dụng MTCT tương tự tập thấy giới hạn dãy số Vậy chọn

Chọn B

Câu 10 Cho dãy số xác định với Khi

A B 0 C 1 D 2

Hƣớng dẫn giải Chọn C

Ta có

(un)

1 1, 2,

2

n n

n

u u

u  u  u     n1 limun



2

5

4

 

1, 1, 66666667

3



5

 un u1a u2 b

1

2

n n

n

u u

u      n

,

a b ab lim

3 n

a b u  

(un)

2

1

1 ,

4

n

n n

u

u  u  u  n1 limun

1 lim

4 n

u  lim

2 n

u  limun 0 limun  

L

2

L

LL  2L2 L

0

L L

   

  

0

L

2

L

0

9

1, 706192802.10

X Y X



 

(un) u11,un1un2n1 n1

1 lim n

n

u u



Trang |

; ; ;

Dự đốn Khi Vậy

Suy

Nhận xét: Ở phải bấm phím = liên tiếp nhiều lần, chưa đủ lớn

chênh lệch xa nên giá trị xa so với

1

u  u2  1 2.1 1 22 u3 222.2 9  32

n

u n un1un2n 1 n12

2

1 n

u n  n

 2

1

2

lim n lim

n

n u

u n

   

n

 2

1

n n2  

2

1

n n



Trang | Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên

danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia