Đang tải... (xem toàn văn)
phương pháp nhân lượng liên hơn. Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu. Nếu bậc của tử lớn hơn bậc[r]
(1)Trang | PHƢƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO
CÁC DỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN 1 Phƣơng pháp
Phƣơng pháp:
Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn
Khi tìm ta thường chia tử mẫu cho , bậc lớn tử mẫu
Khi tìm ta thường tách sử dụng
phương pháp nhân lượng liên
+ Dùng đẳng thức:
Dùng định lí kẹp: Nếu ,n lim = lim un =
Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trƣờng hợp sau đây:
Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn
Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu
Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn + hệ số cao tử mẫu dấu kết – hệ số cao tử mẫu trái dấu
Ví dụ Cho dãy số với , tham số Để có giới hạn
giá trị tham số là?
A -4 B 2 C 4 D 3
Hƣớng dẫn giải Chọn B
Dễ thấy với
Thật vậy:
Nếu
Nếu
lim ( )
( )
f n g n
k
n k
limk f n( )mg n( ) lim ( )f n lim ( )g n
a b a b a b; 3a3b3a23ab3b2 a b
un vn
(un)
2
4
5 n
n n
u
an
a (un)
a
2
a
2
4
lim lim
2
n
n n
u
n
a
2
4
lim lim n
n n
u
0
a
2
4
lim lim
5 n
n n
u
an a
(2)Trang |
Do để
Ví dụ Tìm hệ thức liên hệ số thực dương để:
A B C D
Hƣớng dẫn giải Chọn D
Từ kết trình bày phần ví dụ, ta thấy cần phải nhân chia với biểu thức liên hợp Ta có:
Suy Do để
Ví dụ Tìm số thực cho
A B C D
Hƣớng dẫn giải Chọn A
Ta có Để hữu hạn
( xem lại phần ví dụ )
phần Ví dụ) Ta có Vậy 2 Bài tập
Câu Cho dãy số un thỏa mãn
1
1
2 ,
1
n n
n
u
u n
u
u
Tính u2018
A u2018 7 B u20182 C u2018 7 D u2018 7
Hƣớng dẫn giải Chọn A
limun 2 a
a
a b 2
lim( n an 5 n bn3)2
a b a b 2 a b 4 a b 4
2
2
2
5
5
a b n
n an n bn
n an n bn
2
2
5
1
a b n
a b
n n n n
2
lim
2
a b n an n bn
2
lim n an 5 n bn3 2
2
a b
a b
a b 3
lim( 1n an b )
0
a b
1
a b
1
a b
0
a b
3
lim 1n an b 0 b lim31n3 an lim31n3 an
0
a
3
(3)Trang |
Câu Cho dãy số (xn) xác định 1 1, 1 ,
2 n n n
x x x x n
Đặt
1
1 1
1 1
n
n
S
x x x
Tính limSn
A B C 2 D 1
Hƣớng dẫn giải Chọn C
Từ cơng thức truy hồi ta có: xn1xn, n 1, 2, Nên dãy (xn) dãy số tăng
Giả sử dãy (xn) dãy bị chặn trên, tồn limxn x
Với x nghiệm phương trình:
1
xx x x x vơ lí Do dãy ( )xn khơng bị chặn, hay limxn
Mặt khác:
1 1
( 1)
n n n n n
x x x x x
Suy ra:
1
1 1
1
n n n
x x x
Dẫn tới:
1 1
1 1
2 lim lim
n n
n n n
S S
x x x x
Câu Cho dãy (xk) xác định sau:
2! 3! ( 1)! k
k x
k
Tìm limun với n 1n 2n 2011n
n
u x x x
A B C 1
2012!
D 1
2012!
Hƣớng dẫn giải Chọn C
Ta có: 1
( 1)! ! ( 1)!
k
k k k nên
1
( 1)! k
x
k
Suy 1 1 1
( 2)! ( 1)!
k k k k
x x x x
k k
Mà: x2011n x1n x2n x2011n n 2011x2011
Mặt khác: lim 2011 lim 2011 2011 2011 1 2012! n
(4)Trang | Vậy lim 1
2012! n
u
Câu Cho dãy (xk) xác định sau:
2! 3! ( 1)! k
k x
k
Tìm limun với n 1n 2n 2011n
n
u x x x
A B C 1
2012!
D 1
2012!
Hƣớng dẫn giải
ChọnC
Ta có: 1
( 1)! ! ( 1)!
k
k k k nên
1
( 1)! k
x
k
Suy 1 1 1
( 2)! ( 1)!
k k k k
x x x x
k k
Mà: x2011n x1n x2n x2011n n 2011x2011 Mặt khác: lim 2011 lim 2011 2011 2011 1
2012! n
x x x
Vậy lim 1 2012! n
u
Câu Cho hàm số f n a n 1 b n 2 c n3n *với a b c, , số thỏa mãn
a b c Khẳng định sau đúng?
A lim
x f n B xlim f n 1 C xlim f n 0 D xlim f n 2
Hƣớng dẫn giải
ChọnC
Câu Cho a b, , ( , ) 1;a b nab1,ab2, Kí hiệu rn số cặp số ( , )u v cho
naubv Tìm lim n n
r n ab
A B C
ab D ab1.
Hƣớng dẫn giải
ChọnC
Xét phương trình 0;n
n
(5)Trang | Gọi ( ,u v0 0) nghiệm nguyên dương (1) Giả sử ( , )u v nghiệm nguyên dương khác ( ,u v0 0) (1)
Ta có au0bv0 n au bv, n suy a u u( 0)b v v( 0)0 tồn k nguyên dương cho uu0kb v, v0 ka Do v số nguyên dương nên
0
1
1 v
v ka k a
(2) Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương phương trình (1) số số k nguyên dương cộng với Do 1
1
n
v n u
r
a ab b a
Từ ta thu bất đẳng thức sau: 1 n
u u
n n
r
ab b a ab b a
Từ suy ra: u0 rn u0 1.
abnbna n abnbnan
Từ áp dụng nguyên lý kẹp ta có lim n n
r n ab
Cách 3: Dùng chức lim máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad +
9 cos
lim
2 10
x
x x so đáp án
Câu Cho dãy số xác định với Gọi tổng số hạng đàu
tiên dãy số Tìm
A C B D
Hƣớng dẫn giải Chọn B
Cách 1: Ta có Đặt
Khi đó: Vậy cấp số nhân có công
bội Gọi tổng số hạng
Ta có: Suy ra:
Vậy
Cách 2: Sử dụng MTCT Nhập vào hình: Bấm r, máy hỏi A? nhập , máy hỏi X? nhập , máy hỏi Y? Nhập , bấm = liên tiếp ta thấy giá trị A ngày tăng cao
(un) u13, 2un1un1 n1 Sn n (un) limSn
limSn limSn 1 limSn limSn 1
1
2un un 1
1
2
n n
u u
vn un1
1
1 1
1 1
2 2
n n n n n
v u u u v vn
1
q Tn n vn
1
1 n n
q
T v
q
1
2
1
2 n
v
1
2 n
v
Sn Tn n
1
2 n
v n
limSn
1
: :
2
A A X Y X X Y
(6)Trang |
Câu Cho dãy số xác định với Tìm
A B C D
Hƣớng dẫn giải Chọn C
Sử dụng MTCT
Dùng cách tìm dạng phân số số thập phân vơ hạn tuần hoàn ta
Vậy giới hạn dãy số trường hợp
Bổ sung: Cho dãy số xác định , , với ,
trong số thực cho trước, Người ta chứng minh
Câu Cho dãy số xác định với Tìm
A C B D
Hƣớng dẫn giải Chọn B
Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn Khi ta có:
Tuy nhiên đến ta khơng cịn để kết luận hay
Ta sử dụng MTCT tương tự tập thấy giới hạn dãy số Vậy chọn
Chọn B
Câu 10 Cho dãy số xác định với Khi
A B 0 C 1 D 2
Hƣớng dẫn giải Chọn C
Ta có
(un)
1 1, 2,
2
n n
n
u u
u u u n1 limun
2
5
4
1, 1, 66666667
3
5
un u1a u2 b
1
2
n n
n
u u
u n
,
a b ab lim
3 n
a b u
(un)
2
1
1 ,
4
n
n n
u
u u u n1 limun
1 lim
4 n
u lim
2 n
u limun 0 limun
L
2
L
LL 2L2 L
0
L L
0
L
2
L
0
9
1, 706192802.10
X Y X
(un) u11,un1un2n1 n1
1 lim n
n
u u
(7)Trang |
; ; ;
Dự đốn Khi Vậy
Suy
Nhận xét: Ở phải bấm phím = liên tiếp nhiều lần, chưa đủ lớn
chênh lệch xa nên giá trị xa so với
1
u u2 1 2.1 1 22 u3 222.2 9 32
n
u n un1un2n 1 n12
2
1 n
u n n
2
1
2
lim n lim
n
n u
u n
n
2
1
n n2
2
1
n n
(8)Trang | Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên
danh tiếng
I. Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.
II. Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III. Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia