Dùng phương pháp nhân lượng liên hợp trong phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ

Phương pháp nhân lượng liên hợp: Nhân liên hợp là một trong những phương pháp cơ bản thường dùng để giải quyết phương trình, mấu chốt của nó là đưa biểu thức ra khỏi căn để tạo nhân tử c

BÀN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG LƯỢNG LIÊN HỢP TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Lê Hoàng Trung 12T4 (2013-2014)

Thân tặng Huyền Thương!

Phương pháp nhân lượng liên hợp:

Nhân liên hợp là một trong những phương pháp cơ bản thường dùng để giải quyết phương trình, mấu chốt của nó là đưa biểu thức ra khỏi căn để tạo nhân tử chung !

1) Nhân liên hợp các căn thức với nhau:

VD1:

Theo kinh nghiệm của mình thì việc đầu tiên khi gặp một phương trình là dùng casio gán pt vào máy và solve để tìm nghiệm của nó Nhận thấy rằng x=-1 là nghiệm ta thực hiện động tác sau: thế x=-1 vào từng căn thức xem nó ra bao nhiêu!

Với x=-1 thì

OK! Với x=-1 thì hai căn bằng nhau, nhớ nhé, cái nào bằng nhau thì liên hợp được 

Lời giải:

ĐK:

Phương trình

Do thì

Vậy phương trình có nghiệm x=-1

VD2:

Vẫn cách cũ, tìm nghiêm x=-1 nhỉ, thay vào ta thấy

OK rồi Pt

Cái trong ngoặc luôn dương 

Lưu ý: không nhân liên hợp kiểu Bởi vì mẫu không thể xác định được dấu

Cho vài bài làm thử nhá:

VD3: GHPT

Lời giải: sau khi đã có kĩ năng về liên hợp ẩn x rồi thì khi gặp ẩn x,y ta cũng giải quyết được, tất nhiên là với một chút tinh ý Nhận thấy bên VP có 1 căn và 1 biểu thức, ta thử lấy từng biểu thức bên phải liên hợp với hai cái bên trái xem cặp nào tạo được NTC, NTC ở đây có lẽ là (x-y) nhỉ, à rồi, chúng ta đã tìm thấy nó

Bây giờ ta chỉ mong sao cho cụm trong ngoặc luôn dương, tức là

Thật vậy từ (2) ta có: , ta đi chứng minh

Thế vào (2) và giải tiếp nhé 

Bây giờ chúng ta hãy đến với một vài bài chứa căn bậc ba:

VD:

Vẫn như cách cũ

Dạng 2: Liên hợp căn với số

Phân tích nhé, ta nhẩm được nghiệm x=5, với x=5 thì hai căn không bằng nhau, vậy thì làm ntn? Bây h ta cũng thay x=5 vào các căn xem nó ra cái gì

 quen không nào? Vẫn cách cũ: cái gì bằng nhau thì liên hợp nó với nhau

Bởi vì thì phẩn trong ngoặc luôn dương !

VD:

Một vài bài tự luyện:

Đến đây chắc hẳn sẽ có bạn hỏi, nếu phương trình có 2 nghiệm hoặc nghiệm lẻ không nhẩm được thì sao? Câu trả lời nằm ngay đây :v

VD:

Đây là một cách máy móc của tôi 

Nhập vào caiso và solve ta thấy nghiệm x=0; solve với một giá trị khác của x (solve lần hai) ta được Lần lượt thế x=0 và vào căn xem nó ra gì nào? Đây là một phương pháp tổng quát:

Gọi ax+b là hạng tử cần đem liên hợp với căn thức (chỉ khi phương trình có hai nghiệm, thi đh nó chỉ ra có 2 nghiệm là cùng, tất nhiên là đối với pp nhân liên hợp !)

Giả sử x1;x2 là hai nghiệm của phương trình, ta giải hệ sau:

Suy ra hạng tử cần đem liên hợp với là

Tự giải tiếp nhé  chứng minh cái trong ngoặc vô nghiệm luôn xem nào!

Ta đến với một ví dụ hai nghiệm vô tỷ

VD:

Dùng solve ta được hai nghiệm của phương trình là x1=-0.6180339887…

Và x2=1.618033989… nên ta không thể áp dụng cách trên được Bây giờ ta thử tính x1+x2 và x1x2 xem nó ra cái gì! May quá: x1+x2=1 và x1x2=-1

Chứng tỏ x1; x2 là hai nghiệm của phương trình và đây cũng chính là nhân tử chung!

Để xuất hiện nhân tử chung thì

Với là một hằng số Đồng nhất hệ số ta được

Ta chọn a=4 là một số đẹp=>p=-1 ;q=2 (cặp này thỏa mãn)

Lời giải :

VD: THPT chuyên Bắc Ninh lần I (đề rất hay, các bạn tìm đề này mà giải nhé!)

Trong chuyên đề giải phương trình bằng liên hợp, mình sẽ cố lồng thêm các ví

dụ về hệ, bất phương trình trong đó có cả các phương pháp khác như: hàm số, đánh giá,… Hy vọng nó sẽ có ích 

Để ý phương trình (1) chút, vế trái chỉ có thật chướng mắt nhỉ, theo kinh nghiệm của mình thì khi một vế của phương trình chứa một phần tự chứng mắt thì tốt nhất là tiêu diệt nó đi -_-! Tiêu diệt nó bằng cách nào? Đúng rồi, nếu chia hai vế cho thì mất tiu rồi 

Vì y=0 không là nghiệm, giả sử y#0, chia hai vế (1) cho

Phương trình (1)

Hình như hai vế có dạng gì đó, đúng rồi, dạng hàm số 

Xét hàm số có f’(t)>0 (tự chứng minh nhé)

Có:

Thế vào (2) ta được

Dùng casio nhẩm được x=1 và x=2, theo cách như trên ta tìm được biểu thức nhân liên hợp với căn là x 

Xong!

Thêm một vài bài hệ liên hợp nữa: ;)

Gợi ý, xuất phát từ (1)

Xuất phát từ (2), phần cm vô nghiệm khá thú vị

VD:

3 Các bài toán khai thác lớp phương trình:

Trong đó h(x) là biểu thức liên hợp của f(x) hoặc g(x)

VD:

Pt(1) thường được các bạn tôi nói đùa là phương trình của năm! Bởi vì quá nhiều bài toán được sáng tác dựa trên phương trình này!

Xét hàm số

Mà f(x)=f(-y) nên x=-y

Tự giải tiếp nhé 

VD : Chuyên Lương Thế Vinh 2014

Vẫn ý tưởng cũ khi gặp loại này: xem coi 8 là liên hợp của f(x) hay g(x)

Không cái nào cả Nhưng 8=2.4, mà 4 là hiên hợp của g(x), nên ta thực hiện bước đầu tiên như sau:

Đến đây ta làm một công việc cũ mà tôi đã nói: nhẩm nghiệm Nghiệm x=2! Thế vào ta thấy

Ta thực hiện liên hợp!

Vậy: x=2!

Một bài dạng này:

Một ví dụ về liên hợp phá mẫu: một cách hay dùng khi gặp phương trình chứa căn ở mẫu!

VD:

Hẳn là các bạn đã biết ý tưởng của bài này rồi chứ :D

Dạng 4): Liên hợp ngược dấu (truy ngược dấu biểu thức liên hợp): đây là một trong những phương pháp rất hay trong nhân liên hợp, nó thật sự làm gọn bài toán bằng cách đơn giản hóa việc chứng minh phương trình còn lại sau khi nhân liên hợp là vô nghiệm!

VD

OK! Casio tìm được x=3, nếu làm theo cách liên hợp với số thì nó ra như thế này:

Phương trình còn lại trong ngoặc không thể xác định được nó có nghiệm hay không! Nếu làm theo kiểu này ta phải đánh giá để cm nó vô nghiệm

Sau đây là một cách làm cho phương trình còn lại vô nghiệm!

Rõ ràng là pt(2) vô nghiệm ! vì nó luôn >0 !

Ở ví dụ này ta thay đổi cách ghép bằng cách ghép Để biểu thức sau khi liên hợp có dấu không bị nghịch !

Tiếp nhé : VD :

Ví dụ này kết hợp 2 pp : liên hợp ngược dấu và liên hợp với biểu thức Nhẩm được phương trình có 2 nghiệm {0 ;1} ta dùng pp lên hợp với biểu thức cho căn thứ nhất và liên hợp ngược dấu cho căn thứ hai !

Lời giải :

Hay không, ai thấy phương pháp này hay không ^^

Vài bài tập về liên hợp ngược dấu :

Trên là một vài suy nghĩ của tôi về phương pháp liên hợp, mong rằng nó sẽ có ích cho các bạn, đó không phải là tất cả về phương pháp này ! Sự học là vô tận

‘’Đừng ngại học hỏi, bạn sẽ giỏi’’

Cảm ơn Huyền Thương, người ủng hộ tôi viết cái này, chúc cậu học tốt!