PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN hợp

PHƯƠNG TRÌNH Nhân lương liên hợp sau khi thêm bớt hằng số.. Các bước tiến hành thực hiện : - Tiến hành nhẩm nghiệm của phương trình - Trừ vào từng biểu thức phương trình đã cho giá trị n

PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP

LÂM VŨ CÔNG CHÍNH

(GV, THPT Nguyễn Du, Tp.HCM)

A B

A B

A B (với

2 2

A 0,B 0,A B 0)

3 3

2 2

3 3 3 3

A B

A B

A A B B (với

2 2

A B 0)

Tham khảo Chuyên đề “PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP TRONG GIẢI TOÁN”

của TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG

(xem trang 90, Tài liệu Tập huấn Nâng cao năng lực giảng dạy Toán Trung học Phổ thông)

4 PHƯƠNG TRÌNH

Nhân lương liên hợp sau khi thêm bớt hằng số

Các bước tiến hành thực hiện :

- Tiến hành nhẩm nghiệm của phương trình

- Trừ vào từng biểu thức phương trình đã cho giá trị nào mà nó nhận được khi thay nghiệm đó vào

VD1: Giải phương trình : 5x 6 2x 3 11 x (1)

Điều kiện : 6 x 11

5

Nhẩm được nghiệm x 2

Ta tiến hành

(1) 5x 6 4 2(2 x) 11 x 3

5x 10 2(2 x) 2 x

5x 6 4 11 x 3

(x 2) 5 1 2 0

5x 6 4 11 x 3

x 2 0

5 1 2 0 (*)

5x 6 4 11 x 3

Do 5 5

4

5x 6 4 và

1 1

3

11 x 3

Nên VT(*) 19 2

12 (*) VN

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : x 2

Nhân lương liên hợp sau khi thêm bớt biểu thức chứa x

VD2: Giải phương trình : x(x 1)(x 3) 3 4 x 1 x (2)

Điều kiện : 1 x 4

Nhẩm được nghiệm : x 0 và x 3

Ta tiến hành trục căn thức, nhưng lần này, nhiệm vụ của ta là trục 1 lần phải được cả 2 nghiệm

Ta phải trừ các biểu thức 4 x, 1 x cho một đại lượng sao cho khi trục ta nhóm được nhân tử

x(x 3)

4 x ta cần tìm đại lượng (ax b)

Tại x 3 nhận giá trị : 4 3 1 (3a b) 1

Tại x 0nhận giá trị : 4 0 2 0a b 2

Ta có :

b 2

1

a

3

Tức là ta cần nhóm 4 x 2 1x

3

Tương tự cho 1 x

Vậy ta tiến hành giải phương trình (2) như sau

Phương trình (2) x(x 1)(x 3) 4 x 2 1x 1 x 1x 1

3 3

2 2

x 3x x 3x

x(x 1)(x 3)

9 4 x 6 x 9 1 x x 3

1 1

x(x 3) x 1 0

9 4 x 6 x 9 1 x x 3

1 1

x 0 x 3 x 1 0

9 4 x 6 x 9 1 x x 3 (VN, do VT > 0)

Vậy phương trình có hai nghiệm x 0 x 3

Áp dụng

Thí dụ 1 Giải phương trình : 4x 1 3x 2 x 3

5

(Trích Đề thi tuyển sinh Học viện Bưu chính Viễn thông, năm 2001 )

Điều kiện : 4x 1 0

3x 2 0

2

x

3

Phương trình : 4x 1 3x 2 x 3

5

4x 1 3x 2 x 3

5

4x 1 3x 2

x 3 x 3

5

4x 1 3x 2

4x 1 3x 2 5 , vì x 2

3

7x 1 2 (4x 1)(3x 2) 25

2 (4x 1)(3x 2) 26 7x

2 2

2 x 26

3 7

4(12x 5x 2) 49x 364x 676

2

2 x 26

3 7

x 344x 684 0

x 2 (nhận) , x 342 (loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S {2}

Thí dụ 2 Giải phương trình : x 3 18 x 78

Điều kiện : x 78

Phương trình : x 183 x 78

3

x 27 x 78 9

2 x 3

(x 3)(x 3x 9)

x 78 9

2

x 3 (nhận) (1)

(x 3x 9)( x 78 9) 1 (2)

Ta cĩ : x2 3x 8 0, x  (vì 23 0)

Suy ra :x2 3x 9 1, x 

Mà : x 78 9 9, x 78

2

(x 3x 9)( x 78 9) 9, x 78 Vậy phương trình (2) vơ nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3

Thí dụ 3 Giải phương trình :

2

2 2x 3x 4

x 8

2x 1

Lời giải

Điều kiện : x 1

2

Xét : x2 8 3x 0 x 02

8x 8x 0 x 1 (loại) hay x 1

Thử x 1 vào phương trình , thấy khơng thỏa

Vậy x 8 3x 0

Phương trình :

2

2 2x 3x 4

x 8

2x 1

2

2 2x 3x 4

x 8 3x 3x

2x 1

2 2

2

8 8x 4 4x

2x 1

x 8 3x

2

2

1 x 0 (1)

x 8 3x 4x 2 (2)

(1) x 1 (nhận) , x 1(loại)

2

(2) x 8 7x 4 ( phương trình vơ nghiệm vì 7x 4 0, x 1

2 )

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1

 Bạn đọc cĩ thể giải phương trình bằng cách sau đây :

2

2 2x 3x 4

x 8

2x 1

2

2 1 8 2x 3x 4 1 8

x 8 – x – x

3 3 2x 1 3 3

Thí dụ 4 Giải hệ phương trình :

2

2

2

3

x 1

x 3y 1 4y

y

x 6 x y x y

Nhận xét : y 0

Phương trình

2

2 x 1

x 3y 1 4y

y

2 2

x 1 3y x 1 4 0

y y

2

x 1 1

y hay

2

x 1 4

y

Do đĩ : y x 12 Thế vào phương trình 3x 6 x y x2 y , ta được 3 x 6 x 1 x 12 (*)

Điều kiện : x 1

Phương trình (*) tương đương 3 x 6 2 x 1 1 (x2 4) 0

2

3 3

x 2 x 2 (x 4) 0

x 1 1

x 6 2 x 6 4

2

3 3

1 1

(x 2) (x 2) 0

x 1 1

x 6 2 x 6 4

Mà : 2

3 3

1 1

4

x 6 2 x 6 4 và

1 1

x 1 1 , với mọi x 1

Nên 2

3 3

1

x 6 2 x 6 4

1 (x 2) 1 1 2 0

4

x 1 1 , với mọi x 1

Suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất x 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x 2;y 3)

Thí dụ 5.Giải phương trình : 3x 1 6 x 3x 2 14x 8 0

( Trích Đề thi tuyển sinh Đại học , Khối B , năm 2010 )

Lời giải

Điều kiện : 1 x 6

3

Phương trình 3x 1 6 x 3x 14x 8 02

2

3x 1 4 1 6 x 3x 14x 5 0

3(x 5) x 5 (x 5)(3x 1) 0

3x 1 4 1 6 x

x 5

3 1 (3x 1) 0

3x 1 4 1 6 x

Nhận xét : 3 1 (3x 1) 0 , x 1;6

3

3x 1 4 1 6 x

Vậy x 5 là nghiệm duy nhất của phương trình

Thí dụ 6.Giải hệ phương trình :

2 2

2 2

2x y 3xy 3x 2y 1 0 (1)

4x y x 4 2x y x 4y (2)

( Trích Đề thi tuyển sinh Đại học , Khối B , năm 2013 )

Lời giải

Điều kiện : 2x y 0 và x 4y 0

Phương trình (1) 2x2 3(y 1)x y2 2y 1 0 (*)

Xét phương trình bậc hai theo x, ta có:



2 2 2 2

9(y 1) 8(y 2y 1) y 2y 1 (y 1) 0, y

Vậy phương trình (*) có nghiệm là

y 1

x

2

x y 1

Do đó : y 2x 1 hoặc y x 1

TH1 : Với y 2x 1

Thế vào (2) ta được :3 3x 4x 1 9x 4

3x 4x 1 1 9x 4 2 0

4x 9x

3x 0

4x 1 1 9x 4 2

4 9

x 3 0

4x 1 1 9x 4 2

x 0 hay 3 4 9 0

4x 1 1 9x 4 2 (Vô nghiệm)

Khi đó ta có được nghiệm (x;y) là (0;1)

TH2 : Với y x 1

Thế vào (2) ta được : 3x x 32 3x 1 5x 4

2

3 x x x 1 3x 1 x 2 5x 4 0

2 2

2 x x x x

3(x x) 0

3x 1 x 1 5x 4 x 2

2 1 1

(x x) 3 0

3x 1 x 1 5x 4 x 2

2

x x 0 hay 3 1 1 0

3x 1 x 1 5x 4 x 2 (Vô nghiệm)

x 0 hoặc x 1

Khi đó ta có được nghiệm (x;y) là (0;1) và (1;2)

So điều kiện , ta được nghiệm (x;y) của hệ phương trình là (0;1) và (1;2)

 Nhiều thí sinh giải phương trình 3x x 32 3x 1 5x 4 như sau:

3x x 32 3x 1 5x 4

2

3x x 3x 1 1 5x 4 2

3x 5x

x(3x 1)

3x 1 1 5x 4 2

x 0

3 5

3x 1 (*)

3x 1 1 5x 4 2

Đặt : f(x) 3x 1 và g(x) 3 5

3x 1 1 5x 4 2 , xét trên khoảng

1

D ;

3

Vì hàm số f(x) đồng biến trên D và hàm số g(x) nghịch biến trên D

Nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất x 1

Lời bình : Việc nhân lượng liên hợp không giúp ta làm mất dấu căn của phương trình, nhưng giúp ta có

được nhân tử (x x )0 , (trong đó x0 là nghiệm của phương trình) Tuy nhiên, sau đó ta phải giải một

phương trình “con” đôi khi không đơn giản Thông thường thì ta sẽ chứng minh phương trình “con” đó

vô nghiệm Khi thực hiện nhân lượng liên hợp , bạn đọc cần chú ý đến điều kiện của lượng liên hợp

Một lưu ý nữa, nếu phương trình ban đầu có một nghiệm, thì ta thêm bớt các biểu thức chứa căn cho một

hằng số, như trong các Thí dụ 1, Thí dụ 2 Nhưng nếu phương trình ban đầu có nhiều hơn một nghiệm,

thì ta có thể thêm bớt các biểu thức chứa căn cho một biểu thức chứa x, như trong các Thí dụ 3, Thí dụ 4

Bài tập tự luyện

Giải phương trình : 2x x 6 3 x 2 6

Đáp số : S 3;11 3 5

2

Giải phương trình : 2x2 x 9 2x2 x 1 x 4

Đáp số : S 0;8

7

Giải phương trình : x x x 1 x2 x 1

Đáp số : S 0;1

Giải phương trình : 3 x 6 x 1 x 12

Đáp số : S 2

Nhân lương liên hợp sau khi thêm bớt biểu thức chứa x, để được nhân tử (x x ) 0 2

Thí dụ 7: Tính giới hạn sau :

3

2

x 0

1 2x 1 3x

lim

x

Ta có :

3

2

x 0

1 2x 1 3x

lim

x

3

2

x 0

1 2x (x 1) (x 1) 1 3x

lim

x

2 3

2 2 3 3 2

x 0

1 1 2x (x 1) (x 1) (1 3x)

lim

x 1 2x (x 1) (x 1) (x 1) 1 3x ( 1 3x)

2 3 2

2 2 3 3 2

x 0

1 x x 3x

lim

x 1 2x (x 1) (x 1) (x 1) 1 3x ( 1 3x)

2 3 3 2

x 0

1 x 3

lim

1 2x (x 1) (x 1) (x 1) 1 3x ( 1 3x)

1 1 1

2 2

Lời bình : Ta dùng công thức khai triển Taylor làm cơ sở cho việc thêm (bớt) lượng liên hiệp cho một

biểu thức chứa x, để sau quá trình biến đổi, ta được nhân tử chung là 2

0

(x x ) , (trong đó x0 là nghiệm

của phương trình)

Định lý : « Cho n là số nguyên dương và f là hàm khả vi liên tục đến cấp n trên khoảng đóng a x, và

khả vi đến cấp n 1 trên khoảng mở ( , )a x thì

( )

0

0

0

( )

( ) ( ( )) ( )

!

n

n

n

n

f x

f x x x R x

n , với (0)

0 0

( ) ( )

f x f x ,

( )

n

R x được gọi là phần dư bậc n

Tức là, 0 0 2 ( ) 0

0 0 0 0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )

1! 2! !

n

n

n

f x f x f x

f x f x x x x x x x R x

n »

Đặt f x( ) 1 2x , suy ra ( ) 1

1 2

f x

x

Gọi ( ) (0) (0)( 0) 1

1!

f

g x f x x

Khi đó :

(3) ( )

2 3

(0) (0) (0)

( ) ( ) ( 0) ( 0) ( 0)

2! 3! !

n

n

f f f

f x g x x x x

n

Ta được :

(3) ( )

2 (0) (0) (0) 2

( ) ( ) ( 0) ( 0) ( 0)

2! 3! !

n

n

f f f

f x g x x x x

n

Như đã tính toán ở trên, ta thấy rằng :

2

x

1 2x (x 1)

1 2x (x 1) và

2

3

2 3 3 2

x (x 3)

(x 1) 1 3x

(x 1) (x 1) 1 3x ( 1 3x)

Thí dụ 8 Giải phương trình :

3 3 2

2x 6 x x 3x 3

Lời giải

Phương trình tương đương : 3 2 3

2x 6 x x 3x 3

3 2 2 2 2 3

2x 6 x 3x 3 x 3x 3 3x 3 (x x 3x 3) x

3 2

2

2

2 9 9 6

3 3 (1)

4 3 3

x x x

x x

x x

Xét phương trình : 2 1 3

3 3 0

2 2

x x x

2

2

1 3

0

2 2

1 3

3 3

2 2

x

x x x

2

3

3 3 3

0

4 2 4

x

x x

3

1

x

x (vô lý)

Do vậy : 2 3 3 1 3 0

2 2

x x x

Phương trình (1)

3 2

2

2

2 9 9 6 1 3 1 3

3 3

2 2 2 2

4 3 3

x x x

x x x x

x x

2 2

2

2

3 3

( 1) ( 1)

2 4

1 3

4 3 3 3 3

2 2

x x

x x x x x

2 2

1

1 3

2 3 3 4 3 3 (2)

2 2

x

x x x x x

Phương trình (2) 2 2

2 x 3x 3 x 3 4x 3x 3

2 2

3 3 2

x x x x

2

4 3

2 0

4 4 3 3 0

x x

x x x

2

3

2 0

( 1)(4 3) 0

x x

x x

3 3

1 hay

4

x x

Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là 3 3

1 hay

4

x x