Giải phương trình bằng phương pháp hàm số rất hay

Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Ôn thi TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015) Biên soạn: Huỳnh Chí Hào - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 2 y  12 y  25 y  18   x  9 x   Bài 1: Giải hệ phương trình   x   3x 14 x    y  y  (1) (2) (Thi thử THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa) Bài giải   x  ♥ Điều kiện:  (*)  6  y  y  ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v  ) ♦ y  12 y  25 y  18   x  9 x    y  2   y  2    x4  x4 (3) [Tại ?] ♦ Xét hàm đặc trưng f t   2t  t  ta có: f ' t   6t   0, t    f  t  đồng biến  Nên: 3  f  y  2  f   y  2  y  2 x   y   x       y  2  x   x  y  y   (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn 3x    x  x 14 x   (5) ♦ Phương trình (5) có nghiệm x  nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp 5   3x   4    x 1  3x 14 x    3 x  5 3x 1   x5   x  53 x  1   x 1 (Tách thành biểu thức liên hợp) (Nhân liên hợp)       x  5    3 x  1   x  3x 1   x 1       0  ♦ Với x   y  (thỏa điều kiện (*)) ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   5;1  Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Tìm điều kiện cho biến x, y hệ phương trình (nếu có) Bước 2: Tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y phương pháp hàm số + Biến đổi phương trình hệ dạng f(u) = f(v) (u, v biểu thức chứa x,y) + Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây hệ thức đơn giản chứa x, y) Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm vào phương trình lại hệ để phương trình ẩn Bước 4: Giải phương trình ẩn (cần ôn tập tốt phương pháp giải phương trình ẩn)  x3  y  17 x  32 y  x  y  24 Bài 2: Giải hệ phương trình    y  2 x    x  9 y  x   x  y   (1) (2) (Thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bài giải  x  4 ♥ Điều kiện:  (*) 2 y  x   ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v  ) ♦ x  y  17 x  32 y  x  y  24  x  x  17 x 18  y  y  32 y  42   x  2   x  2   y  2   y  2 3 [Tại ?] (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t   t  5t  ta có: f ' t   3t   0, t    f  t  đồng biến  Nên: 3  f  x  2  f  y  3  x   y   y  x 1 (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn  x  3 x    x  9 x 11  x  x 10 (5) ♦ Phương trình (5) có nghiệm x  nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp 5   x  3 x   3   x  9 x 11  4  x  x  35 (Tách thành biểu thức liên hợp)   x  3 x 5 x5   x  9   x  5 x  7 (Nhân liên hợp) x  3 x  11   x3  x9   x  5     x     x4 3  x  11    Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp x5     x3 x9     x  7   x   x  11  (6) ♦ Chứng minh (6) vô nghiệm  6  x 3 x 4 3  x5 x9 x 9   0 2 x 11  [Tại ?]   1 1   x  5     x  9    : phương trình VN  x     x  11   x      0 0 0 ♦ Với x   y  (thỏa điều kiện (*)) ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   5;6  BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải hệ phương trình  x3  y  x  x  y  1)   x  y  x  y 10  y   x  y  53  x  10  x  5 y  48  y  2)   x  y   x  x  66  2 x  y  11   2012  x  x  6 y  2009  y   3)  2 x  y  14 x 18 y  x  x 13   x  x  y y 1   4)    x  x  x 1  x  y 13 1  Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp  x   x   y   y Bài 3: Giải hệ phương trình    x  x  y  2  y  y    (1) (2) (Phạm Trọng Thư GV THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp – THTT số 2) Bài giải ♥ Điều kiện: x  (*) ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y ♦ x   x   y4   y  x    x  2   y  y  (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t   t  t  khoảng 0; f liên tục 0; f ' t    Do 2t t4   0, t  0;    f  t  đồng biến 0; x   y   x  y  2  y  nên 3  f  x    f  y   x   y  x  y  (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn y 0 y   y  y   y  y  y  y  4     y  y4  y    (5) ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số Xét hàm số g  y   y  y  y  khoảng 0; Do g liên tục 0; g' y   y  y   0, y   0;   g  y  đồng biến 0; Nên: 5  g  y   g 1  y  ♣ Với y   x  [thỏa (*)] ♣ Với y   x  [thỏa (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y   2; 0 3;1  Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp  x 1 0  x  3x  y  y  y   ln y 1  y  log  x  3  log y   x     Bài 4: Giải hệ phương trình:  1 2 (Thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bài giải  x 1  y 1   x  ♥ Điều kiện:  x     y  y    (*) ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y ♦ 1   x  13   x  12  ln  x  1   y  13   y  12  ln  x  1 (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f  t   t  3t  ln t khoảng  0;   f   t   3t  6t   t   f  t  đồng biến khoảng  0;   t Do x 1  y   nên  3  f  x  1  f  y  1  x   y   y  x  (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn  x   log  x  3  log3  x    x  (5) ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số 5  log  x  3  log3  x    x 1 x 1  log  x  3  log3  x     6 x2 x2 ♣ Xét hàm số g  x   log  x  3  log  x    g x  1    x   x  3 ln  x   ln  x  2  g  x  đồng biến khoảng Nên x 1 khoảng  3;   x2  3;   4 y 3    g  x   g  5  x   ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    5;3   [thỏa mãn (*)] Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp  3 x  3y    y  x  y  xy  x   Bài 5: Giải hệ phương trình:   x  y  13 3y  14  x       1 2 (Thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bài giải  x  1 x 1    14 y  14    y   * ♥ Điều kiện:  ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y 3 ♦ 1   x  1  3 x  1   y  1  3 y  1 (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f  t   t  3t , t   f   t   3t   0, t    f  t  đồng biến  Do x   y 1  nên  3  f  x  1  f  y  1  x   y   x   y (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn  x  11   5  3x   x   ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số Ta nhận thấy x  11 không nghiệm phương trình   nên  5  3x   x    x  11  6 Xét hàm số g  x   3x   x   g  x  3x    11   11  , x   ;    ;   x  11 3    x 1  10  x  11  x   3x   10  3x  8 x  1  x  11  11   11   x   ;  &  ;   3     11   11   g  x  đồng biến khoảng  ;  &  ;   3     11   11  ♣ Trên khoảng  ;  g  x  đồng biến,   ;  , g  3  nên 3  3  6   11   4 g  x   g  3  x   y  [thoả mãn (*)]  11  ♣ Trên khoảng  ;   g  x  đồng biến,   ;   , g 8   nên 2  2   4 y  10 [thoả mãn (*)] 6  g  x   g 8   x   ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x, y    3;5  ,  x, y    8;10   Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải hệ phương trình  x  1 x   y  3  y   1)  4 x  y   x    x3  y  y  y  x  2)    x  y  x  y 19  105  y  xy   x   y    3)   2 2 x 13  x    y  3 y   Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp 2 y  y  x 1 x  1 x Bài 6: Giải hệ phương trình     y  x  y   (1) (2) (Thi thử THPT Trần Phú – Thanh Hóa) Bài giải  x   ♥ Điều kiện:  (*)   y   2 ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v  ) ♦ y  y  x 1 x  1 x  y  y  1 x  x 1 x  1 x  y  y  21 x 1 x  1 x (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t   2t  t  ta có: f ' t   6t   0, t    f đồng biến   y   y   x 3  f  y   f  1 x   y  1 x   Nên: (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn x   x  x 1 (5) ♦ Giải phương trình (5) phương pháp đặt ẩn phụ chuyển hệ đối xứng loại II  Phương trình (5) viết lại thành:  x  3  x  11 Điều kiện Đặt  3 x   2t  t   , ta hệ phương trình:  2  x  32  4t     2t  32  x   (6) (7)  Trừ theo vế (6) (7) ta được:  x  t  3 x  t   4t  x   x  t  x  t  2  + Khi x  t , thay vào (7) ta được: x 12 x   x   x  x 1   x   So với điều kiện x t ta chọn x   [không thỏa mãn (*)] + Khi x  t    t   x , thay vào (7) ta được: [Tại ?] Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp 1 x   x   x  x 1   x   (loại) So với điều kiện x t ta chọn x   ♦ Với x  1  y   [thỏa mãn (*)]     ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y  1 2;  1 2;  2 x  x  3x 1  x 2  y   y  Bài 7: Giải hệ phương trình   x   14  x  y +1  (1) (2) (Thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng) Bài giải   y  ♥ Điều kiện:    x  2 (*) ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v ) ♦ Do x  không thỏa hệ nên ta có: x 1      22  y   y x x     1   1   3  y   y   y  x   x   (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t   t  t  ta có: f ' t   3t   0, t    f đồng biến  Nên:  1 3  f 1   f   y   1   y  x x (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn x   15  x  (5) ♦ Phương trình (5) có nghiệm x  nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp 5  x     15  x        1    x  7  2  x    3  x  15  x  15       0   x7  Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp ♦ Với x   y  111 98 [thỏa mãn (*)]  111 ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y  7;   98  3x    x  y   y  y + x 1 Bài 8: Giải hệ phương trình    y   x  y   y  (1) (2) (Thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng) Bài giải  x  1  ♥ Điều kiện:   y   (*) ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v ) ♦ Ta có y 1  y   y  x 1 x 1  x 1 (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t   t   3t 0; ta có: t  2t 1t 1 f ' t   t2  0, t  0;   f đồng biến 0; 3  f  y   f  x 1  y  x   x  y 1 Nên: (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn y 1  y  y   y  (5) ♦ Phương trình (5) có hai nghiệm y  y  nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp Định hướng biến đổi dạng  y  2 y  3.h  x  hay  y  y  6.h  x  5   y    y  2  y  y    y  1  y2 5 y  9y2  y 2   y 1 y  y  6  y 1   y 1 y  y    y  y   3 2 0       y 1      y  y  6  2   y   y  2  y 1   y 1 y  y   y  y       0   Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp y   y2  y      y  ♦ Với y   x  [thỏa mãn (*)] ♦ Với y   x  [thỏa mãn (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y  3; 2 ; 8;3   x  y  y   x  1 y    Bài 9: Giải hệ phương trình:   3x   y  x  y2  1 2 Bài giải  x   ♥ Điều kiện:  y   x  y  12    * ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y ♦ 1   y  x  1   y  x  (3) ♥ Thế (3) vào (2) để phương trình ẩn 3x   x   x  11 5 ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số  5  3x   x    x  11 6 Xét hàm số f  x   3x   x   f ' x    11   11  , x   ;    ;   x  11 3    10 x   3x  10  11   11       x   ;  &  ;   2 2 x  x   x  11      x   x  1  x  11  11   11   f  x  đồng biến khoảng  ;  &  ;   2      11   11  ♣ Trên khoảng  ;  f  x  đồng biến,   ;  , f    nên 3  3  6   11   4 f  x   f  3  x   y  [thoả mãn (*)]  11  ♣ Trên khoảng  ;   f  x  đồng biến,   ;   , f    nên 2  2  6   4 f  x   f  8  x   y  [thoả mãn (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x, y    3;5  ,  x, y    8;10   Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp XEM THÊM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DẠNG TRÊN CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG n  ax  b  p n a ' x  b '  qx  r ( x ẩn số; p, q, r , a, b, a ', b ' số; paa '  ; n  2;3 Dạng thường gặp:  ax  b  p a ' x  b '  qx  r Phương pháp giải Đặt ẩn phụ: + Đặt n a ' x  b '  ay  b pa '  + Đặt n a ' x  b '   ay  b pa '  Bài toán dẫn đến giải hệ phương trình hai ẩn x y : h( x)  Ay  Bx  C (*)  h( y)   A ' B x  C '  (*) thường hệ đối xứng loại x y Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa phương trình bậc bốn Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình x 15  32 x  32 x  20 (1) Lời giải  Điều kiện: x 15   x  15  Phương trình (1) viết lại thành: 4 x  2  x  15  28 Đặt  1 x  15  y   y    , ta hệ phương trình:  2  y  22  x  15    x  22  y  15   Trừ theo vế (2) (3) ta được: (2) (3) Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp  y  x  44 y  x    x  y    x  y  1  8 x  y 1  + Khi x  y , thay vào (3) ta được:  x    x  2  x 15  16 x 14 x 11    11  x    So với điều kiện x y ta chọn x  + Khi   x  y  1   y  x  , thay vào (3) ta được:  x  2  2 x  15  64 x  72 x  35   x  So với điều kiện x y ta chọn x  9  221 16 9  221 16  9  221     Tập nghiệm (1) S    ;   16   Ví dụ 2: Giải phương trình x  x    13 x (1) Lời giải  Điều kiện: x    x    Phương trình (1) viết lại thành: Đặt  x  3   3x 1  x   3 x    y  3  y   , ta hệ phương trình:  2  x  32  y  x     y  32  x   (2) (3)  Trừ theo vế (2) (3) ta được: 2 x  y  6 x  y   y  x   x  y  x  y  5  + Khi x  y , thay vào (3) ta được: x 12 x   x   x 15 x    x  So với điều kiện x y ta chọn x  15  97 15  97 Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp + Khi x  y    y   x , thay vào (3) ta được:   x  3x 1  x 11x    x  So với điều kiện x y ta chọn x  11  73 11  73 11  73 15  97   Tập nghiệm (1) S   ;      8   Một số toán tự luyện Giải phương trình 1) x   x2  x 4) x  14 x  11  x  10 2) x  x   x  3) x 1  x  3x 1  5) x  12 x   x  7) 6) x  x   x  -Hết [...]... hệ phương trình có hai nghiệm  x, y    3;5  ,  x, y    8;10   Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp XEM THÊM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DẠNG TRÊN CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG n  ax  b  p n a ' x  b '  qx  r ( x là ẩn số; p, q, r , a, b, a ', b ' là các hằng số; paa '  0 ; n  2;3 Dạng thường gặp:  ax  b  p a ' x  b '  qx  r 2 1 Phương. .. Phương pháp giải Đặt ẩn phụ: + Đặt n a ' x  b '  ay  b nếu pa '  0 + Đặt n a ' x  b '   ay  b nếu pa '  0 Bài toán dẫn đến giải hệ phương trình hai ẩn đối với x và y : h( x)  Ay  Bx  C (*)  h( y)   A ' B x  C '  (*) thường là hệ đối xứng loại 2 đối với x và y Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa về phương trình bậc bốn 2 Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình. .. (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y  là 3; 2 ; 8;3   x 2  y 2  y   2 x  1 y  2   Bài 9: Giải hệ phương trình:  5  3x  8  y  x  y2  1 2 Bài giải 8  x  3  ♥ Điều kiện:  y  0  x  y  12  0   * ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y 2 ♦ 1   y  x  1  0  y  x  1 (3) ♥ Thế (3) vào (2) để được phương trình một ẩn 3x... thức liên hệ đơn giản của x và y 2 ♦ 1   y  x  1  0  y  x  1 (3) ♥ Thế (3) vào (2) để được phương trình một ẩn 3x  8  x  1  5 2 x  11 5 ♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số  5  3x  8  x  1  5  0 2 x  11 6 Xét hàm số f  x   3x  8  x  1  f ' x   5  8 11   11  , x   ;    ;   2 x  11 3 2   2  3 1 10 3 x  1  3x  8 10  8 11   11    ...  221 16  1 9  221     Tập nghiệm của (1) là S    ;  2  16   Ví dụ 2: Giải phương trình 4 x 2  3 x  1  5  13 x (1) Lời giải  Điều kiện: 3 x  1  0  x   1 3  Phương trình (1) viết lại thành: Đặt 2  2 x  3   3x 1  x  4  3 3 x  1   2 y  3  y   , ta được hệ phương trình:  2  2 x  32  2 y  x  1    2 y  32  3 x  1  (2) (3)  Trừ theo... lũy thừa để đưa về phương trình bậc bốn 2 Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình 2 x 15  32 x 2  32 x  20 (1) Lời giải  Điều kiện: 2 x 15  0  x  15 2  Phương trình (1) viết lại thành: 2 4 x  2  2 x  15  28 2 Đặt  1 2 x  15  4 y  2  y    , ta được hệ phương trình:  2  4 y  22  2 x  15    4 x  22  2 y  15   Trừ theo từng vế của (2) và (3) ta được: (2)... 2 x  3x 1  4 x 2 11x  3  0  x  2 So với điều kiện của x và y ta chọn x  11  73 8 11  73 8 11  73 15  97   Tập nghiệm của (1) là S   ;      8 8   3 Một số bài toán tự luyện Giải các phương trình 1) x  6  x2  4 x 4) 4 x 2  14 x  11  4 6 x  10 2) x 2  4 x  3  x  5 3) 2 x 1  x 2  3x 1  0 5) 9 x 2  12 x  2  3 x  8 7) 6) 9 x 2  6 x  5  3 x  5 ... y  6 x  y   2 y  2 x   x  y  2 x  2 y  5  0 + Khi x  y , thay vào (3) ta được: 4 x 2 12 x  9  3 x  1  4 x 2 15 x  8  0  x  So với điều kiện của x và y ta chọn x  15  97 8 15  97 8 Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp + Khi 2 x  2 y  5  0  2 y  5  2 x , thay vào (3) ta được:  2  2 x  3x 1  4 x 2 11x  3  0  x  2 So với... Đồng Tháp  4 y  4 x  44 y  4 x   2  x  y    x  y  1  8 x  y 1  0 + Khi x  y , thay vào (3) ta được:  1 x  2  2  4 x  2  2 x 15  16 x 2 14 x 11  0   11  x    8 So với điều kiện của x và y ta chọn x  1 2 9 + Khi 1  8  x  y  1  0  y  x  , thay vào (3) ta được: 8 9 4 2  4 x  2  2 x  15  64 x 2  72 x  35  0  x  So với điều kiện của