30 BÀI TOÁN TÍCH PHÂN Bài Tìm nguyên hàm 6x + 8x + I= dx (3x + 4) x + Lời giải: Ta có 6x + 8x + 1 = 2x + 2 3x + 3x + =⇒ I = 2x Tính I = Đặt x2 + 2x + 1 3x + x2 + dx = x2 + 1 dx + (3x + 4) x + dx dx x + = t , x + = t , 2t dt = 2x dx =⇒ I = Tính I = 2x t dt = 2t = t x2 + dx (3x + 4) x + x2 + 4t − 1 Đặt t = , xt = x + 1, x t = x + 1, x = , 3x + = x t −1 t −1 t dt dx t dt dx dt x dx = − , =− , = 2 2 (t − 1) xt (t − 1) x t x2 + 1 − t t − dt dt 1 1 2t + 1 x + + x I2 = = = − d t = ln = ln 4t − 1 − t − 4t 2 2t + 2t − 2t − x + − x x2 + + x Vậy I = x + + ln +C x2 + − x Bài Tìm nguyên hàm I= cos2 x sin x + cos x dx Lời giải: Dùng pp hệ số bất định cos2 x = (a sin x + b cos x)(sin x + cos x) + c(sin2 x + cos2 x) cos2 x = −1 −1 sin x + cos x (sin x + cos x) + = (sin x − cos x)(sin x + cos x) + 4 4 −1 (sin x − cos x)(sin x + cos x) + 14 dx sin x + cos x −1 1 = (sin x − cos x) dx + dx 4 sin x + cos x 1 = (cos x + sin x) + dx 4 sin x + cos x cos(x − π6 ) dx dx Ta tính J = = = dx sin x + cos x cos(x − π6 ) − sin2 (x − π6 ) Đặt t = sin(x − π6 ) =⇒ dt = cos(x − π6 ) dx sin(x − π6 ) + 1 dt 1 t +1 1 =⇒ J = − d t = ln = ln = − t 16 t +1 t −1 16 t − 16 sin(x − π6 ) − sin(x − π6 ) + 1 ln +C Vậy I = (cos x + sin x) + 16 sin(x − π6 ) − I= Bài Tìm nguyên hàm I= Lời giải: x3 + x2 4x + dx x3 + x2 I= = 20 4x + x4 + x3 dx = 4x + 5x 4 − 14 4x + 5x dx d(4x + 5x ) = 15 (4x + 5x )3 +C Bài Tìm nguyên hàm I= Lời giải: Ta có cos 2x + cos x + π e sin x+cos x+1 dx cos 2x + cos x + π4 = (cos x − sin x)(sin x + cos x + 1) I= (cos x − sin x)(sin x + cos x + 1)e sin x+cos x+1 dx = (sin x + cos x + 1)e sin x+cos x+1 d (sin x + cos x + 1) = (sin x + cos x + 1) d e sin x+cos x+1 =(sin x + cos x + 1)e sin x+cos x+1 − e sin x+cos x+1 d (sin x + cos x + 1) =(sin x + cos x + 1)e sin x+cos x+1 − e sin x+cos x+1 +C =(sin x + cos x)e sin x+cos x+1 +C Bài Tìm nguyên hàm I= 3x − x dx Lời giải: 3 −9t dt 3x − x =⇒ x = =⇒ 2x dx = x t +1 (t + 1)2 3 3x − x −9 t dt 3t I= = 2x dx = td = − 3 x (t + 1) t +1 2(t + 1) d(t + 1) dt = = (ln 3(1 − t ) − ln 3t + ln(1 + t )) Tính J = t3 +1 (t + 1)[(t + 1)2 − 3(t + 1) + 3] 3 3 3x − x 3x − x 3x − x Vậy I = x 3x − x − ln − − ln + ln + +C x x x Đặt t = dt t3 +1 Bài Tìm nguyên hàm I= x + 4x + 6x + 7x + dx Lời giải: Tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ nên đa thức mẫu nhận x = −1 làm nghiệm dx (x + 1)3 + − (x + 1)3 dx (x + 1)2 I= = d x = − dx 3 (x + 1)[(x + 1) + 3] (x + 1)[(x + 1) + 3] x +1 1 d((x + 1)3 ) 1 = ln |x + 1| − = ln |x + 1| − ln |(x + 1)3 + 3| +C 3 (x + 1)3 + 3 (x + 1) + Bài Tính tích phân I= x ln x + + x x + + x2 dx Lời giải: Đặt u = ln(x + x + 1), 1+ Suy du = x dv = x dx x + x2 + = x( x + − x) dx dx 1 x2 + dx = , v= (1 + x ) d(1 + x ) − x dx = [(1 + x ) − x ] 2 x + x +1 x +1 1 1 dx 32 I = [(1 + x ) − x ] ln(x + + x ) − [(1 + x ) − x ] 3 0 + x2 Mà J= dx x 3d x dx − + x2 = arctan x − (x − 2) x + + x2 + x2 1 1 1 I = [(1 + x ) − x ] ln(x + + x ) − arctan x + (x − 2) x + 3 0 π 1 + (2 + 2) I = ( − 1) ln(1 + 2) − 12 [(1 + x ) − x ] Nên Vậy = Bài Tính tích phân I= x ln 1+x dx 1−x Lời giải: Với u = ln 1+x , 1−x dv = x dx dx, v = x2 1−x 2 1−x −1 x2 d x = ln + dx − x2 − x2 nên du = 1+x I = x ln 1−x − 0 1 = ln + − 2 Bài π Tính tích phân Lời giải: I= π I= e −x cos 2x dx = − = e −π + + π 1 1 1+x + dx = ln + − ln 1+x 1−x 2 1−x π 0 = − ln e −x cos 2x dx π cos 2x d(e −x ) = −e −x cos 2x sin 2x d(e −x ) = e −π + + 2e −x sin 2x π 0 π −2 −4 e −x sin 2x dx π e −x cos 2x dx = −π (e + 1) Bài 10 Tính tích phân I= x + 2x x2 + dx Lời giải: I= x(x + 2x ) x2 + I = (x + 2x ) Tính dx = x2 + =4 ( x + 1)4 d( I = (x + 2x ) Nên (x + 2x ) d( 3 x + d(x + 2x ) = J= − x + 1) x + d(x + 2x ) 4x(x + 1) x(x + 1)2 x + dx = 4 x + 1) = (x + 1)2 x + x2 + − (x + 1)2 x + x2 + Bài 11 e Tính tích phân I= 1 + x ln x dx x + x ln x Lời giải: e I= 1 + x ln x dx = x + x ln x e = e dx − d e 1 + ln x x2 dx = + ln x x e 1 + ln x x dx + + ln x x + ln x e x = x − ln + ln x x + ln x x e e = e − − ln 1 − x x dx + ln x x +1 e dx Bài 12 Tìm nguyên hàm Lời giải: Đặt I= 2(1 + ln x) + x ln x(1 + ln x) dx + x ln x u = + x ln x =⇒ du = (1 + ln x) dx (2 + x ln x)(1 + ln x) u +1 dx = du = u + ln |u| +C = + x ln x + ln |1 + x ln x| +C + x ln x u I= Bài 13 Tính tích phân I= π Lời giải: x (x sin 2x + 1) − (x − 1) sin 2x dx cos x(x sin x + cos x) π 4 2x sin 2x + 2x − 2x sin x + sin 2x x sin 2x + x − (x − 1) sin 2x d x = dx x sin x cos x + cos2 x x sin 2x + cos 2x + π 2 2x (x sin 2x + cos 2x + 1) − (x sin 2x + cos 2x + 1) = dx x sin 2x + cos 2x + π π 4 d(x sin 2x + cos 2x + 1) = 2x dx − x sin 2x + cos 2x + 0 π π π3 π2 − ln |x sin 2x + cos 2x + 1| = = x + ln − ln +1 96 16 0 I= Bài 14 Tìm nguyên hàm I= (x + 1) + (x + x ln x + 2) ln x dx + x ln x Lời giải: I= = (x + ln x) + x ln x(x + ln x) + (1 + ln x) (x + ln x)(1 + x ln x) + (1 + ln x) dx = dx + x ln x + x ln x d(1 + x ln x) (x + ln x) dx + = x + x ln x − x + ln |1 + x ln x| +C + x ln x Bài 15 Tìm nguyên hàm I= x (x sin2 x + sin 2x + cos x) + sin x(2x − − sin x) + dx x sin x + cos x Lời giải: Vì x (x sin2 x + sin 2x + cos x) + sin x(2x − − sin x) + = (x sin x + cos x)2 + (x sin x + cos x) d(x sin x + cos x) I = (x sin x + cos x) dx + = x sin x dx + sin x + ln |x sin x + cos x| x sin x + cos x Tính J = x sin x dx = − x d(cos x) = −x cos x + J = −x cos x + 2x sin x − x cos x dx = −x cos x + x d(sin x) sin x dx = −x cos x + 2x sin x + cos x I = −x cos x + 2x sin x + cos x + sin x + ln |x sin x + cos x| +C Vậy Bài 16 Tìm nguyên hàm I = x(x + 2)(3 sin x − sin3 x) + cos x(cos x − sin x) + 3x cos 3x − e x dx Lời giải: x(x + 2)(3 sin x − sin3 x) + cos x(cos x − sin x) + 3x cos 3x − e x = x sin 3x + (x sin 3x) + cos 2x + (cos 2x) e x =⇒ I = (x sin 3x + cos 2x)e x Bài 17 Tìm nguyên hàm I= Lời giải: 2x ln2 x + x ln x(x + 1) + x − x12 + x ln x dx 2x ln2 x + x ln x + x ln x + x − 2[(x ln x) − 1] + x (x ln x + 1) + (x ln x + 1) = x + x ln x x (1 + x ln x) 3 (x ln x + 1)(2x ln x + x − 1) = = 2x ln x + x − 2 x (1 + x ln x) x 1 I= 2x ln x + x − dx = x + + 2x ln x dx = x + + ln x d(x ) x x x 1 2 I = x + + x ln x − x dx = + x ln x +C x x Nên Bài 18 Tìm nguyên hàm Lời giải: Đặt x = e t , ln x = t , =⇒ I = x sin(ln x) dx I= dx = e t dt e 3t sin t dt = −e 3t cos t + 3e 3t cos t dt = −e 3t cos t + 3e 3t sin t − =⇒ 10I = 3e 3t sin t − e 3t cos t =⇒ I = 9e 3t sin t dt 3.e ln x sin(ln x) − e ln x cos(ln x) +C 10 Bài 19 Tìm nguyên hàm e x (x − 1) + 2x + x (e x + x(x + 1)) dx e x x + x (x + 1) I= Lời giải: (x + x + e x ) e x (x − 1) + 2x + x (e x + x(x + 1)) x − 3x + e x + = x − = + + e x x + x (x + 1) x x3 + x + ex x x + x + ex Do I= x3 − ln |x| + ln |x + x + e x | +C Bài 20 Tính tích phân Lời giải: I= π π I= π π ln(tan x) dx=đổi biến (x= −x) π π π ln(cot x) dx =⇒ 2I = ln(tan x) dx π π ln(tan x cot x) dx = =⇒ I = Bài 21 Tìm nguyên hàm I= dx sin x + cos3 x Lời giải: Ta có I= = (sin x + cos x) = (sin x + cos x) (1 + sin 2x)(1 − sin x cos x) (sin x + cos x) (1 − sin x cos x) 1− t2 t = sin x − cos x, sin x cos x = , dt = (cos x + sin x) dx dt dt 1 =2 = + dt 2 2 (2 − t )(1 + t ) 2−t 1+ t2 1−t (2 − t ) − dt dt 2 I= + 2−t 1+ t2 sin Đặt x + cos3 x Bài 22 Tính tích phân I= −π sin 4x dx (1 + sin x)(1 + cos x) Lời giải: 2(1 + sin x)(1 + cos x) = (sin x + cos x + 1)2 = Đặt t = cos x + sin x, sin 2x = t − 1, dt = (cos x − sin x) dx, sin 2x(cos x + sin x)(cos x − sin x) (sin x + cos x + 1)2 −π x= , t = 0, x = 0, t = I= 4(t − 1)t (t + 1) dt = t2 − t dt = t +1 0 I = 2t − 8t + ln(t + 1) dt t +1 t −2+ = 2(4 ln − 3) Bài 23 Tính tích phân I= dx + x + x 98 + x 100 Lời giải: I= dx (1 + x )(1 + x 98 ) =x= x x2 + =⇒ I = x2 3 x 98 dx dx = x 98 1+ (x + 1)(x 98 + 1) dx + x2 Bài 24 dx (2x + 1)4 x − 3x + Tìm nguyên hàm I= Lời giải: I= I= I= I= 4x − 12x + dx (2x + 1) −4 (2x + 1)2 − 8(2x + 1) + 12 (2x + 1) d(2x + 1) 10 (2x + 1) − 8(2x + 1) + 12(2x + 1) −4 d(2x + 1) 17 10 7 (2x + 1) − (2x + 1) + (2x + 1) +C 136 10 14 Bài 25 Tìm nguyên hàm 2x + 5x − 11x + dx (x + 1)30 I= Lời giải: I= 2(x + 1)3 − (x + 1)2 − 15(x + 1) + 18 (x + 1)30 2(x + 1)−27 − (x + 1)−28 − 15(x + 1)−29 + 18(x + 1)−30 dx = =− dx 1 15 18 + + − +C 13(x + 1)26 27(x + 1)27 28(x + 1)28 29(x + 1)29 Bài 26 Tìm nguyên hàm I= x − 3x + 4x − dx (x − 2)15 Lời giải: I= = =− (x − 2)3 + 3(x − 2)2 + 4(x − 2) + (x − 2)15 dx (x − 2)−12 + 3(x − 2)−13 + 4(x − 2)−14 + 3(x − 2)−15 dx 1 − − − +C 11 12 13 11(x − 2) 4(x − 2) 13(x − 2) 14(x + 1)14 Bài 27 Tìm nguyên hàm I= Lời giải: Ta có (x − 1)2 (5x + 2)15 dx 25(x − 1)2 = 25x − 50x + 25 = 25x + 20x + − 70x − 28 + 49 = (5x + 2)2 − 14(5x + 2) + 49 Nên (5x + 2)17 − 14(5x + 2)16 + 49(5x + 2)15 dx 25 (5x + 2)18 14(5x + 2)17 49(5x + 2)16 I= − + +C 25 90 85 80 I= Bài 28 Tính tích phân I= x − 16 dx x Lời giải: Đặt x = −4 cos t , dx = dt , sin t sin2 t Ta sin t x = 4, t = π2 ; − 16 = cot t π π cot t −4 cos t dt = I= cot2 t dt = π π sin t sin t π 4π = 4(− cot t − t ) π = + π π x = 8, t = π (1 + cot2 t − 1) dt Bài 29 Tính tích phân I= (1 + x )5 dx x8 Lời giải: Đặt x = tan t , dx = dt cos2 t , cos10 t (1 + x ) = , x= Ta I= cos10 t dt = tan8 t cos2 t π π π ,t = d(sin t ) π si n t π , π x = 1, t = dt = sin7 t π π = 128 − Bài 30 Tính tích phân I= Lời giải: Đặt x = u + 1, dx = du, Ta x = 1, u = 0, I= = x2 + 1+ du u2 + − 1 = arctan u − ln x+ x − 2x + dx x − 2x + x = 2, u = u + − u2 + x +1 x − x − 2x + du u2 + 1 = dt t (t + 1) t t +1 u2 + 1 − ( với t = u + 1+ du = π − ln du u + 1(u + u + 1, dt = u + + 1) u2 + + u u2 + du)