59 bài tập tích phân hàm ẩn có lời giải chi tiết

Tài liệu gồm 27 trang tuyển chọn 59 bài tập tích phân hàm ẩn có lời giải chi tiết, đây là lớp bài toán mức độ vận dụng – vận dụng cao (VD – VDC) trong chương trình Giải tích 12 chương 3 (Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng) và thường xuất hiện trong các đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán.

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM ẨN GIẢI CHI TIẾT f '( x) 2 f '( x) 2 f '( x)  x  f ( x)  x dx   xdx      f (1)  2 f ( x )  f ( x)  f ( x)  1   f '( x) Câu 3: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2)   Ⓐ 41 400 f '( x) 2 ; f '( x)  x3  f ( x) , x  Giá trị f (1) 25 Lời giải Chọn B Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Trang 1 LUYENTHITRACNGHIEM.VN f '( x)  x  f ( x)    2x   dx   xdx    3 2 f ( x)  f ( x)  f ( x)    2  f (1)  Câu 2: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2)   ; f '( x)  x  f ( x) , x  Giá trị f (1) 11 Lời giải Ⓐ Chọn B 2 f '( x) f '( x) 1 x2 Ⓑ Cách Ta có: f '( x )  x  f ( x )    x  dx  xdx   C     f ( x)   f (x)  f ( x)   2 Ⓒ f (2)   f (1)    f ( x )    C  Vậy f ( x)   2 7 x 1 x Ⓓ C Cách 2: HOCMAI.VN 2 Câu 1: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2)   ; f '( x)  x  f ( x) , x  Giá trị f (1) 35 Lời giải Ⓐ 36 Chọn B 2 f '( x) f '( x) 1 Ⓑ  2x   dx   xdx   x2  C Cách 1: Ta có: f '( x)  x  f ( x)  2 f (x)  f ( x)  f ( x) 19 Ⓒ f (2)  36 1  f ( x)    C  Vậy f ( x)    f (1)   2 x C Ⓓ x2  Cách 2: TÍCH PHÂN HÀM ẨN 1 10 391 Ⓒ 400 1 Ⓓ 40 Ⓑ NĂM HỌC 2019 – 2020 f '( x) Cách Ta có: f '( x)  x  f ( x)   f ( x)   x C f (2)   f ( x) 25  C  Vậy f ( x)    4x3   f '( x)  f ( x) dx   x 3dx  1  x4  C f (x) 1  f (1)   10 x 9 Cách 2: 1 f '( x)  x  f ( x)   4x   dx   x dx  15     f (1)  2 f ( x) 10  f ( x)  f ( x)    f '( x) 3 f '  x   x3  f  x  với x  Giá trị f  1 : 35 71 Ⓑ  20 79 Ⓒ  20 Ⓓ  Lời giải Ⓐ  Chọn D Ta có f '  x   x  f  x   f '  x Cách 1: Từ (*) suy  f  x   x C   f  x   f '  x  f  x  f       x (*) dx   x 3dx   x4  C f  x 1   C   f  x    f  1   4C x 1 2 Chọn đáp án Ⓓ thỏa mãn đồng thời điều kiện f  x   với Câu 5: Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục x  ; f '  x   e x f  x  , x  f    Ⓐ Lời giải Ⓑ f  ln    Chọn D Biến đổi f '  x   e f x Chọn đáp án Ⓒ Ⓓ f  ln   Tính giá trị f  ln   x  f '  x f  x  e  x ln  f '  x f  x ln dx   ln e dx   f  x  1  f  ln   x 1 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 2 LUYENTHITRACNGHIEM.VN f '  x   15 dx  x dx    f  1   Cách 2: (*) suy         f  x   f  x    f  ln   HOCMAI.VN Câu 4: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     f '( x) TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 Ⓓ f  ln   Câu 6: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  , xác định liên tục   ; f '  x   x f  x  , x  f  x   0, x  thỏa mãn đồng thời điều kiện f    Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x  đồ thị  C  Ⓐ y  6x  30 HOCMAI.VN Lời giải Chọn C f '  x Ⓑ x  f '  x 1 1 dx   x dx     f 1  f  x f  x y  6x  30 Biến đổi Ⓒ y  36x  30 Từ f '  x   x f  x   f ' 1  f 1 Ⓓ y  36x  42 Chọn đáp án f  x      36 Suy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  36  x  1   y  36x  30 Ⓒ Câu 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn   ; 1 , thỏa mãn f  x   0, x  f   x   f  x   Biết f  1  tính f  1 Ⓐ Lời giải f  1  e 2 f  1  e f  x  f  x   Ta có Ⓒ f  1  e Ⓓ  1 f   x f  x f   x f  x dx   -2dx  ln f  x  1 LUYENTHITRACNGHIEM.VN Ⓑ Chọn C  2  2 x 1  ln f 1  ln f  1  4 1  ln f  1   f  1  e f  1  Câu 8: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f   x  f  x   x4  x2 Biết f    Tính f   Ⓐ f  2  Lời giải 313 15 Ⓑ f  2  332 15 Chọn B  Ⓒ 324 f  2  15 2 0   Ta có f   x  f  x   x  x   f   x  f  x  dx   x  x dx  f  x f  2   x5 x3       f 0  2 136 332  f  2  15 15 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 Ⓓ f  2  323 15 Câu 9: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  ;    , biết f   x    2x   f  x   0, f  x   0, x  Tính f 1  f    f   15 Lời giải Ⓐ Chọn D f   x    2x   f  x     f   x f  x dx  f   x f  x HOCMAI.VN 15 11 Ⓑ 15 11 Ⓒ 30 Ⓓ 30 , f 2   2 x    2x   dx   f  x   x  4x  C  f  x   1 x  4x  C Với f    1 1    C  3  f  x   15 15 12  C x  4x  1 Khi f  1  f    f       15 24 30 Biết f  x  f   x   12x  13 f    Khi Câu 10: Cho hàm số f  x  xác định liên tục phương trình f  x   có nghiệm Ⓐ Ⓑ Ⓓ Chọn A Từ f  x  f   x   12x  13   f  x  f   x  dx   12x  dx  f  x  df  x   6x  13x  C  Suy f  x   42x2  91x  27 f  x    x2  13x  C  C  f 2 27 Do phương trình f  x    f  x   2187  42x2  91x  2059   *  Phương trình  *  có ac  nên có hai nghiệm trái dấu Câu 11: Cho hàm số f  x   thỏa mãn điều kiện f   x    2x   f  x  f     Biết tổng a a f  1  f     f  2017   f  2018   với a  b  * phân số tối giản Mệnh đề b b sau a  1 b a Ⓑ  b Ⓒ Lời giải Ⓐ a  b  1010 Ⓓ Chọn B Biến đổi: f   x    x   f  x    f  x f  x  2x    f  x f  x dx    x   dx f    1  x  3x  C  f  x     C  f  x x  3x  C b  a  3029 Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 4 LUYENTHITRACNGHIEM.VN Ⓒ Lời giải TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020  f  x   1  x  3x   x  1 x   Khi đó:  a  1 1   f  1  f     f  2017   f  2018         b 2018.2019 2019.2020   2.3 3.4 1 1 1 1  1  1009                 2018 2019 2019 2020  2020 2 3  2020  Câu 12: (Chuyên Vinh – Lần – 2017) Giả sử hàm số f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;   thỏa mãn f 1  1, f  x   f   x  3x  với x  Mệnh đề sau đúng? Ⓐ Lời giải  f  5  Chọn C Ⓑ Ta có f  x   f   x  3x    f  3  Ⓒ  f  5  Ⓓ  f  5    d f  x f  x 1 f  x f  x  3x   1   3x  1 d  3x  1  ln f  x   C   C    f  x  e Khi f 1   e Cách 2: Với điều kiện tốn, ta có  f  x f  x dx   3x  1 f  x f  x  dx   f  x f  x dx   dx 3x  2 3x   C  f  x   e 3 x 1  3 x 1 C  f    e  3,79   3;  3x  df  x  f  x  LUYENTHITRACNGHIEM.VN f  x   f   x  3x   f  5 4  ln f  x  15   ln  3 f  1  f    f 1 e  3,79   3;  Câu 13: Cho hàm số f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục đồng biến [1; 4] thỏa mãn x  xf ( x)  [f ( x)]2 , x [1; 4], f (1)  391 18 361 Ⓑ 18 381 Ⓒ 18 371 Ⓓ 18 HOCMAI.VN Với điều kiện a , b thỏa mãn toán, suy a  1009, b  2020  b  a  3029 Ⓐ Giá trị f (4) Lời giải Chọn A Ta có Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 5 TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 x  xf ( x)  [f ( x)]2  x(1  f ( x))  [f ( x)]2 [f ( x)]2  x  f ( x) f ( x)   x  f ( x) f ( x)   f ( x) dx   xdx 14 14 391   f (4)    f (4)  18 Chú ý: f ( x) Nếu khơng nhìn ln  HOCMAI.VN   f ( x)   f ( x) dx   f ( x)   f (4)  ta sử dụng kĩ thuật vi phân đổi biến (bản chất một) + Vi phân f ( x)  1  f ( x) dx   df ( x)  f ( x) dx  1 d(1  f ( x))   f ( x)  f ( x )   f (4)     21 + Đổi biến Đặt t   f ( x)  t   f ( x)  tdt  f ( x)dx Với x   t   f (4) 1 f (4) Khi I   1 f (4) tdt t2   f (4)  t Câu 14: Cho hàm số f ( x) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x) f ( x)  2x f ( x)  1, f (0)  Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f ( x) [1; 3] Ⓐ 22 Lời giải Ⓑ Chọn D 11  Ta có Ⓒ 20  f ( x) f ( x)  x f ( x)   Ⓓ 11    f ( x) f ( x) f ( x)  f ( x) f ( x) f ( x)   2x dx   xdx f ( x)   x  C Với f (0)    C  f ( x)   x2   f ( x)  x4  x2  g( x) Ta có g( x)  4x3  4x  0, x [1; 3] Suy g( x) đồng biến [1; 3] Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 6 LUYENTHITRACNGHIEM.VN x   t   f (1)  2; TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 Suy f ( x ) g(1)  g( x)  f ( x)  g(3)   f ( x)  99   f ( x)  11  f ( x)  3; max f ( x)  11 [1;3] [1;3] Vậy tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f ( x) [1; 3] 11  Chú ý:  f ( x) f ( x) f ( x)  dx  f ( x)   C ta sử dụng kĩ thuật vi phân đổi biến (bản chất một) f ( x) f ( x)  + Vi phân f ( x)   f ( x).df ( x) dx   1  d f   f ( x)  f ( x)  2  ( x)   HOCMAI.VN Nếu khơng nhìn ln f ( x)   C + Đổi biến f ( x)   t  f ( x)   tdt  f ( x) f ( x)dx Đặt t  Suy  f ( x) f ( x) f ( x)  dx   tdt  t C  t f ( x)   C Câu 15: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm đồng biến R thỏa mãn f (0)  1;  f ( x)   e x f ( x), x  R Tính tích phân  f ( x)dx Ⓐ e  Ⓑ e  Chọn B Ⓒ e  Ta có Ⓓ e   f ( x)   f ( x)  e f ( x)  2  ex  x f ( x) 1 x f ( x) x x  ex   f ( x) x dx   e x dx f ()) 1    f ( x)  df ( x)   e dx  f ( x)  2e  C  C   Suy  x f ( x)  e  f ( x)  e x f ( x)dx   e x dx  e x  e  0   Câu 16: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f  x   x2 f x  Ⓐ Ⓑ Ⓒ 1 Ⓓ LUYENTHITRACNGHIEM.VN Lời giải 3x  1 Tính  f  x  dx Lời giải Chọn B   f  x   6x2 f x3  1    I   f  x  dx    3x f x  dx  A  B 3x  3x   0     Gọi A   3x f x dx Đặt t  x3  dt  3x2dx Đổi cận x   t  0; x   t  Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 7 TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 1 0 A   f  t dt   f  x  dx  I I  2I  B  I  B  6 1  dx    3x  1 d  3x  1  2.2 3x   3x  1   Câu 17: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn x f x2  f 1  x    x2  f  x  dx HOCMAI.VN Tính   Ⓑ  Ⓒ 20  Ⓓ 16 Lời giải Ⓐ Chọn C   x f x2  f 1  x    x2   1 0  2. x f x dx  3 f 1  x  dx    x dx  A  3B    x dx  *    A   x f x dx Đặt t  x2  dt  2xdx ; x   t  0; x   t  1 0 A   f  t dt   f  x dx B   f   x dx Đặt t   x  dt  dx; x   t  1, x   t  0 1 0 1 0  *   2 f  x dx  3 f  x dx   1 0 LUYENTHITRACNGHIEM.VN B   f  t dt   f  x dx  x dx  5. f  x dx    x dx     Đặt: x  sin t  dx  costdt , t    ;  ; x   t  0, x   t   2     x dx   0 Vậy    cos2t     sin t cos tdt   dt   t  sin 2t   2   2   f  x dx  20 Câu 18: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn 0;  thỏa mãn f  x   f   x   2x Tính  f  x  dx Ⓐ 4 Ⓒ Ⓑ Lời giải Chọn D 2 2 2 0 0 0 f  x   f   x   x   f  x dx   f   x dx   2xdx   f  x dx    f   x dx   2xdx Đặt: t   x  dt  dx Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 8 TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 x   t  2, x   t  Ⓓ 2 2 0  f   x  dx   f  t  dt   f  x  dx 2 4 Do đó:  f  x  dx  x 2 Vậy:  f  x  dx   giá trị tích phân I   f  x  dx 1 Ⓐ I  Lời giải Ⓒ I  Chọn C Ⓓ I  15  Ⓑ I  HOCMAI.VN  Câu 19: Xét hàm số f  x  liên tục đoạn   1,  thỏa mãn f  x   2xf x   f 1  x   4x Tính   f  x   xf x   f   x   x 2  f  x  dx   2x f  x 1 1  2 1 1  dx   f 1  x    x 3ds  15   Đặt u  x   du  2xdx ; với x  1  u  1; x   u  2    2x f x  dx  Khi 1  f  u  du  1  f  x  dx 1 1 Đặt t   x  dt  dx ; với x  1  t  2; x   t  1 f   x  dx  1  f  t  dt  1  f  x  dx   1 Thay  1 ,   vào   ta  f  x  dx  15  1  f  x  dx  1   Câu 20: Xét hàm số f  x  liên tục đoạn   1,  thỏa mãn f  x   x   xf  x Tính giá trị tích phân I   f  x  dx 1 14 28 Ⓑ I  Ⓒ I  Ⓓ I  Ⓐ I  Lời giải Chọn B  f  x   xf  x  2   x    f  x  dx   xf  x dx  1 1 2  x  2dx  1 14  Đặt u   x  du  2xdx ; với x  1  u  2; x   u  1 2   1 Khi  xf  x dx   f  u  du   f  x  dx   1 1 1 Thay vào   ta  1 f  x  dx  2 14 28 f  x  dx    f  x  dx   1 3 1 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 9 LUYENTHITRACNGHIEM.VN  Khi TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020   Câu 21: Xét hàm số f  x  liên tục đoạn 0,1 thỏa mãn f  x   xf  x2  f 1  x   Tính x1 giá trị tích phân I   f  x  dx Ⓐ I  ln 2 Lời giải Chọn B  ln 1  x1  1 0   f  x  dx   xf  x dx  3 f 1  x  dx   Ⓒ I  3 Ⓓ I  HOCMAI.VN Ⓑ I   f  x   xf  x  f   x   dx  ln x   ln  x1 Đặt u   x  du  2xdx ; với x   u  1; x   u  Khi    2xf x  dx  1 1 f  u  du   f  x  dx 1  20 20 Đặt t   x  dt  dx ; với x   t  1; x   t  Khi  1 0 f   x  dx   f  t  dt   f  x  dx   Thay  1 ,   vào   ta  f  x  dx  1 1 f  x  dx  3 f  x  dx  ln   f  x  dx  ln   f  x  dx  ln  20 20 0 I   f  x  dx  ab với a, b, c  c x3 x2  LUYENTHITRACNGHIEM.VN   Câu 22: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x   x3 f x   Tích phân a b ; tối giản Tính a  b  c c c Ⓐ Lời giải Ⓑ 4 Chọn A Ⓒ Cách 1: (Dùng công thức - Dạng 2) Ⓓ 10 Biến đổi: f  x   x f x    x3 x2        f  x   4x3 f x4   x3 x2  với A  1; B  2; C  Áp dụng cơng thức ta có:  f  x dx  1 x3 x3  dx  dx  2   2  0 x 1 x 1 x   t  Đặt t  x2   t  x2   tdt  xdx; với   x   t  Khi Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 10 Trang TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020     f    f 0       Từ điều kiện f  x   f   x   sin xcosx      f    2 2  2  f     f 0      2  Thay  1 ,   vào  *  , ta  xf   x  dx  1 x2 f 1  2x   f 1  2x   , x  x 1 Tính tích phân I   f  x dx 1 Ⓐ Lời giải I  2  Chọn A Ⓑ I    Đặt t   2x   2x   t x  Ⓒ I thỏa mãn HOCMAI.VN Câu 25: (Diễn Châu – Nghệ An – Lần – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục   Ⓓ I   t 1 , điều kiện trở thành: 2  t 1   2   f t  f  t  t  2t   f x  f  x  x  x   f t   f   t        t  2t      x2  2x     t 1   1   Cách 1: (Dùng cơng thức - theo góc nhìn dạng 2) Với f  x   f   x   1 x2  x   dx  0, 429   Chọn đáp án.Ⓐ  x  1 x  x  Cách 2: (Dùng phương pháp biến đổi – không nhớ công thức) x2  2x  x2  2x  Từ   , ta có: f  x   f   x     f  x dx   f   x dx   dx   x  x  1 1 1 x  x  3 Đặt u   x  du  dx , Với x  1  u  x   u  1 Suy  f   x dx  1  f  x dx  1  f  u du  1  f  x dx thay vào  , ta được: 1 x  2x  1 x2  2x   dx  f x dx  1 x2  2x  1   1 x2  2x  5dx  0, 429   Chọn đáp án.A 3 Câu 26: (Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – Lần – 2018) Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục \0 thỏa mãn x2 f  x    2x  1 f  x   xf   x   với x  \0 f  1  2 Tính  f  x dx 1 Ⓐ   ln 2 Lời giải Chọn A   Biến đổi x2 f  x   2xf  x    f  x   xf   x   xf  x    f  x   xf   x  Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng 13 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN Suy ra:  f  x  dx  x2  x  , ta có A  1; B  x2  2x  TÍCH PHÂN HÀM ẨN Ⓑ   ln 2 ln Ⓒ 1  Ⓓ ln   2 NĂM HỌC 2019 – 2020 Đặt h  x   xf  x    h  x   f  x   x f   x  , Khi   có dạng: h  x   h  x   h  x  h  x  1  h  x  h  x dx   dx   dh  x  h  x  xC    x  C h  x  h  x   1 f 1 2  xf  x      2     C  xC xC 1 C 1 Khi xf  x      f  x     x x x  f  x  dx    1 1  dx    ln Chọn đáp án.A 2 x x Câu 27: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  4;  f    với x   4;  Biết  f   x   1 4   dx  f    , f    Tính f    f  x  Ⓑ 3 Ⓒ Ⓓ Lời giải Ⓐ Chọn D f   x  f  x Xét dx   df  x  f  x  1      4  f 8 f  4  f   x   k  dx  Gọi k số thực, ta tìm k để      f  x  2 8 6 f  x  f  x f  x 1   dx     dx   dx Suy k       24 f  x  f  x f  x  df  x  f  x dx 1  1 1  1 4   f    Chọn đáp án f  4 f 6 f 6 Ⓓ b Chú ý: b  f  x  dx 0 không phép suy f  x   ,  f  x  dx 0  f  x   2k a a Câu 28: Cho hàm số f  x  liên tục   thỏa mãn f x3  x  x2  Tính I   f  x  dx ? Lời giải Chọn D    dt  3x  dx Đặt t  x  x   f t  x      Đổi cận: t   x3  x   x  t   x3  x   x  Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 14 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN  f x  8  f  x  f  x   2  k  dx    dx  k dx  k dx   k  k   k  1 Ta có:        f  x  f  x  f  x    Ⓐ I   15 Ⓑ I  16 Ⓒ I   HOCMAI.VN Suy ra: TÍCH PHÂN HÀM ẨN Ⓓ I   15 16 NĂM HỌC 2019 – 2020 0    Casio Khi I   f  t  dt   x  3x  dx   16 15  Câu 29: Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f x3  2x   3x  Tính I  10  f  x  dx ? Lời giải Chọn C    dt  3x  dx Đặt t  x  x    f t  x      HOCMAI.VN 45 Ⓑ I  135 Ⓒ I  Ⓓ I  Ⓐ I  Đổi cận: t   x3  2x    x  t  10  x3  2x   10  x  Khi I  10    Casio f  t  dt    3x  1 3x  dx   135  thỏa mãn f x   2x  1, x  Tính I   f  x  dx ? Câu 30: Cho hàm số f  x  liên tục Ⓐ I  2 Ⓒ I  4 Ⓑ I  Ⓓ I  Lời giải Chọn A  dt  3x dx Đặt t  x    f t  x      Đổi cận: t   x3    x  1 t   x3    x    2x  1 3x dx Casio  2 1   Câu 31: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f x3  3x   3x  2, x  Tính I   xf '  x  dx 17 Ⓑ I  33 Ⓒ I  Ⓓ Ⓐ I  I  1761 Lời giải Chọn C 5   u  x du  dx   I  xf  x    f  x  dx  f    f 1   f  t  dt Đặt   1 dv  f '  x  dx  v  f  x     dt  3x  dx Đặt t  x  3x    f t  x      Đổi cận: t   x3  3x    x  0; t   x3  3x    x  Suy ra: f    3.1   x  1 f 1  3.0   x     Casio Khi I  5.5     3x   3x  dx  33 Chọn   Câu 32: Cho hàm số y  f  x  liên tục  0;   thỏa mãn f x4  x  x   21 a c I   f  x  dx   ln với a, b, c , d  b d * Biết x1 a c , phân số tối giản Tính b d Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 15 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN Khi I   f  t  dt  TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 T  abc d Ⓐ T  243 Lời giải Ⓑ T  306 Chọn B Ⓒ T  312 dt  x  x  dx  Đặt t  x  x  x     f t   x1  Ⓓ T  275   Đổi cận: t   x4  x2  x    x  1; t  21  x4  x2  x   21  x   x   21 2 HOCMAI.VN 21 Ta có: I   f  x  dx   f  t  dt     x3  x  dx    4x  4x   dx x1 x   1   2  4x3  28 28 243   x2  x  5ln x     5ln   ln 32  1 Suy a  28; b  3; c  243; d  32  T  306 Chọn   Câu 33: Cho hàm số y  f  x  liên tục  0;   thỏa mãn f  x     Biết x  x  a I   f  x  dx   lnc với a, b, c  b * a phân số tối giản Tính T  a  b  c b Ⓐ T  13 Lời giải Chọn B Ⓒ T  96    dt     dx   x   Đặt t  x     x f t     x Ⓓ T  88 LUYENTHITRACNGHIEM.VN Ⓑ T  69 5 Đổi cận: t   x     x  1; t   x     x   x   x x 5    1 1 Ta có: I   f  x  dx   f  t  dt      dx      dx    dx x  x  x x x  x  1 1 2 2     ln x     ln 2x   Suy a  3; b  8; c   T  13 Chọn Câu 34: Cho hàm số f  x  liên tục thỏa mãn f  x   f  x   x , x  Tính I   f  x  dx Ⓐ I  Ⓒ I  Ⓑ I  Lời giải Chọn D   Đặt y  f  x   x  y  y  dx  3y  dy Đổi cận: x   y3  y   y  ; Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng 16 Trang TÍCH PHÂN HÀM ẨN Ⓓ I  NĂM HỌC 2019 – 2020 x   y3  y   y      casio Khi I   f  x  dx   y y  dy   y  y dy  Câu 35: Cho f  x  liên tục thỏa mãn f  x   f  x   f  x   x , x  Tính tích phân I   f  x  dx Lời giải Chọn B  HOCMAI.VN Ⓑ I  Ⓒ I  12 Ⓓ I  Ⓐ I   Đặt y  f  x   x  y  3y  y  dx  y  y  dy Đổi cận: x   y3  3y2  y   y  ; x   y  3y  y   y  0     casio Khi I   f  x  dx   y.6 y  y  dy   y  y  y dy  Câu 36: Cho f  x  liên tục thỏa mãn x  f  x   f  x   1, x  Tính tích phân I   f  x  dx 2 Lời giải Chọn A   Đặt y  f  x   x   y  y   dx  3y  dy Đổi cận: x  2   y  y   2  y  ; x   y3  2y    y  Khi I   2     casio f  x  dx   y 3 y  dy   y  y dy  Câu 37: Cho f  x  liên tục thỏa mãn 2x  f  x   f  x    0, x  Tính tích phân I   f  x  dx Ⓑ I  Ⓒ I  Ⓓ I  Ⓐ I  Lời giải Chọn D   Đặt y  f  x   2x   y  y   2dx  5y  dy Đổi cận: x   y5  y    y  ; x   y5  y    y      casio Khi I   f  x  dx   y 5 y  dy   y  y dy  1 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 17 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN Ⓑ I  Ⓒ I  Ⓓ I  Ⓐ I  TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 Câu 38: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn x  f  x   f  x    Tính I   xf   x  dx 1 Lời giải Chọn C Đặt: 7  du  dx u  x    I  xf x dx  xf x  f x dx  f  f     1         f  x  dx   1    dv  f x dx v  f x       1 1    f    f    10   f     Từ x  f  x   f  x       f  1   f  1  f  1    HOCMAI.VN 51 Ⓑ I  Ⓒ I  Ⓓ I  Ⓐ I   Đặt t  f  x   x  t  t    x  t  t   dx  3t  t dt  x  1  1  t  t   t  Đổi cận   x    t  t   t   Khi 1   Casio f  x  dx   3t  t dx  Suy I  15   f  x  dx  15  1 51 51  4 Câu 39: Cho hàm số y  f  x  liên tục nhận giá trị dương 0;1 biết f  x  f 1  x   với dx  f  x Ⓑ Ⓒ Lời giải Ⓐ Ⓓ LUYENTHITRACNGHIEM.VN x  0;1 Tính giá trị I   Chọn B Cách 1: (Sử dụng công thức giải nhanh) Theo Dạng 7: “Cho f  x  f  a  b  x   k dx ba  2k k  f  x b I   a dx 1   2.1  f  x Khi đó: I   Cách 2: Đặt: t   x  dt  dx; f  x   1 dx  Khi I    f  x dt 1 f t  x   t  1; x   t  f t   f  t  dt  f t   f  x  dx  f  x f  x  dx dx    dx   I   f  x  f  x  2I   Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 18 Trang TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 Câu 40: Cho hàm số y  f  x  liên tục phân I  2018  , ta có f  x   f  x  f  2018  x   Giá trị tích dx  f  x Ⓐ I  2018 Lời giải Ⓑ I  Chọn C Ⓒ I  1009 Cách 1: (Sử dụng công thức giải nhanh) b I   a Khi đó: I  HOCMAI.VN Theo Dạng 7: “Cho f  x  f  a  b  x   k Ⓓ I  4016 dx ba  2k k  f  x 2018  dx 2018    1009 2.1  f  x Cách 2: Đặt: t   x  dt  dx; f  x   Khi I  2018   2I  2018  dx   f  x dx   f  x 2018  2018  x   t  2018; x  2018  t  f t  dt 1 f t  f  x  dx  f  x   2018  2018  f  t  dt  f t   2018  f  x  dx  f  x dx  2018  I  1009 phân I  12   f  x dx 2 14 Ⓑ I  Ⓒ I  Ⓓ I  Ⓐ I  Lời giải Chọn D Sử dụng công thức giải nhanh: b Theo dạng 7: " Cho f  x  f  a  b  x   k , đó: I   a Do đó: I  dx ba  " 2k k  f  x 12   2  dx    2.3 2  f  x  12 Câu 42: Cho hàm số y  f  x  liên tục tập R thỏa mãn f   x   f  x  Biết  x f  x dx  Tính tích phân  f  x dx Ⓑ Lời giải Ⓐ Chọn A Cách 1: Sử dụng công thức giải nhanh: Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 19 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN Câu 41: Cho hàm số f  x  liên tục tập R, ta có f  x   f   f 10  x   Giá trị tích TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 b 11 Ⓓ Theo dạng 8: "Cho f  x   f  a  b  x  I   x f  x  dx Thì ta có: Ⓒ a Do đó: b  f  x  dx  a  b ” 2I a  f  x dx    2.5 Cách 2: Đặt t   x  dt  dx x   t  3; x   t  3 3 1 1 Khi đó:   x f  x dx     t  f   t  dt     x  f   x  dx     x  f  x  dx 3 1 1 Câu 43: Cho hàm số y  f  x  liên tục tập R thỏa mãn f  x   f   x   Biết  x f  x dx  Tính HOCMAI.VN Suy ra: 10   x f  x dx     x  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  1 tích phân  f  x dx 1 Lời giải Chọn C Sử dụng công thức giải nhanh: b Theo dạng 8: "Cho f  x   f  a  b  x  I   x f  x  dx Thì ta có: a Do đó: b  f  x  dx  a  b ” 2I a  f  x dx  1   2.2 1 LUYENTHITRACNGHIEM.VN 2 Ⓑ Ⓒ 3 Ⓓ Ⓐ   x  x  Câu 44: Cho hàm số f  x    Tính tích phân I   f  x dx   x x  121 163 Ⓑ I  85 Ⓒ I  223 Ⓓ I  Ⓐ I  Lời giải Chọn B 9 1 4 Ta có; I   f  x dx   f  x dx   f  x dx   xdx    x  dx   sin x Câu 45: Cho hàm số f  x    sin x  11 Ⓑ T  Ⓐ T  x  x   Biết  163   f  x dx  a  b  a, b   Tính T  a  b Lời giải Chọn A      Ta có : I   f  x dx   f  x dx   f  x dx   sin xdx   sin xdx      4 Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng 20 Trang TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020  15 Ⓓ T  Ⓒ T    cos x 1  dx   sin xdx   x  sin x  2         cos x      a  b 11 ; b  T  ab  8  x  x  Câu 46: Cho hàm số f  x    x Tính tích phân I   f  x dx x  e 1 Do a, b  a Ⓐ 3e  2e Ⓑ I HOCMAI.VN I Lời giải Chọn C Ta có: I  f  x dx  I   1 7e  2e  1 2 1 f  x dx  I   f  x dx   e xdx  I    x  1dx  9e  2e 2 Ⓒ I 9e  2e Ⓓ 11e  11 I 2e  3 x Câu 47: Cho hàm số f  x     4  x  x  2 Tính tích phân I   f  x dx Lời giải Ⓐ Ⓒ Ⓓ Chọn A 2 Ta có: I   f  x dx   f  x dx   3x dx     x dx  x 6 x Câu 48: Cho hàm số y  f ( x)    a  a x   x  x   x2    4x      1  2 I   f ( x)dx H ỏ i c ó t ấ t c ả b a o n h i ê u s ố 1 n g u y ê n a đ ể I  46  ? Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Lời giải Chọn C 1 1   Ta có I   f ( x)dx   f ( x)dx   6x dx   a  a xdx  x 2 1   aa  x2   8a  8a Khi I  46    8a  8a2  46   a2  a    2  a  3, a   a  {2; 1; 0;1; 2; 3} Vậy có giá trị nguyên a thỏa mãn   Câu 49: Tính tích phân I   max x3 ; x2  3x dx Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng 21 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN Ⓑ  x  TÍCH PHÂN HÀM ẨN 117 707 Ⓑ 275 Ⓒ 12 119 Ⓓ NĂM HỌC 2019 – 2020 Lời giải Ⓐ Chọn C Trên đoạn 0 ;  : Xét x3  4x2  3x  x3  4x2  3x   x( x  1)( x  3)   x [0;1]do x  0 ; 3  x  [0;1]  x  x  3x   x Vậy   max x ; x  3x   x[ ;3]  x  [1; 3]  x  x  3x  4 x  3x      Khi I   max x3 ; x2  3x dx   x 3dx   4x  3x dx  0 x  [0;1] x  [1; 3] 275 12 HOCMAI.VN  Câu 50: Tính I   min{ x;  x }dx Ⓐ I  Ⓒ I  Ⓑ I  Ⓓ I  Lời giải Chọn D Trên đoạn 0 ;  :   x0;    x  [1; 2] Xét x   x  x3   x  x3  x    ( x  1) x2  x     x  [0;1]  x   x  x x  [0;1]  Vậy   min{ x;  x }   3 x[ ;2 ]  x x  [1; 2] x  [1; 2]  x   x    0 Khi I   min{x;  x }  dx   xdx   Castio  xdx  f  1  Giá trị biểu thức f  1  f   Ⓐ  ln15 Lời giải Ⓑ  ln15 Chọn C Ⓒ  ln15   1 ln x   C1 x   ;  2 2dx   Cách 1: Từ f '  x    f  x    2x  2x   1  ln x   C2 x   ;    2   Ⓓ ln15   1 ln x   x   ;    C  2  f    0  C1    Ta có:     f  x    C  C  f         ln x   x  ;   2      Khi đó: f  1  f    ln   ln    ln15 0  f  f   f x |  f ' x dx  dx  ln x  |01  ln (1)          1   2x   1 1 Cách 2: Ta có:  3  f  f  f x |3  f ' x dx  dx  ln x  |13  ln (2)            2x   1 Lấy (2)  (1) , ta được: f  3  f  1  f    f 1  ln15  f    f  1   ln15 Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng 22 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN 1 Câu 51: (Đề tham khảo – 2018) Cho hàm số f  x  xác định R \   thỏa mãn f '  x   ; f 0  2x  2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 Câu 52: (Toán học tuổi trẻ - Số – 2018) Cho hàm số f  x  xác định R \1 thỏa mãn f '  x  Ⓐ S  Ⓑ S  ln Ⓒ S  ln 4035 Chọn A Cách 1: Từ f '  x   dx ln x   C1 x   ;1  f  x    x 1 x  ln x   C2 x   1;   Ta có: ln x   2017 x   ;1  f    2017 0  C1  2017 C  2017    f  x     C  2018 C  2018 f  2018 ln x   2018 x  1;          HOCMAI.VN Ⓓ S  ; f    2017 f    2018 Tính S  f    f  1 x 1 Lời giải Khi đó: f    f  1  ln  2018   ln  2017   0  1 dx  ln x  |01  ln (1)  f    f  1  f  x |1   f '  x  dx   x 1  1 1 Cách 2: Ta có:  3  f  f  f x |3  f ' x dx          x 1 dx  ln x  |32  ln (2)     2 Lấy (2)  (1) , ta được: f  3  f  1  f    f     S  f    f  1  f    f    1 Câu 53: (Lục Ngạn – Bắc Giang – 2018) Cho hàm số f  x  xác định R \   thỏa mãn 3 2 ; f    f    Giá trị biểu thức f  1  f   3x  3 Ⓐ  5ln Lời giải Chọn A Ⓑ   1 ln 3x   C1 x   ;  3 3dx   Cách 1: Từ f '  x    f  x    3x  3x   1  ln 3x   C2 x   ;    3   2  5ln Ⓒ  5ln Ⓓ  5ln LUYENTHITRACNGHIEM.VN f '  x    1  f 0  ln 3x   x   ;   0  C1  C  3    Ta có:       f  x    C  C  f       3 ln 3x   x  ;  3         Khi đó: f  1  f    ln   ln    ln 32   5ln   f 0   Cách 2: Ta có:   f  3    f  1  f  x |01   f '  x  dx  1 3 3  3x  dx  ln 3x  | 1 1  ln (1) 2 f    f  x |32   f '  x  dx   dx  ln 3x  |32  ln (2) 3 2 2x  3 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 23 Trang TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 2 Lấy (2)  (1) , ta được: f    f  1  f    f    ln 32  f  1  f     5ln 3 Câu 54: Cho hàm số f  x  xác định  0;   \e , thỏa mãn f   x   1 , f e  3, f    ln x  ln x  1 e     1 Tính giá trị biểu thức f    f e e   Ⓐ Lời giải Chọn A Ⓑ 2ln Ta có f  x    f   x  dx   Ⓒ 3ln  Ⓓ ln  HOCMAI.VN  ln  1 d  ln x  1 dx    ln ln x   C ln x  x  ln x  1 ln  ln x  1  C1 khix   e ;    f  x   ln   ln x   C2 khix   0; e       f e2  ln ln e   C1  C       Ta có    1 C2  ln  f    ln ln   ln   C2  ln e e       ln  ln x  1  3khix   e;    Do f  x    ln   ln x   ln 2khix   0; e  Câu 55: Cho hàm số f  x  xác định 1 f    f e   ln  1 e \2; 2 , thỏa mãn f   x   Ⓐ P   ln Ⓑ Lời giải Chọn B 25 Ta có f  x    f   x  dx   P   ln Ⓒ P   ln , f  3   0, f    x 4 Ⓓ P   ln 4dx x2 dx    ln C x2 x 4  x   x     x2 ln    C1 khix   2;     x2    x   f  x   ln    C2 khix   2;    x2   x2 ln    C3 khix   ; 2    x    1 ln    C1   f  3  C1   ln       C2  Ta có  f     C2   ln  C  C   ln   f  3     Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng 24 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN f    Tính giá trị biểu thức P  f  4   f  1  f     TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020   x2 ln     ln 5khix   2;   x        x  Do f  x   ln    1khix   2;  x       x2 ln    ln 5khix   ; 2    x   Suy P  f  4   f  1  f     ln \2;1 , thỏa mãn f   x   Giá trị biểu thức f  4   f  1  f   Ⓐ  ln 80 , f  3   f    0, f    x x2 Lời giải Ⓑ Chọn B 1  ln 3 Ⓒ Ta có f  x    f   x  dx   dx dx x 1   ln C x x2  x  1 x   x  2 LUYENTHITRACNGHIEM.VN 1  x 1   C1 khix   1;    ln   x    ln  ln     x   f  x    ln    C2 khix   2;1 x     Ⓓ 1  x 1   ln    C3 khix   ; 2   ln   x   1  Ta có f  3   f     ln  C3   ln  C1    C1  C3  ln10 3 3  f 0  1 1 1  ln  C2   C2   ln 3 3 1  x 1   C3  ln 10khix   1;    ln   3  x      x  1 Do f  x    ln     ln 2khix   2;1 x     1  x 1   ln    C3 khix   ; 2    x   1  1 1  1 1  Suy f  4   f  1  f     ln  C3    ln   ln    ln  C1  ln10  3 3  3  3  1   ln 3 Câu 57: (SỞ BẮC GIANG -2018) Cho hàm số f  x  xác định \1;1 thỏa mãn f   x   , x 1  1 f  3   f    f      2 HOCMAI.VN Câu 56: Cho hàm số f  x  xác định 1 f    Tính giá trị biểu thức P  f    f   2 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 25 Trang TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 Ⓐ Lời giải P  ln  Ⓑ Chọn C P   ln Ⓒ 1 x 1  ln x   C1 , x  1  1     dx  ln x   ln x   C    x  x    ln  x  C , x   x  Ⓓ P ln  f   x  dx   x 1 dx   dx 1  x  1 x  1  f  3    1 ln  C1 ; f     ln  C1 , f  3   f     C1  2  1  1 1 f     ln  C2 ; f     ln  C2 , f      2  2 2 f    C2  ; f     1 f  2   f    f      2 \1;1 thỏa mãn f   x   , x 1 1 f    Tính f  3   f    f   kết 2 Lời giải Chọn D Ta có  f   x  dx   x 2 dx   dx 1  x  1 x  1 LUYENTHITRACNGHIEM.VN Ⓑ 1  ln Ⓒ  ln Ⓓ  ln 1 f     C2  2 3 ln , f    f     ln 5 Câu 58: (SỞ PHÚ THỌ -2018) Cho hàm số f  x  xác định Ⓐ 1  ln HOCMAI.VN P   ln Ta có  x 1 ln x   C1 , x   1      d x  ln x   ln x   C    x  x 1 x 1 ln  C2 , x   x  1 f  2   ln  C1 ; f    ln  C1 , f  2   f     C1   1  1 1 f     ln  C2 ; f    ln  C2 , f      2  2 2 Vậy f  3   f    f    ln   ln 1 f     C2  2  ln  5 Câu 59: (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 4-2018) Cho F  x  nguyên hàm hàm số y      11    k , k   , biết F    ; F( )  Tính P  F     F  với x  \   12   12   Ⓐ 1  sin x    Lời giải P  2 Chọn D Ⓑ P  Cách 1: Ⓒ Không tồn P Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 26 Trang TÍCH PHÂN HÀM ẨN Ⓓ P  Ta có NĂM HỌC 2019 – 2020  f   x  dx    sin 2x dx   1  sin x  cos x  dx 1    5   ;    k 2  tan  x    C1 , x    4 4 2    dx           2  tan x  sin  x    C1 , x    ;    k 2  4     4      11 Khi P  F     F   12   12 HOCMAI.VN 1    5   1  tan  x    , x    ;    k 2   C  C   2 4 4 F      2 2        1 C  C    tan  x     , x     ; 3   k 2  F      4    2       2  1  1 1 7     tan     tan         Cách 2:     dx F  F   F x       1    12      12   sin x    12    dx  F   F  11   F x   11    sin 2  12     2x   12 11  12     11 Lấy   –  1 ta F     F   12   12 12 12      11     F   12   F  12      1  Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 27 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN     11 casio  F   F  12   12   dx dx   F    F      sin x    sin x  11   ... khơng có dấu chân kẻ lười biếng 18 Trang TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 Câu 40: Cho hàm số y  f  x  liên tục phân I  2018  , ta có f  x   f  x  f  2018  x   Giá trị tích. .. thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 19 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN Câu 41: Cho hàm số f  x  liên tục tập R, ta có f  x   f   f 10  x   Giá trị tích TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019... Câu 24: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục HOCMAI.VN Khi  x  Giá trị tích phân  xf   x dx  Ⓑ Lời giải Ⓐ Ⓒ  Cách 1:   Với f  x   f   x   sin xcosx ta có A  1; B