59 bài tập tích phân hàm ẩn có lời giải chi tiết

BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM ẨN GIẢI CHI TIẾT... Chọn đáp án..[r]

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 1 Câu 1: Cho hàm số f x( )thỏa mãn (2) 2; '( ) ( ) 2,

9

f   f x  x f x    x Giá trị f(1)

Ⓐ. 35

36 

Ⓑ

3 

Ⓒ 19 36 

Ⓓ

5 

Lời giải Chọn B

Cách 1: Ta có: 2

2

'( ) '( )

'( ) ( ) 2

(x)

( ) ( )

f x f x

f x x f x x dx xdx x C

f

f x f x



         

   

    

2 (2)

9

1

( )

2 f

f x C

x C



    

 Vậy

1

( ) (1)

1

2

f x f

x

    

 Cách 2:

2

2

2

2

1 1

'( ) '( )

'( ) ( ) 2 3

( )

( ) ( )

2

(1)

3

f x f x

f x x f x x dx xdx

f x

f x f x

f

          

   

   



 

 

Câu 2: Cho hàm số f x( )thỏa mãn (2) 1; '( ) ( ) 2,

f   f x  x f x    x Giá trị f(1)

Ⓐ. 11

6 

Ⓑ

3 

Ⓒ

9 

Ⓓ

6 

Lời giải Chọn B

Cách Ta có:

2

2

'( ) '( )

'( ) ( )

(x)

( ) ( )

f x f x x

f x x f x x dx xdx C

f

f x f x



         

   

    

1 (2)

3

1

( )

2 f

f x C

x C



    



.Vậy ( ) 21 (1)

f x f

x

    

 Cách 2:

2

2

2

2

1 1

'( ) '( )

'( ) ( ) (1)

2 ( )

( ) ( )

f x f x

f x x f x x dx xdx f

f x

f x f x



            

   

    

Câu 3: Cho hàm số f x( )thỏa mãn (2) ; '( ) ( ) 2, 25

f   f x  x f x    x Giá trị f(1)

Ⓐ. 41

400 

Lời giải

Chọn B

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 2

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Ⓑ 10 

Ⓒ 391

400 

Ⓓ

40 

Cách Ta có: 3

2

'( ) '( )

'( ) ( ) 4

(x)

( ) ( )

f x f x

f x x f x x dx x dx x C

f

f x f x



         

   

    

1 (2)

25

1

( )

f

f x C

x C



    

 Vậy

1

( ) (1)

10

f x f

x

    

 Cách 2:

2

2

2

3 3

2

1 1

'( ) '( ) 1

'( ) ( ) 4 15 (1)

( ) 10

( ) ( )

f x f x

f x x f x x dx x dx f

f x

f x f x



            

   

    

Câu 4: Cho hàm số f x  thỏa mãn  2

f   f x' x3f x 2

  với x Giá trị f 1 :

Ⓐ.

35



Ⓑ 71 20



Ⓒ 79 20



Ⓓ



Lời giải Chọn D

Ta có      

 

3

2 '

' f x

f x x f x x

f x

 

    

 

 

(*)

Cách 1: Từ (*) suy  

   

4

2

' 1

4

f x x

dx x dx C

f x f x

    

 

 

 

   2    

5

4

1 1

1

5

1

4

f

f x C f x f

C

x x

C



             



 

Cách 2: (*) suy  

     

2

2

3

1 1

' 1 15 4

1

4

f x

dx x dx f

f x f x

 

       

   

 

 

Chọn đáp án Ⓓ

Câu 5: Cho hàm số y f x  xác định liên tục thỏa mãn đồng thời điều kiện f x 0 với x ;   2 

' x ,

f x  e f x  x  0

f  Tính giá trị f ln Ⓐ

 

ln

f 

Ⓑ

 

ln

f  

Ⓒ

 

ln

f 

Lời giải Chọn D

Biến đổi

  2     ln    ln  ln  

2

0 1

' ' 1 1

' ln

3

x f x x f x x

f x e f x e dx e dx f

f x

f x f x

              

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 3

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Ⓓ

 

ln

f 

Câu 6: Cho hàm số y f x  có đồ thị  C , xác định liên tục thỏa mãn đồng thời điều kiện

  0,

f x   x ; f x' x f x  2, x f 0 2 Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x1 đồ thị  C

Ⓐ.

6 30

y x Ⓑ

6 30

y  x

Ⓒ

36 30

y x Ⓓ

36 42

y  x

Lời giải Chọn C

Biến đổi  

      

1

1

2

2

0 0

' ' 1 1

3

f x f x

x dx x dx

f x

f x   f x      f 1 6

Từ f x' x f x  2  f' 1 1.f 1 2 36

Suy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y36x   1 y 36x30 Chọn đáp án

Ⓒ

Câu 7: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 1 ; 1, thỏa mãn f x   0, x

   

f x  f x  Biết f 1 1 tính f 1 Ⓐ

 

1

f  e Ⓑ

 

1 f  e Ⓒ

 

1 f  e Ⓓ

 1

f  

Lời giải Chọn C

Ta có      

 

2 f x

f x f x

f x



     

 

       

1

1

1

1

d -2d ln ln ln

f x

x x f x x f f

f x  

 



          

   

ln f f e

     

Câu 8: Cho hàm số y f x  thỏa mãn    

f x f x x x Biết f 0 2 Tính 2 

f

Ⓐ   2 313

15

f 

Ⓑ   2 332

15

f 

Ⓒ  

2 324

2 15

f 

Lời giải Chọn B

Ta có    

f x f x x x      

2

4

0

d d

f x f x x x x x

  

 

2 2

0

1

2

x x

f x  

   

 

     

2

2

2 136 332

2

2 15 15

f f

f

Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Trang 4

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Ⓓ  

2 323

2 15

f 

Câu 9: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0 ; , biết

     2  

2 0, 0,

f x  x f x  f x   x ,  2

15

f  Tính f     1  f  f Ⓐ

15

Ⓑ 11

15

Ⓒ 11

30

Ⓓ

30

Lời giải Chọn D

     2   

2

2 f x

f x x f x x

f x



       

 

       

1

2

2

1

1

d d

4

f x

x x x x x C f x

f x

f x  x x C



           

 

 

Với  2 1   2

15 15 12

f C f x

C x x

       

  

Khi      1 1

8 15 24 30

f  f  f    

Câu 10: Cho hàm số f x  xác định liên tục Biết 6   

12 13

f x f x  x f 0 2 Khi phương trình f x 3 có nghiệm

Ⓐ. Ⓑ 3 Ⓒ 7 Ⓓ 1

Lời giải Chọn A

Từ 6    6     

12 13 12

f x f x  x  f x f x dx  x dx

    7   0

6 6 13 6 13 .

7

f

f x

f x df x x x C x x C  C

         

Suy 7 

42 91

f x  x  x

Do phương trình   7   

3 2187 42 91 2059 *

f x   f x   x  x 

Phương trình  * có ac0 nên có hai nghiệm trái dấu Câu 11: Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện      2

2

f x  x f x  0

f   Biết tổng

   1 2017 2018 a

f f f f

b

     với a *

b a

b phân số tối giản Mệnh đề sau

Ⓐ. a

b  Ⓑ a

b Ⓒ

1010

a b 

Ⓓ

3029

b a 

Lời giải Chọn B

Biến đổi:        

      

2

2

2 f x f x

f x x f x x dx x dx

f x f x

 

        

     

1

2

2

1

3

3

f

x x C f x C

f x x x C



         

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 5

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

  2  1 

1

3

f x

x x

x x

    

 

 

Khi đó:

        1 1

1 2017 2018

2.3 3.4 2018.2019 2019.2020

a

f f f f

b

 

            

 

1 1 1 1 1 1009

2 3 2018 2019 2019 2020 2020 2020

   

             

   

Với điều kiện a b, thỏa mãn toán, suy a 1009,b2020  b a 3029

Câu 12: (Chuyên Vinh – Lần – 2017) Giả sử hàm số f x  liên tục, nhận giá trị dương 0; thỏa mãn f 1 1,f x  f x  3x1 với x0 Mệnh đề sau đúng?

Ⓐ.  

4 f 5

Ⓑ  

2 f 3

Ⓒ  

3 f 4

Ⓓ  

1 f 2

Lời giải Chọn C

Ta có          

3

f x f x dx

f x f x x dx

f x x f x x

 



     

   

 

 

         

2

1 3 1

3

1

3 ln

3

3

x C d f x

x d x f x x C f x e

f x

  

          

Khi        

4 3 1 4

3 3

1 1 3,79 3;

3

C x

f  e      C f x e    f e  

Cách 2: Với điều kiện tốn, ta có

      

 

         

5 5

5

1 1

1

3

3

5

1 4

ln ln

3 3

3

f x

f x f x x

f x x

f x df x f

dx dx f x

f x x f x f

 

   

 

       



  

   5 1 43 3,79  3; 4

f f e

   

Câu 13: Cho hàm số f x( ) xác định, có đạo hàm, liên tục đồng biến [1; 4] thỏa mãn

2

2 ( ) [ ( )] , [1; 4], (1)

2

x xf x  f x  x f  Giá trị f(4) Ⓐ. 391

18

Ⓑ 361

18

Ⓒ 381

18

Ⓓ 371

18

Lời giải Chọn A

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 6

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

2

2

4

1

4

1

2 ( ) [ ( )] (1 ( )) [ ( )] [ ( )]

1 ( ) ( ) ( )

( ) ( )

14 ( )

3

14 391

1 (4) (4)

3 18

x xf x f x x f x f x

f x

x f x f x

x f x f x

dx xdx

f x f x

f f

 

    



 

 

 

 

 



  

     

 

Chú ý:

Nếu khơng nhìn

4 4

1

( )

1 ( ) (4) 2 ( )

f x

dx f x f

f x



    



 ta

sử dụng kĩ thuật vi phân đổi biến (bản chất một) + Vi phân

 

4 4

2

1

1 1

( ) ( )

1 ( ) (1 ( )) ( ) (4) 2

1 ( ) ( )

f x df x

dx dx f x d f x f x f

f x f x





        

 

  

+ Đổi biến

Đặt

1 ( ) ( ) ( )

t  f x   t f x tdt f x dx

Với

1 (1) 2;

4 (4)

x t f

x t f

    

   

Khi

1 (4)

1 (4) 2

1 (4) f

f

tdt

I t f

t





     

Câu 14: Cho hàm số f x( ) không âm thỏa mãn điều kiện

( ) ( ) ( ) 1, (0)

f x f x  x f x  f  Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm sốy f x( ) [1; 3]

Ⓐ. 22 Ⓑ

4 11 Ⓒ 20 Ⓓ

3 11

Lời giải Chọn D

Ta có

2

2

2

2

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 ( )

( )

f x f x

f x f x x f x x

f x f x f x

dx xdx

f x

f x x C



    

 

 



   

 

Với 2

(0) ( ) 1 ( ) ( )

f    C f x  x   f x x  x g x

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 7

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Suy

( )

2

[1;3] [1;3]

(1) ( ) ( ) (3) ( ) 99 ( ) 11

min ( ) 3; max ( ) 11

f x

g g x f x g f x f x

f x f x



        

  

Vậy tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm sốy f x( ) [1; 3] 11

Chú ý:

Nếu khơng nhìn ln

2 ( ) ( )

( ) ( )

f x f x

dx f x C

f x



  



 ta sử dụng kĩ

thuật vi phân đổi biến (bản chất một)

+ Vi phân    

1

2 2

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

( ) ( )

f x f x f x df x

dx f x d f x f x C

f x f x





      

 

  

+ Đổi biến

Đặt 2

( ) ( ) ( ) ( )

t f x   t f x  tdt f x f x dx

Suy

2 ( ) ( )

( ) ( )

f x f x tdt

dx t C f x C

t f x



     



 

Câu 15: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm đồng biến R thỏa mãn f(0) 1; f x( )2 e f xx ( ), x R Tính tích phân

1

0 ( ) f x dx



Ⓐ. e2 Ⓑ e1 Ⓒ

2 e  Ⓓ

1 e 

Lời giải Chọn B

Ta có

   

 

2

1 ())

2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x x x

x x f x

x

f x f x f x

f x e f x e e dx e dx

f x x x

f x df x e dx f x e C C f x e f x e

 

  

       

          

 

 

Suy

1

1

0

( ) x x

f x dx e dx e  e

 

Câu 16: Cho hàm số f x  liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn   6 2  3

3

f x x f x

x

 

 Tính  

1

0

f x dx 

Ⓐ. Ⓑ Ⓒ 1. Ⓓ

Lời giải Chọn B

   3    3

0

6

6

3

f x x f x I f x dx x f x dx A B

x x

 

         

    

Gọi  

1

2

0

2

A  x f x dx

Đặt

3 tx dt x dx

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 8

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

   

1

0

2 2

A  f t dt  f x dx I

   

1 1

2

0

2

1

1

6 2.2

0

3

I I B

I B dx x d x x

x



 

        



 

Câu 17: Cho hàm số f x  liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn x f x 2 3f1x 1x2 Tính  

1

0

f x dx 

Ⓐ.

4



Ⓑ

6



Ⓒ 20



Ⓓ

16



Lời giải Chọn C

 2  

4 x f x 3f 1x  1x

     

1 1

2 2

0 0

2 x f x dx f x dx x dx 2A 3B x dx *

          

 

1

2

0

A x f x dx Đặt

2

tx dt xdx; x  0 t 0; x  1 t

   

1

0

Af t dtf x dx

 

1

0

Bf x dx Đặt t  1 x dt dx x;   0 t 1,x  1 t

   

1

0

Bf t dt f x dx

       

0 0 0

* 2f x dx3 f x dx 1x dx5. f x dx 1x dx

Đặt: sin , ; ; 0,

2 2

x tdx costdt t      x  t x  t 

 

1 2

2

0 0

1 1

1 sin cos sin 2

2 2

0 cos t

x dx t tdt dt t t

  



  

         

 

  

Vậy  

0

20 f x dx  

Câu 18: Cho hàm số f x  liên tục đoạn 0; 2 thỏa mãn f x   f 2x2x Tính  

2

0

f x dx 

Ⓐ. 4 Ⓑ 1

2

Ⓒ 4

3

Lời giải Chọn D

        2    

0 0 0

2 2 2

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 9

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Ⓓ 2 x  0 t 2,x  2 t

     

2 2

0 0

2

f x dx f t dt f x dx

  

Do đó:  

2

0

2

2

0 f x dxx  

Vậy:  

0

2 f x dx 

Câu 19: Xét hàm số f x  liên tục đoạn  1, 2 thỏa mãn f x 2xf x 2 2 3f1x4x3 Tính giá trị tích phân  

2

1

I f x dx 



Ⓐ I5

Ⓑ

2 I Ⓒ I3 Ⓓ I15

Lời giải Chọn C

     

       

2

2 2

2

1 1

2

2 15

f x xf x f x x

f x dx x f x dx f x x ds

   

    

        

Đặt

2

u x  du xdx; với x    1 u 1;x  2 u

Khi        

2 2

2

1 1

2 x f x dx f u du f x dx

  

  

  

Đặt t    1 x dt dx; với x   1 t 2;x   2 t

Khi        

2 2

1 1

1

f x dx f t dt f x dx

  

  

  

Thay    1 , vào   ta    

2

1

5 f x dx 15 f x dx

 

  

 

Câu 20: Xét hàm số f x  liên tục đoạn  1, 2 thỏa mãn f x  x 2 xf3x2 Tính giá trị tích phân  

2

1

I f x dx 

 

Ⓐ 14

3 I

Ⓑ 28

3 I

Ⓒ

3 I Ⓓ I2

Lời giải Chọn B

   2    2  

1 1

14

3

3

f x xf x x f x dx xf x dx x dx

  

           

Đặt u 3 x2du 2xdx; với x   1 u 2;x   2 u

Khi        

2 2

2

1 1

1

1

2

xf x dx f u du f x dx

  

  

  

Thay vào   ta      

2 2

1 1

1 14 28

2 3

f x dx f x dx f x dx

  

   

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 10

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Câu 21: Xét hàm số f x  liên tục đoạn 0,1 thỏa mãn    2  

1

1

f x xf x f x

x

    

 Tính giá trị tích phân  

1

0

I f x dx Ⓐ 9ln

2 I

Ⓑ 2ln I

Ⓒ

3 I

Ⓓ

2 I

Lời giải Chọn B

     

       

2

1 1

1

0

0 0

1

1

1

1 ln ln

1

f x xf x f x

x

dx

f x dx xf x dx f x dx x

x

    



         



   

Đặt

1

u x du  xdx; với x  0 u 1;x  1 u

Khi        

1 1

2

0 0

1

2

2

xf x  dx f u du f x dx

  

Đặt t    1 x dt dx; với x  0 t 1;x  1 t

Khi        

1 1

0 0

1

f x dx f t dt f x dx

  

Thay    1 , vào   ta

         

1 1 1

0 0 0

1

3 ln ln ln

2

f x dx f x dx f x dx  f x dx  f x dx

    

Câu 22: Cho hàm số y f x  thỏa mãn    

3

3

2

8

1 x f x x f x

x

  

 Tích phân  

1

0

2

a b

I f x dx

c



  với a b c, ,  a b;

c c tối giản Tính a b c  Ⓐ.

Ⓑ 4 Ⓒ 4. Ⓓ 10

Lời giải Chọn A

Cách 1: (Dùng công thức - Dạng 2)

Biến đổi:          

3

3 4

2

8

1

x x

f x x f x f x x f x

x x

      

  với

1; 2;

A B  C

Áp dụng cơng thức ta có:    

1 3

2

0 0

1

1 1 1

x x

f x dx dx dx

x x

  

   

  

Đặt t x2  1 t2 x2 1 tdtxdx;với

1

x t

x t

    

  



Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 11

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

   

1 2 2

2

1

0 1

1

3

2 2

|

x t t

f x dx xdx tdt t dt t

t x

a b c 

     



 

 

   

Suy a2;b1;c    3 a b c Cách 2: Đổi biến số

Từ          

1 1

3

3 4

2

0 0

8 *

1

x x

f x x f x f x dx x f x dx dx

x x

      

     Đặt

4

4 ;

u x du x dx với x  0 u 0;x  1 u

Khi      

1 1

3

0 0

4x f x dx f u du f x dx

   thay vào  * , ta được:

     

1 1 1

2

0 0 0

2

1

x x

f x dx f x dx dx f x dx dx

x x

   

 

    

Đặt t x2  1 t2 x2 1 tdtxdx;với

1

x t

x t

    

  



Khi

   

1 2 2

2

1

0 1

1

3

2 2

|

x t t

f x dx xdx tdt t dt t

t x

a b c 

     



 

 

   

Câu 23: Cho hàm số liên tục đoạn  ln 2; ln 2 thỏa mãn     x f x f x

e

  

 Biết  

ln

ln

ln ln

f x dx a b 

 

 với a b,  Tính giá trị P a b 

Ⓐ.

2 P Ⓑ P 2 Ⓒ P 1 Ⓓ P2

Lời giải Chọn A

Cách 1: Dùng công thức – Dạng

Từ    

1 x f x f x

e

  

 Ta có A1;B1;C0 Suy  

ln ln ln

ln ln ln

1

1 x x

dx dx

f x dx

e e

  

 

  

  

Cách 2: Dùng công thức đổi biến số

Từ          

ln ln ln

ln ln ln

1

*

1

x x

f x f x f x dx f x dx dx

e    e

      

    

Đặt u  x du dx; Với x ln 2 u ln 2;xln 2  u ln

Suy      

ln ln ln

ln ln ln

f x dx f u du f x dx

  

  

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 12

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

   

ln ln ln ln

ln ln ln ln

1 1

2

2

1

x x

f x dx dx f x dx dx

e e

   

  

 

   

Đặt t e x dt e dx x ; Với ln 1; ln 2

2

x   t x  t

Suy

   

ln ln 2

1

ln ln

2

1

ln ln

1

1

x

x x x

e dt t

dx dx

t t t

e e e

 

   

 

 

  

Khi   ln

,

ln

1 1

ln ln ln ;

2 2

a b

f x dx a b  a b P



       



Câu 24: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục , f 0 0   sin os

f x  f x xc x

  với

x

  Giá trị tích phân  

0

xf x dx 





Ⓐ.



 Ⓑ 1

4

Ⓒ



Ⓓ



Lời giải Chọn D

Cách 1:

Với   sin os

2

f x  f x xc x

  ta có A1;B0;C1

Suy  

2

0

1

sin os

1

f x dx xc x dx

 

   



 

Cách 2: Từ

    2

0 0

1

sin os sin os

2 2

f x f x xc x f x dx f x dx xc xdx

  

 

   

          

        *

Đặt ; ;

2 2

u   x du dx x  u  x   u

Suy    

2 2

0 0

f x dx f u du f x dx

  



    

 

 

   thay vào  * , ta được:

     

2

0

1

2

2

f x dx f x dx

 

  

 

Đặt u x   du dx 

dv f x dx v f x

   

 

    

 

  ;

       

2 2

2

0 2

xf x dx xf x f x dx f f x dx

  

   



     

 

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 13

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Từ điều kiện  

 

   

0

2

sin os

2

0

2

f f

f x f x xc x f

f f



 



  

 

  

      

       

 

      

      Thay    1 , vào  * , ta  

2

0

1 xf x dx 



 



Câu 25: (Diễn Châu – Nghệ An – Lần – 2018) Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn

   

2

1 2 ,

1 x

f x f x x

x

     

 Tính tích phân  

3

1

I f x dx 

 

Ⓐ

2

2 I  

Ⓑ

4 I 

Ⓒ

2

I  

Ⓓ

4 I

Lời giải Chọn A

Đặt t 1 2x 1 2x 2 t 1, t

x  điều kiện trở thành:

             

2

2

2 2

1

2 2

2 2

2 5

1

t

t t x x

f t f t f t f t f x f x

t t x x

t

  

     

 

           

   

   

 

 

Cách 1: (Dùng cơng thức - theo góc nhìn dạng 2)

Với    

2

2

2

2

2

x x

f x f x

x x

 

  

  , ta có A1;B1 Suy ra:  

3

2

1

1

0, 429

1

x x

f x dx dx

x x x



 

 

   

  

  Chọn đáp án.Ⓐ

Cách 2: (Dùng phương pháp biến đổi – không nhớ công thức)

Từ   , ta có:          

3 3

2

2

1 1

2

2 2

2 5

x x x x

f x f x f x dx f x dx dx

x x    x x

   

       

      

Đặt u  2 x du dx, Với x   1 u x   3 u

Suy      

3 3

1 1

2

f x dx f u du f x dx

  

  

   thay vào   , ta được:

   

3 3

2

1 1

2 1

2 0, 429

2

2 5

x x x x

f x dx dx f x dx dx

x x x x



   

   

     

   

    Chọn đáp án.A

Câu 26: (Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – Lần – 2018) Cho hàm số y f x  xác định liên tục  

\ thỏa mãn 2       

2 1

x f x  x f x xf x  với  x \ 0  f 1  2 Tính  

2

1

f x dx



Ⓐ ln 2  

Lời giải Chọn A

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 14

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Ⓑ ln 2  

Ⓒ ln 2

 

Ⓓ

3 ln

2

 

Đặt h x xf x  1 h x    f x x f x  , Khi   có dạng:

              

     

2

2 2

1

1

1

1 1

1

1 f

h x h x dh x

h x h x dx dx x C x C

h x

h x h x h x

h x xf x C

x C x C C



 



           

            

  

  

Khi xf x  1 f x  12

x x x

      

Suy ra:  

2

2

1

1 1

ln 2

f x dx dx

x x

     

  Chọn đáp án.A

Câu 27: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 4; 8 f 0 0 với   x 4; 8 Biết  

 

4

1

f x dx f x

  

  

 

 

  4 1,  8

4

f  f  Tính f 6 Ⓐ

8

Ⓑ 2

3

Ⓒ 3

8

Ⓓ 1

3

Lời giải Chọn D

Xét  

          

8

2

4

1

2

8

f x df x

dx

f f

f x f x



       

 

Gọi k số thực, ta tìm k để   

2

2

0

f x

k dx

f x

  

 

 

 

 



Ta có:     

 

 

   

2

8 8

2

2

2

4 4

2 4

f x

f x f x

k dx dx k dx k dx k k k

f x f x f x

  

     

        

 

   

   

   

Suy

k   

       

2

8 6

2 2

4 4

1 1

0

2 2

f x f x f x

dx dx dx

f x f x f x

    

     

 

 

 

  

 

         

6

2

1 1

1

3

4 6

df x

dx f

f f f

f x

          Chọn đáp án

Ⓓ

Chú ý:   b

a

f x dx

 không phép suy f x 0,    

0

b k

a

f x dx  f x  

Câu 28: Cho hàm số f x  liên tục thỏa mãn f x 3xx21 Tính  

0

d I  f x x?

Ⓐ.

5 I 

Ⓑ 15

16 I

Ⓒ

5 I 

Lời giải Chọn D

Đặt  

 

2

d d

1

t x x

t x x

f t x

  



   

 



Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 15

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Ⓓ 15

16

I  Khi     

2 Casio

2

0

16

d d

15 If t t x  x  x  

Câu 29: Cho hàm số f x  liên tục thỏa mãn f x 32x23x1 Tính   10

1

d I f x x?

Ⓐ. 45

4 I

Ⓑ

4 I

Ⓒ 135 I

Ⓓ

4 I

Lời giải Chọn C

Đặt  

 

3 2 2 d d

3

t x x

t x x

f t x

  



    

 



Đổi cận: t 1 x32x   2 x t10x32x 2 10 x

Khi     

10 Casio

2

1

135

d 3 d

4 I  f t t x x  x 

Câu 30: Cho hàm số f x  liên tục thỏa mãn f x 3 1 2x  1, x Tính  

0

d I f x x? Ⓐ. I 2

Ⓑ

2 I Ⓒ I 4 Ⓓ I6

Lời giải Chọn A

Đặt  

2

3 d d

1

2

t x x t x

f t x   

   

 



Đổi cận:

0 1

t x     x

2

t x    x

Khi    

2 Casio

2

0

d d

I f t t x x x



    

Câu 31: Cho hàm số y f x thỏa mãn f x 33x 1 3x  2, x Tính  

1 '

Ixf x dx

Ⓐ

4 I

Ⓑ 17

4 I

Ⓒ 33

4 I Ⓓ

1761

I  

Lời giải Chọn C

Đặt              

5

5

1

5

'

u x du dx

I xf x f x dx f f f t dt

dv f x dx v f x

   

       

   

 

   

Đặt  

 

3 3 1 3

3

dt x dx

t x x

f t x

  



    

 



Đổi cận: t 1 x33x   1 1 x 0;t 5 x33x   1 5 x 1 Suy ra: f 5 3.1 2 x1 f 1 3.0 2 x0

Khi   

1

2

0

33

5.5 3

4 Casio

I   x x  dx  Chọn

Câu 32: Cho hàm số y f x liên tục 0; thỏa mãn  1 1 f x x x

x

   

 Biết  

21

2

ln

a c

I f x dx

b d

   với a b c d, , ,  * a c,

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 16

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

T   a b c d Ⓐ T243 Ⓑ T306 Ⓒ T312 Ⓓ T275

Lời giải Chọn B

Đặt

 

 

4

1 1

1

dt x x dx

t x x x

f t x

   



     

 

 

Đổi cận: 4  

2 1; 21 21

t x x     x x t x x   x  x x

Ta có:      

21 21 2

3

2 1

1

4 4

1

I f x dx f t dt x x dx x x dx

x x

 

          

   

   

2

2

1

4 28 28 243

2 5ln 5ln ln

3 3 32

x

x x x

 

         

 

Suy a28;b3;c243;d32 T 306 Chọn

Câu 33: Cho hàm số y f x liên tục 0; thỏa mãn f x 1

x x

   

 

  Biết

 

1

lnc

a

I f x dx

b

   với a b c, ,  * a

b phân số tối giản Tính T  a b c Ⓐ T13

Ⓑ T69 Ⓒ T96 Ⓓ T88

Lời giải Chọn B

Đặt

  1

1

1

dt dx

x

t x

x

f t x

  

 

  

  

    

 



Đổi cận: 1 1 1; 1  0

2

t x x t x x x

x x

              

Ta có:    

5

2 2

2

2

1 1 1

1 1 1

I f x dx f t dt dx dx dx

x x x x x x

   

           

   

    

2

2

1

ln ln

8

x x

 

    

 

Suy a3;b8;c  2 T 13 Chọn

Câu 34: Cho hàm số f x  liên tục thỏa mãn 3    ,

f x  f x   x x Tính  

2

0

I f x dx Ⓐ I2

Ⓑ

2 I

Ⓒ

2 I

Lời giải Chọn D

Đặt y f x  x y3 y dx3y21dy Đổi cận:

3

0 0

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 17

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Ⓓ

4 I

3

2

x y    y y

Khi      

2 1 casio

2

0 0

5

3

4 If x dxy y  dy y y dy  Câu 35: Cho f x  liên tục thỏa mãn 3  2   

2f x 3f x 6f x   x, x Tính tích phân

 

0

I f x dx

Ⓐ

4 I

Ⓑ

2 I

Ⓒ

12 I

Ⓓ

3 I

Lời giải Chọn B

Đặt y f x  x 2y33y26ydx6y26y6dy Đổi cận:

3

0 0

x  y  y  y  y ;

3

5

x  y  y  y  y

Khi      

5 1

2

0 0

5

.6

2 casio If x dxy y  y dy  y y y dy 

Câu 36: Cho f x  liên tục thỏa mãn 3   

2 1,

x f x  f x   x Tính tích phân  

1

2

I f x dx 

 

Ⓐ

4 I

Ⓑ

2 I

Ⓒ

3 I

Ⓓ

4 I

Lời giải Chọn A

Đặt y f x    x y3 2y 1 dx  3y22dy Đổi cận:

3

2 2

x    y y    y ;

1 1

x   y y   y

Khi  

1

2

I f x dx 

    1 

1

7

3

4 casio

y y dy y y dy

     

Câu 37: Cho f x  liên tục thỏa mãn 5   

2x f x  f x    4 0, x Tính tích phân  

2

1

I  f x dx

Ⓐ

4 I

Ⓑ

2 I

Ⓒ

3 I

Ⓓ

3 I

Lời giải Chọn D

Đặt y f x 2x    y5 y 2dx  5y41dy Đổi cận:

5

1 1

x       y y y ;

2

x       y y y Khi  

2

1

I f x dx    

0

4

1

4

5

3 casio

y y dy y y dy

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 18

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Câu 38: Cho hàm số y f x  thỏa mãn 3   

3

x f x  f x   Tính  

1

I xf x dx 



  .

Ⓐ

4 I

Ⓑ 51

4 I

Ⓒ

4 I

Ⓓ

4 I

Lời giải Chọn C

Đặt:

               

7 7

7

1 1

7

u x du dx

I xf x dx xf x f x dx f f f x dx

dv f x dx v f x 

  

   

          

    

 

    

Từ 3   

3

x f x  f x      

      

3

3

7 10

1

1

f f f

f

f f

     

 

 

 

     

 



Đặt t f x          x t3 t x t3 t dx3t2t dt

Đổi cận

3

3

1

7

x t t t

x t t t

          



       

Khi    

7

2

1

51

4 Casio f x dx t t dx 

  

 

Suy  

7

1

51

15 15

4

I f x dx



    

Câu 39: Cho hàm số y f x  liên tục nhận giá trị dương 0;1 biết f x f   1x1với 0;1

x

    Tính giá trị  

1

01

dx I

f x

 



Ⓐ

2

Ⓑ 1

2

Ⓒ 1 Ⓓ 2

Lời giải Chọn B

Cách 1: (Sử dụng công thức giải nhanh) Theo Dạng 7: “Cho    

f x f a b x  k

khi  

2 b

a

dx b a

I

k

k f x



 





Khi đó:  

1

0

1 2.1

dx I

f x



  



 Cách 2:

Đặt: t x dt dx f x;    1 f t

      x  0 t 1;x  1 t

Khi

 

 

 

    

1 1

01 01 01 01

f t dt f x dx

dx dt

I

f x f t f x

f t

   

   

   

    

1 1

0 0

1

2

2

1

f x dx dx

I dx I

f x f x

      

 

Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 19

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Câu 40: Cho hàm số y f x  liên tục , ta có f x 0và f x f   2018x1 Giá trị tích phân

  2018

0

dx I

f x

 



Ⓐ I2018 Ⓑ I0 Ⓒ I1009 Ⓓ I4016

Lời giải Chọn C

Cách 1: (Sử dụng công thức giải nhanh) Theo Dạng 7: “Cho    

f x f a b x  k

 

b

a

dx b a

I

k

k f x



 



 Khi đó:

  2018

0

2018

1009 2.1

1

dx I

f x



  



 Cách 2:

Đặt: t x dt dx f x;    1 f t

      x  0 t 2018;x2018 t

Khi  

 

 

    

2018 2018 2018 2018

0 1 1

f t dt f x dx

dx dt

I

f x f t f x

f t

   

   

   

    

2018 2018 2018

0 0

2 2018 1009

1

f x dx dx

I dx I

f x f x

      

 

  

Câu 41: Cho hàm số f x liên tục tập R, ta có f x 0 và f  0 f 10x9 Giá trị tích

phân  

12

2

I dx

f x



 



Ⓐ 14

3 I

Ⓑ

3 I

Ⓒ

6 I

Ⓓ

3 I

Lời giải Chọn D

Sử dụng công thức giải nhanh:

Theo dạng 7:    

"Cho f x f a b x   k , đó:   "

2 b

a

dx b a

I

k

k f x



 





Do đó:    

12

2

12

1

2.3

3

I dx

f x



 

  





Câu 42: Cho hàm số y f x liên tục tập R thỏa mãn f4x   f x Biết  

1

x f x dx



Tính tích phân  

1

f x dx



Ⓐ

2

Ⓑ 7

2

Lời giải Chọn A

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 20

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Ⓒ 9

2

Ⓓ 11

2

Theo dạng 8: "Cho f x   f a b x và     b

a

Ix f x dx Thì ta có:   b

a

I f x dx

a b 



 ”

Do đó:  

1

2.5

1

f x dx  



Cách 2: Đặt t  4 x dt dx x  1 t 3; x  3 t

Khi đó:              

3 3

1 1

5x f x dx  4t f 4t dt 4x f 4x dx 4x f x dx

Suy ra:          

3 3

1 1

5

10

2 x f x dx x f x dx f x dx f x dx

      

Câu 43: Cho hàm số y f x liên tục tập R thỏa mãn f x   f 3x0 Biết  

1

x f x dx 



 Tính

tích phân  

1

f x dx 

Ⓐ

2

Ⓑ 2

3.

Ⓒ 4

3

Ⓓ 3

4

Lời giải Chọn C

Sử dụng công thức giải nhanh:

Theo dạng 8: "Cho f x   f a b x và     b

a

Ix f x dx Thì ta có:   b

a

I f x dx

a b 



 ”

Do đó:  

1

2.2

1

f x dx 

 

  

Câu 44: Cho hàm số   4 x khi x f x

x khi x

  

  



 Tính tích phân  

9

1

I f x dx Ⓐ 121

6 I Ⓑ 163

6 I Ⓒ 85

6 I Ⓓ 223

6 I

Lời giải Chọn B

Ta có;       9 

1 4

163

2

6 If x dxf x dxf x dx xdx x dx

Câu 45: Cho hàm số  

2 sin

2 sin

2

x khi x

f x

x khi x

 



 

 

 



Biết    

4

, f x dx a b a b 





  

 Tính T a b

Ⓐ 11

8 T  Ⓑ

2 T 

Lời giải Chọn A

Ta có :       2

4 4

sin sin

I f x dx f x dx f x dx xdx xdx

 

  

    

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 21

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Ⓒ 15 T  Ⓓ

2 T 

2

2

4

4

1 cos 1

sin sin cos

2 4

x

dx xdx x x x a b



 



 

 

 

  

         

 

 

Do , 5; 11

4 8

a b  a b    T a b

Câu 46: Cho hàm số   2 0 x

x khi x

f x

e khi x

  

  



 Tính tích phân  

2

1

I f x dx



 

Ⓐ

2

3

2 e I

e 



Ⓑ

2

7

2 e I

e 



Ⓒ

2

9

2 e I

e 



Ⓓ

2

11 11

2 e I

e 



Lời giải Chọn C

Ta có:        

2 2

2

2

1 1

9

1

2

x e

I f x dx I f x dx I f x dx e dx I x dx e

  



          

Câu 47: Cho hàm số  

2

3

4

x khi x

f x

x khi x

  

  

  

 Tính tích phân  

2

0

I f x dx Ⓐ

2 Ⓑ 1 Ⓒ 5

2 Ⓓ 3

2

Lời giải Chọn A

Ta có:      

1 2

2

0

0 1

5

3 4

2 2

x

I  f x dx f x dx x dx x dxx  x    

 

   

Câu 48: Cho hàm số  

2

6

( )

0

x x

y f x

a a x khi x

 



  

 



4 ( )

I f x dx H ỏ i c ó t ấ t c ả b a o n h i ê u s ố n g u y ê n a đ ể I46 0 ?

Ⓐ. Ⓑ 4 Ⓒ 6 Ⓓ 5

Lời giải Chọn C

Ta có    

4

0 2 2 3 2 2

1 1

0

( ) ( ) 2 8

2 x

I f x dx f x dx x dx a a xdx x a a a a

  

          

Khi 2

46 8 46

I    a a   a   a

2 a 3,a a { 2; 1; 0;1; 2; 3}

        

Vậy có giá trị nguyên a thỏa mãn Câu 49: Tính tích phân  

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 22

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Ⓐ. 117

2

Ⓑ 707

2

Ⓒ 275

12

Ⓓ 119

6

Lời giải Chọn C

Trên đoạn 0 ; 3:

Xét 3

4 ( 1)( 3) [0;1]do ;

x  x  xx  x  x x x x   x x 

Vậy

3

3

[0;1]

[1; 3]

x x x x

x x x x

    

 

   

 [ ;3]  

3

2

[0;1]

max ;

4 [1; 3]

x

x x

x x x

x x x



 



   

 



Khi   3 

0

275

max ; 4

12 I x x  x dx x dx x  x dx Câu 50: Tính

0min{ ; }

I x x dx Ⓐ. I2

Ⓑ

4 I Ⓒ I1 Ⓓ

4 I

Lời giải Chọn D

Trên đoạn 0 ; 2:

Xét x3 2 x x3   2 x x3   x 2 0 (x1)x2 x 2  0 x0; 2 x [1; 2] Vậy

3

3

[0;1]

[1; 2]

x x x

x x x

    

 

   

 [ ;2 ]

3

3

[0;1]

min{ ; }

2 [1; 2]

x

x x

x x

x x



 



   

 



Khi

Castio

2 3 23

0

5

min{ ; }

4 I x  x dx xdx xdx  Câu 51: (Đề tham khảo – 2018) Cho hàm số f x  xác định \

2

R   

  thỏa mãn    

2

' ;

2

f x f

x

 

 f 1 2 Giá trị biểu thức f    1 f

Ⓐ ln15 Ⓑ 2 ln15 Ⓒ 3 ln15 Ⓓ ln15

Lời giải Chọn C

Cách 1: Từ    

1

2

1

ln ;

2

2

'

2 1

ln ;

2

x C x

dx

f x f x

x x

x C x

     

  

  

    

      

 

  





Ta có:  

  12 12  

1

ln 1 ;

0 1

0 2

1

ln 2 ;

2

x x

f C C

f x

C C

f

x x

     

  

      

      

      

    

 

    

  



Khi đó: f    1 f ln ln ln15    

Cách 2: Ta có:

       

       

0

0

1

1

3

3

1

1

2

0 | ' ln | ln (1)

2

2

3 | ' ln | ln (2)

2

f f f x f x dx dx x

x

f f f x f x dx dx x

x

 

 



       

 

 

       

 



 

 

Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Trang 23

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Câu 52: (Toán học tuổi trẻ - Số – 2018) Cho hàm số f x  xác định R\ 1  thỏa mãn

   

' ; 2017

1

f x f

x

 

 f 2 2018 TínhS f   3  f 1 Ⓐ S1

Ⓑ Sln Ⓒ

ln 4035

S

Ⓓ S4

Lời giải Chọn A

Cách 1: Từ      

 

1

2

ln ;1

1 '

1 ln 1;

x C x

dx

f x f x

x x x C x

    



    

       

Ta có:  

  12 12    

ln 2017 ;1

0 2017 2017 2017

0 2018 2018

2 2018 ln 2018 1;

x x

f C C

f x

C C

f x x



          

    

      

      

 

 

Khi đó: f   3  f  1 ln 2018 ln 2017 1

Cách 2: Ta có:

       

       

0

0

1

1

3

3

2

2

1

0 | ' ln | ln (1)

1

1

3 | ' ln | ln (2)

1

f f f x f x dx dx x

x

f f f x f x dx dx x

x

 

 



       

 

 

       

 



 

 

Lấy (2) (1) , ta được: f       3  f  1 f  f   0 S f       3  f  1 f  f 1

Câu 53: (Lục Ngạn – Bắc Giang – 2018) Cho hàm số f x  xác định \

R   

  thỏa mãn

   

' ;

3

f x f

x

 



2

f  

  Giá trị biểu thức f    1 f

Ⓐ 5ln 2

Ⓑ 5ln

 

Ⓒ 4 5ln 2

Ⓓ 2 5ln 2

Lời giải Chọn A

Cách 1: Từ    

1

2

1

ln ;

3

3

'

3 1

ln ;

3

x C x

dx

f x f x

x x

x C x

     

  

  

    

      

 

  





Ta có:  

 

1

2

1

0 ln 1 ;

0 1

2 0 2 2

2

ln ;

3

3

f x x

C C

f x

C C

f

x x

  

       

    

      

          

 

       

 

   

Khi đó: f    1 f ln ln ln 32 5ln 2      

Cách 2: Ta có:

       

     

0

0

1

1

3

3

2

2

3

3

3

0 | ' ln | ln (1)

3

2

3 | ' ln | ln (2)

3

f f f x f x dx dx x

x

f f f x f x dx dx x

x

 

 



       

 



  

        



  



 

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 24

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Lấy (2) (1) , ta được:      3 ln 32    1 3 5ln

3

f  f  f  f    f  f  

 

Câu 54: Cho hàm số f x  xác định 0;  \ e , thỏa mãn      2

2

1

, 3, ln

ln

f x f e f

x x e

 

    

  

Tính giá trị biểu thức f f e 3

e

   

 

Ⓐ

 

3 ln 1

Ⓑ 2ln Ⓒ 3ln 1 Ⓓ ln 3

Lời giải Chọn A

Ta có    

ln1 1 lnln 11 ln ln

d x

f x f x dx dx x C

x

x x



      

 

  

      

2

ln ln ;

ln ln 0;

x C khi x e

f x

x C khi x e

      



  

    



Ta có

 2  

1

1

2

2

3 ln ln

3

1 ln 2

ln ln ln ln

f e e C

C C

f C

e e

     

 

 

 

       

    

     

   

 

Do      

     3  

ln ln ; 1

3 ln

ln ln ln 0;

x khi x e

f x f f e

e

x khi x e

        



     

      



Câu 55: Cho hàm số f x  xác định \ 2; 2 , thỏa mãn   24 ,  3 0,  0

f x f f

x

    



 3

f  Tính giá trị biểu thức P f      4 f  1 f Ⓐ

3 ln

25 P  Ⓑ

3 ln

P 

Ⓒ

5 ln

3 P  Ⓓ

5 ln

3 P 

Lời giải Chọn B

Ta có    

  

2

4

ln

2

4

dx x

f x f x dx dx C

x

x x

x



     



 



  

 

 

 

 

1

2

3

ln 2;

2

ln 2;

2

ln ;

2 x

C khi x x

x

f x C khi x

x x

C khi x x

   

    

   

 



    

       



 



   

     

   

  



Ta có      

1

1

2

3

1

ln

3 5 2 ln 5

0 1

ln ln

3

C

f C

f C C

C C

f

       

       

     

  

        



 



Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 25

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Do  

 

 

 

2

ln ln 2;

2

ln 2;

2

ln ln ;

2 x

khi x x

x

f x khi x

x x

khi x x

   

     

   

 



    

      



 



   

     

   

  



Suy P f      4 f  1 f  3 ln

Câu 56: Cho hàm số f x  xác định \ 2;1 , thỏa mãn   2 ,    3 0,  0

f x f f f

x x

     

 

Giá trị biểu thức f      4 f  1 f Ⓐ ln 80

Ⓑ

1

ln

33

Ⓒ

1

1 ln ln

3

 

Ⓓ

1

1 ln

3



Lời giải Chọn B

Ta có    

  

2

1

ln

3

1

2

dx dx x

f x f x dx C

x

x x

x x



     



 

 

  

 

 

 

 

1

2

3

1

ln 1;

3

1

ln 2;1

3

1

ln ;

3

x

C khi x x

x

f x C khi x

x x

C khi x x

       

   

 



   



       



 



   

     

  



  



Ta có    3 1ln 3 1ln2 1 1 3 1ln10

3

f  f   C  C  C C 

 

  2

1 1 1

0 ln ln

3 3 3

f   C  C  

Do  

 

 

 

3

3

1 1

ln ln 10 1;

3

1 1

ln ln 2;1

3 3

1

ln ;

3

x

C khi x

x x

f x khi x

x x

C khi x x

   

     

   

 



   



       



 



   

     

  



  



Suy      4 1ln5 3 1ln 1ln 1ln1 1 1ln10

3 3 3

f   f  f  C         C  

     

1

ln

3

 

Câu 57: (SỞ BẮC GIANG -2018) Cho hàm số f x  xác định \ 1;1  thỏa mãn   21 f x

x

 

 ,

   3

f   f  1

2

f  f  

Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 26

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Ⓐ.

ln

5 P  Ⓑ

3 ln

5 P  Ⓒ

1

1 ln

2

P  Ⓓ

1

ln

2

P

Lời giải Chọn C

Ta có f x dx 21 d

1 x

x 



  1 d

1 x

x x



 



1 1

d

2 x x x

 

   

 

 

 1ln ln 1

2 x x C

    

2

1

ln ,

2

1

ln ,

2

x

C x x

x

C x x

 

 

 

  

  

 



 

1

3 ln

2

f   C ;  3 1ln 1

f   C , f    3 f  0 C1 0

1

ln

2

f  C

  ;

1

ln

2

f    C

  ,

1

2

2

f  f  

    C2 1

 0

f C  ;  4 1ln3

2

f  ,    0 1ln3

2

f  f  

Câu 58: (SỞ PHÚ THỌ -2018) Cho hàm số f x  xác định \ 1;1  thỏa mãn   22 f x

x

 

 ,

   2

f   f  1

2

f  f  

    Tính f      3 f  f kết

Ⓐ ln4   Ⓑ ln6

5   Ⓒ 1 ln4

5  Ⓓ 1 ln6

5 

Lời giải Chọn D

Ta có f x dx 22 d

1 x

x 



  2 d

1 x

x x



 



1

d

1 x

x x

 

   

 

 

 ln x 1 lnx 1 C

2

ln ,

1

ln ,

1

x

C x x

x

C x x

   

 

  

  

 



 2 ln

f   C ;  2 ln1 1

f  C , f    2 f  0 C1 0

1

ln

f  C

  ;

1

ln

2

f   C

  ,

1

2

2

f  f  

    C2 1

Vậy      3 ln ln3 ln6

5

f   f  f     

Câu 59: (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 4-2018) Cho F x  nguyên hàm hàm số 1 sin y

x 



với \ ,

4

x  k k 

     

 , biết F 0 1; F( ) 0  Tính

11

12 12

PF  F  

   

Ⓐ

2

P 

Ⓑ P0 Ⓒ Không tồn P

Lời giải Chọn D

Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Trang 27

H

OC

M

AI

VN

LUY

EN

TH

ITRA

C

N

G

H

IE

M

.V

N

Ⓓ P1

Ta có f x dx d

1 sin 2x x

 

  2

1

d sin cos

x

x x







2

d sin

4 x x  

  

 

 



1

1

tan , ;

2 4

1

tan , ;

2 4

x C x k

x C x k

   

   

       

    

    

 

   

      

    



   

2

1

1

1 tan , ; 2

1

0 2 2 2 4 2 4 4

1

0 1

0 tan , ;

2 2 4

x x k

C C

F F

C C x x k

   

    

    

            

   

       

   

    

   

          

  

      

Khi 11 1tan 1tan7 1

12 12 2

PF  F            

       

Cách 2:

     

     

0

12 12

11 12 11

12

0

12 sin

11

2

12 sin

dx

F F F x

x dx

F F F x

x 

  

 



 

 

  

   

   

 

 

 

   

 

   



 

Lấy    2 – ta    

0

11

12 12

11

0

12 12 sin sin

dx dx

F F F F

x x



 

  



      

     

     

11 11

1

12 12 12 12

casio F   F   F   F  

          

32