Bài Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính thể tích hình chóp Giải: Gọi O tâm mặt đáy SO (ABCD ) SO đường cao hình chóp hình chiếu SB lên mặt đáy BO, SBO 600 (là góc SB mặt đáy) BD SO Ta có, tan SBO SO BO tan SBO tan SBO BO B a tan 60 a Vậy, thể tích hình chóp cần tìm S A 60 D O C 2a 1 4a B.h AB.BC SO 2a.2a.a 3 3 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, BAC = 300 ,SA = AC = a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tính VS.ABC khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) V Giải Theo giả thiết, SA AB , BC AB , BC SA Suy ra, BC (SAB ) BC SB Ta có, AB AC cos 300 a a BC AC sin 300 2 SB SA2 AB a S a a A 3a a C B S ABC 1 a a a2 a3 AB.BC VS ABC SA S ABC 2 2 24 S SBC 1 a a a2 SB.BC 2 2 VS ABC 3VS ABC a3 a 21 d(A,(SBC )).S SBC d (A,(SBC )) 3 S SBC 24 a 7 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải (SAB ) (ABCD ) (SAD ) (ABCD ) SA (ABCD ) (SAB ) (SAD ) SA S A a 60 D B Suy hình chiếu SC lên (ABCD) AC, SCA 600 2a C SA tan SCA SA AC tan SCA AB BC tan 600 a (2a )2 a 15 AC S ABCD AB.BC a.2a 2a 1 2a 15 Vậy, thể tích khối chóp S.ABCD là: V SA.SACBD a 15 2a (đvtt) 3 Bài Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc mặt bên mặt đáy 600 Tính thể tích hình chóp Giải Gọi O tâm mặt đáy SO (ABCD ) nên SO đường cao S hình chóp Gọi M trung điểm đoạn CD Theo tính chất hình chóp CD SM (SCD ) CD OM (ABCD) SMO 600 (góc mặt (SCD ) mặt đáy) A D CD (SCD ) (ABCD ) 60 M O BC SO Ta có, tan SMO SO OM tan SMO tan 60 a B C 2a OM Vậy, thể tích hình chóp cần tìm là: V 1 4a 3 B.h AB.BC SO 2a.2a.a (đvtt) 3 3 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, cạnh SA vuông góc với đáy Gọi D, E hình chiếu vuông góc A lên SB, SC Biết AB = 3, BC = SA = Tính thể tích khối chóp S.ADE Giải 2 2 SB SA AB SC SA2 AC SA2 AB BC 62 32 22 S SD SA2 62 SA SD.SB E SB SB (3 5)2 SE SA2 62 36 D SA SE SC SC 49 A SC 1 VS ABC SA AB BC 6.3.2 B VS ADE SA SD SE SD SE 36 864 VS ADE VS ABC 6 VS ABC SA SB SC SB SC 49 245 C Bài Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân B, SA= a, SB hợp với đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải SA (ABC ) SA AB hình chiếu SB lên (ABC) AB (ABC ) AB, SBA 300 S a A 30 C B AB cot SBA BC AB SA.cot SBA a.cot 300 a SA 1 3a S ABC AB.BC a 3.a 2 1 3a a3 Vậy, thể tích khối chóp S.ABC là: V SAS ABC a (đvtt) 3 2 Bài Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Mặt bên (AA C C ) tạo với đáy góc 45 Tính thể tích khối lăng trụ Giải Gọi H,M,I trung điểm đoạn AB,AC,AM Theo giả thiết, A H (ABC ), BM AC Do IH đường trung bình tam giác ABM nên IH || BM IH AC Ta có, AC IH , AC A H AC IA Suy góc (ABC ) (ACC A) A IH 45o A' C' A a A H IH tan 45 IH MB H I a M B C o Vậy, thể tích lăng trụ là: V B.h B' 1 a a 3a BM AC A H a (đvdt) 2 2 Bài Hình chóp S.ABC có BC = 2a, đáy ABC tam giác vuông C, SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi I trung điểm cạnh AB 1) Chứng minh rằng, đường thẳng SI vuông góc với mặt đáy (ABC ) 2) Biết mặt bên (SAC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải Do SAB vuông cân S có SI trung tuyến nên SI AB (SAB ) (ABC ) AB (SAB ) (ABC ) SI (ABC ) AB SI (SAB ) Gọi K trung điểm đoạn AC IK ||BC nên IK AC Ta có, AC SI AC SK Suy ra, góc mặt phẳng (SAC) (ABC) SKI 600 Ta có, SI IK tan SKI BC tan 600 a S I A B 60 K 2a C AB 2SI 2a AC AB BC 2a Vậy, VS ABC 1 1 2a S ABC SI AC BC SI 2a 2a a (đvtt) 3 Bài Cho khối chóp S.ABC có ABC SBC tam giác có cạnh 2, SA a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a S Giải Gọi M trung điểm đoạn BC, O trung điểm đoạn AM Do ABC SBC có cạnh 2a nên SM AM 2a SA SAM SO AM (1) BC SM Ta có, BC SO (2) BC OM Từ (1) (2) ta suy SO (ABC ) (do AM , BC (ABC ) ) Thể tích khối chóp S.ABC V C A O M B 1 1 a 3 a 3 B h AM BC SO a 2a (đvtt) 3 2 Bài 10 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A AC = a, C 600 Đường chéo BC' mặt bên BB'C'C tạo với mặt phẳng (AA'C'C) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ theo a Giải: AB AC Ta có, AB (ACC A) , AC hình chiếu AB AA vuông góc BC lên (ACC A) Từ đó, góc BC (ACC A) BC A 300 Trong tam giác vuông ABC, AB AC tan 600 a Trong tam giác vuông ABC , AC AB cot 300 a 3 3a a A 60 C B 30 A' C' B' Trong tam giác vuông ACC , CC AC AC (3a ) a 2a 2 2 1 Vậy, thể tích lăng trụ là: V B.h AB.AC CC a a 2a a (đvdt) 2 Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón có đỉnh S đáy đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp cho BÀI GIẢI CHI TIẾT Gọi O tâm hình vuông ABCD Do S.ABCD hình chóp nên SO (ACBD ) Suy ra, OB hình chiếu vuông góc SB lên mp(ABCD) a Do đó, SBO 600 Kết hợp, r OB ta suy ra: S A 60 B D O C a a 3 2 OB a l SB a cos 600 cos 600 h SO OB tan 600 Diện tích xung quanh mặt nón: S xq .r l a a a (đvdt) 1 a2 a a Thể tích hình nón: V .r h (đvtt) 3 2 12 Câu 12 Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân B, SA= a, SB hợp với đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC BÀI GIẢI CHI TIẾT SA (ABC ) SA AB hình chiếu SB lên (ABC) AB (ABC ) AB, SBA 300 AB cot SBA BC AB SA.cot SBA a.cot 300 a SA 1 3a S ABC AB.BC a 3.a 2 1 3a a3 Vậy, thể tích khối chóp S.ABC là: V SAS ABC a (đvtt) 3 2 Câu 13 Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy cầu ngoại tiếp hình chóp , đường cao h = Hãy tính diện tích mặt BÀI GIẢI CHI TIẾT Giả sử hình chóp cho S.ABC có O chân đường cao xuất phát từ đỉnh S Gọi I điểm SO cho IS = IA, IS IA IB OC R Do đó, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Theo giả thiết, SO = IO R 2 AM 3 Trong tam giác vuông IAO, ta có OA IA2 OI OA2 R2 (2 R)2 4R R Vậy, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 2 S 4R 4 9 (đvdt) 2 Câu 14 Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Mặt bên (AA C C ) tạo với đáy góc 45 Tính thể tích khối lăng trụ BÀI GIẢI CHI TIẾT Gọi H,M,I trung điểm đoạn AB,AC,AM Theo giả thiết, A H (ABC ), BM AC Do IH đường trung bình tam giác ABM nên IH || BM IH AC Ta có, AC IH , AC A H AC IA Suy góc (ABC ) (ACC A) A IH 45o A H IH tan 45o IH a MB Vậy, thể tích lăng trụ là: V B.h 1 a a 3a BM AC A H a (đvdt) 2 2 Câu 15 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, cạnh SA vuông góc với mặt đáy Góc SCB 600 , BC = a, SA a Gọi M trung điểm SB 1) Chứng minh (SAB) vuông góc (SBC) 2) Tính thể tích khối chóp MABC BÀI GIẢI CHI TIẾT BC SA (SAB ) BC (SAB ) (do SA cắt BC) BC AB (SAB ) Mà BC (SBC ) nên (SBC ) (SAB ) Ta có, SB BC tan SCB a tan 600 a 2 S a 2 AB SB SA (a 3) (a 2) a S MAB 60 C A 1 a2 S SAB SA AB 2 Thể tích khối chóp M.ABC: V M a B 1 a2 a3 B h S MAB BC a (đvdt) 3 12 Câu 16 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông B, BC = a, mặt (A BC ) tạo với đáy góc 300 tam giác A BC có diện tích a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C BÀI GIẢI CHI TIẾT BC Do BC BC Và BC BC AB AA BC A B (hơn nữa, BC (ABB A) ) AB (ABC ) AB (A BC ) ABA góc (ABC ) (A BC ) (ABC ) (A BC ) Ta có, S A BC 2.S A BC 2.a A B.BC A B 2a BC a AB A B cos ABA 2a cos 300 3a AA A B sin ABA 2a 3.sin 300 a Vậy, Vl.t ruï B.h SABC AA 1 3a 3 AB BC AA 3a a a (đvtt) 2 Câu 17 Hình chóp S.ABC có BC = 2a, đáy ABC tam giác vuông C, SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi I trung điểm cạnh AB 1) Chứng minh rằng, đường thẳng SI vuông góc với mặt đáy (ABC ) 2) Biết mặt bên (SAC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC BÀI GIẢI CHI TIẾT Do SAB vuông cân S có SI trung tuyến nên SI AB (SAB ) (ABC ) AB (SAB ) (ABC ) SI (ABC ) AB SI (SAB ) Gọi K trung điểm đoạn AC IK ||BC nên IK AC Ta có, AC SI AC SK Suy ra, góc mặt phẳng (SAC) (ABC) SKI 600 Ta có, SI IK tan SKI BC tan 600 a AB 2SI 2a AC AB BC 2a Vậy, VS ABC 1 1 2a S ABC SI AC BC SI 2a 2a a (đvtt) 3 Câu 18 Cho khối chóp S.ABC có ABC SBC tam giác có cạnh 2, SA a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a BÀI GIẢI CHI TIẾT Gọi M trung điểm đoạn BC, O trung điểm đoạn AM Do ABC SBC có cạnh 2a nên SM AM 2a SA SAM SO AM (1) BC SM Ta có, BC SO (2) BC OM Từ (1) (2) ta suy SO (ABC ) (do AM , BC (ABC ) ) Thể tích khối chóp S.ABC V 1 1 a 3 a 3 B h AM BC SO a 2a (đvtt) 3 2 Câu 19 Cho hình trụ có độ dài trục OO ABCD hình vuông cạnh có đỉnh nằm hai đường tròn đáy cho tâm hình vuông trung điểm đoạn OO Tính thể tích hình trụ BÀI GIẢI CHI TIẾT Giả sử A, B (O ) C , D (O ) Gọi H,K,I trung điểm đoạn AB,CD OO Vì IO IH nên O H Theo tính chất hình trụ ta có OIH OHA tam giác vuông O H Tam giác vuông OIH có OH IH OI Tam giác vuông OHA có r OA OH HA2 Vậy, thể tích hình trụ là: V B.h .r h .52.2 50 (đvtt) Câu 20 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A AC = a, C 600 Đường chéo BC' mặt bên BB'C'C tạo với mặt phẳng (AA'C'C) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ theo a BÀI GIẢI CHI TIẾT AB AC : Ta có, AB (ACC A) , AC hình chiếu AB AA vuông góc BC lên (ACC A) Từ đó, góc BC (ACC A) BC A 300 Trong tam giác vuông ABC, AB AC tan 600 a Trong tam giác vuông ABC , AC AB cot 300 a 3 3a A a 60 C B 30 A' Trong tam giác vuông ACC , CC AC 2 AC (3a )2 a 2a C' B' 1 Vậy, thể tích lăng trụ là: V B.h AB.AC CC a a 2a a (đvdt) 2 Câu 21 Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vuông cân có cạnh góc vuông a a) Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón tương ứng S BÀI GIẢI CHI TIẾT Giả sử SAB thiết diện qua trục hình nón (như hình vẽ) Tam giác SAB cân S tam giác cân nên SA = SB = a a AB 2 Vậy, diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình nón : Do đó, AB SA2 SB a SO OA a a a S xq rl ; 2 a 2 a a S S xq r 2 A 2 a a a Thể tích khối nón: V r h 3 12 O B