29 bài tập số phức có lời giải chi tiết

29 số phức có giải chi tiết Lớp toán thầy Huy – http://thayhuy.net Câu 1: Tìm số phức liên hợp số phức z biết rằng: z  2z   2i Câu 2: Tính môđun số phức z = (  i )2011 BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu 1:  Đặt z  a  bi  z  a  bi , thay vào phương trình ta a  bi  2(a  bi )   2i  a  bi  2a  2bi   2i  3a  bi   2i 3a  a       z   2i  z   2i b  b  2    Vậy, z   2i Câu 2: Ta có, (  i )3  ( 3)3  3.( 3)2 i  3.i  i  3  9i  3  i  23.i 670  Do đó, (  i )2010  (  i )3   (23 i )670  22010.i 670  22010.(i )167 i  22010 Vậy, z  (  i )2011  22010.(  i )  z  22010 ( 3)2  12  2011 Câu 3: Giải phương trình sau tập số phức: (z )4  2(z )2   Câu 4: Viết số phức sau dạng lượng giác z   2i BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu 3: (z )4  2(z )2    Đặt t  (z )2 , thay vào phương trình ta (z )2  z  2 z  2 t  t  2t           (z )  2 z  i z  i t  2  Vậy, phương trình cho có nghiệm: z1  ; z  2 ; z  i ; z  i Câu 4:  2i  2i  2i 1 z      i 2  2i (2  2i )(2  2i )  4i 4 1  2       Vậy, z   i   i   cos  sin i    4  2   4  Câu 5: Giải phương trình sau tập số phức: z  2z   BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu 5: z  2z   (*)  Ta có,   22  4.(1).(5)  16  (4i )2  Vậy, pt (*) có nghiệm phức phân biệt 1|Trang  2  2  z        4 4 29 số phức có giải chi tiết z1  Lớp toán thầy Huy – http://thayhuy.net 2  4i 2  4i   2i z    2i 2 2 Câu 6: Giải phương trình sau tập số phức: 2  2   Câu 7: Giải phương trình sau tập số phức: z  4z  8i BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu 6: 2  2   (*)  Ta có,   (2)2  4.2.5  36  (6i )2  Vậy, phương trình (*) có nghiệm phức phân biệt:  6i  6i 1    i ; 2    i 2 2 Câu 7: z  4z  8i  Đặt z  a  bi  z  a  b2  z  a  b Thay vào phương trình ta được: z  4z  8i  a  b  4(a  bi )  8i  a  b  4a  4bi  8i a  2 a  b  4a  a  b  4a  a  4a           4b  b  b  b       Vậy, z = –2 +2i Câu 8: Tìm số phức liên hợp số phức z biết rằng: 3z   2iz  11i Câu 9: Tính môđun số phức z = (  i )2011 BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu 8: Ta có, 3z   2iz  11i  3z  2iz  9  11i (1)  Đặt z  a  bi  z  a  bi , thay vào phương trình (1) ta 3(a  bi )  2i(a  bi )  9  11i  3a  3bi  2ai  2bi  9  11i 3a  2b  9 a  1  3a  2b  (3b  2a )i  9  11i     3b  2a  11 b     Vậy, z  1  3i  z  1  3i Câu 9: Ta có, (  i )3  ( 3)3  3.( 3)2 i  3.i  i  3  9i  3  i  23.i 670  Vậy, z  (  i )2010  (  i )3   (23 i )670  22010.i 670  22010.(i )167 i  22010 Do đó, z  (  i )2011  22010 (  i )  z  22010 ( 3)2  12  22011 Câu 10: Giải phương trình sau tập số phức: z – (1  5i )z – 6  2i  2|Trang 29 số phức có giải chi tiết Lớp toán thầy Huy – http://thayhuy.net BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu 10: z – (1  5i )z – 6  2i  (*)  Ta có,   (1  5i )2  4.(6  2i )   10i  25i  24  8i  2i  (1  i )2  Vậy, phương trình (*) có nghiệm phức phân biệt: (1  5i )  (1  i ) 4i (1  5i )  (1  i )  6i z1    2i z     3i 2 2 Câu 11: Tìm môđun số phức: z   4i  (1  i )3 Câu 12: Tìm nghiệm phương trình sau tập số phức: z  z , z số phức liên hợp số phức z BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu 11: z   4i  (1  i )   4i   3i  3i  i  1  2i  Vậy, z  1  2i  z  (1)2  22  Câu 12: z  z (*)  Giả sử z  a  bi  z  a  bi Thay vào phương trình (*)ta được: a  bi  (a  bi )2  a  bi  a  2abi  b 2i  a  bi  a  b  2abi a  a  b a  a  b a  a  b a  a  b         b  2ab 2ab  b  b(2a  1)  b  hoac a       2  Với b = 0, ta a  a  a  a   a  hoac a  1 1 3  Với a   , ta    b  b   b   2 4 3  Vậy, nghiệm phức cần tìm là: z1  , z  , z    i , z4    i 2 2 1  Câu 13: Tìm môđun số phức: z   3i   3i  2    Câu 14: Giải phương trình sau tập số phức x  (3  4i )x  (1  5i )  BÀI GIẢI CHI TIẾT 1  3 Câu 13: z   3i   3i     3i  i  3i   i 2  2    3 2 3    16  27   Vậy, z   i  z  42     91 91  Câu 14: x  (3  4i )x  (1  5i )  (*)  Ta có,   (3  4i )2  4.1.(1  5i )   24i  16i   20i  3  4i  (1  2i )2  Vậy, phương trình cho có nghiệm phức: 3|Trang 29 số phức có giải chi tiết Lớp toán thầy Huy – http://thayhuy.net (3  4i )  (1  2i )  6i    3i 2 (3  4i )  (1  2i )  2i x2    1i 2 z i Câu 15: Tìm phần thực phần ảo số phức   , z   2i z i x1  Câu 16: Giải phương trình sau tập số phức: iz  4z   i  BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu 15 z   2i  z   2i z i  2i  i  3i (1  3i )(1  3i )  6i  9i       i z i  2i  i  3i (1  3i )(1  3i ) 5  9i  Vậy, phần thực   , phần ảo  5 Câu 16: iz  4z   i  (*)  Ta có,   22  i.(4  i )   4i  i  (2  i )2  Vậy, phương trình (*) có nghiệm phức phân biệt 1  (2  i ) 3  i z1     3i i i 1  (2  i )  i z2    1  i i i Câu 17: Tính x1  x , biết x1, x hai nghiệm phức phương trình sau đây:  Ta có,   3x  3x   Câu 18: Gọi z ; z hai nghiệm phương trình z  z   tập số phức Hãy xác định A 1  z1 z BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu 17: 3x  3x    Ta có,   (2 3)2  4.3.2  12  24  12  (2 3i)2  Phương trình cho có nghiệm phức: x1,2   3i 3 3   i  i 2.3 6 3  2  2  2           Từ đó, x1  x                      Câu 18: Phương trình z  z   (*) có biệt thức   12  4.1.1  3  ( 3i)2 1  3i   i 2  z1  z  1 & z1 z   Suy ra, phương trình (*) có nghiệm phức: z1,2  4|Trang 29 số phức có giải chi tiết  Vậy, A  Lớp toán thầy Huy – http://thayhuy.net z  z2 1 1     1 z1 z2 z 1.z Câu 19: Trên tập số phức, tìm B để phương trình bậc hai z  Bz  i  có tổng bình phương hai nghiệm 4i BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu 19: z  Bz  i  có tổng bình phương hai nghiệm 4i  Giả sử z1 z2 nghiệm phức phương trình Dựa vào công thức nghiệm phương trình bậc hai, ta suy ra: b c z1  z    B va z1.z   i 2a a 2 2  Theo giả thiết, z1  z1  4i  (z  z )  2z 1z  4i  B  2i  4i  B  2i  B  (1  i )2  B  (1  i )  Vậy, B  (1  i ) Câu 20: Giải phương trình sau tập số phức: z  5z  36  BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu 20: z  5z  36  z  t  z  3  Đặt t  z , phương trình trở thành t  5t  36        z  4 t  4 z  2i  Vậy, phương trình cho có nghiệm: z  3; z  2i Câu 21: Cho số phức z   3i Tìm số nghịch đảo số phức:   z  z z Câu 22: Gọi z1, z hai nghiệm phương trình: z  2z   2i  Hãy lập phương trình bậc hai nhận z1, z làm nghiệm BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu 21: Với z   3i , ta có    z  z z  (1  3i )2  (1  3i )(1  3i )   6i  9i  12  9i   6i  1  6i  6i  6i       i   6i (2  6i )(2  6i )  36i 40 10 10 Câu 22:  Với z1, z nghiệm phương trình z  2z   2i   z  z   b  z  z  2 1  a    z1.z   2i c  z1.z    2i a  5|Trang 29 số phức có giải chi tiết Lớp toán thầy Huy – http://thayhuy.net  Do đó, z1, z nghiệm phương trình z  2z   2i  Câu 23: Giải phương trình sau tập số phức: 5z  2z  z  Câu 24: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện: 2z  i   i  2z BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu 23: 5z  2z  z   5z  2z  z   z (5z  2z  1)   z  5z  2z   (2)  Giải (2): 5z  2z   Ta có,   22  4.(5).(1)  16  (4i )2 2  4i   i 10 5 2  Vậy, phương trình cho có nghiệm: z1  , z   i , z   i 5 5 Câu 24: 2z  i   i  2z (*) Như vậy, phương trình (2) có nghiệm : z1,2   Xét z  a  bi thì: (*)  2(a  bi )  i   i  2(a  bi )  2a  (2b  1)i  2a   (2b  1)i  (2a )2  (2b  1)2  (2a  4)2  (2b  1)2  4b   16a  16  4b   16a  8b  16   2a  b    Vậy, tập hợp số phức z thoả mãn điều kiện toán đường thẳng 2x – y + = Câu 25: Cho số phức z   3i Hãy viết dạng lượng giác số phức z BÀI GIẢI CHI TIẾT 1     Câu 25: Ta có, z   3i    i   2.(cos  i.sin ) 2  3  5 5     Do đó, z  25.(cos  i sin )  32  cos( )  i sin( )  3 3  Câu 26: Cho z  (1  2i )(2  i )2 Tính môđun số phức z BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu 26: z  (1  2i )(2  i )  (1  2i )(4  4i  i )  (1  2i )(3  4i )   4i  6i  8i  11  2i  Vậy, z  11  2i  z  11  2i  z  112  22  5 Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn: (1  i )2 (2  i )z   i  (1  2i )z Tìm phần thực, phần ảo tính môđun số phức z BÀI GIẢI CHI TIẾT 6|Trang 29 số phức có giải chi tiết Lớp toán thầy Huy – http://thayhuy.net Câu 27: (1  i )2 (2  i )z   i  (1  2i )z  2i(2  i )z   i  (1  2i )z  2(2i  1)z   i  (1  2i )z  (1  2i )z   i  z  z 8i (8  i )(1  2i )   2i 12  (2i )2 10  15i   3i  Phần thực z a = 2, phần ảo z –3 môđun z z  22  (3)2  13 Câu 28: Cho z    i Tính z  z  2 Câu 29 : Cho z    i Tính z 2011 2 BÀI GIẢI CHI TIẾT  1 3  3  Câu 28: z    i  z    i    i   i   2 2 4 2 3  Do đó, z  z     i  i 1  2 2 Câu 29:  1 3  3   z   i  z    i    i   i   2 2 4 2 2            z  z z    i    i       i   2  2      670  z 2010 z  z  z  1670.z  z    i 2  z 2011 3  Vậy, với z    i z 2011  z    i 2 2 7|Trang