I. VÍ DỤ :Ví dụ : Đề thi ĐH khối D năm 2010Tìm số phức z thoả mãn : | z | = và z2 là thuần ảo.Bài giải : Gọi z = x+y.i, ta có . Theo đề ta có : Vậy số phức cần tìm là z1 = 1+ i, z2 = 1i, z3 = 1 + i, z4 = 1 – i.II. BÀI TẬP LUYỆN THI :Bài 1 : Tìm số phức z thoả mãn và . ( ĐH_B_ 2009 )ĐS : z = 3+4i và z = 5
Trang 1Các dạng toán thường gặp trong kì thi CĐ-ĐH SỐ PHỨC
CHUYÊN ĐỀ : SỐ PHỨC
THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
I VÍ DỤ :
Ví dụ : Đề thi ĐH khối D năm 2010
Tìm số phức z thoả mãn : | z | = 2 và z2 là thuần ảo
Bài giải : Gọi z = x+y.i, ta có z = x 2 + y 2 ; z 2 = x 2 − y 2 + 2xy.i Theo đề ta có :
Vậy số phức cần tìm là z1 = 1+ i, z2 = 1-i, z3 = -1 + i, z4 = -1 – i
II BÀI TẬP LUYỆN THI :
Bài 1 : Tìm số phức z thoả mãn z (2 i) − + = 10 và z.z 25 = ( ĐH_B_ 2009 )
ĐS : z = 3+4i và z = 5
Bài 2 : Cho hai số phức z1 và z2 thoả mãn | z1 | = 3; | z2 | = 4 ; | z1 – z2| = 37.Tìm số phức 1
2
z z z
HDG: Đặt z1 = x1 + i.y1 và z2 = x2 + i.y2 Từ giả thiết ta có :
2
2
z z z z z x x y y (y x x y ).i 6 6 3.i 3 3 3.i
z
I PP : Số phức z = x+i.y có mô đun là z = x 2 + y 2
II VÍ DỤ MINH HOẠ
Ví dụ : Đề thi ĐH khối A năm 2009: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0 Tính giá trị của biểu thức A = | z1|2 + | z2|2
Bài giải : phương trình z2 + 2z + 10 = 0 có hai nghiệm phức là : z 1 = − − 1 3i; z 2 = − + 1 3i Khi đó :
z = z = − ( 1) + − ( 3) = 10 ⇒ z = z = 10 ⇒ z = 10 ⇒ = A z + z = 20
III BÀI TẬP LUYỆN THI :
Bài 1 : Cho hai số phức z1 và z2 thoả mãn z 1 = z 2 = 1; z 1 + z 2 = 3 Tính | z1-z2|
HDG: Đặt z1 = x1 + i.y1 và z2 = x2 + i.y2 Từ giả thiết ta có :
2
Vậy | z1-z2| = 1
Bài 2 : Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z2 - 5z + 4 = 0 Tính giá trị của biểu thức A = | z1|4 + | z2|4
Bài 3 : Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 - 4z + 7 = 0 Tính giá trị của biểu thức A = | z1|3 + | z2|3
Bài 4 : Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 - 6z + 25 = 0 Tính giá trị của biểu thức
A
Bài 5 : Cho số phức z thoả z (1 3i)3
1 i
−
=
− Tìm môđun của số phức z+iz ĐS :8 2
Trang 1
Trang 2Các dạng toán thường gặp trong kì thi CĐ-ĐH SỐ PHỨC
I VÍ DỤ :
Ví dụ 1 : Đề thi CĐ khối A,B,D năm 2009
Cho số phức z thoả mãn (1+i)2(2-i)z = 8+i+(1+2i)z Xác định phần thực và phần ảo của z
Bài giải : Ta có (1+i)2(2-i)z = 8+i+(1+2i)z 2 2
Vậy số phức z đã cho có phần thực là : 2 và phần ảo là : -3
Ví dụ 2 : Đề thi ĐH khối A 2010
Tìm phần ảo của số phức z biết z ( 2 i) (1 = + 2 − 2i)
Bài giải : Ta có : z ( 2 i) (1 = + 2 − 2i) (1 2 2i)(1 = + − 2i) 5 = + 2i ⇒ = − z 5 2i.Vậy phần ảo của z là - 2
Ví dụ 3 : Tìm hai số thực x và y thoả mãn: x(3+5i)+y(1-2i)3 = 9+14i
Bài giải : Ta có : x(3+5i)+y(1-2i)3 = 9+14i ⇔(3x-11y) +(5x+2y)i = 9+14i ⇔ 3x 11y 95x 2y 14− = ⇔ x 172 / 61y= 3 / 61
II BÀI TẬP LUYỆN THI :
Bài 1 : (Đề thi CĐ A,B,D 2010) Cho số phức z thoả (2 3i)z (4 i)z − + + = − + (1 3i) 2 Tìm phần thực và phần ảo của z
HDG: (2 3i)z (4 i)z − + + = − + (1 3i) 2 ⇔ z = -2+5i Vậy phần thực : -2 và phần ảo : 5
Bài 2 : Cho hai số phức z1 = 1+2i và z2 = 2-3i Xác định phần thực và phần ảo của số phức
Z3 = (z1-2z2)2 và z4 = z1.z2
Bài 3 : Tìm các số nguyên x,y sao cho số phức z = x+y.i thoả mãn: z3 = 18+26i
HDG: (x+y.i)3 = 18+26i
Đặt y = tx, ta được t = 1/ 3
Vậy x = 3 và y = 1
I VÍ DỤ :
Ví dụ : Đề thi ĐH D-2009 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện | z –(3-4i)| = 2
Bài giải : Biểu diễn số phức z = x + yi với x,y là các số thực bởi điểm M trong mp Oxy.
Ta có : z –(3-4i) = (x-3)+(y+4)i Khi đó :
| z –(3-4i)| = 2⇔ (x 3) − 2 + + (y 4) 2 = ⇔ 2 (x 3) − 2 + + (y 4) 2 = 4
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3;-4) và bán kính R = 2
II BÀI TẬP LUYỆN THI :
Bài 1 : (Đề thi ĐH B 2010) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số
phức z thoả mãn điều kiện | z – i| = |(1+i)z|
HDG: Biểu diễn số phức z = x + yi với x,y là các số thực bởi điểm M trong mp Oxy.
Ta có : z – i = x + (y-1)i và (1+i)z = (x-y) + (x+y)i Khi đó | z – i| = |(1+i)z|
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0;-1) và bán kính R = 2
Bài 2 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện
a) z = − + z 3 4i b) z i 1
z i − = +
ĐS
: a) Đường thẳng 6x+8y-25 = 0 ; b) Truc thực Ox
Bài 3 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức ω = + (1 i 3)z 2 + biết số phức z thoả mãn điều kiện z 1 − ≤ 2 ĐS: Hình tròn (x 3) − 2 + − (y 3) 2 ≤ 16
Trang 2