Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phần 1: Hệ toạ độ không gian A Lý thuyết cần nhớ Hệ trục tọa độ Oxyz gồm ………………… đôi vuông góc với với r ur r uur ur r i = j = k =1 i , j , k các……………………tương ứng ur ur r ur ( uur ) B a = ( a1; a ; a ) ⇔ a = a1 i + a j + a k ; uuuur r r r Và M (x;y;z) ⇔ OM = x.i + y.j + z.k C Tọa độ véctơ ur ur Cho u = (x; y; z), v = (x'; y'; z') r k ( 0;0;1) ⎧ x = x' ⎪ u = v ⇔ ⎨ y = y' ⎪z = z' ⎩ ur ur ur y ur u ± v = ( x ± x'; y ± y ';z ± z ' ) ur α u = (α x ; α y; α z ) O r i (1; 0;0 ) ur ur r j ( 0;1;0 ) x u.v = x.x '+ y.y'+ z.z' ur z ur ur ur u ⊥ v ⇔ u.v = ur 2 u = x + y + z ur ur ⎛y z z x x y⎞ ⎡ u,v ⎤ = ⎜ ⎦ ⎜ y' z' ; z' x' ; x' y' ⎟⎟ = ( yz' − y'z;zx' − z'x; xy '− x'y ) ⎣ ⎝ ⎠ ur ur ur ur r u,v phương ⇔ [u , v] = uur ur u.v rr cos u,v = ur ur u.v ( ) D Tọa độ điểm : cho A (xA; yA; zA), B (xB; yB; zB) uuur AB = (x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) 2 2 AB = (x B − x A ) + (y B − y A ) + (z B − z A ) 3.G trọng tâm tam giác ABC ta có: Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh xG = HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN xA + xB + xC y A + y B + yC y = G ; ; 3 zG = zA + zB + zC Đặc biệt : M trung điểm AB: xM = xA + xB y + yB z + zB ; yM = A ; zM = A 2 uuur uuur A,B,C lập tam giác ⇔ A,B,C không thẳng hàng ⇔ AB, AC không uuur uuuur r ⎡ AB, AC ⎤ ≠ phương ⇔ ⎣ diện tích tam giác ABC S = ⎦ Bàir tập : r :rtrong uur cho r hệr trụcr tọa rđộ Oxyz r r vectơ r u = i − j, v = 3i + j − 5k, w = 2i + 3j − k uuur uuur ⎡ AB, AC ⎤ ⎣ ⎦ r r r r r r u, v u, i k, v a/ Tìm tọa độ vectơ b/ tính cosin góc , , r r r uur r uur r r u.v, u.w, v.w, u j c/ Tính tích vô hướng r r r uur ur r r uur d/ Tìm tọa độ vectơ sau : e = 2u − v + 3w , α = u + v − 2w , uur r r r r r r r r r r r uur m = − u + v−w , n = −3u + v − 2i + 5j , r = 3u + 5i − 3k 2 ( ) ( ) ( ) Bài tập bổ sung : Cho ba vectơ a = (2;−5;3); b = (0;2;−1); c = (1;7;2) d = a − b + 3c e = a − b − c Tìm toạ độ vectơ sau đây: Bài tập : Tìm toạ độ vectơ x y biết a) a + x = a = (1;−2;1) b) a + x = i a = (0;−2;1) c) a + x = −b , − a + y = 3b r a Soạn : Cho = (5; −4; 7) với a = (5;4;−1) ; b = (2;−5;3) r x r r r thỏa x + y = uur r r r b/ Tìm vectơ y thỏa 2y − a = 3b a/ Tìm vectơ Bài tậpr : Phân tích vectơ r r r u = 4, 0, − theo a = − 2, 1, , b = 1, 3, − , c ( ) ( ) ( ) = ( 2, 4, 3) a/ r r r r b/ d = ( −4, 5, − 1) theo a = ( 2, 4,1) , b = ( −3, 0, ) , c = (1, − 1, − 1) uur r r r c/ m = ( 3, 2, − ) theo a = (1, 0, − ) , b = ( −2, 1, ) , c = ( −4, 3, ) r r r r d/ q = ( −4, 12, ) theo a = ( 3, − 7, ) , b = ( 2, − 3,1) , c = ( 3, 2, ) Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh r r HÌNH r GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Bài tập : Viết dạng xi + y j + z k r ⎛ r ⎛ r r π⎞ 11 ⎞ d = 2, , − b = 0, 0, − c = 1, 3, − a = (1, 0, − ) ; ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ; 3⎠ ; 6⎠ ⎝ ⎝ Bài tập : Trong không gian Oxyz cho A(2; − ; 1), B(1; − 1; 4) C( − 2; 1; 6) a/ Tìm tọa độ trọng tâmuuu Grcủa giác ABC uuutam r uuu r uuu r uuur uuur b/ Tính vectơ sau : AB, AC, BC, 2AB + 3AC − 4BC uuur uuur uuur c/ Tính: 2AB − AC BC uuuur uuur MA = −2MB d/ Tìm tọa độ điểm M cho : uuur uuur uuur e/ Tìm tọa độ điểm K cho : KA − 2KB = 2CB uuur uuur uuur r PA + 2PB − 4PC = f/ Tìm tọa độ điểm P cho : g/ Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành Bài tập 6: Cho ba điểm: A(−3;2;1) ; B (3;−1;2) ; C (0;−4;2) CMR tam giác ABC cân Bài tập : D' C' a/ Trong không gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với A(1; ; 1), B(2; 1; 2) , C’(4; 5; − 5), D(1; − 1; 1) Tìm tọa độ A' B' đỉnh lại B b/ Trong không gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với A( − 1; ; 3), C(1; 4; 5) , B’( − 3; 3; − 2), D’(5; 3; 2) Tìm tọa độ D A đỉnh lại c/ Trong khôgn gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết A(4;1;-2), B’(4;5;10) C(-3;-2;17), D’(-7;-2;11) Tìm tọa độ đỉnh lại Bài tập : Tìm góc hai vectơ sau: ( ( ) ) a) a = (4;3;1) ; b = (−1;2;3) b) a = (2;5;4) ; b = (6;0;3) c) a = (1;−1;1) ; b = (0;1;3) Bài tập 9: a/ Trên trục Oy, tìm điểm cách hai điểm: A(3;1;0) ; B (−2;4;1) b/ Trên trục Ox, tìm điểm cách hai điểm: A(1;0;1) ; B ( 2;1;2) c/ Trên trục x’Ox, tìm điểm M cách hai điểm: A( 2;−1;1) ; C (3;−2;−1) (ĐS : (4;0;0) ) Bài tập 10: a/ Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách ba điểm: A(1;1;1) ; B (−1;1;0) ; C (3;1;−1) b/ Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách ba điểm: A(2;−1;1) ; B (1;3;4) ; C (3;−2;−1) Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com C GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN ⎛ 26 14 ⎞ (ĐS : ⎜ ; ;0 ⎟ ) ⎝ ⎠ Bài 7: Cho A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-1;-2;2) 1/ Chứng minh A, B, C đỉnh tam giác 2/ Tính cosin góc ΔABC 3/ Tìm Ox điểm cách A B 4/ Tìm Oz điểm cách C B 5/ Tìm mặt phẳng uuur xOy điểm cách A, B, C Bài tập 11: cho AC = ( 3, 2, −5) với C (1, 0,3) Tìm A Bài tập 12: Cho điểm M( − 3;4;7) Tìm tọa độ hình chiếu M a/ Các trục tọa độ b/ Các mặt phẳng tọa độ Bài tập 13: Cho tam giác ABC với A(0;−2;1) ; B (3;2;2) ; C ( 4;1;−2) a) Tính AB, BC, CA diện tích tam giác ABC b) Tìm toạ độ trung điểm AB, BC, CA toạ độ trọng tâm tam giác ABC c) Tìm chân D đường phân giác AD góc A r r E Hai vectơ phương Cho a = ( a1 , a , a ) , b= ( b1 , b , b3 ) r r r r a , b phương ⇔ ∃k ∈ R cho a = k.b ⇔ a1 a a = = b1 b b Ghi : ……………………………………………………………………… r r r Ví dụ : a = ( 3, − 1, ) , b = ( −9, 3, − ) , c = ( 6, − 2,1) r r a/ CMR a , b hai vectơ ngược hướng r r a c b/ CMR hai vectơ không phương Giải : r r r −1 1r = = = − a = − b a/ Vì nên suy a b ngược hướng −9 − 3 r r ≠ a c b/ Vì hai vectơ không phương 2 Ví dụ : Cho A(−3;1;4) ; B ( 2;3;6) ; C (3;−4;1) a/ CMR A,B,C lập tam giác uuuur uuur b/ Tìm tọa độ điểm M ( x; y;−6) cho AM, BC hướng uuur Giải : uuur a/ AB = ( 5; 2; ) , AC = ( 6; −5; −3) Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN uuur uuur ≠ nên AB AC hai vectơ không phương Vì −5 Suy ba điểm A, B, C không thẳng hàng Vậy ba đỉnh uuu uuuuA,B,C r r tam giác b/ AM = ( x + 3; y − 1; −10 ) , BC = (1; −7; −5) uuuur uuur x + y − −10 = = >0 AM, BC hướng nghĩa chúng phương ⇔ −7 −5 ⎧x+3 ⎪⎪ = ⎧ x = −1 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩ y = −13 Vậy M ( −1; −13; −6 ) ⎪ y −1 = ⎩⎪ −7 Bài tập 14: a/ Cho A(1;1;1) ; B (14;0;−5) ; C ( 2;3;1) Tìm tọa độ hình chiếu H A BC tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC b/ Cho A(5;2;5) ; B ( 2;−1;2) ; C (3;1;6) Tìm tọa độ hình chiếu H A BC tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC (ĐS : H (3;1;6) A' (1;0;7) ) c/ Cho A(2;−1;3) ; B (3;0;−2) ; C (5;−1;−6) Tìm tọa độ hình chiếu H A BC tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC (ĐS : H (1;1;2) A' (0;3;1) ) r r rr r Bài tập 15: Cho a = 3i − j, b = (2;3; −1), c = ( −2; 4; 2) r rr r r rr a/ Tìm x cho a.x = , b.x = −1 , c ⊥ x r r r ⎡ r 1r ⎤r b/ Tìm tọa độ của: (a.3b)c ⎢ (−2c)( a) ⎥ b ⎣ ⎦ F Tích r có hướng vàrsự đồng phẳngr Cho a = ( a1 , a , a ) , b = ( b1 , b , b3 ) , c = ( c1 , c2 , c3 ) r + a, r + a, r r r r ⎡ ⎤ b phương ⎣a, b ⎦ = r r r r r ⎡ b, c đồng phẳng ⎣a, b ⎤⎦ c = uuur uuur uuuur Chú ý : A,B,C,D lập tứ diện ⇔ AB, AC, AD không đồng phẳng uuur uuur uuur ⎡ AB, AC ⎤ AD ≠ ⇔ ⎣ ⎦ Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 1 ⎡ uuur uuur ⎤ uuur V = SBCD h V , , = AB AC AD Và A.BCD ⎣ ⎦ (h chân đường cao hạ từ đỉnh A) r r r Bài tập 16: Xét đồng phẳng vectơ a, b, c biết: r r a = (1; − 1;1) a/ ; b = (0;1; 2) ; r r b/ a = (1; 2;1) ; b = (1; −2;3) ; r c = (4; 2;3) r c = (2; 6;1) r r r r r r r r c = − 4i +2j+k b = ( − 1;3;5) a = 2i − 3k c/ ; ; Soạn : d/ a = (4;3;4) ; b = (2;−1;2) ; c = (1;2;1) e/ a = (4;2;5) ; b = (3;1;3) ; c = (2;0;1) f/ a = (−3;1;−2) ; b = (1;1;1) ; c = (−2;2;1) Bài tập 17: r r r a/ Tìm m để vectơ a = (1; 2;3) ; b = (2;1; m) ; c = (2; m;1) đồng phẳng r r r b/ CMR vectơ a = (1;1; m) ; b = (1;1; m + 1) ; c = (1; −1; m) không đồng phẳng với m Bài tập 18: Xét tính đồng đẳng điểm sau: a/ A(1;2;1), B(–1;2;3), C(2;0; –2), D(0;1; –4) b/ A(1;1;1), B(–1;2;4), C(3;0; –2), D(–2;1;0) r r a = (1; − 1;3) Bài tập 19: ; b = (2; 2; −5) r r a/ Tính ⎡⎣ a, b ⎤⎦ r r b/ Cho c = (1; −1; 2), x = (m; m + 2; m − 2) Tìm m để r ⎡ a, ⎣ r b ⎤⎦ = (ĐS : 0, -12/7) Bài tập 20: Cho bốn điểm: A(1;−1;1) ; B (3;1;−2) ; C (−1;2;4) ; D (5;−6;9) a) Chứng tỏ D nằm mặt phẳng (ABC) b) Tìm toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD c) Tính diện tích tứ diện ABCD tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A Bài tập 21: Cho bốn điểm: A( 2;3;1) ; B ( 4;1;−2) ; C (6;3;7 ) ; D ( −5;−4;8) a) Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện (Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng) b) Tính thể tích tứ diện tính độ dài đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A c) Tìm tọa độ điểm I cách bốn điểm A, B, C, D -Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Phần 2: Phương trình mặt cầu A Kiến thức cần nhớ Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) , bán kính R: Dạng tắc: ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) = R 2 R I Dạng khai triển: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = (điều kiện để có mặt cầu : ………………………… ) 2 Bán kính: R = a + b + c − d B Bài tập: Ví dụ : Tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình x + y + z − 6x + 8y − 4z + = 2 2 2 Giải : so sánh với phương trình x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = ⎧−2a = −6 ⎧a = ⎪−2b = ⎪b = −4 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎨ Ta có −2c = −4 suy mặt cầu có tâm I (3; – 4;2) ⎪ ⎪c = ⎪⎩d = ⎪⎩d = bán kính R = a + b + c2 − d = + 16 + − = 3 Bài tập 22: Tìm tâm bán kính mặt cầu sau: 2 2 2 a) x + y + z − x + y + = b) x + y + z + x + y − z − = 2 2 2 c) x + y + z − x − y + z = d) x + y + z + x − y + 15 z − = 2 2 2 e) x + y + z − x + y = f) x + y + z − z − = 2 2 2 g) x + y + z − x + y − z − 86 = h) x + y + z − 12 x + y − z + 24 = 2 2 2 k) x + y + z − x − 12 y + 12 z + 72 = l) x + y + z − x + y + z − = Bài tập 23: cho phương trình : 2 2 a/ x + y + z − 2mx + ( m + 1) y − ( m − ) z + 7m + = (1) Xác định tham số m để (1) phương trình mặt cầu (S) Khi xác định m để mặt cầu (S) có bán kính lớn (ĐS : < m < m = ) 2 2 b/ x + y + z − ( m + 1) x + ( m − 1) y + 2mz + 7m − = (1) Xác định tham số m để (1) phương trình mặt cầu có bán kính (ĐS : m = −3 ± ) 2 2 c/ x + y + z − 4mx + 4y + 2mz + m + 4m = (1) Xác định tham số m để Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN (1) phương trình mặt cầu (S) Khi xác định m để mặt cầu (S) có bán kính nhỏ (ĐS : ∀m ∈ R m = / ) Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu biết: a/ Tâm I(2; 2; –1), bán kính R = 2 b/ Tâm I(2; 0; 1) qua điểm A(2; 1; 5) c/ Qua điểm A(2; 2; 1), B(3; 2; 2), C(–3; 1; 6), D(3; –8; 0) Giải : ☺a/ mặt cầu (S) có tâm I(2; 2; -1), bán kính R = 2 (S) : ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = ( 2 ) ☺ b/ mặt cầu (S) có tâm I(2; 0; 1) qua điểmuurA(2; 1; 5) 2 2 nên có bán kính R = IA = 02 + 12 + 42 = 17 với IA = ( 0;1; ) (S) : ( x − ) + y + ( z − 1) = 17 2 R A I ☺ c/ mặt cầu (S) qua điểm A(2; 2; 1), B(3; 2; 2), C(-3; 1; 6), D(3; -8; 0) 2 gọi pt (S) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = ⎧22 + 22 + 12 − 4a − 4b − 2c + d = ⎧A ( 2; 2;1) ∈ (S) ⎪ ⎪ 2 + + − 6a − 4b − 24c + d = B 3; 2; ∈ (S) ( ) ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎨ 2 Ta có ⎪C ( −3;1;6 ) ∈ (S) ⎪( −3) + + + 6a − 2b − 12c + d = ⎪ ⎪ + − + 02 − 6a + 16b + d = ( ) ⎩D ( 3; −8;0 ) ∈ (S) ⎩ ⎧9 − 4a − 4b − 2c + d = (1) ⎪17 − 6a − 4b − 24c + d = (2) ⎪ ⇔⎨ ⎪46 + 6a − 2b − 12c + d = (3) Lần lượt trừ vế tương ứng phương trình ⎪⎩73 − 6a + 16b + d = (4) ⎧2a + 2c = ⎪ ⎨ (1) cho phương trình (2), (3), (4) ta có hệ : 10a + 2b − 10c = −37 ⎪2a − 20b − 2c = 64 ⎩ ⎧a = 1/ ⎪ Giải hệ ta : ⎨b = −7 / thay vào (4) ta d = −14 ⎪c = / ⎩ 2 Vậy phương trình (S) : x + y + z − x + 7y − 7z − 14 = Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Bài tập 24: Viết phương trình mặt cầu biết: a) Tâm I(5; –3; 7) bán kính R = b) Tâm I(3; –2; 1) qua điểm A(2; 1; –3) c) Tâm I(4; –4; –2) qua gốc toạ độ d) Hai đầu đường kính A(4; –3; –3) B(2; 1; 5) e) Nhận AB làm đường kính với A(6; 2; –5) B(–4; 0; 7) Soạn : a) Tâm I(1; -3; 5), bán kính R = b) Tâm I(4; -1; 2) qua điểm A(1; -2; -4) c) Hai đầu đường kính A(2; -3; 5) B(4; 1; -3) Bài tập 25: Viết phương trình mặt cầu (S): a/ (ĐH Bách Khoa Hà Nội – 96) Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(3; 2; 6), B(3;-1; 0), C(0; -7; 3), D(-2; 1; -1) (ĐS: x + y2 + z + 2x + 3y − 8z − 13 = ) b/ (ĐH Văn Lang – 98) qua bốn điểm A(0; 0; 0), B(0;0; 4), C(0; 4; 0), D(4; 0; 0) c/ Đi qua bốn điểm: A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2) d/ Đi qua bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0) e/ Đi qua bốn điểm: A(1 ; ; 0) ; B(0 ; ; 0) ; C(0 ; ; 1); D (-2 ; ; -1) (ĐS : x2 + y2 + z2 + x + y + z - = 0) 3 3 f/ Đi qua bốn điểm: A(–1; 2; 0), B(2; –3; –1), C(0; –2; –2), D(–2; 0; 1) Bài tập 26: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB với A, B có toạ độ: a) A(−1,−3,1) ; B (−3,1,5) b) A(6,2,−5) ; B (−4;0;7) c) A(1,−2,4) ; B (3,−4,−2) d) A( 4,−3,7) ; B ( 2;1;3) -Phần 3: Phương trình mặt phẳng A Kiến thức cần nhớ a) Phương trình tổng quát: 2 Ax + By + Cz + D = với A + B + C > r n n = ( A; B; C ) vecto pháp tuyến mp b) Phương trình mặt phẳng qua M ( x0 ; y0 ; z ) có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) có dạng: A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN c) Phương trình mp theo đoạn chắn, qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có dạng: x y z + + =1 a b c z B b Ghi : ……………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… C c O y A x a d) trường hợp đặc biệt : (P) : Ax + By + Cz + D = + D = : (P) : Ax + By + Cz = (P) qua gốc O + Các mp tọa độ cần nhớ : (Oxy) : z = ; (Oxz) : y = ; (Ozy) : x = Ví dụ : lập phương trình mp (P) trường hợp sau : r a/ qua A(2; 1; 5) có vectơ pháp tuyến n = ( 2; −3; −2 ) b/ cắt trục tọa độ điểm A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; -2) c/ qua điểm A(1; –2; 4), B(3; 2; –1), C(–2; 1; -3) không thẳng hàng d/ (P) mặt phẳng trung trực AB với A(3; -2; 5), B(-5; 4; 7) e/ qua ba điểm A1, A2, A3 hình chiếu A(-3; 2; -4) lên trục Ox, Oy, Oz f/ qua điểm A(1; 2; 2) song song với mp (R) : 2x − 3y − z + 2013 = r Giải : a/ (P)qua A(2; 1; 5) có vectơ pháp tuyến n = ( 2; −3; −2 ) ☺ Phương trình (P) : ( x − ) − ( y − 1) − ( z − ) = ⇔ 2x − 3y − 2z + = ☺b/ (P) cắt trục tọa độ điểm A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; -2) nên (P) mặt phẳng đoạn chắn : x y z + + = ⇔ x + 2y − z − = −2 ☺c/ qua điểm A(1; -2; 4), B(3; 2; -1), C(-2; 1; -3) không thẳng hàng nên (P) có cặp vectơ phương uuur ⎧⎪ AB = ( 2; 4; −5 ) ⎨ uuur ⎪⎩ AC = ( −3;3; −7 ) Đt : 0914449230 B A 10 C Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 21 : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; ; 2) mặt phẳng (Q):x + 2y + 3z + = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B vuông góc với (Q) uuur uur uuur uur ⎡ ♫ Giải :Ta có AB (1;1;1), nQ (1; 2;3), ⎣ AB; nQ ⎤⎦ = (1; −2;1) uuur uur uuur uur r ⎡ Vì ⎡⎣ AB; nQ ⎤⎦ ≠ nên mặt phẳng (P) nhận ⎣ AB; nQ ⎤⎦ làm véc tơ pháp tuyến Vậy (P) có phương trình x – 2y + z – = Ví dụ 22 :Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (6; –2;3); B (2; –1;3); C (4;0; –1) a/ Chứng minh rằng: A, B, C ba đỉnh tam giác b/ Tìm m n để điểm M (m + 2; 1; 2n + 3) thẳng hàng với A C uuur uuur ♫ Giải : a/ Ta có : AB = ( −4;1; 0) ; BC = (2;1; −4) uuur uuur r ⎡ AB, BC ⎤ = (−4; −16; −6) ≠ ⎦ ⇒ ⎣ ⇒ A, B, C không thẳng hàng ⇒ A, B, C đỉnh tam giác uuur uuuur b/ M (m + 2; 1; 2n + 3) ⇒ AM = (m − 4;3; 2n) phương AC = −2(1; −1; 2) m − 2n = = −1 ⇒ m = n = –3 ⇒ Ví dụ 23 : Trong không gian Oxyz, cho A(1;1;0), B(0;1;1) C(2;2;1) mặt phẳng (P): x + 3y – z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ ♫ Giải : Tìm M thuộc (P) cho MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ uuur uuur uuur Ta tìm tọa độ G thỏa mãn : GA + GB + GC = => G trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ G(1; 4/3; 2/3) Chứng minh MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 Do GA2 + GB2 + GC2 = số nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ MG nhỏ nhất, M hình chiếu G (P) Tìm M(22/3; 61/3; –17/30) Ví dụ 23: cho hình thoi ABCD với A( −1 ; ; 1), B (2 ; ; 2) Tìm tọa độ x +1 y z − d : = = đỉnh C, D biết tâm I hình thoi thuộc đường thẳng −1 −1 ♫ Giải : Đt : 0914449230 43 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN uur uur Ta có IA = ( t ; + t ; −1 − t ) , IB = ( + t ;3 + t ; −t ) uur uur Do ABCD hình thoi nên IA.IB = ⇔ 3t + 9t + = ⇔ t = −1, t = −2 Do C đối xứng với A qua I D đối xứng với B qua I nên: * Với t = −1 ⇒ I ( 0;1;1) ⇒ C (1;0;1) , D ( −2; −1;0 ) * Với t = −2 ⇒ I (1; 2;0 ) ⇒ C ( 3; 2; −1) , D ( 0;1; −2 ) Ví dụ 24 : Viết phương trình mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 6y – 4z + = theo giao tuyến đường tròn có bán kính ♫ Giải : (S) có tâm I(1; –3; 2), bán kính R = (P) chứa Oy nên pt có dạng Ax + Cz = với ( A2 +C2 > ) (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r = suy d(I,(P)) = R −r = ⇔ 2 A + 2C A +C 2 = ⇔ C = 2A Chọn A = C = Vậy pt (P) : x + 2z = Ví dụ 25 (ĐH Khối B – 2012) : Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho đường x − y +1 z = = thẳng Δ : mặt phẳng (P) :x + y + z – = Gọi I giao điểm −2 −1 Δ (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MI vuông góc với Δ MI = 14 ♫ Giải : Tauuucó r Δ cắt (P) I (1; 1; 1); điểm M ∈ (P) ⇒ M (x; y; – x – y) ⇒ MI = (1 – x; – y; –2 +r x + y) Vectơ phương Δ a = (1; -2; -1) uuur r ⎧⎪ MI.a = Ta có : ⎨ ⎪⎩ MI = 16.14 ⎧ y = 2x −1 ⇔ ⎨(1 − x)2 + (1 − y )2 + (−2 + x + y )2 = 16.14 ⎩ ⇔ x = – hay x = Với x = –3 y = –7 Điểm M (–3; –7; 13) Với x = y = Điểm M (5; 9; –11) Đt : 0914449230 44 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 26 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; –3) mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 10 = a/ Tìm phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm A (Q) song song mặt phẳng Oxy b/ Tìm phương trình mặt cầu (S) tâm A (S) tiếp xúc với mp(P) ♫ Giải : a/ Tìm phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm A (Q) song song mặt phẳng Oxy Dạng (Q) : z + D = A ∈ (Q ) ⇒ −3 + D = ⇒ D = Nên : (Q) : z + = b/ Tìm phương trình mặt cầu (S) tâm A (S) tiếp xúc với mp(P) Dạng (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 2.1 − + 2(−3) − 10 R = d ( A, ( P)) = = 2 2 + (−1) + Vậy (S) : (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z +3)2 = 25 Ví dụ 27 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng có phương trình ( Δ ) x +1 = y4 = z 2+ mặt phẳng ( P ) x + y + z − = a/ Tìm tọa độ giao điểm ( Δ ) ( P ) b/ Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa ( Δ ) vuông góc ( P ) ♫ Giải : a/ Gọi M giao điểm (Δ) (P) ⎧ x = −2 + t ⎪ ⎪ y = 4t Tọa độ M nghiệm hệ ⎪⎨ z = −1 + 2t Suy M ( −1; 4;1) ⎪⎩ x + y + z − = r r b/Mặt phẳng ( P ) có vtpt n = (1;1;1) ; Đường thẳng ( Δ ) có vtcp u = (1; 4; ) r r ⎡ u, M − 2; 0; − ) nhận vectơ ⎣ n⎦⎤ = ( 2;1; −3) làm vec tơ pháp Mặt phẳng qua điểm ( tuyến có phương trình ( x + ) + y − ( y + 1) = ⇔ 2x + y − 3y + = Ví dụ 28 : Cho ba điểm : A( 2;5;-4 ); B( 0;-1;3 ); C( -1;0;-2 ) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) 2/ Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính BC uuuur uuur ☻♫ Giải : 1/ AB = ( − 2; −6;7 ) ; AC = ( − 1;1; −5) ur uuur uuur n = ⎡⎣ AB, AC ⎤⎦ = ( 23; −17; −8) véctơ pháp tuyến mp (ABC) Đt : 0914449230 45 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Phương trình mặt phẳng (ABC) : 23(x + 1) – 17(y – ) – 8(z + ) = ⇔ 23x – 17y – 8z + = ⎛ 1 1⎞ 2/ I – trung điểm BC ⇒ I ⎜ − ; − ; ⎟ - I tâm mặt cầu (S) ⎝ 2 2⎠ 2 1 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 27 ⎛ 27 (S) : ⎜ x + ⎟ + ⎜ y + ⎟ + ⎜ z − ⎟ = Bán kính : r = BC = 2⎠ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎝ Ví dụ 29 : Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−1; 2;3) , B (1;0; −5 ) mặt phẳng có phương trình (P) : 2x + y – 3z – = Tìm điểm M mặt phẳng (P) cho ba điểm A,B,M thẳng hàng ☻ Giải : Vì A,B,M thẳng hàng nên M thuộc đường thẳng AB ⎧ x = −1 + t ⎪ M ∈ AB : ⎨ y = − t ⇒ M( −1 + t; − t;3 − 4t) ⎪z = − 4t ⎩ Với t = ta có M(0;1; –1) M ∈ (P) ⇔ ( −1 + t ) + − t − ( − 4t ) − = Ví dụ 30 : Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 1; 0), B (1; 2; 2), C (1;1; 0) mặt phẳng (P ) : x + y + z − 20 = Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) ⎧x = − t ⎪ ⎨y = + t ☻Giải : Phương trình đường thẳng AB là: ⎪z = 2t ⎩ uuur Toạ độ D có dạng D(2 − t ;1 + t ; 2t) ⇒ CD = (1 − t ; t ; 2t) r Vectơ pháp tuyến (P) là: n = (1;1;1) uuur r ⎛5 ⎞ CD //(P) ⇔ CD.n = ⇔ (1 − t) + t + 2t = ⇔ t = − Vậy D ⎜ ; ; −1 ⎟ ⎝2 ⎠ Ví dụ 31 : Cho mặt cầu ( S ) có đường kính AB biết A ( 6; 2; −5 ) ; B ( −4;0;7 ) 1) Tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu ( S ) 2) Lập phương trình mặt phẳng (α ) tiếp xúc mặt cầu ( S ) điểm A ☻ Giải : 1) Tọa độ tâm I mặt cầu ( S ) trung điểm AB ⇒ I (1; 1; 1) Đt : 0914449230 46 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN AB 62 = = 62 2 2) Mặt phẳng (α ) tiếp xúc mặt cầu ( S ) điểm A, suy (α ) có vectơ pháp tuyến Bán kính R = → IA = ( 5;1; −6 ) → Mặt phẳng (α ) qua A ( 6; 2; −5) , vectơ pháp tuyến IA = ( 5;1; −6 ) có phương trình: ( x − ) + ( y − ) − ( z + ) = hay x + y − z − 62 = Ví dụ 32 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 , d có phương trình ⎧x = 1+ t ⎪ d1 : ⎨ y = − t , d : x − = y − = z + , d đường thẳng qua I(2;2;-1) cắt 1 ⎪z = t ⎩ d1 , d A B Viết phương trình mặt cầu đường kính AB ☻ Giải : D cắt d1, d2 A B =>A(1+t;3-t;t) , B(3+b;1+b;-2+b) mà d qua I nên ⎧t − = k (b + 1) uur uur ⎪ ⇔ IA = k IB ⇔ ⎨1 − t = k (b − 1) A, B, I thẳng hàng ⎪ ⎩t + = k (b + 3) ⎧t − kb − k = ⎧b = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨−t − kb + k = −1 ⇔ ⎨k = ⇒ A(3;1; 2), B(3;1; −2) ⎪t = ⎪t − kb − 3k = −1 ⎩ ⎩ Gọi C trung điểm AB=>C(3;1;0) BC=2 Mặt cầu đường kính AB có tâm C bán kính R=BC có phương trình (x-3)2 + (y-1)2 + z2 = x −1 y z +1 = = Ví dụ 33 : Cho A(1; 3; 2) B(-3; 1; 0) đường thẳng Δ : −2 1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) trung trực đoạn AB 2/ Tìm điểm M thuộc Δ cho đoạn AM ngắn ☻ Giải : Gọi M(2 – t; + t; + t) uuuur AM = ( − t; + t; t − 1) ; AM= 3t − 2t + Đt : 0914449230 47 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN ( − t ) + 2(2 + t) + t − + t + t +9 d (M;P) = = ⇔ 3t − t + = 3 ⇔ 9(3t2 – 2t + 9) = t2 + 18t + 81 ⇔ 26t2 – 26t = Với t = ta có M(2; 1; 1) Với t = ta có M (1; 2; 2) Ví dụ 34 (TN THPT – 2013): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −1; 2;1) mặt phẳng (P) có phương trình x + y + z − = 1) Viết phương trình tham số đường thẳng d qua M vuông góc với (P) 2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm gốc tọa độ tiếp xúc với (P) ☻ Giải : uur uuur 1) Đường thẳng d qua M (-1, 2, 1) có VTCP : ad = n( P ) = (1, 2, 2) , ⎧ x = −1 + t ⎪ Phương trình tham số: ⎨ y = + 2t t ∈ R ⎪ z = + 2t ⎩ 2) Mặt cầu (S) có tâm O, (S) tiếp xúc với (P) ⇔ R = d(O, (P) = 2 −3 1+ + =1 Phương trình mặt cầu (S) : x + y + z = Ví dụ 35 (TN THPT – 2013): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm x −1 y z +1 = = A( −1;1; 0) đường thẳng d có phương trình −2 1 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ vuông góc với d 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho độ dài đoạn AM ☻ Giải : JJG 1/ (P) ⊥ d nên (P) nhận vtcp a d = (1;-2;1) phương trình (P) : x − 2y + z = 2/ M ∈ (d) ⇒ ∃t : M(1 + t; −2t; −1 + t) AM = ⇔ (t + 2) + (−2t − 1) + (t − 1) = ⇔ 6t + 6t = ⇔ t = ∀ t = −1 Vậy M (1;0;-1) M (0;2;-2) Ví dụ 36 :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : x −1 y + z = = Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho mặt cầu (S) −2 tâm M tiếp xúc với trục Oz có bán kính Đt : 0914449230 48 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN ☻ Giải : Vì M ∈ d nên M (1 + t ; −2 + 2t ; −2t ) r k Trục Oz qua điểm O(0; 0; 0) có vtcp = ( 0; 0;1) ; uuuur OM = (1 + t ; −2 + 2t ; −2t ) Suy ra: uuuur r uuuur r ⎡OM ; k ⎤ = ( −2 + 2t; −1 − t;0 ) ⇒ ⎡OM ; k ⎤ = 5t − 6t + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Gọi R bán kính mặt cầu (S), ta có R = d(M; Oz) = 5t − 6t + R = suy 5t − 6t + = ⇔ 5t − 6t + = ⇔ 5t − 6t + = ⎡ M ( 2;0; −2 ) ⎡t = ⇔ ⎢ ⇒ ⎢ ⎛6 2⎞ ⎢M ; − ; ⎢t = ⎢⎣ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎣ Ví dụ 37 : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + x + y − z − 11 = mặt phẳng (P):2x + y − 2z + 19 = (Q) mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) có chu vi π Tìm toạ độ tâm đường tròn (C) ☻ Giải : (S) có tâm I(-1;-2;3) bán kính R=5 đường tròn (C) có chu vi π bán kính r ⇒ 2π r = 8π ⇔ r = (Q)//(P)=> phương trình (Q): 2x+y-2z+d=0 (d ≠ 19) 2 Ta có r = R − d ( I , (Q)) ⇔ d ( I , (Q)) = ⇔ | 2(−1) − − 2.3 + d | 22 + 12 + (−2) = ⇔| d − 10 |= d = 19 (loại) d = (nhận) Phương trình (Q):2x+y-2z+1=0 Gọi H tâm (C) H hình chiếu I (Q) => IH ⊥ (Q)=>IH nhận véc tơ pháp tuyến (Q) làm véc tơ phương => ⎧ x = −1 + 2t ⎪ y = −2 + t ⎨ phương trình IH: ⎪ z = − 2t ⎩ ⇔ ⎧ x = −1 + 2t ⎧t = ⎪ y = −2 + t ⎪x = ⎪ ⎪ ⇔ ⇒ H (1; −1;1) ⎨ ⎨ H = IH ∩ (Q ) ⇒ toạ độ H thoả mãn hệ z = − 2t = − y ⎪ ⎪ ⎪⎩ x + y − z + = ⎪⎩ z = Ví dụ 38 : Trong hệ tọa độ Oxyz , cho ba đường thẳng d1, d2, d3 có phương trình Đt : 0914449230 49 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN ⎧ x = + 2t x y − z −1 ⎪ x +1 y − z + d1 : ⎨ y = 2t (t ∈ R) d : = = = = d3 : −1 −2 ⎪z = + t ⎩ Viết phương trình đường thẳng (∆ ) vuông góc với d3 cắt d1, d2 A, B cho AB = ☻ Giải : 18 ⎧x = u ⎪ ⎨ Chuyển d2 ptts : y = + 2u ⎪ z = + 3u ⎩ Gọi ∆ đường thẳng cần tìm , ∆ cắt uuur d1 u∈R A ( + 2t; 2t ; + t), cắt d2 B( u; + 2u; 1+3u ) ⇒ AB = (u − 2t − 1; 2u − 2t + 2; 3u − t − 2) Đường thẳng d3 có VTCP u = (2;−1;−2) Vì Δ ⊥ d nên có: AB.u = ⇔ −6u = ⇔ u = ⇒ AB = (−2t − 1; − 2t ; − t − 2) Theo gt có AB = 18 ⇔ AB = 18 ⎡t = 2 ⇔ (2t + 1) + (2 − 2t ) +(t + 2)2 = 18 ⇔ 9t = ⇔ ⎢ ⎣t = −1 uuur Với t = có A( 3; 2; 4), AB = ( −3; 0; −3) ⎧ x = − 3t ⎪ Δ : ⎨y = => phương trình đường thẳng cần tìm ⎪ z = − 3t ⎩ ⎧ x = −1 + t ⎪ Δ : ⎨ y = −2 + 4t Tương tự với t = -1 =>phương trình đường thẳng cần tìm ⎪z = − t ⎩ Đt : 0914449230 50 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 - 2014 MÔN: TOÁN KHỐI A - B - D Thời gian làm bài: 180 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) 2x −1 y = C Câu (2 điểm) Cho hàm số x +1 ( ) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số b) Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị ( C ) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác ABM tam giác đều, biết M = (2; 5) Câu (2 điểm) π⎞ ⎛ 3cos ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎛π ⎞ ⎝ − os c a) Giải phương trình: ⎜ + x ⎟ (cos x + sin x) = cot x − ⎝4 ⎠ ⎧ x y + y + x = xy ⎪ b) Giải hệ phương trình: ⎨ + + x = ⎪ x xy y ⎩ 3x + dx Câu (1 điểm) Tìm ∫ sin x Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD tính khoảng cách hai đường thẳng SB HC theo a, với H trung điểm AD Câu (1 điểm) Cho số không âm x, y , z thỏa mãn: x + y + z = Chứng minh rằng: xy + yz + zx − xyz ≤ 27 II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) : Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 6a (2 điểm) 1/Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo nằm đường thẳng Δ có phương trình x + y − = B(0; -3) Tìm tọa độ đỉnh lại hình thoi, biết diện tích hình thoi 20 2/Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -2; 2), B(-1; - 4; 3) Hãy xác định tọa độ điểm M trục Oz cho khoảng cách từ M đến đường Đt : 0914449230 51 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN thẳng AB nhỏ Câu 7a (1 điểm) Một hộp đừng 20 viên bi, có viên bi màu trắng, viên bi màu vàng viên bi màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác suất để viên bi lấy có không hai màu B Theo chương trình Nâng cao Câu 6b (2 điểm) a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(3; 3) ⎛ 4⎞ ⎛ ⎞ AC = 2BD Điểm M ⎜ 2; ⎟ thuộc đường thẳng AB, điểm N ⎜ 3; ⎟ thuộc đường ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ thẳng CD Viết phương trình đường thẳng chứa đường chéo BD, biết đỉnh B có hoành độ nhỏ b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -2; 2), B(-1; - 4; 3) Hãy xác định tọa độ điểm I trục Oz, biết mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng A B có diện tích nhỏ x −1 2 + log (3 − x ) Câu 7b (1 điểm) Giải phương trình: log ( x − x + 6) = log 2 Hết -+ Tập xác định D = 13 \ {−1} PHẦN CHUNG > ∀x ≠ −1 ( x + 1) Hàm đồng biến khoảng ( −∞; −1) ( −1; +∞ ) Hàm số cực trị + Sự biến thiên y ' = Câu 0,25 + Giới hạn tiệm cận lim y = lim y = nên đồ thị có T/c ngang y = x →−∞ x →+∞ lim− y = +∞, lim+ y = −∞ nên đồ thị có T/c đứng x = -1 a x →−1 x →−1 Bảng biến thiên x −∞ y’ - 0.25 +∞ - +∞ 0,25 y Đồ thị Đt : 0914449230 -∞ 0.25 52 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Phương trình hoành độ giao điểm: 2x −1 ( 1)( ) b x + = − x + m ⇔ x − = x + − x + m (x = - không nghiệm PT ) ⇔ x2 - (m - 3)x - m – = (1) (1) PT bậc hai có Δ = (m – 3)2 + 4(m + 1) = m2 - 2m +13 = (m - 1)2 + 12 > ∀m Nên (1) có hai nghiệm phân biệt x1 x2, hay đường thẳng cắt (C) tạii hai điểm pb A,B Theo hệ thức Vi – et: x1 + x2 = m – 3, x1 x2 = - m – Khi A(x1; -x1 +m), B(x2; -x2 + m) suy 0,25 0,25 *) AB = 2( x1 − x2 ) = 2[( x1 + x2 ) − x1 x2 ] AM = BM = ( x1 − 2) + (− x1 + m − 5) = ( x1 − 2) + ( x2 − 2) , 0,25 ( x2 − 2) + (− x2 + m − 5) = ( x2 − 2) + ( x1 − 2) = AM Để tam giác MAB ta phải có: AB = AM = BM, hay ⎡m = 2( x1 − x2 ) = ( x1 − 2) + ( x2 − 2) ⇔ m + 4m − = ⇔ ⎢ ⎣ m = −5 Kết luận Với ĐK sinx ≠ cotx ≠ 1, biến đổi phương trình thành (cos x − sin x) a ⇔ − cos x = 3sin x 2− (cos x − sin x)(cos x + sin x) = cos x − sin x sin x ⇔ sin x − 3sin x + = Giải tiếp sinx = sinx = 0,5 Đều thỏa mãn ĐK Với sinx = ⇔ x = π Với sinx = 0,5 ⇔ x = 0.25 0,5 0,25 + k 2π π + k 2π ; x= 5π + k 2π 0.25 Vậy PT cho có họ nghiệm nói ĐKXĐ: xy ≠ Biến đổi hệ thành Câu 2đ ⎧⎛ ⎧⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎧ ⎪⎜ x + ⎟ + ⎜ + ⎟ = ⎪⎜ x + ⎟ + ⎜ + ⎟ = ⎪x + x + y = x⎠ ⎝x y⎠ x⎠ ⎝ x y⎠ ⎪⎝ ⎪ ⎪⎝ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎪⎛ x + ⎞ ⎛ + ⎞ = ⎪ + + x = ⎪1 ⎛ + ⎞ + ⎛ x + x ⎞ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎪⎜⎝ ⎪x⎝ x y ⎠ ⎝ y x⎠ ⎪⎩ x xy y x ⎠⎝ x y ⎠ ⎩ ⎩ b ⎧ x + =2 ⎪⎪ x ⇔⎨ ⎪1 + = ⎩⎪ x y ⇔ x = y = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (1; 1) ⎧u = 3x + ⎪ 0,25 0,25 ⎧ du = 3dx ⎪ ⇒⎨ 1 Câu Đặt ⎨ dv = dx v = − cot x ⎪ ⎪ 1đ sin x ⎩ ⎩ Đt : 0914449230 0,5 0,25 53 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 3x + 1 Suy I = ∫ dx = (3 x + 1) cot x − ∫ cot x.3dx sin x 2 0,25 = − (3 x + 1).cot x + ∫ d (sin x) sin x = - (3x + 1).cot x + ln | sin x | +C 0.25 0.25 S M D A H K B N C +) Tính thể tích khối chóp: Gọi H trung điểm AD thi SAD tam giác cạnh AD = a nên SH ⊥ AD a Mặt khác theo gt (SAD) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) SH = Câu 1 a a3 Đáy khối chóp hình vuông cạnh a ⇒ V = S SH = a = S ABCD ABCD 1đ 3 +) Gọi N = HC ∩ BD; M ∈ SD MN // SB Khi SB //(MHC) ta có MS = MD Kẻ MK // SD MK ⊥ (ABCD) DH = KH nên: d(SB, HC) = d(SB, (MHC)) = d(S, (MHC)) = 2.d(D,(MHC)) = d(K, (MHC)) Kẻ KI ⊥ HC, KJ ⊥ MI ta chứng minh KJ = d(K, (MHC)) Ta dễ dàng tính a a a 2 DH DC 2a MK = SH = , KI = d(D, HC) = = = 2 a 3 DH + DC + a2 a 2a KM KI 2a 93 2a 93 = Vậy d(SB, HC) = Suy KJ = = 93 31 3a 4a KM + KI + 36 45 Không tính tổng quát, giả sử x = min{x, y, z} Kết hợp với GT x + y + z = ta Câu nên – 2x > suy x ≤ 1đ ( y + z )2 (1 − x) = Khi xy + yz + zx − xyz = x(y + z) + yz(1 – 2x) ≤ x(1 − x) + (1 − x) (1 − x) = x(1 − x) + Đt : 0914449230 54 0,25 0,25 0.25 0.25 0,25 0,25 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh Xét: f ( x) = x(1 − x) + HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN (1 − x) (1 − x) = -2x3 + x2 + [0; 1/3] f '( x) = −6 x + x triệt tiêu x = x = 1/3 BBT x 1 f’(x) + - 0,25 f(x) ⎛1⎞ Từ BBT suy xy + yz + zx − xyz ≤ f ( x) ≤ f ⎜ ⎟ = (ĐPCM) ⎝ ⎠ 27 x = y = z = Thấy xy + yz + zx − xyz = 27 A Theo chương trình Chuẩn Δ nên A, C ∈ Δ Suy BD: x – 3y – = 6a 2đ 0,25 0,25 ⎧3x + y − = tọa độ I nghiệm hệ ⎨ nên I(3; -2) ⎩x − 3y − = m BD) a Gọi A(a; -3a) từ giả thiết diện tích hình thoi 20 ta có: ⎡a = | a − 3(7 − 3a) − | BD d(A, BD) = 20 hay 10 = 20 ⇔ ⎢ 10 ⎣a = 5) 1) uuur uuuur Do M thuộc Oz nên M(0; 0; z) Ta có AB = (−2; −2;1), AM = (−1; 2; z − 2) nên uuur uuuur r ⎡ AB, AM ⎤ = (−2 z + 2; z − 5; −6) ≠ , suy M không nằm đường thẳng AB ⎣ ⎦ Do AB = nên khoảng cách từ M đến AB nhỏ diện tích tam giác AMB nhỏ b Mà diện tích tam giác AMB là: uuur uuuur (−2 z + 2) + (2 z − 5) + (−6) S = ⎣⎡ AB, AM ⎦⎤ = 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 ⎛ ⎞ 81 81 ≥ = 8⎜ z − ⎟ + z − 28 z + 65 = 2 ⎝ 4⎠ 2 Vậy M(0;0; 7/4) thi k/c từ M đến AB nhỏ = Câu 7a 1đ Số cách chọn viên bi 20 viên bi cho C20 = 15 504 0,25 0,25 Gọi A biến cố “5 viên bi chọn hai màu” A biến cố “5 viên bi chọn có hai màu” hay A biến cố “5 viên bi chọn có đủ ba màu” 0,25 Đt : 0914449230 55 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Để tìm số cách chọ viên bi có đủ màu ta có bảng sau Số bi trắng (7) Số bi vàng (9) Số bi đỏ (4) 1 0,25 Số cách C71 C91.C43 C71 C93 C41 2 C71 C92 C42 2 C72 C91.C42 2 C72 C92 C41 1 C73 C91.C41 Suy | Ω A | = C71 C91.C43 + C71 C93 C41 + C71 C92 C42 + C72 C91.C42 + C72 C92 C41 + C73 C91.C41 = = 7.9.4 + 7.4.9.8.7:6 + 7.9.4.2.3 + 7.3 2.3 + 7.3 9.4.4+ 7.5.9.4 = 9534 0.25 | Ω | 9534 1589 Nên P A = A = = ≈ 0, 6149 | Ω | 15504 2584 995 ≈ 0,3851 Vậy P ( A ) = − P A = 2584 Theo chương trình Nâng cao ⎛ 5⎞ Gọi N’ điểm đối xứng với N qua I N ⎜ 3; ⎟ N’ nằm AB nên AB qua M, 0,25 ⎝ 3⎠ N’ có PT: x – 3y + = Gọi H hình chiếu I AB IH = d(I, AB) = Do AC = 2BD nên IA = 10 1 0,25 hay 2IB = 2a > Trong tam giác vuông IAB ta có + = IA IB IH 1 a 4a + a = ⇔ a = Gọi B =(x; y) thi IB = a = B thuộc AB nên tọa độ B nghiệm hệ: 14 ⎧ ⎪⎪ x = ⎧ x = > ⎧( x − 3) + ( y − 3) = 0,25 ⇔⎨ ∨⎨ ⎨ ⎩x − 3y + = ⎪y = ⎩y = ⎪⎩ ⎛ 14 ⎞ Do hoành độ B nhỏ nên B ⎜ ; ⎟ Vậy BD: 7x - y -18 = 0,25 ⎝ 5⎠ uuur uur Do M thuộc Oz nên I(0; 0; z) Ta có AB = (−2; −2;1), AI = (−1; 2; z − 2) nên r b uuur uur 0,25 ⎡ AB, AI ⎤ = (−2 z + 2; z − 5; −6) ≠ , suy I không nằm đường thẳng AB ⎣ ⎦ Gọi h khoảng cách từ I đến AB AB = cố định nên bán kính mặt cầu R = h Mà diện tích mặt cầu là: 4π R , suy diện tích mặt cầu nhỏ h 0,25 nhỏ diện tích tam giác AIB nhỏ Mà diện tích tam giác AIB là: uuur uur S = ⎡⎣ AB, AI ⎤⎦ = (−2 z + 2) + (2 z − 5) + (−6) 2 0.25 1 ⎛ ⎞ 81 81 z − 28 z + 65 = 8⎜ z − ⎟ + = ≥ = 2 ⎝ 4⎠ 2 ( ) ( ) Câu 6b 2đ Đt : 0914449230 56 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Vậy I(0;0; 7/4) 0,25 0,25 ⎧( x − x + 6) = ( x − 2) (3 − x) > ⎧1 < x < ⎪ ĐK: ⎨ x − > ⇔⎨ ⎩x ≠ ⎪3 − x > ⎩ 2 2 Khi Pt biến đổi thành: log | x − x + |= log Câu 7b 1đ ( x − 1)(3 − x) x −1 ( x − 1)(3 − x) , (do – x > 0) ⇔| x − |= 2 Nếu < x < 2(x – 2) = x – hay x = (loại) Nếu < x < -2(x -2) = x – hay x = 5/3 thỏa mãn Vậy Pt cho có nghiệm x = 5/3 ⇔| x − x + |= Đt : 0914449230 57 0,25 0,25 0.25 Email : ngvuminh249@yahoo.com [...]... Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d Tìm tọa độ M thuộc d sao cho tam giác MOA cân tại O x y −1 z = = và g/ (Cao Đẳng 2010) Cho đường thẳng d: 1 1 −2 mp (P): 2x – y + 2z –2 = 0 Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P) Tìm điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và (P) h/ Trong hệ trục tọa độ Oxyz tìm điểm M thuộc đường... MB nhỏ nhất Bài tập 69 : Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(–3;5; –5), B(5; –3;7) và (P) : x + y + z = 0 Tìm điểm M thuộc (α) sao cho biểu thức T = MA 2 +MB 2 nhỏ nhất Bài tập 70 : Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;1;1), B(2; –1; 0), C(2;3; –1) và (P) : x + y + z − 2 = 0 Tìm điểm M thuộc (α) sao cho biểu thức T = MA 2 +MB 2 +MC 2 nhỏ nhất Bài tập 71 : Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3), B(–2;... phương trình đường thẳng (Δ) qua A, cắt và vuông góc ⎪ z = −1 + 4 t ⎩ x+4 y+2 z−4 = = ) với (d) (ĐS : (Δ): 3 2 −1 n/ (ĐH Khối D – 2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm x +1 y z − 3 = = Viết phương trình đường thẳng Δ đi A(1; 2; 3) và đường thẳng d : −2 2 1 qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox (ĐS : x −1 y − 2 z − 3 = = ) 2 2 3 o/ (ĐH Khối A, A1 – 2012) Trong không gian. .. 1 = 0 1 −1 2 a/ Viết phương trình mp(Q) chứa Δ và vuông góc với (P) b/ Tìm tọa độ M nằm trên đường thẳng Δ và N trên Oy sao cho đường thẳng MN song song với (P) và MN = 26 Bài tập 75 (ÔN): Trong không gian Oxyz cho A(0;2;0), B(3;0;1), C(1;3;0) a/ Tính diện tích tam giác ABC b/ Tìm M trên trục Ox sao cho thể tích tứ diện M.ABC bằng 1 ⎧x = 3 + t ⎪ Bài tập 76 (ÔN): Trong không gian Oxyz cho đường thẳng... TÍCH TRONG KHÔNG GIAN x −1 y z + 2 = = và (P) : x − 2y + z = 0 Gọi C là 2 1 −1 giao điểm Δ với (P), M thuộc Δ Tính khoảng cách từ M đến (P) biết MC = 6 Bài tập 78 (Khối A – 2010): (Δ): *Ví dụ 15 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1) và C(–1; 2; 3) uuur uuur AB = (2; 2; − 2), AC = (0; 2; 2) Suy ra phương. .. GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN x−2 y + 2 z −3 x −1 y −1 z +1 = = = = và d’: Viết phương trình đường thẳng Δ −1 2 1 2 −1 1 qua điểm A vuông góc với d và cắt d’ l/ (ĐH Khối A – 2005) Cho đường thẳng d: x −1 y + 3 z − 3 = = và −1 2 1 mp(P): 2x + y – 2z + 9 = 0 Tìm giao điểm A của d và (P) Viết phương trình đường thẳng d’đi qua A nằm trong (P) và vuông góc d’ m/ (ĐH Khối B – 2004) Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho... 76 (ÔN): Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) ⎨ y = 1 + 2t ⎪z = − t ⎩ và A(1;3; –1), B(2;1;3) a/ Viết phương trình đường thẳng AB b/ Viết phương trình mp(P) qua B và vuông góc với (d) c/ Tìm tọa độ M thuộc d sao cho MA = 3 Bài tập 77 (Dự Bị B – 2004): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A(4;2;2), B(0;0;7) và đường thẳng (d): x − 3 y − 6 z −1 = = Chứng mình rằng d và 2 1 −2 AB cùng thuộc... 2y + z – 4 = 0 Bài tập 73 (ÔN): Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;1;0) và đường thẳng ⎧x = 2 + t ⎪ (d) ⎨ y = 1 + 2t và mp(α) : 2x + 2y − z + 1 = 0 ⎪z = t ⎩ a/ Viết ptđt Δ qua A và song song với d b/ Viết pt mặt cầu có tâm A và tiếp xúc mp(α) c/ Viết pt mp(P) qua A và vuông góc với d d/ Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên đường thẳng d Bài tập 74 (ÔN): Trong không gian Oxyz cho đường thẳng x − 3 y −1... kính là R = 5 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: 2 2 2 2 2 2 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 8⎞ 7⎞ ⎛ 17 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎛ x y z vµ x y z 25 + + − + − = − + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 25 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎝ Ví dụ 19 (CĐ-2010) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; 3), B (−1; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z + 4 = 0 a/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P) AB b/ Viết phương trình mặt... Lập phương trình mp (P) đi qua M(– 1;2;4) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C tọa độ dương sao cho OA = OB = OC (ĐS : (P): x + y + z − 5 = 0 ) d/ Lập phương trình mp (P) qua M(2;1;4) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C tọa độ dương sao cho ABC là tam giác đều (ĐS : (P): x + y + z − 7 = 0 ) e/ Lập phương trình mp (P) qua M(-6;10;-1), cắt Ox tại điểm có hoành độ là 2 và cắt Oz tại điểm có cao độ là