Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ

Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian OXYZ

1 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phần 1: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ trục tọa độ Decartes vng góc Oxyz (Hệ tọa độ Oxyz) Hệ gồm ba trục x ' Ox, y ' Oy , z ' Oz vng góc với đôi O với vectơ đơn vị rr r trục i, j , k • • O: gốc tọa độ x ' Ox : trục hồnh • y ' Oy : trục tung • z ' Oz : trục cao Tọa độ vectơ không gian r r r r r 2.1 Định nghĩa: u = ( x; y; z ) ⇔ u = x.i + y j + z.k Với định nghĩa trên, ta có: r i = ( 1;0;0 ) r = (0;0;0) r j = ( 0;1;0 ) r k = ( 0;0;1) 2.2 Các công thức tọa độ vectơ không gian r r Cho a = ( x1; y1 ; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z2 ) số thực k r r a) a ± b = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z ) ; r b) ka = ( kx1; ky1; kz1 ) ;  x = x2 r r  c) a = b ⇔  y1 = y2 ; z = z   x1 = tx2 r r x1 y1 z1 r r r r  = = (với Đk: x2 y2 z2 ≠ ) d) a cp b ( b ≠ ) ⇔ ∃t ∈ ¡ : a = tb ⇔ ∃t ∈ ¡ :  y1 = ty2 ⇔ x y z2 2  z = tz  e) Tích vơ hướng hai vectơ: rr rr rr ( ); rr Định nghĩa: a.b = a b cos a, b Biểu thức tọa độ: a.b = x x + y y + z z 2 Hệ quả: r a = x12 + y12 + z12 rr x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 cos a, b = x12 + y12 + z12 x22 + y22 + z22 r r a ⊥ b ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = ( ) rr r ( a, b ≠ ) f) Tích có hướng hai vectơ rr Định nghĩa: Tích có hướng hai vectơ a, b vectơ có tọa độ xác định sau: rr r r x  a, b  = a ∧ b =     y2 x3 x3 ; y3 y3 Tính chất: x1 x1 ; y1 y1 rr r rr r  a, b  ⊥ a  a, b  ⊥ b     rr rr  a , b  = −  b, a      rr rr rr  a, b  = a b sin a, b   rr r r r   ⇔ a phương a b  ,b = rr r rrr   ⇔ a đồng phẳng a, b, c  , b  c = GV: TRẦN MINH TUẤN ( ) x2  ÷ y2  |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ứng dụng:  uuur uuur AB, AC  2 uuur uuur uuur Thể tích khối hộp: VABCD A ' B ' C ' D ' =  AB, AD  AA '  uuur uuur uuur AB, AC  AD Thể tích khối tứ diện: VABCD = 6 Tọa độ điểm không gian uuuur 3.1 Định nghĩa: M ( x; y; z ) ⇔ OM = ( x; y; z ) Diện tích tam giác: S ∆ABC = Với định nghĩa trên, ta có: O ( 0;0;0 ) M ∈ Ox ⇒ M ( x;0;0 ) M ∈ Oy ⇒ M ( 0; y;0 ) M ∈ Oz ⇒ M ( 0;0; z ) M ∈ ( Oxy ) ⇒ M ( x; y;0 ) M ∈ ( Oxz ) ⇒ M ( x;0; z ) M ∈ ( Oyz ) ⇒ M ( 0; y; z ) 3.2 Các công thức tọa độ điểm không gian Cho A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) uuur AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) 2  x A + xB y A + y B z A + z B  ; ; ÷Tọa độ trọng tam G tam giác 2    x + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC  ; ; ABC: G  A ÷ 3   Tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M  rCÁC VÍ DỤ r r r Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho vectơ a = ( −1;2; −5 ) , b = 2i − j r a) Tìm tọa độ b r uur r b) Tìm tọa độ u = 3a − 4b r r r r c) Tìm tọa độ v thỏa 3v − 2a = b Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm S ( −2;1; −1) tam giác ABC với A ( 1;1;1) , B ( 2;3;4 ) , C ( 6;5;2 ) a) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành b) Tìm toạ độ điểm E thuộc mặt phẳng Oxy cho A, B, E thẳng hàng c) Chứng minh SABC tứ diện d) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh S tứ diện SABC BÀI TẬP Bài 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A ( 1; −2;4 ) , B ( −3;2;0 ) , C ( 3; −1;0 ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) Tìm tọa độ véc tơ: AB; BA; AC ; CA; BC ; CB r uuur r uuur uuur b) Tìm tọa độ u = AB ; v = AB + AC ; điểm E thỏa uuur uuur uuur uuur EA = 2.EC − 3.BE + 4.AB c) Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác Tính chu vi tam giác ABC d) Tính góc tam giác ABC e) Tìm tọa độ trung điểm I AB Tính độ dài đường trung tuyến CI GV: TRẦN MINH TUẤN |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN tam giác ABC f) Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành h) Tìm điểm H thuộc Ox để tam giác ACH vng C Bài 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A ( 1;2;1) , B ( 5;3;4 ) , C ( 8; −3;2 ) a) Chứng minh tam giác ABC tam giác vng b) Tính diện tích tam giác ABC c) Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC d) Xác định toạ độ chân đường cao tam giác ABC kẻ từ đỉnh A Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;1;-1), B(3;-4;0), C(-3;2;-2),D(6;2;0) a) Chứng minh A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện b) Tính diện tích tam giác ABC độ dài đường cao hạ từ A tam giác ABC c) Tính thể tích tứ diện ABCD độ dài đường cao hạ từ A tứ diện ABCD d) Tìm góc tạo cạnh đối diện tứ diện ABCD e) Xác định toạ độ tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bài 4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh D thuộc trục Oy ba đỉnh A ( 2;1; −1) , B ( 3;0;1) , C ( 2; −1;3 ) Biết tứ diện tích đơn vị thể tích Tìm toạ độ đỉnh D Bài 5: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' với A ( 2;0;2 ) , B ( 4;2;4 ) , C ( 2; −2;2 ) , D ' ( 8;10; −10 ) Tìm toạ độ đỉnh cịn lại hình hộp Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN Vectơ pháp tuyến mặt phẳng r r ( α ) giá r n vng góc với ( α ) rr r - Nếu hai vec tơ a, b khác , khơng phương có giá song song nằm mặt phẳng ( α ) ta chọn vectơ pháp tuyến mặt phẳng r rr ( α ) n =  a, b  - Vectơ n khác gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng Phương trình tổng quát mặt phẳng - Phương trình tổng quát mặt phẳng phương trình có dạng: Ax + By + Cz + D = , với A2 + B + C ≠ r Trong đó, n = ( A; B; C ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng - Mặt phẳng (α) r qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận n = ( A; B; C ) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Các trường hợp đặc biệt phương trình tổng quát: Xét mặt phẳng ( α ) có phương trình tổng qt: Ax + By + Cz + D = , với A2 + B + C ≠ GV: TRẦN MINH TUẤN |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Các hệ số D=0 A=0 B=0 C=0 A=B=0 A=C=0 B=C=0 Phương trình (α) Ax + By + Cz = By + Cz + D = Ax + Cz + D = Ax + By + D = Cz + D = By + D = Ax + D = Tính chất mặt phẳng (α) (α) qua gốc toạ độ O (α) // Ox (α) ⊃ Ox (α) // Oy (α) ⊃ Oy (α) // Oz (α) ⊃ Oz (α) // (Oxy) (α) ≡ (Oxy) (α) // (Oxz) (α) ≡ (Oxz) (α) // (Oyz) (α) ≡ (Oyz) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (cắt ba trục toạ độ điểm ( a; 0; ) ,( 0;b; ) ,C ( 0; 0;c ) (abc ≠ 0) ) là: x y z + + =1 a b c Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng ( α ) ( β ) : ( α ) A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (β) A2 x + B2 y + C2 z + D2 = ur uur Hai mặt phẳng ( α ) ( β ) có vectơ pháp tuyến n1 = ( A1 ;B1 ;C1 ) , n2 = ( A2 ;B2 ;C3 ) ur uur • ( α ) ( β ) cắt ⇔ n1 n2 không phương ⇔ A1 : B1 :C1 ≠ A : B :C (nếu A2 B2C2 ≠ ) ur uur A B C D n1 = k n2 ( k ∈ ¡ ) ⇔ = = ≠ (nếu A2 B2C2 D2 ≠ ) • ( α ) // ( β ) ⇔  A2 B2 C D2  D1 ≠ kD2 • ( α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1A + B1B + C 1C = ur uur n1 = kn2 A B C D ( k ∈ ¡ ) ⇔ = = = (nếu A2 B2C2 D2 ≠ ) • (α) ≡ ( β ) ⇔  A2 B2 C D2  D1 = kD2 Góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( α ) ( β ) : ( α ) : A1x + B1 y + C1 z + D1 = ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Gọi ϕ góc ( α ) ( β ) Ta có: A1A + B1B + C 1C cosϕ = A12 + B12 + C 12 A 22 + B 22 + C 22 6.Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = d ( M ,(α ) ) = A x + By + Cz + D A + B +C BÀI TẬP Dạng Viết phương trình mặt phẳngđiều kiện tốn, ta có Phương pháp: Tuỳ theo cách sau: Cách 1: Xác định toạ độ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) r vectơ pháp tuyến mặt phẳng n = ( A; B; C ) Khi đó, phương trình mặt phẳng cần tìm là: GV: TRẦN MINH TUẤN thể chọn số mà mặt phẳng qua toạ độ |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = r r n ⊥ a r Chú ý: Nếu n một vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( α )  r r n ⊥ b rr r hai vectơ a, b khác , khơng phương với ta r rr chọn n =  a, b  Cách 2: Phương trình tổng qt mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = , với A2 + B + C ≠ Từ giả thiết tốn, tìm hệ số A, B, C, D thoả điều kiện Cách 3: Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: x y z + + = (abc ≠ 0) a b c Từ giả thiết tốn, tìm hệ số a, b, c thoả điều kiện CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (ABC) với A(5; 1; 3), B(4; 0; 6), C(5; 0; 4) Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3) Ví dụ 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M(2; –1; 2) song song với mặt phẳng (Q): x − y + 3z + = Ví dụ 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) vng góc với (Q): x − y + z − = BÀI TẬP Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho A(2;1;-3), B(3;-2;2), C(4;1;-1) a) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A vng góc với BC b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) c) Viết phương trình mặt phẳng trung trực AC Bài : Viết phương trình mặt phẳng (α ) trường hợp sau: a) (α ) qua điểm M ( 3;3;3) song song với mặt phẳng ( β ) : 2x − 3y + z − = b) (α ) qua hai điểm A ( 2; −1;4 ) , B ( 3;2; −1) vng góc với mặt phẳng ( β ) : x + y + 2z − = c) (α ) qua M ( 2; −1;1) vng góc với mặt phẳng Oxz mặt phẳng ( β ) : x + y + 2z − = d) (α ) qua M ( 1; −1;1) chứa giao tuyến hai mặt phẳng ( β ) : x − y + z − = ( γ ) : x + y − 3z + = e) (α ) chứa giao tuyến hai mặt phẳng ( β ) : x − y + z − = ( γ ) : x − z = vng góc với mặt phẳng ( Q ) : x − y + z + = f) (α ) qua điểm M ( 1; −1;1) cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho M trọng tâm tam giác ABC g) (α ) qua điểm M ( 1;4;2 ) chắn tia Ox, Oy, Oz đoạn thẳng Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M ( 1;2;3) cắt tia Ox, GV: TRẦN MINH TUẤN |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oy, Oz A, B, C với OA = a, OB = b, OC = c cho: a) Thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ Dạng –Vị trí tương đối hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳngCÁC VÍ DỤ Ví dụ: Xác định giá trị m, n để cặp mặt phẳng sau song song nhau: (P): x + my + 3z − = (Q): nx − y − z + = BÀI TẬP Bài 1: Xét vị trí tương đối hai mặt phẳng ( α ) ( β ) trường hợp sau : a) ( α ) : x − y + z + = ( β ) : x − y + z − = ( α ) : x + y + z + = ( β ) : x + y + z + = c) ( α ) : x − y − z + = ( β ) : x − y + z − = d) ( α ) : x − y + z − = ( β ) : 10 x − 10 y + 20 z − 40 = Bài 2: Cho ba mặt phẳng ( α ) : x + y − z + 14 = ( β ) : ( m + 1) x + ( 9m + 10 ) y − ( m + ) z − = ( γ ) : ( n − 1) x − y + ( n + 3) + = a) Tìm m để ( α ) vng góc ( β ) b) Tìm m để ( α ) song song ( β ) c) Tìm m n để ( α ) trùng ( β ) b) Bài 3: Tìm góc tạo cặp mặt phẳng sau: a) (α ) : x + y – 5z + = ( β ) : 5x + y – 3z = b) (α ) : 2x – 2y + z + = ( β ) : z + = c) (α ) : x – 2z + = ( β ) : y = ( α ) : 2x − y + z + = a) Viết phương trình mặt phẳng ( β ) qua gốc toạ độ song song ( α ) b) Tính góc tạo ( β ) ( β ' ) : x + y + z − 10 = Bài : Cho mặt phẳng Dạng –Khoảng cáchVí dụ: Trong khơng gian Oxyz cho tứ diện với đỉnh A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0;6), D(2; 4; 6) Tính đường cao hạ từ đỉnh D tứ diện BÀI TẬP Bài 1: Cho tứ diện ABCD biết toạ độ đỉnh A ( −1; −2;4 ) , B ( −4; −2;0 ) , C ( 3; −2;1) D ( 1;1;1) a) Tính độ dài đường cao tứ diện xuất phát từ A b) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Ox cho M cách điểm D mặt phẳng (ABC) Bài 2: Cho hai mặt phẳng ( α ) : x − y + z − = ( β ) : x + y − z + 12 = Tìm Oz điểm cách (α) (β) Bài 3: Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song: ( β) :x + y − z +5=0 ( α ) : x + y − z + = Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng ( α ) : x − y + z − = , biết khoảng cách từ điểm M ( 4;1; −2 ) đến mặt phẳng GV: TRẦN MINH TUẤN (α) 7 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) qua hai điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) khoảng cách từ gốc toạ độ O đến (P) Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song cách hai mặt phẳng ( α ) : x − y + z − = ( β ) : x − y + z + 19 = Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng (α) đối xứng với mặt phẳng ( β ) : x − y + z − = qua điểm M ( −2; −4;3) Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN Vectơ phương đường thẳng r r - Vectơ u khác gọi vectơ phương đường thẳng r u song song với ∆ chứa ∆ rr ∆ giá r - Nếu hai vec tơ a, b khác , không phương có giá vng góc với r rr ∆ ta chọn vectơ phương đường thẳng ∆ u =  a, b  Phương trình đường thẳng a)Phương trình tham số đường thẳng: r - Đường thẳng ∆ qua điểm M(x0; y0; z0) có vectơ phương a = (a1 ; a2 ; a3 ) , có phương trình tham số :  x = x + a1t  y = y + a2 t z = z + a t  (t ∈ R ), (a12 + a22 + a32 ≠ 0) - Ứng với giá trị t cho ta giá trị x, y, z tương ứng tọa độ điểm M thuộc đường thẳng b) Phương trình tắc đường thẳng: Khử tham số t từ phương trình tham số ta phương trình tắc đường thẳng ∆ là: x − x0 y − y z − z0 = = (a1.a2 a3 ≠ 0) a1 a2 a3 Chú ý: Đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng cắt (α) (β): r (α): A1x + B1y + C1z + D1 = có vectơ pháp tuyến n1 = ( A ; B ;C ) r (β): A2x + B2y + C2z + D2 = có vectơ pháp tuyến n = ( A ; B ;C ) - Điểm M (x ; y ; z) ∈ ∆ ⇔ Tọa độ M thỏa hệ phương trình :  A 1x + B y + C 1z + D =  A x + B y + C z + D = ( ) ( A1 : B1 :C ≠ A : B :C ) - Mỗi nghiệm hệ (1) tọa độ điểm nằm ∆ - Khi ∆ có vectơ phương là: r r r  B C C A1 A1 B1  a = [ n1 , n ] =  ; ; ÷ B C C A A2 B2  2  Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng: ∆1 qua A có vectơ phương GV: TRẦN MINH TUẤN r a 8 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN r ∆2 qua B có vectơ phương b Ta có trường hợp sau: r r uuur r r uuur ∆1 ∆2 nằm mp ⇔ [ a , b ] A B =  a , b  A B =   ∆1 ∆2 cắt ⇔ r r r  a , b  ≠ uuur r  ar , A B  ≠   ∆1 ∆2 song song với ⇔  r r r  a , b  = uuur r  ar , A B  =   ∆1 ∆2 trùng ⇔ r r r   a , b =    uuur r r ∆1 ∆2 chéo ⇔ [ a , b ] A B ≠  x = x + a1t x = x + b1t   Nếu ∆1 :  y = y + a2t ∆2 :  y = y + b2t số giao điểm hai đường z = z + a t z = z + b t 3    x + a1t = x + b1t  thẳng số nghiệm hệ :  y + a2t = y + b2t z + a t = z + b t  31 • • • Hệ vơ nghiệm ⇔ ∆1 ∆2 song song với chéo Hệ có nghiệm ⇔ ∆1 ∆2 cắt Hệ có vơ số nghiệm ⇔ ∆1 ∆2 trùng ∆1 ∆2 r b r a r A a B A ∆1 r b B ∆2 ( ∆1 ≡ ∆2 ) ( ∆1 // ∆2 ) ∆1 r a A ∆2 r b B ( ∆1 cheùo ∆2 ) A ∆1 ∆2 r a r b B ( ∆1 cắt ∆2 ) Góc hai đường thẳng Góc đường thẳng mặt phẳng  x = x + a1t x = x + b1t   b) Cho hai đường thẳng ∆1 :  y = y + a2t ∆2 :  y = y + b2t có vectơ phương : z = z + a t z = z + b t 3   r r a = ( a1 ;a2 ;a3 ) b = ( b1 ;b2 ;b3 ) GV: TRẦN MINH TUẤN |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN rr a b r ab +a b +ab r cos ( ∆1 ; ∆2 ) = cos a ;b = r r = 2 22 2 32 a b a1 + a2 + a3 b1 + b2 + b32 ( ) ≤ ( ∆1 ; ∆2 ) ≤ 90 x = x + at r  c) Cho đường thẳng ∆ :  y = y + bt có vectơ phương u = ( a;b ;c ) mặt phẳng (α): Ax + By +  z = z + ct r Cz + D = có vtpt n = ( A ; B ;C ) Chú ý: 0 Góc đường thẳng ∆ mặt phẳng (α) tính cơng thức: rr u n A a + Bb + Cc r r sin ( ∆;( α )) = cos ( u ; n ) = r r = u n a2 + b + c A + B + C Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo a) Cho đường thẳng ∆ qua điểm M0, có vectơ phương : r a điểm M Khi uuuuur  MM ,ar   d ( M ;∆ ) = r a b) Cho hai đường thẳng ∆1 ∆2 chéo r ∆1 qua M1 có vectơ phương a = ( a1 ;a2 ;a3 ) r ∆2 qua M2 có vectơ phương b = ( b1 ;b2 ;b3 ) Khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆1 ∆2 tính cơng thức sau: r r uuuuuur a , b  M 1M   d ( ∆1 ; ∆2 ) = r r a , b    BÀI TẬP Dạng –Viết phương trình đường thẳngPhương pháp: Cách 1: Xác định toạ độ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) mà đường thẳng qua toạ độ r vectơ phương đường thẳng n = ( a1; a2 ; a3 ) Khi đó, phương trình tham số đường thẳng cần tìm là: x = x + a1t   y = y + a2t z = z + a t  (t ∈ R ) Cách 2: Xác định hai mặt phẳng ( α ) ( β ) có giao tuyến đưởng thẳng cần tìm, viết phương trình giao tuyến (xem lại mục 2b phần lý thuyết) CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Viết phương trình tham số đường thẳng AB với A(2;3;–1), B(1; 2; 4) GV: TRẦN MINH TUẤN 10 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Ví dụ 2: Viết PTTS đường thẳng ∆ qua điểm A(−2;4;3) vng góc với mặt phẳng ( P):2 x − y + z + 19 = BÀI TẬP Bài 1: Viết phương trình tham số đường thẳng r ∆ trường hợp sau: a) Qua M(1 ; 2; 3) có vectơ phương a = (1 ; – ; – 5) b) Qua A(1 ; – ; 3) B(3 ; ; 0) c) Qua M(2 ; –1; 3) vng góc với mặt phẳng (α): x + y – x + =  x = + 2t  d) Qua M(2; 0; –3) song song với đường thẳng d:  y = −3 + 3t  z = 4t  x = + t  Bài 2: Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ hình chiếu vng góc d: y = −3 + 2t z = + 3t  mặt (Oxy), (Oyz), (Oxz) Bài 3: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(1; 1; 2) song song với đường thẳng d giao tuyến mặt phẳng (α): 3x – y + 2z – =0 (β): x + 3y – 2z + = Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) qua ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) C(1; 1; 3) Viết phương trình tham số đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC vng góc (α) Bài 5: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(1; 4; –2) song song với mp (α): 6x + 2y + 2x + = (β): 3x – 5y – 2z – = Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d: x +1 y −1 x − = = mp (P): x – y – z – = Tìm phương trình tắc đường thẳng ∆ qua điểm A(1; 1; – 2), song song với (P) vng góc với d Bài 7: Tìm tập hợp điểm M không gian cách ba điểm A(1; 1; 1), B(–1; 2; 0) C(2; –3; 2) Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) đường thẳng d: x = −3 + 2t  y = − t Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt vng góc với đường thẳng d z = −1 + 4t  Dạng –Vị trí tương đối x = + t  x −3 y −1 x −1 Ví dụ: Cho hai đường thẳng ∆ :  y = + 2t ∆ : = = 1 −7 z = − t  a) Chứng minh ∆1 ∆2 chéo b) Tính khoảng cách ∆1 ∆2 BÀI TẬP Bài 1: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau: x = + t  d:  y = + t  z = − t GV: TRẦN MINH TUẤN  x = + 2t '  d′:  y = −1 + 2t '   z = − 2t ' 11 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN x = − t  d:  y = + 2t z = 3t  x = − t  d:  y = + t   z = − 2t  x =1+ t'  d′:  y = 3- 2t'   z =1  x = − 3t '  d′:  y = + 3t '   z = − 6t ' Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp(P): 2x – y + = đường thẳng d m giao tuyến mặt phẳng (α), (β) với: (α): (2m + 1)x + (1–m)y + m – = (β): mx + (2m+1)z + 4m + = Định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) Bài 3: Cho hai đường thẳng d1 d2 có phương trình: d1: x +1 y −1 z − x y −1 z + d2: = = = = −2 1 a) Chứng minh d1 d2 cắt Tìm giao điểm chúng b) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d1 d2 Bài 4: Cho hai đường thẳng d1 d2 có phương trình: x = + t  d1: y = − t d2: z = − t  a) Chứng minh d1 d2 song song với b) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d1 d2 Bài 5: Cho hai đường thẳng d1 d2 có phương trình: d1: x = + 2t '  y = −3 − t ' z = − t '  x y −1 z + x + = y −1 = z − = d2: = −2 1 c) Chứng minh d1 d2 cắt Tìm giao điểm chúng d) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d1 d2 Bài 6: Cho mp(P): 4x – 3y + 11z – 26 = hai đường thẳng d1, d2: d1: x = y − = z +1 x − = y = z−3 d2: −1 1 a) Chứng minh d1 d2 chéo b) Lập phương trình đường thẳng ∆ ⊂ (P) đồng thời cắt d1 d2 Bài 7: Cho điểm A(1; 1; 1) hai đường thẳng d1, d2 có phương trình: d1: x −1 = y + = z 1  x = −1  d2:  y = −1 + t  z = t Lập phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A, vng góc với d1 cắt d2 Dạng 3: Khoảng cách góc Bài toán 1: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng r Cho đường thẳng ∆ qua điểm A có vectơ phương a qua điểm A Muốn tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, ta sử dụng hai cách sau: Cách 1: Xác định toạ độ điểm H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng ∆ d( M ; ∆ ) = MH Cách 2: Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng GV: TRẦN MINH TUẤN 12 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN uuuur  A M ,ar   d ( M ;∆ ) = r a Bài toán 2: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Phương pháp: Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P) Ta có: d ( ∆;( P )) = d ( M ;( P )) Trong M điểm đường thẳng ∆ (chọn M từ phương trình cuả ∆) Bài toán 3: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Cho hai đường thẳng chéo ∆1 ∆2 r ∆1 qua M1 có vectơ phương a = ( a1 ;a2 ;a3 ) r ∆2 qua M2 có vectơ phương b = ( b1 ;b2 ;b3 ) Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆1 ∆2, ta sử dụng cách sau: Cách 1: - Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆1 song song ∆2 - Lấy điểm A tuỳ ý ∆2 ( ) - Ta có: d ( ∆1 ; ∆ ) = d A; ( α ) Cách 2: Áp dụng công thức khoảng cách hai đường thẳng chéo r r uuuuuur a , b  M 1M   d ( ∆1 ; ∆2 ) = r r a , b    BÀI TẬP Bài 1: a) Tính khoảng cách từ điểm M ( 1; −1;1) đến đường thẳng ∆: x −2 y z −1 = =  x = −1 + t  b) Tính khoảng cách từ M(1 ;-2 ;1) đến đường thẳng ∆ :  y = − 2t z = 2t  Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( −3; −2;6 ) ,B ( −2;4;4 ) Hãy tính độ dài đường cao OH tam giác OAB Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : x = −1 + 3t  d :  y = + 2t z =  a) Chứng minh d ,d chéo b) Tính khoảng cách hai đường thẳng d ,d GV: TRẦN MINH TUẤN x +1 y −1 z + = = −3 −2 13 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Bài 4: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = đường x − y −7 z + = = −3 −2 a) Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ( P ) b) Tính khoảng cách d ( P ) thẳng d : Bài 5: Chứng minh hai đường thẳng sau chéo tính khoảng cách chúng x − y +1 z − = = −2 x y−2 z = = −6 x = + 2t x = − 5t '   Bài 6: Tìm góc tạo cặp đường thẳng ∆1 :  y = 3t ∆ :  y = + t ' z = −2 + t z =   x + y −1 z − = = Bài 7: Tìm góc tạo đường thẳng ∆ : mặt phẳng −2 ( α ) : x + y – z + = ∆1 : ∆2 : Bài : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x −3 y +2 z +1 mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = = = 2 a) Tìm giao điểm M d (P) b) Viết phương trình đường thẳng ∆ chứa mặt phẳng (P) cho vuông góc với d khoảng cách từ M đến ∆ 42 Dạng 4: Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Phương pháp: ∆ ur Cho hai đường thẳng chéo ∆1 ∆2 có vectơ phương u = ( a1 ;b1 ;c ) uur u = ( a2 ;b2 ;c ) Để viết phương trình đường vng góc chung ∆ ∆1 ∆2, ta sử dụng cách sau: Cách 1: - Chuyển phương trình ∆1 ∆2 dạng tham số  x = x + a1t x = x + a2t   ∆1 :  y = y + b1t ∆2 :  y = y + b2t z = z + c t z = z + c t 1 2   - Trên ∆1 lấy điểm M ( x1 + a1t1 ; y1 + b1t1 ; z1 + c1t1 ) - Trên ∆2 lấy điểm N ( x2 + a2t2 ; y2 + b2t ; z2 + c2t2 ) - Cách 2: - MN đường vng góc chung ∆1 ∆2 thoả mãn uuuur ur  MN u1 =  MN ⊥ ∆1 ⇔  uuuur uur   MN ⊥ ∆  MN u2 = Giải hệ phương trình ta tìm t1 ,t2 , từ tìm toạ độ M N Viết phương trình đường vng góc chung ∆ ∆1 ∆2 qua M N r ur uur u Đường vng góc chung ∆ ∆1 ∆2 có vectơ phương = u1 ,u2  Chọn điểm A thuộc ∆1 Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa ∆ ∆1 GV: TRẦN MINH TUẤN 14 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN r r ur ( ( α ) qua A có vectơ pháp tuyến n = u,u1  ) - Xác định toạ độ điểm M giao điểm ( α ) ∆2 - Viết phương trình đường vng góc chung r ur uur ∆ ∆1 ∆2 qua M nhận u = u1 ,u2  làm vectơ phương Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo  x = 1+ t x −1 y z d : = = , d :  y = + t Viết phương trình đường vng góc chung chúng −1   z = + 2t BÀI TẬP Bài 1: Cho hai đường thẳng d1, d2: d1: x y − z +1 x − = y = z−3 = = d2: 1 −1 a) Chứng minh d1 d2 chéo b) Viết phương trình đường vng góc chung d1 d2 Bài 2: Cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình:  x = −1  x −1 y + z = = d2: y = −1 + t d1: 1  z = t a) Chứng minh d1 d2 chéo b) Viết phương trình đường vng góc chung d1 d2 Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, Cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình: x =  x = − + 4t '   d1: y = − t d2:  y = + t '  z = + t z = t '  a) Chứng minh d1 d2 chéo đồng thời vuông góc với b) Viết phương trình đường vng góc chung d1 d2 Dạng 5: Hình chiếu – Điểm đối xứng Bài tốn 1: Hình chiếu điểm mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm hình chiếu H điểm M lên sau: - Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vng góc với ( α ) mặt phẳng (α) , - Ta có H = ∆ ∩ ( α ) Do đó, giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng (α) ta tìm toạ độ điểm H Bài toán 2: Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng làm sau: - Tìm hình chiếu H điểm M lên mặt phẳng ( α ) ta làm ∆ ( α ) , ta - M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng ( α ) H trung điểm MM’, từ tìm toạ độ M’ Bài tốn 3: Hình chiếu điểm đường thẳng Phương pháp: Muốn tìm hình chiếu H điểm M lên đường thẳng ∆ , ta làm sau: - Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M vng góc với ∆ GV: TRẦN MINH TUẤN 15 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN - Ta có H = ∆ ∩ ( α ) Do đó, giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng (α) ∆ ta tìm toạ độ điểm H Bài toan 4: Điểm đối xứng điểm qua đường thẳng Phương pháp: Muốn tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆ , ta làm sau: - Tìm hình chiếu H điểm M lên đường thẳng ∆ - M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆ H trung điểm MM’, từ tìm toạ độ M’ Ví dụ: Cho điểm M(1; 4; 2) mặt phẳng (P): x + y + z − = a) Tìm toạ độ điểm H hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) b) Tìm toạ độ điểm M′ đối xứng với M qua (P) c) Tính khoảng cách từ M đến (P) BÀI TẬP Bài 1: Trong khơng gian Oxyz,có mặt phẳng ( α ) : x + y + z − = a)Tìm toạ độ hình chiếu điểm A(2;3;5)trên mặt phẳng ( α ) b)Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng Bài 2: Trong không gian Oxyz ,cho đường toạ độ hình chiếu vng góc điểm A(2;1;-1)trên đường thẳng (α) thẳng ∆ Bài3:Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho đường thẳng d : ∆: x + y −1 z −6 = = Tìm −3 1 x −1 y −2 z = = Gọi K điểm −1 đối xứng điểm I(2;-1;3) qua đường thẳng d Xác định toạ độ điểm K Bài4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng ( α ) : x + y + z − = đường thẳng d : x − y +1 z −1 = = 3 a)Tìm giao điểm A d ( α ) b)Viết phương trình đường thẳng ∆ hình chiếu vng góc d lên ( α ) Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (α): 2x +y + z + = 0, ( β): x +y + z + = mặt phẳng (P): 4x – 2y + z – = Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng ∆' mặt phẳng (P) x = + t  Bài 6: Trong không gian Oxyz,cho điểmM(2;1;4) đường thẳng ∆ :  y = + t Tìm toạ độ điểm H thuộc z = + 2t  đường thẳng ∆ cho đoạn MH có độ dài nhỏ Phần 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN Phương trình mặt cầu: a) Phương trình tổng quát mặt cầu có dạng: ( S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = , a ,b ,c ,d thoả điều kiện a + b + c − d > Khi đó, mặt cầu ( S ) có tâm I ( a ;b ;c ) có bán kính R = a + b + c − d b) Mặt cầu ( S ) có tâm I ( a ;b ;c ) bán kính R có phương trình tắc: GV: TRẦN MINH TUẤN 16 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ( S ) : ( x − a) + ( y −b) + ( z −c) = R 2 2 Vị trí tương đối mặt phẳng ( α ) mặt cầu (S):  d ( I ; (α ) ) > R ⇔ (α ) mặt cầu (S) khơng có điểm chung  d ( I ; (α ) ) = R ⇔ (α ) tiếp xúc mặt cầu (S)  d ( I ; (α ) ) < R ⇔ (α ) cắt mặt cầu (S) tạo giao tuyến đường trịn (C) có tâm I’ hình chiếu vng góc I lên ( α ) bán kính r = Vị trí tương đối đường thẳng ∆ mặt cầu (S):  d ( I ; ∆ ) > R ⇔ ∆ mặt cầu (S) khơng có điểm chung ( ) R − d (với d = d I ; ( α ) )  d ( I ; ∆ ) = R ⇔ ∆ tiếp xúc mặt cầu (S)  d ( I ; ∆ ) < R ⇔ ∆ cắt mặt cầu (S) hai điểm phân biệt A, B thoả AB = R − d (với d = d ( I ; ∆ ) ) Ví dụ 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu có phương trình: x + y + z + 4x − y + 6z + = Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu qua điểm A (5; –2; 1) có tâm C (3; –3; 1) Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 3)2 + ( y + 2)2 + (z − 1)2 = 100 mặt phẳng (P): 2x − y − z + = a) Chứng minh mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn (C) b) Hãy xác định toạ độ tâm bán kính (C) BÀI TẬP Bài : Tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau: a) ( x − 2) + ( y + 1) + ( z − 3) = ; b) x + y + z − x + y − z − = c) x + y + z + 3x − y + z − = ; 2 d) x + y + z − x + y + z − = 2 Bài 2: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình mặt cầu ( S hợp sau: a) Mặt cầu ( S ) có tâm I(3;-3;1) qua B(5;-2;1) b) Mặt cầu ( S ) c) Mặt cầu ( S ) d) Mặt cầu ( S ) e) Mặt cầu ( S ) ) 2 trường có có đường kính AB với A(3;1;5), B(5;-7;1) có tâm I(3;-2;1) tiếp xúc với mp ( α ) : 4x – 3y – = qua điểm O, A, B, C với A(2 ;0 ;0), B(0 ;4 ;0), C(0 ;0 ;4) qua điểm A, B, C, D với A(2 ;1 ;1), B(3 ;-1 ;2), C(1 ;-1 ;2) , D(-2 ;3 ;1) Bài : Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S) : x + y + z − x − y + z + = M(4 ;3 ;0) Bài : Trong không gian Oxyz, lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S) x + y + z − x + y − z + = biết tiếp diện song song với mặt phẳng ( α ) : x - 2y + z +3=0 Bài : Tìm tâm bán kính đường trịn giao tuyến mặt phẳng ( α ) mặt cầu (S) trường hợp sau đây: 2 a) ( α ) : x + 2y - 2z + = (S) : x + y + z − x + y − z + = b) ( α ) : 2x + 2y + z – = (S) : x + y + z − 12 x + y − z − 24 = Bài : Xét vị trí tương đối mp( α ) mặt cầu (S) trường hợp sau : 2 a) ( α ) : 3x + 4y – =0 (S) : x + y + z − x + y − z + GV: TRẦN MINH TUẤN 2 69 =0 17 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN b) ( α ) : x – y + 2z + = (S) : x + y + z − 3z − = 2 Bài 7: Trong không gian Oxyz cho I(2;3; -2) đường thẳng d : x + 15 y + 13 z − Viết phương = = 2 trình mặt cầu (S) có tâm I cho d cắt (S) hai điểm A, B thoả AB = 10 GV: TRẦN MINH TUẤN ... thẳng d ,d GV: TRẦN MINH TUẤN x +1 y −1 z + = = −3 −2 13 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = đường x − y −7 z + =... GV: TRẦN MINH T́N 15 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - Ta có H = ∆ ∩ ( α ) Do đó, giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng (α) ∆ ta tìm toạ độ điểm H Bài toan 4: Điểm đối... ∆1 Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa ∆ ∆1 GV: TRẦN MINH TUẤN 14 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN r r ur ( ( α ) qua A có vectơ pháp tuyến n = u,u1  ) - Xác định toạ độ điểm