Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ - P2 Thầy Đặng Việt Hùng VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN III TỔNG KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TRỤC TỌA ĐỘ Giả sử có đồ thị hàm số y = f(x) f(x) hàm phân thức bậc Bài toán đặt tìm điểm M thuộc đồ thị có tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ Ox, Oy nhỏ Giả sử M ( a; f ( a) ) , tổng khoảng cách từ M đến trục tọa độ d = a + f (a) M ( 0; y0 ) G ọi giao điểm đồ thị trục Ox Oy (thông thường ta lấy giao với trục Ox) M ( x0 ;0 ) Khi d = y0 = k > a < k Để tìm điểm M khác M0 thuộc đồ thị mà có d < k ta cần tìm điểm mà có (1) f (a ) < k Giải (1) ta m < a < n, ta xác định dấu biểu thức f(a) β β T d = a + f ( a ) = ( a + α ) + →M + γ ≥ β + γ ⇒ d = β + γ ⇔ ( a + α ) = ⇒ a a+α a+α Bình luận: Ngoài cách giải sử dụng bất đẳng thức Cô-si trên, dùng đạo hàm để giải toán Tuy nhiên, với phương án này, ta phải quan sát đồ thị hàm số khảo sát để đánh giá dấu y x −1 Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = , (C ) 3x + Tìm điểm M thuộc đồ thị cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhât Hướng dẫn giải: x −1 x −1 Gọi M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) → yo = o → M xo ; o xo + 3xo + Tổng khoảng cách từ M đến trục tọa độ d = xo + yo = xo + xo − xo + Xét điểm A (1;0 ) ∈ ( C ) → d = Để tìm điểm M cho tổng khoảng cách đến trục tọa độ nhỏ 1, ta cần xét hàm d |xo| < 1, (vì |xo| > ta có d > 1) xo = −1 x − 3xo2 + x + xo − Khi ≤ xo < → d = xo − o = →d′ = o = ⇔ xo = 3xo + xo + ( 3xo + 1) 1 Lập bảng biến thiên ta d = d = 3 x − −3 xo2 − xo + −4 Khi −1 < xo < → d = − xo − o = →d′ = → d > 2, ∀ a > a +1 2a − 2a − 2a − 2a − Nế u > →d = a + ≥ > → d > 2, ∀ >2 a +1 a +1 a +1 a +1 Nếu a > →d = a + a ≤2 Do đó, để tìm GTNN d, ta xét : 2a − ⇔ ≤ a ≤ , (*) ≤2 a +1 − 2a 6 Với < a < →d = a + =a−2+ = a +1+ − ≥ − 3, a +1 a +1 a +1 Dấu “=” xảy a = − (thỏa mãn (*)) Từ (1), (2) suy d = − ⇔ a = − →M Vậy điểm M cần tìm M = ( − 1; − ) ( − 1; − (2) ) IV KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM TRÊN HAI NHÁNH CỦA ĐỒ THỊ g ( x) k =α+ h( x ) x−a Đồ thị có tiệm cận đứng x = a, phần đồ thị nằm bên phải x = a gọi nhánh trái đồ thị, phần đồ thị nằm bên phải đường x = a gọi nhánh phải đồ thị Gọi M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) tương ứng điểm thuộc nhánh trái nhánh phải đồ thị Giả sử có đồ thị hàm số y = f ( x) = a − x1 > Khi x1 < a < x2 ⇔ x2 − a > Khoảng cách hai điểm MN cho MN = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = ( x2 − x1 ) k k + − x2 − a x1 − a t = a − x1 ⇒ t1 > x1 − a = −t1 ⇔ Đặt t2 = x2 − a ⇒ t2 > x2 − a = t2 Thay vào biểu thức tính MN dùng Cô-si đánh giá ta thu MNmin x+3 Ví dụ: [ĐVH] Cho hàm số y = , (C ) x−3 Tìm (C) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác cho độ dài AB ngắn Hướng dẫn giải: x+3 Ta có y = =1+ x −3 x−3 6 2 Gọi A x1 ;1 + − ; B x2 ;1 + điểm thuộc đồ thị hàm số ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + x1 − x2 − x2 − x1 − 3 − x1 > Giả sử A thuộc nhánh trái B thuộc nhánh phải, x1 < < x2 ⇔ x2 − > t = − x1 ⇒ t1 > x1 − = −t1 Đặt ⇔ ⇒ x2 − x1 = t2 + t1 t2 = x2 − ⇒ t2 > x2 − = t2 Ta có AB = ( t2 + t1 ) 2 6 36 36 72 36 36 72 + + = t12 + t22 + + + 2t1t2 + = t1 + + t2 + + 2t1t2 + t1t2 t1t2 t1 t2 t1 t2 t2 t1 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! 2 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Theo bất đẳng thức Cô-si ta có t12 + 36 36 ≥ t12 = 12 t12 t1 t22 + 36 36 ≥ t22 = 12 t2 t2 2t1t2 + Facebook: LyHung95 72 72 ≥ 2t1t2 = 24 t1t2 t1t2 36 36 72 Khi AB = t12 + + t22 + + 2t1t2 + ≥ 12 + 12 + 24 = 72 ⇒ AB ≥ t1t2 t1 t2 36 t1 = t1 t1 = A − 6;1 − 36 t1 = x1 = − ⇒ ABmin = ⇔ t2 = ⇔ t2 = ⇔ ⇔ → t2 t2 = x2 = + t t = A + 6;1 + 72 2t1t2 = t1t2 ( ( ) ) V MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH KẾT HỢP VỚI TƯƠNG GIAO Cho hàm số ( C ) : y = ax + b đường thẳng d : y = mx + n cx + d ax + b d = mx + n có hai nghiệm phân biệt khác − cx + d c giao điểm, A ( xA ; mxA + n ) , B ( xB ; mxB + n ) Hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt A, B phương trình Giả sử A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB ) → AB = ( x A − xB ) + ( y A − yB ) = ( x A − xB ) +m ( x A − xB ) = (m ) + ( x A + xB ) − x A x B x A − xB m2 + Sử dụng Vi-ét cho phương trình hoành độ giao điểm ta kết toán −b + ∆ xA = ∆ ∆′ 2a Ngoài cách biến đổi ta thực sau : → x A − xB = = a a b − − ∆ x = B 2a ∆ ∆′ Khi AB = x A − xB m + = m2 + = m2 + a a ( ) 2x + 1− x Gọi d đường thẳng qua M(1; 1) có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C) hai điểm A, B cho AB = 10 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M(1; 3) có hệ số góc k nên d : y = k(x −1) + 2x + Phương trình hoành độ giao điểm: = kx + − k ⇔ g ( x) = kx + ( − 2k ) x + k + = 0, (1) 1− x Để hai đồ thị cắt hai điểm A, B phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác k ≠ k ≠ k ≠ Ta có điều kiện: ∆ = ( − 2k ) − 4k ( k + 3) > ⇔ ⇔ ( *) 9 − 24k > k < g (1) = ≠ 24 Với điều kiện (*) d cắt (C) hai điểm A, B 3k − 3 x1 + x2 = k = − k Theo định lí Vi-ét ta có x x = k + =1+ k k Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Gọi A ( x1 ; kx1 + − k ) ; B ( x2 ; kx2 + − k ) ⇒ AB = ( x2 − x1 ) Facebook: LyHung95 + k ( x2 − x1 ) = (k 2 + 1) ( x1 + x2 ) − x1 x2 3 12 Theo giả thiết ta có AB = 10 ⇔ AB = 90 ⇔ ( k + 1) − − − = 90 k k ⇔ ( − 24k ) ( k + 1) = 90k ⇔ 24k + 81k + 24k + = ⇔ ( k + 3) ( 8k + 3k − 1) = k = −3 k = −3 → ⇔ ** k = −3 ± 41 ( ) 8k + 3k − = 16 Vậy với k thỏa mãn (**) d cắt (C) A, B AB = 10 3x − Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = x −1 Viết phương trình đường thẳng d qua M(1; 3) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB = Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M(1; 3) có hệ số góc k nên d : y = k(x −1) + 3x − Phương trình hoành độ giao điểm: = kx + − k ⇔ g ( x) = kx − 2kx + k − = 0, (1) x −1 Để hai đồ thị cắt hai điểm A, B phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác k ≠ k ≠ ⇔ k > ( *) Ta có điều kiện: ∆ ' = k − k ( k − 1) > ⇔ k > g (1; k ) = −1 ≠ Gọi A ( x1 ; kx1 + − k ) ; B ( x2 ; kx2 + − k ) ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + k ( x2 − x1 ) = x2 − x1 Trong x1; x2 hai nghiệm phương trình (1) ∆' k Từ ta AB = k2 +1 = k + = ⇔ k ( k + 1) = k a k ⇔ k + = 3k ⇔ k − 3k + = ⇔ k = k2 +1 ⇔ k ( k + 1) = 3k 3± 3± giá trị cần tìm 2x Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = x −1 Tìm giá trị m để đường thẳng d : y = mx − m + cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho đoạn AB có độ dài nhỏ Hướng dẫn giải: 2x Phương trình hoành độ giao điểm: = mx − m + ⇔ g ( x) = mx − 2mx + m − = 0, (1) x −1 Để hai đồ thị cắt hai điểm A, B phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác m ≠ m ≠ → m > ( *) Ta có điều kiện: ∆ ' = m − m ( m − ) > ⇔ 2m > g (1) = −2 ≠ Đối chiếu với (*) ta k = Giả sử A ( x1 ; mx1 − m + ) ; B ( x2 ; mx2 − m + ) → AB = ( x2 − x1 ) + m ( x2 − x1 ) = x2 − x1 m2 + 2m ( m + 1) ( m + 1) ∆' 2m 2 ⇔ AB = m +1 = m +1 = =2 ≥ = a m m2 m Vậy ABmin = m = 2x + Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = x+2 Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m cắt (C) hai điểm A, B cho AB nhỏ Hướng dẫn giải: Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2x + = − x + m ⇔ g ( x) = x + (4 − m) x + − 2m = 0, x+2 Để hai đồ thị cắt hai điểm A, B phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác −2 ∆ = ( − m ) − (1 − 2m ) > m + 12 > Ta có điều kiện: ⇔ → m ≠ ( *) g (−2) = 2m − ≠ m ≠ Phương trình hoành độ giao điểm: : Giả sử A ( x1 ; − x1 + m ) ; B ( x2 ; − x2 + m ) → AB = ( x2 − x1 ) + ( x1 − x2 ) = ( x2 − x1 ) ⇔ AB = x2 − x1 (1) 2 = ∆ = m + 12 ≥ 12 = ⇔ m = Khi m = AB nhỏ VI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH KẾT HỢP VỚI TIẾP TUYẾN 2x + =2+ x−2 x−2 Gọi d tiếp tuyến (C) M(0; 1) Hãy tìm (C) điểm có hoành độ x > mà khoảng cách từ đến d ngắn Hướng dẫn giải: 5 Ta có : y′ = − ⇒ y′(0) = − ( x − 2) Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = 5 ( x − 0) + = − x + ⇔ 5x + y − = 4 Gọi M ( x; y ) ∈ (C ) với x > Khoảng cách từ M đến d d(M; d) Phương trình tiếp tuyến d M : y = − 5x − y + 20 5x + + 5x + + −4 = x−2 x−2 25 + 16 41 41 41 x = 20 20 ⇒ g ( x) = x + + , ( x > 1) ; g '( x) = − =0⇔ x−2 ( x − 2) x = Lập bảng biến thiên, ta thấy g(x) = g(4) = 34 34 9 Kết luận : h( M ;d ) = x = 4; y = ⇒ N 4; 41 2 2x + Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = x−2 Tìm hai điểm M, N thuộc (C) cho tiếp tuyến M, N song song với khoảng cách hai tiếp tuyến lớn Hướng dẫn giải: 2x + 5 Ta có y = =2+ ⇒ y′ = − x−2 x−2 ( x − 2) ⇒ d ( M ;d ) = = 5x − y + = kM = − ( x1 − ) Gọi M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) ∈ ( C ) , ( x1 ≠ x2 ) ⇒ k = − N ( x2 − ) Nếu hai tiếp tuyến song song với 5 2 kM = k N ⇔ − =− ⇔ ( x2 − ) − ( x1 − ) = ⇔ ( x2 − x1 )( x2 + x1 − ) = 2 ( x1 − ) ( x2 − ) ⇔ x1 + x2 − = ⇔ x1 − = − x2 Khoảng cách hai tiếp tuyến ngắn MN vuông góc với hai tiếp tuyến ⇔ kMN kM = −1 Trong k MN = ( *) −5 ( x2 − x1 ) y2 − y1 = =− + −2+ = x2 − x1 ( x2 − x1 ) x2 − x1 − ( x2 − x1 )( x2 − )( x1 − ) ( x2 − )( x1 − ) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG k MN k M = 5 ( x2 − )( x1 − ) ( x1 − ) = −1 ⇔ Facebook: LyHung95 5 = −1 ( − x1 )( x1 − ) ( x1 − )2 ⇔ 25 x14 − 150 x13 + 400 x12 − 200 x1 − = ⇒ x1 25 Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x − x + ⇔ x1 ( x1 − ) = Tìm hai điểm M, N thuộc (C) cho tiếp tuyến M cắt (C) N cho MN = Hướng dẫn giải: x = −1 Đạo hàm y ' = x − = ⇔ x =1 Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ y0 = x03 − x0 + Tiếp tuyến M có phương trình ( d ) : y = ( 3x02 − 3) ( x − x0 ) + x03 − 3x0 + = ( x0 − 1) ( x0 + 1)( x − x0 ) + ( x02 + x0 − ) Nếu d cắt (C) N ta có phương trình hoành độ giao điểm: x3 − x + = ( x02 − 3) ( x − x0 ) + x03 − 3x0 + ⇔ x3 − x03 − ( x − x0 ) − ( x02 − 3) ( x − x0 ) = ⇔ ( x − x0 ) ( x + xx0 + x02 ) − − ( x02 − 3) = x = x0 x − x0 = x = x0 ⇔ ⇔ x = −4 x0 ⇔ x = −4 x0 x + xx0 − x0 = x = x0 ( Như vậy, điểm N điểm có hoành độ xN = −4 x0 ⇒ N −4 x0 ; ( x0 + 1) ( x0 − ) Ta có : MN = ( −5 x0 ) 2 + ( x0 + 1) ( x0 − ) − ( x0 − 1) ( x0 − ) ) ⇔ MN = 25 x02 + ( −65 x02 + 15 x0 ) = x0 + ( − 13 x0 ) = x0 169 x02 − 78 x0 + 10 2 Theo giả thiết x0 169 x02 − 78 x0 + 10 = ⇔ ( 25 x02 )(169 x02 − 78 x0 + 10 ) = 24 Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x − x + Tìm hai điểm A, B thuộc (C) cho tiếp tuyến A, B song song với AB = Hướng dẫn giải: k A = x12 − x1 Ta có y ' = x − x ⇒ k B = 3x2 − x2 Nếu hai tiếp tuyến A, B song song : x1 ≠ x2 ⇔ 3x22 − x2 = x12 − x1 ; ⇔ ( x2 − x1 )( x2 + x1 − ) = ⇔ x1 + x2 = (*) - Do A, B ∈ (C ) ⇒ y1 = x13 − x12 + 1; y2 = x23 − x22 + ⇔ y2 − y1 = ( x2 − x1 ) ( x12 + x1 x2 + x22 ) − ( x1 + x2 ) ⇔ y2 − y1 = ( x2 − x1 ) ( x1 + x2 ) − ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ( x2 − x1 )( − 3.2 − x1 x2 ) = − ( x2 − x1 )( + x1 x2 ) ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) ( + x1 x2 ) = x2 − x1 + ( + x1 x2 ) 2 (**) Theo giả thiết ta có 2 2 x2 − x1 + ( + x1 x2 ) = ⇒ ( x2 − x1 ) 1 + ( + x1 x2 ) = 32 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 1 + ( + x1 x2 ) = 32 Đặt t = x1 x2 , thay x1 + x2 = (do *) ta có : ( − 4t ) ( + 4t + t ) − 32 = 0; ⇔ t + 3t + t + = ⇔ ( t + 1) ( t + 3) = ⇒ t = −3 x1 = −1 x1 + x2 = X = −1 x2 = ⇒ X − 2X − = ⇒ ⇔ Vậy ta có hệ x = X = x1 x2 = −3 x2 = −1 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 A ( −1; −3) ; B ( 3;1) Do tồn hai điểm thỏa mãn yêu cầu toán A ( 3;1) ; B ( −1; −3) BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2x + Bài 1: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = x−2 Tìm điểm M (C) cho a) M có tọa độ số nguyên b) tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận nhỏ d) tổng khoảng cách từ M đến trục tọa độ Ox, Oy nhỏ Bài 2: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = x+2 2x − Tìm điểm M (C) cho a) M có tọa độ số nguyên b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cận c) tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận nhỏ d) tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ Bài 3: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = x +1 x−2 Tìm điểm M (C) cho a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm nhỏ b) khoảng cách MI ngắn nhất, với I giao hai tiệm cận c) tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ d) Tìm (C) hai điểm MN thuộc hai nhánh khác cho MN ngắn Bài 4: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = x −1 2x + Tìm điểm M, N (C) thuộc hai nhánh khác cho độ dài MN nhỏ Bài 5: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = x x +1 Tìm điểm A, B (C) thuộc hai nhánh khác cho độ dài MN nhỏ Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!