Bai giang 9 bai giang khoang cach trong ham so p1 baigiang

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ TỚI HAI TRỤC TỌA ĐỘ, HAI TIỆM CẬN Cho hàm số ( C ) : y =  ax + b  ax + b , M ( xo ; yo ) ∈ ( C )  → M  xo ; o  cx + d  cxo + d  Khoảng cách từ M đến trục Ox d1 = yo = axo + b cxo + d Khoảng cách từ M đến trục Oy d = xo d d d = xo + c c a a Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang y = d = yo − c c Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x = − Khoảng cách từ M đến đường thẳng d : Ax + By + C =  → d5 = Khoảng cách hai điểm A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB )  → AB = Axo + Byo + C A2 + B ( x A − xB ) + ( y A − y B ) x−2 x +1 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số cho a) khoảng cách từ M đến Oy ba lần khoảng cách từ M đến Ox b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang Hướng dẫn giải:  x −2 x−2  → M  xo ; o Gọi M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y =  x +1 xo +   a) Khoảng cách từ M đến trục tọa độ lần d1 = xo ; d = yo Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y =  3xo −  x + = xo  xo2 − xo + = ⇒ vno xo − o  Theo ta có d1 = 3d ⇔ xo = yo ⇔ xo = ⇔ ⇔  3xo − xo + → xo = −2 ± 10  xo + xo − =  = − xo  x +  o Vậy có hai điểm M với hoành độ xo = −2 ± 10 thỏa mãn yêu cầu toán b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1 tiệm cận ngang y = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = xo + Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d = yo − = Theo ta có d1 = 2d ⇔ xo + = xo − −1 = xo + xo + ⇔ xo + = ±  → xo = −1 ± xo + Vậy có hai điểm M với hoành độ xo = −1 ± thỏa mãn yêu cầu toán 2x + x −3 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số cho khoảng cách từ M đến điểm I ngắn nhất, với I giao điểm hai đường tiệm cận Hướng dẫn giải: Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  2x + 7  =2+  → M  xo ;2 +  x−3 x−3 xo −   Đồ thị có tiệm cận đứng x = tiệm cận ngang y = nên giao điểm hai tiệm cận I(3 ; 2) Gọi M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y = Ta có MI = ( xM ( xo − 3) − xI ) + ( y M − y I ) = 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có ( xo − 3) + Vậy MI = 14 ⇔ ( xo + 3) = 49 ( xo + 3) + ( yo − ) 49 ( xo − 3) ≥2 2   = ( xo − 3) +   =  xo −  ( xo − 3)2 49 ( xo − 3)2 ( xo − 3)2 + 49 ( xo − 3)2 = 14  → MI ≥ 14 ⇔ ( xo + 3) = ⇔ xo + = ±  → xo = −3 ± 2 Vậy có hai điểm M với hoành độ xo = −3 ± thỏa mãn yêu cầu toán 2x + cho x +1 a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy c) tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận nhỏ Hướng dẫn giải:  2x +  Gọi M(x0; y0) điểm thuộc đồ thị ⇒ M  x0 ;  x0 +   Ví dụ 3: [ĐVH] Tìm M thuộc đồ thị hàm số y = Đồ thị có tiệm cận đứng x + = tiệm cận ngang y − = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = |x0 + 1| Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang d2 = |y0 – 2|  y0 = x0 + Theo ta có d1 = 2d ⇔ x0 + = y0 − ⇔   y0 = − x0 +  x0 = ⇒ y0 = 2x + Với y0 = x0 + ⇔ = x0 + ⇔ x02 + x0 = ⇔  x0 +  x0 = −2 ⇒ y0 = x0 + = − x0 + ⇔ x02 + x0 + = 0, phương trình vô nghiệm x0 + Vậy đồ thị có hai điểm M thỏa mãn đề M(0; 3) M(–2; 1) b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = |x0 + 1| Khoảng cách từ M đến trục Oy d2 = |x0|   x0 = ⇒ y0 = Theo ta có d1 = 3d ⇔ x0 + = x0 ⇔   x = − ⇒ y = 10  1 8  10  Vậy đồ thị có hai điểm M thỏa mãn M  ;  , M  − ;   3  3 2x + 2x + + 1 c) Ta có y = = =2+ x +1 x +1 x +1   Gọi M(x0; y0) điểm thuộc đồ thị ⇒ M  x0 ;2 +  x0 +   Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng h1 = |x0 + 1| Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang h2 = y0 − = x0 + Với y0 = − x0 + ⇔ Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận d = h1 + h2 = x0 + + BDT Co-si ≥ x0 + =2⇒d ≥2 x0 + x0 + Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  x0 + = ⇒ x0 = ⇒ y0 =  ⇔ ( x0 + 1) = ⇔ Dấu đạt x0 + =  x0 + x + = − ⇒ x = − ⇒ y  0 =1  7 Vậy đồ thị có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu M  0;  , M ( −2;1)  3 II TỔNG KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TIỆM CẬN Giả sử có đồ thị hàm số y = f ( x) , f(x) g(x) hàm bậc g ( x)  f (a)  Điểm M thuộc đồ thị nên M  a;   g (a)  Đồ thị có tiệm cận đứng x = α hay x – α = có tiệm cận ngang y = β hay y – β = d1 = a − α k  Khoảng cách từ M đến tiệm cận  → d = d1 + d = a − α + k  f (a) a−α −β = d = g (a) a−α  Theo bất đẳng thức Cô-si ta d = a − α + ⇒ d = k ⇔ a − α = k a−α ⇔ a−α = Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = k a−α ≥ a−α k ⇔a=α± k a−α =2 k k  →M x , ( C ) Tìm điểm M thuộc đồ thị cho x+2 a) M có tọa độ số nguyên b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ Hướng dẫn giải: x x+2−2 a) Ta có y = = =1− x+2 x+2 x+2  x + = ±1 Gọi M(x; y) thuộc đồ thị, để M có tọa độ số nguyên 2⋮( x + ) ⇔   x + = ±2 x + = ⇔ x = −1 ⇒ y = −1 ⇒ M ( −1; −1) x + = −1 ⇔ x = −3 ⇒ y = ⇒ M ( −3;3) x + = ⇔ x = ⇒ y = ⇒ M ( 0;0 ) x + = −2 ⇔ x = −4 ⇒ y = ⇒ M ( −4;2 ) Vậy đồ thị hàm số có điểm M có tọa độ số nguyên a   b) Giả sử M  a;  ∈ ( C ) điểm cần tìm  a+2 Đồ thị có tiệm cận đứng x + = tiệm cận ngang y – = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = a + , khoảng cách đến tiệm cận ngang d = Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận d = d1 + d = a + + Vậy d = 2 ⇔ a + = a −1 = a+2 a+2 2 ≥2 a+2 =2 a+2 a+2 ⇔ a + = ± ⇔ a = −2 ± a+2   −2 +  2+  Từ ta hai điểm M thỏa mãn M  −2 + 2;  , M  −2 − 2;       2x + Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y = , ( C ) Tìm điểm M thuộc đồ thị cho x−3 a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận Hướng dẫn giải: x + 2( x − 3) + 7   Ta có y = = =2+ Giả sử M  a; +  ∈ ( C ) điểm cần tìm x−3 x−3 x−3 a −3  Đồ thị có tiệm cận đứng x − = tiệm cận ngang y – = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = a − , khoảng cách đến tiệm cận ngang d = a) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận d = d1 + d = a − + 7 = a−3 a−3 7 ≥ a −3 =2 a −3 a −3 ⇔ a −3= ± ⇔ a = 3± a −3 Từ ta hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Vậy d = ⇔ a − = a = a =  a − =1 b) Theo ta có d = d1 + d = a − + = ⇔ ( a − 3) − a − + = ⇔  ⇔  a = 10 a−3  a − =   a = −4 Tương ứng đồ thị có điểm M thỏa mãn M1 ( 4;9 ) , M ( 2; −5 ) , M (10;3) , M ( −4;1) 2x + m , ( C ) Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số x −1 Tìm m để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ 10 Hướng dẫn giải:  2a + m  Giả sử M  a;  ∈ ( C ) điểm cần tìm a −1   Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x – = tiệm cận ngang y – = Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = a − khoảng cách đến tiệm cận ngang d = Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận d = d1 + d = a − + 2a + m m+2 −2 = a −1 a −1 m+2 m+2 ≥ a −1 =2 m+2 a −1 a −1  m = 23 ⇒ d = m + = 10 ⇔ m + = 25 ⇔   m = −27 Với m = 23 ta có điều kiện cho dmin: a − =  a = ⇒ M ( 6;7 ) 25 ⇔ a −1 = ⇔  a −1  a = −4 ⇒ M ( −4; −3) Với m = −27 ta có điều kiện cho dmin: a − =  a = ⇒ M ( 6; −3) 25 ⇔ a −1 = ⇔  a −1  a = −4 ⇒ M ( −4;7 ) Vậy có hai giá trị m thỏa mãn tương ứng có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2x + Bài 1: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = x −1 Tìm điểm M (C) cho a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng hai lần khoảng cách từ M đến trục Ox b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cậng c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I giao hai tiệm cận Bài 2: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = x +1 2x + Tìm điểm M (C) cho a) tiếp tuyến M vuông góc với đường thẳng IM, với I giao điểm hai tiệm cận Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cậng c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I giao hai tiệm cận Bài 3: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = x +1 2x −1 Tìm điểm M (C) cho a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng hai lần khoảng cách từ M đến trục Oy b) tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận nhỏ c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I giao hai tiệm cận d) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận Bài 4: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = 3x − 2x + Tìm điểm M (C) cho a) M có tọa độ số nguyên b) khoảng cach từ M đến hai trục tọa độ c) tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận nhỏ Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!