Bài toán khoảng cách trong khảo sát hàm số

CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ I. LÝ THUYẾT 1. Cho hai điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 ; ; ;A x y B x y AB x x y y⇒ = − + − . 2. Cho điểm ( ) 0 0 ;M x y và đường thẳng d : Ax +By+C=0 , thì khoảng cách từ M đến d : ( ) 0 0 2 2 Ax ; By C h M d A B + + ⇔ = + 3. Khoảng cách từ ( ) 0 0 ;M x y đến tiệm cận đứng : x=a là 0 h x a= − 4. Khoảng cách từ ( ) 0 0 ;M x y đến tiệm cận ngang : y=b là : 0 h y b= − 5. Chú ý : Hai điểm A và B thường là hai điểm cực đại , cực tiểu hoặc là giao của một đường thẳng với một đường cong (C) nào đó . Vì vậy trước khi áp dụng công thức , ta cần phải tìm tọa độ của chúng ( Tìm điều kiện tồn tại A và B ) - Nhớ điều kiện tồn tại hai điểm cực trị cho hàm phân thức và hàm đa thức - Khi tìm giao hai đường : Lập phương trình hoành độ điểm chung , sau đó tìm điều kiện cho phương trình có hai nghiệm phân biệt II. CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP A.ĐỐI VỚI HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ 1. Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) . Hãy tìm trên (C) hai điểm A và B sao cho khoảng cách AB ngắn nhất . CÁCH GIẢI - Giả sử (C) có tiệm cận đứng : x=a . Do tính chất của hàm phân thức , đồ thị nằm về hai phía của tiệm cận đứng . Cho nên gọi hai số , α β là hai số dương - Nếu A thuộc nhánh trái ( ) A A x a x a a C α < ⇒ = − < ∈ , và - B thuộc nhánh phải ( ) B B x a x a a C β > ⇒ = + > ∈ - Tính : ( ); ( ) A A B B y f x y f x= = ; Sau đó tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 B A B A B A AB x x y y b a y y β α = − + − = + − − + −    - Khi đó AB có dạng : ( ) 2 ; ; .AB g a b α β α β = + +    . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si , ta có kết quả cần tìm . VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1. ( ĐH-NGoại Thương -99). Cho hàm số ( ) 2 1 1 1 1 x x y x C x x − + = = + − − a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau , sao cho AB ngắn nhất . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 1 CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ b. Gọi A thuộc nhánh trái 1 A x < ⇒ với số 0 α > , đặt ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A A A A x y x x α α α α α = − < ⇔ = + = − + = − − − − − - Tương tự B thuộc nhánh phải 1 B x > ⇒ với số β >0 , đặt : ( ) 1 1 1 1 ; 1 1 2 1 1 1 B B B B x y x x β β β β β = + ⇒ = + = + + = + + − + − - Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ( ; ) 1 2 1 1 2 1 4 ( ; ) 2 2 1 1 8 8 8 2 4.8 8 8 2 B A B A AB x x y y g g AB β α β α β α α β α β α β α β α β α β αβ α β αβ αβ α β α β αβ αβ αβ αβ α β αβ       = − + − = + − − + + + − − −      ÷  ÷               = + + + + + = + + + + = + + + + +  ÷  ÷  ÷         ≥ + + + + = + + ≥ + = +  ÷   ⇔ 8 8 2≥ + - Dấu đẳng thức xảy ra khi : ( ) 2 4 1 ; 4 1 8 2 2 α β α β α β αβ αβ αβ =  =    ⇔ ⇒ = = ±   = =     - Do đó ta tìm được hai điểm : 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 ;1 2 ; 1 ;1 2 2 2 2 2 A B     − − − + + +  ÷  ÷     Ví dụ 2.( ĐH-GTVT-98). Cho hàm số ( ) 2 3 3 13 5 2 2 x x y x C x x + + = = + + − − a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho AB ngắn nhất . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. Gọi A thuộc nhánh trái 2 A x < ⇒ với số 0 α > , đặt ( ) 13 13 13 2 2 5 7 7 1 2 2 2 A A A A x y x x α α α α α = − < ⇔ = + + = − + = − − − − − - Tương tự B thuộc nhánh phải 2 B x > ⇒ với số β >0 , đặt : ( ) 13 1 13 2 ; 5 2 5 7 2 2 2 2 B B B B x y x x β β β β β = + ⇒ = + + = + + + = + + − + − Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 2 CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ - Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 13 13 2 2 7 7 13 13 13 26 169 ( ; ) 1 2 1 1 26 169 52 ( ; ) 2 2 1 1 8 104 B A B A AB x x y y g g β α β α β α α β α β α β α β α β α β αβ α β αβ αβ α β α β αβ αβ αβ αβ α β αβ       = − + − = + − − + + + − − −      ÷  ÷               = + + + + + = + + + + = + + + + +  ÷  ÷  ÷         ≥ + + + + = + +  ÷   104 104 2 104 104 2 2 26 26 2AB ≥ + ⇔ ≥ + = + - Dấu đẳng thức xảy ra khi : ( ) 2 2 1 ; 52 8 338 338 α β α β α β αβ αβ αβ =  =    ⇔ ⇒ = = ±   = =     - Do đó ta tìm được hai điểm : 13 13 2 338;7 338 ; 2 338;7 338 338 338 A B     − − − + + +  ÷  ÷     Ví dụ 3. (ĐH-SPTPHCM-2000). Cho hàm số ( ) 2 3 3 1 2 1 1 x x y x C x x + + = = + + + + a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho AB ngắn nhất . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. Gọi A thuộc nhánh trái 1 A x < − ⇒ với số 0 α > , đặt ( ) 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 A A A A x y x x α α α α α = − < ⇔ = + + = − − + + = − − + − − + - Tương tự B thuộc nhánh phải 1 B x > − ⇒ với số β >0 , đặt : ( ) 1 1 1 1 ; 2 1 2 1 2 1 1 1 B B B B x y x x β β β β β = + ⇒ = + + = − + + + = + + − − + + - Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ( ; ) 1 2 1 1 2 1 4 ( ; ) 2 2 1 1 8 8 8 2 4.8 8 8 2 B A B A AB x x y y g g β α β α β α α β α β α β α β α β α β αβ α β αβ αβ α β α β αβ αβ αβ αβ α β αβ       = − + − = − + − − − + + + − − −      ÷  ÷               = + + + + + = + + + + = + + + + +  ÷  ÷  ÷         ≥ + + + + = + + ≥ + = +  ÷   ⇔ 8 8 2AB ≥ + - Dấu đẳng thức xảy ra khi : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 3 CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ ( ) 2 4 1 ; 4 1 8 2 2 α β α β α β αβ αβ αβ =  =    ⇔ ⇒ = = ±   = =     - Do đó ta tìm được hai điểm : 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 ;1 2 ; 1 ;1 2 2 2 2 2 A B     − − + − − + + +  ÷  ÷     Ví dụ 4.( ĐH-An ninh-98). Cho hàm số ( ) 2 1 1 1 1 x y x C x x = = + + − − a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho AB ngắn nhất . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. Gọi A thuộc nhánh trái 1 A x < ⇒ với số 0 α > , đặt ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 A A A A x y x x α α α α α = − < ⇔ = + + = − + + = − − − − − - Tương tự B thuộc nhánh phải 1 B x > ⇒ với số β >0 , đặt : ( ) 1 1 1 1 ; 1 1 1 2 2 1 1 1 B B B B x y x x β β β β β = + ⇒ = + + = + + + = + + − + − - Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 ( ; ) 1 2 1 1 2 1 4 ( ; ) 2 2 1 1 8 8 8 2 4.8 8 8 2 B A B A AB x x y y g g AB β α β α β α α β α β α β α β α β α β αβ α β αβ αβ α β α β αβ αβ αβ αβ α β αβ       = − + − = + − − + + + − − −      ÷  ÷               = + + + + + = + + + + = + + + + +  ÷  ÷  ÷         ≥ + + + + = + + ≥ + = +  ÷   ⇔ 8 8 2≥ + - Dấu đẳng thức xảy ra khi : ( ) 2 4 1 ; 4 1 8 2 2 α β α β α β αβ αβ αβ =  =    ⇔ ⇒ = = ±   = =     - Do đó ta tìm được hai điểm : 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 ;2 2 ; 1 ;2 2 2 2 2 2 A B     − − − + + +  ÷  ÷     Ví dụ 5. Cho hàm số ( ) 3 6 1 3 3 x y C x x + = = + − − a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho AB ngắn nhất . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 4 CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ b. Gọi A thuộc nhánh trái 3 A x < ⇒ với số 0 α > , đặt ( ) 6 6 6 3 3 1 1 1 1 3 3 3 A A A x y x α α α = − < ⇔ = + = + = − − − − - Tương tự B thuộc nhánh phải 1 B x > ⇒ với số β >0 , đặt : ( ) 6 6 6 3 ; 1 1 1 2 3 3 3 B B B x y x β β β = + ⇒ = + = + = + − + − Vậy : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 6 6 3 3 1 1 B A B A AB x x y y β α β α       = − + − = + − − + + − −     ÷  ÷         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 1 2 1 ( ; ) 6 1 2 1 36 2 1 4 ( ; ) 2 2 1 36 148 8 8 2 4.148 8 8 37 8 8 37 g g AB α β α β α β α β α β αβ α β αβ αβ α β α β αβ αβ αβ αβ α β αβ       = + + + = + + + + = + + + + +  ÷  ÷  ÷         ≥ + + + + = + + ≥ + = +  ÷   ⇔ ≥ + - Dấu đẳng thức xảy ra khi : ( ) 2 4 1 ; 4 1 148 37 37 α β α β α β αβ αβ αβ =  =    ⇔ ⇒ = = ±   = =     - Do đó ta tìm được hai điểm : 4 4 4 4 1 6 1 6 3 ;1 ; 3 ;1 37 37 37 37 A B     − − + +  ÷  ÷     2. BÀI TOÁN 2 . Cho đồ thị (C) có phương trình y=f(x) Tìm trên (C) điểm M sao cho a. Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất b. Khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ bằng nhau ( Hay : Khoảng cách từ M đến trục hoành bằng k lần khoảng cách từ M đến trục tung ) c. Khoảng cách từ M đến I ( là giao hai tiệm cận ) là nhỏ nhất . CÁCH GIẢI A. Đối với câu hỏi : Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất . - Gọi M(x;y) với y=f(x). thì tổng khoảng cách từ M đến hai trục là d d x y⇒ = + - Xét các khoảng cách từ M đến hai trục khi M nằm ở các vị trí đặc biệt : Trên trục hoành , trên trục tung . - Sau đó xét tổng quát ,những điểm M có hoành độ , hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục , để suy ra cách tìm GTLN-GTNN của d . Ví dụ 1. Cho hàm số ( ) 2 2 2 2 2 2 x y x C x x − = = + + − − Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 5 CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Tìm những điểm M trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C). b. - Xét những điểm M nằm trên trục Ox , cho y=0 ( ) ( ) 2 1 2 2 0 2 2 2;0 ; 2;0x x x M M⇔ − = ⇒ = − ∨ = ⇔ − - Khoảng cách từ M đến hai trục là d 2 0 2d⇒ = − + = - Xét những điểm M nằm trên trục Oy : cho x=0 , y= 1 , suy ra tồn tại 1 điểm M(0;1) . Vậy khoảng cách từ M đến hai trục là d = 0+1=1 < 2 . - Xét những điểm M có hoành độ : 2 2x d x y> ⇒ = + > . - Xét những điểm M có hoành độ thỏa mãn : 2x < . • Trường hợp : 2 0; 0x y− < < > ( ) 2 2 2 2 2 2 . ' 0 2 2 2 d x y x x y x x x ⇒ = + = − + + + = + ⇒ = − < − − − . Chứng tỏ hàm số nghịc biến . Do vậy mind =y(0)=1 . Có một điểm M(0;1) • Trường hợp : ( ) 2 2 2 2 0 2; 0 2 2 2 ; ' 2 0 1 3 2 2 2 x y d x x x y x x x x x < < > ⇒ = + + + = + + = − = ⇔ = ∨ = − − − Bằng cách lập bảng biến thiên , ta suy ra mind = y(0)=1. Có một điểm M(0;1) - Kết luận : Trên (C) có đúng một điểm M(0;1) có tổng khoảng cách từ nó đến hai tiệm cân là nhỏ nhất . Ví dụ 2. Cho hàm số ( ) 2 3 3 1 1 2 2 x x y x C x x + + = = + + + + a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Tìm trên đồ thị (C) những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị b Xét những điểm M nằm trên trục Ox , cho y=0 , 2 3 3 0; 9 12 3 0x x⇔ + + = ∆ = − = − < . Vô nghiệm . Không có điểm M nào nằm trên trục Ox. - Xét những điểm M nằm trên trục Oy , cho x=0 suy ra y=3/2 . Tồn tại 1 điểm M(0;3/2) . Khoảng cách từ M đến hai trục là d=0+3/2=3/2 . - Xét những điểm M có hoành độ lớn hơn 3/2 . 3 2 d x y⇒ = + > . - Xét những điểm M có hoành độ nhỏ hơn 3/2 : • Với 3 0 y>3/2 ; d= x 3/2 2 x y< < ⇒ + > Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 6 CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ • Với ( ) 2 3 1 1 1 0; 0 1 1 ; ' 0 2 2 2 2 x y d x x d x x x − < < > ⇒ = − + + + = + = − < + + + . Chứng tỏ hàm số nghịc biến . Suy ra mind =y(0)= 3/2 . Có 1 điểm M(0;3/2). - Kết luận : Trên (C) chỉ có đúng một điểm M(0;3/2 ) mà tổng khoảng cách từ M đến hai trục là nhỏ nhất . Ví dụ 3. Cho hàm số ( ) 2 5 1 3 3 x y C x x + = = + − − a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục là nhỏ nhất . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. - Tìm những điểm M nằm trên trục Ox : cho y=0 suy ra x = -2 . Tồn tại một điểm M(- 2;0) 2 0 2 M d⇒ = − + = - Tìm những điểm M nằm trên trục tung : cho x = 0 , suy ra y=-2/3 2 2 0 2 3 3 M d⇔ = + − = < - Xét những điểm M có hoành độ : 2 2 3 3 M x d x y> ⇒ = + > . - Xét những điểm M có hoành độ thỏa mãn : 2 2 2 ; (*) 3 3 3 x y y< < − ⇒ > +) Trường hợp : 2 0 3 x≤ ≤ . Do (*) cho nên : 2 3 M d x y= + > +) Trường hợp : ( ) 2 2 2 5 5 0; 0 1 ; ' 1 3 3 3 3 M M x y d x d x x − < < − < < ⇒ = − − − = − + − − 3 5 ' 0 3 5 M x d x  = − = ⇔  = +   . Khi lập bảng biến thiên ,ta thấy hàm số nghịch biến với mọi 2 ;0 3 x   ∈ −  ÷   . Vậy 2 min (0) 3 M M d d= = . Trên (C) có một điểm M(-2/3;0) thỏa mãn yêu cầu bài toán . B. Đối với câu hỏi : Tìm m trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trục Oy . CÁCH GIẢI - Theo đầu bài ta có : ( ) ( ) ; 0 ; 0 g x k y kx y k x y kx h x k = =  = ⇔ ⇒   = − =    - Bằng phương pháp tìm GTLN-GTNN của hàm số ta có kết quả . MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1. Cho hàm số ( ) 2 5 15 9 2 3 3 x x y x C x x + + = = + + + + a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 7 CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ b. Tìm trên (C) những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến trục Ox bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Oy . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. Theo giả thiết : 2 2 2 2 0 5 15 2 1 61 1 61 2 15 0 3 2 2 2 5 15 3 11 15 0 2 ô n 3 x x x y x x x x x x y x x x x x x v x  + +  = − − − +   = + − =  = ∨ = +   ⇔ ⇔ ⇔ ⇒    = − + + + + =     = −   +  Như vậy trên (C) có hai điểm M với hoành độ của chúng là : 1 61 1 61 2 2 x x − − − + = ∨ = Ví dụ 2.Cho hàm số ( ) 2 3 1 1 1 x y C x x − = = − + + a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Tìm trên (C) những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến trục Ox bằng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) . b. Theo giả thiết ta có : 0 2 2 2 ô n 3 3 3 2 2 0 1 2 10 2 10 3 2 3 4 2 0 3 3 3 1 x v x y x x x x y x x x x x x x x −   =   = + + =  +  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔    − − − +  = − − + − = = ∨ =    = −    +  Vậy trên (C) có hai điểm M có hoành độ : 2 10 2 10 3 3 x x − − − + = ∨ = , thỏa mãn yêu cầu bài toán . C. Đối với câu hỏi : * Tìm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến I ( là giao hai tiệm cận ) là nhỏ nhất . CÁCH GIẢI - Tìm tọa độ của hai tiệm cận I(a;b) - Tính khoảng cách IM bằng cách : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ; ; ,IM x a y b IM x a y b g x a b= − − ⇒ = − + − = uuur - Sử dụng phương pháp tìm GTLN-GTNN của hàm số ta có kết quả . MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1.( ĐH-Ngoại ThươngA-2001). Cho hàm số ( ) 2 2 2 1 3 1 1 x x y x C x x + − = = + + − − a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Tìm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến I là nhỏ nhất ( với I là giao hai tiệm cận ) GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. - Tọa độ của I là giao hai tiệm cận : I=(1;4) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 8 CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ - Gọi M(x;y) thuộc (C) , ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1; 4 ( ) 1 3 4 1 1 1 1 IM x y IM g x x x x x x x     ⇔ = − − ⇒ = = − + + + − = − + − +  ÷  ÷ − −     uuur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 g x x x x x x ⇔ = − + − + + = − + + ≥ + − − min 2 2 2IM⇒ = + . Đạt được khi : ( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 4 1 1 1 1 2 2 1 ; 1 1 2 1 1 2 x x x x x  = −   ⇔ − = ⇔ − = ⇒  − = +   - Như vậy trên (C) tìm được hai điểm M có hoành độ : x=1- 4 1 2 và x = 1+ 4 1 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán . Ví dụ 2. (ĐH-SPII-2001). Cho hàm số ( ) 2 1 1 1 1 x x y x C x x − + = = + − − a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Tìm A(x;y) thuộc (C) với (x>1) sao cho khoảng cách từ A đến I đạt GTNN ( với I là giao hai tiệm cận ) GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. - Giao hai tiệm cận là I (1;1) - M là điểm bất kỳ thuộc (C) suy ra M(x; y) ( x>1). - Theo giả thiết ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1; 1 1 1 1 1 2 1 1 IM x y IM x x x x x x   ⇔ = − − ⇒ = − + + − = − + − + +  ÷ −   − uuur ( ) ( ) 2 2 2 1 ( ) 2 1 2 2 2 2; min ( ) 2 2 2 1 g x IM x g x x ⇔ = = − + + ≥ + ⇒ = + − -Do đó : ( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 4 1 1 1 1 2 min 2 2 2 2 1 1 ; 1 2 1 1 2 x IM x x x x  = −   = + ⇔ − = ⇒ − = ⇔  − = +   - Kết luận : Trên (C) có hai điểm M có hoành độ là : x= 4 1 1 2 − và x= 4 1 1 2 + − , thỏa mãn yêu cầu của bài toán . 3. BÀI TOÁN 3. Cho đường cong (C) và đường thẳng d : Ax+By+C=0 . Tìm điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất . Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 9 CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ CÁCH GIẢI - Gọi I thuộc (C) ( ) 0 0 0 ; ( )I x y f x⇒ = - Tính khoảng cách từ I đến d : ( ) 0 0 0 2 2 Ax ( ) ; By C g x h I d A B + + = = + - Khảo sát hàm số 0 ( )y g x= , để tìm ra minh. MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1.Cho hàm số ( ) 2 4 5 1 2 2 2 x x y x C x x + + = = + + + + a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến d : y+3x+6=0 là nhỏ nhất ? GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. - Gọi M là điemr bất kỳ thuộc (C) , thì : ( ) 1 ; 2 2 M x y y x x   = = + +  ÷ +   - Khoảng cách từ M đến d là h(M;d) : ( ) 3 6 1 1 1 1 ( ; ) ( ) 3 6 2 4 2 2 2 10 10 10 x y h M d g x x x x x x + + ⇔ = = = + + + + = + + + + . +) Khi x>-2 ,x+2>0 ( ) 2 5 2 1 1 1 2 4( 2) 4 4( 2) ; 2 3 2 2 4 2 2 x x x x x x x  = − < −  ⇒ + + ≥ ⇔ + = ⇔ + = ⇒  + +  = − > −   Vậy : minh(M;d)= 4 10 , khi x=-3/2 +) Khi x<-2 , thì x+2<0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 5 4 2 4 4 2 ; 2 1 2 2 2 x x x x x x ⇒ − + − ≥ ⇔ − + = − ⇔ + = ⇒ = − + + Do đó minh(M;d)= 4 10 khi x=-3 . Tóm lại : minh(M;d)= 4 10 khi x=-1 và x=-3 .Có hai điểm M là M(-1;2) và M(-3;-2) Ví dụ 2. ( ĐH-KA-2005)Cho hàm số ( ) 1 m y mx C x = + a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1 b. Tìm m để khoảng cách từ điểm cực tiểu đến đường thẳng tiệm cận xiên của ( ) m C bằng 1 2 . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b.Ta có : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 10 [...]... này ta có kết quả 2 2 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 11 CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ Ví dụ 1.(ĐH-Cần Thơ-98) Cho hàm số = − x + 3 + 3 x −1 ( C) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Chứng minh với mọi m đường thẳng d : y=2x+m luôn cắt (C) tại hai điểm A,B có hoành 2 độ x1 , x2 Tìm m để khoảng cách ( x2 − x1 ) đạt giá trị nhỏ nhất c Tìm m để khoảng cách AB đạt GTNN GIẢI a Học... bằng 2 6 Ví dụ 8 Cho hàm số y = x 2 + 2mx + 2 3 − 2m = x + 2m − 1 + x +1 x +1 ( Cm ) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1 b Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại , cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó tới đường thẳng d : x+y+2=0 bằng nhau GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Tập xác định : D=R\ { −1} Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 15 CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ - Đạo hàm : y ' = x 2 +... : 02403833608 CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ 4 3 4 t + t ⇒ g (t ) = t 3 + t ; g '(t ) = 4t 2 + 1 > 0∀t ≥ 1 9 3 - Đặt : t = m 2 + 1 ≥ 1 ⇒ AB = f (t ) = 2 Hàm số g(t) luôn đồng biến Do đó ming(t)=g(1)=7/3 - Vậy min AB = 2 7 21 =2 ⇔ t = 1; ⇔ m 2 + 1 = 1 ⇒ m = 0 3 3 Ví dụ 10.Cho hàm số y = x − 3x + 4 ( C ) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Cho điểm I(-1;0) Xác định các tham số thực m để đường thẳng d... dụ 9 Cho hàm số y = x − mx 2 − x + m + 1 ( Cm ) 3 a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1 b Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại , cực tiểu Tìm m để khoảng cách giữa các diểm cực đại , cực tiểu là nhỏ nhất GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Tập xác định : D=R - Ta có đạo hàm : y ' = x 2 − 2mx − 1 2 2 - Xét : g ( x; m) = x − 2mx − 1 = 0 ( 1) ⇒ ∆ ' = m + 1 > 0∀m ∈ R Chứng tỏ hàm số luôn có... bài toán Ví dụ 3.(ĐH-KB-2005 ) Cho hàm số y = x 2 + ( m + 1) x + m + 1 1 = x+m+ x +1 x +1 ( Cm ) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1 b Chứng tỏ với mọi m hàm số luôn có cực đại , cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng 20 GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) ( x + 1) − 1 = 0 ⇔  x = 0 = b Ta có : y ' = 1 −  x = −2 Không phụ thuộc vào m , hay nói một 2 2 ( x + 1) ( x + 1)  2 1 cách khác là với mọi m hàm. .. Khoảng cách AB = x2 − x1 = ∆ = m2 − 10m − 7 = ( m − 5 ) − 32 ⇒ min AB = 32 2 Ví dụ 3.(ĐHKD-2003) Cho hàm số y = x2 − 2x + 4 4 = x+ x−2 x−2 ( C) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm m để đường thẳng d : y=mx+2-2m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AB=2 GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b.- Phương trình hoành độ điểm chung của (C) và d là 12 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM... 13.Cho hàm số y = 2x + 4 6 = −2 + 1− x 1− x ( C) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Gọi d là đường thẳng đi qua M(1;3) có hệ số góc là k Tìm k để d cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AB = 3 10 GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b - Đường thẳng d : y=k(x-1)+1 - Nếu d cắt (C) tại A,B thì hoành độ của A,B là hai nghiệm của phương trình : 18 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ ⇔... x0 + 10 ) = 24 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 19 CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ Ví dụ 15 Cho hàm số y = 3x − 2 1 = 3+ x −1 x −1 ( C) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1;3) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB= 2 3 GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Gọi d là đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k , thì d : y=k(x-1)+3 (1) - Nếu d cắt (C) tại hai điểm... 2 1 1 1 = ; ⇔ t = − → = − ⇒ m = −9 Thỏa mãn (*) - ⇒ min MN = 9 3 9 m 9 2 Ví dụ 5 ( ĐH-KA-2004) Cho hàm số y = − x 2 + 3x − 3 2 ( x − 1) ( C) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm m để đường thẳng d : y=m cắt (C) tại A,B sao cho AB=1 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 13 CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Nếu d cắt (C) tại A,B thì hoành độ của A,B là hai nghiệm của phương... + 1) < 2 2 ⇔ m3 + m − 2 < 0 ⇔ ( m − 1) ( m 2 + m + 2 ) < 0 ⇒ m < 1 Kết hợp với m>0 , ta có : 0 . ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ CÁCH GIẢI - Gọi I thuộc (C) ( ) 0 0 0 ; ( )I x y f x⇒ = - Tính khoảng cách từ I đến d : ( ) 0 0 0 2 2 Ax ( ) ; By C g x h I d A B + + = = + - Khảo sát hàm số 0 (. để suy ra cách tìm GTLN-GTNN của d . Ví dụ 1. Cho hàm số ( ) 2 2 2 2 2 2 x y x C x x − = = + + − − Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 5 CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ a. Khảo sát và vẽ đồ. CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ I. LÝ THUYẾT 1. Cho hai điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 1 2