Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu luyện thi ĐH môn Toán 2015 về Bài toán khoảng cách trong hàm số (Phần 1) cung cấp kiến thức lý thuyết và 1 số bài tập ví dụ có kèm theo hướng dẫn giải. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi Đại học 2015 cũng như các kỳ thi Đại học sau này.
Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ TỚI HAI TRỤC TỌA ĐỘ, HAI TIỆM CẬN Cho hàm số ( C ) : y = ax + b ax + b , M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) → M xo ; o cx + d cxo + d Khoảng cách từ M đến trục Ox d1 = yo = axo + b cxo + d Khoảng cách từ M đến trục Oy d = xo d d d = xo + c c a a Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang y = d = yo − c c Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x = − Khoảng cách từ M đến đường thẳng d : Ax + By + C = → d5 = Khoảng cách hai điểm A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) → AB = Axo + Byo + C A2 + B ( x A − xB ) + ( y A − y B ) x−2 x +1 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số cho a) khoảng cách từ M đến Oy ba lần khoảng cách từ M đến Ox b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang Hướng dẫn giải: x −2 x−2 Gọi M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y = → M xo ; o x +1 xo + a) Khoảng cách từ M đến trục tọa độ lần d1 = xo ; d = yo Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = 3xo − x + = xo xo2 − xo + = ⇒ vno xo − o Theo ta có d1 = 3d ⇔ xo = yo ⇔ xo = ⇔ ⇔ 3xo − xo + → xo = −2 ± 10 xo + xo − = = − x o x + o Vậy có hai điểm M với hồnh độ xo = −2 ± 10 thỏa mãn yêu cầu toán b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1 tiệm cận ngang y = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = xo + Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d = yo − = Theo ta có d1 = 2d ⇔ xo + = xo − −1 = xo + xo + ⇔ xo + = ± → xo = −1 ± xo + Vậy có hai điểm M với hoành độ xo = −1 ± thỏa mãn yêu cầu toán 2x + x −3 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số cho khoảng cách từ M đến điểm I ngắn nhất, với I giao điểm hai đường tiệm cận Hướng dẫn giải: 2x + 7 Gọi M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y = =2+ → M xo ;2 + x−3 x−3 xo − Đồ thị có tiệm cận đứng x = tiệm cận ngang y = nên giao điểm hai tiệm cận I(3 ; 2) Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ta có MI = ( xM ( xo − 3)2 + ( yo − )2 − xI ) + ( y M − y I ) = 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có ( xo − 3) + Vậy MI = 14 ⇔ ( xo + 3) = 49 ( xo + 3) 49 ( xo − 3) ≥2 = Facebook: LyHung95 = xo − ( xo − 3)2 + ( xo − 3)2 49 ( xo − 3)2 ( xo − 3)2 + 49 ( xo − 3)2 = 14 → MI ≥ 14 ⇔ ( xo + 3) = ⇔ xo + = ± → xo = −3 ± 2 Vậy có hai điểm M với hồnh độ xo = −3 ± thỏa mãn yêu cầu toán 2x + cho x +1 a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy c) tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận nhỏ Hướng dẫn giải: 2x + Gọi M(x0; y0) điểm thuộc đồ thị ⇒ M x0 ; x0 + Ví dụ 3: [ĐVH] Tìm M thuộc đồ thị hàm số y = Đồ thị có tiệm cận đứng x + = tiệm cận ngang y − = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = |x0 + 1| Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang d2 = |y0 – 2| y0 = x0 + Theo ta có d1 = 2d ⇔ x0 + = y0 − ⇔ y0 = − x0 + x0 = ⇒ y0 = 2x + Với y0 = x0 + ⇔ = x0 + ⇔ x02 + x0 = ⇔ x0 + x0 = −2 ⇒ y0 = 2x + Với y0 = − x0 + ⇔ = − x0 + ⇔ x02 + x0 + = 0, phương trình vơ nghiệm x0 + Vậy đồ thị có hai điểm M thỏa mãn đề M(0; 3) M(–2; 1) b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = |x0 + 1| Khoảng cách từ M đến trục Oy d2 = |x0| x0 = ⇒ y0 = Theo ta có d1 = 3d ⇔ x0 + = x0 ⇔ x = − ⇒ y = 10 1 8 10 Vậy đồ thị có hai điểm M thỏa mãn M ; , M − ; 3 3 2x + 2x + + 1 c) Ta có y = = =2+ x +1 x +1 x +1 Gọi M(x0; y0) điểm thuộc đồ thị ⇒ M x0 ;2 + x0 + Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng h1 = |x0 + 1| Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang h2 = y0 − = x0 + Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận d = h1 + h2 = x0 + + BDT Co-si ≥ x0 + =2⇒d ≥2 x0 + x0 + x0 + = ⇒ x0 = ⇒ y0 = Dấu đạt x0 + = ⇔ ( x0 + 1) = ⇔ x0 + x0 + = −1 ⇒ x0 = −2 ⇒ y0 = 7 Vậy đồ thị có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu M 0; , M ( −2;1) 3 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 II TỔNG KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TIỆM CẬN Giả sử có đồ thị hàm số y = f ( x) , f(x) g(x) hàm bậc g ( x) f (a) Điểm M thuộc đồ thị nên M a; g (a) Đồ thị có tiệm cận đứng x = α hay x – α = có tiệm cận ngang y = β hay y – β = d1 = a − α k Khoảng cách từ M đến tiệm cận → d = d1 + d = a − α + k f (a) a−α −β = d = g ( a ) a − α Theo bất đẳng thức Cô-si ta d = a − α + ⇒ d = k ⇔ a − α = k a−α ⇔ a−α = Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = k a−α ≥ a−α k ⇔a=α± k a−α =2 k k →M x , ( C ) Tìm điểm M thuộc đồ thị cho x+2 a) M có tọa độ số nguyên b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ Hướng dẫn giải: x x+2−2 = =1− a) Ta có y = x+2 x+2 x+2 x + = ±1 Gọi M(x; y) thuộc đồ thị, để M có tọa độ số nguyên 2⋮( x + ) ⇔ x + = ±2 x + = ⇔ x = −1 ⇒ y = −1 ⇒ M ( −1; −1) x + = −1 ⇔ x = −3 ⇒ y = ⇒ M ( −3;3) x + = ⇔ x = ⇒ y = ⇒ M ( 0;0 ) x + = −2 ⇔ x = −4 ⇒ y = ⇒ M ( −4;2 ) Vậy đồ thị hàm số có điểm M có tọa độ số nguyên a b) Giả sử M a; ∈ ( C ) điểm cần tìm a+2 Đồ thị có tiệm cận đứng x + = tiệm cận ngang y – = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = a + , khoảng cách đến tiệm cận ngang d = Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận d = d1 + d = a + + Vậy d = 2 ⇔ a + = a −1 = a+2 a+2 2 ≥2 a+2 =2 a+2 a+2 ⇔ a + = ± ⇔ a = −2 ± a+2 −2 + 2+ Từ ta hai điểm M thỏa mãn M −2 + 2; , M −2 − 2; 2x + Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y = , ( C ) Tìm điểm M thuộc đồ thị cho x−3 a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận Hướng dẫn giải: x + 2( x − 3) + 7 Ta có y = = =2+ Giả sử M a; + ∈ ( C ) điểm cần tìm x−3 x−3 x−3 a −3 Đồ thị có tiệm cận đứng x − = tiệm cận ngang y – = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = a − , khoảng cách đến tiệm cận ngang d = 7 = a−3 a−3 a) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận d = d1 + d = a − + 7 ≥ a −3 =2 a −3 a −3 ⇔ a −3= ± ⇔ a = 3± a −3 Từ ta hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Vậy d = ⇔ a − = a = a = a − = b) Theo ta có d = d1 + d = a − + = ⇔ ( a − 3) − a − + = ⇔ ⇔ a = 10 a−3 a − = a = −4 Tương ứng đồ thị có điểm M thỏa mãn M1 ( 4;9 ) , M ( 2; −5 ) , M (10;3) , M ( −4;1) 2x + m , ( C ) Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số x −1 Tìm m để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ 10 Hướng dẫn giải: 2a + m Giả sử M a; ∈ ( C ) điểm cần tìm a −1 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x – = tiệm cận ngang y – = Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = a − khoảng cách đến tiệm cận ngang d = Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận d = d1 + d = a − + 2a + m m+2 −2 = a −1 a −1 m+2 m+2 ≥ a −1 =2 m+2 a −1 a −1 m = 23 ⇒ d = m + = 10 ⇔ m + = 25 ⇔ m = −27 Với m = 23 ta có điều kiện cho dmin: a − = a = ⇒ M ( 6;7 ) 25 ⇔ a −1 = ⇔ a −1 a = −4 ⇒ M ( −4; −3) Với m = −27 ta có điều kiện cho dmin: a − = a = ⇒ M ( 6; −3) 25 ⇔ a −1 = ⇔ a −1 a = −4 ⇒ M ( −4;7 ) Vậy có hai giá trị m thỏa mãn tương ứng có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = 2x + x −1 Tìm điểm M (C) cho a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng hai lần khoảng cách từ M đến trục Ox b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cậng c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I giao hai tiệm cận Bài 2: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = x +1 2x + Tìm điểm M (C) cho a) tiếp tuyến M vng góc với đường thẳng IM, với I giao điểm hai tiệm cận b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cậng c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I giao hai tiệm cận Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Bài 3: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = Facebook: LyHung95 x +1 2x −1 Tìm điểm M (C) cho a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng hai lần khoảng cách từ M đến trục Oy b) tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận nhỏ c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I giao hai tiệm cận d) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận Bài 4: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = 3x − 2x + Tìm điểm M (C) cho a) M có tọa độ số nguyên b) khoảng cach từ M đến hai trục tọa độ c) tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận nhỏ Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! ... khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = a − , khoảng cách đến... – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Bài 3: [ĐVH] Cho hàm số ( C ) : y = Facebook: LyHung95 x +1 2x −1 Tìm điểm M (C) cho a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng hai lần khoảng cách từ M đến trục Oy b) tổng khoảng. .. toán 2x + cho x +1 a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy c) tổng khoảng cách