Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu luyện thi ĐH môn Toán 2015 về Cực trị hàm trùng phương (Phần 1) cung cấp kiến thức lý thuyết, 1 số bài tập ví dụ và bài tập tự luyện. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi Đại học 2015 cũng như các kỳ thi Đại học sau này.
Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 03 CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG – P1 Thầy Đặng Việt Hùng x = Xét hàm số y = ax + bx + c ⇒ y′ = 4ax + 2bx = x ( 2ax + b ) = ⇔ x = − b 2a DẠNG BIỆN LUẬN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Hàm số có cực trị y′ đổi dấu lần, tức − b ≤0 2a Hàm số có cực trị y′ đổi dấu ba lần, tức y′ = có ba nghiệm phân biệt ⇔ − b >0 2a Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 2mx + 3m − Tìm m để a) hàm số có cực trị b) hàm số có cực trị Lời giải: x = Ta có y = x3 − 4mx = x x − m ⇒ y′ = ⇔ x = m a) Hàm số có cực trị m ≤ b) Hàm số có ba cực trị m > ( ) Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y = ( m + 1) x − 3mx + − 5m Biện luận theo m số cực trị hàm số cho Lời giải: x = Ta có y = ( m + 1) x3 − 6mx = x (m + 1) x − 3m ⇒ y ′ = ⇔ ( m + 1) x − 3m, (1) TH1 : m = −1 ⇒ y ′ = x; y = ⇔ x = Trong trường hợp hàm số có cực trị, điểm cực tiểu 3m TH2 : m ≠ −1, (1) ⇔ x = m +1 3m + Hàm số có cực trị ≤ ⇔ −1 < m ≤ m +1 m > 3m + Hàm số có ba cực trị >0⇔ m +1 m < −1 Kết luận : Hàm số có cực trị −1 ≤ m ≤ m > Hàm số có ba cực trị m < −1 DẠNG TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TH1: Hàm số có ba điểm cực trị A, B, C +) Tìm điều kiện tồn ba điểm cực trị : − b >0 2a ( *) x = = x A → yA −b −b −b ; yB ; C − ; yC = xB → yB , từ A ( 0; y A ) ; B +) Với điều kiện (*) ta có y′ = ⇔ x2 = 2a 2a 2a −b = xC → yC x3 = − 2a Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Do hàm chẵn với x nên điểm B, C có yB = yC Nhận xét : A ∈ Oy, B ; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC tam giác cân A Ta xét số tính chất thường gặp hàm số : Tính chất 1: điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân Do tam giác ABC cân A nên vng cân đỉnh A Khi đo ta có điều kiện AB AC = 0, (1) −b −b với AB = ; yB − y A ; AC = − ; yC − y A 2a 2a b Từ (1) ⇔ AB AC = ⇔ + ( yB − y A ) = 2a Giá trị m tìm kết hợp với điều kiện tồn (*) cho ta kết cuối tốn Ngồi ta dùng điều kiện Pitago cho tam giác cân ABC : AB + AC = BC ⇔ AB = BC Tính chất 2: điểm cực trị tạo thành tam giác Tam giác ABC AB = BC ⇔ AB = BC , ( ) −b −b với AB = ; yB − y A ; BC = −2 ;0 2a 2a −b −2b + ( yB − y A ) = T ( ) ⇔ 2a a Giá trị m tìm kết hợp với điều kiện tồn (*) cho ta kết cuối tốn Tính chất 3: điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 1200 Tam giác ABC cân A nên BAC = 1200 Gọi H trung điểm BC ⇒ H ( 0; yB ) AH AH ⇔ cos 600 = ⇔ AB = AH ⇔ AB = AH , ( 3) AB AB −b −b 2 ; yB − y A ; AH = ( 0; yB − y A ) , từ ( 3) ⇔ + ( yB − y A ) = ( yB − y A ) với AB = 2a 2a Giá trị m tìm kết hợp với điều kiện tồn (*) cho ta kết cuối tốn Ta có cos HAB = Tính chất 4: điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S = So cho trước Gọi H trung điểm BC ⇒ H ( 0; yB ) Khi S∆ABC = AH BC ⇔ So = AH BC ⇔ 4So2 = AH BC , −b −b với BC = −2 ;0 ; AH = ( 0; yB − y A ) , từ ( 3) ⇔ So2 = ( yB − y A ) 2a 2a Giá trị m tìm kết hợp với điều kiện tồn (*) cho ta kết cuối tốn Tính chất 5: điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp R cho trước abc abc AB AC BC AB ⇒R= ⇔R= ⇔R= 4R 4S AH AH BC Giải phương trình ta giá trị m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối Sử dụng công thức diện tích tam giác S = Tính chất 6: điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm G(0; α) cho trước Ta có điều kiện trường hợp α = y A + yB + yC ⇔ y A + yB = 3α Tính chất 7: điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp r cho trước Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! ( 4) Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 AH BC S AH BC = Sử dụng cơng thức diện tích tam giác S = p.r ⇒ r = = + + AB AC BC p AB + BC Giải phương trình ta giá trị m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối Ví dụ 1: [ĐVH] (ĐH khối B - 2011) Cho hàm số y = x − 2( m + 1) x + m , với m tham số Tìm m để đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC, với O gốc tọa độ, A điểm cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại Lời giải: x = Ta có y′ = x3 − 4(m + 1) x = x x − (m + 1) ⇒ y′ = ⇔ x = m +1 Hàm số có ba điểm cực trị phương trình y′ = có ba nghiệm phân biệt ⇔ m + > ⇔ m > −1, (*) x1 = ⇒ y1 = m Với m > −1 y′ = ⇔ x2 = m + ⇒ y2 = −(m + 1) + m x3 = − m + ⇒ y3 = −(m + 1) + m Theo ta có tọa độ điểm cực trị A ( 0; m ) , B ( ) ( ) m + 1; −m2 − m − , C − m + 1; −m2 − m − m = + 2 Từ OA = BC ⇔ OA2 = BC ⇔ m2 = ( m + 1) ⇔ m − 4m − = ⇔ m = − 2 Kết hợp với điều kiện (*) ta m = ± 2 giá trị cần tìm Ví dụ 2: [ĐVH] (Dự bị khối B - 2003) Cho hàm số y = x − 2m x + , với m tham số Tìm m để đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông cân Lời giải: x = Ta có y′ = x3 − 4m2 x = x x − m ⇒ y ′ = ⇔ 2 x = m Hàm số có ba điểm cực trị phương trình y′ = có ba nghiệm phân biệt ⇔ m2 > ⇔ m ≠ 0, ( *) x1 = ⇒ y1 = Với m ≠ y′ = ⇔ x2 = m ⇒ y2 = − m → A ( 0;1) , B ( m;1 − m ) , C ( − m;1 − m ) x = −m ⇒ y = − m4 Ta nhận thấy tam giác ∆ABC cân A Để ∆ABC vng cân phải vng cân A m = Từ suy AB ⊥ AC ⇔ AB AC = ⇔ ( m; − m ) ( − m; − m ) = ⇔ − m + m8 = ⇔ m (m − 1) = ⇔ m = ±1 Kết hợp với điều kiện (*) ta m = ±1 giá trị cần tìm Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x + 2mx − m − , với m tham số Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác a) có diện tích b) c) có góc 1200 Lời giải: x = Ta có y′ = x3 + 4mx = x ( x + m ) ⇒ y′ = ⇔ x = −m Hàm số có ba điểm cực trị phương trình y′ = có ba nghiệm phân biệt, tức m < 0, (*) Với m < x = ⇒ y = −m − y′ = ⇔ x = − m ⇒ y = − m − m − → A ( 0; − m − 1) , B − m ; − m − m − , C − − m ; − m − m − x = − −m ⇒ y = −m − m − Ta nhận thấy A thuộc Oy, B ; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân A ( ) ( ) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( Facebook: LyHung95 ) a) Gọi H trung điểm BC ⇒ H 0; − m − m − 1 AH BC = ⇔ AH BC = ⇔ AH BC = 128, (1) Ta có BC = −2 −m ;0 ; AH = 0; −m , từ (1) ⇔ −4m.m = 128 ⇔ m5 = −32 ⇒ m = −2 Khi đó, S∆ABC = ( ) ( ) Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy m = −2 giá trị cần tìm b) Tam giác ABC AB = BC ⇔ AB = BC , ( ) Ta có AB = ( m = −m ; −m , BC = −2 −m ;0 , từ ( ) ⇔ − m + m = −4m ⇔ m = −3m ⇔ m = − ) ( ) Đối chiếu với điều kiện (*) ta m = − 3 giá trị cần tìm c) Tam giác ABC cân A nên để có góc 1200 BAC = 1200 ( ) Gọi H trung điểm BC ⇒ H 0; − m2 − m − BH BH ⇔ = ⇔ AB = BH = BC ⇔ AB = BC , AB AB m = Ta có AB = − m ; − m , BC = −2 − m ;0 , ( 3) ⇔ −m + m = −4m ⇔ m = − Đối chiếu với điều kiện (*) ta m = − giá trị cần tìm Trong tam giác vng HAB có sin HAB = sin 600 = ( ) ( ) ( ( 3) ) Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 2mx + m − , với m tham số Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp Lời giải: x = Ta có y′ = x3 − 4mx = x ( x − m ) ⇒ y ′ = ⇔ x = m Hàm số có ba điểm cực trị phương trình y′ = có ba nghiệm phân biệt, tức m > 0, (*) x = ⇒ y = m −1 Với m > y′ = ⇔ x = m ⇒ y = −m + m − → A ( 0; m − 1) , B m ; −m + m − , C − m ; −m + m − x = − m ⇒ y = −m + m − Ta nhận thấy A thuộc Oy, B ; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân A ( ( ) ( ) Gọi H trung điểm BC ⇒ H 0; −m + m − AH BC AB.BC AC AB = ⇒R= , 4R AH AB = m + m m ; −m ; AH = 0; −m ⇒ AH = m Diện tích tam giác ABC : S∆ABC = Ta có AB = ( ) ( (1) ) m = m + m4 Khi đó, (1) ⇔ = ⇔ m − 2m + = ⇔ ( m − 1) m + m − = ⇔ m = −1 ± m −1 Đối chiếu với điều kiện (*) ta m = 1; m = giá trị thỏa mãn u cầu tốn ( ) Ví dụ 5: [ĐVH] (Khối A - 2012) Cho hàm số y = x − 2(m + 1) x + m (1) , với m tham số Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông Lời giải: x = Ta có y′ = x3 − 4(m + 1) x = x x − (m + 1) ⇒ y′ = ⇔ x = m +1 Hàm số có ba điểm cực trị phương trình y′ = có ba nghiệm phân biệt ⇔ m + > ⇔ m > −1, (*) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! ) Khóa học LTĐH mơn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x1 = ⇒ y1 = m Với m ≠ y′ = ⇔ x2 = m + ⇒ y2 = −2m − → A ( 0; m ) , B m + 1; −2m − , C − m + 1; − 2m − x3 = − m + ⇒ y3 = −2m − Ta nhận thấy tam giác ∆ABC cân A Để ∆ABC vng cân phải vng cân A ( Ta có AB = ( ) ( m + 1; −(m + 1)2 ; AC = − m + 1; −(m + 1)2 ) ( ) ) m + = m = −1 Từ suy AB ⊥ AC ⇔ AB AC = ⇔ −(m + 1) + (m + 1)4 = ⇔ ⇔ m + = m = Kết hợp với điều kiện (*) ta m = giá trị cần tìm BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 4mx + 2m + , với m tham số Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác a) có diện tích 2 b) có trọng tâm G 0; 3 c) có bán kính đường trịn ngoại tiếp Bài 2: [ĐVH] Tìm m để hàm số y = x − 2m2 x + có ba điểm cực trị A, B, C cho a) tam giác ABC b) OA = BC , O gốc tọa độ, A điểm cực trị thuộc Oy, B ; C hai điểm cực trị cịn lại Bài 3: [ĐVH] Tìm m để hàm số y = x + ( m − ) x + m2 − 5m + có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông cân Đ/s : m = Bài 4: [ĐVH] Tìm m để hàm số y = x + 2mx + m2 + m có ba điểm cực trị đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có góc 1200 Đ/s : m = − Bài 5: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 2mx + 2m + m4 có đồ thị (Cm) Với giá trị m đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị lập thành tam giác có diện tích Đ/s : m = 16 Bài 6: [ĐVH] Biện luận theo m số cực trị hàm số sau : a) y = −2 x − (2m + 1) x + m + b) y = (1 − m) x − (3m + 1) x + 2m + c) y = (3m − 2) x − mx + m3 − Bài 7: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 2mx + (C).Tìm m để hàm số có cực trị tạo thành tam giác có: a) Bán kính đường trịn nội tiếp b) Bán kính đường trịn ngoại tiếp gấp đơi bán kính đường trịn nội tiếp Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bài 8: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 2mx + m, (C ) Chứng minh với m > hàm số ln có điểm cực trị Khi gọi A cực đại, B, C cực tiểu, (∆) đường thẳng qua A có hệ số góc k Biết (∆) khơng BC cắt đoạn thẳng BC Tìm k để d = d ( B; ∆ ) + d (C; ∆) = Bài 9: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 2mx + 1, (C ) điểm M ∈ (C ) có tung độ Tìm m để hàm số có cực tiểu A,B cho ( MA + MB ) MA − MB = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! ... dụ 1: [ĐVH] (ĐH khối B - 20 11) Cho hàm số y = x − 2( m + 1) x + m , với m tham số Tìm m để đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC, với O gốc tọa độ, A điểm cực trị thuộc trục... LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bài 8: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 2mx + m, (C ) Chứng minh với m > hàm số ln có điểm cực trị Khi gọi A cực đại, B, C cực tiểu, (∆) đường... số cực trị hàm số sau : a) y = −2 x − (2m + 1) x + m + b) y = (1 − m) x − (3m + 1) x + 2m + c) y = (3m − 2) x − mx + m3 − Bài 7: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 2mx + (C).Tìm m để hàm số có cực trị