chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian oxyz nguyễn quốc thịnh

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Lời nói đầu Chào Em học sinh thân mến! Bắt đầu từ năm 2017, kỳ thi THPT Quốc gia áp dụng hình thức trắc nghiệm môn Toán Đó điều mẻ tất em Thầy giáo, Cô giáo Khi biết thông tin đổi này, thân em học sinh bối rối bị bất ngờ em tiếp xúc với hình thức trắc nghiệm môn Toán từ trước đến Chính Thầy giáo, Cô giáo không quản vất vả mang đến cho em nguồn học liệu tốt nhất, cô đọng để em rèn luyện trước kỳ thi tới! Các Thầy, Cô xin gửi tới em cuốn: “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” Nội dung tài liệu bám sát nội dung kiến thức cấu trúc ĐỀ MINH HỌA Bộ GD&ĐT SGK Hình học 12 Cơ Tài liệu chia thành phần: Phần HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phần PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Phần PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Phần BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG Phần GIẢI TOÁN HÌNH KG BẰNG PP TỌA ĐỘ Thầy hy vọng tài liệu giúp em chuẩn bị thật tốt cho kỳ thi THPT Quốc gia Cuối xin chúc em đạt điểm cao kỳ thi tới! Mặc dù cố gắng tâm huyết để có tập tài liệu này, song trình biên soạn chắn không tránh khỏi sai sót định Rất mong thông cảm bạn đọc gần xa góp ý để có sửa chữa kịp thời hoàn thiện tài liệu theo email mr.nguyenquocthinh@gmail.com ! Trong tài liệu có sử dụng tư liệu nhiều tác giả Nhưng tài liệu phát hành với mục đích phi lợi nhuận nên kính mong thầy cô lượng thứ! Nhóm tác giả: Thầy Nguyễn Quốc Thịnh – THPT Trần Tất Văn, An Lão, Hải Phòng Thầy Lê Văn Định – TT GDNN GDTX Thanh Oai, Hà Nội Thầy Nguyễn Đăng Tuấn – TT GDNN GDTX Phú Lộc, Thừa Thiên Huế Thầy Đoàn Trúc Danh – Tân An, Long An Thầy Đặng Công Vinh Bửu – THPT Nguyễn Hữu Cầu, TP Hồ Chí Minh Thầy Ngô Nguyễn Anh Vũ – Đà Nẵng Thầy Trần Bá Hải – THPT Quỳ Hợp 1, Nghệ An Thầy Lưu Chí Tài – THPT Marie Curie, Hải Phòng Cô Nguyễn Thảo Nguyên 10 Thầy Nguyễn Hoàng Kim Sang – THPT Thanh Bình, Tân Phú, Đồng Nai 11 Cô Nguyễn Ngân Lam – THPT Trần Hưng Đạo, Hải Phòng Mùa xuân, tháng năm 2017 SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN PHẦN 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN: Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc không gian gồm ba trục x ' Ox, y ' Oy , z ' Oz vuông góc với đôi Gọi i , j , k véctơ đơn vị trục x ' Ox, y ' Oy, z ' Oz Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng (Oxy ), (Oyz ), (Oxz ) đôi vuông góc với gọi mặt phẳng tọa độ Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz gọi không gian Oxyz TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM: Trong không gian Oxyz cho điểm M tùy ý Khi ta có OM  xi  yj  zk gọi ba số ( x; y; z ) tọa độ điểm M hệ trục tọa độ Oxyz cho Như tương ứng với – điểm M không gian với ba số ( x; y; z ) gọi tọa độ điểm M hệ tọa độ Oxyz cho trướC Ta viết: M  ( x; y; z ) M ( x; y; z ) III TỌA ĐỘ CỦA MỘT VÉCTƠ: Trong không gian Oxyz cho véctơ a với a  a1i  a2 j  a3k Khi ba số (a1; a2 ; a3 ) gọi tọa độ véctơ a hệ tọa độ Oxyz cho trướC Ta viết: a  (a1 ; a2 ; a3 ) a (a1; a2 ; a3 ) IV BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VÉCTƠ: Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) số thực k Khi ta có: a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 ) a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 ) ka  (ka1 ; ka2 ; ka3 ) Chú ý a1  b1  a  b  a2  b2 a  b   (0;0;0) SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | a b (  0) phương  có số thực k cho  a1  kb1   a2  kb2  a  kb  b1  ka1  b2  ka2 b  ka  hay Nếu A  (a1; a2 ; a3 ), B  (b1; b2 ; b3 ) AB  (b1  a1; b2  a2 ; b3  a3 ) V BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG: Trong không gian Oxyz cho hai véctơ a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) Ta có a.b  a1b1  a2b2  a3b3 Độ dài véctơ: Cho véctơ a  (a1 ; a2 ; a3 ), ta có a  a.a  a12  a22  a32 Khoảng cách hai điểm A  ( xA ; y A ; z A ) B  ( xB ; yB ; z B ) AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2  ( zB  z A ) Gọi  góc hai véctơ a  (a1; a2 ; a3 ) b  (b1; b2 ; b3 )   Ta có: cos   cos a, b  a.b  a b a1b1  a2b2  a3b3 a a a b b b 2 2 2 2 a  b  a1b1  a2b2  a3b3  VI PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU: Trong không gian Oxyz mặt cầu tâm I  (a; b; c) bán kính R có phương trình là: (x a) ( y b) (z c) R x Ngược lại, phương trình x y2 z2 y2 Ax z2 2ax By 2Cz phương trình mặt cầu tâm I  ( A; B; C ) có bán kính R b2 c2 R2 D với A2 B2 C2 A2 B2 2by a2 2cz C2 D D B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng Tìm tọa độ điểm, véctơ yếu tố liên quan đến véctơ thỏa mãn số điều kiện cho trước, tọa độ điểm đặc biệt tam giác, tứ diện Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa có liên quan đến véctơ: tọa độ véctơ, độ dài véctơ, biết phân tích véctơ theo ba véctơ không đồng phẳng, biết tính tổng, hiệu, tích véctơ với số, biết tính tọa độ trọng tâm tam giác, trung điểm đoạn thẳng … Một số công thức cần nhớ: Xét tam giác ABC ta có điểm đặc biệt sau: SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | xA  xB  xC  x  G   y  yB  yC  G trọng tâm ABC  OG  OA  OB  OC   yG  A 3  z A  zB  zC   zG      AH  BC  H trực tâm ABC   BH  AC   AH, AB, AC ®ång ph¼ng   AA '  BC A ' chân đường cao hạ từ đỉnh A ABC     BA '  k BC AB DC AC AB EC E chân đường phân giác góc A ABC  EB  AC Xét tứ diện ABCD ta có điểm đặc biệt sau: D chân đường phân giác góc A ABC  DB   xA  xB  xC  xD   xG   y  yB  yC  yD  G trọng tâm tứ diện ABCD   yG  A  z A  zB  zC  zD   zG    AH  BD  H hình chiếu vuông góc A  BCD    AH  BC   BH, BC, BD ®ång ph¼ng VD Trong không gian Oxyz cho a  6i  j  4k Tọa độ a A  6;8;4  B  6;8;4  C  3;4;2  D  3;4;2  Hướng dẫn giải Theo định nghĩa a  6i  j  4k nên tọa độ a   6;8;4  Chọn đáp án A VD Trong không gian Oxyz cho véctơ a   5;7;  Tọa độ véctơ đối véctơ a A  5;7;2  B  5; 7; 2 C  2;7;5 D  2; 7; 5 Hướng dẫn giải Véctơ a   5;7;  có véctơ đối a    5;7;    5; 7; 2  Chọn đáp án B VD Trong không gian Oxyz cho hai điểm A  5;7;  , B  3;0; 4 Tọa độ véctơ AB A AB   2; 7;  B AB   2;7;  SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM C AB   8;7;6  D AB   2;7; 2  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | Hướng dẫn giải Tọa độ véctơ AB    5;0  7;     2; 7;  Chọn đáp án A VD Trong không gian Oxyz cho ba véctơ a   5;7;  , b   3;0;  , c   6;1; 1 Tọa độ véctơ: m  3a  2b  c A  3; 22; 3 B  3;22;3 C  3; 22; 3 D  3; 22;3 Hướng dẫn giải 3a   5;7;   15; 21;6   Ta có 2b  2  3;0;    6;0; 8   c   6;1; 1 Vậy m  3a  2b  c  15   6; 21   1;6   1   3; 22; 3 Chọn đáp án A VD Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với A 1;0; 2  , B  2;1; 1 , C 1; 2;  Tọa độ trọng tâm G tam giác 4 1  1 A G  ; ;  B G  ;  ;    3 3  3 3 VD  1 4 C G   ;  ;   3 3 D G  4; 1; 1 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức xác định tọa độ trọng tâm tam giác ta có tọa độ trọng tâm G cần tìm      2     1  G ; ;    ; ;  , 3    3 3 Chọn đáp án B Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với A 1;0; 2  , B  2;1; 1 , C 1; 2;  Xác định tọa độ điểm D đề ABCD hình bình hành A D  0; 3;1 B D  0;3;1 C D  3;0;1 D D  0; 3; 1 Hướng dẫn giải Để ABCD hình bình hành AB  DC 1   x x    Ta có AB  1;1;1 , gọi D  x; y; z   DC  1  x; 2  y;  z   1  2  y   y  3 1   z z    Chọn đáp án A Dạng Tích vô hướng ứng dụng tích vô hướng Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng biểu thức tọa độ tích vô hướng hai véctơ Sử dụng công thức tính khoảng cách SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | Trong không gian Oxyz cho véctơ a   5;7;  , b  1;3; 4  , tích vô hướng a b có giá VD trị A 18 B 34 C 14 D Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tích vô hướng hai véctơ ta có a.b  5.1  7.3   4    21   18 Chọn đáp án A Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1; 2;3 , B  0;3;1 , C  4; 2; 2 Tính cos BAC VD A B 9 35 C 35 D 35 Hướng dẫn giải Ta có AB  1;5; 2  , AC   5; 4; 1   cos BAC  cos AB, AC  AB AC   AB AC Chọn đáp án C 35 Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với A  1; 2;3 , B  0;3;1 , C  4;2;2  Có M , N lần VD lượt trung điểm cạnh AB, AC Độ dại đường trung bình MN A 21 B C 2 D 2 Hướng dẫn giải 1 3 5   1  Ta có tọa độ M   ; ;  , N  ; 0;   MN   2;  ;  2 2 2   2  2  1 1 Vậy độ dại đường trung bình MN            2 2 Chọn đáp án D Dạng Lập phương trình mặt cầu biết tâm bán kính mặt cầu Phương pháp giải:  Phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c) , bán kính R có dạng: (x  ( y b) (z c) R2 Dạng khai triển phương trình mặt cầu: x2 VD a) y2 z2 2ax 2by 2cz d , với R a2 b2 c2 d , a2 b2 Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I (5; 3; 7) có bán kính R A ( x C ( x 5) 5) ( y 3) ( y 3) (z (z 7) 7) B ( x 5) 2 D ( x 5) Hướng dẫn giải Chọn D SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM (y (y 3) 3) (z (z 7) c2 2 7) d TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu qua điểm M (5; 2;1) có tâm I (3; 3;1) VD A ( x 3) C ( x 3) (y 3)2 ( z 1) ( y 3)2 B ( x 3)2 ( z 1)2 3)2 D ( x 3)2 ( z 1)2 ( y 3)2 ( z 1)2 (y 5 Hướng dẫn giải (2;1;0) Do R Ta có IM 22 IM 12 02 Chọn A VD Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu đường kính AB với A(4; 3; 7), B (2;1;3) A ( x 3)2 ( y 1)2 2 C ( x 3) ( y 1) (z 5)2 (z 5) B ( x 3)2 ( y 1)2 2 D ( x 3) ( y 1) (z 5)2 (z 5) Hướng dẫn giải Tâm mặt cầu trung điểm I đoạn AB , I (3; 1;5) AB ( 2; 4; 4) Chọn B AB R Dạng Cho biết phương trình mặt cầu, xác định tâm bán kính mặt cầu Phương pháp giải:  Biến đổi phương trình mặt cầu dạng ( x a)2 ( y b) (z R Khi mặt cầu c) có tâm I (a; b; c) , bán kính R  Dạng khai triển phương trình mặt cầu: x a2 mặt cầu có tâm I (a; b; c) , bán kính R VD y2 b2 z2 c2 Trong không gian Oxyz, cho phương trình mặt cầu 3x 2ax 2by 2cz d với a b2 3y2 x y 15 z 3z c2 Tâm bán kính mặt cầu A Tâm I 1; ; bán kính R 2 B Tâm I 1; ; bán kính R 2 49 C Tâm I 1; ; bán kính R 2 D Tâm I 1; ; bán kính R 2 49 Hướng dẫn giải Phương trình mặt cầu cho viết dạng: x2 y2 z2 2x y 5z ( x 1)2 Chọn C SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM y Khi d z 2 49 d TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | C BÀI TẬP CÓ GIẢI DẠNG ĐIỀN KHUYẾT Các câu hỏi phần lấy không gian Oxyz Câu Cho điểm A  x A ; yA ; zA  , B  x B ; yB ; zB  , tọa độ véctơ AB  Câu Cho hai điểm A, B phân biệt, M trung điểm AB Tọa độ điểm M   ; ;  Câu Cho tam giác ABC, G trọng tâm tam giáC Khi tọa độ G   ; ;  Câu Cho hai véctơ u   u1 ; u2 ; u3  , v   v1 ; v2 ; v3  , điều kiện để hai véctơ phương … số thực k cho u  kv Câu Cho véctơ a  mi  n j  pk tọa độ a   ; ;  Câu Hai véctơ vuông góc với … chúng Câu Trong không gian mặt cầu xác định biết hai yếu tố: … mặt cầu bán kính Câu Cho mặt cầu  S  tâm I  a; b; c  bán kính R , điểm M  x; y; z  nằm mặt cầu         .R Cho mặt cầu  S  tâm I  a; b; c  bán kính khi: IM R  Câu 2         R Câu 10 Cho mặt cầu  S  tâm I  a; b; c  bán kính IM  khi: IM R  2         R , điểm M  x; y; z  nằm mặt cầu khi: 2 R , điểm M  x; y; z  nằm mặt cầu R Câu 11 Câu 12 Mặt cầu có đường kính AB có bán kính là………………… AB Đáp án: R  Câu 13 Tâm mặt cầu qua hai điểm A B nằm trên………………… Đáp án: mặt phẳng trung trực đoạn AB Câu 14 Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( P) có bán kính là…………… Đáp án: R  d ( I ,( P)) Câu 15 Mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng d có bán kính là…………… Đáp án: R  d ( I , d ) Câu 16 Mặt cầu có tâm I (a, b, c)  Ox thì…… Đáp án: b  c  Câu 17 Mặt cầu có tâm I (a, b, c)  (Oxy) thì…… Đáp án: c  SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | DẠNG TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, véctơ yếu tố liên quan đến véctơ thỏa mãn số điều kiện cho trước, tọa độ điểm đặc biệt tam giác, tứ diện Câu 1 Cho ba véctơ a   2; 5;3 , b   0; 2; 1 , c  1;7;  tọa độ véctơ d  4a  b  3c 1 1 1    A d   11; ;18  B d  11;1;18  C d  11;  ;18  D d  11; ; 18  3 3 3    Hướng dẫn giải Ta có 1 1   4a   8; 20;12  ,  b   0;  ;  ,3c   3; 21;6   d  4a  b  3c  11; ;18  3 3 3   Đáp án A Câu Cho ba véctơ a   2; 5;3 , b   0; 2; 1 , c  1;7;  tọa độ véctơ d  a  4b  2c A d   0; 27;3 B d   0; 27;3 C d   0; 27; 3 D d   0; 2;3 Hướng dẫn giải Ta có a   2; 5;3 , 4b   0; 8;  , 2c   2; 14; 4   d  a  4b  2c   0; 27;3  Đáp án A Câu Cho ba véctơ a   2; 1;  , b   3;0;1 , c   4;1; 1 tọa độ véctơ d  3a  2b  c A d   4; 2;3 B d   4; 2;3 C d   4; 2;3 D d   4; 2;3 Hướng dẫn giải Tương tự câu 1, Đáp án B Câu Cho ba véctơ a   2; 1;  , b   3;0;1 , c   4;1; 1 tọa độ véctơ d  2a  b  4c A d   9; 2; 1 B d   9; 2; 1 C d   9; 2;1 D d   9; 2;1 Hướng dẫn giải Tương tự câu 1, Đáp án C Câu Cho ba véctơ a  1; 2;3 , b   2; 2; 1 , c   4;0; 4  tọa độ véctơ d  a  b A d  1;0;  B d   1;0; 4  C d   0;1;  D d   1;0;  Hướng dẫn giải Tương tự câu 1, Đáp án D Câu Cho ba véctơ a  1; 2;3 , b   2; 2; 1 , c   4;0; 4  tọa độ véctơ d  a  b  2c A d   7;0; 4  B d   7;0;  C d   7;0; 4  Hướng dẫn giải Tương tự câu 1, Đáp án C SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM D d   7;0;  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 207 Bài a)  vuông góc với mặt phẳng  P  nên nhận nP 1; 2;  làm VTCP x  1 t  Phương trình tham số đường thẳng  :  y   2t  z  1  2t  Gọi M giao điểm   P   x  y  2z   x  1 t  Tọa độ điểm M thỏa hệ :   y   2t  z  1  2t Thay vào :  t    2t    1  2t     9t   t   M  2;0;1 b) Mặt phẳng   có dạng x  y  z  m   m   Ta có : d   P  ,     d  M ,     d  M ,      4m 2   m   m  2, m  10 Vậy phương trình mặt phẳng 1  : x  y  z   0,   : x  y  z  10  AM 3   c) Mặt cầu ( S ) có đường kính AM  I  ;1;0  , bán kính R  2 2  3  Phương trình mặt cầu :  S  :  x     y  1  z  2  Bài a) Mặt cầu  S  có tâm I  2,1; 3 ; R     12   P vuông góc với d nên nhận ud   2; 1;1 làm VTPT  Phương trình mặt phẳng  P  có dạng : x  y  z  m  Do  P  tiếp xúc với  S  nên : d  I ,  P    R  m 8   m  4; m  20 Vậy phương trình mặt phẳng  P1  : x  y  z   0,  P2  : x  y  z  20  b) Gọi I  tâm mặt cầu  S    I  đối xứng với I qua đường thẳng d Gọi R  bán kính mặt cầu  S   R  R  Gọi H hình chiếu vuông góc I lên đường thẳng d ' Mặt phẳng   qua I vuông góc với đường  x     y  1   z  3   x  y  z   2 x  y  z    x  2t   6t    t   Ta có : H  d     H thỏa hệ :   y  1 t  z   t SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM thẳng d : TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 208 1   H  3, ,  2  Mà H trung điểm II   I '  4;4;4  Phương trình mặt cầu  S  :  x  4   y  4   z    24 2 Hướng dẫn giải đề số 1   Bài Ta có : R  d  I ;  P    R   1  14 a) Phương trình mặt cầu  S  :  x  1   y  1   z    2 32 Gọi nQ VTPT mặt phẳng  Q  Ta có: AB   2; 2;3 , nP  1; 2;3  nQ   AB; nP   12; 3; 6    4; 1; 2   Phương trình mặt phẳng  Q  : x  y  z   b) Gọi u VTCP đường thẳng   x   4t  Ta có : u   AB; nP   12; 3; 6    4; 1; 2   Phương trình đường thẳng  :  y  1  t  z  2t  1  c) Gọi K trung điểm AB  K  2;0;   2  Ta có : MA  MB  MK  MK   x  2t  Để MA  MB nhỏ  MK nhỏ  MK   P   Đường thẳng MK :  y  2t   z    3t   x  y  3z   x   t  9  65 13  M  MK   P   M thỏa hệ :  y  2t  14t   t   M  ; ;  28  28 14 28    z    3t  x y z Bài Mặt phẳng  ABC  có dạng :     bcx  acy  abz  abc  a b c Ta có:  d  O,  ABC     abc b c  a c  a 2b 2 a 2b  a c  b c 1 a  b  c  1    2 2     3 a 2b c c b a d  O;  ABC   a b c  d  O;  ABC     a  b  c    ABC  : x  y  z   SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 209 PHẦN 5: GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Để giải toán hình không gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh hình Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí gốc O ) Bước 2: Xác định toạ độ điểm có liên quan (có thể xác định toạ độ tất điểm số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ điểm ta dựa vào: – Ý nghĩa hình học tọa độ điểm (khi điểm nằm trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ) – Dựa vào quan hệ hình học nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ – Xem điểm cần tìm giao điểm đường thẳng, mặt phẳng – Dựa vào quan hệ góc đường thẳng, mặt phẳng Bước 3: Sử dụng kiến thức toạ độ để giải toán Các dạng toán thường gặp:  Độ dài đọan thẳng  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Khoảng cách hai đường thẳng  Góc hai đường thẳng  Góc đường thẳng mặt phẳng  Góc hai mặt phẳng  Thể tích khối đa diện  Diện tích thiết diện  Chứng minh quan hệ song song , vuông góc  Bài toán cực trị, quỹ tích B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Hình chóp tam giác Dạng Dạng tam diện vuông Ví dụ Cho hình chóp O.ABC có OA  a , OB  b , OC  c vuông góc đôi Gọi M điểm cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp  OBC  , mp  OCA , mp  OAB  , , Giá trị a, b, c để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ A a  3; b  6; c  B a  1; b  1; c  C a  b  c D a  1; b  2; c  Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: O  0;0;0  , A  a; 0;  , B  0; b;  , C  0; 0; c  SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 210 d  M ,  OAB    zM  Tương tự  M 1; 2; 3 x y z PT mp  ABC  :    Vì M  ( ABC ) a b c     (1) a b c VO ABC  abc (2) 1 3 (1)      3  abc  27 a b c a b c (2)  Vmin  27     a b c Vậy a  3; b  6; c  Dạng Dạng tứ diện có cạnh vuông góc mặt góc nhọn tam giác vuông Ví dụ Tứ diện S ABC có cạnh SA vuông góc với đáy ABC vuông C Độ dài cạnh SA  , AC  , BC  Gọi M trung điểm cạnh AB , H điểm đối xứng C qua M Tính góc  góc phẳng nhị diện  H , SB, C  (tính đến độ, phút, giây) A   82o3557 B   97 o 242 C   63o30 D   15o1413 Hướng dẫn giải z S(0;0;4) I K A M x H(1;0;0) y C(0;3;0) B(1;3;0) Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz hình vẽ: O  A  0;0;0 ; B 1;3;  ; C  0;3;  ; S  0; 0;  H 1;0;0  Dựng mp  P  qua H vuông góc SB I cắt đường thẳng SC K , dễ thấy  H , SB, C  =  IH , IK  (1) * Tìm toạ độ véc tơ  SB  1;3;   SC   0;3;   , SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 211 x  1 t x    * Phương trình tham số đường thẳng SB :  y   3t , SC :  y   3t , phương trình mp  z  4t  z  4t    P  : x  y  4z 1   51 18   17 51 18  * Tìm toạ độ giao điểm I  SB   P  K  SC   P   I  ; ;  , K  0; ;  Toạ độ véctơ  26 13   26 26 13  51 18    17  IH   ;  ;   , IK    ;0;0  26 26 13 26     153  IH IK 676  0.1427  cos   cos  H , SB, C   cos  IH , IK   = 442 17 IH IK 26 26    98o1213 Dạng Dạng hình chóp tam giác S ABC : Giả sử cạnh tam giác a đường cao h Gọi O tâm tam giác ABC Trong mp  ABC  , ta vẽ tia Oy vuông góc với OA Đặt SO  h , chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được: a   a   a a  O  0;0;0  , A  ;0;0  , S  0;0; h  Suy toạ độ  I   ;0;0  , B   ; ;0  , 6        a a  C   ;  ;0    z S I C O a x a a B y A Hình chóp tứ giác Dạng Hình chóp S.ABCD có cạnh SA   ABCD đáy ABCD hình vuông (hoặc hình chữ nhật): Ta chọn hệ trục toạ độ dạng tam diện vuông SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 212 z S(0;0;h) y D(0;a;0) A(0;0;0) B(a;0;0) C(a;a;0) x Dạng Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O có đường cao SO   ABCD  : Ta chọn hệ trục toạ độ: Tia OA , OB , OS Ox , Oy , Oz Giả sử số đo SO  h , OA  a , OB  b ta có toạ độ O  0;0;0  , A  a;0;0  , B  0; b;  , S  0; 0; h   C   a; 0;  , D  0;  b;0 z S(0;0;h) y C(-a;0;0) B(0;b;0) O D(0;-b;0) A(a;0;0) x Dạng Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh AB  b , tam giác SAD cạnh a mp  SAD    ABCD  : Ta gọi H trung điểm AD ,  ABCD  ta vẽ a  a  tia Hy  AD Ta chọn hệ trục toạ độ Hxyz : H  0;0;0 , A  ;0;0  , B  ; b;0  , 2  2   a   a  C   ; b;0  , D   ;0;0  ,      a 3 S  0;0;    SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 213 z  a 3 S  0; 0;     a  D   ;0;0    H (0;0;0) a  A  ;0;0  2  x a  B  ; b;0  2   a  C   ; b;0    y Hình lăng trụ đứng Dạng Hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a : Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0) , B ( a; 0; 0) , C (a; a;0) , D(0;a;0) ; A(0;0; a ) , B(a;0; a ) , C (a; a; a ) , D(0;a;a) z A'(0;0;a) D' C' B' y A(0;0;0) C B(a;0;0) x D(0;a;0) Dạng Hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD cạnh AB  a , AD  b , AA  c : Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0) , B (a; 0; 0) , C ( a; b; 0) , D(0;b;0) ; A(0;0; c) , B(a;0; c) , C (a; b; c) , D(0;b;c) z A'(0;0;c) D' c C' B' y b A(0;0;0) D(0;b;0) a x B(a;0;0) C SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 214 Dạng Hình hộp đứng đáy hình thoi ABCD.ABCD : Chọn hệ trục toạ độ cho: gốc trùng với giao điểm O hai đường chéo AC , BD ; hai trục Ox, Oy chứa hai đường chéo hình thoi, trục Oz qua tâm hai đáy z A' D' O' B' y C' A D O B C x B BÀI TẬP CÓ GIẢI Câu Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC , AD vuông góc đôi một, có độ dài AB  , AC  AD  Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  BCD  A d  34 17 B d  12 C d  D d  34 17 Hướng dẫn giải z B C O A y D x Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: O  A  0;0;0 ; D  4; 0;  ; C  0; 4;  ; B  0; 0;3 * Tìm phương trình mặt phẳng  BCD  : x y z     3x  y  z  12  4 SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 215 * Tính khoảng cách d = d  A,  BCD  = 12 3 4 2  34 17 Câu Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng  ABC  AD  a , có tam giác ABC vuông A AC  b , AB  c Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c abc C S   ab  bc  ca  2 a b  b 2c  c a D S   a 2b  b 2c  c a  A S  B S  Hướng dẫn giải z D A y C x B Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: O  A  0;0;0 ; B  c; 0;  ; C  0; b;  ; D  0; 0; a  * Tìm toạ độ véc tơ  Cạnh tam giác BCD : BC   c; b;0  , BD   c;0; a   Véctơ tích có hướng  BC; BD    ab; ac; bc  * Sử dụng công thức tính diện tích tam giác 1 2 a b  b 2c  c a  S BCD   BC , BD  = 2 Câu Cho tứ diện O.ABC có tam giác OAB , OBC , OCA tam giác vuông đỉnh O Gọi  ,  ,  góc hợp mặt phẳng  OBC  ,  OCA ,  OAB  với mặt phẳng  ABC  Tìm hệ thức lượng giác liên hệ  ,  ,  A sin   sin   sin   B       60o C cos2   cos   cos   D cos 2  cos   cos 2  Hướng dẫn giải SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 216 z C A' B' H y O B C' A x Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: O (0; 0; 0) ; A(a; 0; 0) ; B(0; b;0) ; C (0;0; c ) AB   a; b;  , AC   a; 0; c  * Tìm vectơ pháp tuyến  Mặt phẳng  ABC  : n   AB, AC    bc; ca; ab   Mặt phẳng  OBC  : i  1; 0;  (vì: Ox  (OBC ) )  Mặt phẳng  OCA : j   0; 1;  (vì: Oy  (OCA) )  Mặt phẳng  OAB  : k   0; 0; 1 (vì: Oz  (OAB ) ) * Sử dụng công thức tính góc hai mặt phẳng bc  cos   cos  OBC  ,  ABC   cos   2 b c  c a  a 2b ac  cos   cos  OCA ,  ABC   cos   2 b c  c a  a 2b ab   cos   b c  c a  a 2b * Biến đổi kết luận cos   cos  OAB  ,  ABC  b2c b c  c a  a 2b c2a2  cos   2 2 b c  c a  a 2b a 2b  cos   2 2 b c  c a  a 2b Vậy cos   cos   cos  1  cos   Câu Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân với AB  AC  a , có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  SA  A   120o a Tính góc  hai mặt phẳng  SAC   SBC  B   30o C   45o Hướng dẫn giải SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM D   60o TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 217 z S y A C B x Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: O  A  0;0;0 ; B  a; 0;  ; C  0; a;  ;  a 2 S  0;0;    * Tìm vectơ pháp tuyến  Mặt phẳng  SAC  : i  1; 0;  (vì Ox  ( SAC ) )   a 2 a 2  Mặt phẳng  SBC  : có cặp véc tơ phương SB   a;0;   , SC   0; a;   véc      a2 a2 2  tơ pháp tuyến  SB, SC    ; ; a  n  1;1;  2   * Tính góc hai mặt phẳng  SAC   SBC  cos   i n i.n     60o Câu Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân với AB  AC  a , có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  SA  a Tính khoảng cách d hai đường thẳng AI SC , với I trung điểm cạnh BC A d  a C d  B d  a Hướng dẫn giải SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM a D d  a TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 218 z S y A C I B x Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: O  A  0;0;0 ; B  a; 0;  ; C  0; a;  ;  a 2 S  0;0;    AB   a; b;  , AC   0; a;0 * Tìm vectơ pháp tuyến  Mặt phẳng  SAC  : i  1; 0;  (vì Ox  ( SAC ) )   a 2 a 2  Mặt phẳng  SBC  : có cặp véc tơ phương SB   a;0;   ; SC   0; a;   véc      a2 a2 2  tơ pháp tuyến  SB, SC    ; ; a  n  1;1;  2   * Tính khoảng cách d hai đường thẳng AI SC  a 2 a a  a a   Vì I trung điểm BC  I  ; ;0  nên ta có: AI   ; ;0  , SC   0; a;  ,   2  2   a2 a2 a2   a3 a 2    AI , SC     ; ;  , AS   0;0; , mà    AI , SC  AS   4    a4 a4 a4 a2    8  Vậy khoảng cách hai đường thẳng AI SC  AI , SC  AS a3 2 a f  AI , SC     a  AI , SC   AI , SC   Câu Cho hình chóp O.ABC có OA  a , OB  b , OC  c vuông góc đôi Gọi M điểm cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp  OBC  , mp  OCA , mp  OAB  1, 2, Giá trị a, b, c để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ A a  1; b  1; c  B a  3; b  6; c  C a  b  c Hướng dẫn giải SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM D a  1; b  2; c  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 219 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: O  0;0;0  , A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  d  M ,  OAB    zM  Tương tự  M 1; 2;3  PT mp  ABC  : x y z    M  ( ABC )     (1) a b c a b c abc (2) 1 3 (1)      3  abc  27 a b c a b c (2)  Vmin  27     a b c Vậy a  3; b  6; c  VO ABC  Câu Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M , N là trung điểm SB, SC Cho biết  AMN  vuông góc với SBC ; Tính theo a diện tích AMN A S AMN  a2 B S AMN  a 10 a2 C S AMN  16 Hướng dẫn giải D S AMN  a 10 z S M N I C O a x a a B y A Gọi O hình chiếu S  ABC  , ta suy O trọng tâm ABC Gọi I trung điểm a a a BC  BC , ta có: AI   OA  , OI  2 SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 220 Trong mp  ABC  , ta vẽ tia Oy vuông góc với OA Đặt SO  h , chọn hệ trục tọa độ hình a  vẽ ta được: O  0; 0;  , A  ;0;0  , S  0; 0; h      a   a a   a a   a a h Suy toa độ  I   , B , C  , M ;0;0 ; ;0 ;  ;0           12 ; ;  6          a a h N   ;  ;  12 2   ah 5a  * Véctơ pháp tuyến mp  AMN  : n  AMN    AM , AN  =  ;0;  , mp  SBC  :  24    a 3 n  SBC    SB, SC  =  ah;0;  Từ giả thiết ( AMN )  ( SBC )  n  AMN  n  SBC      5a  h  12 a 10 * Diện tích tam giác AMN : S AMN   AM , AN   16 Câu Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1B1C1 có đáy tam giác cạnh a , có AA1  2a vuông góc với mặt phẳng  ABC  Gọi D trung điểm BB1 ; Lấy điểm M di động cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ diện tích tam giác MC1D A S MC1D 3a  B S MC1D a 42 5a C S MC1D   4 Hướng dẫn giải D S MC1D a 15  z B1 A1 C1 D M A x B y C Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O  A  0;0;0 ; B  Oy : B  0; a;  , A1  Oz : A1  0;0;2a  a a  ; ; 2a  D  0; a; a   C1   2  Do M di động AA1 có tọa độ M  0;0; t  với t 0; 2a Ta có: SDC1M   DC1 , DM  SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 221 a a  a  t  3a; 3(t  a); a  DC1   ;  ; a  , DM   0; a; t  a    DG, DM    2  a a (t  3a)  3(t  a)  3a  4t  12at  15a   DG, DM   2 a SDC1M  4t  12at  15a 2 3a Xét f  t   4t  12at  15a với t 0; 2a Ta có f   t   8t  12a ; f   t    t    Giá trị lớn hàm số đạt t  M  A , GTLN diện tích a 15 S MC1D  SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM ... GIA Trang | Chng III: PHNG PHP TA TRONG KHễNG GIAN PHN 1: H TA TRONG KHễNG GIAN A TểM TT Lí THUYT H TA TRONG KHễNG GIAN: H trc ta -cỏc vuụng gúc khụng gian gm ba trc x ' Ox, y ' Oy , z '... Khụng gian gn vi h ta Oxyz c gi l khụng gian Oxyz TA CA MT IM: Trong khụng gian Oxyz cho mt im M tựy ý Khi ú ta cú OM xi yj zk v gi b ba s ( x; y; z ) l ta ca im M i vi h trc ta Oxyz ó... gian vi h ta Oxyz , cho hai im P x; 1; , Q 3; 3;1 , bit PQ , giỏ tr ca x l: A.2 hoc B -2 hoc -4 C.2 hoc -4 Cõu 46 Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho cos a , b A x D hoc -2 a x; 2;1