1.. Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng liên mặt phẳng.. a) Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P).[r]
(1)§ HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
1. Định nghĩa hệ trục tọa độ Hệ gồm trục Ox Oy Oz, , vng góc với đơi chung điểm gốc O Gọi i (1; 0; 0), j (0;1; 0) k (0; 0;1) véctơ đơn vị, tương ứng trục Ox Oy Oz, , Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian hay gọi hệ trục Oxyz
Lưu ý: i2 j2 k2 1 i j i k. k j. 0
2. Tọa độ véctơ Định nghĩa: a ( ; ; )x y z a x i.y j. z k .
Tính chất: Cho a ( ; ; ), a a a1 b ( ; ; ), b b b1 k
a b (a1 b a1; 2 b a2; 3 b3) k a. (ka ka ka1; 2; 3)
Hai véctơ
1
2
3
a b
a b a b
a b
1
a a a
a b a k b
b b b
Môđun (độ dài) véctơ: a2 a12 a22 a32 a a12 a22 a32 Tích vơ hướng: a b. a b .cos( , ) a b a b1 1 a b2 2 a b3 3
Suy ra:
1 2 3
1 2 3
2 2 2
1 3
cos( ; )
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b
a b a a a b b b
3. Tọa độ điểm Định nghĩa: M a b c( ; ; )OM a i b j c k ( ; ; ).a b c
Cần nhớ: ( ) 0, ( ) 0, ( )
0, 0,
M Oxy z M Oyz x M Oxz y
M Ox y z M Oy x z M Oz x y
Tính chất: cho hai điểm A x y z( ; ; ), ( ; ; ).A A A B x y zB B B AB (xB xA; yB yA; zB zA)
2 2
( B A) ( B A) ( B A)
AB x x y y z z
Gọi M trung điểm AB ; ;
2 2
A B A B A B
x x y y z z
M
Gọi G trọng tâm tam giác ABC ; ;
3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD, tọa độ điểm G
; ;
4 4
A B C D A B C D A B C D
x x x x y y y y z z z z
G
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 3
(2)4. Tích có hướng hai véctơ Định nghĩa: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho véctơ
1 ( ; ; ) ( ; ; )
a a a a
b b b b
Tích có hướng hai véctơ
,
a b véctơ, ký hiệu [ , ]a b (hoặc ab) xác định công thức:
2 3 1
2 3 1 2
2 3 1
[ , ]a b a a ;a a ;a a a b a b a b; a b a b; a b
b b b b b b
Lưu ý: Nếu c [ , ]a b ta ln có c a c b Tính chất:
[ , ]i j k, [ , ]j k i, [ , ]k i j [ , ]a b a, [ , ]a b b [ , ]a b a b .sin( ; ). a b a b [ , ]a b 0. Ứng dụng tích có hướng:
Để a b c, , đồng phẳng [ , ].a b c 0 Ngược lại, để a b c, , không đồng phẳng [ , ].a b c (thường gọi tích hỗn tạp)
Do để chứng minh điểm A B C D, , , bốn điểm tứ diện, ta cần chứng minh , ,
AB AC AD không đồng phẳng, nghĩa AB AC AD, 0
Ngược lại, để chứng minh điểm A B C D, , , đồng phẳng, ta cần chứng minh AB AC AD, , thuộc mặt phẳng AB AC AD, 0
Diện tích hình bình hành ABCD S ABCD AB AD,
Diện tích ABC , ABC
S AB AC
Thể tích khối hộp ABCD A B C D V AB AD AA,
Thể tích khối tứ diện ABCD ,
ABCD
V AB AC AD
5. Phương trình mặt cầu Phương trình mặt cầu (S) dạng 1:
Để viết phương trình mặt cầu ( ),S ta cần tìm tâm I a b c( ; ; ) bán kính R Khi đó:
2 2
Tâm: ( ; ; )
( ) : ( ) : ( ) ( ) ( )
Bán kín : h I a b c
S S x a y b z c R
R
Phương trình mặt cầu (S) dạng 2:
Khai triển dạng 1, ta x2 y2 z2 2ax2by2cx a2 b2 c2R2 0 đặt
2 2
d a b c R phương trình mặt cầu dạng
2 2
( ) :S x y z 2ax2by2cz d
Với a2 b2 c2 d phương trình mặt cầu dạng có tâm I a b c( ; ; ), bán kính
2 2 .
R a b c d
A B
D C
A
(3)Dạng toán 1: Bài toán liên quan đến véctơ độ dài đoạn thẳng Cần nhớ: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A x y z( ; ; ), ( ; ; ).A A A B x y zB B B
AB (xB xA; yB yA; zB zA)
( )2 ( )2 ( ) 2
B A B A B A
AB x x y y z z
a ( ; ; )x y z a x i.y j.z k .
Ví dụ: a 2i3j k a ( ; ; ) ( ; ; )M a b c OM a i. b j. c k .
Ví dụ: OM 2.i 3.k M( ; ; )
Điểm thuộc trục mặt phẳng tọa độ (thiếu cài nào, cho 0) :
( ) z ( ; ;0)
M M M Oxy M x y
M (Oyz)x M( ; ; .)
0
M (Oxz)y M( ; ; .)
M Ox y z 0 M( ; ; .).
M Oyx z M( ; ; .)
M Oz x y 0 M( ; ; .).
1. Cho điểm M thỏa OM 2i j
Tìm tọa độ điểm M
A M(0;2;1) B M(1;2;0) C M(2;0;1) D M(2;1;0)
2. Cho hai điểm A( 1;2; 3) B(2; 1;0). Tìm tọa độ véctơ AB
A (1; 1;1). B (3;3; 3). C (1;1; 3). D (3; 3;3).
3. Cho hai điểm A B, thỏa OA(2; 1; 3)
(5;2; 1)
OB Tìm tọa độ véctơ AB A AB (3; 3; 4).
B AB (2; 1; 3).
C AB (7;1;2)
D AB (3; 3; 4).
4. Cho hai điểm M N, thỏa OM (4; 2;1),
(2; 1;1)
ON Tìm tọa độ véctơ MN A MN (2; 1; 0).
B MN (6; 3;2).
C MN ( 2;1; 0)
D MN ( 6; 3; 2).
5. Cho hai điểm A(2;3;1), B(3;1;5) Tính độ dài đoạn thẳng AB
A AB 21 B AB 13 C AB 2 D AB 2
6. Cho hai điểm M(3;0;0), N(0;0;4) Tính độ dài đoạn thẳng MN
A MN 10 B MN 5 C MN 1 D MN 7
7. Cho hai điểm A(1;2;3) M(0;0; ).m Tìm ,
m biết AM
A m 3 B m 2 C m 3 D m 2
8. Cho A(1;3; ), ( 1;4; 2), (1; ;2).m B C m Tìm m để ABC cân B
A m7/12 B m27/12 C m 7/12 D m 27/12
(4)
Dạng toán 2: Bài toán liên quan đến trung điểm, tọa độ trọng tâm Cần nhớ:
M trung điểm AB ; ;
2 2
A B A B A B
x x y y z z
M
Nhớ
A B
M
G trọng tâm ABC ; ;
3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
Nhớ
A B C
G
Gọi G1 trọng tâm tứ diện ABCD, tọa độ điểm G1
1 4 ; 4 ; 4
A B C D A B C D A B C D
x x x x y y y y z z z z
G
Nhớ:
A B C D
G
1. Cho hai điểm A(3; 2;3) B( 1;2;5). Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB A I( 2;2;1). B I(1;0;4)
C I(2;0;8) D I(2; 2; 1).
2. Cho hai điểm M(1; 2; 3) N(3;0; 1). Tìm tọa độ trung điểm I đoạn MN
A I(4; 2;2). B I(2; 1;2). C I(4; 2;1). D I(2; 1;1).
3. Cho hai điểm M(3; 2;3) I(1;0;4) Tìm điểm N để I trung điểm đoạn MN A N(5; 4;2). B N(0;1;2)
C N(2; 1;2). D N( 1;2;5).
4. Cho hai điểm A(2;1;4) I(2;2;1) Tìm điểm B để I trung điểm đoạn AB
A B( 2; 5;2). B B(2;3; 2). C B(2; 1;2). D B(2;5;2)
5. Cho ba điểm A(1;3;5), B(2; 0;1), C(0;9;0) Tìm trọng tâm G tam giác ABC A G(3;12;6) B G(1;5;2) C G(1;0;5) D G(1;4;2)
6. Cho điểm A(2;1; 3), (4;2;1), B C(3;0;5) ( ; ; )
G a b c trọng tâm ABC Tìm abc A abc3 B abc4
C abc5 D abc0
7. Cho tứ diện ABCD có A(1;0;2), B( 2;1;3), (3;2;4),
C D(6;9; 5). Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD
A G(8;12;4) B G( 9;18; 30). C G(3;3;1) D G(2; 3;1)
8. Cho tứ diện ABCD có A(1; 1;1), B(0;1;2), (1;0;1),
C D a b c( ; ; ) G(3/2;0;1) trọng tâm tứ diện Tính S a b c
A S 6 B S 6 C S 4 D S 4
(5)
Dạng toán 3: Bài toán liên quan đến hai véctơ Cần nhớ: Trong khơng gian Oxyz, cho hai véctơ a ( ; ; ), a a a1 b ( ; ; ), b b b1 k
1 2 3
a b (a b a; b a; b )
.k a (ka ka ka1; 2; 3)
Hai véctơ khi hoành hoành, tung tung, cao cao, nghĩa là:
1
2
3
a b
a b a b
a b
Để ABCD hình bình hành AB DC
1. Cho A(1;2; 1), B(2; 1;3), C( 3;5;1). Tìm điểm D cho ABCD hình bình hành A D( 4;8; 3). B D( 2;2;5). C D( 2;8; 3). D D( 4;8; 5).
2. Cho A(1;1;3), B(2;6;5), C( 6; 1;7). Tìm điểm D để ABCD hình bình hành A D( 7; 6;5). B D( 7; 6; 5). C D(7;6;5) D D(7; 6; 5). Học sinh nghe giảng bổ sung lời giải
Gọi D x y z( ; ; ) đỉnh hình bình hành Ta có: ( ; ; )
( ; ; ) AB
DC
Vì ABCD hình bình hành nên AB DC
1
3 ( ; ; )
4
x x
y y D
z z
3 Cho A(1;1;1), (2;3;4), (6;5;2).B C Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành A D(7;7;5) B D(5;3; 1). C D(7; 6;5). D D(7;6; 5).
4 ChoA(1;2; 1), B(2; 1;3), C( 2;3;3), M a b c( ; ; ) Tìm a2 b2 c2 đểABCM hình bình hành
A 42 B 43
C 44 D 45
(6)
5. Cho hai điểm A( 1;2;3) B(1;0;2) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn AB 2MA
A 2; 3;7 M
B
7 2; 3;
2 M
C M( 2;3;7). D M( 4;6;7).
6. Cho hai điểm B(1;2; 3), (7;4; 2). C Tìm tọa độ điểm M, biết CM 2MB
A 3; ;8 3 M
B
8
3; ;
3
M
C M(3;3;7) D M(4;6;2)
7. Cho A(2;0;0), B(0;3;1), C( 3;6;4) Gọi M điểm nằm đoạn BC cho
2
MC MB Tính độ dài đoạn AM A AM 2 B AM 29 C AM 3 D AM 30
8. Cho A(0;1;2), B(1;2;3), C(1; 2; 5). Điểm M nằm đoạn thẳng BC cho
3
MB MC Tính độ dài đoạn AM A AM 11 B AM 7 C AM 7 D AM 30
9. Cho u (2; 5; 3), v (0;2; 1), w (1;7;2) Tìm véctơ a u 4v2 w
A a (7;2; 3). B a (0;27; 3) C a (0; 27; 3). D a (7; 2; 3).
10. Biểu diễn véctơ a (3;7; 7) theo véctơ (2;1; 0),
u v (1; 1;2), w (2;2; 1) A u3v2 w B a 2u3vw C 2u3vw D a u 2v3 w
(7)
D(x;y;z)
B(5;1;-2) C(7;9;1) A(1;1;1)
11. Cho tam giác ABC có A(1;1;1), (5;1; 2)B C(7;9;1) Tính độ dài đường phân giác AD góc A
A 74
3
AD B 74
2
AD
C 74
3
AD D 74
2
AD
12. Cho ABC có A( 1;2;4), (3;0; 2) B (1;3;7)
C Gọi D chân đường phân giác góc A Tính độ dài đoạn OD,
A
2
OD B OD 5
C 205
3
OD D OD 4
Học sinh nghe giảng bổ sung lời giải Ta có:
10
AB
AC
Theo tính chất phân giác:
2
DB AB
DC AC 2BD DC
Gọi D x y z( ; ; ) 2( 5; 1; 2)
(7 ;9 ;1 )
BD x y z
DC x y z
; ;
D
Do độ dài đoạn 74
AD
Nhận xét Nếu tỉ số tam giác ABC tam giác cân A Khi chân đường phân giác trong D góc A trung điểm cạnh BC
13. Cho ABC có A(1;2; 1), (2; 1;3) B ( 2;3;3)
C Tìm tọa độ điểm D chân đường phân giác góc A tam giác A D(0;3; 1). B D(0; 3;1).
C D(0;3;1) D D(0;1;3)
14. Cho ABC có A(1;2; 1), (2; 1;3) B ( 4;7;5)
C Tìm tọa độ điểm D chân đường phân giác góc B
A D( 2;2; 1). B D( 2/3; 11/3; 1). C D(2;3; 1). D D(3; 11;1).
(8)
Dạng toán 4: Hai véctơ phương, ba điểm thẳng hàng Cần nhớ: Trong khơng gian Oxyz, cho hai véctơ a ( ; ; ), a a a1 2 3 b ( ; ; ), b b b1 2 3 k
Hai véctơ phương Hoµnh Hoµnh
Tung Cao
Tung Cao
Nghĩa là:
1
1
a a a
a b a k b k
b b b
Khi k0 a b phương chiều Ba điểm A B C, , thẳng hàng AB AC
A B C, , ba đỉnh tam giác A B C, , không thẳng hàng AB AC
1 Cho u(2;m1;4) v(1;3; ). n Biết u phương v, m n
A 6 B 8 C 1 D 2
2 Cho hai véctơ u(1; 3; 4), v (2; ; )y z phương Tổng yz
A 6 B 6 C 2 D 8 Học sinh nghe giảng bổ sung lời giải
Vì
1
u v m
n
m
m n
n
Chọn A.
3. Cho hai vécơ u(1; ;2), ( 3;9; )a v b phương Giá trị tổng a2 b
A 15 B 3 C 0 D 3
4 Cho véctơ a (10m m; 2; m210) (7; 1; 3)
b phương Giá trị m A 4 B 4 C 2 D 2
5. Cho A( 2;1;3) B(5; 2;1). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxy) M a b c( ; ; ) Tính giá trị tổng a b c
A a b c B a b c 11 C a b c D a b c
6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( 1;6;6), (3; 6; 2)
A B Tìm điểm M (Oxy) để AM MB ngắn ?
A M(2; 3;0). B M(2;3;0) C M(3;2;0) D M( 3;2;0).
(9)
Dạng tốn 5: Nhóm tốn liên quan đến hình chiếu, điểm đối xứng điểm lên trục, lên mặt phẳng tọa độ
Hình chiếu: “Thiếu nào, cho 0” Nghĩa hình chiếu M a b c( ; ; ) lên: Ox
M1( ; ; ) Oy M2( ; ; ) Oz M3( ; ; ) (Oxy)
M4( ; ; ) (Oxz) M5( ; ; ) (Oyz) M6( ; ; ) Đối xứng: “Thiếu nào, đổi dấu đó”. Nghĩa điểm đối xứng N a b c( ; ; ) qua:
Ox
N1( ; ; ) Oy N2( ; ; ) Oz N3( ; ; ) (Oxy)
N4( ; ; ) (Oxz) N5( ; ; ) (Oyz) N6( ; ; )
Khoảng cách: Để tìm khoảng cách từ M đến trục (hoặc mp tọa độ), ta tìm hình chiếu H M lên trục (hoặc mp tọa độ), từ suy khoảng cách cần tìm d MH
1. Cho điểm A(3; 1;1). Hình chiếu vng góc A mặt phẳng (Oyz) điểm
A M(3; 0;0) B N(0; 1;1). C P(0; 1;0). D Q(0; 0;1)
2. Trong khơng gian Oxyz, tìm tọa độ điểm H hình chiếu M(1;2; 4) lên (Oxy)
A H(1;2; 4). B H(0;2; 4). C H(1;0; 4). D H(1;2;0) Ghi lại câu cần nhớ:
Ghi lại câu cần nhớ:
3. Hình chiếu vng góc A(3; 1;1) (Oxz) làA x y z( ; ; ) Khi x y z
A 4 B 2
C 4 D 3
4. Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ điểm H hình chiếu M(4;5;6) lên trục Ox
A H(0;5;6) B H(4;5;0) C H(4;0;0) D H(0;0;6) Ghi lại câu cần nhớ:
Ghi lại câu cần nhớ:
5. Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ điểm H hình chiếu M(1; 1;2) lên trục Oy A H(0; 1;0). B H(1;0;0) C H(0;0;2) D H(0;1;0)
6. Trong khơng gian Oxyz, tìm tọa độ điểm H hình chiếu M(1;2; 4) lên trục Oz
A H(0;2;0) B H(1;0;0) C H(0;0; 4). D H(1;2; 4). Ghi lại câu cần nhớ:
Ghi lại câu cần nhớ:
7. Tìm tọa độ M điểm đối xứng điểm (1;2;3)
M qua gốc tọa độ O
A M ( 1;2;3) B M ( 1; 2;3) C M ( 1; 2; 3) D M(1;2; 3).
8. Tìm M điểm đối xứng M(1; 2; 0) qua điểm A(2;1; 1).
A M(1;3; 1). B M (3; 3;1) C M (0; 5;1) D M(3;4; 2). Ghi lại câu cần nhớ:
(10)
9. Tìm tọa độ điểm M điểm đối xứng điểm M(3;2;1) qua trục Ox
A M (3; 2; 1) B M ( 3;2;1) C M ( 3; 2; 1) D M (3; 2;1)
10. Tìm tọa độ M điểm đối xứng điểm (2;3;4)
M qua trục Oz
A M (2; 3; 4) B M ( 2;3;4) C M ( 2; 3;4) D M (2; 3;4) Ghi lại câu cần nhớ:
Ghi lại câu cần nhớ:
11 Tìm điểm M điểm đối xứng điểm (1;2;5)
M qua mặt phẳng (Oxy) A M ( 1; 2;5) B M(1;2;0) C M (1; 2;5) D M(1;2; 5).
12 Tìm điểm M điểm đối xứng điểm (1; 2; 3)
M qua mặt phẳng (Oyz) A M ( 1; 2;3) B M(1;2; 3). C M ( 1;2; 3). D M (0; 2;3) Ghi lại câu cần nhớ:
Ghi lại câu cần nhớ:
13. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M a b c( ; ; ) đến mặt phẳng (Oxy) A a2 b2 B a
C b D c
14. Trong khơng gian Oxyz, tính khoảng cách từ điểm M a b c( ; ; ) đến trục hoành Ox
A a2 b2 B b2 c2 C a2 c2 D a
15. Tính khoảng cách d từ điểm M(1; 2; 3) đến mặt phẳng (Oxz)
A d 1 B d 2 C d D d
16. Trong khơng gian Oxyz, tính khoảng cách d từ điểm M( 3;2;4) đến Oy
A d B d C d D d
17. Cho hình hộp ABCD A B C D có A(0;0;0), (3;4;5)
C điểm B thuộc trục hồnh Tìm tọa độ tâm I hình chữ nhật CDD C A I(3/2; 2; 5/2) B I(3/2; 4; 5/2) C I(3/2; 2; 5) D I(3;2;5)
18. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có (0;0;0),
A B(3;0;0), D(0; 3;0), D(0;3; 3). Tìm tọa độ trọng tâm G A B C
A G(2;1; 1). B G(1;1; 2). C G(2;1; 3). D G(1;2; 1).
(11)
Oxy
I(1;3;3)
M(1;3;0) M'
Tâm tỉ cự: Cho ba điểm A B C, ,
Tìm điểm I thỏa mãn .IA.IB.IC
A B C
I
A B C
I
A B C
I
x x x
x
y y y
y
z z z
z
(1)
Công thức (1) tương tự điểm điểm Với điểm M, ta có:
MA.MB.MC ( ).MI
(2) .MA2 .MB2 .MC2 ( ).MI2 const (3) Nếu I trọng tâm ABC
Để chứng minh (1),(2), ta sử dụng quy tắc chèn điểm I sử dụng (1)
19. Cho tam giác ABC với A(1;0;0), B(3;2;4), C(0;5;4) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) cho T MAMB2MC
nhỏ
A M(1;3;0) B M(1; 3; 0). C M(3;1;0) D M(2;6; 0)
Giải Gọi I thỏa IAIB 2IC 0
theo cơng thức (1) có I(1;3;3) Theo cơng thức (2)T MAMB2MC 4MI 4MI
Để Tmin 4MImin M
hình chiếu I(1;3;3) lên (Oxy) Suy M(1;3;0).Chọn đáp án A.
20. Cho ba điểm A(2; 3;7), (0;4; 3) B C(4;2; 3) Biết điểm M x y z( ; ; ) ( Oxy) biểu thức T MA MBMC đạt giá trị nhỏ Giá trị x y z
A 3 B 3 C 6 D 0
21. Cho ba điểm A(1;1;1), ( 1;2;1), (3;6; 5).B C Tìm tọa độ điểm M (Oxy) cho biểu thức
2 2
T MA MB MC đạt giá trị nhỏ ? A M(1;2;0)
B M(0; 0; 1). C M(1;3; 1). D M(1;3;0)
(12)BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, véctơ véctơ đơn vị trục Ox ? A i (0;1;1) B i (1; 0; 0) C j (0;1; 0) D k (0; 0;1) Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa OM 2i j
Tọa độ điểm M. A M(0;2;1) B M(1;2;0) C M(2;0;1) D M(2;1;0)
Câu 3. (Đề thi THPT QG năm học 2018 – Mã đề 102) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1; 2) B(2;2;1) Véctơ AB
có tọa độ
A (3;3; 1). B ( 1; 1; 3). C (3;1;1) D (1;1;3) Câu 4. Trong không gian Oxyz,cho điểm B(2;1;4) véctơ AB (1;1;1)
Tìm tọa độ điểm A. A A(1;0;3) B A( 1;0; 5). C A(3;2;5) D A(1;0;5)
Câu 5. (Đề thi THPT QG năm học 2017 – Mã đề 110) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;2;1) Tính độ dài đoạn thẳng OA
A OA3 B OA9 C OA D OA5
Câu 6. (Đề thử nghiệm Bộ GD & ĐT năm 2017) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; 2; 3) ( 1;2;5)
B Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB
A I( 2;2;1). B I(1;0;4) C I(2;0; 8) D I(2; 2; 1). Câu 7. Cho ba điểm A(1;3;5), B(2; 0;1), C(0;9;0) Tìm trọng tâm G tam giác ABC.
A G(3;12;6) B G(1;5;2) C G(1;0;5) D G(1;4;2) Câu 8. Cho hai điểm A(1;2;3) M(0;0; ).m Tìm m, biết AM
A m 3 B m 2 C m 3 D m 2
Câu 9. (Đề tham khảo Bộ GD & ĐT năm 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 1;1). Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng (Oyz) điểm
A M(3;0;0) B N(0; 1;1). C P(0; 1;0). D Q(0;0;1) Câu 10. Tìm tọa độ điểm M điểm đối xứng điểm M(3;2;1) qua trục Ox
A M (3; 2; 1) B M ( 3;2;1) C M ( 3; 2; 1). D M (3; 2;1)
Câu 11. Cho tứ diện ABCD có A(1;0;2), B( 2;1;3), C(3;2;4), D(6;9; 5). Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD
A G( 9;18; 30). B G(8;12;4) C G(3;3;1) D G(2; 3;1)
Câu 12. (THPT Yên Định – Thanh Hóa năm 2018) Cho ba điểm A(0; 1;1), ( 2;1; 1) B C( 1;3;2). Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành
A D( 1;1;4). B D(1;3;4) C D(1;1;4) D D( 1; 3; 2).
Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véctơ a (3; 0;2), c (1; 1; 0). Tìm tọa độ véctơ b thỏa mãn đẳng thức véctơ 2b a 4c 0.
A 1; 2;
b
B 1;2;1 b
C 1; 2;1
b
D 1;2;
b
(13)Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D Biết A(1;0;1), B(2;1;2), (1; 1;1),
D C(4;5; 5). Tìm tọa độ đỉnh A A A(3;5; 6). B A (5; 5; 6) C A ( 5;5; 6). D A ( 5; 5;6)
Câu 15. (Sở GD & ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2018) Trong không gian Oxyz, điểm M thuộc trục hoành Ox cách hai điểm A(4;2; 1), (2;1;0) B
A M( 4;0;0). B M(5;0;0) C M(4;0;0) D M( 5;0;0).
Câu 16. Cho A(2;5; 3), B(3;7;4), C x y( ; ;6) Tìm x y để ba điểm A B C, , thẳng hàng A x y 14 B x y
C x y D x y 16
Câu 17. (Đề thử nghiệm Bộ GD & ĐT năm học 2017) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( 2;3;1) B(5;6;2) Đường thẳng AB cắt mặt (Oxz) M Tính tỉ số AM
BM
A
2 AM
BM B
AM
BM
C
3 AM
BM D
AM
BM
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2), B(1;2;3), C(1; 2; 5). Điểm M nằm đoạn thẳng BC cho MB 3MC Tính độ dài đoạn AM
A AM 11 B AM 7 C AM 7 D AM 30
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A( 1;2;4), (3;0; 2) B (1;3;7)
C Gọi D chân đường phân giác góc A Tính OD
A 207
3
OD B 205
3 OD
C 201
3
OD D 203
3 OD
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(2;3; 1), C(0;6;7) gọi M điểm di động trục Oy Tìm tọa độ điểm M để P =MAMBMC
đạt giá trị nhỏ
A M(0;3;0) B M(0; 3;0). C M(0;9;0) D M(0; 9;0).
ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ
1.B 2.B 3.D 4.A 5.A 6.B 7.D 8.C 9.B 10.A
(14)BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 1. (Đề tham khảo Bộ GD & ĐT năm học 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1; 1) B(2; 3;2) Véctơ AB
có tọa độ A (1;2; 3) B ( 1; 2; 3). C (3;5;1) D (3; 4;1)
Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M N, thỏa mãn OM (4; 2;1),
(2; 1;1) ON Tìm tọa độ véctơ MN
A MN (2; 1; 0).
B MN (6; 3;2).
C MN ( 2;1; 0)
D MN ( 6;3; 2).
Câu 3. (Đề thi THPT QG năm học 2018 – Mã đề 101) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm (2; 4;3)
A B(2;2;7) Trung điểm đoạn thẳng AB có tọa độ A (1;3;2) B (2;6;4)
C (2; 1;5). D (4; 2;10).
Câu 4. Cho tam giác ABC có A(1;2;3), (2;1;0)B trọng tâm G(2;1;3) Tìm tọa độ đỉnh C tam giác ABC
A C(1;2;0) B C(3;0;6) C C( 3;0; 6). D C(3;2;1)
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 1;1), B(0;1;2) C(1;0;1) Biết đỉnh D a b c( ; ; ) 3; 0;1
2 G
trọng tâm tứ diện Tính S a b c A S 6 B S
C S D S 4
Câu Cho tam giác ABC biết A(2;4; 3) trọng tâm G tam giác có toạ độ G(2;1;0) Tìm tọa độ véctơ u AB AC
A u(0; 9;9). B u(0; 4;4). C u (0; 4; 4). D u (0;9; 9).
Câu 7. Cho ba điểm A(1;2; 1), B(2; 1;3) C( 2;3;3). Biết M a b c( ; ; ) đỉnh thứ tư hình bình hành ABCM, tính giá trị biểu thức P a2 b2c2
A P 42 B P 43 C P 44 D P 45
Câu 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véctơ m (5; 4; 1), n (2; 5; 3). Tìm tọa độ véctơ x thỏa mãn m 2x n
A 3; 9;
2
x
B 3; 9;2
2
x
C 3; 9;
2
x
D 9; ;2 2 x
(15)Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D có A(2; 1;3), B(0;1; 1), ( 1;2;0),
C D(3;2; 1). Tìm tọa độ đỉnh B A B(1; 0; 4). B B(2; 3;6)
C B(1; 0; 4) D B(2; 3; 6).
Câu 10. Cho hai điểm A( 1;2;3) B(1;0;2) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn AB 2MA
A 2; 3;7 M
B M( 2;3;7). C 2; 3;7
2 M
D M( 4;6;7).
Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; 1) B(1; 1;2). Hãy tìm tọa độ điểm M thuộc đoạn AB cho MA 2MB
A 2; 4;1
3
M B 1; 1;
2 2
M C M(2;0;5) D M( 1; 3; 4).
Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ABC có A(3;1;0), B(0; 1;0), C(0; 0; 6). Giả sử tam giác A B C thỏa A A B B C C 0
Tìm trọng tâm G A B C A G(1; 0; 2). B G (2; 3; 0)
C G (3; 2; 0) D G (3; 2;1)
Câu 13. (Đề tham khảo Bộ GD & ĐT năm học 2017) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 4;0), ( 1;1;3),
B C(3;1;0) Tìm điểm D trục hồnh cho AD BC A D( 2;1;0), D( 4;0;0).
B D(0; 0;0), D( 6;0;0). C D(6;0;0), D(12;0;0) D D(0; 0;0), D(6;0;0)
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;2; 3). Tìm mệnh đề sai ? A Hình chiếu điểm A lên mặt phẳng (Oxy) điểm M1(4;2; 0)
B Hình chiếu điểm A lên trục Oy điểm M2(0;2; 0)
C. Hình chiếu điểm A lên mặt phẳng (Oyz) điểm M3(0;2; 3). D Hình chiếu điểm A lên trục Oz điểm M4(4;2; 0)
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1) B(3; 1;2). Tìm tọa độ điểm M trục Oz cho cách hai điểm A B
A 0; 0;3 M
B M(1;0; 0) C M(0;0;4) D M(0;0; 4).
Câu 16 Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ a(10m m; 2; m210) b (7; 1; 3). Tìm tất tham số thực m để a phương với b
(16)Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho A(1;3; 2), B(3;5; 12). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz) N Tính tỉ số BN
AN A BN
AN B
BN AN C BN
AN D
BN AN
Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;1;1), (5;1; 2)B C(7;9;1) Tính độ dài đường phân giác AD góc A
A AD 74 B 74
2
AD
C 74
3
AD D AD 2 74
Câu 19 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;3; 3), B(2; 6;7), C( 6; 4;3), (0; 1;4)
D Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) cho biểu thức P MA MB MCMD đạt giá trị nhỏ ?
A M( 1; 2;3). B M(0; 2;3). C M( 1;0;3). D M( 1; 2;0).
Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1), (1;1;0)B M a b( ; ; 0), với a b, thay đổi cho biểu thức P =MA2MB
đạt giá trị nhỏ Tính S a b A S 1
B S 2 C S D S 1
ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 02
1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.A 7.C 8.B 9.D 10.A
(17)Dạng tốn 6: Nhóm tốn liên quan đến tích vơ hướng hai véctơ Cần nhớ: Trong khơng gian Oxyz, cho a ( ; ; ), a a a1 2 3 b ( ; ; ), b b b1 2 3 k
Tích vơ hướng: a b. a b .cos( , ) a b a b1 1 a b2 2 a b3 3
(hoành hoành, cộng tung tung, cộng cao cao)
1 2 3
2 2 2
1 3
cos( ; )
a b a b a b
a b a b
a b a a a b b b
(góc véctơ nhọn tù)
Và a b a b. 0 a b1 1 a b2 2 a b3 3 0 (2 véctơ vng góc nhân 0)
2 2 2 2
1 3
a a a a a a a a
2 a a
hay
2
2 AB AB
2 2 2
2 cos( , )
ab a b a b a b a b a b
1. Cho A(2; 1;1), ( 1; 3; 1), (5; 3; 4). B C Tính tích vơ hướng AB BC
A AB BC 48
B AB BC 48
C AB BC 52
D AB BC 52
2. Cho A(2;1; 4), B( 2;2; 6), C(6; 0; 1). Tính tích vơ hướng AB AC
A AB AC 67
B AB AC 65 C AB AC 67
D AB AC 33
3. Cho hai véctơ u ( 1; 3;2) v ( ; 0;1).x
Tìm giá trị x để u v. 0
A x 0. B x 3 C x 2. D x 5
4. Cho u (2; 3;1), v (5;6; 4) z ( ; ;1)a b thỏa z u z v Giá trị a b A 2 B 1 C 1 D 2
5. Cho hai véctơ a (2;1; 0), b ( 1;0; 2).
Tính cos( , ).a b A
25 B
C 25
D 2 5
6. Cho hai véctơ u (1; 0; 3), v ( 1; 2; 0) Tính cos( , ).u v
A
10 B 10 10
C 10 10 D
2 10
(18)
7. Trong không gian Oxyz, gọi góc (1; 2;1)
u v ( 2;1;1) Tìm A 5
6
B
C
D 2
8. Cho u (0; 1;0) v ( 3;1; 0) Gọi góc u v, tìm
A
B
C 2
D
9. Cho hai véctơ u (1;1;1) v (0;1; ).m
Tìm m để góc u v 45 A m B m 2 C m 1 D m
10. Cho u(1; log 5; ),3 m v (3; log 3; 4).5 Tìm m để u v
A m 2 B m 1 C m 2 D m 1
11 Cho hai véctơ u v tạo với góc 60
Biết u 2 v 4 Tính uv
A 2 B 3
C 2 D 7
12 Cho u v tạo với góc 120 Tính ,
uv biết u v 5 A 2 B 2 C 2 D 7
13. (Đề thi THPT QG năm 2017 – Mã đề 104 câu 12) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
(2; 3; 1), ( 1;1;1)
M N P m(1; 1;2) Tìm m để tam giác MNP vuông N A m 6 B m 0
C m 4 D m 2
14. Cho tam giác ABC có đỉnh A( 4;1; 5), B(2;12; 2) C( m 2; 1m m; 5) Tìm tham
số thực m để tam giác ABC vuông C
A 39
2
m B 15 39
2 m
C
2
m D 15 39 m
(19)Dạng tốn 7: Nhóm tốn liên quan đến tích có hướng hai véctơ
Cần nhớ: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véctơ 3 ( ; ; ) ( ; ; )
a a a a
b b b b
Tích có hướng 3 1 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 3 1
[ , ]a b a a ;a a ;a a a b a b a b; a b a b; a b
b b b b b b
(Hoành che hoành, tung che tung – đổi dấu; cao che cao) Ứng dụng:
, , a b c
đồng phẳng [ , ].a b c 0 , , a b c không đồng phẳng [ , ].a b c 0 , , , A B C D
đồng phẳng AB AC AD, ,
đồng phẳng AB AC AD, 0
, , , A B C D
đỉnh tứ diệnAB AC AD, ,
không đồng phẳng AB AC AD, 0
Diện tích ABC ,
ABC
S AB AC
Diện tích hình bình hành ABCD S ABCD AB AD,
Thể tích khối tứ diện ABCD [ , ]
ABCD
V AB AC AD Thể tích khối hộp ABCD A B C D V AB AD AA,
1. Biết ba véctơ u (2; 1;1), v (1;2;1) ( ;3; 1)
w m đồng phẳng Tìm m A m 3/8 B m 3/8 C m 8/3 D m 8/3
2. Biết ba véctơ u (1;2;1), v ( 1;1;2) ( ; ; 2)
w m m m đồng phẳng Tìm m A m 2 B m 1
C m 2 D m 1
3. Tìm m để bốn điểm A(1;1; 4), (5; 1; 3),B
(2;2; ), (3;1;5)
C m D đồng phẳng ?
A m 6 B m 4 C m 4 D m 6
4. Tìm m để bốn điểm A(1;2; 0), ( 1;1; 3),B (0; 2;5), ( ;5; 0)
C D m đồng phẳng ?
A m 2 B m 4 C m 2 D m 4
(20)
5. Cho hai điểm A(1;2; 1), (0; 2; 3). B Tính diện tích tam giác OAB với O gốc tọa độ
A 29
6 B 29
2 C 78 D
7 2
6. Tính diện tích tam giác ABC với A(1; 0; 0), (0; 0;1)
B C(2;1;1) A B
3 C
2 D 2 Học sinh nghe giảng bổ sung lời giải
Có (1;2; 1) , ( ; ; ) (0; 2; 3)
OA OA OB OB
2 2
1
, ( 3) ( 2)
2
S OA OB
29
Chọn đáp án B
7. Tính diện tích tam giác ABC với A(1;1;1),
(4; 3;2)
B C(5;2;1) A 42
4 B 42 C 2 42 D 42
8. Tính diện tích tam giác ABC với A(7; 3; 4), (1; 0;6), (4;5; 2)
B C
A 49
2 B 51
2 C 53
2 D 47 9. Cho A(1;2; 1), (0; 2; 3). B Tính đường cao
AH hạ từ đỉnh A tam giác OAB
A 13
2 B 29
13 C 29 D
377 13
10. Cho tam giác ABC có A( 1; 0; 3), (2; 2; 0) B ( 3;2;1)
C Tính chiều cao AH
A 65 B
651 C
651 21 D
2 651 21 , , 2 OA OB AH BO
S OA OB AH
OB
Có (1;2; 1) , (4; 3; 2) (0; 2; 3)
OA OA OB OB
Suy ra: OA OB, 29
OB 13
Do , 29 377 13 13 OA OB AH OB
Chọn đáp án D
(21)11. Cho tam giác ABC có A(1; 0;1), (0;2; 3)B (2;1; 0)
C Tính chiều cao CH
A 26 B 26
2 C 26
3 D 26
12. Tính diện tích hình bình hành ABCD với (2;1; 3), (0; 2;5), (1;1; 3)
A B C
A 2 87 B 349. C 87. D 349
Ta có: ( 2; 3; 8) ( 1; 0;6) AB
AC
Suy AB AC, ( 18; 4; 3).
Diện tích hình bình hành SABCD AB AC,
2 2
( 18) ( 3) 349
Chọn B
13. Tính diện tích hình bình hành ABCD với (1;1;1),
A B(2; 3; 4), (6;5;2).C
A 3 83. B 83 C 83 D 2 83
14 Diện tích hình bình hành ABCD: A(2; 4; 0), (4; 0; 0), ( 1; 4; 7), ( 3; 8; 7)
B C D
A 281. B 181 C 2 281. D 2 181
15. Tính thể tích tứ diện ABCD với A(1; 0; 0),
(0;1; 0), (0; 0;1), ( 2;1; 1)
B C D
A 1/2 B 1 C 2 D 1/3
16. Tính thể tích tứ diện ABCD với A(1; 0; 0), (0;1; 0), (0; 0;1), (4;5;6)
B C D
A 8/3 B 2 C 14/3 D 7/3
Ta có: ( 1;1; 0) , (1;1;1)
( 1; 0;1) AB
AB AC AC
( 3;1; 1) AD
[AB AC AD, ] 1.( 3) 1.1 1.( 1)
1 1
[ , ]
6
ABCD
V AB AC AD
17. Tính thể tích tứ diện ABCD với A( 1;2;1), (0; 0; 2), (1; 0;1), (2;1; 1)
B C D
A 1/3 B 2/3 C 4/3 D 8/3
18. Tính thể tích tứ diện ABCD với A(1; 0;1), (2; 0; 1), (0;1; 3), (3;1;1)
B C D
A 2/3 B 4 C 2 D 4/3
(22)
19. Cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 0), (3; 3;2), B ( 1;2;2), (3; 3;1)
C D Tính độ dài đường cao
h hạ từ đỉnh D xuống mặt (ABC) A 9
7 B
14 C
14 D
2
20. Cho tứ diện ABCD có A(0; 0;2), B(3; 0;5),
,
(1;1; 0) (4;1;2)
C D Tính độ dài đường cao
DH tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D
A 11 B 1 C 11 11 D
11
Có (2;5;2) , (2; 8;18) ( 2; 4;2)
AB
AB AC AC
2 2
[AB AC, ] ( 8) 18 14
Lại có: AD (2;5;1) [AB AC AD, ] 18
[ , ]
3
14 [ , ]
ABCD ABC
AB AC AD V
h
S AB AC
Chọn đáp án B
21. Cho A( 1; 2; 4), ( 4; 2; 0), (3; 2;1), B C
(1;1;1)
D bốn đỉnh tứ diện ABCD Tình đường cao DH tứ diện ABCD A DH 3 B DH 2 C DH 5/3 D DH 9/2
22. Cho A a( ; 1;6), ( 3; 1; 4), (5; 1; 0) B C (1;2;1)
D Hãy tìm a để thể tích tứ diện ABCD 30
A a {1; 32} B a {1; 2} C a {2; 32} D a {32}
(23)
Dạng toán 8: Xác định yếu tố mặt cầu Phương trình mặt cầu (S) dạng 1:
Để viết phương trình mặt cầu ( ),S ta cần tìm tâm I a b c( ; ; ) bán kính R Khi đó:
2 2
Tâm: ( ; ; )
( ) : ( ) : ( ) ( ) ( )
Bán kín : h I a b c
S S x a y b z c R
R
Phương trình mặt cầu (S) dạng 2: 2
( ) :S x y z 2ax 2by2cz d Với a2 b2 c2 d phương trình mặt cầu dạng có tâm I a b c( ; ; ), bán kính: R a2 b2 c2d
Lưu ý: Để f x y z( ; ; )0 phương trình mặt cầu phải thỏa mãn hai điều kiện: Hệ số trước x2, , y2 z2 phải R2 a2 b2 c2 d
1. (Đề thi minh họa – Bộ GD & ĐT năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2
( ) : (S x 1) (y2) (z1) 9 Tìm I bán kính R mặt cầu ( ).S A I( 1;2;1), R B I(1; 2; 1), R 3
C I( 1;2;1), R 9 D I(1; 2; 1), R9
Giải Theo dạng 1, tọa độ tâm lấy đổi dấu, nghĩa I( 1;2;1) R 3
Chọn đáp án A
2. (Đề thi THPT QG năm 2018 – Mã 103 Câu 13) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2
( ) : (S x 3) (y1) (z 1) 2 Tâm ( )S có tọa độ A (3;1; 1). B (3; 1;1).
C ( 3; 1;1). D ( 3;1; 1).
3. (Đề thi THPT QG năm 2018 – Mã 104 Câu 11) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi mặt cầu
2 2
( ) : (S x5) (y1) (z 2) 3 có bán kính A B 2
C 3 D 9
4. Tìm tâm I bán kính mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2x 4y6z 100 A I(1; 2; 3), R2 B I( 1;2; 3), R2
C I( 1;2; 3), R 4. D I(1; 2; 3), R 4
Giải Theo dạng 2, lấy hệ số x y z, , chia cho
I(1; 2; 3) bán kính: 2
1 10
R Chọn A
5. Xác định tâm I bán kính R mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 4x 2y4z 160 A I( 2; 1;2), R 5. B I( 2; 1;2), R 5
C I(2;1; 2), R 5 D I(4;2; 4), R 13
(24)A I( 2; 4; 0), R2 6. B I(2; 4;0), R2 C I( 1;2; 0), R 3 D I(1; 2; 0), R3
7. Tìm độ dài đường kính d mặt cầu ( ) :S x2 y2 z22y4z 2 A d 2 B d
C d 2 D d 1
8. (Đề Thi THPTQG năm 2017 Mã đề 110) Trong không gian Oxyz, tìm tất giá trị m để phương trình x2 y2 z22x 2y4z m phương trình mặt cầu
A m 6 B m6 C m6 D m6
Giải Ta có: a 1, b 1, c 2, d m Điều kiện: a2 b2 c2 d
2 2
1 m m
9 Tìm m để x2 y2 z2 2x 4ym0 phương trình mặt cầu A m 5 B m 5
C m5 D m 5
10. Tìm m để x2 y2 z2 2mx 2y4z 2m2 4m 0 phương trình mặt cầu
A 5 m 1 B m1 C 5 m 1 D m0
11. Cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2x 4y4z m có bán kính R5 Tìm m
A m 16 B m16 C m D m 4
12. Cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2x 4y4z m có bán kính R 5 Tìm m
A m 16 B m16 C m D m 4
13. Cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z24x 8y2mz 6m có đường kính 12 tổng
giá trị tham số m
A 2 B 2
C 6 D 6
(25)Dạng toán 9: Viết phương trình mặt cầu loại
Phương trình mặt cầu (S) dạng 1:
Để viết phương trình mặt cầu ( ),S ta cần tìm tâm I a b c( ; ; ) bán kính R Khi đó:
2 2
Tâm: ( ; ; )
( ) : ( ) : ( ) ( ) ( )
Bán kín : h I a b c
S S x a y b z c R
R
Phương trình mặt cầu (S) dạng 2: 2
( ) :S x y z 2ax 2by2cz d
Với a2 b2 c2 d phương trình mặt cầu dạng Tâm I a b c( ; ; ), bán kính: R a2 b2 c2 d
BÀI TẬP VẬN DỤNG 1. Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I( 1;2; 0), bán kính R
A (x 1)2 (y2)2 z2 3 B (x 1)2 (y2)2 z2 9 C (x 1)2 (y2)2 z2 9 D (x 1)2 (y2)2 z2
Lời giải Ta có ( ) : Tâm: ( 1;2; 0) Bán kín : h
I S
R
2 2
( ) : (S x 1) (y 2) z
Chọn đáp án B
2. Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(1; 0; 2), bán kính R 4 A (x 1)2 y2 (z 2)2 4
B (x 1)2 y2 (z 2)2 16 C (x 1)2 y2 (z 2)2 4 D (x 1)2 y2 (z 2)2 16
3. Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(1;2; 3), bán kính R 2
A x2 y2 z22x4y6z 10 B (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 2 C x2 y2 z2 2x 4y6z 10 D (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 2
4. Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2; 3), đường kính
A (x 1)2 (y2)2 (z3)2 B (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 16 C (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 2 D (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 16
(26)
5. Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(1; 0; 1) qua điểm A(2;2; 3) A (x 1)2 y2 (z 1)2 3
B (x 1)2 y2 (z 1)2 3 C (x 1)2 y2 (z 1)2 9 D (x 1)2 y2 (z 1)2 9
Giải ( ) : Tâm: (1; 0; 1)
Bán kính: I
S
R IA
Suy (x 1)2 y2 (z 1)2 9. Chọn đáp án C
6. Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(1; 3;2) qua điểm A(5; 1; 4) A (x 1)2 (y3)2 (z 2)2 24
B (x 1)2 (y3)2 (z 2)2 24 C (x 1)2 (y3)2 (z 2)2 24 D (x 1)2 (y3)2 (z 2)2 24
7 Cho tam giác ABC có A(2;2; 0), (1; 0;2), (0; 4; 4).B C Mặt cầu ( )S có tâm A qua trọng tâm
G tam giác ABC có phương trình A (x 2)2 (y2)2 z2 4
B (x 2)2 (y2)2 z2 5 C (x2)2 (y2)2 z2 D (x 2)2 (y2)2 z2 5
8. Phương trình mặt cầu ( )S có đường kính AB với A(2;1;1), (0; 3; 1)B
A x2 (y2)2 z2 3 B (x 1)2 (y2)2 z2 3 C (x1)2 (y2)2 (z 1)2 9 D (x 1)2 (y2)2 z2 9
Giải ( ) : Tâm: (1;2; 0)
Bán kính:
I S
R IA
2 2
(x 1) (y 2) z
Chọn đáp án B
9. Phương trình mặt cầu ( )S có đường kính AB với A(1;2; 3), B( 1; 4;1) A ( ) : (S x1)2 (y 2)2 (z 3)2 12
B ( ) :S x2 (y3)2 (z 2)2 3 C ( ) : (S x1)2 (y 4)2 (z 1)2 12 D ( ) :S x2 (y3)2 (z 2)2 12
10. Phương trình mặt cầu ( )S có đường kính AB với A(3; 0; 1), B(5; 0; 3)
A (S): (x 2)2 y2 (z 2)2 4 B ( ) :S x2 y2 z28x 4z 180 C (S): (x 4)2 y2 (z 2)2 8 D ( ) :S x2 y2 z28x 4z 120
I R A
là trung điểm AB
I
(27)11 Cho mặt cầu ( )S có tâm I( 1; 4;2) thể tích 256
Phương trình ( )S A (x 1)2 (y4)2 (z2)2 16
B (x 1)2 (y4)2 (z2)2 4 C (x 1)2 (y4)2 (z 2)2 4 D (x 1)2 (y4)2 (z 2)2 4
Giải Ta có: 4 256
3 3
V R R
R
Khi ( ) : Tâm: ( 1; 4;2) Bán kín : h
I S
R
2 2
( ) : (S x 1) (y 4) (z 2) 16
Chọn A
12 Cho mặt cầu ( )S có tâm I(1;2; 4) thể tích 36 Phương trình ( )S A (x 1)2 (y2)2 (z 4)2 9
B (x 1)2 (y2)2 (z4)2 9 C (x 1)2 (y2)2 (z 4)2 9 D (x 1)2 (y2)2 (z 4)2 3
13. Cho mặt cầu ( )S có tâm I(1;2; 3) diện tích 32 Phương trình ( )S
A (x 1)2 (y2)2 (z3)2 16 B (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 16 C (x 1)2 (y2)2 (z3)2 D (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 8
14. Cho mặt cầu ( )S có tâm I(1;2; 0) Một mặt phẳng ( )P cắt ( )S theo giao tuyến đường trịn
( ).C Biết diện tích lớn ( )C Phương trình ( )S A x2 (y2)2 z2 3
B (x 1)2 (y2)2 z2 C (x 1)2 (y2)2 (z 1)2 9 D (x 1)2 (y2)2 z2 9
Cần nhớ: Mặt phẳng ( )P cắt ( )S theo giao tuyến đường trịn ( )C diện tích ( )C lớn ( )P qua tâm I ( ).S
15. Cho mặt cầu ( )S có tâm I(1;1;1) Một mặt phẳng ( )P cắt ( )S theo giao tuyến đường tròn
( ).C Biết chu vi lớn ( )C 2 Phương trình ( )S A (x 1)2 (y1)2 (z 1)2 4
B (x 1)2 (y1)2 (z 1)2 2 C (x 1)2 (y1)2 (z 1)2 D (x 1)2 (y1)2 (z 1)2 2
(28)16. Tìm tâm I bán kính mặt cầu ( )S qua bốn điểm A(2; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0;6),B C D(2; 4;6) (cách hỏi khác: phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD)
A I(1;2; 3), R 5
B I( 1;2; 3), R 2
C I(1;2; 3), R 14
D I(1;3;1), R 11
Giải Gọi phương trình mặt cầu có dạng 2 là: 2
( ) :S x y z 2ax2by2cz d 2
(2; 0; 0) ( )A S 2 0 0 2 .2a 2 .0b 2 .0c d
2 2
(0; 4; 0) ( )B S 0 4 0 2 .0a 2 .4b 2 .0c d
2 2
(0; 0;6) ( )C S 0 0 6 2 .0a 2 .0b 2 .6c d
2 2
(2; 4;6) ( )D S 2 4 6 2 .2a 2 .4b 2 .6c d
4
(1;2; 3)
8 16
12 36 14
4 12 56
a d a
I
b d b
c d c R
a b c d d
17. Tìm bán kính R mặt cầu qua bốn điểm M(1; 0;1), (1; 0; 0), (2;1; 0)N P Q(1;1;1)
A R
B
2 R
C
2 R
D R
18. Tìm bán kính R mặt cầu ( )S ngoại tiếp tứ diện ABCD, biết tọa độ đỉnh tứ diện
, (2; 0; 0)
A B(0;2; 0), C(0; 0;2), D(2;2;2)
A 3 R
B
3
R
C R
D
2 R
(29)19. Phương trình mặt cầu ( )S qua A(3; 1;2), (1;1; 2) B có tâm I thuộc trục Oz A x2 y2 z2 2z 100
B (x 1)2 y2 z2 11 C x2 (y1)2 z2 11 D x2 y2 z2 2y110
Giải Vì I Oz nên gọi I(0; 0; ).z Do ( )S qua A B, nên IAIB
2
9 (z 2) 1 (z 2) z
Suy I(0; 0;1)R IA 11 Do ( ) :S x2 y2 (z1)2 11
2 2
( ) :S x y z 2z 10
Chọn A
20. Phương trình mặt cầu ( )S qua A(1;2; 3), ( 2;1;5)B có tâm I thuộc trục Oz A ( ) :S x2 y2 (z 4)2 6
B ( ) :S x2 y2 (z 4)2 14 C ( ) :S x2 y2 (z4)2 16 D ( ) :S x2 y2 (z 4)2 9
21. Phương trình mặt cầu ( )S qua A(1;2;3), (4; 6;2)B có tâm I thuộc trục Ox
A ( ) : (S x7)2 y2 z2 6 B ( ) : (S x 7)2 y2 z2 36 C ( ) : (S x 7)2 y2 z2 6 D ( ) : (S x 7)2 y2 z2 36
22. Phương trình mặt cầu ( )S qua A(2; 0; 2), ( 1;1;2) B có tâm I thuộc trục Oy
A ( ) :S x2 y2 z2 2y 8 B ( ) :S x2 y2 z2 2y 8 C ( ) :S x2 y2 z2 2y 8 D ( ) :S x2 y2 z2 2y 8
23. Phương trình mặt cầu ( )S qua A(3; 1;2), (1;1; 2) B có tâm I thuộc trục Oz
A x2 y2 z2 2z 100 B (x 1)2 y2 z2 11 C x2 (y1)2 z2 11 D x2 y2 z2 2y110
(30)24. Phương trình mặt cầu ( )S qua A(1;2; 4), (1; 3;1), (2;2; 3) B C tâm I (Oxy)
A (x 2)2 (y1)2 z2 26 B (x 2)2 (y1)2 z2 9 C (x2)2 (y1)2 z2 26 D (x 2)2 (y1)2 z2 9
Giải Vì I (Oxy) nên gọi I x y( ; ; 0) Ta có: IA IB IA IC
2 2 2
2 2 2
( 1) ( 2) ( 1) ( 3) ( 1) ( 2) ( 2) ( 2)
x y x y
x y x y
10 10
( 2;1; 0) 26
2
y x
I R IA
x y
2 2
(x 2) (y 1) z 26
Chọn đáp án A
25. Phương trình mặt cầu ( )S qua A(3; 0; 1), (6; 4; 2), (7; 1;2) B C tâm I (Oxy) A (x 7)2 (y 2)2 z2 25
B (x 5)2 (y2)2 z2 9 C (x5)2 (y 1)2z2 36 D (x 7)2 (y 8)2 z2 49
26. Phương trình mặt cầu ( )S qua A(2; 4; 3), (6;9;6), ( 3;5;9) B C tâm I (Oyz)
A x2 (y1)2 (z 2)2 9 B x2 (y7)2 (z 3)2 49 C x2 (y2)2 (z 5)2 16 D x2 (y6)2 (z1)2 36
27. Phương trình mặt cầu ( )S qua A(1; 1;2), ( 1; 3; 0), ( 3;1; 4) B C tâm I (Oxz)
A (x 5)2 y2 (z 1)2 11 B (x 7)2 y2 (z 6)2 11 C (x 2)2 y2 (z1)2 11 D (x 2)2 y2 (z 1)2 11
(31)28. Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(1;2; 3) tiếp xúc với trục hoành A (x 1)2 (y2)2 (z3)2 13
B (x 1)2 (y2)2 (z3)2 5 C (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 9 D (x 1)2 (y2)2 (z3)2 25
Lời giải tham khảo Hình chiếu I(1;2; 3) Ox H(1; 0; 0) Khi ( ) : Tâm: (1;2; 3)
Bán kính: 13
I S
R IH
nên
2 2
( ) : (S x 1) (y2) (z 3) 13 Chọn A Nhận xét: Bài tốn viết phương trình mặt cầu biết tâm I tiếp xúc với
trục (hoặc mặt phẳng tọa độ), bán kính khoảng cách từ tâm I đến trục (hoặc mặt phẳng tọa độ), tức RIH, với H hình chiếu I. Do ta cần thành thạo tốn hình chiếu
29. Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(1; 1; 3) tiếp xúc với trục hoành A (x 1)2 (y1)2 (z 3)2 10
B (x 1)2 (y1)2 (z 3)2 9 C (x 1)2 (y1)2 (z3)2 10 D (x 1)2 (y1)2 (z 3)2 9
30. Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2; 3) tiếp xúc với trục tung
A (x1)2 (y2)2 (z3)2 10 B (x 1)2 (y2)2 (z3)2 10 C (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 10 D (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 9
31. Phương trình mặt cầu ( )S có I(2;1; 1) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz)
A (x 2)2 (y1)2 (z 1)2 4 B (x 2)2 (y1)2 (z 1)2 1 C (x 2)2 (y1)2 (z 1)2 4 D (x 2)2 (y1)2 (z 1)2 2
32. Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(1;2; 3) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy)
A (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 9 B (x 1)2 (y2)2 (z3)2 14 C (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 14 D (x 1)2 (y2)2 (z3)2 9
x H(1;0;0)
I(1;2;3)
(32)33. Cho phương trình mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y1)2 (z 1)2 25 Phương trình mặt cầu ( )S đối xứng với mặt cầu ( )S qua mặt phẳng (Oxy)
A (x 1)2 (y1)2 (z 1)2 25 B (x 1)2 (y1)2 (z 1)2 25 C (x 1)2 (y1)2 (z 1)2 25 D (x 1)2 (y1)2 (z 1)2 25
Giải ( )S có tâm I(1;1; 1) bán kính R 5
Vì ( )S đối xứng với ( )S qua (Oxy) nên ( )S có tâm (1;1;1)
I đối xứng với I(1;1; 1) qua (Oxy) bán kính
R R Do đó:
2 2
( ) : (S x1) (y1) (z 1) 25 Chọn B
Cần nhớ: Khi mặt cầu đối ( )S đối xứng với mặt cầu ( )S qua trục (hoặc mặt phẳng tọa độ) bán kính khơng thay đổi, nghĩa ln có R R có tâm I đối xứng qua trục (hoặc mặt phẳng) với I. Do học sinh cần nhớ: “Đối xứng: thiếu đổi dấu đó”
34. Cho phương trình mặt cầu ( ) : (S x 5)2 (y2)2 (z 1)2 9 Phương trình mặt cầu ( )S đối xứng với mặt cầu ( )S qua mặt phẳng (Oxy)
A (x 5)2 (y2)2 (z 1)2 9 B (x 5)2 (y2)2 (z 1)2 3 C (x5)2 (y2)2 (z 1)2 9 D (x 5)2 (y2)2 (z 1)2 3
35. Cho phương trình mặt cầu ( ) : (S x 2)2 (y2)2 (z 3)2 9 Phương trình mặt cầu ( )S đối
xứng với mặt cầu ( )S qua mặt phẳng (Oyz) A (x 2)2 (y 2)2 (z3)2 9
B (x 2)2 (y2)2 (z 3)2 9 C (x 2)2 (y2)2 (z 3)2 9 D (x 2)2 (y2)2 (z 3)2 9
36. Cho phương trình mặt cầu (x 6)2 (y1)2 (z 8)2 10 Phương trình mặt cầu ( )S đối xứng với mặt cầu ( )S qua trục hoành Ox
A (x 6)2 (y1)2 (z8)2 10 B (x 6)2 (y1)2 (z8)2 10 C (x 6)2 (y1)2 (z 8)2 10 D (x 6)2 (y1)2 (z8)2 10
37. Cho phương trình mặt cầu (x 3)2 (y4)2 (z 5)2 12 Phương trình mặt cầu ( )S đối
xứng với mặt cầu ( )S qua trục tung A (x 3)2 (y4)2 (z 5)2 12 B (x 3)2 (y4)2 (z 5)2 12 C (x 3)2 (y4)2 (z 5)2 12
2 2
(x 3) (y4) (z 5) 12
(33)38. Mặt cầu ( )S có tâm I(5;6; 8), cắt trục Ox A B, cho tam giác IAB vuông I có phương trình
A (x 5)2 (y6)2 (z8)2 200 B (x 5)2 (y6)2 (z8)2 20 C (x 5)2 (y6)2 (z8)2 100 D (x 5)2 (y6)2 (z8)2 10
Giải Ta có: H(5; 0; 0) hình chiếu I lên Ox Do đó: IH HB 10RIB 10
Suy ( ) : (S x 5)2 (y6)2 (z 8)2 200 Chọn đáp án A
Mở rộng tốn: Đề cho mặt cầu cắt trục Oy Oz, tạo thành tam giác có góc . Khi ta cần nhớ IAB cân I sử dụng
sinIBH IH R IH.sinIBH R
39. Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(1; 4; 3) cắt trục tung hai điểm B C, cho tam giác IBC vuông
A (x 1)2 (y4)2 (z3)2 50 B (x 1)2 (y4)2 (z3)2 34 C (x 1)2 (y4)2 (z3)2 16 D (x 1)2 (y4)2 (z3)2 20
40. Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(3; 3; 4) cắt trục Oz hai điểm B C, cho tam giác
IBC
A (x 3)2 (y3)2 (z 4)2 16 B (x 3)2 (y3)2 (z 4)2 8 C (x 3)2 (y3)2 (z 4)2 9 D (x 3)2 (y3)2 (z 4)2 25
41. Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(1;1;1) cắt trục Ox hai điểm B C, cho tam giác IBC
có góc 120
A (x 1)2 (y1)2 (z 1)2 8 B (x 1)2 (y1)2 (z 1)2 16 C (x 1)2 (y1)2 (z 1)2 9 D (x 1)2 (y1)2 (z 1)2 25
42. Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 4; 3) cắt trục Ox hai điểm B C, cho BC 6 có phương trình
là
A (x 1)2 (y4)2 (z3)2 28 B (x 1)2 (y4)2 (z3)2 34 C (x 1)2 (y4)2 (z3)2 26 D (x 1)2 (y4)2 (z3)2 19
R 10
10
O A B x
I(5;6;8)
(34)43. Mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y2)2 (z 3)2 16 cắt mặt phẳng (Oxy) theo giao tuyến đường trịn có chu vi
A 2 B C 7 D 14
Giải Mặt cầu ( )S có tâm I(1;2; 3), bán kính R4 Hình chiếu I(1;2; 3) lên (Oxy) H(1;2; 0)IH 3 Trong IHA có r IA R2 IH2
Chu vi đường tròn 2r 26 Chọn A
44. Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I( 2; 3; 4), cắt mặt phẳng (Oxz) theo hình trịn có diện tích 16
A (x 2)2 (y3)2 (z 4)2 25 B (x 2)2 (y3)2 (z 4)2 5 C (x 2)2 (y3)2 (z4)2 16 D (x 2)2 (y3)2 (z4)2 9
45. Phương trình mặt cầu ( )S qua A(1; 2; 3) có tâm I Ox, bán kính
A (x 5)2 y2 z2 49 B (x 7)2 y2 z2 49 C (x3)2 y2 z2 49 D (x 7)2 y2 z2 49
46. Cho A(1;2; 3), (4;2; 3), (4;5; 3).B C Phương trình mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC làm đường tròn lớn
A
2
2
5
( 3)
2 2
x y z
B (x 3)2 (y3)2 (z 3)2 18 C (x3)2 (y3)2 (z 3)2 9 D
2
2
( 4) ( 3) 18
2
x y z
47 Cho A(2; 0; 0), (0;2; 0), (0; 0;2).B C Tìm bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC
A
3 3 B
4 32
C
62 D
5 62
I
(35)BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ u ( 2;2;5), v (0;1;2) Tính tích vơ hướng u v .
A u v. 12 B u v. 13 C u v. 10 D u v. 14
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ u ( 1; 0;2) v ( ; 2;1).x Biết 4,
u v v
A 2 B 3
C 21 D 5
Câu 3. (Đề thi THPT QG năm học 2017 – Mã đề 104) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm (2; 3; 1),
M N( 1;1;1) P m(1; 1;2) Tìm m để tam giác MNP vuông N A m 6 B m 0
C m 4 D m2
Câu 4. (Đề thi THPT QG năm học 2017 – Mã đề 105) Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ (2;1; 0)
a b ( 1;0; 2).
Tính cos( , ).a b A cos( , )
25
a b B cos( , ) a b C cos( , )
25
a b D cos( , ) a b
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ u v tạo với góc 120 Tính ,
uv biết u 3 v 5 A uv 2 B uv 2 C uv 2 D u v
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ u v tạo với góc 60 Tìm số đo góc hai véctơ v véctơ uv, biết u 2 v
A 30 B 45 C 60 D 90
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ u ( 2;5; 3), v ( 4;1; 2). Tính [ , ] u v A [ , ]u v 216 B [ , ]u v 405
C [ , ]u v 749 D [ , ]u v 708
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba véctơ u (1;2;1), v ( 1;1;2) ( ; ; 2)
w m m m Hãy tìm tham số thực m để ba véctơ u v w, , đồng phẳng ? A x 2
(36)Câu 9. (THPT Mộ Đức – Quãng Ngãi năm 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm (1;2; 1), (0; 2; 3)
A B Tính diện tích tam giác OAB với O gốc tọa độ
A 29
6 B
29 C 78
2 D
7 2
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD có đỉnh A(1;1;1), B(2; 3; 4), (6;5;2)
C Tính diện tích S hình bình hành ABCD A S 3 83 B S 83
C S 2 83 D S 83
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0;1; 0), C(0; 0;1), D(4;5;6) Tính thể tích V khối tứ diện ABCD
A
3
V B
3
V
C 14
V D
3 V
Câu 12. (Đề minh họa Bộ GD & ĐT năm học 2017) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2 2
( ) : (S x 1) (y2) (z 1) 9 Tìm tọa độ tâm I tính bán kính R ( ).S A I( 1;2;1) R3 B I(1; 2; 1) R3
C I( 1;2;1) R9 D I(1; 2; 1) R9
Câu 13. (Đề Thi THPTQG năm 2017 Mã đề 110) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, tìm tất giá trị m để phương trình x2 y2 z22x 2y4z m 0 phương trình mặt cầu
A m6 B m6 C m6 D m 6
Câu 14. (Đề thi THPT QG 2017 – Mã đề 123) Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3). Gọi I hình chiếu vng góc M trục Ox Phương trình phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM ?
A (x1)2 y2 z2 13 B (x1)2 y2 z2 13 C (x 1)2 y2 z2 17 D (x 1)2 y2 z2 13
Câu 15. (Sở GD & ĐT Cần Thơ năm 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;2; 3) ( 1;2; 1)
N Mặt cầu đường kính MN có phương trình A x2 (y2)2 (z 1)2 20
(37)Câu 16. (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2018) Trong không gian Oxyz, gọi ( )S mặt cầu qua điểm A(1; 2; 3) có tâm I thuộc tia Ox bắn kính Phương trình mặt cầu ( )S A (x 5)2 y2 z2 49
B (x 7)2 y2 z2 49 C (x 3)2 y2 z2 49 D (x 7)2 y2 z2 49
Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2; 3). Hỏi phương trình sau phương trình mặt cầu ( )S có tâm I tiếp xúc với trục tung
A (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 10 B (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 10 C (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 10 D (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 9
Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), (0;1; 0)B C(0; 0;1) Hãy viết phương trình mặt cầu ( )S ngoại tiếp tứ diện OABC, với O gốc tọa độ
A ( ) :S x2 y2 z2 x y z B ( ) :S x2 y2 z2 x y z C ( ) :S x2 y2 z2 x y z D ( ) :S x2 y2 z2 x y z
Câu 19. Trong không gian Oxyz, cho A(1; 0;2) mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y2)2 (z4)2 3 Gọi
d khoảng cách ngắn từ A đến điểm thuộc ( )S d2 khoảng cách dài từ điểm A đến điểm thuộc ( ).S Tính d1 d2
A d1d2 4 B d1 d2 2 C d1d2 6 D d1 d2 8
Câu 20. Trong không gian với hệ Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y2)2 (z 5)2 16 điểm (1;2; 1)
A Tìm tọa độ điểm B ( )S cho AB có độ dài lớn A B( 3; 6;11).
B B(1;2;9) C B( 1; 2;1). D B(1;2;9)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ
1.A 2.B 3.B 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.B 10.C
(38)BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1; 4), B( 2;2; 6), C(6; 0; 1). Tính
AB AC
A AB AC 67
B AB AC 65 C AB AC 67
D AB AC 33
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ u (2; 3;1) v (5;6; 4) Tồn véctơ ( ; ;1)
z a b thỏa mãn z u z v Tính S a b A S 2 B S 1
C S 1 D S 2
Câu 3. Trong khơng gian Oxyz, gọi góc u (1; 2;1) v ( 2;1;1) Tìm A
6
B
3 C
6
D
3
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ u (1;1;1) v (0;1; ).m Hãy tìm tất tham số thực m để góc véctơ u v có số đo 45
A m B m 2 C m 1 D m
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ a b tạo với góc 120 , đồng thời có a 2 b 5
Gọi hai véctơ u v, thỏa u k a.b v a b
Hãy tìm số thực k để u v
A 45
6
k B 45 k C
45
k D
45 k
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A( 1; 0; 3), B(2; 2; 0) ( 3;2;1)
C Hãy tính độ dài đường cao AH kẻ từ đỉnh A tam giác ABC A 651
21
AH B 651 21 AH
C 651
3
AH D 651
7 AH
Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tính thể tích V tứ diện ABCD với (2; 3;1), (4;1; 2), (6; 3;7)
A B C D(1; 2;2).
A 70
V B V 140
C V 70 D 140
3 V
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(0; 1; 3), B(2;1; 0), ( 1; 3; 3),
(39)A 29
AH B 14
29
AH
C AH 29 D
29
AH
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1;1), (3;1;2) B ( 1; 0; 3)
C Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A 1; 1;
2 I
B
1 1; ;
2 I
C 2; ;1
2
I
D
1 2; ;
2 I
Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, xác định tâm I bán kính R mặt cầu 2
( ) :S x y z 2x 4y6z 100
A I(1; 2; 3), R 2. B I( 1;2; 3), R2 C I( 1;2; 3), R 4 D I(1; 2; 3), R
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất giá trị tham số m cho
2 2 2 2( 2) 2( 3) 8 37 0
x y z mx m y m z m mặt cầu A m 2 hay m 4
B m 4 hay m 2 C m 2 hay m 4 D m 4 hay m2
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình phương trình mặt cầu tâm I(1;2; 4) thể tích khối cầu tương ứng 36
A (x 1)2 (y2)2 (z 4)2 9 B (x 1)2 (y2)2 (z 4)2 9 C (x 1)2 (y2)2 (z 4)2 9 D (x 1)2 (y2)2 (z 4)2 3
Câu 13. (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Trong không gian với hệ Oxyz, cho mặt cầu ( )S có tâm I(1;2; 3) bán kính R2 Viết phương trình mặt cầu ( ).S
A x2 y2 z2 2x 4y 6z 100 B (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 2 C x2 y2 z2 2x 4y6z 100 D (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 2
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi phương trình sau phương trình mặt cầu có tâm I( 1;2;1) qua điểm A(0; 4; 1) ?
(40)Câu 15. (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 0; 1) B(5; 0; 3). Viết phương trình mặt cầu ( )S đường kính AB A (S): (x 2)2 y2 (z 2)2 4
B ( ) :S x2 y2 z2 8x 4z 180 C ( )S : (x 4)2 y2 (z 2)2 8 D ( ) :S x2 y2 z2 8x 4z 120
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi phương trình sau phương trình mặt cầu có tâm I(1;2; 3) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) ?
A (x1)2 (y2)2 (z 3)2 4 B (x1)2 (y2)2 (z3)2 1 C (x1)2 (y2)2 (z 3)2 9 D (x1)2 (y2)2 (z 3)2 25
Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( )S qua hai điểm (1;2; 3), (4; 6;2)
A B có tâm nằm trục hồnh Ox A ( ) : (S x 7)2 y2 z2 6
B ( ) : (S x 7)2 y2 z2 36 C ( ) : (S x 7)2 y2 z2 6 D ( ) : (S x 7)2 y2 z2 49
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm bán kính R mặt cầu qua bốn điểm (1; 0;1), (1; 0; 0), (2;1; 0)
M N P Q(1;1;1)
A
2
R B
2 R C R 1 D R
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình sau phương trình mặt cầu ( )S có tâm A(1; 4; 3) cắt trục Ox hai điểm B C, cho BC
A (x1)2 (y4)2 (z 3)2 28 B (x1)2 (y4)2 (z 3)2 34 C (x1)2 (y4)2 (z 3)2 26 D (x1)2 (y4)2 (z 3)2 19
Câu 20. Trong không gian với hệ Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y2)2 (z3)2 16 Hỏi ( )S cắt mặt phẳng (Oxy) theo đường trịn có chu vi C ?
A C 2 B C C C 7 D C 14
ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ
1.D 2.C.D 3.D 4.B 5.A 6.A 7.A 8.B 9.B 10.A
(41)§ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
1. Véctơ pháp tuyến – Véctơ phương Véctơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng ( )P n ( ), P n 0.
Véctơ phương (VTCP) u mặt phẳng ( )P véctơ có giá song song nằm ( ).P
Nếu mặt phẳng ( )P có cặp VTCP u v, ( )P có VTPT n [ , ].u v
Nếu n 0 véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P k n , ( k 0) véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( ).P
2. Phương trình tổng quát mặt phẳng
Phương trình tổng quát mặt phẳng ( ) :P ax by cz d có véctơ pháp tuyến ( ; ; )
n a b c Chẳng hạn: ( ) : 2P x 3y z VTPT n( )P (2; 3;1).
Để viết phương trình mặt phẳng ( ),P cần xác định điểm qua VTPT.
( )
V
( ; ; )
( Qua
TPT : ( ; )
)
; :
P a
M x y z
n b
P
c
( ) : (P a xx)b y( y)c z( z)0 3. Phương trình mặt phẳng đoạn chắn
Nếu mặt phẳng ( )P cắt ba trục tọa độ điểm A a( ; 0; 0), B(0; ; 0),b C(0; 0; )c với (abc0) ( ) :P x y z
a b c gọi phương trình mặt phẳng đoạn chắn v
u n
P
O C(0;0;c)
B(0;b;0)
A(a;0;0) z
y
x
Chứng minh:
Ta có: ( ; ;0) , ( ; ; )
( ;0; )
AB a b
AB AC bc ac ab
AC a c
( )
( ; 0; 0) ( ) :
VTPT : , ( ; ; )
Qua
P
A a P
n AB AC bc ac ab
Suy ( ) : (P bc xa)ac y.( 0)ab z.( 0)0 ( ) : P bc x ac y ab z abc
chia abc ( ) :x y z 1
P
a b c
Chẳng hạn:
( )P (2; 4;8) 2.(1; 2;4)
n
(1; 2; 4)
(42)4. Các mặt phẳng tọa độ (thiếu gì, 0)
Mặt phẳng (Oxy) :z 0 nên (Oxy) có VTPT n(Oxy) k (0; 0;1)
Mặt phẳng (Oyz) :x 0 nên (Oyz) có VTPT n(Oyz) i (1; 0; 0)
Mặt phẳng (Oxz) :y 0 nên (Oxz) có VTPT nOxz j (0;1;0)
5. Khoảng cách
Khoảng cách từ điểm M x y z( M; M; M) đến mặt phẳng ( ) :P ax by cz d xác định
công thức:
2 2
( ;( )) axM byM czM d
d M P
a b c
Khoảng cách hai mặt phẳng song song có véctơ pháp tuyến:
Cho mặt phẳng song song ( ) :P ax by cz d ( ) :Q ax bycz d0 Khoảng cách hai mặt phẳng
2 2
( ),( ) d d
d Q P
a b c
6. Góc
Cho hai mặt phẳng ( ) : A x1 B y1 C z1 D1 0 ( ) : A x2 B y2 C z2 D2 0
Ta ln có: 2 2
2 2 2
1 1 1 1 2 2 2
cos ( ),( )
.
n n A A B B C C
n n A B C A B C
Cần nhớ: Góc mặt phẳng góc nhọn, cịn góc véctơ nhọn tù.
7. Vị trí tương đối a) Vị trí tương đối hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng ( ) :P A x1 B y1 C z1 D1 0 ( ) :Q A x2 B y2 C z2 D2 0 ( )P
cắt 1 1
2 2
( )Q A B C D
A B C D
1 1
2 2
( ) ( )P Q A B C D
A B C D
1 1
2 2
( )P ( )Q A B C D
A B C D
( )P ( )Q A A1 2 B B1 2 C C1 2
b) Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu
Cho mặt cầu S I R( ; ) mặt phẳng ( ).P Gọi H hình chiếu vng góc I lên ( )P có d IH khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( ).P Khi đó:
Nếu d R : Mặt cầu mặt phẳng khơng có điểm chung
Nếu d R: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Lúc ( )P mặt phẳng tiếp diện ( )S H tiếp điểm
Nếu d R: Mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm I bán kính
2 2.
(43)Lưu ý: Chu vi đường tròn giao tuyến C 2 ,r diện tích đường trịn S r2 Nếu dI P;( )
thì giao tuyến đường tròn qua tâm I gọi đường tròn lớn Lúc ( )P gọi mặt phẳng kính mặt cầu ( ).S
8. Các trường hợp đặc biệt mặt phẳng
Các hệ số Phương trình mặt phẳng ( )P Tính chất mặt phẳng ( )P
D ( ) :P Ax By Cz 0 ( 1)H ( )P qua gốc tọa độ O
A ( ) :P ByCz D 0 ( 2)H ( ) P Ox ( )P Ox
B ( ) :P Ax Cz D 0 ( 3)H ( ) P Oy ( )P Oy
C ( ) :P Ax By D ( 4)H ( ) P Oz ( )P Oz
AB ( ) :P Cz D 0 ( 5)H ( ) (P Oxy) ( )P (Oxy)
AC ( ) :P By D ( 6)H ( ) (P Oxz) ( )P (Oxz)
B C ( ) :P Ax D 0 ( 7)H ( ) (P Oyz) ( )P (Oyz) P
M2 M1
H I R
R I
H P
d
r I'
α
R I
P P
O O
O O
(H4) (H3)
(H2) (H1)
z
x
y y
x
z z
y
x z
y x
P P
(H7) (H6)
(H5)
P P
P
O z
y
x O
z
y
x x
y z
(44)Dạng toán 1: Xác định yếu tố mặt phẳng 1. Cho mặt phẳng ( ) : 3P x z Véctơ véctơ pháp tuyến ( ) ?P
A n4 ( 1; 01) B n1 (3; 1;2).
C n3 (3; 1; 0). D n2 (3; 0; 1).
Cần nhớ: Mặt phẳng ( ) :P ax bycz d có véctơ pháp tuyến n ( ; ; ).a b c
2. Cho mặt phẳng ( ) : 3P x 2z 1 Véctơ véctơ pháp tuyển ( ).P
A n ( 3;2; 1). B n (3;2; 1).
C n ( 3; 0;2) D n (3; 0;2)
Cần nhớ:
3. Cho mặt phẳng ( ) : 2P x y z Véctơ véctơ pháp tuyến ( ).P
A n (2; 1; 1). B n ( 2;1; 1).
C n (2;1; 1). D n ( 1;1; 1).
Cần nhớ:
4. Trong không gian Oxyz, véctơ sau véctơ pháp tuyến ( ).P Biết u (1; 2; 0), (0;2; 1)
v cặp véctơ phương ( ).P
A n (1;2; 0) B n (2;1;2)
C n (0;1;2) D n (2; 1;2).
Cần nhớ: Nếu a b, cặp véctơ phương mặt phẳng ( )P VTPT n( )P [ , ].a b
5. Tìm VTPT mặt phẳng ( )P biết cặp véctơ phương u (2;1;2), v (3;2; 1). A n ( 5; 8;1) B n (5; 8;1).
C n (1;1; 3). D n ( 5; 8; 1).
6. Trong không gian Oxyz, véctơ sau véctơ pháp tuyến ( ).P Biết
( 1; 2; 2), ( 1; 0; 1)
a b cặp véctơ phương ( ).P
A n (2;1;2) B n (2; 1; 2).
C n (2;1; 2). D n ( 2;1; 2).
7. Cho mặt phẳng ( ) :P x 2y z Điểm thuộc ( ).P
A Q(2; 1;5). B P(0; 0; 5). C N( 5; 0; 0). D M(1;1;6)
8. Tìm m để điểm M m( ;1;6) thuộc mặt phẳng ( ) :P x2y z
A m 1 B m 1
C m D m 2
9. Tìm m để điểm A m m( ; 1;12 )m thuộc mặt phẳng ( ) : 2P x y z
A m 1 B m 1
C m 2 D m 2
(45)Dạng toán 2: Khoảng cách, góc vị trí tương đối 1 Khoảng cách
Khoảng cách từ điểm M x y z( M; M; M) đến mặt phẳng ( ) :P axbycz d xác định
bởi công thức:
2 2
( ;( )) axM byM czM d
d M P
a b c
Khoảng cách hai mặt phẳng song song có véctơ pháp tuyến:
Cho mặt phẳng song song ( ) :P ax bycz d ( ) :Q ax by cz d 0 Khoảng cách hai mặt phẳng
2 2
( ),( ) d d
d Q P
a b c
Lưu ý Bản chất lấy điểm M ( ).Q Khi d P Q(( );( ))d M P( ;( ))
2 Góc
Cho hai mặt phẳng ( ) : A x1 B y1 C z1 D1 0 ( ) : A x2 B y2 C z2 D2 0
Ta ln có: 2 2
2 2 2
1 1 1 1 2 2 2
cos ( ),( )
.
n n A A B B C C
n n A B C A B C
Cần nhớ: Góc mặt phẳng góc nhọn, cịn góc véctơ nhọn tù. 3 Vị trí tương đối
a) Vị trí tương đối hai điểm M, N với mặt phẳng (P)
Xét hai điểm M x y z( M; M; M), ( ;N x y zN N; N) Và mặt phẳng ( ) :P ax bycz d
Nếu (axM byM czM d ax)( N byN czN d)0 M N, nằm bên so ( ).P
Nếu (axM byM czM d ax)( N byN czN d)0 M N, nằm bên so ( ).P
b) Vị trí tương đối hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng ( ) :P A x1 B y1 C z1 D1 0 ( ) :Q A x2 B y2 C z2 D2 0 ( )P
cắt 1 1
2 2
( )Q A B C D
A B C D
1 1
2 2
( ) ( )P Q A B C D
A B C D
1 1
2 2
( )P ( )Q A B C D
A B C D
( )P ( )Q A A1 2 B B1 2 C C1 2 0
c) Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu
Cho mặt cầu S I R( ; ) mặt phẳng ( ).P Gọi H hình chiếu vng góc I lên ( )P
có d IH khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( ).P Khi đó:
Nếu d R: Mặt cầu mặt phẳng khơng có điểm chung
Nếu d R : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
Lúc ( )P mặt phẳng tiếp diện ( )S H tiếp điểm
Nếu d R : mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm H bán kính r R2 IH2
P
M2 M1
H I R
R I
H P
(46)1. Khoảng cách từ điểm A(1; 2; 3) đến mặt phẳng ( ) : 3P x 4y2z 4
A 5
9 B
5
29 C
5 29 29 D
5
3
2. Khoảng cách từ điểm M(1;2; 3) đến mặt phẳng ( ) :P x 2y2z 2
A 1 B 3 C 13
3 D 11
3
Ta có: ;( )
2 2
3 4
3
A A A
A P
x y z
d
3.1 4.( 2) 2.3 5 29
29 29
Chọn C.
3. Gọi H hình chiếu điểm A(2; 1; 1) lên mặt ( ) : 16P x 12y15z 4 Độ dài đoạn AH
A 55 B 11/5 C 11/25. D 22/5
4. Gọi H hình chiếu điểm A(1; 2; 3) lên mặt phẳng ( ) :P x 2y2z 3 Độ dài đoạn thẳng AH
A 1 B 2 C 2/3 D 1/3
5. Gọi B điểm đối xứng với A(1; 2; 1) qua mặt phẳng ( ) : 2P x 2y z Độ dài đoạn thẳng AB
A 16/3 B 20/3 C 4/3 D 8/3
6. Gọi B điểm đối xứng với A(2; 3; 1) qua mặt phẳng ( ) : 2P x 2y z Độ dài đoạn thẳng AB
A 28/3. B 5 C 6 D 32/3
7. Cho mặt cầu ( )S có tâm I(4;2; 2) tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 12P x 5z190 Bán kính R mặt cầu ( )S
A 39
2 B
39
5 C 13 D 3
8. Cho mặt phẳng ( ) : 4P x 3y2z 1 điểm I(0; 2;1). Bán kính R hình cầu tâm I tiếp xúc với ( )P
A 3 B 5 29
29 C 29
29 D 29
29
9. Cho A(2; 0; 0),B(0; 4; 0), C(0; 0;6), D(2; 4;6) Khoảng cách từ điểm D đến (ABC) A 24/7. B 16/7 C 8/7 D 12/7
10. Cho ba điểm A(1; 0; 0),B(0;2; 0) C(0; 3; 0) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (ABC)
A 3/7 B 6/7 C 2/7 D 1/7
Ta có (ABC) mặt phẳng đoạn chắn nên có
dạng ( ) :
2
x y z
ABC
(ABC) : 6x 3y 2z 12
;( ) 2 2 2
6.2 3.4 2.6 12 27
4
6
D ABC
d
(47)11. Cho mặt phẳng ( ) :P x 2y2z 3 mặt phẳng ( ) :Q x 2y2z 1 Khoảng cách ( )P ( )Q
A 4/9 B 4/3 C 2/3 D 4
12. Cho mặt phẳng ( ) : 2P x 2y z mặt phẳng ( ) : 2Q x 2y z Khoảng cách ( )P ( )Q
A 5/3 B 8/3 C 11/2. D 14/5
Vì ( ) ( )P Q VTPT nên ta có:
( ),( ) 2 2 2 2 2 2
3 ( 1) 4
3
1 2
Q P
d d
d
a b c
Chọn đáp án B Học sinh giải cách khác: Chọn M(1; 0;2) ( ) P d d M Q( ;( ))4/3
13. Cho mặt phẳng ( ) :P x y z mặt phẳng ( ) : 2Q x 2y2z 3 Khoảng cách ( )P ( )Q
A
3 B 2 C
2 D
3
14. Cho ( ) :P x 2y 2z m 0 A(1;1;1) Có hai giá trị m m m1, 2 thỏa mãn
,( )
d A P Giá trị m m m1 m2
A 160. B 96 C 6 D 264
15. Cho điểm M(0; 0; )m Oz mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 2 thỏa
[ ;( )]
d M P Tổng giá trị m
A 1 B 2 C 0 D 2
16. Cho ( ) : 2P x 3yz – 170 Tìm điểm M Oz thỏa khoảng cách từ M đến ( )P khoảng cách từ M đến A(2; 3; 4)
A.(0; 0;1). B.(0; 0;2). C.(0; 0; 3). D.(0; 0;7)
17. Tính góc mặt ( ) :P x 2y z ( ) : 2Q x y z
A 60 B 90 C 30 D 120
18. Tính góc mặt ( ) :P x 2y z ( ) :Q x y 2z 1
A 30 B 90 C 60 D 45 Cần nhớ công thức
1
cos ( ),( )
n n P Q
n n
Ta có: n( )P (1; 2; 1), n( )Q (2; 1;1).
2 2 2
1.2 ( 2).( 1) ( 1).1
cos
2
1 1
( ),( )P Q 60
Chọn đáp án A.
(48)19. Tính góc mặt ( ) : 2P x y 2z 1 ( ) :Q x y
A 30 B 90 C 60 D 45
20. Tính góc mặt ( ) :P x z mặt phẳng (Oxy)
A 30 B 90 C 60 D 45
21. Cho mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y2)2 (z3)2 25 ( ) : 2P x y 2z m 0, với m tham số thực Tìm giá trị m để ( )P ( )S khơng có điểm chung
A m 9 m21. Hình vẽ B 9 m21
C 9 m21
D m 9 m21
22. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2x 4y6z m 3 mặt phẳng ( ) : 2P x 2y z Tìm tham số m để ( )P tiếp xúc với ( ).S
A 53
9
m B 12
5
m Hình vẽ C 13
3
m D 11
3
m
23. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z22x 2z 7 mặt phẳng ( ) : 4P x 3ym 0 Tìm m để ( )P cắt ( )S theo giao tuyến đường tròn ?
A m 19 m11. Hình vẽ
B 19m11
C 12m4
D m 12 m4
24. Cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2x 4y6z m 0 Tìm tham số m để ( )S cắt mặt ( ) : 2P x y 2z 1 theo giao tuyến đường trịn có diện tích
A m 9. Hình vẽ B m 10
C m D m 3
25. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(1;1;1) cắt mặt phẳng ( )P có phương trình 2x y 2z 4 theo đường trịn có bán kính r 4
A ( ) : (S x1)2 (y1)2 (z 1)2 16 B (S): (x 1)2 (y1)2 (z 1)2 9 C (S): (x 1)2 (y1)2 (z1)2 5
D ( ) : (S x 1)2 (y1)2 (z 1)2 25
(49)26. Cho hai mặt phẳng ( ) : 2P x y mz 2 ( ) :Q x ny2z 8 song song Tính tổng mn
A m n 4,25. Hình vẽ
B m n 4,
C m n 2, D m n 2,25
Giải Ta có: n( )P (2;1; )m n( )Q (1; ;2).n
Vì ( ) ( ) ( ) ( ) 2
1
P Q
m
P Q n n
n
4
m
2
n nên m n 4, Chọn B.
27. Cho hai mặt phẳng ( ) :P x 2y z ( ) : 2Q x 4ymz 2 Tìm m để ( )P song song với ( ).Q
A m 1. Hình vẽ B m 2
C m 2
D Không tồn m
28. Tìm mn để ( ) : 2P x my3z 5 song song với ( ) :Q nx 8y6z 2
A m n 1. Hình vẽ B m n
C m n
D m n
29. Tìm m để hai mặt phẳng ( ) : 2P x 2y z ( ) :Q x y mz 1 cắt
A
2
m B
2
m
C m 1 D
2
m
30. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : m x2 y (m2 2)z 2 mặt phẳng
2
( ) : 2 x m y2z 1 0, với m tham số thực Tìm m để ( ) ( ).
A m 1. Hình vẽ B m
C m
D m 2
31. Cho mặt phẳng ( ) :P x 2y z hai điểm A(0; 2; 3), B(2; 0;1) Điểm M a b c( ; ; ) thuộc ( )P cho MAMB nhỏ Tính a2 b2 c2
A 41
4 B
9
4
C 7
4 D 3
(50)BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 3P x z Véctơ véctơ pháp tuyến ( ).P
A n4 ( 1; 0; 1).
B n1 (3; 1;2).
C n3 (3; 1; 0).
D n2 (3; 0; 1).
Câu 2. Trong không gian Oxyz, véctơ sau véctơ pháp tuyến ( ).P Biết
(1; 2;0),
u v(0;2; 1) cặp véctơ phương ( ).P
A n (1;2; 0) B n(2;1;2)
C n(0;1;2) D n(2; 1;2).
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x 2y z Điểm thuộc ( ).P
A Q(2; 1;5). B P(0; 0; 5).
C N( 5;0;0). D M(1;1;6)
Câu 4. Trong không gian Oxyz, gọi H hình chiếu vng góc điểm A(2; 1; 1) lên mặt phẳng ( ) : 16P x 12y15z 4 Tính độ dài đoạn AH
A AH 55 B 11
5
AH
C 11
25
AH D 22
5
AH
Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S có tâm I(4;2; 2) tiếp xúc với mặt phẳng ( )P có phương trình 12x 5z19 Tìm bán kính R mặt cầu ( ).S
A R 39 B R 39 C R 13 D R
Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 4 ( ) : 2Q x y 2z 2 Tính khoảng cách d ( )P ( ).Q
A. d B. d 2
C. d D. d
Câu 7. Trong khơng gian Oxyz,tính số đo góc mặt phẳng ( ) :P x z mặt (Oxy)
A 30 B 90
C 60 D 45
Câu 8. Trong khơng gian Oxyz, gọi góc mặt phẳng ( ) :P x 2y z mặt phẳng ( ) : 2Q x y z Tìm
A 60 B 90 C 30 D 120
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 1 mặt cầu
2 2
( ) : (S x m) (y2) (z 3) 9 Tìm tất tham số thực m để ( )P cắt ( )S theo giao tuyến đường tròn ?
A 17
2 m
B 17
2 m
C 8 m D 8 m 1
(51)A m B m 10
C m D m 3
Câu 11. khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(1;1;1) cắt mặt phẳng ( )P có phương trình 2x y 2z 4 theo đường trịn có bán kính r
A ( )S :(x1)2(y1)2 (z 1)2 1 B (S): (x1)2 (y1)2 (z 1)2 9 C (S): (x1)2 (y1)2 (z 1)2 5 D ( )S :(x1)2 (y 1)2 (z 1)2 2
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi phương trình sau phương trình mặt cầu
( )S có tâm I(2;4;6) tiếp xúc với trục hoành
A (x 2)2 (y4)2 (z 6)2 40 B (x 2)2 (y4)2 (z 6)2 52 C (x 2)2 (y4)2 (z 6)2 20 D (x 2)2 (y4)2 (z 6)2 56
Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P y z Chọn mệnh đề đúng ?
A ( ) (P Oyz) B Ox ( ).P
C ( )P Ox D ( )P Oy
Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : m x2 y (m22)z 2 mặt phẳng
2
( ) : 2 x m y2z 1 0, với m tham số thực Tìm m để ( ) ( ).
A m 1 B m C m D m 2
Câu 15. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba mặt phẳng ( ) :P x y z 0, ( ) : 2Q x my 2z 3 ( ) :R x 2y nz 0 Tính tổng S m 2 ,n biết ( )P ( )R ( ) ( ).P Q
A S 1 B S
C S 6 D S
Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : 2P x3y z 0và
2
( ) :Q mx (m 1)y(3m z) m 1 Tìm tham số thực m để ( ) ( ).P Q
A. m 2 B. m 2
2
m
C. m 2 D
2
m
2
m
Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2; 3) B(2; 0; 1). Tìm tất giá trị thực tham số m để hai điểm A B nằm khác phía so với mặt phẳng ( ) :P x 2ymz 1
A m [2; 3] B m ( ;2] [3; ) C m (2; 3) D m ( ;2) (3; )
Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x2y z hai điểm A(0; 2;3),
(2;0;1)
(52)A 41
4 B
9
4
C.
4 D 3
Câu 19. Trong khơng gian Oxyz, cho tam giác ABC có A( 1; 3;5), ( 4; 3;2) B C(0;2;1) Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác A BC
A 8; ;
3 3 I
B
5 8 ; ; 3 I
C 8; ;
3 3 I
D
8 ; ; 3 I
Câu 20. Trong khơng gian Oxyz, tìm tâm đường tròn nội tiếp OAB với A(0; 0; 3), (4; 0; 0). B
A I(1; 0; 1). B P(0;1; 0) C Q(1; 0;1) D R(0; 1;1).
ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ
1.D 2.B 3.D 4.B 5.D 6.B 7.D 8.A 9.C 10.A
11.D 12.B 13.C 14.D 15.D 16.A 17.C 18.B 19.A 20.A
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 3P x2y 2 Véctơ sau véctơ pháp tuyến ( ).P
A n(3;2;2) B n(3;0;2) C n (0;3;2) D n(3;2;0)
Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm M m( ;1;6) mặt phẳng ( ) :P x2y z Điểm M thuộc mặt phẳng( )P giá trị m
A m 1 B m 1
C m 3 D m 2
Câu 3. Trong không gianOxyz, cho điểm A(1;2;1) mặt phẳng ( ) :P x 2y2z 1 Gọi B điểm đối xứng với A qua ( ).P Tính độ dài đoạn thẳng AB
A AB B
3
AB
C
3
AB D AB
Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 4P x 3y2z 1 điểm I(0; 2;1). Tính bán kính R hình cầu tâm I tiếp xúc với ( ).P
A R B
29
R C
29
R D
29
(53)Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) :P x y z ( ) : 2Q x 2y2z 3 Tính khoảng cách d ( )P ( ).Q
A
3
d B d C
2
d D
3
d
Câu 6. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x 2y z mặt phẳng ( ) :Q x y 2z 1 Tính số đo góc ( )P ( ).Q
A 30 B 90 C 60 D 45
Câu 7. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) :P x 2y z ( ) :Q x my (m 1)z m 2 0, với m tham số Gọi S tập hợp tất giá trị m cho góc ( )P ( )Q 60 Tính tổng phần tử S
A 1 B
2
C 1
2 D
3
2
Câu 8. Cho mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y2)2 (z 3)2 25 ( ) : 2P x y 2zm 0, với m tham số thực Tìm giá trị m để ( )P ( )S khơng có điểm chung
A 9 m21 B m 9 m 21
C 9 m21 D m 9 m21
Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2x4y6z m 3 mặt phẳng ( ) : 2P x 2y z Tìm tham số m để ( )P tiếp xúc với ( ).S
A 53
9
m B 12
5
m C 13
3
m D 11
3
m
Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2x 2z 7 mặt phẳng ( ) : 4P x 3ym Tìm m để ( )P cắt ( )S theo giao tuyến đường tròn ?
A 19 m 11 B m 19 m 11
C 12 m D m 12 m
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S có tâm I(2;1;1) mặt phẳng
( ) : 2P x y 2z 2 Biết mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến đường
trịn có bán kính Viết phương trình mặt cầu ( ).S
A ( ) : (S x 2)2 (y1)2 (z 1)2 8. B ( ) : (S x2)2(y1)2 (z 1)2 10 C ( ) : (S x2)2 (y1)2(z1)2 8. D ( ) : (S x2)2 (y 1)2 (z 1)2 10
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) :2x 2y z mặt cầu
2 2
( ) :S x y z 2x 4y6z 110 Viết phương trình mặt phẳng ( )Q song song với
( )P cắt ( )S theo giao tuyến đường trịn có chu vi
A ( ) : 2Q x 2y z 17 B ( ) : 2Q x2y z
C ( ) : 2Q x2y z D ( ) : 2Q x 2y z 19
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi phương trình sau phương trình mặt cầu
( )S có tâm I(1; 2;3) tiếp xúc với trục tung
(54)Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 0;1) hai mặt phẳng ( ), ( )P Q có phương trình ( ) :P x y 2z 1 0, ( ) : 2Q x2y4z 1 Tìm khẳng định đúng ?
A. ( ) ( )P Q ( )P qua M B. ( ) ( )P Q ( )P không qua M
C ( )P ( )Q ( )P qua M D. ( )P ( )Q ( )P không qua M
Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : 5P xmy z ( ) :Q nx 3y 2z 7 Tìm tham số m n, để ( ) ( ).P Q
A
2
m n 10 B m 1, n 10
C m 5 n D m n 3
Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) :P x2y2z 3
( ) : (Q m1)x (m5)y4mz 1 m0 Tìm tham số m để ( ) ( ).P Q
A. m1 B. m 1 C.
3
m D
3
m
Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2; 3) B(1;1; 1). Tìm tất giá trị thực tham số m để hai điểm A B nằm phía so với mặt phẳng ( ) : 5P x my z
A
2
m m1 B m 1
C
2
m D
2 m
Câu 18. Biết biểu thức P x2 y22x 6y 19 x2 y24x 8y45 đạt giá trị nhỏ x x, y y Tính tổng 16x 8y
A 5 B 1 C 2 D 2
Câu 19. Trong khơng gian Oxyz, tìm tâm đường trịn nội tiếp OAB với (2;2;1), 8; ;
3 3
A B
A I(0;1;1) B P(0;1; 0) C Q(1; 0;1) D R(0; 1;1).
Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho A(1;2; 1), B(2; 3; 4), C(3;5; 2). Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC
A 5; 4;1
2 I
B 37
; 7;0
I
C
27 ;15;2
I
D
7
2; ;
2
I
ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ
1.D 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.A 10.A
(55)Dạng toán 3: Viết phương trình mặt phẳng (cần tìm điểm qua + vtpt)
Loại 1 Mặt phẳng
( )
Qua ( ; ; )
( ) : ( ) : ( ) ( ) ( )
VTPT : P ( ; ; )
A x y z
P P a x x b y y c z z
n a b c
1. Phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm
(1; 0; 2)
A có VTPT n(1; 1;2)
A ( ) :P x y 2z 3 B ( ) :P x y 2z 3 C ( ) :P x y 2z 3 D ( ) :P x y 2z 3
2. Phương trình mặt phẳng qua A(1; 1;2)
có véctơ pháp tuyến n(4;2; 6)
A 4x 2y6z 5 B 2x y 3z 5 C 2x y 3z 2 D 2x y 3z 5
Ta có
( )
Qua (1; 0; 2) ( ) :
VTPT : P (1; 1;2)
A P
n
( ) : 1(P x 1) 1(y 0) 2(z 2)
( ) :P x y 2z
Chọn đáp án A.
3. Phương trình mặt phẳng qua M(3;9; 1)
và vng góc với trục Ox
A x 3 B y z
C x y z 11 D x 3
4. Phương trình mặt phẳng qua A( 1; 3; 5)
vng góc với trục Oz
A x 2y z 0. B x 1 C z 5 D y 3
5. Cho A(0;1;1) B(1;2; 3) Viết phương trình
mặt phẳng ( )P qua A vng góc với
đường thẳng AB
A ( ) :P x y 2z 3 B ( ) :P x y 2z 6 C ( ) :P x 3y4z 7 D ( ) :P x 3y4z 26
6. Cho hai điểm A(5; 4;2) B(1;2; 4) Mặt
phẳng qua A vng góc với đường thẳng
AB có phương trình
A 2x 3y z
B 3x y 3z 130 C 2x 3y z 200 D 3x y 3z 250
7. Cho A( 1;1;1), B(2;1; 0), C(1; 1;2). Mặt
phẳng qua A vng góc với BC có
phương trình
A 3x 2z 1 B x 2y2z 1 C x 2y2z 1 D 3x 2z 1
8. Cho A(2; 1;1), (1; 0; 3), B C(0; 2; 1). Viết
phương trình mặt phẳng ( )P qua trọng tâm G
của ABC vng góc với BC
A ( ) :P x y z B ( ) :P x 2y4z 2 C ( ) :P x y z D ( ) :P x 2y4z 3
(56)
Loại 2 Viết phương trình mp( )P qua A x y z( ; ; ) ( ) ( ) :P Q ax bycz d
Phương pháp: Mặt phẳng
( ) ( )
( , , )
( ) :
VTPT : ( ; ; )
Qua
P Q
A x y z P
n n a b c
(Loại 1).
9. Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua
(0;1; 3)
A ( ) ( ) : 2P Q x 3z 1
A ( ) : 2P x 3z 9 B ( ) : 2P x 3z 9 C ( ) : 2P x 3z 3 D ( ) : 2P x 3z 3
10. Phương trình mặt phẳng ( )P qua A(2; 1;2)
0 ( )P (Q) : 2x y 3z 2
A 2x y 3z 9 B 2x y 3z 11 C 2x y 3z 11 D 2x y 3z 110
Ta có
( ) ( )
(0;1; 3)
( ) :
VTPT : (2; 0; 3)
Qua
P Q
A P
n n
( ) : 2(P x 0) 0(y 1) 3(z 3)
2x 3z
Chọn đáp án A.
Cách giải khác Sử dụng vị trí tương đối hai mặt phẳng Vì ( ) ( ) : 2P Q x 3z 1 ( ) : 2P x 3z d
Mà A(0;1; 3) ( ) : 2 P x 3z d 2.03.3 d d ( ) : 2P x 3z 9
11. Viết phương trình mặt ( )P qua A(1; 3; 2)
và ( ) ( ) : 2P Q x y 3z 4
A ( ) : 2P x y 3z 7 B ( ) : 2P x y 3z 7 C ( ) : 2P x y 3z 7 D ( ) : 2P x y 3z 7
12. Viết phương trình mặt ( )P qua A(1; 3; 4)
( ) ( ) : 6P Q x 5y z
A 6x 5y z 250
B 6x 5y z
C 6x 5y z 250 D 6x 5y z 170
13. Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua
(3;2; 3)
A ( ) (P Oxy)
A ( ) :P z 3 B ( ) :P x 3 C ( ) :P y 2 D ( ) :P x y
14. Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua
(2; 4;5)
A ( ) (P Oxz)
A x 2y3z 0. B 2z 5
C z 5 D y 4
Mặt (Oxy) có VTPT
Mặt (Oxz) có VTPT
(57)Loại 3 Viết phương trình mặt phẳng trung trực ( )P đoạn thẳng AB với A B, cho trước
Phương pháp Tìm I trung điểm AB Khi đó:
( ) T
( Qua ; ;
V PT : ;
)
; )
:
(
A B A B A B
P B A B A B A
x x y y z z
I
n AB x x y y z z
P
(Dạng 1)
Cần nhớ: Mặt phẳng trung trực ( )P đoạn AB mặt phẳng vng góc trung điểm AB
15. Viết phương trình mặt phẳng trung trực ( )P
của đoạn AB với A(2; 0;1), (0; 2; 3).B
A ( ) :P x y z B ( ) :P x y z C ( ) :P x y z D ( ) :P x y z
16. Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn
AB với A(3;1;2), (1;5; 4)B
A x 2y z
B x y z
C x y z
D 2x y z
Vì I trung điểm AB nên I(1; 1;2).
( ) Qua (1; 1;2) ( ) :
VTPT : P 2(1;1; 1)
I P
n AB
17. Phương trình mặt phẳng trung trực
đoạn AB với A(2; 3; 1), (4; 1;2) B
A 2x 2y3z 1 B 8x 8y12z 150
C x y z
D 4x 4y6z 7
18. Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn
AB với A(2; 0;1), (0; 2; 3)B
A x y z
B x y z
C x y z
D x y z
19. Phương trình mặt phẳng trung trực
đoạn AB với A(1;2; 3), (3;2;1)B
A y z B y z C x z D x y
20. Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn
AB với A(1;2; 3), (3;2;1)B
A x y 2z 1
B 2x y z
C x y 2z 1
D 2x y z
P
A
B I
(58)Loại 4 Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm M có cặp véctơ phương a b, .
Phương pháp
( )
( ; ; )
( ) :
VTPT : [ , ]
Qua
P
M x y z P
n a b
(Dạng 1)
21. Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua
điểm M(1;2; 3) có cặp véctơ phương
là a (2;1;2), b (3;2; 1).
A ( ) : 5P x 8y z B ( ) : 5P x 8y z C ( ) : 5P x 8y z D ( ) : 5P x 8y z
22. Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm
(1;2; 3)
M có cặp véctơ phương
(2;1;2), (3;2; 1)
a b
A 5x 8y z
B 5x 8y z
C 5x 8y z
D 5x 8y z
Ta có ( ) : Qua (1;2; 3)
VTPT : [ , ] ( ; ; )
M P
n a b
23. Phương trình mặt phẳng qua ba điểm
(1; 0;2), (1;1;1), (2; 3; 0)
A B C
A x y z
B x y z
C x y z
D x y 2z 3
24. Phương trình mặt phẳng qua ba điểm
(3; 1;2), (4; 1; 1), (2; 20; )
M N P
A 3x 3y z
B 3x 2y z
C 3x 3y z
D 3x 3y z
( )
(0;1; 1)
, ( ; ; )
(1; 3; 2) P
AB
n AB AC
AC
25. Phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm
(2; 2; 3)
M chứa trục Ox có dạng
A 3y2z 1 B 3y2z 0 C 3y2z 0 D 3y2z 1
26. Phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm
(2;2; 3)
M chứa trục Oy có dạng
A ( ) : 3P x2z 0 B ( ) : 3P x 2z 0 C ( ) : 3P x 2z 2 D ( ) : 3P x2z 2
( ) (2; 2; 3)
, ( ; ; ) : (1; 0; 0) P
OM
n OM i
Ox i
(59)
27. Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua hai
điểm A(1; 0;1) B( 1;2;2), đồng thời song
song với trục Ox
A ( ) :P x y –z 0 B ( ) : –P y z 1 C ( ) : – 2P y z 2 D ( ) :P x 2 – 3z 0
28. Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường
thẳng AB, đồng thời song song với trục tung,
với A( 1; 0; 0) B(0; 0;1)
A ( ) : –P x z 1 B ( ) :P x y 2z 0 C ( ) :P x 2z 1 D ( ) :P x 2y 2
( ) ( 2;2;1)
, : (1; 0; 0) P
AB
n AB i
Ox i
29. Cho A(1;1; 0), (0;2;1), (1; 0;2), (1;1;1).B C D
Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua
,
A B ( )P song song với đường CD
A ( ) :P x y z B ( ) : 2P x y z C ( ) : 2P x y z D ( ) :P x y
30. Cho A( 1;1; 2), B(1;2; 1), C(1;1;2)
( 1; 1;2)
D Viết phương trình mặt phẳng ( )P
chứa đường AB song song CD
A ( ) :P x y z B ( ) :P x y z C ( ) : 2P x y z D ( ) :P x 2y2z 1
( )
( 1;1;1)
,
(0;1; 1) P
AB
n AB CD
CD
Loại 5 Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A B, vuông góc với mặt phẳng ( ).Q
Phương pháp Tìm AB
VTPT ( )Q n( )Q Khi đó:
( ) ( )
Q , (hay )
( ) :
V P u
T a
T : P , Q
A B
P
n AB n
(Dạng 1)
31. Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua hai
điểm A(1;2; 2), (2; 1; 4) B vng góc
với mặt phẳng ( ) :Q x 2y z
A 15x 7z z 27 0 B 15x 7z z 27 0 C 15x 7z z 27 0 D 15x 7z z 27 0
32. Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua hai
điểm A( 1;2; 3), (1; 4;2) B vng góc với
mặt phẳng ( ) :Q x y 2z 1
A 3x y 2z 110 B 5x 3y4z 230 C 3x 5y z 100 D 3x5y4z 250
( ) ( ) ( )
(1; 3;6)
, (1; 2; 1) P Q Q
AB
n AB n
n
B A
P
(60)33. Cho ( ) : 2P x y 2z 1 0, A(1; 2; 3)
(3;2; 1)
B Viết phương trình mặt phẳng
( )Q qua A B, vng góc với ( ).P
A ( ) : 2Q x 2y3z 7 B ( ) : 2Q x 2y3z 7 C ( ) : 2Q x 2y3z 9 D ( ) :Q x 2y3z 7
34. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt
phẳng ( )P chứa trục Ox vuông góc với mặt
phẳng ( ) :Q x 2y z
A ( ) :P y2z B ( ) :P y2z 0 C ( ) :P x2y z D ( ) :P y z
Loại 6 Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua M vng góc với hai mặt phẳng ( ), ( ).
Phương pháp Tìm n( ) n( ) Khi đó:
( ) ( ) ( )
ua ( ; :
( ) : Q ; )
VTPT P ,
P
n M x
n y z
n
(Dạng 1)
35. Cho mặt ( ) :P1 x 2y3z 4
2
( ) : 3P x 2y z Viết phương
trình mặt phẳng ( )P qua điểm A(1;1;1),
vuông góc hai mặt phẳng ( )P1 ( ).P2
A ( ) : 4P x5y2z 1 B ( ) : 4P x 5y2z 1 C ( ) : 4P x 5y2z 1 D ( ) : 4P x 5y2z 1
36. Cho mặt ( ) : 2P1 x y 3z 4
2
( ) :P x y z Viết phương trình mặt
phẳng ( )P qua điểm M(1; 5; 3), vng góc
hai mặt phẳng ( )P1 ( ).P2
A ( ) : 2P x y z B ( ) : 2P x y z C ( ) : 2P x y z 100 D ( ) : 2P x y z 100
1
2
( )
( ) ( ) ( ) ( )
(1;2; 3)
, (3;2; 1)
P
P P P
P
n
n n n
n
37. Cho hai mặt phẳng ( ) : x y
( ) : 2 y z Viết phương trình mặt
phẳng ( )P qua điểm A(1; 0; 0), đồng thời
vng góc với ( ) ( ).
A ( ) :P x y 2z 1 B ( ) :P x 2y z C ( ) :P x 2y z D ( ) :P x y 2z 1
38. Cho mặt phẳng ( ) :P x y z
( ) : 3Q x 2y12z 5 Viết phương
trình mặt phẳng ( )R quaO, đồng thời
vng góc với hai mặt phẳng ( )P ( ).Q
A ( ) :R x 2y3z 0 B ( ) :R x 3y2z 0 C ( ) : 2R x 3y z D ( ) : 3R x 2y z
(61)
Loại 7 Viết phương trình mặt phẳng đoạn chắn.
Phương pháp Nếu mặt phẳng ( )P cắt ba trục tọa độ điểm A a( ; 0; 0), B(0; ; 0),b
(0; 0; )
C c với (abc 0) ( ) :P x y z
a b c gọi phương trình đoạn chắn
39. Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm
(1; 0; 0), (0; 2; 0), (0; 0; 3)
A B C
A 2x3y6z 6 B 3x 6y2z 6 C 6x 3y2z 6 D 2x 6y3z 6
40. Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm
(2; 0; 0), (0; 3; 0), (0; 0;5)
A B C
A 15x 10y6z 0 B 15x10y6z 30 C 2x 3y5z 1
D 2x 3y5z 0
Mặt phẳng qua A(1; 0; 0), (0; 2; 0), (0; 0; 3)B C
có dạng
1
x y z
6x 3y 2z
Chọn đáp án C.
41. Cho điểm M(1;2; 3) Gọi A, B, C
là hình chiếu M trục Ox, Oy,
Oz Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
A 3x 2y z
B 2x y 3z 6 C 6x 3y2z 6 D x 2y3z 6
42. Cho điểm M( 3;2; 4). Gọi A, B, C
hình chiếu M trục Ox, Oy, Oz
Tìm mặt phẳng song song với (ABC)
A 4x6y3z 12 B 3x 6y4z 12 C 4x 6y3z 12 D 6x 4y3z 12
Cần nhớ: Nếu M trực tâm ABC OM (ABC) với A Ox B , Oy C, Oz
Thật vậy: Vì M trực tâm tam giác ABC CH AB BK AC
Ta có: AB CH AB (COH)
AB OC
Suy AB OM (1)
Tương tự: AC BK AC (BOK)
AC OB
Suy AC OM (2)
Từ (1),(2)OM (ABC)
.
6
O ABC
abc
V
M trực tâm ABC OM (ABC)
2 2
1 1
OA OB OC OM
(62)43. Cho điểm M(1;2;5) Mặt phẳng ( )P qua
điểm M cắt trục tọa độ Ox Oy Oz, ,
, ,
A B C cho M trực tâm tam giác
ABC Khi ( )P có phương trình
A 2x 5y 10z 0 B x 5y10z100 C x 2y5z 300
D x y z
44. Phương trình mặt phẳng ( )P qua M(3;2;1)
và cắt trục toạ độ Ox Oy Oz, ,
, ,
A B C cho M trực tâm tam giác
ABC
A ( ) : 3P x 2y z 140 B ( ) :P x y z C ( ) : 2P x 3y6z 6 D ( ) : 2P x 3y6z 0
Qua (1;2;5) ( ) ( ) :
VTPT ( ; ; )
M
P ABC
n OM
45. Mặt phẳng ( )P qua điểm G(2; 1; 3)
cắt trục tọa độ điểm A B C, ,
(khác gốc tọa độ) cho G trọng tâm
ABC
Tìm phương trình ( ).P
A 3x6y2z 180 B 2x y 3z 140
C x y z
D 3x 6y2z 6
46. Trong không gian Oxyz, cho G( 1; 3;2). Viết
phương trình mặt phẳng ( )P cắt ba trục
, ,
Ox Oy Oz A B C, , G trọng tâm
tam giác ABC
A ( ) :P x y z B ( ) : 2P x 3y z C ( ) :P x 3y2z 1 D ( ) : 6P x 2y3z 180
Gọi A a( ; 0;0), B(0; ;0),b C(0; 0; ).c Vì G(2; 1; 3)
là trọng tâm ABC nên
2
3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x a
x
y y y b
y
z z z c
x
47. Mặt phẳng qua M(1;2; 3) cắt trục tọa độ
tại A B C, , cho M trọng tâm
ABC
có p/trình 6x 3y2z180
Giá trị abc
A 36 B 36 C 72 D 72
48. Mặt phẳng qua G(1;2; 3) cắt trục tọa độ
, ,
A B C cho G trọng tâm ABC có
phương trình axbycz180 Giá trị
a b c
A 9 B 12 C 10 D 11
(63)
49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm A(1;1;1)
(0;2;2)
B đồng thời cắt tia Ox, Oy hai điểm M N, (không trùng với gốc tọa độ
)
O cho OM 2ON
A ( ) : 2P x 3y z
B ( ) :P x 2y z
C ( ) : 2P x y z
D ( ) : 3P x y 2z 6
Giải Gọi M m( ; 0; 0), N(0; ; 0),n P(0; 0; )p giao điểm
( )P Ox Oy Oz, , với m n, 0
Phương trình mặt phẳng ( ) :P x y z
m n p
Có
1 1
(1;1;1) ( ) : 1
0 2
(0;2;2) ( ) : 1
x y z
A P
m n p m n p
x y z
B P
m n p m n p
Theo đề có OM 2ON m 2n
Giải hệ phương trình m 2, n 1, p 2
( ) : ( ) : 2
2
x y z
P P x y z
Chọn B.
50. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( )P qua M(1; 3; 2), đồng thời cắt tia Ox Oy Oz, , lần
lượt A B C, , cho 4OA2OB OC Hỏi ( )P phương trình ?
A 2x y z
B x 2y4z 1
C 4x 2y z
D 4x 2y z
51. Cho hai điểm C(0;0;3) M( 1; 3;2). Mặt phẳng ( )P qua C M, , đồng thời chắn nửa
trục dương Ox Oy, đoạn thẳng Phương trình ( )P
A x y 2z 1
B x y 2z 6
C x y z
D x y z
(64)52. Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm M(1;2; 3) cắt ba tia Ox Oy Oz, ,
, ,
A B C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ
A 6x 3y2z 180 B 6x 3y3z210 C 6x 3y3z 210 D 6x 3y2z 180
Cần nhớ: Thể tích khối tứ diện có ba cặp cạnh đơi vng góc với là:
6
OABC
OAOB OC abc
V
Lời giải Ta có: (ABC) :x y z
a b c
Vì
Cauchuy
1
(1;2; 3) ( )
M ABC
a b c abc
1
162 27
6
OABC
abc V abc
Dấu " "
a b c
162 3;
9
a b
abc
c
( ) : 18
3
x y z
ABC x y z
53. Mặt phẳng ( )P qua M(2;1;1) đồng thời cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , cho
tứ diện OABC tích nhỏ Viết phương trình ( ).P
A ( ) : 2P x y z B ( ) :P x 2y2z 6 C ( ) :P x 2y z D ( ) : 2P x y 2z 1
54. Mặt phẳng ( )P qua M(2;1;2) đồng thời cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , cho
tứ diện OABC tích nhỏ Viết phương trình ( ).P
A 2x y 2z 3
B 4x y z
C 2x y 2z 6
D x 2y z
55. Mặt phẳng ( )P qua M(1;1; 4), đồng thời cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , cho
tứ diện OABC tích nhỏ Tính thể tích nhỏ ?
A 72 B 108 C 18 D 36
56. Mặt phẳng ( )P qua M(1;2; 3) cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , cho
2 2
1 1
T
OA OB OC
đạt giá trị nhỏ dạng x aybz c Tìm a b c
A 19 B 6 C 9 D 5
(65)Loại 8 Một số toán viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách cở
Để viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách, thường sử dụng hai ý tương sau:
Ý tưởng 1 Tìm trực tiếp VTPT n( )P ( ; ; )a b c dựa vào mối liên hệ song song, vng góc Khi
đó, ta cần tìm d phương trình ( ) :P ax bycz d dựa vào công thức
tính khoảng cách
Ý tưởng 2 Nếu khơng có VTPT trực tiếp ta cần gọi n( )P ( ; ; )a b c với a2 b2 c2 0
Dựa vào khoảng cách để thành lập phương trình hệ phương trình để tìm mối
liên hệ a b c, , Sau chọn a b, c
Một số toán thường gặp
Bài tốn 1 Viết phương trình mặt phẳng ( ) ( ) :P Q axbycz d cách điểm
( ; ; )
M x y z khoảng k cho trước
Phương pháp:
Vì ( ) ( ) :P Q ax bycz d ( ) :P ax bycz d 0
Sử dụng công thức khoảng cách dM P,( ) k d
Bài tốn 2 Viết phương trình mặt phẳng ( ) ( ) :P Q ax bycz d ( )P cách ( )Q
khoảng k cho trước
Phương pháp:
Vì ( ) ( ) :P Q ax bycz d ( ) :P ax bycz d 0
Chọn điểm M x y z( ; ; ) ( ) Q sử dụng công thức:
( );( )Q P M P,( )
d d k d
Bài tốn 3 Viết phương trình mặt phẳng ( )P vng góc với hai mặt phẳng ( ), ( ), đồng thời
( )P cách điểm M x y z( ; ; ) khoảng k cho trước
Phương pháp:
Tìm n( ), n( )
Từ suy n( )P n( ),n( ) ( ; ; ).a b c
Khi phương trình ( )P có dạng ( ) :P ax bycz d 0, (cần tìm d)
Vì dM P;( ) k d
Bài toán 4 Viết phương trình mặt phẳng ( )P tiếp xúc với mặt cầu ( )S M x y z( ; ; ).
(trong trường hợp này, ( )P gọi mặt phẳng tiếp diện)
Phương pháp:
Tìm tâm I bán kính R mặt cầu
Khi
( ) Qua ( ; ; ) ( ) :
VTPT : P
M x y z P
n IM
(dạng 1)
Bài toán 5 Viết phương trình mặt phẳng ( ) ( ) :P Q ax bycz d ( )P tiếp xúc với mặt
cầu ( )S cho trước
Phương pháp:
Vì ( ) ( ) :P Q ax bycz d ( ) :P ax bycz d 0
Tìm tâm I bán kính R mặt cầu
Vì ( )P tiếp xúc ( )S nên có dI P;( ) R d
(66)57. Viết phương trình mặt phẳng ( ),P biết ( ) ( ) :P Q x 2y2z 1 ( )P cách điểm
(1; 2;1)
M khoảng
A ( ) : 2
( ) : 2 14
P x y z
P x y z
B ( ) : 2
( ) : 2 11
P x y z
P x y z
C ( ) : 2
( ) : 2 14
P x y z
P x y z
D ( ) : 2
( ) : 2 11
P x y z
P x y z
Học sinh nghe giảng bổ sung lời giải
( ) ( )P Q ( ) :P x 2y2z d 0, (d 1)
Ta có ,( )
M P
d
( ) : 2
( ) : 2 14
P x y z
P x y z
Chọn đáp án A.
58. Cho điểm M(1; 0; 3) mặt phẳng ( ) :P x 2y z 100 Viết phương trình mặt phẳng ( )Q
song song với ( )P ( )Q cách M khoảng
A ( ) : 2
( ) : 10
Q x y z
Q x y z
B ( ) :Q x 2y z 100 C ( ) :Q x 2y z
D ( ) : 2
( ) : 10
Q x y z
Q x y z
59. Viết phương trình ( )P thỏa mãn ( ) ( ) : 2P Q x 3y 6z 35 0, dO P;( )
A 35
2 35
x y z
x y z
B 2x 3y6z 350 C 2x 3y6z 350
D 35
2 35
x y z
x y z
60. Viết phương trình ( )P thỏa ( ) ( ) :P Q x 2y2z 140, dM P;( ) 3,
vớiM(1; 2;1).
A ( ) :Q x 2y2z 4 B ( ) :Q x 2y2z 140 C ( ) :Q x 2y2z 2 D ( ) :Q x 2y2z 4
(67)61. Viết phương trình mặt phẳng ( ),P biết ( ) ( ) :P Q x2y2z 3 d( ),( )P Q
A ( ) : 2
( ) : 2 12
P x y z
P x y z
B ( ) :P x2y2z 6 C ( ) :P x 2y2z 120
D ( ) : 2
( ) : 2 12
P x y z
P x y z
Học sinh nghe giảng bổ sung lời giải
Vì ( ) ( )P Q ( ) :P x 2y2z d 0, (d 3)
Ta có ( ),( )
P Q
d
62. Cho mặt phẳng ( ) :P x y z Hãy viết phương trình mặt phẳng ( )Q song song ( )P
cách ( )Q khoảng 11
3
A ( ) : 10
( ) : 12
Q x y z
Q x y z
B ( ) :Q x y z 100 C ( ) :Q x y z 120
D ( ) : 10
( ) : 12
Q x y z
Q x y z
63. Cho mặt phẳng ( ) :P x2y2z 3 Hãy viết phương trình mặt phẳng ( )Q song song ( )P
và cách ( )Q khoảng
A ( ) : 2
( ) : 2 12
Q x y z
Q x y z
B ( ) :Q x 2y2z 6 C ( ) :Q x 2y2z 120
D ( ) : 2
( ) : 2 12
Q x y z
Q x y z
64. Viết phương trình mặt phẳng ( ),P biết ( ) ( ) :P Q x 2y2z12 d( ),( )P Q
A ( ) :P x2y2z 6 B ( ) :P x2y2z 120
C ( ) : 2
( ) : 2 21
P x y z
P x y z
D ( ) :P x 2y2z 120
(68)65. Viết phương trình mặt ( )P vng góc với ( ) : x y z 0, ( ) : x y z đồng
thời ( )P cách gốc tọa độ O khoảng
A ( ) :P x z B ( ) :P x z C ( ) :P x y D ( ) :P y z
Giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
( )
(1;1;1)
, 2(1; 0; 1)
(1; 1;1) P
n
n n n
n
( ) :P x z d
Mà dO P;( )
2
2
2
2
1 ( 1)
O O
x z d d
d
d
Do có hai mặt
phẳng cần tìm ( ) :P x z 0. Chọn đáp án A.
66. Viết phương trình mặt ( )P vng góc với ( ) : x 2y3z 2 0, ( ) : x y 2z 0, đồng
thời ( )P cách M(0;1; 0) khoảng 59
A 60
7 58
x y z
x y z
B 7x y 3z 600 C 7x y 3z 580
D 60
7 58
x y z
x y z
67. Viết phương trình mặt ( )P vng góc với ( ) : x y z 0, ( ) : y z 0, đồng thời
( )P cách A(1;1;2) khoảng
A 2x y z 0
B 2x y z 60
C 2x y z 6
D 2x y z 0
68. Viết phương trình mặt ( )P vng góc với ( ) : x 2y z 1, ( ) : x y z 0, đồng thời
( )P cách M( 1;1; 2) khoảng
A ( ) :P x z
B ( ) :
( ) :
P x z
P x z
C ( ) :P x z
D ( ) :
( ) :
P x z
P x z
(69)P
I
M
69. Cho mặt cầu ( ) : (S x1)2 (y1)2 (z3)2 9 điểm M(2;1;1) thuộc mặt cầu Lập phương
trình mặt phẳng ( )P tiếp xúc với mặt cầu ( )S M
A ( ) :P x 2y z B ( ) :P x 2y2z 2 C ( ) :P x 2y2z 8 D ( ) :P x 2y 2z 6
Lời giải tham khảo
Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 1; 3), bán kính R
Vì ( )P tiếp xúc ( )S M ( )S nên IM ( )P
Do ( )P qua M(2;1;1) có n( )P IM (1;2; 2)
( ) : 1.(P x 2) 2.(y 1) 2.(z 1)
( ) :P x 2y 2z
Chọn đáp án B.
70. Viết phương trình mặt phẳng ( )P tiếp xúc với ( ) :S x2 y2 z2 6x 2y4z 5 điểm
(4; 3; 0)
M
A ( ) :P x 2y2z 100 B ( ) :P x 2y2z 8 C ( ) :P x 2y2z 100 D ( ) :P x 2y2z 8
71. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2x 4y6z 110 mặt phẳng
( ) : 2P x 2y z 180 Tìm phương trình mặt phẳng ( )Q song song với mặt phẳng ( )P đồng
thời ( )Q tiếp xúc với mặt cầu ( ).S
A ( ) : 2Q x 2y z 220 B ( ) : 2Q x 2y z 280 C ( ) : 2Q x 2y z 180 D ( ) : 2Q x 2y z 120
Giải Vì ( ) ( )Q P ( ) : 2Q x 2y z d 0, (d 18)
Có I(1;2; 3) ( )P tiếp xúc ( )S nên d I Q ,( )R5
2 2
2 12
5 15
18
2 ( 1)
I I I
x y z d d
d
d
Vì d 18( ) : 2Q x 2y z 120 Chọn đáp án D.
72. Cho ( ) : (S x 1)2 (y2)2 (z3)2 16 mặt phẳng ( ) : 4P x 3 – 12y z 260 Tìm
( ) ( ),Q P đồng thời ( )Q tiếp xúc với ( ).S
A 4x 3y12z 780 B 4x 3y12z 260 C 4x 3y12z 780 D 4x 3y12z 260
73. Cho ( ) : (S x 1)2 (y2)2 (z3)2 25 mặt phẳng ( ) : 2P x 2y z 180 Tìm
( ) ( ),Q P đồng thời ( )Q tiếp xúc với ( ).S
A ( ) : 2P x 2y z 180 B ( ) : 2P x 2y z 180 C ( ) : 2Q x 2y z 120 D ( ) : 2Q x2y z 120
(70)74. Cho hai mặt phẳng ( ) : 3 x y 4z 2 ( ) : 3 x y 4z 8 Phương trình mặt
phẳng ( )P song song cách hai mặt phẳng ( ) ( )
A ( ) : 3P x y 4z 100 B ( ) : 3P x y 4z 5 C ( ) : 3P x y 4z 100 D ( ) : 3P x y 4z 5
75. Viết phương trình mặt phẳng ( ),P biết ( )P song song với mặt ( ) : 2Q x 2y z 17 0 ( )P
cắt mặt cầu ( ) : (S x1)2 (y2)2 (z 3)2 25 theo giao tuyến đường trịn có chu vi
bằng
A ( ) : 2P x 2y z B ( ) : 2P x 2y z C ( ) : 2P x 2y z 17 0 D ( ) : 2P x y z 170
76. Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua hai điểm O(0; 0; 0), (1;2; 0),A đồng thời khoảng cách từ
(0;4; 0)
B đến ( )P khoảng cách từ C(0;0;3) đến ( ).P
A
6
x y z
x y z
B 6x3y4z 0 C 6x3y4z
D
6
x y z
x y z
77. Cho hai điểm A B, nằm mặt cầu ( ) : (S x4)2 (y2)2 (z 2)2 9 Biết AB song
song với OI, O gốc tọa độ I tâm mặt cầu ( ).S Viết phương trình mặt phẳng
trung trực ( )P đoạn thẳng AB
A (P) :2x y z 120
B ( ) : 2P x y z C ( ) : 2P x y z D ( ) : 2P x y z
(71)Loại 9 Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua M qua giao tuyến hai mặt phẳng ( ), ( ).
Phương pháp. Phương trình chùm mặt phẳng m.( ) n.( ) 0 thu gọn & chọn n m
Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua M giao tuyến d hai mặt phẳng:
1 1
( ) : a xb yc zd 0 ( ) : a x2 b y2 c z2 d2 0 Khi mặt phẳng chứa d
có dạng ( ) : (P m a x1 b y1 c z1 d1)n a x( b y2 c z2 d2)0, m2 n2 0
Vì M ( )P mối liên hệ m n Từ chọn m n, tìm ( ).P
Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho điểm M(2; 0;1) hai mặt phẳng ( ) ( ) có phương
trình ( ) : x 2y z 0, ( ) : 2 x y z Hãy viết phương trình mặt phẳng ( )P
đi qua M qua giao tuyến hai mặt phẳng ( ) ( ).
Lời giải tham khảo
Phương trình ( ) : (P m x 2y z 4)n x(2 y z 4)0 với m2 n2 0
Vì M(2; 0;1) ( ) : ( P m x 2y z 4)n x(2 y z 4)0
0
m n m n
Chọn m 1 n
Khi đó: ( ) : 1.(P x 2y z 4)1.(2x y z 4)0
( ) : 3P x 3y 2z
BT 1. Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua M qua giao tuyến hai mặt phẳng ( ), ( ). a) M(2;1; 1), ( ) : x y z 0, ( ) : 3 x y z
b) M(0; 0;1), ( ) : 5 x 3y2z 5 0, ( ) : 2 x y z
(72)c) M(1;2; 3), ( ) : 2 x 3y z 0, ( ) : 3 x 2y5z 1
BT 2. Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua giao tuyến hai mặt phẳng ( ) ( ), đồng thời ( )P
song song với mặt phẳng ( ).
a) ( ) : x 4y2z 5 0, ( ) : y4z 5 0, ( ) : 2 x y 190
b) ( ) : 3 x y z 0, ( ) : x 4y 5 0, ( ) : 2 x z
BT 3. Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua giao tuyến hai mặt phẳng ( ) ( ), đồng thời ( )P
vuông góc với mặt phẳng ( ).
( ) : y2z 4 0, ( ) : x y z 0, ( ) : x y z
(73)BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 1. (Đề Tham Khảo – Bộ GD & ĐT năm 2019) Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oxz) có phương trình
A z 0 B x y z C y 0 D x 0
Câu 2. (Đề thi THPT QG năm 2017 – Mã đề 104) Trong khơng gian Oxyz, phương trình
đây phương trình mặt phẳng qua điểm M(1;2; 3) có véctơ pháp tuyến
(1; 2;3)
n
A x 2y3z 120 B x 2y3z 6
C x 2y3z 120 D x 2y3z 6
Câu 3. (Sở GD & ĐT Hà Nội năm 2019) Phương trình mặt phẳng qua A( 1; 3; 5) vng góc
với trục Oz
A y 3 B x 1
C z 5 D x 2y z
Câu 4. (THPT Lê Quý Đôn – Hà Nội năm 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;1;2), (2; 2;1),
B C( 2; 0;1). Phương trình mặt phẳng ( )P qua A vng góc với BC
A 2x y B y 2z 3 C 2x y D y2z 5
Câu 5. (THPT Can Lộc – Hà Tĩnh 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; 3) (3;2;1)
B Mặt phẳng trung trực đoạn AB có phương trình
A x y 2z 1
B 2x y z C x y 2z 1 D 2x y z
Câu 6. Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(1; 0; 0), (0; 2; 0), (0; 0; 3).B C
A 2x 3y 6z 6 B 3x 6y2z 6 C 6x 3y 2z 6 D 2x 6y 3z 6
Câu 7. (Sở GD & ĐT Trà Vinh 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P qua A(1; 3; 4)
song song với mặt phẳng ( ) : 6Q x 5y z Phương trình mặt phẳng ( )P
A 6x 5y z 250
B 6x 5y z 250 C 6x 5y z D 6x 5y z 17
Câu 8. Cho ba điểm A(2; 1;1), (1; 0; 3) B C(0; 2; 1). Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua
trọng tâm G tam giác ABC vng góc với đường thẳng BC
(74)Câu 9. Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A(3;2; 3) ( ) (P Oxy) A ( ) :P z 3 B ( ) :P x 3
C ( ) :P y 2 D ( ) :P x y
Câu 10. (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng năm 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2 2
( ) : (S x 1) (y1) (z 1) 9 Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( )S
điểm M(0; 1; 3)
A y3z 8 B x 2y2z 4 C y3z 8 D x 2y2z 8
Câu 11. (THPT Chuyên Trần Phú – Hải Phòng 2018) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt
phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( ) :S x2 y2 z22x4y6z 2 song song với mặt
phẳng ( ) : 4 x 3y12z 100
A 12 26
4 12 78
x y z
x y z
B 12 26
4 12 78
x y z
x y z
C 12 26
4 12 78
x y z
x y z
D 12 26
4 12 78
x y z
x y z
Câu 12. (THPT Chuyên Thái Bình lần năm 2018) Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( )P qua
(1;1; 3)
H cắt trục tọa độ Ox Oy Oz, , A B C, , (khác O) cho H
trực tâm tam giác ABC Phương trình ( )P
A x y 3z 7 B x y 3z 110
C x y 3z 110 D x y 3z 7
Câu 13. (THPT Chuyên Thái Nguyên năm 2018) Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( )P qua (1;2; 3),
G cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , cho G trọng tâm tam giác ABC Phương
trình mặt phẳng ( )P
A 6x 3y2z180 B 2x 3y6z180 C 6x 3y2z 180 D 3x 2y6z 180
Câu 14. (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định 2018) Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa
hai điểm A(1; 0;1), ( 1;2;2)B song song với trục hồnh Ox có phương trình
A y2z 2 B x 2z 3 C 2y z D x y z
Câu 15. (THPT Chuyên Hà Tĩnh năm 2018) Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa trục Oz
vng góc với mặt phẳng ( ) : x y 2z 1 có phương trình
A x y B x 2y 0
(75)Câu 16. (THPT Chuyên Trần Phú – Hải Phịng năm 2018) Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(1;1;1)
và hai mặt phẳng ( ) : 2P x y 3z 1 0, ( ) :Q y 0 Viết phương trình mặt phẳng ( )R
chứa A, vng góc với hai mặt phẳng ( )P ( ).Q
A 3x 2z B 3x y 2z 4 C 3x 2z 1 0. D 3x y 2z 2
Câu 17. (THPT Đức Thọ – Hà Tĩnh 2018) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(3, 1,2), (4, 1, 1), (2; 0;2)
N P Mặt phẳng (MNP) có phương trình
A 3x 3y z
B 3x 2y z C 3x 3y z D 3x 3y z
Câu 18. (THPT Chuyên Thái Bình lần năm 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
( ) : 3Q x y 4z 2 ( ) : 3Q2 x y 4z 8 Phương trình mặt phẳng ( )P song
song cách hai mặt phẳng ( )Q1 ( )Q2
A ( ) : 3P x y 4z 100
B ( ) : 3P x y 4z 5 C ( ) : 3P x y 4z100 D ( ) : 3P x y 4z 5
Câu 19. (Sở GD & ĐT Hà Tĩnh lần năm 2018) Cho mặt phẳng ( )P qua điểm M(1;2;1) cắt
tia Ox Oy Oz, , A B C, , cho độ dài OA OB OC, , theo thứ tự tạo thành cấp
số nhân có cơng bội Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( )P
A
21 B
21
21
C 3 21
7 D 9 21
Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; 0; 3) mặt phẳng ( )P có phương trình
2 10
x y z Viết phương trình mặt phẳng ( ),Q biết ( )Q song song với ( )P ( )Q
cách M khoảng
A ( ) :Q x 2y z B ( ) :Q x 2y z 100 C ( ) :Q x 2y z 100 D ( ) :Q x 2y z
ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ
1.C 2.C 3.C 4.C 5.A 6.C 7.A 8.D 9.A 10.D
(76)BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 1. Phương trình mặt phẳng qua M(1;2; 5), có véctơ pháp tuyến n(1; 2; 3)
A x 2y 3z 120 B x2y 3z 120
C x 2y5z 120 D x2y3z 6
Câu 2. Phương trình mặt phẳng qua M(3; 9; 1) vng góc với trục Ox
A x 3 B y z
C x y z 11 D x 3
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0;1) B( 1; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng
( )P qua A vng góc với đường thẳng AB
A 3x 3y 2z 8 B 3x 3y 2z 8 C 3x 3y 2z 140 D 3x 3y 2z 140
Câu 4. Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A(0;1; 3) ( ) ( ) : 2P Q x3z 1
A 2x 3z 9 0. B 2x 3z 9 C 2x 3z 3 0. D 2x 3z 3
Câu 5. Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB với A(2; 3; 1), (4; 1;2) B
A 2x 2y 3z 1 B 8x 8y12z 150 C x y z
D 4x 4y 6z 7
Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2; 3) Gọi A, B, C hình chiếu M
các trục Ox, Oy, Oz Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
A 3x 2y z B 2x y 3z 6 C 6x 3y 2z 6 D x 2y 3z 6
Câu 7. Trong khơng gian Oxyz, phương trình mặt phẳng ( )P qua M(3;2;1) cắt trục toạ độ , ,
Ox Oy Oz A B C, , cho M trực tâm tam giác ABC
A ( ) : 3P x 2y z 140 B ( ) :P x y z
C ( ) :
3
x y z
P D ( ) :
3
x y z
P
Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho điểm G( 1; 3;2). Viết phương trình mặt phẳng ( )P cắt ba trục , ,
Ox Oy Oz A B C, , G trọng tâm tam giác ABC
(77)Câu 9. Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm M(1;2; 3) có cặp véctơ phương
(2;1;2), (3;2; 1)
a b
A ( ) : 5P x 8y z B ( ) : 5P x 8y z C ( ) : 5P x 8y z D ( ) : 5P x 8y z
Câu 10. Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(1; 0;2), (1;1;1), (2; 3; 0)B C
A x y z B x y z C x y z D x y 2z 3
Câu 11. Phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm A(2;2; 3) chứa trục Oz có dạng
A ( ) : 2P x 2y 1 B ( ) : 2P x 2z 1 C ( ) :P x y D ( ) :P x y
Câu 12. Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua hai điểm A(1; 0;1) B( 1;2;2), đồng thời song
song với trục Ox
A ( ) :P x y –z 0 B ( ) : –P y z 1 C ( ) : – 2P y z 2 D ( ) :P x 2 – 3z 0
Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1;1; 0), (0;2;1), (1; 0;2), (1;1;1).B C D Viết phương
trình mặt phẳng ( )P qua A B, ( )P song song với đường thẳng CD
A ( ) :P x y z B ( ) : 2P x y z C ( ) : 2P x y z D ( ) :P x y
Câu 14. Cho hai điểm A(2; 4;1), ( 1;1; 3)B mặt phẳng ( ) :P x 3y 2z 5 Hãy viết phương
trình mặt phẳng ( )Q qua hai điểm A B, vng góc với ( ).P
A ( ) : 2Q y 3z 1 B ( ) : 2Q x 3z 110 C ( ) : 2Q y 3z12 D ( ) : 2Q y 3z 110
Câu 15. Cho mặt phẳng ( ) :P1 x2y3z 4 ( ) : 3P2 x 2y z Viết phương trình
mặt phẳng ( )P qua điểm A(1;1;1), vng góc với ( )P1 ( ).P2
(78)D ( ) : 4P x 5y 2z 1
Câu 16. Mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ) : x y z 0, ( ) : x y z đồng
thời cách gốc tọa độ khoảng có phương trình
A ( ) :P x z B ( ) :P x z C ( ) :P x y D ( ) :P y z
Câu 17. Phương trình mặt phẳng ( )P tiếp xúc mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y1)2 (z 3)2 9 điểm (2;1;1)
M
A ( ) :P x 2y z B ( ) :P x 2y 2z 2 C ( ) :P x 2y 2z 8 D ( ) :P x 2y 2z 6
Câu 18. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ),P biết ( )P song song với mặt ( ) : 2Q x 2y z 17 0 ( )P cắt mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y2)2 (z 3)2 25 theo
giao tuyến đường trịn có chu vi
A ( ) : 2P x 2y z B ( ) : 2P x 2y z 17 0 C ( ) : 2P x 2y z D ( ) : 2P x 2y z 17 0
Câu 19. Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm M(1;2; 3) cắt ba tia Ox Oy Oz, , , ,
A B C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ
A 6x 3y 2z 180 B 6x 3y 3z210 C 6x 3y 3z 210 D 6x 3y 2z 180
Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho ( ) : 3P1 x y 4z 2 ( ) : 3P2 x y 4z 8 Phương
trình mặt phẳng ( )P song song cách hai mặt phẳng ( )P1 ( )P2
A ( ) : 3P x y 4z 100
B ( ) : 3P x y 4z 5 C ( ) : 3P x y 4z 100 D ( ) : 3P x y 4z 5
ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ
1.A 2.A 3.B 4.A 5.D 6.C 7.A 8.D 9.A 10.A
(79)§ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
1. Phương trình đường thẳng
Đường thẳng d qua điểm M x y z( ; ; ) có véctơ phương (VTCP) ud ( ; ; )a a a1 2 3 có phương
trình tham số
1
2
3
, ( )
x x a t
y y a t t
z z a t
Điểm M thuộc đường thẳng d M x( a t y1 ; a t z2 ; a t3 )
Nếu a a a1 3
1
x x y y z z
a a a
gọi phương trình tắc d Đặc biệt:
Trục :
0 x t Ox y z
có VTCP i (1; 0; 0) Trục
0 :
0
x
Oy y t
z
có VTCP j (0;1; 0)
Trục
0 : x Oz y z t
có VTCP k (0; 0;1)
2. Vị trí tương đối
a) Vị trí tương đối hai đường thẳng
1
2
3 :
x x a t
d y y a t
z z a t
:
x x a t
d y y a t
z z a t
Phương pháp 1 Xét hệ phương trình với hai ẩn t t, tức xét:
1
2
3
x a t x a t
y a t y a t
z a t z a t
Nếu hệ có nghiệm d d cắt
Nếu hệ có vơ số nghiệm dd
Nếu hệ vơ nghiệm d d d d, chéo
ud ud
d d Nếu ud ud
d d, chéo
Phương pháp 2 Xét M x y z( , , ) d, M x y z( , , ) d ud, ud
d d ad kad
M d
d d ad kad
M d
d cắt d
[ , ]
d d
a ko a
a a MN
d chéo d a ad, d.MN 0
(80)b) Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng
Cho đường thẳng
1
3 :
x x a t
d y y a t
z z a t
mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0
Xét hệ:
1
2
3
(1) (2) (3) (4)
x x a t
y y a t
z z a t
Ax By Cz D
( )
Lấy (1),(2),(3) vào (4)
Nếu ( ) có nghiệm d cắt ( ).
Nếu ( ) có vơ nghiệm d ( ).
Nếu ( ) vô số nghiệm d ( ).
c) Vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu (S)
Cho mặt cầu ( )S có tâm I, bán kính R đường thẳng Để xét vị trí tương đối ( )S ta tính d I( , ) so sánh với bán kính R
Nếu d I( , ) R: không cắt ( ).S
Nếu d I( , ) R: tiếp xúc với ( )S H
Nếu d I( , ) R: cắt ( )S hai điểm phân biệt A B,
3. Khoảng cách
a) Khoảng cách từ M đến d là
, ( , ) d
d
AM u d M d
u
với A d ud VTPT d
b) Khoảng cách hai đường chéo nhau
, ( , )
,
u u AB d d d
u u
với A d B , d
4. Góc
a) Góc hai đường thẳng
Góc hai đường thẳng d1 d2 có VTCP u1 ( ; ; )a b c1 1 1 u2 ( ; ; ).a b c2 2 2
1 2 2
1 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2
cos( ; ) cos
.
u u a a b b c c
d d
u u a b c a b c
với 0 90
b) Góc đường thẳng mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP ud ( ; ; )a b c
mặt ( )P có VTPT n( )P ( ; ; )A B C
( )
( ) 2 2 2 2 2 2
sin cos( ; )
d P
P d
u n aA bB cC
n u
u n a b c A B C
(81)Dạng toán 1: Xác định yếu tố đường thẳng
1. Cho đường thẳng :
1
x y z
d
Đường thẳng d có véctơ phương
A u ( 1;2;1) B u(2;1;0) C u(2;1;1) D u ( 1;2; 0)
2. Cho đường thẳng :
2
x z
d y Tìm
véctơ phương d
A u(1;6;0) B u(2;6;2) C u(2;2;0) D u(2;1;2) Cần nhớ:
1
:x x y y z z
d
a a a
có VTCP ud ( ; ; )a a a1
qua M x y z( ; ; ).
Cần nhớ:
1
: x x y y z z
d
a a a
3. Cho đường thẳng : , ( )
1
x t
d y t
z t
Đường thẳng d có véctơ phương
A u(1;2;0) B u(1;0; 2).
C u(1;2; 2). D u ( 1;2; 0)
4. Cho đường thẳng
1
: , ( )
x
d y t t
z t
Đường thẳng d có véctơ phương
A u1 (0; 3; 1). B u2 (1; 3; 1). C u3 (1; 3; 1).
D u4 (1;2;5)
Cần nhớ:
1
3
: , ( )
x x a t
d y y a t t
z z a t
có VTCP ud ( ; ; )a a a1 2 3 qua M x y z( ; ; ).
Cần nhớ:
1
3
: , ( )
x x a t
d y y a t t
z z a t
có
5. Cho d qua A(3; 0;1), B( 1;2; 3). Đường thẳng d có véctơ phương
A u ( 1;2;1) B u(2;1;0)
C. u(2; 1; 1). D u ( 1;2; 0)
6. Cho hai điểm A(5; 3;6), (5; 1; 5). B Tìm
một véctơ phương đường thẳng AB
A u(5; 2;1). B u(10; 4;1).
C u(0;2; 11). D u(0;2;11)
Véctơ phương véctơ có giá song song nằm đường thẳng d Do đó:
( 4;2;2) 2(2; 1; 1) d
u AB Chọn C.
Véctơ phương
7. Cho điểm M(1;2; 3) Gọi M1, M2 hình chiếu vng góc M lên trục
,
Ox Oy Véctơ véctơ phương đường thẳng M M1 2
A u2 (1;2; 0) B u3 (1; 0; 0)
C u4 ( 1;2; 0)
D u1 (0;2; 0)
8. Cho điểm M( 2; 3; 4). Gọi M1, M2 hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng
(Oxy), (Oyz) Tìm véctơ phương đường thẳng M M1 2
A u2 (2; 3; 0) B u3 (1; 0;2)
C u4 (0; 3; 4).
D u1 ( 2; 0; 4)
(82)
n
B A
P
9. Cho hai mặt phẳng ( ) :P x 2y z ( ) :Q x y Khi giao tuyến d ( )P ( )Q có véctơ phương
A u(1; 1; 3). B u (1;1;0) C u(1; 2;1). D u (1;1; 3).
10. Cho hai mặt phẳng ( ) : 2P x y z 0,
( ) :Q x 2y z Khi giao tuyến ( )P ( )Q có véctơ phương
A u(1;3;5) B u (1; 2;1). C u(2;1; 1). D u ( 1;3; 5).
Có ( )
( )
(1; 2;1) (1;1; 0) P
Q
n n
ud [ ,n n P Q]( ; ; )
11. Cho đường thẳng d vng góc với mặt
phẳng ( ) : 4P x z Tìm véctơ
chỉ phương đường thẳng d
A u(4;1;3) B u (4;0; 1).
C u(4;1; 1). D u (4; 1;3).
12. Cho đường thẳng d vng góc với mặt phẳng
( ) : 2P x y z Tìm véctơ
phương đường thẳng d
A u ( 2; 1; 1) B u (2; 1;1).
C u ( 2;1;1) D u ( 2; 1;1) Giải Vì d ( )P nên (xem hình):
( ) ( ; ; )
d P
u n
Chọn đáp án B.
13. Cho đường :
3
x y z
d
Điểm sau không thuộc d
A N(4; 0; 1). B M(1; 2; 3).
C P(7;2;1) D Q( 2; 4;7).
14. Cho đường thẳng :
1
x y z
d
Điểm sau thuộc đường thẳng d
A Q(1;0;2) B N(1; 2; 0). C P(1; 1; 3). D M( 1;2; 0).
15. Cho đường thẳng
1
: 2 11
x
d y t
z t
Điểm
nào sau thuộc đường thẳng d A M(1; 4;2). B N(1; 4; 9).
C P(1;2;7) D Q(2;2;7)
16. Cho đường thẳng
1
: ( )
x t
d y t t
z t
Biết
( ; 2;1)
A m m d Tìm câu đúng ?
A m ( ; 4). B m [ 4;2)
C m (6;) D m [2;6]
17. Cho đường thẳng
2 :
0
x t
d y t
z
Gọi u VTCP d thỏa mãn u 10 Tọa độ u
A u ( 3;4;0) B u ( 6; 8;0) C u(6; 8; 0) D u (6; 8;0).
(83)Dạng tốn 2: Góc 1 Gĩc hai đường thẳng
Góc hai đường thẳng d1 d2 có véctơ phương u1 ( ; ; )a b c1 1 1 u2 ( ; ; ).a b c2 2 2
1 2 2
1 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2
cos( ; ) cos
.
u u a a b b c c
d d
u u a b c a b c
với 0 90
2 Góc đường thẳng mặt phẳng
Góc đường thẳng d có véctơ phương ud ( ; ; )a b c
mặt phẳng ( )P có véctơ pháp tuyến
( )P ( ; ; )
n A B C xác định công thức:
( )
( ) 2 2 2 2 2 2
( ) sin cos( ; )
d P
P d
d P
u n aA bB cC
n u
u n a b c A B C
với 0 90
1. Tính góc hai đường thẳng 1 : 1
1
x y z
d
1
:
1 1
x y z
d
A 45
B 30 C 60
D 90
Lời giải Ta có:
(1; 1;2) ( 1;1;1) d
d
u u
Áp dụng 1 2
1 cos cos( , )
u u u u
u u
cos
0 90
c
os
SHIFT
Chọn D.
2. Tính góc đường thẳng
3
:
1
x t
d y t
z t
: 1
1 2
x y z
d
A 45
B 30
C 60
D 90
3. Tính góc tạo hai đường thẳng 1
2
:
3
x t
d y t
z
2
1
: , ( , )
x t
d y t t
z t
A 150
B 45
C 60
D 30
(84)4. Gọi d đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : 2P x y z mặt phẳng
( ) :Q x y z Tính đường thẳng d trục Oz
A 45
B 90 C 60 D 30
5. Hãy tìm tham số thực m để số đo góc hai đường thẳng
1
: , ( )
x t
d y t t
z t
1
: , ( )
x t
d y t t
z mt
60
A m 1 B m 1
C
2
m
D
2
m
6. Cho đường thẳng ( ) :
1
x y z
mặt phẳng ( ) :P x y 2z 1 Góc ( ) ( )P
A 30
B 120 C 45 D 60
Giải Ta có
( )
(1;2; 1) (1; 1;2) P
u n
Áp dụng công thức ( )
( )
sin
P
P
u n
u n
sin(1/2) 1
sin 30
2
SHIFT
Chọn đáp án A
7. Cho đường thẳng
2
: , ( ) 5
x t
d y t t
z t
mặt phẳng ( ) : 3P x 4y5z 8 Góc d ( )P
A 30
B 45 C 60
D 90
(85)8. Cho đường thẳng :
1
x y z
mặt phẳng ( ) : 5P x 11y2z 4 Góc ( )
( )P
A 30 B 30
C 60 D 45
9. Cho đường thẳng :
2 1
x y z
mặt phẳng ( ) : 3P x 4y5z 4 Góc ( )
và ( )P
A 90
B 30
C 60
D 45
10. Cho mặt phẳng ( ) : 3P x 4y5z 2 đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng
( ) : x2y 1 mặt phẳng ( ) : x 2z 3 Hãy tính số đo góc d ( ).P
A 30
B 45
C 60
D 90
11. Gọi d1 d2 hình chiếu đường thẳng : 1 1 1
x y z
d mặt phẳng (Oyz)
(Oxz) Hãy tính số đo góc d1 d2
A 30
B 45
C 60
D 90
12. Tính số đo góc ( ) :P x 2y z ( ) :Q x y 2z 1
A 30
B 45
C 60
D 90
(86)Dạng toán 3: Khoảng cách
1. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d qua điểm A có véctơ phương ud xác
định công thức
, ( , ) d
d
AM u d M d
u
Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng
này đến đường thẳng
Khoảng cách đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )P khoảng cách từ điểm
M thuộc đường thẳng d đến mặt phẳng ( ).P Cụ thể: Vì
2 2 ( ) ( ;( )) ( ;( )) axM byM czM d
d P d d P d M P
a b c
với
( ) :
M d
P ax by cz d
2. Khoảng cách hai đường thẳng chéo
Đường thẳng d qua điểm A có véctơ phương ud d qua điểm B có véctơ
phương ud
[ , ] ( , )
[ , ]
d d
d d
u u AB
d d d
u u
1. Khoảng cách từ M(2;0;1) đến đường thẳng :
1
x y z
d
A 2
B
C
D
Học sinh nghe giảng bổ sung lời giải
Ta có: (1;0;2) ( ; ; )
(2;0;1) ( ; ; )
d d
A d AM
M u u
[AM u, ]d ( ; ; ) [AM u, ]d
Áp dụng công thức
[ , ]
( , )
d
d
AM u d M d
u
Chọn đáp án C.
2. Khoảng cách từ M( 2;1; 1) đến đường thẳng : 2
1 2
x y z
d
A 5
B 5
2
C 2
D
3
(87)3. Khoảng cách từ M(0; 1; 3) đến đường thẳng
1
: , ( )
x t
d y t
z t
A
B 14
C
D
4. Khoảng cách từ M với OM k
đến đường thẳng : , ( )
0
x t
y t t
z
A
B C
D
2
5. Khoảng cách từ điểm A(1; 1; 0) đến đường thẳng BC với B(1; 0; 2), (3; 1; 1) C
A 21
B C 2
D 14
2
6. Cho đường thẳng :
2
x y z
d
điểm A(3; 2;4). Biết M a b c( ; ; )d thỏa mãn
0
b độ dài đoạn MA 17 Giá trị a b c
A 12
B 8
C 2
D 20
(88)Dạng tốn 4: Vị trí tương đối
1) Vị trí tương đối hai đường thẳng
1
2
3 :
x x a t
d y y a t
z z a t
1
2
3
:
x x a t
d y y a t
z z a t
Phương pháp 1 Xét hệ phương trình với hai ẩn t t, tức xét:
1
2
3
x a t x a t
y a t y a t
z a t z a t
Nếu hệ có nghiệm d d cắt
Nếu hệ có vơ số nghiệm d d
Nếu hệ vơ nghiệm d d d d, chéo
ud ud d d Nếu ud ud d d, chéo
Phương pháp 2 Xét M x y z( , , ) d, M x y z( , , ) d ud, ud
d d ad kad
M d
d d ad kad
M d
d cắt d
[ , ]
d d
a ko a
a a MN
d chéo d a ad, d.MN 0
2) Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng
Cho đường thẳng
1
2
3 :
x x a t
d y y a t
z z a t
mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0
Xét hệ:
1
2
3
(1) (2) (3) (4)
x x a t
y y a t
z z a t
Ax By Cz D
( )
Lấy (1),(2),(3) vào (4)
Nếu ( ) có nghiệm d cắt ( ).
Nếu ( ) có vơ nghiệm d ( ).
Nếu ( ) vô số nghiệm d ( ).
3) Vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu (S)
Cho mặt cầu ( )S có tâm I, bán kính R đường thẳng Để xét vị trí tương đối ( )S ta tính d I( , ) so sánh với bán kính R
Nếu d I( , ) R: không cắt ( ).S
Nếu d I( , ) R: tiếp xúc với ( )S H
Nếu d I( , ) R: cắt ( )S hai điểm phân biệt A B,
(89)Nhóm Vị trí tương đối đường thẳng & mặt phẳng
1. Cho đường thẳng :
2
x y z
d
mặt phẳng ( ) : 3P x 4y14z 5 Tìm khẳng
định đúng ?
A d ( ).P B d ( ).P
C d ( ).P
D d ( ).P Nếu A( )P d ( ).P
Có thể giải lập hệ
Lời giải Ta có:
( )
( 2;2;1) (3; 4;14) d
P
u n
Xét u n d ( )P 6 140ud n( )P Do d song song nằm ( ).P Xét A(1; 0; 5) d vào ( )P ta
3.1 0 14.( 5) 5 770A( ).P Suy d ( ).P Chọn đáp án B.
2. Cho đường thẳng :
2
x y z
mặt phẳng ( ) : 3P x4y14z 5 Tìm
khẳng định đúng ?
A ( ).P
B ( ).P C ( ).P D ( ).P
3. Cho mặt phẳng ( ) : 3P x 5y z 0 đường thẳng : 12
4
x y z
d Tìm
khẳng định đúng ?
A d ( ).P
B d ( ).P C d ( ).P
D d ( ).P
4. Cho mặt phẳng ( ) :P x y z
a b c đường thẳng d ax: by cz với abc Tìm khẳng
định đúng ?
A d ( ).P
B d ( ).P C d cắt ( ).P
D d ( ).P
(90)5. Biết :
1
x t
d y t
z
nằm mặt phẳng ( ) :P mx 4y z Tìm câu đúng ?
A m ( ; 2)
B m[2;5)
C m[5;11)
D m[11;)
6. Tìm m để đường thẳng : 1
2
x y z
d
nằm ( ) :P x y 6z m 0
A m 20
B m 20 C m D m 10
7. Cho mặt phẳng ( ) :P x2ymz 2 đường thẳng : 1
2
x y z
d
Tìm tham
số m để d ( ).P
A
2
m
B m 0, C m 1 D m
8. Tìm m để đường thẳng
2 :
1
x t
d y t
z t
cắt mặt phẳng ( ) : 2P x my3z m 2
A
2
m
B m 1 C m 1
D
2
m
9. Tìm m để : 10 2
5 1
x y z
d vng góc ( ) : 10P x 2ymz 110
A m 2
B m
C m 52 52
m
(91)10. Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng :
2 1
x y z
d
song song với mặt
phẳng ( ) : 2P x (1 )m ym z2 1
A m { 1; 3} B m 1
C m D Không có m.
NếuA( )P d ( ).P
Giải Ta có d qua A(2;1; 0) ud ( 2;1;1)
( )P có n( )P (2;1 ; m m2)
Vì d( )P ud n( )P u n d ( )P 0
2 2 3 0 1
m m m
m
Mà A(2;1; 0)( )P 2.2 1 2m 1
3
m
nên giá trị cần tìm m 1
11. Cho đường thẳng :
2 1
x y z
d mặt phẳng ( ) :P x 3y2mz 4 Tìm tham
số m để d song song với ( ).P
A m 1
B
2
m
C m 2 D Khơng có m.
12. Cho đường thẳng
2 :
1
x t
d y t
z t
mặt phẳng m x2 2my(63 )m z 5 Tìm tham số
m để d ( ).P
A m 1 B m { 6;1}
C m 6 D Khơng có m.
13. Cho đường thẳng d qua điểm A(0; 0;1) có véctơ phương u(1;1;3) mặt phẳng
( ) : 2 x y z Khẳng định đúng ?
A Đường thẳng d nằm ( ).
B Đường thẳng d có điểm chung với ( ).
C Đường thẳng d vng góc với ( ).
D Đường thẳng d mặt ( ) khơng có điểm chung.
(92)14. Cho đường thẳng
1 : ,
1
x t
d y t t
z t
mặt phẳng ( ) :P x 2y z Tọa độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng ( )P
A A(3; 0; 1). B A(0; 3;1) C A(0; 3; 1). D A( 1; 0; 3).
Giải Gọi A(1t;2t;12 )t d ( )P A( )P
1 t 2(2 t) 2t t
(0; 3; 1)
A
Chọn đáp án C
15. Cho đường thẳng
12 : ,
1
x t
d y t t
z t
mặt phẳng ( ) : 3P x 5y z Tọa độ giao điểm M đường thẳng d mặt phẳng ( )P
A M(0; 0; 2). B M(0;2; 3) C M(0; 0;2) D M(0; 2; 3).
16. Trong khơng gian Oxyz, tìm giao điểm I đường thẳng :
1
x y z
d mặt
phẳng ( ) :P x 4y9z 9
A I(2;4; 1). B I(1;2; 0) C I(1; 0; 0) D I(0; 0;1)
17. Trong khơng gian Oxyz, tìm giao điểm M đường thẳng : 12
4
x y z
d mặt
phẳng ( ) : 3P x 5y z
A M(0; 0; 2). B M(1; 0;1) C M(1;1;6) D M(12;9;1)
18. Trong khơng gian Oxyz, tìm giao điểm M đường thẳng
3
: ,
x t
d y t t
z t
mặt phẳng
( ) : 2P x y z A M(0;2; 4) B M(3; 1; 0)
C M(6; 4; 3) D M(1; 4; 2)
(93)Nhóm Vị trí tương đối đường thẳng & mặt cầu
19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
1 1
x y z
d
mặt cầu
2 2
( ) :S x y z 4x2y210 Số điểm chung d ( )S
A 2 B 1
C 0 D Vô số
Lưu ý: Nếu đề yêu cầu tìm tọa độ, ta t vào M sẽ tìm tọa độ
Lời giải Xét M( 2 t t; ; 3 t) d Thế vào ( )S được:
2
3t 8t16 0 t
3
t d ( )S có điểm chung Chọn đáp án A.
20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2
2
x y z
d mặt cầu
2 2
( ) :S x y (z 2) 9 Tìm tọa độ giao điểm d ( ).S
A. A(2; 3;2)
B A(2; 3;2) A( 2;2; 3).
C A(0; 0;2) A( 2;2; 3).
D A( 2;2; 3).
21. Trong không gian với hệ Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y1)2 (z 2)2 11 Tìm tọa độ điểm A giao điểm mặt cầu ( )S với tia Oz
A A(0; 0;1)
B A(0; 0;1) A(0; 0; 5).
C A(0; 0; 1).
D A(0; 0;1) A(0; 0;5)
22. Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3) tiếp xúc với trục tung
A (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 10
B (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 16 C (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 8 D (x 1)2 (y2)2 (z 3)2 9
23. Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(2; 4;6) tiếp xúc với trục hồnh
A. (x 2)2 (y4)2 (z 6)2 40
B (x 2)2 (y4)2 (z 6)2 52
C (x 2)2 (y4)2 (z 6)2 20 D (x 2)2 (y4)2 (z 6)2 56
(94)24. Phương trình mặt cầu ( )S có tâm A(1; 4; 3) cắt trục Ox hai điểm B C, cho độ dài đoạn thẳng BC
A. (x 1)2 (y4)2 (z3)2 28
B (x 1)2 (y4)2 (z3)2 34
C (x1)2 (y4)2 (z3)2 26 D (x 1)2 (y4)2 (z3)2 19
25. Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(2;3 1) cho mặt cầu ( )S cắt đường thẳng
11 25
:
2
x y z
d
A B để AB 16
A. (x 2)2 (y3)2 (z 1)2 289 B (x 2)2 (y3)2 (z 1)2 17
C (x2)2 (y3)2 (z 1)2 289
D (x 2)2 (y3)2 (z 1)2 280
26. Phương trình mặt cầu ( )S tâm A(1; 4; 3) cắt Oy hai điểm B C, cho tam giác ABC vuông
A. (x 1)2 (y4)2 (z3)2 50 B (x 1)2 (y4)2 (z3)2 34 C (x1)2 (y4)2 (z3)2 16
D (x 1)2 (y4)2 (z3)2 20
27. Cho đường thẳng : 1
1
x y z
d điểm I(1; 0; 0) Phương trình mặt cầu ( )S có tâm
I cắt đường thẳng d hai điểm A B, cho tam giác IAB
A ( ) : 3(S x1)2 3y2 3z2 20
B ( ) : (S x 1)2 y2 z2 4 C ( ) : (S x 1)2 y2 z2 7 D ( ) : (S x 1)2 y2 z2 3
28. Cho đường thẳng :
1
x y z
d điểm I(1;1; 2). Phương trình mặt cầu ( )S có tâm
I cắt đường thẳng d hai điểm A B, cho góc IAB 30
A (x 1)2 (y1)2 (z 2)2 72
B (x 1)2 (y 1)2 (z2)2 36 C (x1)2 (y1)2 (z 2)2 66 D (x 1)2 (y1)2 (z2)2 46
(95)Nhóm Vị trí tương đối đường thẳng & đường thẳng
29. Cho đường thẳng
1 :
3
x t
d y t
z
đường thẳng
3 :
3
x t
d y t
z
với t t, Vị trí tương đối
của d d
A d d B d d
C d cắt d
D d chéo d
Giải Ta có ud (2; 1; 0), ud (2; 1; 0) nên ud ud Do d d song song trùng
Xét hệ
2 1
t t t t
t t t t
có vơ số nghiệm nên
d d
Chọn đáp án B
Lưu ý: Ta giải hệ phương trình ẩn t t, để kết luận vị trí
30. Cho đường thẳng
1 :
x t
d y t
z t
đường thẳng
1 :
2
x t
d y t
z t
với t t, Vị trí tương đối
của d d
A d d
B d d
C d cắt d
D d chéo d
31. Cho đường thẳng :
2
x y z
d
đường thẳng
4
: ( )
x t
d y t t
z t
Vị trí
tương đối d d
A d d
B d d
C d cắt d
D d chéo d
(96)32. Cho đường thẳng
3 :
1
x t
d y t
z t
đường thẳng : 4
3
x y z
d
Vị trí tương đối
của d d
A Chéo
B Cắt
C Cắt
D d d
33. Cho hai đường thẳng 1
1 :
1
x at
d y t
z t
2
1 : 2
3
x t
d y t
z t
với t t, Tìm a để hai đường
thẳng d1 d2 cắt
A a 1 B a
C a 1 D a 2
Giải Xét hệ phương trình
1 (1) 2 (2) (3)
at t
t t
t t
Từ (2), (3), ta có hệ
2 2
2
t t t
t t t
vào (1) 1 2a 1 a Chọn B.
34. Cho đường thẳng :
1
x y z
d
m m
cắt : 3
1
x y z
d
Hỏi giá trị tham
số m có đặc điểm ?
A m
B m
C m
D m
35. Cho đường thẳng 1
1 :
2
x t
d y t
z t
2
2 :
1
x t
d y t
z
Chọn khẳng định đúng ?
A d1 d2 B d1 chéo d2
C d1 cắt d2
D d1 d2
(97)36. Cho :
2
x y z
d
1
:
1
x y z
d
Tìm khẳng định đúng ?
A d1 cắt d2
B d1 d2 C d1d2 D d1 chéo d2
37. Cho 1 :
2
x y z
d
5 :
2
x y z
d
Tìm khẳng định đúng ?
A d1 cắt d2
B d1 d2
C d1d2
D d1 chéo d2
38. Cho 1 :
2
x y z
d
4 12 :
1
x y z
d
Tìm mệnh đề đúng ?
A d1 chéo d2
B d1 d2 C d1 cắt d2
D d1 d2
39. Tìm tọa độ giao điểm :
2
x y z
d
1
:
1
x y z
d
A I(1; 2; 4).
B I(1;2; 4)
C I( 1; 0; 2). D I(6;9;1)
40. Cho hai điểm A(1;2; 3), (2; 3;1)B Tìm tọa giao điểm đường thẳng AB (Oyz)
A I( ;1)1;2 B I(0;1;5)
C I(0;1; 3) D I(0;1; 4)
(98)BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 1. Một véctơ phương đường thẳng :
1
x y z
d
A u ( 1;2;1) B u(2;1;0) C u ( 1;2;0) D u(2;1;1)
Câu 2. (Đề thử nghiệm Bộ GD & ĐT năm 2017) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1
: , ( )
x
d y t t
z t
Véctơ véctơ phương d
A u1 (0; 3; 1).
B u2 (1; 3; 1).
C u3 (1; 3; 1).
D u4 (1;2;5)
Câu 3. Gọi M1, M2 hình chiếu vng góc M(2;5; 4) lên trục Oy mặt phẳng (Oxz) Véctơ véctơ phương đường thẳng M M1 2
A u2 ( 2;5; 4)
B u3 (2; 5; 4).
C u4 (2;5; 4) D u1 ( 2; 5; 4)
Câu 4. Cho đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng ( ) :P x y mặt phẳng
( ) :Q x 2y z Đường thẳng d có véctơ phương
A u(1;1;0) B u(1; 2;1). C u (1;1; 3). D u(1; 1; 3).
Câu 5. Đường thẳng
1 :
x t
d y t
z t
qua điểm ?
A M( 1;2; 3). B N(3;2;1)
C P(1;2; 3) D Q(0; 0; 0)
Câu 6. Cho đường thẳng :
1
x y z
qua điểm M(2; ; ).m n Giá trị mn
A 1 B 7
C 3 D 1
Câu 7. Tính góc đường thẳng
3
:
1
x t
d y t
z t
: 1
1 2
x y z
d
A 45 B 30
C 60 D 90
Câu 8. Góc đường thẳng :
1
x y z
d
mặt ( ) : 5P x 11y2z 4
A. 90 B 30
C 60 D 45
Câu 9. Cho mặt phẳng ( ) :P x 2y z đường thẳng :
3 1
x y z
Khoảng
(99)A 1
6 B
6
C 0 D 2
Câu 10. Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m cho khoảng cách đường thẳng
2 :
3 1
x m y z
mặt phẳng ( ) :P x 2y z Tính tổng
phần tử S
A 2 B 8
C 10 D 10
Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
mặt phẳng
( ) : 3P x 4y14z 5 Tìm khẳng định ?
A. ( ).P B. ( ).P
C. ( ).P D ( ).P
Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
mặt phẳng
( ) : 3P x 4y14z 5 Tìm khẳng định ?
A. ( ).P B. ( ).P
C. ( ).P D ( ).P
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x y z
a b c đường thẳng
:
d ax by cz với abc0 Tìm khẳng định ?
A. d ( ).P B. d( ).P
C. d cắt ( ).P D. d ( ).P
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : , ( )
1
x t
d y t t
z
mặt phẳng
( ) :P mx4y z Tìm tham số m để d nằm ( ).P
A. m 10 B. m 10
C. m 8 D. m 8
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
2
: , ( )
x t
d y t t
z t
mặt phẳng
2
( ) :P m x2my (63 )m z 5 Tìm tham số m để d ( ).P
A m 1 m 6
B m1 m 6
C m1 m 6
(100)Câu 16. Trong khơng gian Oxyz, tìm giao điểm M đường thẳng : 12
4
x y z
d mặt
phẳng ( ) : 3P x 5y z
A M(0; 0; 2). B M(0;2; 3) C M(0; 0;2) D M(0; 2; 3).
Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng : 2
3
x y x
d
2 :
6
x y z
d
Mệnh đề sau là ?
A. d d
B d d C d d, D. d d
Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : 1
2
x y z
d
đường thẳng
2
3 2
:
2
x y z
d
Tìm vị trí tương đối d1 d2
A Cắt B. Song song
C. Chéo D. Vuông góc
Câu 19. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : 1
2
x y z
d
2
2 :
2
x y z m
d Hãy tìm tham số m để d1 d2 cắt
A
7
m B
4
m
C
7
m D
4
m
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2
2
x y z
d mặt cầu
2 2
( ) :S x y (z 2) 9 Tìm tọa độ giao điểm d ( ).S
A. A(2; 3;2)
B A(2; 3;2) A( 2;2; 3).
C A(0; 0;2) A( 2;2; 3).
D A( 2;2; 3).
ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ
1.A 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.B 10.B
(101)BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 1. Cho hai điểm A(2; 3; 4) B(4; 1; 2). Véctơ véctơ phương đường thẳng AB
A u(6;2; 3). B u(3;1; 3).
C u(1; 2;1). D u ( 1;2;1)
Câu 2. Một véctơ phương đường thẳng :
1
x t
d y
z t
A u(1;0; 2). B u(1;2;0) C u ( 1;2;0) D u(1;2; 2).
Câu 3. Gọi M1, M2 hình chiếu vng góc M(2;5; 4) lên trục Ox mặt phẳng (Oyz)
Véctơ véctơ phương đường thẳng M M1 A u3 (2; 0; 4) B u2 ( 2;5; 4)
C u4 (0; 3; 4).
D u1 ( 2; 0; 4)
Câu 4. Cho hai mặt phẳng ( ) : 2P x y z 0, ( ) :Q x 2y z Khi giao tuyến
( )P ( )Q có véctơ phương
A u(1; 2;1). B u(2;1; 1). C u(1;3;5) D u ( 1;3; 5).
Câu 5. Cho đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ) : 4P x z Véctơ
véctơ phương đường thẳng d
A u(4;1; 3) B u(4;0; 1).
C u(4;1; 1). D u(4; 1;3).
Câu 6. Cho đường thẳng :
1
x y z
d
Điểm sau thuộc đường thẳng d
A Q(1; 0;2) B N(1; 2; 0). C P(1; 1; 3). D M( 1;2; 0).
Câu 7. Cho hai đường thẳng :
2
x m y z
d
2 :
x n t
y t
z t
với m n, Biết điểm
(1; 0; 1)
M thuộc hai đường thẳng Tổng mn
A 1 B 1
C 0 D 2
Câu 8. Tính góc tạo hai đường thẳng
2
:
3
x t
d y t
z
1
:
x t
d y
z t
A.150 B 45
(102)Câu 9. Góc đường thẳng :
1
x y z
d
mặt phẳng ( ) :P x y 2z 1
A 30
B 120 C 45 D 60
Câu 10. Cho mặt phẳng ( ) : 2P x 2y z đường thẳng :
2
x y z
Khoảng
cách ( )P
A 1 3 B 2
C 2
3
D 4
Câu 11. Cho đường :
2
x y z
d
mặt ( ) :P x 2y z cắt I Gọi
M d thỏa IM 6 xM 0 Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ).P
A
B 2
C 30
D
Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
x y z
d Xét mặt phẳng
( ) :P x 3y 2mz 4 Tìm tham số m để d song song với ( ).P
A
2
m
B
3
m
C m 1 D m 2
Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
x y z
Xét mặt phẳng ( )P có
phương trình x y z m 0 với m tham số thực Tìm tất giá trị m để đường thẳng song song với mặt phẳng ( ).P
A m 0
(103)Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 3P x 5y z 0 đường thẳng
12 :
4
x y z
d Tìm khẳng định đúng ?
A d ( ).P B d ( ).P C d ( ).P
D d ( ).P
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x y 6z m 0 đường thẳng
1
:
2
x y z
d
Tìm tham số m để d nằm ( ).P
A. m 20 B. m 20
C. m 0
D. m 10
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x2ymz 2 đường
thẳng : 1
2
x y z
d
Tìm tham số m để d ( ).P
A.
2
m
B.
2
m
C. m 1
D. m 2
Câu 17. Trong không gian Oxyz, tìm giao điểm I đường thẳng :
1
x y z
d mặt
phẳng ( ) :P x 4y9z 9
A I(2;4; 1). B I(1;2; 0) C I(1; 0; 0)
D I(0; 0;1)
Câu 18. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai đường thẳng :
2
x y z
d
4
: ( )
x t
d y t t
z t
Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng d d
A d d song song với
B d d trùng
(104)D d d chéo
Câu 19. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
1 :
1
x mt
d y t
z t
1 : 2
3
x t
d y t
z t
với m
tham số thực t t, Tìm m để d cắt d
A m 1 B m 1
C m 0
D m 2
Câu 20. Trong không gian với hệ Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y1)2 (z 2)2 11 Tìm tọa độ điểm A giao điểm mặt cầu ( )S với tia Oz
A A(0; 0;1)
B A(0; 0;1) A(0; 0; 5).
C A(0; 0; 1).
D A(0; 0;1) A(0; 0;5)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 02
1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.D 7.C 8.C 9.A 10.B
(105)Dạng tốn 5: Viết phương trình đường thẳng
Loại 1 Viết phương trình tham số tắc (nếu có) đường thẳng d, biết d qua điểm
( ; ; )
M x y z có véctơ phương ud ( ; ; ).a a a1 2 3
Phương pháp Ta có:
1
Qua ( ; ; ) :
VTCP : d ( ; ; )
M x y z d
u a a a
Tham số
1
2
3
:
x x a t
d y y a t
z z a t
Chính tắc
1
:x x y y z z
d
a a a
(a a a1 3 0)
1. Viết phương trình tham số tắc (nếu có) đường thẳng d, biết d qua điểm
(1;2; 3)
M có véctơ phương ud ( 1;3;5)
Lời giải Ta có : Qua (1;2; 3)
VTCP : d ( 1; 3;5)
M d
u
Tham số
1
: , ( )
3
x t
d y t t
z t
Chính tắc :
1
x y z
d
2. Viết phương trình tham số tắc (nếu có) đường thẳng d, biết d qua điểm
(0; 2;5)
M có véctơ phương ud (0;1;4)
Lời giải
3. Viết phương trình tham số tắc (nếu có) đường thẳng d, biết d qua điểm
(1; 3; 1)
M có véctơ phương ud (1;2; 1).
(106)4. Phương trình đường thẳng d qua hai điểm A(2; 4; 4), ( 2; 2;2) B
A
1
1
8 x t y t z t B
2
2 11 x y t z t C x t y t z t D
3
4 x t y t z t Nhận xét:
5. Phương trình đường thẳng d qua hai điểm A(1;2;5), (5; 4;4)B
A
3
2
1 x t y t z t B
5
1 x t y t z t C
3
4,5 x t y t z t D 1 x t y t z t 6. Phương trình đường thẳng d qua hai điểm A(2; 3; 4), B(0;1; 2)
A
1
x y z
B
1
x y z
C
2 1
x y x
D
1
x y z
7. Phương trình đường thẳng d qua hai điểm A(1;2; 3), B(3; 6;1)
A 2
1
x y z
B
3 1
x y z
C
1
x y z
D 1
1
x y z
(107)8. Viết phương trình trung tuyến AM ABC với A( 2; 2;2), ( 2; 5; 7), (6; 3; 1). B C
A : 1
2
x y z
AM
B : 2
1 11
x y z
AM
C :
2
x y z
AM
D :
3
x y z
AM
Giải Ta có M(2; 4; 4) trung điểm BC
Mà : Qua ( 2; 2;2)
VTCP : 2.(2; 1; 3)
A AM u AM
2 2
:
2
x y z
AM
Loại B, D
Thử đáp án A. :
2
x y z
AM
Vì 2 :
2
AAM
sai Chọn đáp án C
9. Viết phương trình trung tuyến AM ABC với A(3;1;2), B( 3;2;5), C(1;6; 3).
A
1
1
8 x t y t z t B
3
4 x t y t z t C
1
2 x t y t z t D
3
4 x t y t z t 10. Viết phương trình trung tuyến AM ABC với A( 1; 3;2), (2; 0;5), B C(0; 2;1).
A :
2
x y z
AM
B :
2
x y z
AM
C :
2
x y z
AM
D :
1
x y z
AM
11. Viết phương trình trung tuyến AM ABC với A( 2; 2;2), ( 2; 5; 7), (6; 3; 1). B C
A : 1
2
x y z
AM
B : 2
1 11
x y z
AM
C :
2
x y z
AM
D :
3
x y z
AM
(108)12. Cho ba điểm A(0; 1; 3), B(1; 0;1), C( 1;1;2). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A song song với BC
A
2 1
x y z
B 1
2 1
x y z
C 1
2 1
x y z
D
1
2 1
x y z
Giải Có
( Qua (
2 ; 2;2) : 1;1) ; B A d C u :
2 1
x y z
d
Chọn C.
13. Cho tam giác ABC có A(1; 4; 1), (2; 4; 3) B C(2;2; 1). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A song song với BC
A x y t z t B x y t z t C x y t z t D x y t z t 14. Phương trình đường thẳng d qua điểm M(1; 3; 4) song song với trục hoành
A x t y z B x y t C x y y t D x y y t 15. Phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;1; 2) song song với trục Oz
A 1 x t y z B 1 x y z t C 1 x y t z t D 1 x y z t 16. Phương trình đường thẳng d qua điểm M(4; 3;2) song song với trục tung
(109)17. Phương trình đường thẳng qua điểm M(2; 1; 0) song song với đường thẳng
2
:
1
x y z
d
có dạng
A :
1
x y z
B :
5 1
x y z
C :
1
x y z
D :
5 1
x y z
Giải d u ud (1; 2;3). Khi : Qua (2; 1; 0)
(1; 2; 3)
M u :
1
x y z
Chọn đáp án C
18. Phương trình đường thẳng d qua điểm M(3;1; 1) song song với đường thẳng
1
:
2
x y z
A : 1
2
x y z
d
Vẽ hình
B : 1
2
x y z
d
C : 2
3 1
x y z
d
D : 2
3 1
x y z
d
19. Phương trình đường thẳng d qua điểm A(2; 3;1) song song với đường thẳng
1
:
2
x y z
A :
2
x y z
Vẽ hình
B :
2
x y z
C :
2
x y z
D :
1
x y z
20. Phương trình đường thẳng d qua điểm A(3;5;7) :
2
x y z
d d
A
3
5
7 x t y t z t B
3
4 x t y t z t C
2
3 x t y t z t D
2
(110)21. Đường thẳng qua M(3; 1;2) vng góc với mặt phẳng ( ) :P x 2y z có phương trình
A :
1
x y z
B :
1
x y z
C :
1
x y z
D :
1
x y z
Giải Vì ( )P (hình vẽ) nên Ta có
( )
Qua (3; 1;2) :
(1; 2;1)
P
M u n
3
:
1
x y z
Chọn đáp án A
22. Đường thẳng qua A(2; 3; 0) vng góc với mặt phẳng ( ) :P x 3y z có phương trình A 3 x t y t z t B x t y t z t C
1
1 x t y t z t D 3 x t y t z t 23. Đường thẳng qua A(2;1; 5) vng góc với mặt phẳng ( ) :P x 2y2z 3 có phương
trình
A
2
2 x t y t z t B
1
5 x t y t z t C 2
5 x t y t z t D 2 x t y t z t 24. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d qua điểm A(1; 4; 7) vng góc với mặt phẳng
( ) :P x 2y2z 3 Phương trình tắc đường thẳng d
A :
2
x y z
d
B :
4
x z
d y
C :
1 2
x y z
d
D :
1 2
x y z
d
(111)25. Phương trình đường thẳng qua A(1;2; 3) vng góc với mặt phẳng (Oyz)
A
1
2
3 x t y t z t B
2
3 x t y t z t C x t y z D
2
3 x t y t z t 26. Phương trình đường thẳng qua điểm A(2; 1; 3) vng góc với mặt phẳng (Oxz)
A x y t z B x y t z C x y t z D x t y z t 27. Phương trình đường thẳng qua điểm A(2;1; 3) vng góc với mặt phẳng (Oxy)
A x y t z B x t y z t C x y z t D x t y z t 28. Cho điểm A(1; 0;1) mặt phẳng ( ) : 2P x y z Gọi d đường thẳng qua A
vng góc với ( ).P Điểm sau không thuộc đường thẳng d
A Q(5; 2; 3). B N(1;1; 0) C P(3; 1;2). D M( 3;2;1).
29. Cho điểm A(1; 2; 3) mặt phẳng ( ) : 3P x 4y5z 1 Gọi d đường thẳng qua A
và vuông góc với ( ).P Điểm sau thuộc đường thẳng d
A Q(4; 5; 2). B P(5; 10; 13). C N(4; 6; 2).
D M(7; 10; 13).
(112) Loại 2 Viết phương trình tham số tắc (nếu có) đường thẳng d, biết d qua điểm
( ; ; ),
M x y z đồng thời vng góc với hai véctơ a b Phương pháp Ta có:
1
Qua ( ; ; )
:
VTCP : d [ , ] ( ; ; )
M x y z d
u a b a a a
Tham số
1
2
3
:
x x a t
d y y a t
z z a t
Chính tắc
1
:x x y y z z
d
a a a
1
(a a a 0)
1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(2;1; 5), đồng thời vng góc với hai véctơ a (1; 0;1) b(4;1; 1).
A :
1
x y z
d
B :
1
x y z
d
C :
1
x y z
d
D :
2
x y z
d
Ta có (1; 0;1)
(4;1; 1) a b
[ , ]a b ( 1;5;1)
Vì d a d b nên ta có:
Qua (2;1; 5) :
[ , ] ( 1;5;1)
d
M d
u a b
2
:
1
x y z
d
2. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1;2; 3), đồng thời vng góc với hai véctơ a (2; 3; 0) b(3; 4; 0)
A x t y t z t B x y z t
C
3 x t y z t D x y t z 3. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1; 1;2), đồng thời
vng góc với hai véctơ a (1; 4;6) b (2;1; 5).
A
1 14
1 17
2 x t y t z t B x t y t z t C
1
2 x t y t z t D
1
(113)G d
A C
B
4. Trong không gian Oxyz, cho A(1;2; 3), ( 3;5;7), ( 1; 4; 1).B C Viết phương trình đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC
A : 1
2
x y z
d
B : 1
2
x y z
d
C : 1
2
x y z
d
D : 1
2
x y z
d
Giải Ta có G( 1;1; 3) trọng tâm ABC
Mà ( 4; 3;4)
( 2; 6; 4)
AB AC
Vì d (ABC)
nên ud=[AB AC, ]6.(2; 4;5).
Suy : Qua ( 1;1; 3)
(2; 4;5) d G d u
1
:
2
x y z
d
Chọn D.
5. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( 1; 0; 3), B(4; 3; 3). Viết phương trình đường thẳng qua trọng tâm G tam giác OAB vng góc với mặt phẳng OAB
A : 1
3
x y z
Hình vẽ
B : 1
3
x y z
C : 1
3
x y z
D : 1
3
x y z
6. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 4;2) B( 1;2; 4). Viết phương trình d qua trọng
tâm OAB vng góc với mặt phẳng (OAB)
A : 2
2 1
x y z
d
Hình vẽ
B : 2
2 1
x y z
d
C : 2
2 1
x y z
d
D : 2
2 1
x y z
d
7. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 0;1), ( 1;2;1).B Phương trình đường thẳng qua tâm
đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB)
A
1 x t y t z t B x t y t z t
(114)8. Cho ba điểm A(2; 0; 0), (0; 3; 0), (0; 0; 4).B C Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm phương trình tham số đường thẳng OH
A
4
x y z
B
3
x y z
C
6
x y z
D
4
x y z
Giải Vì H trực tâm tam giác ABC OH (ABC) (xem cũ)
9. Cho ba điểm A(3; 0; 0), (0;6; 0), (0; 0;6).B C Phương trình đường thẳng qua trực tâm H
vng góc với mặt phẳng (ABC)
A
2 1
x y z
B 1
2 1
x y z
C 6
2 1
x y z
D 3
2 1
x y z
10. Cho M( 1;1; 3) hai đường thẳng
1
: ;
3
x y z
d 2 :
1
x y z
d
Phương
trình đường thẳng qua M, đồng thời vng góc với d1 d2
A 1 x t y t z t
B
3 x t y t z t C 1 x t y t z t D 1 x t y t z t 11. Cho hai đường thẳng
2
:
2
x y z
d
1
:
1 2
x y z
d
Phương trình đường
thẳng qua A(2; 3; 1) vng góc với hai đường thẳng d d1, 2
A
8
1
7 x t y t z t B
3
(115)n(P) u
d
P
A
12. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(2; 3; 1), đồng thời vng góc với hai đường thẳng
1
2
:
2
x y z
d
1
:
1 2
x y z
d
A
8
1
7 x t y t z t B
3
1 x t y t z t C x t y t z t D x t y t z t
13. Cho hai điểm A(1; 1;1), ( 1;2; 3) B đường thẳng :
2
x y z
Phương trình
đường thẳng A, đồng thời vng góc với hai đường thẳng AB
A
1 1
x y z
Hình vẽ
B 1
7
x y z
C 1
7
x y z
D 1
7
x y z
14. Viết phương trình đường thẳng qua A(2; 1;5), đồng thời song song với mặt phẳng
( ) : 2P x y 2z 1 vng góc với đường :
2
x y z
A
5
x y z
Hình vẽ
B
5
x y z
C
5
x y z
D
2
x y z
15. Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O, vng góc với đường thẳng
1
:
2 1
x y z
d
song song với mặt phẳng ( ) :P x y 2z 5
A :
1
x y z
B :
x y z
C :
1
x y z
D :
x y z
(116)16. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1;1; 2), vng góc với đường thẳng
1
:
2
x y z
d song song với mặt phẳng ( ) :P x y z
A : 1
2
x y z
Hình vẽ
B : 1
2
x y z
C : 1
2
x y z
D : 1
2
x y z
17. Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua M(1; 1;2), song song đồng thời với hai mặt
phẳng ( ) :P x y 2z 1 ( ) :Q x 2y3z 3 có phương trình
A : 1
1
x y z
Hình vẽ
B : 1
1
x y z
C : 1
1
x y z
D :
1
x y z
18. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1;2; 3), đồng thời song
song với hai mặt phẳng ( ) : 2P x 3y 0 ( ) : 3Q x 4y
A
3 x t y z t B x y z t C x y t z D x t y t z t 19. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1; 2; 3), đồng thời song
song với hai mặt phẳng ( ) :P x y z ( ) :Q x y z
(117)20. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng
( ) :P x 2y z ( ) : 2Q x2y3z 110
A :
4
x y z
d
Hình vẽ
B :
4
x y z
d
C :
4
x y z
d
D :
4
x y z
d
Giải Ta có: ( )
( )
(1;2;1) (2; 2; 3)
P Q n n
Từ hình ud [n( )P ,n( )Q ](4; 5;6).
Tìm M d ( ) ( )P Q cách chọn
1
x vào ( ), ( )P Q hệ:
2
2 13
y z y
y z z
(1;2; 3) M
nên d có dạng:
1
:
4
x y z
d
Chọn B.
21. Trong không gian Oxyz, gọi d giao tuyến hai mặt phẳng ( ) :P x3y z
( ) :Q x y z 0 Phương trình tham số đường thẳng d
A 2 x t y t z t B 2 x t y t z t C 2 x t y t z t D 2 x t y t z t 22. Trong không gian Oxyz, gọi giao tuyến hai mặt phẳng ( ) :P x y z
( ) : 2Q x 3y z Khi phương trình đường thẳng
A
3
x y z
y
B
3
2
x y z
C
2
x y z
D
3
2
x y z
23 Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng
( ) : x y z ( ) : x 2y3z 8
A : 1
5
x y z
d
B : 1
5
x y z
d
C : 1
5
x y z
d
D : 1
5
x y z
d
(118)24. Viết đường thẳng nằm mặt phẳng ( ) : 2P x y z vng góc với đường
thẳng :
1
x y z
d
Biết qua điểm M(0;1;3)
A :
1 1
x y z
B :
1 1
x y z
C :
1 1
x y z
D :
1 1
x y z
Giải Ta có: ( ) (1; 1; 1)
(1;2; 3)
P d
n u
Hình
( )
Qua (0;1; 3)
:
[ P , ]d 5.(1;1;1)
M
u n u
1
:
1 1
x y z
Chọn B.
25. Viết đường thẳng nằm mặt phẳng ( ) :P x 2y z vng góc với đường
thẳng :
2
x y z
d Biết qua điểm M(1;1;1)
A 1
5
x y z
Hình vẽ
B 1
5
x y z
C 1
5
x y z
D
5
x y z
26. Viết đường thẳng nằm mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 1 vng góc với đường
thẳng AB, với A(3;1;2), (4; 0; 3).B Biết qua điểm M(2; 1;3).
A
3
x y z
Hình vẽ
B
3
x y z
C
3
x y z
D 1
3
x y z
27. Viết đường thẳng nằm mặt phẳng ( ) : 2P x y z song song với mặt phẳng
( ) :Q x 2y2z 1 Biết qua điểm M(1;1;1)
A : 1
4
x y z
Hình vẽ
B : 1
4
x y z
C : 1
4
x y z
D : 1
4
x y z
(119) Loại 3 Viết phương trình đường thẳng liên quan đến chữ “cắt” PP Tìm điểmcắt
1. Cho đường thẳng : 2,
1 1
x y z
mặt phẳng ( ) :P x 2y2z 4 Phương trình
đường thẳng d nằm ( )P cho d cắt vng góc với đường thẳng
A
3 x t y t z t B 2 x t y t z t C
3
4 x t y t z t D
3
3 x t y t z t
Giải Ta có: (1;1; 1)
(1;2;2) P u n
Từ hình vẽ, ta có ud n u P, d ( 4; 3; 1).
Tìm điểm M t( ;1t;2 t) ( )P M ( )P
2(1 ) 2(2 )
t t t
2 ( 2; 1; 4)
t M d
(Xem hình vẽ)
Qua ( 2; 1; 4) :
( 4; 3; 1)
d M d u
:
4
x t
d y t
z t
Chọn đáp án C.
2. Viết phương trình đường thẳng d, biết d nằm ( ) : 2P x y 2z 3 0, đồng thời d cắt vng góc với đường :
1
x y z
A x t y z t B x t y z t C x t y t z t D x t y z t 3. Viết phương trình đường thẳng d, biết d nằm ( ) :P x 2y z 0, đồng thời d
cắt vuông góc với đường
1
:
2
x t
d y t
z t
A
5
x y z
B 1
5
x y z
C 1
5
x y z
D 1
5
x y z
(120)4. Viết phương trình đường thẳng d qua M(2;1; 0), đồng thời d cắt vng góc với đường thẳng : 1
2 1
x y z
A
2
1
2 x t y t z t B x t y t z t C
1
2 x t y t z t D 2 x t y t z t
Giải Gọi I t(2 1;t 1; t) d nên I d Ta có (2 1; 2; )
( 2; 1; 1)
MI t t t
u
từ hình vẽ, có MI u
MI u
(2t1).2 (t 2).1 ( ).( 1)t 0
2
(2;1;0), ; ;
3 3
t M MI
Qua (2;1;0)
:
; ; (1; 4; 2)
3 3
d M d u MI
:
2
x t
d y t
z t
Chọn đáp án A.
5. Viết phương trình đường thẳng d qua A(1;2; 3), đồng thời d cắt vng góc với trục hoành
Ox A 3 x y z t B
2
3 x y t z t C 3 x t y z t D 3 x y z t 6. Viết phương trình đường thẳng d qua A(3; 4;7), đồng thời d cắt vuông góc với trục tung
Oy A 7 x t y z t B
4
7 x y t z t C 3 7 x t y z t D 3
4
(121)7. Cho điểm A(1; 0;2) đường thẳng : 1
1
x y z
d Viết phương trình đường thẳng qua A, vng góc cắt d
A
1 1
x y z
B
1 1
x y z
C
2
x y z
D
1
x y z
8. Cho điểm A(1; 0;6) đường thẳng : 1
1
x y z
d Viết phương trình đường thẳng qua A, vng góc cắt d
A x 1 y z
B
5 14 23
x y z
C
1
x y z
D
5 14 23
x y z
9. Cho điểm A(1;2; 3) đường thẳng : 1
1
x y z
d
Viết phương trình đường thẳng
đi qua A, vng góc cắt d
A
6
x y z
B
23 19 13
x y z
C
23 19 13
x y z
D
23 19 13
x y z
10. Cho điểm A( 4; 2; 4) đường thẳng : 1
2
x y z
d
Viết phương trình đường
thẳng qua A, vng góc cắt d
A
4
x y z
B 4
3
x y z
C 4
3
x y z
D 4
3
x y z
(122)11. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1; 1; 3), vng góc với đường thẳng
1
4
:
1
x y z
d
cắt đường thẳng
2 1
:
1 1
x y z
d
A 1
2
x y z
B 1
2 1
x y z
C 1
2
x y z
D 1
4
x y z
Lưu ý: d chéo d1 , khơng cắt
Giải Tìm điểm cắt B d2 Gọi B(2 t; t;1 t) d2
( 1; t; 2),
AB t t
1 (1; 4; 2)
d
u
Vì
1
1 d d
d d AB u AB u
1
t
AB (2; 1; 1).
Qua (1; 1; 3)
:
(2; 1; 1)
d
A d
u AB
Chọn B.
12. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(2; 1; 3), vng góc với đường thẳng
1
5
:
4 1
x y z
d
cắt đường thẳng
1 1
:
2
x y z
d
A
1 2
x y z
Vẽ hình
B
1 2
x y z
C
1 2
x y z
D
1 2
x y z
13. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;1; 4), vng góc với đường thẳng
1
10 15
:
7
x y z
d cắt đường thẳng 2 : 1
3
x y z
d
A 1
1 1
x y z
Vẽ hình
B 1
4
x y z
C 1
1 1
x y z
D 1
4
x y z
(123)14. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1; 1; 4), đồng thời d song song với mặt phẳng
( ) :P x 2y2z 150 d cắt đường thẳng : 1
3
x y z
A 1
2
x y z
Vẽ hình
B 1
4 1
x y z
C 1
4 1
x y z
D 1
2
x y z
15. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M( 1; 4; 2), đồng thời d song song với mặt
phẳng ( ) :P y z 20190 d cắt đường thẳng :
5
x y z
A
17 6
x y z
Vẽ hình
B
4 1
x y z
C
17 6
x y z
D
4 1
x y z
16. Viết phương trình đường thẳng d nằm ( ) :P x y z 0, đồng thời d cắt
1
6 10
:
2
x y z
d
vng góc với
1
:
1
x y z
d
A
3
x y z
Hình vẽ
B
62 22 25
x y z
C
3
x y z
D
3
x y z
17. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 0; 0),B(0; 3; 0) C(0; 0; 4). Gọi H trực tâm tam
giác ABC Phương trình tham số đường thẳng OH
A x t y t z t B
2
(124)BÀI TẬP VỀ NHÀ 01
Câu 1. Phương trình đường thẳng d qua hai điểm A(1;2; 3), B(3; 6;1)
A 2
1
x y z
B
1
3 1
x y z
C
1
x y z
D
3 1
1
x y z
Câu Viết phương trình trung tuyến AM ABC với A(3;1;2), B( 3;2;5), C(1;6; 3).
A
1
1
8 x t y t z t B
3
4 x t y t z t C
1
2 x t y t z t D
3
4 x t y t z t
Câu 3. Cho ba điểm A(0; 1; 3), B(1; 0;1), C( 1;1;2). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm
A song song với BC
A
2 1
x y z
B 1
2 1
x y z
C
2 1
x y z
D
1
2 1
x y z
Câu Phương trình đường thẳng d qua điểm M(1; 3; 4) song song với trục hoành
A x t y z B x y t z C x y y t D x y y t
Câu 5. Phương trình đường thẳng qua điểm M(2; 1; 0) song song với đường thẳng
2
:
1
x y z
d
có dạng
A
1
x y z
B
2
5 1
x y z
C
1
x y z
D
2
5 1
x y z
(125)A
1
x y z
B
3
1
x y z
C
1
x y z
D
1
x y z
Câu 7. Phương trình đường thẳng qua A(1;2; 3) vng góc với mặt phẳng (Oyz)
A
1
2
3 x t y t z t B
2
3 x t y t z t C x t y z D
2
3 x t y t z t
Câu 8. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(2;1; 5), đồng thời
vng góc với hai véctơ a (1; 0;1) b (4;1; 1).
A
1
x y z
B
2
1
x y z
C
1
x y z
D
1
2
x y z
Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho A(1;2; 3), ( 3;5;7), ( 1; 4; 1).B C Viết phương trình đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC
A 1
2
x y z
B
1
2
x y z
C 1
2
x y z
D 1
2
x y z
Câu 10. Cho ba điểm A(2; 0; 0), (0; 3; 0), (0; 0; 4).B C Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm phương trình tham số đường thẳng OH
A
4
x y z
B 3
x y z
C
6
x y z
D
4
x y z
Câu 11. Cho M( 1;1; 3) hai đường thẳng 1 : 1;
3
x y z
d 2 :
1
x y z
d
Phương
trình đường thẳng qua M, đồng thời vng góc với d1 d2
A 1 x t y t z t
B
(126)Câu 12. Viết phương trình đường thẳng qua A(2; 1;5), đồng thời song song với mặt phẳng
( ) : 2P x y 2z 1 vng góc với đường :
2
x y z
A
5
x y z
B
2
5
x y z
C
5
x y z
D
5
2
x y z
Câu 13. Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua M(1; 1;2), song song đồng thời với hai mặt phẳng ( ) :P x y 2z 1 ( ) :Q x 2y3z 3 có phương trình
A 1
1
x y z
B
1
1
x y z
C 1
1
x y z
D
1
x y z
Câu 14. Trong không gian Oxyz, phương trình phương trình mặt phẳng qua điểm
(1; 3;1)
M vng góc với đường thẳng : 1
3
x y z
d
A 3x 2y z
B 3x 2y z C 3x 2y z 100 D 3x2y z 100
Câu 15. Phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng : 1;
2
x y z
d đồng thời vng góc với mặt phẳng ( ) : 2Q x y z
A ( ) :P x 2 – 1y 0 B ( ) :P x 2y z C ( ) :P x 2 – 1y 0 D ( ) :P x 2y z
Câu 16. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng
( ) :P x 2y z ( ) : 2Q x 2y3z 110
A
4
x y z
B
4
x y z
C
4
x y z
D
4
x y z
Câu 17. Viết đường thẳng nằm mặt phẳng ( ) : 2P x y z vng góc với đường
thẳng :
1
x y z
d
Biết qua điểm M(0;1;3)
A :
1 1
x y z
B
1
:
1 1
x y z
C :
1 1
x y z
D
1
:
1 1
x y z
(127)Câu 18. Cho đường thẳng : 2,
1 1
x y z
mặt phẳng ( ) :P x 2y2z 4 Phương trình
đường thẳng d nằm ( )P cho d cắt vng góc với
A
3 x t y t z t B 2 x t y t z t C
3
4 x t y t z t D
3
3 x t y t z t
Câu 19. Phương trình đường thẳng d qua A(1;2; 3), đồng thời d cắt vng góc với Ox
A 3 x y z t B
2
3 x y t z t C 3 x t y z t D 3 x y z t
Câu 20. Viết phương trình đường thẳng d nằm ( ) :P x y z 0, đồng thời d cắt
1
6 10
:
2
x y z
d
vng góc với
1
:
1
x y z
d
A
4
3
2 x t y t z t B 62
3 22
2 25 x t y t z t C
3
2 x t y t z t D
3
2 x t y t z t
ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 01
1.A 2.C 3.A 4.A 5.C 6.A 7.C 8.A 9.D 10.C
11.D 12.A 13.A 14.D 15.C 16.B 17.B 18.C 19.B 20.D
BÀI TẬP VỀ NHÀ 02
Câu 1. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình dạng tham số đ ường thẳng d qua điểm
(2; 0; 1)
M có véctơ phương a (4; 6;2).
A
2
:
1
x t
d y t
z t B 2
:
1
x t
d y t
(128)C
2
:
1
x t
d y t
z t D
:
2
x t
d y t
z t
Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 4; 1), (2; 4; 3) B C(2;2; 1). Viết phương trình đường thẳng qua điểm A song song với BC
A x y t z t B x y t z t C x y t z t D x y t z t
Câu 3. Trong khơng gian Oxyz, phương trình sau phương trình tắc đường thẳng
đi qua hai điểm A(1;2; 3) B(3; 6;1).
A 2
1
x y z
B
1
3 1
x y z
C
1
x y z
D
3 1
1
x y z
Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A( 1; 3;2), (2; 0;5) B C(0; 2;1). Viết phương trình đường trung tuyến AM tam giác ABC
A
2
x y z
B
1
2
x y z
C
2
x y z
D
2
1
x y z
Câu 5. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(2; 3;1) song
song với đường thẳng : 1
2
x y z
A
2
x y z
B
2
2
x y z
C
2
x y z
D
2
1
x y z
Câu 6. Trong khơng gian Oxyz, phương trình phương trình đường thẳng qua
điểm A(2; 3; 0) vng góc với mặt phẳng ( ) :P x 3y z
A 3 x t y t z t B x t y t z t C
1
(129)Câu 7. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng qua điểm A(2; 1; 3) vng góc với mặt phẳng (Oxz)
A x y t z B x y t z C 1 x y t z D x t y t z
Câu 8. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình tham số đường thẳng qua A(1;2; 2) vng
góc với mặt phẳng ( ) :P x2y 3
A
1
2
2 x t y t z t B
2
2 x t y t z t C
2
2 x t y t z D
2
2 x t y t z
Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 4;2) B( 1;2; 4). Viết phương trình d qua trọng tâm OAB vng góc với mặt phẳng (OAB)
A : 2
2 1
x y z
d
B
2
:
2 1
x y z
d
C : 2
2 1
x y z
d D : 2
2 1
x y z
d
Câu 10 Cho điểm M( 1;1; 3) hai đường thẳng : 1;
3
x y z
:
1
x y z
Viết phương trình đường thẳng qua M, vng góc với
A 1 x t y t z t
B
3 x t y t z t C 1 x t y t z t D 1 x t y t z t
Câu 11. Viết phương trình đường thẳng qua B(2; 1;5), đồng thời song song với mặt phẳng
( ) : 2P x y 2z 1 vng góc với đường :
2
x y z
A
5
x y z
B
2
5
x y z
C
5
x y z
D
5
2
x y z
(130)Câu 12. Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua điểm M(1; 1;2), song song đồng thời với hai mặt phẳng ( ) :P x y 2z 1 ( ) :Q x 2y3z 3 0có phương trình
A 1
1
x y z
B
1
1
x y z
C 1
1
x y z
D
1
x y z
Câu 13. Trong không gian Oxyz, gọi giao tuyến hai mặt phẳng ( ) :P x y z
( ) : 2Q x 3y z Khi phương trình đường thẳng
A
3
x y z
y
B
3
2
x y z
C
2
x y z
D
3
2
x y z
Câu 14. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O, vng góc với
1
:
2 1
x y z
d
song song với mặt phẳng ( ) :P x y 2z 5 A
1
x y z
B 1
x y z
C
1
x y z
D 1
x y z
Câu 15. Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng ( )P để d cắt vng góc với đường
thẳng , với ( ) :P x 2y2z 4 :
1 1
x y z
A
3
:
1
x t
d y t
z t B
:
2
x t
d y t
z t C
:
4
x t
d y t
z t D
: 3
3
x t
d y t
z t
Câu 16. Trong không gian Oxyz, viết đường thẳng nằm mặt phẳng ( ) : 2P x y z
và vng góc với đường thẳng :
1
x y z
d
Biết qua điểm M(0;1;3)
A
1 1
x y z
B
1
1 1
x y z
C
1 1
x y z
D
1
1 1
x y z
Câu 17. Cho điểm M(1; 1; 4), đường : 1
3
x y z
mặt ( ) :P x 2y2z150 Viết
phương trình đường thẳng d qua điểm M, song song với ( )P cắt
A. 1
4 1
x y z
B.
1
4
x y z
1
(131)Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 0; 0),B(0; 3; 0) C(0; 0; 4). Gọi H trực tâm tam giác ABC Phương trình tham số đường thẳng OH
A x t y t z t B
2
3 x t y t z t C x t y t z t D x t y t z t
Câu 19. Cho hai đường thẳng 1 : 4
1
x y z
d
2
:
1 2
x y z
d
Viết phương
trình đường thẳng đường vng góc chung hai đường thẳng d1 d2
A.
8
x y z
B.
4
9
x y z
C.
2
x y z
D
2
x y z
Câu 20. Cho hai đường thẳng
2
:
1 1
x y z
d
:
2 x t d y z t
Viết phương trình d
đoạn vng góc chung d1 d2
A
2
1
2 x t y t z t B
1
2 x t y t z t C
1
2 x t y t z t D
1
2 x t y t z t
ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 02
1.A 2.D 3.A 4.A 5.A 6.B 7.A 8.D 9.B 10.D
11.A 12.A 13.B 14.D 15.C 16.B 17.D 18.C 19.C 20.D
BÀI TẬP VỀ NHÀ 03
Mẫu 1 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x y z 100, điểm A(1; 3;2) đường
thẳng : 1
2 1
x y z
d
Tìm phương trình đường thẳng cắt ( )P d
hai điểm M N, cho A trung điểm đoạn MN.
A
7
x y z
B
6
7
x y z
C
7
x y z
D
6
7
x y z
(132)Đặt : 1 (2 2; 1; 1)
2 1
x y z
d t N t t t d
Vì A trung điểm MN nên:
2 2
M A N M A N M A N
x x x
y y y
z z z
Suy
2.1 (2 2)
2.3 ( 1) (4 ; ; ) ( ) : 10
2.2 ( 1)
M M M
x t t
y t t M t t t P x y z
z t t
2.(4 ) (5t t) (3 t) 10 t M(8;7;1)
N( 6; 1; 3). Khi : Qua ( 6; 1; 3)
VTCP : (14; 8; 2) 2.(7; 4; 1)
N u NM
: x 7 y4 z13 Chọn A.
Nhớ Học sinh đọc kỹ lời giải làm lại tương tự, rút ngắn cách làm Đề mở rộng
NAk AM ta sử dụng hai véctơ để tìm M N, , trường hợp k 1
A trung điểm MN, cho trọng tâm hình bình hành
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 1;2), mặt phẳng ( ) :P x y 2z 5 đường
thẳng :
2 1
x y z
d Viết phương trình đường thẳng cắt d ( )P M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN.
A 1
1
x y z
B
1
2
x y z
C 1
2
x y z
D 1
2
x y z
Câu 2. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng :
1
x y z
d
mặt phẳng
( ) : 2P x y 2z 3 Viết phương trình đường thẳng qua A( 1; 0;2) cắt d M, cắt ( )P N cho A trung điểm MN
A
2
3
4 x t y t z t B x t y t z t
C 3
4 x t y t z t D x t y z t
Câu 3. Cho đường thẳng : 1
2
x y z
d
( ) :P x 3y2z 5 Phương trình đường
thẳng qua A(2; 1;1) cắt d M, cắt ( )P N để A trung điểm MN
A x t y t z t B x t y t z t
2
(133)Câu 4. Cho đường thẳng :
1
x y z
d mặt phẳng ( ) :P x 2y z Phương trình đường thẳng qua A(2;1;2) cắt d M, cắt ( )P N cho A trung điểm MN
A 3 x t y t z t B 2 x t y t z t C
1 x t y t z t D x t y z t
Câu 5. Cho đường thẳng
2
: ,
3
x t
d y t
z
mặt phẳng ( ) : x y z điểm 2;1;2
3
G
Phương trình đường thẳng cắt d ( ) M N, cho tam giác OMN nhận G làm trọng tâm
A x y t z t B
1
3 x t y t z t C x y t z t D.
3
3 x t y t z t
Câu 6. Cho đường thẳng : 1 1,
1
x y z
d
mặt phẳng ( ) : x y z
4 ; 0;1
G
Phương trình đường thẳng cắt d ( ) M N, cho tam giác OMNnhận G làm trọng tâm
A
1
1
3 x t y t z t
B
2
x y z
C x y t z t
D 1
2
x y z
Câu 7. Cho đường thẳng
2
: ,
4
x t
d y t
z t
mặt phẳng ( ) : x y z hai điểm C( 1; 0; 3),
( 2; 1;2)
D Phương trình đường thẳng cắt d ( ) A B, cho tứ giác
ABCDlà hình bình hành
A 1 x y t z t
B
1 1
x y z
(134)C
1
3
x t
y t
z t
D
1 1
x y z
Câu 8. Cho đường thẳng
1
: ,
5
x t
d y t
z t
mặt phẳng ( ) : x y z hai điểm C(2; 0;7),
( 1; 5;5)
D Phương trình đường thẳng cắt d ( ) A B, cho tứ giác
ABCDlà hình bình hành
A
1
1
9
x t
y t
z t
B
1 1
x y z
C
1
1
5
x t
y t
z t
D
3
x y z
Mẫu 2 Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm M(1;2; 3) cắt ba tia
, ,
Ox Oy Oz A B C, , cho thể tích tứ diện OABC nhỏ
A 6x 3y2z 180 B 6x 3y3z21
C 6x 3y3z 210 D 6x 3y2z 18
Lời giải tham khảo
Ta có: (ABC) :x y z
a b c
Cauchuy
1
(1;2; 3) ( )
M ABC
a b c abc
1
162 27
6
OABC
abc V abc
Dấu " "
a b c
162 3;
9
a b
abc
c
( ) : 18
3
x y z
ABC x y z
Chọn đáp án D
Cần nhớ: Phương trình mặt phẳng đoạn chắn ( ) :P x y z
a b c
Câu 9. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm M(9;1;1), cắt tia
,
Ox Oy, Oz A B C, , cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ
A
27 3
x y z
B
9 1
x y z
C
27 3
x y z
D
27 3
x y z
.
6
O ABC
abc
V ( , , a b c0)
M trực tâm ABC OM (ABC)
2 2
1 1
OA OB OC OM
(135)Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) qua điểm M(1;2;1) cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , cho độ dài OA OB OC, , theo thứ tự tạo thành cấp số nhân có cộng bội Tính khoảng cách từ gốc tọa độ tới mặt phẳng ( ).
A 4 21
21 B
21 21
C 3 21
7 D 9 21
Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 Một mặt phẳng ( ) tiếp xúc với
( )S cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , Giá trị biểu thức 12 12 2
OA OB OC
A. B.
3
C.
9 D.
Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 4;9) Gọi ( )P mặt phẳng qua M cắt ba tia
, ,
Ox Oy Oz điểm A B C, , (khác O) cho (OA OB OC) đạt giá trị nhỏ Mặt phẳng ( )P qua điểm ?
A (12; 0; 0) B (0; 0;12) C (6; 0; 0) D (0;6; 0)
Câu 13. Cho đường thẳng :
2
x y z
d
hai điểm A(2;1; 0), B( 2; 3;2). Phương trình mặt cầu
( )S qua hai điểm A, B có tâm thuộc đường thẳng d
A. (x 1)2 (y1)2 (z 2)2 17
B. (x1)2 (y1)2 (z 2)2 9
C. (x1)2 (y1)2 (z2)2 5
D (x 1)2 (y1)2 (z 2)2 16
Câu 14. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( ) : 2P x 6y z cắt trục Oz đường thẳng
5
:
1
x y z
d
A B Phương trình mặt cầu đường kính AB A (x 2)2 (y1)2 (z 5)2 36
B (x2)2 (y1)2 (z5)2 9 C (x 2)2 (y1)2 (z 5)2 9 D (x 2)2 (y1)2 (z 5)2 36
Câu 15. Cho mặt phẳng ( ) :P x 2y z đường thẳng :
2
x y z
(136)A.
5
x y z
B 1
5
x y z
C 1
5
x y z
D 1
5
x y z
Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1;0) đường thẳng : 1
2 1
x y z
Phương
trình tham số đường thẳng d qua M, cắt vng góc với
A
2
1
2
x t
y t
z t
B
2
1
x t
y t
z t
C
1
1
2
x t
y t
z t
D
2
1
x t
y t
z t
Câu 17. Cho điểm A(1; 0;2) đường thẳng : 1
1
x y z
d Viết phương trình đường thẳng qua A, vng góc cắt d
A
1 1
x y z
B
1 1
x y z
C
2
x y z
D
1
x y z
Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0) C(0; 0; 4). Gọi H trực tâm tam giác ABC Phương trình tham số đường thẳng OH
A
6
x t
y t
z t
B
6
2
3
x t
y t
z t
C
6
4
3
x t
y t
z t
D
6
4
1
x t
y t
z t
ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 03
1.C 2.A 3.A 4.A 5.A 6.D 7.B 8.C 9.C 10.C
(137)Dạng tốn 6: Hình chiếu, điểm đối xứng toán liên quan (vận dụng, vận dụng cao)
Tìm M giao điểm o o o
1
:x x y y z z
d
a a a
( ) :P axbycz d
Đặt o o o
1
x x y y z z
t
a a a
1 o o o
( ; ; )
M a t x a t y a t z d
Vì d ( )P M M ( )P t M
Tìm hình chiếu điểm M lên mặt phẳng ( ),P điểm M lên đường thẳng d
Cần nhớ: “Cho đường viết mặt, cho mặt viết đường tìm giao điểm” Tìm H hình chiếu M lên mặt ( ).P
Tìm M điểm đối xứng với M qua ( ).P
Tìm hình chiếu H M lên đường d Tìm M điểm đối xứng với M qua d
Viết đường
( )
Qua
:
VTCP : MH P
M MH
u n
Hình chiếu H giao điểm MH ( ).P
Điểm M đối xứng với M qua ( )P thỏa mãn H trung điểm MM
Viết mặt phẳng
( )
Qua
( ) :
VTPT : P d
M P
n u
Hình chiếu H giao điểm d ( ).P
Điểm M đối xứng với M qua d thỏa mãn
H trung điểm MM
Tìm phương trình mặt cầu ( )S đối xứng với mặt cầu ( )S qua mặt ( )P qua đường d
Tìm mặt cầu ( )S đối xứng với ( )S qua ( )P Tìm mặt cầu ( )S đối xứng với ( )S qua d
Ta ln có R R
Tâm I điểm đối xứng I qua ( ).P
Ta ln có R R
Tâm I điểm đối xứng I qua d
Cần nhớ: Hình chiếu điểm đối xứng qua trục, mặt phẳng tọa độ gốc tọa độ:
“Hình chiếu thiếu cho – Đối xứng thiếu đổi dấu đó”
P
H M
M'
d
M' M
P H
H
(S') (S)
I' I
(S') (S)
d
H I'
I
( )P
n ud
(138) Tìm phương trình hình chiếu đường thẳng liên mặt phẳng
a) Tìm phương trình hình chiếu đường thẳng d lên mặt phẳng (P)
PP1 Tìm hình chiếu d giao tuyến mặt PP2 Tìm giao điểm hình chiếu lên (P)
Viết mặt ( )Q chứa d vng góc với ( ) :P
( ) ( )
Qua
( ) :
VTPT : Q [ ,d P ]
M d
Q
n u n
Hình chiếu d xuống ( )P đường thẳng
,
d giao tuyến ( )P ( ).Q
Tìm A d ( ).P
Chọn M d, (M A)
Tìm hình chiếu B điểm A lên ( ).P
Hình chiếu d qua A B,
Lưu ý Nếu d( )P dd M d Khi
đó hình chiếu B M lên ( )P thuộc d
b) Tìm phương trình d’ đối xứng đường thẳng d qua mặt phẳng (P)
Nếu d ( )P Nếu d ( )P I
Lấy M d
Tìm H hình chiếu M lên ( ).P
Tìm M đối xứng với M qua ( ).P
Khi :
: d d
Qua M d
VTCP u u
Lấy M d
Tìm H hình chiếu M lên ( ).P
Tìm M đối xứng với M qua ( ).P
Khi :
: d Qua M d
VTCP u IM
(139)1. Giao điểm :
1
x y z
d
mặt phẳng ( ) : 2P x y 3z 0
A M2(2; 4;1)
B M3(3; 4;1).
C M1(2; 4; 0).
D M4(3; 4; 0)
Lưu ý Nếu đề cho dạng tham số, ta trực tiếp vào ( )P t M
2. Giao điểm :
1
x y z
d
mặt phẳng ( ) : 2P x y z
A M(2; 1;1).
B M(0; 2;1).
C M(0; 2; 1). D M(2; 2; 1).
3. Giao điểm :
2
x y z
d
mặt phẳng ( ) :P x 2y z
A M(1;2;1) B M(1; 2;1).
C M(1; 1;2).
D M(1;2; 1).
4. Hình chiếu điểm M(3; 0; 1) lên mặt phẳng ( ) :P x y z
A H(2; 1; 0).
B H(4;1; 2).
C H(2;1; 0) D H( 1; 0;2).
5. Hình chiếu điểm M( 1;2; 3) lên mặt phẳng ( ) : 2P x2y z
A H( 2;1; 3).
B H(3; 2;1).
C H(2;1; 3) D H(3;2;1)
6. Hình chiếu điểm M(3;1; 0) lên mặt phẳng ( ) : 2P x 2y z
A H(1;1; 1). B H(1; 2;1). C H(1; 1;1).
D H(1;2; 1).
(140)7. Điểm đối xứng với điểm M(2;1; 1) qua mặt phẳng ( ) :P x 2y2z 3
A M(0; 3; 3)
B M (1; 1; 1)
C M (1; 1;1)
D M (0; 3; 3)
8. Điểm đối xứng với điểm M(4;2;1) qua mặt phẳng ( ) : 4P x y 2z 1
A M ( 4; 0; 3).
B M ( 4; 4; 1).
C M(4;2;1)
D M ( 2; 0;5)
9. Hình chiếu điểm M(1;1; 1) lên đường thẳng : 4
2
x y z
d
A H(2;2; 3)
B H(6;6; 3)
C H(2;1; 3). D H(1;1; 4)
Ta có
2
2
1
2( 1) 2( 1) 1( 1)
x t
y t
t
z t
x y z
(2;2; 3) H
Chọn đáp án A.
10. Hình chiếu điểm M( 1;1;6) lên đường thẳng :
1 2
x y z
d
A H(1; 3; 2). B H(1;17;18) C H(3; 1;2).
D H(2;1; 0)
11. Hình chiếu điểm M(1; 0; 4) lên đường thẳng : 1
1
x y z
d
A H(1; 0;1) B H( 2; 3; 0).
C H(0;1; 1).
D H(2; 1; 3).
(141)12. Điểm đối xứng với điểm M(3;2; 0) qua đường thẳng :
1 2
x y z
d
A M ( 1; 0; 4)
B M(7;1; 1).
C M(2;1; 2).
D M(0;2; 5).
13. Điểm đối xứng với điểm M(2; 0;1) qua đường thẳng :
1
x y z
d
A M(0;1; 3)
B M(1; 3; 0)
C M(0; 0; 3)
D M(3; 0; 1).
14. Hình chiếu vng góc đường thẳng
2
:
1
x t
d y t
z t
lên mặt (Oyz)
A
2
3
0 x t y t z B
3
0 x y t z
C
0 x t y t z D
3
1 x y t z t
Cần nhớ: “Hình chiếu thiếu cho cái 0” (lên trục mp tọa độ)
Cho t 0 A(2; 3;1) d
(0; 3;1) M
hình chiếu A lên mặt (Oyz)
Cho t 1 B(3; 1; 4) d
(0; 1; 4) N
hình chiếu B lên mặt (Oyz)
M N, d hình chiếu d lên mặt (Oyz)
0 Qua (0; 3;1)
: :
: (0;2; 3)
1
x M
d d y t
VTCP MN z t
15. Hình chiếu vng góc đường thẳng : 1
2 1
x y x
d lên mặt (Oxy)
(142)16. Hình chiếu vng góc đường thẳng :
2
x y z
d lên mặt (Oxz)
A x t y z t B x t y z t C x t y z t D x t y z t
17. Hình chiếu vng góc đường thẳng : 1
2
x y z
d lên mặt (Oyz)
A x t y z t B x t y z C x t y t z D x y t z t
18. Đường thẳng đối xứng
7
:
12
x t
d y t
z t
qua mặt phẳng (Oxy)
A
7
3
12 x t y t z t B
3
12 x t y t z t C
3
12 x t y t z t D
3
12 x t y t z t
19. Đường thẳng đối xứng : 1
1 1
x y z
d
qua mặt phẳng (Oxz)
A
1 x t y t z t
B
1 x t y t z t
C
1 x t y z t
D
(143)20. Đường thẳng đối xứng :
2
x t
d y t
z t
qua trục hồnh có phương trình
A
1
4
x t
y t
z t
B
2
x t
y t
z t
C
2
x t
y t
z t
D
1
4
x t
y t
z t
21. Cho mặt phẳng ( ) : 2P x y z đườngthẳng :
2 1
x y z
d
Hình chiếu
của d ( )P cóphương trình
A
2
x y z
B
2
x y z
C
2
x y z
D
2
x y z
22. Cho mặt phẳng ( ) :P x z đườngthẳng : 1
3 1
x y z
d
Hình chiếu d
trên ( )P cóphương trình
A 1
3 1
x y z
B
1 1
x y z
C 1
1 1
x y z
D 1
1
x y z
23. Cho mặt phẳng ( ) :P x y 2z 3 đườngthẳng :
2
x y z
d Hình chiếu
d ( )P cóphương trình
A 1
1
x y z
B 1
3 1
x y z
C 1
3 1
x y z
D 1
1
x y z
(144)24. Cho đường thẳng : 1
1
x y z
d
mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 2 Đường
thẳng d đối xứng với d qua ( )P có phương trình
A
1 x t y t z t
B
1 x t y t z t C. 1 x t y t z t
D
1 x t y t z t
25. Cho đường thẳng
1
:
1 x t d y t
z t
mặt phẳng ( ) :P x3y z Đường thẳng d đối xứng với d qua trục ( )P có phương trình
A x t y t z t B 2 x t y t z t C. x t y t z t D x t y t z t
26. Cho mặt phẳng ( ) : 3P x 5y2z 8 đường thẳng
7
:
6
x t
d y t
z t
Đường thẳng d đối xứng với d qua trục ( )P có phương trình
(145)27. Cho hai đường thẳng 1 : 21
2
x y z
d 2 :
4
x y z
d Phương trình
đường thẳng đối xứng với d1 qua d2
A 9 x t y t z t B 9 x t y t z t C. 9 3 x t y t z t D 9 3 x t y t z t
28. Cho hai đường thẳng
1
:
2
x t
d y t
z t
1
:
2
x t
d y t
z t
Viết phương trình đường thẳng cho d d1, 2 đối xứng qua đường thẳng
A x t y t z t B
2
3 x t y t z t C 2 x t y t z t D
4
4 x t y t z t
29. Cho hai đường thẳng 1 :
1
x y z
d 2 :
1
x y z
d Phương trình đường thẳng đối xứng với d1 qua d2
A x t y t z t B x t y t z t C. x t y t z t D
2
(146)30. Phương mặt cầu ( )S đối xứng với mặt cầu ( ) : (S x 4)2 (y2)2 (z 1)2 2 qua đường
thẳng :
2
x y z
d
A (x 8)2 (y 4)2 (z 3)2
B (x 8)2 (y4)2 (z 3)2
C (x 8)2 (y4)2 (z 3)2 2
D (x 8)2 (y4)2 (z3)2 2
31. Phương mặt cầu ( )S đối xứng với mặt cầu ( ) : (S x1)2 (y2)2 z2 81 qua đường thẳng
1
:
1
x t
d y t
z t
A (x 3)2 (y10)2 (z4)2 81
B (x 3)2 (y10)2 (z 4)2 81
C (x3)2 (y10)2 (z4)2 81
D (x 3)2 (y10)2 (z 4)2 81
32. Phương mặt cầu ( )S đối xứng với mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y9)2 (z 2)2 25 qua đường thẳng
2
:
3
x t
d y t
z t
A (x 3)2 (y1)2 (z 4)2 25
B (x 3)2 (y10)2 (z4)2 25
C x2 y2 z26x2y8z 1
D x2 y2 z2 6x 2y z 100
33. Phương mặt cầu ( )S đối xứng với mặt cầu ( ) : (S x 2)2 (y 6)2 (z 4)2 4 qua mặt phẳng
( ) : 2P x 5y3z 0
A (x 6)2 (y4)2 (z 2)2 4
B (x 3)2 (y2)2 (z1)2 2
C (x6)2 (y4)2 (z 2)2 4
D (x 3)2 (y2)2 (z 1)2 2
(147)34. Phương mặt cầu ( )S đối xứng với mặt cầu ( ) : (S x4)2 (y3)2 (z 5)2 36 qua mặt phẳng ( ) :P x z
A (x 2)2 (y3)2 (z7)2 6
B (x 2)2 (y3)2 (z 3)2 36
C (x 2)2 (y3)2 (z 3)2 6
D (x 2)2 (y3)2 (z7)2 36
35. Phương mặt cầu ( )S đối xứng với mặt cầu ( ) : (S x 4)2 (y9)2 (z1)2 9 qua mặt phẳng
( ) : 7P x 5y8z 230
A (x 10)2 (y1)2 (z 5)2 3
B (x 10)2 (y 1)2 (z 5)2 9
C x2 y2 z2 20x4y10z1260 D x2 y2 z2 20x2y10z1170
36. Phương mặt cầu ( )S đối xứng với mặt cầu ( ) : (S x 3)2 (y1)2 (z7)2 25 qua mặt phẳng
( ) :P x 4y4z 6
A x2 y2 z22x18y2z680
B x2y2 z22x18y2z 680
C (x 1)2 (y9)2 (z 1)2 25
D (x 1)2 (y9)2 (z 1)2 25
37. Phương mặt cầu ( )S đối xứng với mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y3)2 (z4)2 qua mặt phẳng
( ) :P x y
A x2 y2 z2 6x 2y8z 170
B x2y2z26x2y8z 170
C (x 3)2 (y1)2 (z4)2 3
D (x 3)2 (y1)2 (z 4)2 9
(148)BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 1. Trong không gian Oxyz, tọa độ giao điểm đường thẳng :
1
x y z
d
mặt
phẳng ( ) :P x2y z
A M(3;0; 1).
B N(0;3;1)
C P(0;3; 1).
D Q( 1;0;3).
Câu 2. Cho điểm A(2; 1;0), B(3; 3; 1) mặt phẳng ( ) :P x y z Tìm tọa độ giao
điểm M đường thẳng AB với mặt phẳng ( ).P
A M(1;1;1)
B M(4; 5; 2).
C M( 1;3;1).
D M(0;1;2)
Câu 3. Cho hai điểm A(1;2;1) B(4;5; 2) mặt phẳng ( ) : 3P x4y 5z 6 Đường thẳng
AB cắt ( )P điểm M Tính tỷ số MB
MA
A 4
B 2
C 3
D 1
4
Câu 4. Trong không gian với Oxyz, cho đường thẳng
2
:
3
x t
d y t
z t
cắt mặt (Oxy), (Oxz) điểm M N, Độ dài MN
A 3
B 14
C 3
D 4
Câu 5. Tọa độ giao điểm : 2
2
x y z
d mặt cầu ( ) :S x2 y2 (z 2)2 9
A A(2;3;2)
B B( 2;2; 3).
C C(2; 3;2).
D D(0;0;2)
Câu 6. Hình chiếu điểm M(1;2;3) lên mặt phẳng ( ) :P x2y z 120
A H(5; 6;7).
(149)D H( 1;6;1).
Câu 7. Hình chiếu điểm A(2; 1;0) lên mặt phẳng ( ) : 3 x2y z
A M(1;0;3)
B N(2; 2;3).
C P(1;1; 1).
D Q( 1;1; 1).
Câu 8. Điểm đối xứng với điểm M(4;2;1) qua mặt phẳng ( ) : 4P x y 2z 1
A M ( 4; 0; 3). B M ( 4; 4; 1) C M(4;2;1) D M ( 2; 0;5)
Câu 9. Điểm đối xứng với điểm A(3;5;0) qua mặt phẳng ( ) 2P : x3y z
A M( 1; 1;2).
B M(0; 1; 2).
C M(2; 1;1).
D M(7;1; 2).
Câu 10. Hình chiếu điểm A(1;1; 1) lên đường thẳng : 4
2
x y z
d
A N(2;2;3)
B P(6;6;3)
C M(2;1; 3).
D Q(1;1;4)
Câu 11. Hình chiếu điểm M(1;0;4) lên đường thẳng : 1
1
x y z
d
A H(1;0;1)
B H( 2;3;0).
C H(0;1; 1).
D H(2; 1;3).
Câu 12. Điểm đối xứng điểm A(3;2;0) qua đường thẳng :
1 2
x y z
d
A M( 1;0;4).
B N(7;1; 1).
C P(2;1; 2).
D Q(0;2; 5).
Câu 13. Điểm đối xứng điểm M(2; 6; 4 ) qua đường thẳng :
2
x y z
d
(150)D M ( 4; 2; 0)
Câu 14. Phương trình hình chiếu : 1
2 1
x y z
lên mặt phẳng (Oxy)
A x y t z B x t y t z C x t y t z D x t y t z
Câu 15. Hình chiếu vng góc đường thẳng :
2
x y z
d lên mặt (Oxz)
A x t y z t B x t y z t C x t y z t D x t y z t
Câu 16. Đường thẳng đối xứng
7
:
12
x t
d y t
z t
qua mặt phẳng (Oxy)
A
7
3
12 x t y t z t B
3
12 x t y t z t C
3
12 x t y t z t D
3
12 x t y t z t
Câu 17. Cho mặt phẳng ( ) : 2P x y z đường thẳng :
2 1
x y z
d
Hình
chiếu d ( )P cóphương trình
A
2
x y z
B
2
x y z
C
2
x y z
D
2
x y z
(151)Câu 18. Cho mặt phẳng ( ) :P x z đường thẳng : 1
3 1
x y z
d
Hình chiếu
của d ( )P cóphương trình
A 1
3 1
x y z
B
1 1
x y z
C 1
1 1
x y z
D 1
1
x y z
Câu 19. Cho đường thẳng : 1
1
x y z
d
mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 2 Đường
thẳng d đối xứng với d qua ( )P có phương trình
A
1
x t
y t
z t
B
1
x t
y t
z t
C
1
1
2
x t
y t
z t
D
1
x t
y t
z t
Câu 20. Phương mặt cầu ( )S đối xứng với mặt cầu ( ) : (S x 4)2 (y2)2 (z 1)2 2 qua đường
thẳng :
2
x y z
d
A (x 8)2 (y4)2 (z 3)2
B (x 8)2 (y4)2 (z 3)2
C (x 8)2 (y4)2 (z 3)2 2
D (x 8)2 (y4)2 (z 3)2 2
Câu 21. Phương mặt cầu ( )S đối xứng với mặt cầu ( ) : (S x1)2 (y2)2 z2 81 qua đường
thẳng
1
:
1
x t
d y t
z t
A (x 3)2 (y10)2 (z 4)2 81
B (x 3)2 (y10)2 (z4)2 81
C (x 3)2 (y10)2 (z 4)2 81
D (x 3)2 (y10)2 (z 4)2 81
Câu 22. Phương mặt cầu ( )S đối xứng với mặt cầu ( ) : (S x 2)2 (y6)2 (z4)2 4 qua mặt
phẳng ( ) : 2P x 5y3z 0
(152)B (x 3)2 (y 2)2 (z1)2 2
C (x6)2 (y4)2 (z 2)2
D (x3)2 (y2)2 (z 1)2 2
Câu 23. Cho mặt phẳng ( ) : 3P x5y2z 8 đường thẳng
7
:
6
x t
d y t
z t
Đường thẳng d đối xứng với d qua trục ( )P có phương trình
A
17
33
66
x t
y t
z t
B
11
23
32
x t
y t
z t
C
5
13
2
x t
y t
z t
D
13
17
4
x t
y t
z t
Câu 24. Cho hai đường thẳng 1 : 21
2
x y z
d 2 :
4
x y z
d Phương
trình đường thẳng đối xứng với d1 qua d2
A
9
9
5
x t
y t
z t
B
9
9
5
x t
y t
z t
C
9
9
3
x t
y t
z t
D
9
9
3
x t
y t
z t
ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ
1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C 7.D 8.A 9.A 10.A
11.D 12.A 13.D 14.B 15.C 16.B 17.B 18.C 19.B 20.D
(153)Dạng toán 7: Bài toán cực trị số toán khác (vận dụng cao)
Nhóm Tâm tỉ cự
Cho ba điểm A B C, , .
a) Tìm điểm I thỏa mãn .IA.IB .IC 0
A B C
I
A B C
I
A B C
I
x x x
x
y y y
y
z z z
z
(1)
Công thức (1) tương tự điểm điểm
b) Với điểm M, ta có:
.MA.MB .MC ( ).MI
(2)
.MA2 .MB2 .MC2 ( ).MI2 const (3)
Nếu I trọng tâm ABC
Để chứng minh (1), (2), ta sử dụng quy tắc chèn điểm I sử dụng (1)
Ví dụ.(Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2019 – Câu 41) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai
điểm A(2; 2; 4), B( 3; 3; 1) mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 8 Xét M điểm thay đổi
thuộc ( ),P giá trị nhỏ 2MA2 3MB2
A 135 B 105 C 108 D 145
Lời giải tham khảo
Gọi điểm I thỏa mãn 2IA3IB 0 I( 1;1;1)
Ta có: 2MA2 3MB2 5MI2 const nên 2MA2 3MB2 nhỏ M hình chiếu
điểm I( 1;1;1) lên mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 8
Hình chiếu M thỏa mãn
1
1
1 (1; 0; 3)
1
2
x t
y t
t M
z t
x y z
Giá trị nhỏ 2MA2 3MB2 135 Chọn đán án A.
1. Cho ba điểm A(2; 3;7), B(0; 4; 3) C(4;2;5) Biết điểm M x y z( ; ; ) ( Oxy) cho
MAMBMC có giá trị nhỏ Khi tổng P x y z
A 0 B 6
C 3
D 3
(154)2. Cho hai điểm A(1;2;1), B(2; 1;3). Tìm điểm M mặt phẳng (Oxy) cho MA2 2MB2 lớn
A 1; ;
2 M
B M(0;0;5)
C M(3; 4;0).
D 1; 3;
2
M
3. Cho hai điểm A(2; 3;2) B(3;5;4) Tìm toạ độ điểm M trục Oz so cho MA2 MB2 đạt
giá trị nhỏ A M(0;0;49) B M(0;0;67)
C M(0;0;3)
D M(0;0;0)
4. Cho hai điểm A(3;2;1) B( 2;3;6). Điểm M x y z( M; M; M) thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) Tìm
giá trị T xM yM zM MA3MB
nhỏ
A
2
B 2
C 2
D 7
2
5. Cho tam giác ABC với A(1; 0; 0), B(3;2; 4), C(0; 5; 4) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng
(Oxy) cho MAMB2MC
nhỏ
A M(1;3;0)
B M(1; 3; 0). C M(3;1;0) D M(2;6;0)
(155)6. Cho bốn điểm A(2; 3;7), B(0;4;1),,C(3;0;5) D(3; 3;3) Gọi M điểm nằm mặt phẳng
(Oyz) cho biểu thức MAMBMCMD đạt giá trị nhỏ Khi tọa độ M
A (0;1; 4). B (2;1;0) C (0;1; 2).
D (0;1;4)
7. Cho hai điểm A( 2; 3;1), B(5; 6; 2). Điểm M a b c( ; ; ) mặt phẳng (Oxy) cho
2
MA MB đạt giá trị nhỏ Khi a b c
A 1 B 1
C 0
D
2
8. Cho tam giác ABC với A(2;1;3), B(1; 1;2), C(3; 6;1). Điểm M x y z( ; ; ) ( Oyz) cho
2 2
MA MB MC đạt giá trị nhỏ Khi x y z
A 0
B 2 C 6 D 2
9. Cho hai điểm A(1;2;2), B(5; 4; 4) mặt phẳng ( ) : 2P x y z Nếu M thay đổi thuộc
( )P giá trị nhỏ MA2 MB2
A 60
B 50 C 200
3
D 2968
25
(156)10. Cho baA(1;2;3), (0;1;1), (1;0; 2)B C điểm mặt phẳng ( ) :P x y z Gọi M ( )P
sao cho giá trị biểu thức T MA2 2MB2 3MC2 nhỏ Khoảng cách từ M đến mặt phẳng
( ) : 2Q x y 2z
A 2
3
B 121
54
C 24
D 91
54
11. Cho mặt phẳng ( ) :P x y z hai điểm M1(3;1;1), M2(7;3;9) Điểm M a b c( ; ; )( )P
sao cho
1
MM MM đạt giá trị nhỏ Khi a2b3c
A 6
B 6
C 3 D 5
12. Cho ba điểm A( 2;2; 3), B(1; 1;3), C(3;1; 1) mặt phẳng ( ) :P x 2z 8 Gọi M ( )P
sao cho giá trị biểu thức T 2MA2 MB2 3MC2 nhỏ Khoảng cách từ điểm M đến
mặt phẳng ( ) :Q x 2y2z 6
A 4
B 2 C 4
3
D 2
3
13. Cho điểm A(1;2; 0), B(0;1; 5), C(2; 0;1) Gọi M ( ) :P x 2y z Giá trị nhỏ
biểu thức MA2 MB2 MC2
A 36
B 24 C 30 D 29
(157)14. Cho ba điểm A(1;1;1), B(0;1;2), C( 2; 0;1) mặt phẳng ( ) :P x y z Tìm điểm
( )
N P cho S 2NA2 NB2 NC2 đạt giá trị nhỏ
A 3; ;
2 4 N
B N(3;5;1) C N( 2;0;1).
D 3; 1;
2
N
15. Cho A(1;2; 0), B(1; 1; 3), C(1; 1; 1) mặt phẳng ( ) : 3P x3y 2z 150 Gọi
( ;M M; M)
M x y z điểm mặt phẳng ( )P cho 2MA2 MB2 MC2 đạt giá trị nhỏ Giá
trị biểu thức xM yM 3zM
A 5
B 3 C 4 D 6
16. Cho A(1;2; 1), B(5; 0;1), C(3; 1; 2) mặt phẳng ( ) : 3Q x y z Gọi
( ; ; ) ( )
M a b c Q thỏa mãn MA2 MB2 2MC2 nhỏ Tổng a b 5c
A 11
B 9
C 15 D 14
17. Cho đường thẳng :
2 1
x y z
d
hai điểm A(0; 1;3), B(1; 2;1). Tìm tọa độ điểm M
thuộc đường thẳng d cho MA2 2MB2 đạt giá trị nhỏ
A M(5;2; 4).
B M( 1; 1; 1).
C M(1;0; 2). D M(3;1; 3).
(158)18. Cho hai điểm A(3; 2;3), B(1;0;5) đường thẳng :
1 2
x y z
d
Tìm tọa độ điểm
M đường thẳng d để MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ
A M(1;2;3)
B M(2;0;5)
C M(3; 2;7). D M(3;0;4)
19. Cho ba điểm A( 1;1;1), (1;1;2), ( 2;1;1) B C đường thẳng : 1
1
x y z
d Tìm M d
sao cho biểu thức 2MA2 3MB2 4MC2 đạt giá trị nhỏ
A M(1;1; 0)
B M(3;5;2)
C M(5;9; 4) D M(1; 0; 1).
20. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;1;2), ( 2;1;2), ( 5; 3; 3), (1;1; 0).B C D Tìm điểm M
thỏa mãn ba điểm O M D, , thẳng hàng P MA2 3MB2 2MC2 đạt giá trị nhỏ
A M(1;2; 1). B 1; ;1
2 M
C 1; ;
2 M
D M(1;1; 0)
21. Trong không gian Oxyz, cho (1;2; 0), (1; 1; 3), (1; 1; 1), 45; 45 30;
11 11 11
A B C D
Biết điểm
( ; ; )
M a b c thỏa mãn OM DM cho T MB2 MC2 2MA2 đạt giá trị lớn Tổng
2a3b c
A 10 B 11
C 5
D 15
(159)22. Cho bốn điểm A(2;5;1), B( 2; 6;2), C(0;1; 3) M a(2 2b9; ; )a b với a b, Khi
2 2
MA MB MC đạt giá trị nhỏ tổng a2 b2
A a2 b2 9 B a2 b2 10 C a2 b2 17
D a2 b2 8
23. Cho đường thẳng :
1
x y z
d hai điểm A(2;0;3), B(2; 2; 3). Biết điểm
( ; ; )
M x y z thuộc d thỏa mãn MA4 MB4 nhỏ Tìm x A x 1
B x 3 C x 0
D x 2
24. Cho bốn điểm A(2;5;1), B( 2; 6;2), C(1;2; 1) D d d d( ; ; ) với d Tìm d để
2
DB AC
đạt giá trị nhỏ A d
B d C d 1
D d 2
25. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(5;8; 11), B(3;5; 4), C(2;1; 6) mặt cầu
2 2
( ) : (S x 4) (y2) (z 1) 9 Gọi M x y z( M; M; M) điểm ( )S cho biểu thức
MAMBMC đạt giá trị nhỏ Giá trị tổng xM yM
A 4 B 0 C 2
D 2
(160)26. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;2), B( 1;0; 4), C(0; 1;3) điểm M thuộc mặt cầu
2 2
( ) :S x y (z 1) 1 Khi biểu thức MA2 MB2 MC2 đạt giá trị nhỏ độ đài
đoạn AM
A
B C 6 D 2
27. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(4; 4; 4), B(0;4;8), C( 8;0;4) mặt cầu
2 2
( ) : (S x 1) (y2) z 3 Điểm M ( )S cho P 2MA2 MB2 MC2 đạt giá trị
lớn Độ dài đoạn OM
A 3 B 5
2
C 66
3
D 17
28. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;1;1), B(3; 0; 1), C(0;21; 19) mặt cầu
2 2
( ) : (S x 1) (y1) (z1) 1 Điểm M a b c( ; ; ) thuộc mặt cầu ( )S cho biểu thức
2 2
3MA 2MB MC đạt giá trị nhỏ Tổng a b c
A 14
5
B 0 C 12
5
D 12
29. Cho ba điểm A(0; 2;1), ( 2;1;2), ( 5; 3; 3) B C mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 1 Gọi M ( )S
sao cho P MA2 3MB2 MC2 đạt giá trị lớn Giá trị Pmax
A 16 B 9
C 8
D 81
(161)30. Cho hai điểm A(13; 3; 2), (1; 0;1) B hai mặt cầu ( ) :S1 x2 y2 z2 25 mặt cầu
2 2
2
( ) : (S x 5) y z 10 Gọi M nằm đường tròn giao tuyến ( ), ( )S1 S2 thỏa mãn
2 2
2
P MA MB MC đạt giá trị nhỏ Giá trị Pmin
A 18636
B 36 C 16
D 186
31. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu ( ) : (S1 x 1)2 (y2)2 (z 2)2 36
2 2
2
( ) :S x y z 9 điểm A(1;1;1), ( 7; 2; 8), (2;1;1), ( 1;0; 2).B C D Tìm điểm
M nằm mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến hai mặt cầu ( )S1 ( )S2 cho
2 2
2 3
P MA MB MC MD đạt giá tri nhỏ
A M( 1;3; 1).
B M( 9;0;0). C M(1;3; 1). D M( 9;1;1).
32. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x 2)2 (y1)2 (z 2)2 9 hai điểm
( 2; 0; 2),
A B( 4; 4;0). Biết tập hợp điểm M thuộc ( )S cho
2 . 16
MA MO MB đường trịn Bán kính đường trịn
A
B
C 2
D
33. Cho ba điểm A( 1;1;1), (1;1;2), ( 2;1;1) B C đường thẳng : 1
1
x y z
d Tìm M d
sao cho biểu thức 2MA2 3MB24MC2 đạt giá trị nhỏ
A M(1;1; 0)
B M(3;5;2)
C M(5;9; 4) D M(1; 0; 1).
(162)Nhóm Bài tốn cực trị liên quan đến thẳng hàng a) Vị trí tương đối hai điểm A B, mặt phẳng ( ) :P ax bycz d :
Tính TA axAbyAczA d TB axB byB czB d Khi đó:
T TA B 0 A B, phía mp P( ) T TA B 0 A B, nằm hai phía mp P( )
b) Tìm điểm M ( )P cho: (MAMB)min MA MB max
Nếu A B, nằm hai phía ( )P (MAMB)min A M B, , thẳng hàng
Nếu A B, nằm phía ( )P lấy đối xứng cho nằm hai phía làm tương tự
34. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1), B( 1; 1; 3) mặt phẳng
( ) :P x 2y z Tọa độ điểm M ( )P cho MAMB nhỏ A M(1;0;1)
B M(0;0;2)
C M(1;2; 3). D M( 1;2; 1).
35. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;1;1) B(0; 3; 1). Điểm M nằm mặt phẳng
( ) : 2P x y z cho MAMB nhỏ A M(1;0;2)
B M(0;1;3)
C M(1;2;0)
D M(3;0;2)
36. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x 2y z điểm A(0; 2;3), B(2; 0;1)
Điểm M a b c( ; ; ) ( ) P cho MAMB nhỏ Giá trị a2 b2 c2
A 41
4
B 9
4
C 7
4
D 3
(163)37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;2); (0; 1;2)B mặt phẳng
( ) :P x2y2z120. Tìm tọa độ điểm M ( )P cho MAMB nhỏ ? A M(2;2;9)
B ; 18 25;
11 11 11
M
C 7 31; ;
6 M
D 6; 11; 18
15 15 15
M
38. Cho điểm A(3;1;0), B( 9;4;9) mặt ( ) : 2P x y z Gọi I a b c( ; ; ) ( ) P cho
IA IB đạt giá trị lớn Khi tổng a b c
A 4
B 22 C 13 D 13
39. cho hai điểm M(0;1;3), N(10;6;0) mặt phẳng ( ) :P x2y2z100 Điểm
( 10; ; ) ( )
I a b P cho IM IN lớn Tổng a b
A 5 B 1
C 2
D 6
40. Cho mặt phẳng ( ) :P x y z hai điểm A(1; 3; 0), B(5; 1; 2). Điểm M a b c( ; ; ) nằm
trên ( )P MA MB lớn Giá trị abc
A 1 B 12
C 24
D 24
(164)41. Cho hai điểm A(1; 1; 0), B( 1; 0; 1) điểm : 1
1 1
x y z
M d
Giá trị nhỏ
biểu thức T MAMB
A 4
B 2
C
D 3
42. Cho đường thẳng
2
:
2
x t
d y t
z
hai điểm A(1;2;3), 1;0;1).B( Tìm điểm M d cho tam
giác MAB có diện tích nhỏ
A M( 1;1; 2).
B M(1; 1; 2). C M( 1; 1;2). D M(1;0; 2).
43. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(6;0;6), B(8; 4; 2), C(0;0;6), D(1;1;5) Gọi M a b c( ; ; )
là điểm đường thẳng CD cho chu vi tam giác MAB nhỏ Khi a b 3c có giá
trị A 24 B 0
C 10
D 26
44. Cho ba điểm A(1; 0; 2), ( 3;2; 4), (0;2; 3). B C Mặt phẳng ( )P thay đổi qua C không cắt
đoạn thẳng AB Gọi d d1, 2 khoảng cách từ A B, đến ( ).P Phương trình mặt cầu ( )S
có tâm O, tiếp xúc với ( ),P ứng với d1d2 lớn
A x2 y2 z2 6
B 2
2
x y z
C x2 y2 z2 12
D 2 32
3
x y z
(165)P P
A B
H
d
P
H M
K Nhóm MỘT SỐ DẠNG CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP KHÁC
Phương trình đường thẳng d nằm mặt ( )P qua M cho khoảng cách từ điểm A
đến d lớn
Ta có: d( , )A d AB AM d( , )maxA d AM d AM
Do d
d P
u AM
u n
nên chọn ud n AMP,
Tóm lại đường thẳng cần tìm :
: d P,
Qua M d
VTCP u n AM
(tương tự d d1 ( )).P
Phương trình đường thẳng d nằm mặt ( )P qua M cho khoảng cách từ điểm A
đến d nhỏ
Ta có: d( , )A d AB AH không đổi
d( , )minA d AH AH AB
Giao tuyến MH (AMH) ( ) P nên ud [ ,n n P (AMH)]
Mà n(AMH) [AM n, P]
,[ , ]
d P P
u n AM n
(tích có hướng lần)
Tóm lại đường cần tìm :
: d P,[ , P]
Qua M d
VTCP u n AM n
(tương tự d d1 ( )).P
Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A ( )P cách B cho trước khoảng lớn
Từ hình vẽ, nhận thấy rằng: d B P( ;( ))max AB ( ).P
Do ( ) :
: Qua A P
VTPT n AB
Phương trình mặt ( )P chứa đường thẳng d, đồng thời ( )P cách M khoảng lớn nhất.
Gọi hình chiếu vng góc M lên ( )P d H K
Khi đó: d M P( ,( ))MH MK
Do MH lớn H K
Suy ( )P chứa d vng góc với ( )Q chứa M d
Nên
( ) ( ) :
: [ ;d ], d
Qua A d P
P
VTPT n u AM u
(tương tự: ( )P d hay ( )).Q
Q
P
d M
(166)P d K Tâm I (S)
H M
Các toán mặt cầu mặt phẳng Áp dụng r R2 d( ,( ))2I P Chẳng hạn:
a) Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa d, cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ (diện tích, chu vi nhỏ nhất,…)
Từ công thức r R2d( ,( ))2I P rmin d( ,( ))maxI P
Tìm hình chiếu tâm mặt cầu I lên d H
Nên d( ,( ))I P IK IH d( ,( ))maxI P K H ( )P IH
Do ( ) :
:
Qua M d
P
VTPT n IH
b) Cho mặt cầu ( )S mặt phẳng ( )P cắt theo giao tuyến đường trịn ( ).C Viết phương trình đường thẳng d nằm ( ),P qua E cắt ( )C A B, thỏa mãn: AB ngắn nhất, AB dài nhất,
tam giác IAB cho tính chất định tính hay định lượng
Phương pháp: Xét vị trí điểm E, vẽ hình lý luận dựa vào tốn phía
min ( , )max
( , )max
H AB ,
d P
H AB
AB d
u IE n
d IE
ABmax d( ,H AB)min
Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng d, tạo với đường thẳng d (d d) góc lớn nhất.
Lấy K d, dựng MK d
Gọi H I, hình chiếu M ( )P d Khi đó:
sin d P;( ) sinMKH sin 90 KMH cosKMH MH MI
KM KM
Do
max
;( )
d P H I
nên nP IM
hay ( )P chứa d vng góc với mặt chứa d d
Tóm lại, mặt phẳng ( )P cần tìm có tính chất ( ) :
: P [ ,d d ], d
Qua N d
P
VTPT n u u u
Cho mặt phẳng ( ),P điểm A( )P đường thẳng d d ( )P d ( ) P Viết phương trình đường thẳng d qua A, nằm ( )P tạo với d góc nhỏ
Từ A, dựng AM d
Gọi H I, hình chiếu M ( )P d
Khi cos( ; )d d cosMAH MH MI
AM AM
P E H
I A
B
P
I
H A
(167)Do ( ; )d d I H nên d qua A song song với hình chiếu vng góc d ( ).P
Tóm lại, đường thẳng d cần tìm có tính chất :
: d P,[ ,P d]
Qua A d
VTCP u n n u
Đường thẳng nằm mặt trụ: “Viết phương trình đường thẳng d thay đổi song song với d
cách d khoảng r, đồng thời khoảng cách từ điểm A đến d nhỏ nhất”
Dựng mặt phẳng ( )P qua A vng góc d
Khoảng cách d A d( , )AH nên AHmin AH H H
Tìm hình chiếu A d I
Tìm H thỏa mãn IH r IA
Khi d đường thẳng qua H d Nghĩa :
: d d
Qua H d
VTCP u u
Một số toán khác
a) Điểm chạy đường tròn, chẳng hạn: “Cho hai điểm A B, mặt phẳng ( ).P Tìm M ( )P
sao cho MAB vuông M SMAB nhỏ nhất”
M ( )C đường trịn giao tuyến mặt cầu đường kính AB ( ).P
SMABmin d M AB2( , )MH2 AH HB
b) Viết phương trình đường thẳng d( )P cắt d d1, 2 A B, thỏa ABmin Gọi điểm cắt hai đường thẳng: theo hai tham số
Dùng song song: rút ẩn theo ẩn lại
Tính AB theo ẩn tìm giá trị nhỏ Suy ẩn thứ 2đường thẳng cần tìm
c) Phương trình đường ( ) qua A, vng góc với d, đồng thời d( ; )d max u u AHd;
45. Trong khơng gian Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm A(1;1; 1), nằm mặt
phẳng ( ) : 2P x y z cách B(0;2;1) khoảng lớn
A 1
1
x y z
B 1
2
x y z
C 1
1
x y z
D
1 1
2
x y z
46. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;1;1), (2;3;0)A ( ) :P x y z Phương
trình đường thẳng d qua M, song song với ( )P cho khoảng cách từ A đến d lớn
A 1
1
x y z
B
1 1
3
x y z
C 1
1
x y z
D
1
1 1
x y z
(168)47. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O, vng góc với
đường thẳng 1 :
2
x y z
d
cách điểm M(2;1;1) khoảng lớn
A :
1
x y z
d B :
1
x y z
d
C :
1
x y z
d D :
1
x y z
d
48. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1;0;2), song song với
mặt ( ) : 2P x y z cách gốc tọa độ O khoảng lớn
A
2
x y z
B
2
x y z
C
2
x y z
D
1
2 3
x y z
49. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O, nằm mặt
phẳng ( ) : 2P x y z cách điểm M(1;2;1) khoảng nhỏ
A :
4 13
x y z
d B :
4 13
x y z
d
C :
4 12
x y z
d
D : 12
x y z
d
50. Trong không gian Oxyz, cho M(1;1;1), (2;3;0)A ( ) :P x y z Phương trình đường
thẳng d qua M, song song với ( )P cho khoảng cách từ A đến d nhỏ
A 1
1
x y z
B
1 1
3
x y z
C 1
1
x y z
D
1
1 1
x y z
51. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O, song song với
mặt phẳng ( ) : 2P x y z cách M(1; 1;2) khoảng nhỏ
A :
4 13
x y z
d B :
4 13
x y z
d
C :
4 13
x y z
d
D : 13
x y z
d
(169)52. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua điểm A(1;0; 2) cách điểm
(2;1;1)
M khoảng lớn
A x y 3z 5
B x y 3z 7 C x y 3z 5
D x y 3z 7
53. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng
2
:
1 1
x y z
d
( )P cách điểm M(2;1;1) khoảng lớn
A x y 3z 5
B 2x5y7z10
C 2x y 5z 3 D x y 5z 3
54. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;5; 3) đường thẳng :
2
x y z
d Gọi ( )P
mặt phẳng chứa d cho khoảng cách từ điểm A đến ( )P lớn Khoảng cách từ gốc tọa
độ O đến ( )P
A B 3
6
C 11
6 D
2
55. Trong không gian Oxyz, cho M(3; 1;5) đường thẳng :
2
x y z
d
Mặt phẳng
( )P chứa d cho khoảng cách từ M đến ( )P lớn ( )P cắt trục tọa độ A B C, ,
Thể tích khối tứ diện OABC
A 72 B 72
C 84. D 84
3
56. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P qua gốc tọa độ O, vuông góc với
mặt phẳng ( ) : 2Q x y z cách 1; 0;2
2 M
khoảng lớn
A 5x8y18z 0 B 5x3y8z 0 C x 3y z
D x y 3z 0
(170)57. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm A(1; 2;1), song song với
đường thẳng :
2
x y z
d cách gốc tọa độ O khoảng lớn
A 11x16y8z 3
B 11x16y10z530
C 11x16y 10z530 D 11x16y 8z 3
58. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(0; 1;2) N( 1;1;3). Viết phương trình mặt phẳng
( )P qua M N, cho khoảng cách từ K(0;0;2) đến ( )P lớn
A x y z B x2y z
C x y z
D x2y z
59. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng
1
:
2
x y z
d tạo với đường : 1
1
x y z
d góc lớn
A x4y z
B x4y z C x3y z D x3y z
60. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P qua gốc tọa độ O, vng góc với
mặt phẳng ( ) : 2Q x y z 0, đồng thời tạo với trục Oy góc lớn
A 2x5y z
B 2x2y z C 3x2y4z 0 D 3x2y z
61. Cho mặt phẳng ( ) :P x y z đường thẳng :
1
x y z
d
Phương trình
đường thẳng nằm ( ),P cắt d tạo với d góc lớn
A 1
1
x y z
B 1
3
x y z
C 1
1
x y z
D
1 1
x y z
(171)62. Cho mặt phẳng ( ) :P x y z đường thẳng :
1
x y z
d
Phương trình
đường thẳng nằm ( ),P cắt d tạo với d góc nhỏ
A 1
1
x y z
B 1
3
x y z
C 1
1
x y z
D
1 1
x y z
63. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
x y z
d
hai điểm A(2;1;2),
( 1;0;1)
B Tìm véctơ phương đường thẳng qua B vng góc với d cho góc
giữa AB nhỏ
A (2; 0;1) B ( 2;5;1).
C (1;0;2)
D (1;2; 0)
64. Cho hai điểm A( 1; 2;2), (0;0;1). B Đường thẳng qua B vng góc với Oy cho
khoảng cách A nhỏ Tính khoảng cách nhỏ
A
2
B 1.
C 2.
D 5 2
65. Trong không gian Oxyz, cho hai điểmA(1; 0;3); (0;2; 1).B Đường thẳng qua A vng góc
với đường thẳng Oz cho khoảng cách B lớn Tính khoảng cách lớn
đó A 3 B 5 C 2.
D 21
(172)66. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x 2y2z 1 điểm A( 1;0;1). Mặt phẳng
( ) qua A vng góc với ( )P cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( ) lớn Tìm
một vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ).
A (7; 4;5). B (1;2; 2).
C ( 7;4;5).
D (0;3;2)
67. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 3 điểm A(2;1; 1), B(0; 1;1).
Mặt phẳng ( ) qua A, vng góc với ( )P hợp với đường thẳng AB góc lớn Tính
sin góc lớn A 3
9
B 69
9
C 0,
D 65
9
68. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;4;0) Đường thẳng d thay đổi song song với trục Oz
cách trục Oz khoảng 3. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d qua điểm
dưới ? (xem lại toán mặt trụ)
A (3;0; 3). B ( 3;0; 3).
C (0;3; 5).
D (0; 3; 5).
69. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(5;0;0) Đường thẳng d thay đổi song song với trục Oy
cách trục Oy khoảng 2. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, khoảng cách từ M(3;1;0)
đến d ?
A 3. B 4.
C 5
D 6.
70. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3;0;6) Đường thẳng d thay đổi song song với trục Ox
cách trục Ox khoảng 4. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, viết phương trình mặt
cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng d.
A (x 3)2 y2 (z 6)2 4 B (x 3)2 y2 (z 6)2 2 C (x 3)2 y2 (z6)2 16 D (x 3)2 y2 (z 6)2 100
(173)71. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 0;10) mặt cầu ( ) :S x2 y2 (z 5)2 25 Đường
thẳng d thay đổi song song với trục Oy cách trục Oy khoảng 8. Khi đường thẳng
d tiếp xúc với mặt cầu ( )S B, tính độ dài AB.
A AB 3.
B AB 4. C AB 5. D AB 6.
72. Cho A(0; 4;3). Đường thẳng d vng góc với (Oxy) cách gốc tọa độ O khoảng 1.
Khoảng cách từ A đến d lớn d qua điểm sau ?
A M(4;0;0) B M(0; 1;1).
C M(0;1; 2).
D M(1;0;4)
73. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2x 4y4z 0 điểm M(1;1; 1).
Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua M cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến đường trịn có
bán kính nhỏ A 2x y z
B 2x y z C 4x2y z
D 4x2y z
74. Trong không gian Oxyz, cho điểm E(0;1;2), mặt phẳng ( ) :P x y z mặt cầu
2 2
( ) : (S x 1) (y3) (z 4) 25 Viết phương trình đường thẳng d qua E nằm
( )P cắt mặt cầu ( )S hai điểm có khoảng cách nhỏ
A
0
1
2 x
y t
z t
B
1
3
4 x
y t
z t
C
2
x t
y t
z t
D
1
3
4
x t
y t
z t
(174)75. Trong không gian Oxyz, cho điểm E(0;1;2) ( ) :P x y z mặt cầu
2 2
( ) : (S x 1) (y3) (z 4) 25 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm E nằm
trong ( )P cắt mặt cầu ( )S hai điểm có khoảng cách lớn
A
1
3
4
x t
y t
z t
B
2
1
2
x t
y t
z t
C
1
3
4
x
y t
z t
D
0
1
2 x
y t
z t
76. Trong không gian Oxyz, cho điểm 1; 3;0
2 M
mặt cầu
2 2
( ) :S x y z 8 Đường thẳng
d thay đổi, qua điểm M cắt mặt cầu ( )S hai điểm phân biệt Tính diện tích lớn
tam giác OAB
A 4 B 2
C
D 2
77. Trong không gian Oxyz, cho điểm E(1;1;1), mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 4 mặt phẳng
( ) :P x3y5z 3 0. Gọi đường thẳng qua E, nằm ( )P cắt mặt cầu ( )S
hai điểm A B, cho tam giác OAB tam giác Phương trình đường thẳng
A 1
2 1
x y z
B 1
2 1
x y z
C 1
2 1
x y z
D 1
2 1
x y z
78. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z22x 4y 2z 190 Viết phương
trình mặt phẳng ( )P chứa Oz cho ( )P cắt ( )S theo giao tuyến đường trịn có bán
kính nhỏ A x y B x2y 0 C x y D x2y 0
(175)79. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2x 4y4z 0 điểm M(1;1; 1).
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn có
bán kính nhỏ A 2x y 3z B x3y2z 0 C x y D 2x y z
80. Trong không gian Oxyz, mặt cầu ( )S có tâm thuộc mặt ( ) :P x 2y z qua hai
điểm A(1;2;1), (2;5;3).B Bán kính nhỏ mặt cầu ( )S
A 470
3 B
546
3
C 763
3 D
345
3
81. Trong không gian Oxyz, cho điểm 1 2
1
1
(3;1;1), : , :
1 2
0 x
x y z
A d d y t
z
Mặt cầu ( )S
qua A, có tâm I nằm d1, biết ( )S cắt d2 hai điểm phân biệt B C, cho 90
BAC Tìm I
A I(2;3;2) B I(3;4;4) C I(1;2;0) D I(0;0;2)
`
82. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 4x 4y4z 0 điểm A(4;4;0)
Điểm B thuộc mặt cầu ( )S cho tam giác OAB cân B có diện tích Phương
trình mặt phẳng qua ba điểm O A B, ,
A z 0
B z y z C x y 2z 0
D x y z
(176)83. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 1; 2;5 , 4;2;5
2
A B
Tìm hồnh độ điểm M mặt
phẳng (Oxy) cho ABM 45 tam giác MAB có diện tích nhỏ
A 5
2 B 1
C 3
2 D 2
84. Trong không gian Oxyz, cho A(1; 2;3), (2;1;1) B mặt ( ) :P x y 2z 2 Tìm hồnh độ
của C thuộc ( )P cho ABC cân C có chu vi nhỏ
A 4
3 B
2 3
C 1 D 1
3
85. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 3 x 2y3z120 Gọi A B C, ,
giao điểm ( ) với ba trục tọa độ, đường thẳng d qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC vng góc với ( ) có phương trình
A
3
x y z
B
2
3
x y z
C
3
x y z
D
2
3
x y z
86. Cho đường thẳng
1
: ,
1
x y z
d đường thẳng 2
2
:
1
x t
d y t
z t
và mặt phẳng
( ) :P x y 2z 5 Lập phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng ( )P cắt
1,
d d A B, cho độ dài đoạn AB nhỏ
A 2
1 1
x y z
B 2
1
x y z
C
1
x y z
D 1
1
x y z
Gọi A( 1 a; 2 ; )a a d B1, (22 ;1b b;1b)d2
( 3; 3; 1)
AB a b a b a b
Do AB( )P AB nP (1;1; 2) b a
2 2
( 5) ( 1) ( 3)
AB a a
2a2 8a 35 2(a2)2 27 3
Suy ABmin 3 a 2, b 2
1 2
1 1
x y z
(177)87. Cho hai đường thẳng 1 : 1 ;
2 1
x y z
d 2 :
1
x y z
d Viết phương trình mặt
phẳng ( )P song song với ( ) :Q x y 2z 3 cắt d1, d2 theo đoạn thẳng có độ dài nhỏ
nhất
A x y 2z 100
B x y 2z 0
C x y 2z 1
D x y 2z 7
88. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 4 đường thẳng
3
:
1 1
x y z
d Hai mặt phẳng ( ), ( )P P chứa d tiếp xúc với ( )S A B Đường
thẳng AB qua điểm có tọa độ
A 1; 1;
3 3
B 1;1;
3
C 1; ;1
3
D 1; ;
3 3
Gọi H hình chiếu I d H(1;1; 2) (hs tự tìm hình chiếu)
6 IH
Gọi K trung điểm ABK IH
2
2
4 2
(1;1; 2)
3 3
IK
IK IH IA R IK IH
IH IH
2
; ;
3 3
K
Mà AB d; 3(1; 1; 0)
AB d
u u IH
AB IH
Suy đường thẳng AB chọn đáp án C.
89. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z22x 4y6z67 0 đường thẳng
13
:
1
x y z
d
Qua d dựng tiếp diện tới ( ),S tiếp xúc với ( )S A B, Đường
thẳng AB qua điểm sau ?
A 23 1; ;6
2
B (8;1;4)
C (6; 9;6).
D 17 9; ;
2 2
(178)90. Cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 9 đường thẳng
1
:
1
x t
d y t
z t
Qua d dựng tiếp diện
tới ( ),S tiếp xúc với ( )S A B, Hai mặt phẳng ( ), ( )P P chứa d tiếp xúc với ( )S A
B Khoảng cách hai đường thẳng AB d
A 8
5
B 13
5
C 16
5
D 14
5
91. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y2)2 (z 1)2 6 tiếp xúc với mặt
phẳng ( ) :P x y 2z 5 ( ) : 2Q x y z điểm A B, Độ dài
AB
A 2 B 2
C 3
D 4
92. Trong không gian Oxyz, cho E(2;1; 3), mặt phẳng ( ) : 2P x 2y z mặt cầu
2 2
( ) : (S x 3) (y2) (z 5) 36 Gọi đường thẳng qua E, nằm ( )P cắt
( )S hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình
A
2
1
3
x t
y t
z t
B
2
1
3
x t
y t
z
C
2
1
3
x t
y t
z
D
2
1
3
x t
y t
z t