Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian - Phần II: Hình chóp docx

Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian vungocvinh59@yahoo.com 1 1 CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TỔNG HỢP GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ PHẦN II: HÌNH CHĨP Vũ Ngọc Vinh - THPT A Nghĩa Hưng - Nam Định vungocvinh59@yahoo.com PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI TỐN Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. Bài tốn đơn giản hay khơng một phần phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ vng góc và đơn vị trên các trục. Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, chú ý đến vò trí của gốc O ( Đỉnh của góc vng, tâm mặt cầu ….) Bước 2: Dựa vào điều kiện của bài tốn để xác định toạ độ của điểm, phương trình của đường và mặt cần thiết trong hệ trục toạ độ ấy. (có thể xác đònh toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết) Khi xác đònh tọa độ các điểm ta có thể dựa vào : +)Ý nghóa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ). +) Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ +) Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng. +) Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng. Bước 3: Chuyển các tính chất hình học trong giả thiết hoặc kết luận của bài tốn sang tính chất đại số và giải tích, đưa bài tốn về bài tốn đại số, giải tích. Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán . Các dạng toán thường gặp: - Độ dài đọan thẳng - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng - Khoảng cách giữa hai đường thẳng - Góc giữa hai đường thẳng - Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Góc giữa hai mặt phẳng - Thể tích khối đa diện - Diện tích thiết diện - Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc - Bài toán cực trò, quỹ tích Bổ sung kiến thức : 1) Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S ' bằng tích của S với cosin của góc  giữa mặt phẳng của tam giác và mặt phẳng chiếu cos. ' SS  2) Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A ' , B ' , C ' khác với S Ta luôn có: Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian vungocvinh59@yahoo.com 2 2 SC SC SB SB SA SA V V ABCS CBAS ''' . ''' .  Chú ý. a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy và đáy là hình vng (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vng. b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h). c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b. SAD đều cạnh a và vng góc với đáy. Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vng góc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có: H(0; 0; 0),     a a A ; 0; 0 , B ; b; 0 2 2     a a a 3 , C ; b; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0; . 2 2 2             Phần II. 1 . HÌNH CHĨP CĨ MỘT CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY ( Hay hình chóp có hai mặt bên vng góc với đáy) * Lưu ý: Đường cao của hình chóp là cạnh bên vu«ng gãc đáy. Ví dụ 1. Tø diƯn ABCD: AB, AC, AD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau; AB = 3; AC = AD= 4 TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mỈt ph¼ng (BCD) ( KD: 2002) Giảii + Chän hƯ trơc Oxyz sao cho A  O D Ox; C  Oy và B  Oz  A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)  Phương tr×nh ®o¹n ch¾n cđa (BCD) lµ: 1 4 4 3    x y z  3x + 3y + 4z - 12 = 0 Kho¶ng c¸ch tõ A tíi mỈt ph¼ng (BCD) lµ: d(A; mp’(BCD)) = 6 34 17 Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c.Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng :   2S abc a b c   (DB – ĐH. K. D – 2003) Giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) z y x B C D A Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian vungocvinh59@yahoo.com 3 3                                           2 2 2 2 2 2 BCD 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc 1 1 S BC,BD a b a c b c đpcm 2 2 a b a c b c abc(a b c) a b a c b c abc(a b c) Theo BĐT Cauchy ta được : a b +b c 2ab c b c +c a              2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c) c a a b 2ca b Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SA a 2.  Mặt phẳng () qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt là M, N, P. Chứng minh rằng tứ giác AMNP có hai đường chéo vuông góc và tính diện tích của tứ giác. Giải Dựng hệ trục Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), S(0; 0; a 2) 1 SC (a; a; a 2) a(1;1; 2) a.u        2 SB (a; 0; a 2) a(1; 0; 2) a.u        3 SD (0; a; a 2) a(0;1; 2) a.u        Phương trình mp(qua A(0; 0; 0) với pháp vectơ 1 n u (1;1; 2)      : ( ): x y 2z 0.    Phương trình đường thẳng SC qua C(a; a; 0) với vectơ chỉ phương 1 u  : x a t (SC): y a t z 2t            N SC N(a t; a t; 2t)      a a a a 2 N ( ) a t a t 2( 2t) 0 t N ; ; 2 2 2 2                    Phương trình đường thẳng (SB): x = a + t; y = 0; x 2t.  Ta có: a 2a a 2 M SB; M ( ) t M ; 0; 3 3 3              . Phương trình đường thẳng (SD): x 0; y a t; z 2t.      Ta có: a 2a a 2 P SD; P ( ) t P 0; ; 3 3 3              S A P N M B C a O z a 2 a x D y z y x A B C D Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian vungocvinh59@yahoo.com 4 4 a a a 2 2a 2a 2a 2 AN ; ; ; AN a; MP ; ; 0 ; MP . 2 2 2 3 3 3                    Ta có: 2 2 a 2a a 2a a 2 a a AN.MP . . .0 0 AN MP 2 3 2 3 2 3 3                   (đpcm) Diện tích tứ giác AMNP: 2 1 1 2a 2 a 2 S .AN.MP .a. . 2 2 3 3    Ví dụ 4. Cho hình chóp S ABCD, SA  (ABCD), SA = a, SC  BD; đáy ABCD là hình thang vuông có BC = 2a, a AD 2  và đường cao AB = a. M là điểm trên cạnh SA, đặt AM = x ( 0 x a)   . Tính độ dài đường cao DE của BMD. Đònh x để DE đạt giá trò nhỏ nhất. Giải Dựng hệ trục Axyz với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0), a D 0; ; 0 , S(0; 0; a), M(0; 0; x) 2       . BM ( a; 0; x).    Phương trình đường thẳng BM qua B với , vectơ chỉ phương: x a at (BM) : y 0 z xt          a E BM E(a at; 0; xt) DE a at; ; xt 2               a DE BM DE.BM 0 (a at)( a) .0 xt.x 0 2                   2 2 2 2 2 2 a (x a )t a t . x a Ta có: 2 2 2 2 2 2 ax a a x DE ; ; 2 x a x a                                   2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a x a a x a a x (x a a 4x DE 1 4 4 2 (x a ) (x a ) (x a ) x a a a DE minDE x 0 x 0 M A. 2 2 Ví dụ 5. Cho hình chóp SABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SA = 2a. Mặt phẳng () qua BC hợp với AC một góc 30 o , cắt SA, SD lần lượt tại M, N. Tính diện tích thiết diện BCNM. Giải. Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), S(0; 0; 2a). Đặt: AM = h; (0 < h < 2a)  M(0; 0; h) M E A D a C y z S a B x Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian vungocvinh59@yahoo.com 5 5 BM ( a; a;h), BC (0; a; 0),       2 [BM; BC] ( a.h; 0; a ) a(h; 0; a)        a.n   , với n (h; 0; a)   n (h; 0; a)    là pháp vectơ của mặt phẳng (). Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương 1 u (a; a; 0) a(1;1; 0) a.u ,     với 1 u (1;1; 0)  . () hợp với AC một góc 30 o .                   o 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1.h 1.0 0.a 1 sin30 2 1 1 0. h 0 a h 1 2 2 h a h 2 h a 2h h a h a    M là trung điểm SA. Ta có: MN ( ) (SAD) MN// BC// AD. BC// AD        BC (SAB) BC BM BCNM     là hình thang vuông tại B và M.  ABM vuông cân đỉnh A  BM a 2. MN là đường trung bình của  SAD a MN . 2   Diện tích hình thang vuông BCNM: 2 1 3a 2 S .BM(MN BC) 2 4    . Ví dụ 6. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi một vng góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất. Giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). d[M, (OAB)] = 3  z M = 3. Tương tự  M(1; 2; 3). pt(ABC): x y z 1 a b c    1 2 3 M (ABC) 1 a b c      (1). O.ABC 1 V abc 6  (2). 3 1 2 3 1 2 3 (1) 1 3 . . a b c a b c      1 abc 27 6   . C y 2a S N D y a x a B H A M Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian vungocvinh59@yahoo.com 6 6 (2) min 1 2 3 1 V 27 a b c 3       3 6 9 a b c          Ví dụ 7. Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy và ABC  vng tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M. Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C] Giải. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và H(1; 0; 0). mp(P) qua H vng góc với SB tại I cắt đường thẳng SC tại K, dễ thấy [H, SB, C] =   IH, IK   (1). SB ( 1; 3; 4)    , SC (0; 3; 4)   suy ra: ptts SB: x 1 t y 3 3t z 4t                   , SC: x 0 y 3 3t z 4t                  và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0.     5 15 3 51 32 I ; ; , K 0; ; 8 8 2 25 25  379 281 cos[H, SB, C] 12645    Ví dụ 8. Cho hình chóp S. ABCD có SA  (ABCD) và SA = a 6 , đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a. Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC). Giải. Dựng / / BB AD, CC AD  và I là trung điểm AD / / / / a 3 a 3a BB CC ; AB ; AC 2 2 2      Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông             a 3 a a 3 3a góc A(0; 0; 0), B ; ; 0 , C ; ; 0 , 2 2 2 2 D(0; 2a; 0), S(0; 0; a 6). a 3 a a 3 3a SB ; ; a 6 , SC ; ; a 6 2 2 2 2                   2 2 2 2 a 3 a 3 a 3 [SB; SC] a 6; 0; (2 2; 0; 1) .n, 2 2 2             với n (2 2; 0; 1)   Phương trình mặt phẳng (SBC) qua S với pháp vectơ n  : (SBC): 2 2x z a 6 0    Vì: AD// BC AD//(SBC) d(AD; (SBC)) d(SBC))   z S a 6 x A B B / C C / I D 2a y Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 7 7 Ta coù: 0 0 a 6 a 6 d(A; (SBC)) 3 8 1      . Vaäy, a 6 d(AD; (SBC)) . 3  BÀI TẬP Bài 1( KA 2000) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với từng đôi một có OA = a, OB = a 2 , OC = c. Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của BC. (P) là mặt phẳng qua A, M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với AM. 1) Gọi E là giao điểm của (P) với OC, tính độ dài OE. 2) Tính khoảng cách từ C đến mp’(P). 3) Tính tỉ số thể của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P). Bài 2. ( ĐH 2001 ) Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a, M là trung điểm BC. Trên các nửa đường thẳng AA 1 , MM 1 vuông góc với mặt phẳng (ABC) về cùng một phía, lấy tương ứng các điểm N, I sao cho 2MI = NA = a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống NB. Chứng minh rằng: AH  NI. Bài 3. Trên ba tia Ox, oy, oz vuông góc với từng đôi một lấy lần lượt các điểm A, B, C. Giả sử A cố định còn B, C thay đổi sao cho OA = OB + OC. Hãy xác định vị trí của B, C sao cho thể tích của tứ diện OABC là lớn nhất. Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 3a và vuông với đáy. 1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 2) Tính khoảng cách từ tâm O của hình vuông đến mặt phẳng (SBC). 3) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC). Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. 1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBC). 2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và mặt phẳng (SBC). Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy. 1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC), từ C đến mặt phẳng (SBD). 2) MN lần lượt là trung điểm của AB, AD. CMR: MN // (SBD) và tính khoảng cách từ MN đến mặt phẳng (SBD). Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với cạnh AB = a, AD = 2a, SA = a và vuông góc với đáy. 1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) và khoảng cách từ trung điểm I của SC đến mặt phẳng (SBD). 2) Gọi M là trung điểm của cạnh CD, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM). Bài 8.( KA – 2000) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = AD = a, DC = 2a , SD = a và vuông góc với đáy. 1) Chứng minh rằng tam giác SBC vuông và tính diện tích của tam giác đó. 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy. Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 8 8 1) Gọi M, N theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho BM = 3 , 2 4 a a DN  . Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAM) và mặt phẳng (SMN) vuông góc với nhau. 2) Gọi M, N theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho BM = x, DN = y. a. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để hai hai mặt phẳng (SAM) và mặt phẳng (SMN) vuông góc với nhau. b. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để nhị diện (M, SA, N) có số đo bằng 60 0 là : 2 3 ( )a x y xy a   . Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA = 6a và vuông góc với đáy. 1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC); Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (SBC). 2) Tính khoảng cách từ A , D đến mặt phẳng (SBC) và từ đường thẳng AB đến mặt phẳng (SCD). 3) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD tạo bởi mặt phẳng ( )  song song với mặt phẳng (SAB) và cách mặt phẳng (SAB) một khoảng bằng 3 4 a . Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = a, 2SA a và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AB. Tính độ dài đường vuông chung của SM và BC. Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông đường cao AB = a, BC = 2a, SA = a vuông góc với đáy, ngoài ra còn có SC vuông góc với BD. 1) Tính AD. 2) Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM = x (0 ≤ x ≤ a). Tính độ dài đường cao DE của tam giác BDM. Xác định x để DE có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy mặt phẳng (ABC), ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AC = 2a, mặt (SBC) hợp với mặt (ABC) góc 60 0 . 1) Tìm trên đoạn BC điểm M cách đều hai mặt phẳng (SAB) và (SAC). Tính khoảng cách đó. 2) Tìm trên đoạn SA điểm N cách đều hai mặt phẳng (SBC) và (SAC). Tính khoảng cách đó. 3) Tìm trên đoạn AB điểm P cách đều hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). Tính khoảng cách đó. Bài 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C với AB = 2a, góc  BAC = 30 0 , SA = 2a và vuông góc với đáy . Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC, đặt AM = x (0 ≤ x ≤ 3a ). 1) Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x. 2) Tìm giá trị x để khoảng cách trên có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 15. ( ĐH- KA 2001) Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = 2a , SC vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a). 1) Tính độ dài đoạn thẳng MN. Tìm giá trị của t để đoạn MN ngắn nhất. 2) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA. Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm CD. 1) Tính diện tích  SBE. 2) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE). 3) (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó. Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian vungocvinh59@yahoo.com 9 9 Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a. Cạnh bên SA vng góc với đáy và SA a 3  . 1) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD). 2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC. 3) Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]. Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3cm. Cạnh bên SA vng góc với đáy và SA 3 2  cm. Mp ( )  đi qua A và vng góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K. 1) Chứng minh AH vng góc với SB, AK vng góc với SD. 2) Chứng minh BD song song với ( )  . 3) Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SAC . 4) Tính thể tích hình khối ABCDKMH. Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vng góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD. 1) Tính khoảng cách từ A đến (BCN). 2) Tính khoảng cách giữa SB và CN. 3) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC). 4) Tìm điều kiện của a và b để  3 cosCMN 3  . Trong trường hợp đó tính thể tích hình chóp S.BCNM. Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao SA = 2a. Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 m a)   . 1) Tìm vị trí điểm M để diện tích SBM lớn nhất, nhỏ nhất. 2) Cho a m 3  , gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B]. Bài 21: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a tâm I . Trên hai tia Ax, By cùng chiều và cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm M,N . Đặt AM=x, CN=y 1) Tính thể tích hình chóp ABCMN. 2) CMR điều kiện cần và đủ để góc MIN=90 0 là 2xy=a 2 . Bài 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB = 4 2 . Cạnh bên SC (ABC) và SC = 2 .Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB 1) Tính góc của hai đường thẳng SM và CN 2) Tính độ dài đọan vuông góc chung của SM và CN. Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian vungocvinh59@yahoo.com 10 10 Phần II. 2 . HÌNH CHĨP CĨ MỘT MẶT BÊN ( HOẶC MẶT CHÉO) VNG GĨC VỚI ĐÁY * Lưu ý: Đường cao của hình chóp là cạnh đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó. Ví dụ . Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB và M là điểm di động trên cạnh BC. Chứng minh SH vuông góc (ABCD). Đặt x = CM với 0 x a (a 0)   . Tính khoảng cách từ S đến DM. Tìm x để khoảng cách này lớn nhất. Giải. Ta có: (SAB) (ABCD), (SAB) (ABCD) AB SH AB        SH (ABCD)  Chọn hệ trục Hxyz, với Hx, Hy, Hz a đôi một vuông góc, H(0; 0; 0), A ; 0; 0 , 2 a a a B ; 0; 0 , C ; a; 0 , D ; a; 0 , 2 2 2 a 3 a S 0; 0; , M ; a x; 0 , 0 x a; a 0 2 2                                           x 2 2 a a 3 SD ; a; , DM (a; x; 0), DM a x 2 2                 2 2 ax 3 a 3 ax [SD; DM' ; ; a 2 2 2             2 2 4 2 2 2 2 3a x 2a a a [SD; DM] (x 2a) 4x 4ax 7a 4 4 4 2           Khoảng cách từ S đến đường thẳng DM: 2 2 2 2 [SD; DM] a 4x 4ax 7a d(S; DM) 2 x a DM         . Xét hàm số: 2 2 2 2 4x 4ax 7a f(x) , x a     với 0 x a (a 0)   2 2 / 2 2 2 2a(2x 3ax 2a ) f (x) (x a )     / 2 2 a f (x) 0 2x 3ax 2a 0 x hay x 2a. 2          z S a 3 2 A D C B a 2 M x H y [...]... 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a Mặt bên SAD là tam giác đều và vng góc với (ABCD) Gọi H là trung điểm của AB 1) Tính góc giữa DB và mặt phẳng (SAD) 2) Tính góc giữa DS và mặt phẳng (SCH) vungocvinh59@yahoo.com 11 Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 12 Phần II 3 HÌNH CHĨP ĐỀU * Lưu ý: Chân đường cao của hình chóp là tâm của đa giác đáy Ví dụ 1 (ĐH K A – 2002) Cho hình chóp tam... chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau Chứng tỏ rằng khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau vungocvinh59@yahoo.com 15 Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 16 Phần II 4 HÌNH CHĨP CĨ CÁC CẠNH BÊN BẰNG NHAU ( Hay hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau) * Lưu ý: Chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Ví dụ Cho hình. ..Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 11 Bảng biến thiên:  x f/(x) + a 2 0 0 a - - 2a - 0 + 7 f(x) 7 2 Từ bảng biến thiên ta có: max f(x)  7 tại x = 0 Vậy: Max d(S; DM) = a 7 , đạt được khi x = 0 2 BÀI TẬP Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a SAD đều và vng góc với (ABCD) Gọi H là trung điểm của AD 1) Tính d(D, (SBC)),...  cos   cos   3 BÀI TẬP Cho hình cầu bán kính R nội tiếp trong hình chóp Đáy của hình chóp là hình thoi có góc nhọn  , các mặt bên của hình chóp tạo với đáy góc  Tính thể tích của hình chóp Phần II 6 CÁC LOẠI HÌNH CHĨP KHÁC Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi ABCD có tâm O, SO là đường cao của hình chóp M là trung điểm cạnh SC SO = a 2 , AC = 4, BD = 2 1) Tính góc và khoảng cách giữa... Tính MN và SO vungocvinh59@yahoo.com 14 Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 15 2) Tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD) Bài 3 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh bằng 2a Gọi d1 , d2 , d3 , d4 theo thứ tự là khoảng cách từ điểm M bất kì thuộc đáy ABCD tới các mặt bên CMR: Tổng d1 + d2 + d3 + d4 khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M Bài 4 Cho hình chóp đều S.ABC, gọi O là trọng tâm tam giác ABC... 6 SA.BC  0.(a)  0  0  0  SA  BC Vậy, SA  BC 3 3 vungocvinh59@yahoo.com 13 Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 14 z S M I B C y O A x 1 1 a 6 a2 3 a3 2  Thể tích hình chóp: V  SH.SABC  3 3 3 4 12 a2 3  a2 3 Diện tích toàn phần: Stp  4.SABC  4 4  a 3 a 6 ; 2) O là trung điểm SH  tọa độ O  0;  3 6     a 3 a 6    a a 3   a 6    a a 3 a 6 OA   0; ;... và I là trung điểm SO Chứng minh rằng IA, IB, Ic đơi một vuông góc với nhau Bài 5 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy Abc có cạnh bằng a 6 Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB, AC Tính thể tích hình chóp S.AMN và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài 6 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h Mặt phẳng () đi qua AB và vng góc với SC 1 Tìm... cũng có: OB  OC, OC  OA Vậy, OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau BÀI TẬP Bài 1 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Gọi I là trung điểm của đường cao SO với O là tâm của ABCD Biết khoảng cách từ I đến cạnh bên và mặt bên của hình chóp theo thứ tự bằng p, q, Tính thể tích của hình chóp Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O cạnh a, SO vng góc với đáy Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của... khối chóp S.ABMN 3) Chứng minh rằng mọi điểm thuộc đường cao của hình chóp cách đều bốn mặt bên của hình chóp BÀI TẬP Cho hình chữ nhật ABCD Trên các nửa đường thẳng At, Ct’ vng góc với mặt phẳng (ABCD) và nằm cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy các điểm M, N tương ứng Đặt AM = m, CN = n, AB = a, BC = b 1) Tìm điều kiện của a, b, m, n đẻ mặt phẳng (MBD) vng góc với mặt phẳng (NBD) 2) Trong. .. ; S (0;0 ) ; I (0;0; ) 6 2 3 6 G C    3 1 6 ; ; ); Ta có: BC  (0;1;0) ; IC  ( O y N 6 2 6 A    6 3   BC , IC   ( ;0; )   x 6 6 vungocvinh59@yahoo.com 12 Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 13 6 3 6 ( x  0)  0( y  0)  (z  )0 6 6 6    6 3 6  0 mà ta lại có: SA  ( ;0;  )  SA // u SA (1;0;  2) Hay:  2  z  6 3 3 3  t ; y  0; z   2t Phư¬ng tr×nh . Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian vungocvinh59@yahoo.com 1 1 CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TỔNG HỢP GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ PHẦN II: HÌNH CHĨP Vũ Ngọc Vinh - THPT. (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó. Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian vungocvinh59@yahoo.com 9 9 Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng. đến mặt phẳng (SBC). Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy. Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 8